Tom tat li thuyet va phuong phap giai toan 12

 TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12

MỤC LỤC

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1. Sự đồng biến - nghịch biến của hàm số .............................................4
2. Cực trị của hàm số ..................................................................................................... 6
3. GTNN - GTLN của hàm số ............................................................................ 12
4. Tiệm cận ............................................................................................................................. 13
5. Khảo sát hàm số ........................................................................................................14
6. Một số bài toán liên quan đến hàm số, đồ thị ....................... 17
Chương II: HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LÔGARIT
1. Mũ, lũy thừa và lôgarit ......................................................................................29
2. Phương trình mũ.......................................................................................................33
3. Phương trình lôgarit .............................................................................................35
4. Bất phương trình mũ, lôgarit ....................................................................36
Chương III: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
1. Nguyên hàm ....................................................................................................................37
2. Tích phân ...........................................................................................................................41
3. Ứng dụng hình học của tích phân ....................................................... 45
Chương IV: SỐ PHỨC .............................................................................................................. 47
Chương V: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN
XOAY .......................................................................................................................................... 49
Chương VI: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
1. Hệ tọa độ trong không gian ......................................................................... 51
2. Phương trình mặt cầu .........................................................................................55
3. Phương trình mặt phẳng .................................................................................60
4. Phương trình đường thẳng .......................................................................... 66
5. Vị trí tương đối ...........................................................................................................73
6. Khoảng cách và góc................................................................................................75
7. Tìm một số điểm đặc biệt ..............................................................................77

2  NGUYỄN THANH NHÀN :4eyes1999@gmail.com. : 0987.503.911


Chương VII: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG
1. Tam thức bậc hai, PT, BPT bậc hai ...................................................79
2. Xét dấu biểu thức ................................................................................................... 84
3. Giới hạn vô cực và tại vô cực của hàm số .................................. 89
4. Đạo hàm ..............................................................................................................................92
5. Công thức lượng giác và phương trình lượng giác ........... 95
PHỤ LỤC: Kinh nghiệm làm bài thi môn Toán ....................................102



Trên con đường thành công không có dấu chân
của kẻ lười biếng.



ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

* Định nghĩa:
- y  f  x  đồng biến trên K
 x1 ,x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2 
- y  f  x  nghịch biến trên K
 x1 ,x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2 
* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
1. Tìm miền xác định.
2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tới hạn.
3. Xét dấu đạo hàm
4. Kết luận:
   
a) Nếu f ' x  0 với mọi x  a;b thì hàm số f x đồng  
biến trên khoảng a;b  
   
b) Nếu f ' x  0 với mọi x  a;b thì hàm số f x nghịch  
biến trên khoảng a;b  
  
Chú ý: f ' x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng

 a;b  thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.
Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
     
Để chứng minh f x  g x ,x  a;b ta qua các bước sau:
1. Biến đổi:
f  x   g  x  ,x   a,b   f  x   g  x   0,x   a,b 
     
2. Đặt h x  f x  g x



   
3. Tính h' x và lập bảng biến thiên của h x . Từ đó suy ra kết quả.
Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y  f  x  luôn luôn tăng (hoặc
luôn luôn giảm) trên miền xác định

- Các hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d a  0 và
ax 2  bx  c
y
Ax  B
 a  0 luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm)
trên miền xác định của nó khi và chỉ khi y'  0 (hoặc y'  0 )
x  D . Nếu a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a=0
a  0
 a  0

(đối với hàm bậc 3)   (hoặc   )
  y'  0
   y'  0

ax  b
- Hàm số y  luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên
cx  d
miến xác định của nó khi và chỉ khi y'  0 (hoặc y'  0 )
x  D



Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1. Tìm miền xác định
2. Tìm f ' x  
   
3. Tìm các điểm tại đó f ' x  0 hoặc f ' x không xác định (gọi
chung là điểm tới hạn).
4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu
đạo hàm.
5. Nêu kết luận về cực trị.
Bảng tóm tắt:
x a xo b
f'(x) + -

CĐ
f(x)

x a xo b
f'(x) - +

f(x)
CT
Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
 
1. Tính f ' x . Giải phương trình f ' x  0 .  
 
Gọi xi i  1, 2 ,... là các nghiệm của phương trình.

 
2. Tính f " x và f " xi  
3. Dựa vào dấu của f "  x  suy ra kết luận về cực trị của điểm
i

xi theo định lí sau:
Định lí:



 
Giả sử hàm số y  f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng a;b  
chứa điểm x và f '  x   0 . Khi đó:
o o

a) Nếu f "  x   0 thì x là điểm cực tiểu.
o o

b) Nếu f "  x   0 thì x là điểm cực đại.
o o
Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
cho trước.
Áp dụng định lí Fec-ma:
 
Giả sử y  f x có đạo hàm tại điểm x  xo .

 
Khi đó nếu y  f x đạt cực trị tại điểm x  xo thì f ' xo  0 .  
  
Chú ý: Nếu f ' xo  0 thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm
x  xo . Do đó khi tìm được m thì phải thử lại.
Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu
3 2 ax 2  bx  c
Các hàm số y  ax  bx  cx  d vaø y  có một cực đại
Ax  B
và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y'  0 có hai nghiệm phân
biệt (khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm). Nếu hàm
hữu tỉ thì phải khác nghiệm mẫu.
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
ax 2  bx  c
1. Cho hàm số y 
Ax  B
C 
- Nếu (C) có hai điểm cực trị
- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là

y
 ax 2
 bx  c '  hay y  2a x  b
 Ax  B ' A A
2. Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d C  
- Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được
y  y' .A  x   x  



- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là
y  x  
 y'  x0   0

Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 :  (hoặc

 y"  x0   0
 y'  x0   0

 )
 y' ñoåi daáu khi qua x0

Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x0 :
 y'  x0   0
  y'  x0   0

 (hoặc
 )
 y"  x0   0
  y' ñoåi daáu töø +sang  khi qua x0

Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x0 :
 y'  x0   0
  y'  x0   0

 (hoặc
 )

 y"  x0   0  y' ñoåi daáu töø  sang  khi qua x0

Bài toán 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ,CT tại x1 ,x2 thỏa
 y'  0

 Ax1  Bx2  C

Ax1  Bx2  C :  x  x   b với x1 ,x2 là nghiệm của y'  0
 1 2 a
 c
 x1 x2 
 a
Bài toán 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị
cùng dấu:
 y'  0

 Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là 
a  0




    
Gọi A x1 ; y1 ,B x2 ; y2 là hai điểm cực trị. Ta có
y  x1  .y  x 2   0 (trường hợp trái dấu thì ngược lại)
 
Chú ý: Hàm số viết thành: y  P x .y'  mx  n (lấy hàm số chia
 y  x1   mx1  n

cho đạo hàm)  
 y  x 2   mx 2  n

Bài toán 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằm về hai phía đối
với trục tung: Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là y'  0 có hai nghiệm
c
trái dấu. Khi đó P  0
a
Bài toán 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị của hàm hữu tỉ
ax 2  bx  c
y
mx  n
 Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình
y’=0)
ñaïo haøm cuûa TS 2ax  b
 ycöïc trò   rồi thay x cực trị vào phân
ñaïo haøm cuûa MS m
số này ta có ycöïc trò tương ứng, và cách tính trên chỉ áp dụng cho
hàm hữu tỉ
Bài toán 13: Tìm m để hàm trùng phương y  ax 4  bx 2  c có 3 điểm
cực trị lập thành một tam giác đều:
 TXĐ: D=R
 
Tính y'  4ax 3  2bx  2 x 2ax 2  b , 
x  0
x  0
y'  0    2
2
 2ax  b  0  x   b  a  0  (1)

 2a



 Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b
khác 0. Khi đó  0
2a
  
Bài toán 14: Điều kiện để hàm số y  f x C đạt cực trị bằng  tại
  ;     C 


x   là  y'     0

 y''     0

Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam
giác. Tính diện tích tam giác đó:
 Tính y' , tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C.
 Tính diện tích tam giac ABC theo công thức:


1  AB   x; y 

S  | xy'  x' y | với  

2  AC   x'; y' 

Bài toán 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành
một tam giác đều:
 TXĐ: D=R
 Tính
x  0
y'  4ax 3  2bx; y'  0   2
 2ax  b  0
x  0
 2
 x   b  a  0  (1)

 2a
 Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm
b
phân biệt khác 0. Khi đó:   0 * 
2a



 Với điều kiện (*), giải phương trình

 x  0  y  c  A

 b
y'  0   x    y  ?  B  . Tìm được 3 điểm cực trị
 2a
 b
x     y  ? C 
 2a
 AB 2  AC 2

A, B, C. Do tam giác ABC đều nên  2 , từ đó tìm
2
 AB  BC

được m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).



Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA HÀM SỐ
* Định nghĩa:
 f  x   m,x  K

- min y  m  
K
x0  K : m  f  x0 

 f  x   M ,x  K

- max y  M  
K
x0  K : M  f  x0 

* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng
 
Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y  f x trên khảng a;b ta lập  
 
bảng biến thiên của hàm số trên khoảng a;b rồi dựa vào đó mà kết
luận.
Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên một đoạn
 a;b 
 
Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách 2: Qua 3 bước:
   
1. Tìm các điểm x1 ,x2 ,...,x n trên  a;b  mà tại đó f ' x  0 hoặc
f '  x  không xác định.
       
2. Tính f a , f b , f x1 , f x 2 ,..., f x n .  
3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:
M  max f  x  ,m  min f  x 
a;b 
  a;b 
 

 
Bài toán 3: Tìm m để phương trình f x  m có nghiệm trên D:
  
Xét hàm số y  f x trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá
trị của y từ đó kết luận được m.



Bài 4: TIỆM CẬN
1. Cách tìm tiệm cận:
 Nếu lim y  (  ) thì đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng.
x  x0

 Nếu lim y  y0 thì đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang.
x 

Soá dö
 Nếu hàm số viết thành y  thöông ax  b  (chia đa thức)
Maãu soá
Soá dö
mà lim  0 thì đường thẳng y  ax  b là tiệm cận xiên.
x  Maãu soá

* Đường thẳng y  ax  b gọi là TCX của hàm số
 f x
a  lim
y  f x   x  x
b  lim  f (x)  ax 
 x 

ax  b
2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là :
cx  d
 d
TCÑ : x   c


TCN : y  a

 c
3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến
2 tiệm cận:
     C  . Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)
Gọi M x0 ; f x 0
 d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số.



Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Sơ đồ khảo sát:
1. Tập xác định: D  
2. Sự biến thiên:
a) Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Tìm đạo hàm
- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Xét dấu đạo hàm, suy ra chiều biến thiên của hàm số.
b) Tìm cực trị.
c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có)
d) Lập bảng biến thiên.
* Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT
3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ
thị.
 Chú ý:
- Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm,
đặc biệt cần tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa
độ.
- Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm.
2. Các dạng đồ thị:

1. Hàm số bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d a  0 



Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2. Hàm số trùng phương: y  ax 4  bx 2  c a  0 



Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
ax  b
3. Đồ thị hàm số y 
cx  d
 c  0  ;ad  bc  0

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
* Chú ý: M  x0 ; y0    C  : y  f  x   y0  f  x0 



Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị (bằng phương trình hoành
độ giao điểm)
    
Cho hai đường cong C1 : y  f x , C2 : y  g x .  
Để xét sự tương giao giữa  C  ,C  ta lập phương trình hoành
1 2

độ giao điểm f  x   g  x  (1)
1. C  không có điểm chung với  C   pt (1) vô nghiệm.
1 2

2. C  cắt  C  tại n điểm phân biệt  pt (1) có n nghiệm phân
1 2
biệt. Đồng thời nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của
C  và C  .
1 2
Chú ý:
 Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng
Ax 2  Bx  C  0 .Ta biện luận theo A và  . Tức là:
- Nếu A=0. Ta có kết luận cụ thể về giao điểm của (C1) và (C2).
- Nếu A  0. Tính 
+   0 : không có giao điểm.
+   0 : Có 1 giao điểm.
+   0 : có hai giao điểm.
 Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng
ax 3  bx 2  cx  d  0 . Đưa phương trình này về dạng:
 x     Ax 2

 Bx  C  0 (Chia Horner, a  0 )
x  
 2
 Ax  Bx  C  0 1

Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm.
Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
 
F x,m  0 (1)
 
1. Biến đổi F x,m  0 về dạng f x  g m .    


2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm
 
số y  f x và đường thẳng y  g m  
3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp.
 
 Chú ý: y  g m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt
trục Oy tại điểm có tung độ bẳng g m  
y

O
x
1
y=g(m)
g(m)
y=f(x)

Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc
 Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị:
Phương trình tiếp tuyến của (C): y  f x tại điểm  
M  xo ; yo    C  là:
y  y0  f '  x0  x  x0 
Trong đó:  
+ M x0 ; y0 gọi là tiếp điểm.
+ k  f '  x  là hệ số góc của tiếp tuyến.
0

 Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:
- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b thì k  a
1
- Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y  ax  b thì k  
a
- Tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục hoành một góc  thì
k  tan 
 
1. Giải phương trình f ' x  k tìm x0 là hoành độ tiếp điểm.
2. Tính y0  f x0 .  



3. Phương trình tiếp tuyến là y  k x  x0  y0 
 
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A x A ; y A 
1. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d). Khi đó phương trình của
 
(d) có dạng y  k x  x A  y A .

 f ' x  k
2. (d) tiếp xúc với (C) thi và chỉ khi hệ  có
 f  x   k  x  x A   yA

nghiệm (hệ có n nghiệm thì có n phương trình tiếp tuyến)
3. Giải hệ tìm được hoành độ tiếp điểm là x0 và hệ số góc k.
4. Thay vào phương trình của (d) ta được tiếp tuyến cần tìm.
 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng (  ): y=ax+b một góc bằng  ( 0    90 ):
1. Gọi  , lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng (  )
với chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi
đó ta có:      suy ra:
tan   tan  k a
tan   tan     tan        (1 )
1  tan  tan  1  ak
2. Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến.
Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:
 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

ax 3  bx 2  cx  d  0   x    Ax 2  Bx  C  0 (chia 
x  
Horner)    
(đặt g x  Ax 2  Bx  C )
 Ax  Bx  C  0 1
2

 Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt
 1  0

khác  . Khi đó 
g     0




Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương y  ax 4  bx 2  c cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:
4 2
t  x 2  0

ax  bx  c  0   2
at  bt  c  0 (1)

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân
  0

biệt. Khi đó  P  0
S  0

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân
biệt lập thành CSC:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:
4 2
t  x 2  0

ax  bx  c  0   2
at  bt  c  0 (1)

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân
  0

biệt. Khi đó  P  0 (*)
S  0

* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC
nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa t2  9t1 (2).
 b
t1  t2   a (3)

Theo định lí Viét 
t .t  c (4)
1 2 a

* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều
kiện (*).
Bài toán 7: Tìm m để d: y  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho AB=l:



* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1)
A  0

* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là  * 
 (1)  0

   
* Gọi A x1 ;m ,B x2 ;m là hai giao điểm của (C) và d; x1 ,x2 là
nghiệm của (1). Ta có:
2  2 '
AB  x 2
 x1  | x1  x2 || x 2  x1 |
|a|

|a|
 l . Từ đó tìm
được m, chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).
choAB có độ dài ngắn nhất:
A  0

* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là  (*)
 (1)  0

   
nghiệm của (1). Ta có
2  2 '
AB  x 2
 x1  | x1  x 2 || x 2  x1 |
|a|

|a|
. Từ đó tìm
điều kiện của m để AB nhỏ nhất, chỉ nhận m thỏa (*).
cho OA  OB với O là gốc tọa độ:
A  0

* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là  (*)
 (1)  0




   
 
 
nghiệm của (1). Ta có OA  OB nên ta có OA.OB  0 . Từ đây tìm
được m, chỉ nhận những m thỏa (*).
Bài toán 10: Tìm m để d: y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt
trên cùng một nhánh của (C):
trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1).

A  0

* Điều kiện ycbt được thỏa là  1  0 với  là nghiệm của mẫu

 A.g     0

số.
Bài toán 11: Tìm m để d: y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt
trên cùng hai nhánh khác nhau của (C)

A  0

* Điều kiện ycbt được thỏa là  1  0 với  là nghiệm của mẫu

 A.g     0

số.
 
Bài toán 12: Tìm những điểm trên (C): y  f x mà tại đó tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y  ax  b .
     
* Gọi M 0 x0 ; y0  C . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M0 là f ' x0 .
Giải phương trình f '  x  .a  1 . Từ đây tìm được x và có được M .
0 0 0

Bài toán 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C): y  f  x  đều không qua
giao điểm hai tiệm cận:



* Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình:
Tieäm caän ñöùng

Tieäm caän xieân (hay TCN)
* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là không có tiếp tuyến. Từ
đó ta có điều phải chứng minh.
 
Bài toán 14: Cho M  C , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C)
tại A, B, gọi I là giao điểm hai tiệm cận. CMR M là trung điểm của
AB. Tính diện tích tam giác IAB:

* Gọi M x0 ; f x 0    C  . Phương trình tiếp tuyến tại M là
y  y0  f '  x  x  x   y  f '  x  x  x   y .
0 0 0 0 0
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.
* Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng
minh.
 
 
* Tính vectơ IA,IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một
hằng số.
Bài toán 15: CMR tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ nhất (hoặc lớn nhất):

* Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I x0 ; y0 là f ' x0 .   
* Gọi hệ số góc của tiếp tuyến bất kì là f '  x  . Ta chứng minh
f '  x   f '  x 0  (trong trường hợp lớn nhất ta làm ngược lại).
Bài toán 16:Tìm những điểm trên đường thẳng  : y  y0 mà từ đó
có thể kẻ được 2, 3 tiếp tuyến đến (C):
   
* Gọi M a; y0   . Viết phương trình d qua M và có hệ số góc k là:
y  y0  k  x  a   y  k  x  a  y 0
.



 f  x   k  x  a   y0

* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C)  (1) .

 f ' x  k
Muốn từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm.
Bài toán 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam
giác có diện tích không đổi:

* Gọi M x0 ; f x 0    C  . Phương trình tiếp tuyến tại M là
y  y0  f '  x  x  x   y  f '  x  x  x   y .
0 0 0 0 0
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.
* Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng
minh.  
 
* Tính vectơ IA,IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một
hằng số.
Bài toán 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên:
Soá dö
* Hàm số viết thành y  Thöông+ (chia đa thức)
Maãu soá
* Do x, y nguyên nên Mẫu số =  ước của Số dư.
Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ:
* Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ
y  f  x 
 y  f  x 

phương trình  hoặc 
y   x
 y  x

Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ:
   
* Gọi A x0 ; y0 ,B  x0 ;  y0 là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa
độ.
* Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương
trình. Giải hệ này ta được tọa độ điểm cần tìm.
Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng
khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:




* Gọi M x0 ; f x 0   C  . Tìm TCĐ, TCN.
* Tính d  d M,TCÑ  d M,TCN  2 d M,TCÑ .d M,TCN   A . Vậy
       

mind=A. Khi đó d M ,TCÑ  d  M ,TCN  . Từ đó tìm được M
   
Bài toán 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d: y  ax  b
1
* Gọi   d . Vậy phương trình  : y   x  m . Tìm tọa độ giao
a
điểm I của d và  
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và  . Biến đổi phương
   
* Gọi A x1 ; y1 ,B x2 ; y2 là hai giao điểm của  và (C). ta có I là
trung điểm AB. Vậy x1  x 2  2 x I . Từ đây tìm được m. Thay vào (1)
tìm A và B.
Bài toán 23: Tìm những điểm trên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox
bằng k lần khoảng cách từ đó đến Oy:

* Gọi M x0 ; f x 0   C  . Tính d  M ,Ox 
 
,d M ,Oy 
 

* Giải phương trình: d M ,OX   k.d M ,Oy 
   

Bài toán 24: CMR đồ thị (C) nhận điểm I x0 ; y0 làm tâm đối xứng:

 
* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với I  x0 ; y0  , hệ trục Oxy thành
 X  x  x0
  x  X  x0

hệ trục IXY. Ta có công thức đổi trục:   (1)
Y  y  y0
  y  Y  y0

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y  F X . Kiểm chứng F X là    
hàm lẻ.
Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng x  x0 làm trục đối
xứng:



 
* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với I x0 ; 0 , hệ trục Oxy thành hệ
 X  x  x0  x  X  x0
trục IXY. Ta có công thức đổi trục:   (1)
Y  y  0 y  Y
* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y  F  X  . Kiểm chứng F  X  là
hàm chẵn.
Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)
x  g m

* Tìm tọa độ điểm M  x; y  theo một tham số 
y  h  m 

* Khử m từ hệ trên ta được phương trình F  x; y   0 .
* Giới hạn: dựa vào điều kiện tồn tại điểm M hay điều kiện khi khử m
để tìm điều kiện của x hoặc y.
Kết luận: tập hợp điểm M là đường (L) có phương trình
 
F x; y  0 thỏa điều kiện ở bước 3.
 
Bài toán 27: Tìm điểm cố định mà họ Cm luôn đi qua:

 
* Biến đổi phương trình y  f x,m về dạng Am  B  0 (hay
2
Am  Bm  C  0 (ẩn m)).
* Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình
A  0
A  0 
 (hay B  0)
B  0 C  0

Bài toán 28: Sự tương giao giữa 2 đồ thị mà trong đó tham số m có
bậc 1 (tức là trong biểu thức không chứa m2, m3)
Giả sử bài toán tìm giao điểm của đường cong qui về tìm nghiệm của
   
phương trình f x  g x (1)
Trong đó (1) không nhẩm được nghiệm và tham số m trong (1)
có dạng bậc nhất (tức là trong (1) không chứa m 2 ,m 3 ,... ), khi đó:



 
* Biến đổi (1) về dạng F x  m (2), ở đây F(x) có thể là hàm phân
thức.
* Lập bảng biến thiên của hàm số y  F x  
* Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suy
ra kết luận đối với (1).
Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài toán tìm m để
nghiệm của phương trình, hệ phương trình,... thỏa điều kiện cho trước
nào đó và một số bài toán khác về tìm m.

Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị:
* Từ đồ thị hàm số y  f  x  C  suy ra đồ thị hàm số y  f  x   C' 
1. Vẽ (C)
2. Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành; lấy đối xứng
của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.
3. Xóa phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành, đồ thị còn lại chính là
(C’)
y

1
x

Đồ thị hàm số y  f  x  (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)
* Từ đồ thị hàm số y  f  x   C  suy ra đồ thị hàm số y  f x 
1. Vẽ (C)



2. Xóa phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy và chừa lại phần đồ thị
nằm bên phải.
3. Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy qua Oy, ta có
được đồ thị (C’).
y

1
x

Đồ thị hàm số y  f x  (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)



HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LÔGARIT

MŨ, LŨY THỪA VÀ LÔGARIT
1. Lũy thừa, căn bậc n:
a) Định nghĩa:
1
* a n  a   a  , n   *
 .......a
.a * a 0  1; a  n 
n thöøa soá
an
b) Tính chất:
Với a, b  *; m, n   ta có:
am
* a m a n  a m n * n
 a m n
a
n
n a an
*  ab   a nb n *   n
b b
n
* am   a mn
* Nếu: 0  a  b thì: a n  b n , n  0
a n  b n , n  0
* Nếu a  1 và m  n thì: a m  a n
* Nếu 0  a  1 và m  n thì: a m  a n
c) Các tính chất của căn bậc n:
Giả sử các biểu thức dưới đây đều có nghĩa. Khi đó:
n
n a na
* a . n b  n ab * n

b b
m  a, khi n leû
*   n
a  n am * n an  
| a |, khi n chaün
n m
* a  mn a
m
* Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: a n  n a m



2. Lôgarit:
a)Định nghĩa: log a b  c  b  a c  0  a  1, b  0 
b) Tính chất:
Cho a,b>0, a  1 . Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định
nghĩa:
* log a 1  0 * log a a  1
* a loga b  b * log a a k  k  k   
c) So sánh logarit:
Cho a,b,c>0, c  1 . Ta có:

*log c a  log c b  a  b
* Neáu c  1 thì: log c a  log c b  a  b
* Neáu 0  c  1 thì: log c a  log c b  a  b
d) Các quy tắc tính logarit:
 Logarit của một tích:
Cho a, x1 , x2  0, a  1. Ta có: log a  x1 x2   log a x1  log a x2
 Logarit của một thương:
x1
Cho a, x1 , x2  0, a  1. Ta có: log a  log a x1  log a x2
x2
 Logarit của một lũy thừa:

Cho a, b  0, a  1 . Ta có: log a b k  k log a b  k   
log c b
Đổi cơ số: log a b 
log c a
1
*log a b   b  1
log b a
1
Đặc biệt: *log a k b  .log a b  k  0 
k
*log a b  log a c.log c b  0  c  1



 Logarit thập phân:
- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân
- log10 a thường được viết là lg a hoặc log a
 Logarit tự nhiên:
- Logarit cơ số e gọi là logarit tự nhiên.  e  2, 71828...
- log e a thường được viết là lna
Bảng đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit:

Hàm cơ bản Hàm hợp
 /  /
1/ x   .x 1 u   .u ' u 1
/ /
1 1 1 u'
2/     2    2
 x x u u
/ 1 / u'
3/  
x 
2 x
 
u 
2 u
/ u /
  e
4/ e x x
 e   u '.e u

x / u /
5/  a   a .ln a x
a   u 'a u
ln a
/ 1 / u'
6/  ln x    ln u  
x u
/ 1 / u'

7/ ln x  
x
 ln u  
u
/ 1 / u'
8/  log a x    log a u  
x ln a u ln a
/ 1 / u'

9/ log a x  
x ln a
 log u 
a 
u ln a



PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:

f x
 a    f x  g x
g x
Với a  0 ,a  1 . Ta có: a
2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
A.a 2 x  B.a x  C  0
A.a3 x  B.a 2 x  C.a x  D  0
.............................................
Đặt a  t  t  0 
x

Dạng 2:
x
A.a 2 x  B  ab   C.b 2 x  0
2x x
a a
A   B   C  0
b b
x
a
Đặt:    t  t  0 
b
Dạng 3: A.a x  B.b x  C  0 với a x .b x  1
1
Đặt: a x  t  t  0  . Khi đó: b x 
t
3. Phương pháp logarit hóa: Với M  0 ,0  a  1. Ta có:
a    M  f  x   loga M
f x

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu:
Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
   
Giả sử y  f x và y  g x là hai hàm số liên tục:
    
Cho y  f x tăng và y  g x giảm. Khi đó phương trình
f  x   g  x  nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.



  
Cho y  f x là hàm tăng (hoặc giảm). Khi đó phương trình
f  x   k nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
 y  a x tăng nếu a  1 và giảm nếu 0  a  1



PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Với 0  a  1 . Ta có:

 f x  gx
loga f  x   loga g  x   
 f  x   0 hoaëc g  x   0


   
Chú ý: loga f x  M  f x  a M (không cần đặt điều kiện của
f(x))
2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
2

Dạng 1: A.loga x  B.loga x  C  0 a  0 ,a  1 
Đặt: loga x  t

Dạng 2: A.loga x  B.logx a  C  0 a  0,a  1 
1
Đặt: loga x  t. Khi đó logx a 
t
 x  0,x  1
3. Phương pháp mũ hóa:
loga f  x   M  f  x   a M
4. Phương pháp dùng tính đơn điệu:
Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
 Với 0  a  1 thì hàm số y  loga x làm hàm giảm
 Với a  1 thì hàm số y  loga x làm hàm tăng



BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT

Khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit thì cần chú ý:
1. Điều cần xác định của bất phương trình.
2. Cơ số của lũy thừa hoặc cơ số của logarit, nếu cơ số lớn hơn 1
thì hàm số đồng biến, cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 thì hàm số
nghịch biến.
f  x
a    f x g x
g x
 a 1: a    
0  a 1: a    a    f x  gx
f x g x

 f  x  g x

 a  1 : loga f  x   loga g  x   
 f  x  0

 f  x  g x

 0  a  1 : loga f  x   loga g  x   
g  x   0

Trong quá trình giải bất phương trình có thể dùng phương pháp đặt
ẩn phụ, logarit hóa hoặc mũ hóa. Nếu có ẩn ở mẫu số thì quy đồng
nhưng không được bỏ mẫu.



NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa:
   
Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng

 a;b  nếu với mọi x thuộc  a;b  , ta có: F'  x   f  x 
2. Định lí:
   
Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng a;b thì:  
 
a) Với mọi hằng số C, F x  C cũng là một nguyên hàm của hàm

 
số f x trên khoảng đó.

 
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng

 a;b  đều có thể viết dưới dạng F  x   C với C là một hằng
số.
Người ta kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x là  
 f  x  dx . Như vậy:
 f  x  dx  F  x   C  F'  x   f  x 
3. Các tính chất của nguyên hàm:
    
* f x dx  F x  C  F' x  f x    
/ /
*   f  x  dx   f  x  và   f  x   dx  f  x   C

*  af  x  dx  a  f  x  dx  a  0 

*   f  x   g  x     f  x  dx   g  x  dx
 



4. Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
thường gặp (dưới đây t  t x )  
* dx  x  C
 * dt  t  C

1
x t 1
 x dx    1  C    1  C    1
 
* *  t dt 
 1
dx dt
*  x  ln x  C  x  0  *   ln t  C  t  0 
t
dx 1 dt 1
*  x2   x  C * 2   C
t t
x x
*  e dx  e  C *  e dt  et  C
t

ax at
* a x dx 
  C  0  a  1 * a t dt 
  C  0  a  1
ln a ln a
*  cos xdx  sin x  C *  costdt  sin t  C

* sin xdx   cos x  C
 * sin tdt   cost  C

dx dt
*  cos 2
 tan x  C *  cos 2
 tan t  C
x t
dx dt
*  sin 2
  cot x  C *  sin 2
  cot t  C
x t
1 1

*   ax  b  dx 
 ax  b 

C *   at  b  dt 
 at  b 

C
a    1 a    1
dx 1 dt 1
*  ax  b  a ln ax  b  C *  at  b  a ln at  b  C
dx 1 dt 1
*   C *   C
 ax  b 
2
a  ax  b   at  b 
2
a  at  b 



1 ax  b 1 at  b
* eax  b dx 
 e C * eat  b dt 
 e C
a a
1 1
*  cos ax  b dx  sin ax  b  C *  cos at  b dt  sin  at  b  C
a a
1 1
*  sin ax  b dx   cos ax  b  C *  sin at  b dt   cos at  b  C
a a
5. Các phương pháp tìm nguyên hàm
 Đổi biến:
    
Nếu f t dt  F t  C và t   x có đạo hàm liên tục thì:

 f   x .'  x  dx  F   x   C
   
Chú ý:
 
- t   x  dt  ' x dx  
- g  t     x   g'  t  dt  '  x  dx
Nguyên hàm từng phần:
   
Nếu hai hàm số u x và v x có đạo hàm liên tục trên một khoảng hay
một đoạn nào đó, thì trên khoảng hay đoạn đó:
 u  x  v'  x  dx  u  x  v  x    u'  x  v  x  dx
Hay:  udv  uv   vdu
Chú ý:
u  f  x 
 du  f '  x  dx

* Đặt:  
dv  g  x  dx v   g  x  dx  G  x   C
 
Ta thường chọn C  0  v  G x  
  
Các dạng cơ bản: Cho P x là một đa thức.



u  P  x 

- Dạng 1:  P  x  sin  ax  b  dx . Đặt: 
dv  sin  ax  b  dx

u  P  x 

- Dạng 2:  P  x  cos  ax  b  dx . Đặt: 
dv  cos  ax  b  dx

u  P  x 

- Dạng 3:  P  x  e ax  b dx . Dặt: 
ax  b
dv  e

u  ln  ax  b 

- Dạng 4:  P  x  ln  ax  b  dx . Đặt: 
dv  P  x  dx

 Dạng 5:  e ax  b
sin  a' x  b'  dx hoặc

e
ax  b
cos  a' x  b'  dx .
Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với u  e ax  b
Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ: ta có thể dùng các phép biến đổi
lượng giác, thêm-bớt,… để đưa nguyên hàm cần tìm về dạng đơn
giản, dễ tìm
Px
 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ dạng .
Qx
- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì chia đa thức
để phân tích thành tổng, hiệu các nguyên hàm đơn giản hơn để tính.
- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) và Q(x)=0 có nghiệm thì
dùng phương pháp hệ số bất định như sau:
Px Px A B
+    . Quy đồng mẫu ở
Qx  ax  b  mx  n  ax  b mx  n
vế cuối cùng, đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B.



Px Px A B C
+     . Quy
Qx  ax  b  mx  n 
2
ax  b mx  n  mx  n 2
đồng mẫu ở vế cuối cùng, đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B,C.
Từ đó biến đổi được bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn để tính.
* Chú ý: Trong quá trình giải toán cần chú ý đến công thức
f  x  g  x f  x g  x
  để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.
hx h x h x



TÍCH PHÂN
b
b
1. Định nghĩa:  f  x  dx  F  x 
a
a
 F b  F a

2. Các tính chất của tích phân:
a
1.  f  x  dx  0
a
b a
2.  f  x  dx   f  x  dx
a b
b b
3.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k   
a a
b b b
4.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
a
 
a a
b c b
5.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
a a c
b
6. f  x   0 trên đoạn  a;b    f  x  dx  0
 
a
b b
7. f  x   g  x  trên đoạn  a;b    f  x  dx   g  x  dx
 
a a

 
8. m  f x  M trên đoạn  a;b 
 
b
 m  b  a    f  x dx  M  b  a 
a
3. Các phương pháp tính tích phân
 Phương pháp tích phân từng phần:



   
Nếu u  u x và v  v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
b
b b
 a;b  thì  udv  uv   vdu
 
a a a
Chú ý: Phương pháp đặt u, dv cũng giống như nguyên hàm từng phần.
 Phương pháp đổi biến loại 1:
b
Tính tích phân có dạng: I  g  x  x dx
      
a
b  b 

 
Đặt:  x  t . Khi đó: I  g   x ' x dx 
        g  t  dt
a  a 

Chú ý:

- t   t  dt  ' x dx  
- g  t     x   g'  t  dt  '  x  dx
 Phương pháp đổi biến loại 2:
b
Tính I   f  x  dx
a

Đặt: x    t  . Với  là hàm số có đạo hàm liên tục tr6n đoạn
 ;  trong đó: a      ,b      .
 
b 

Khi đó: I   f  x  dx   f   t  '  t  dt
a 
 
Các dạng cơ bản (với k>0)
b
  
a) Dạng 1:  1 x 2 dx . Đặt: x  sin t,t    ; 
a  2 2
b
  
Mở rộng:  k 2  x 2 dx . Đặt: x  k sin t,t    ; 
a  2 2



b
dx   
b) Dạng 2:  . Đặt: x  sin t,t    ; 
a 1 x 2  2 2 
b
dx   
Mở rộng:  . Đặt: x  k sin t,t    ; 
k2  x2
a  2 2
b
dx   
c) Dạng 3:  2 . Đặt: x  tan t,t    ; 
a x 1  2 2
Mở rộng:
b
dx   
 x 2 2
. Đặt: x  k tan t,t    ; 
a k  2 2
b
dx   
  2
. Đặt: ax  b  k tan t,t   ; 
a  ax  b   k 2
 2 2
b
f ' x   
  f  x   k dx . Đặt: f  x   k tan t,t    2 ; 2 
a
2 2
 
(Các phương pháp tính tích phân hoàn toàn giống như các
phương pháp tìm nguyên hàm)



ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục
hoành:
Cho hàm số y  f x (C)  
liên tục trên đoạn  a;b  . Diện
 
tích hình phẳng giới hạn bởi (C),
trục hoành và hai đường thẳng
x  a,x  b được tính bởi công
thức:

b
S   f  x  dx
a

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:
Cho hai hàm số y  f x  
 
(C) và y  g x (C’) liên tục trên
đoạn  a;b  . Diện tích hình
 
phẳng giới hạn bởi (C), (C’) và
hai đường thẳng x  a,x  b ,
được tính bởi công thức:
b
S   f  x   g  x  dx
a
Chú ý:
- Trong trường hợp chưa cho cận a,b thì phải giải phương trình
hoành độ giao điểm để tìm cận. Nghiệm nhỏ nhất là cận dưới a,
nghiệm lớn nhất là cận trên b.
- Để tích tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối có 2 cách:



+ Cách 1: Xét dấu biểu thức dưới dấu tích phân để bỏ dấu giá trị
 A, neáu A  0
tuyệt đối theo tính chất A  
 A, neáu A  0
    
Cách 2: Nếu f x không đổi dấu trên a;b (tức là
f  x   0 không có nghiện thuộc  a;b  ) thì ta có
b b

 f  x  dx   f  x dx . Cách thứ 2 này giúp giải toán
a a
nhanh hơn.
3. Tính thể tích vật thể tròn xoay trục Ox:
 
Cho hàm số y  f x (C) liên tục trên đoạn  a;b  . Nếu hình phẳng
 
giới hạn bởi các đường (C), x=a, x=b, trục Ox quay quanh trục Ox thì
thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra được tính theo công thức:
b
V   y 2 dx
a
b

  
Hay: V   f 2 x dx
a
4. Thể tích vật thể tròn xoay trục Oy:
 
Cho hàm số x  g x (C) liên tục trên đoạn  c;d  . Nếu hình phẳng
 
giới hạn bởi các đường (C), y=c, y=d, trục Oy quay quanh trục Oy thì
thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra được tính theo công thức:
d
V   x 2 dy
c
d

  
Hay: V   g 2 y dy
c



SỐ PHỨC
1. Số i: i 2  1
2. Định nghĩa:
- Số phức z là biểu thức có dạng: z  a  bi, a,b   ,i 2  1
 a gọi là phần thực.
 b gọi là phần ảo.
 i gọi là đơn vị ảo.
- Tập hợp số phức kí hiệu là  . Vậy   
3. Số phức bằng nhau:

 a  a'
Cho hai số phức z  a  bi,z'  a'  b' i , z  z'  
 b  b'
4. Biểu diễn hình học của số phức:
 
 Cho số phức z  a  bi , điểm M a;b trong mặt phẳng tọa độ Oxy
gọi là điểm biểu diễn cho số phức z





Giả sử số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M a;b . Độ 
dài của vectơ OM gọi là môđun của số phức z, kí hiệu: z . Vậy:


z  OM  a 2  b 2
5. Số phức liên hợp:
- Số phức z  a  bi gọi là số phức liên hợp của số phức z  a  bi
- Ta có: z  z; z  z
6. Cộng, trừ, nhân hai số phức:



Cho hai số phức z  a  bi; z'  a'  b' i . Ta có;
z  z'   a  a'    b  b'  i
z  z'   a  a'    b  b'  i
z.z'   aa'  bb'    a' b  ba'  i
7. Số phức nghịch đảo, chia hai số phức:
- Số phức nghịch đảo của số phức z  a  bi là một số phức, kí hiệu là:
1 z 1
 z1  2  2 z
z z a  b2
z z.z'
 Chia hai số phức:  (nhân tử và mẫu cho z' )
z' z' 2
8. Phương trình bậc hai hệ số thực trên tập  :
Cho phương trình ax 2  bx  c  0  a  0;a,b,c    . Gọi
  b 2  4ac :
b  
+ Nếu   0 phương trình có hai nghiệm thực: x 
2a
b
+ Nếu   0 phương trình có một nghiệm thực: x  
2a
b 
+ Nếu   0 phương trình có hai nghiệm phức: x    i
2a 2a



THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI
TRÒN XOAY

I. Thể tích khối đa diện:
1. Thể tích khối lập phương cạnh a: V  a3 (đvtt)
2. Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c là V  a.b.c
(đvtt)
3. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B, chiều cao là h là;
V  B.h (đvtt)
1
4. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h là: V  Bh
3
(đvtt)
5. Thể tích khối chóp cụt có diện tích hai đáy là B và B’, chiều cao h
là:
1
V
3
 
B  B'  BB' h (đvtt)
6. Một số tính chất:
 Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ
số đồng dạng
 Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt
lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó:
VS .A' B' C' SA' SB' SC'
 . .
VS .ABC SA SB SC
II. Thể tích khối tròn xoay:
1. Mặt nón tròn xoay:
Cho hình nón N có chiều cao là h, đường sinh l , bán kính đáy R
- Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq  Rl (đvdt)
- Diện tích toàn phần: Stp  Sxq  Sñaùy  Rl  R 2



1 2
- Thể tích khối nón: V  R h (đvtt)
3

2. Mặt trụ tròn xoay:
Cho hình trụ T có chiều cao h và bán kính đáy R.
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2Rh (đvdt)
- Thể tích khối trụ: V  R 2 h (đvtt)
3. Mặt cầu:
- Diện tích mặt cầu (S) bán kính R là: S  4R 2 (đvdt)
4 3
- Thể tích khối cầu (S) bán kính R là: V  R (đvtt)
3



PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ trục tọa độ trong không gian:
z

z

M(x;y;z)

k
y
O y
i j
x
H
x
2. Tọa độ của điểm và của vectơ:

   

 
- M x; y; z  OM  xi  y j  zk
   
- u   x; y; z   u  xi  y j  zk
 
* Tính chất: Cho a   a1 ;a2 ;a3  ; b   b1 ;b2 ;b3 
a1  b1
  
- a  b  a2  b2
a  b
 3 3
 
- a  b   a1  b1 ;a2  b2 ;a3  b3 



- ka   ka1 ;ka2 ;ka3 
3. Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ hai điểm mút:



     
Cho ba điểm A x A ; y A ; zA ,B x B ; yB ; zC ,C xC ; yC ; zC . Khi đó:

 AB   x B  x A ; yB  y A ; zB  zA 
 Chia đoạn thẳng theo tỉ số k: M chia AB theo tỉ số k
 
 MA  k MB
 x A  kxB
xM 
 1 k
 y  kyB
Khi đó:  y M  A
 1 k
 zA  kzB
 zM  1  k

 Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng:
 x A  xB
 xM 
 2
 y  yB
M là trung điểm của đoạn thẳng AB   y M  A
 2
 z z
 zM  A B
 2
 Công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác:
 x A  x B  xC
 xG 
 3
 y  yB  yC
G là trọng tâm tam giác ABC   yG  A
 3
 zA  zB  zC
 zG  3

 Khoảng cách giữa hai điểm:



2 2 2
AB  x B
 x A    yB  y A    zB  zA 
4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
 
  
Cho a  a1 ;a2 ;a3 ; b  b1 ;b2 ;b3 .


- a.b  a1b1  a2 b2  a3b3
2
- a  a12  a2  a3
2 2


- a  a12  a2  a3
2 2

  
- a  b  a.b  0  a1b1  a2 b2  a3b3
5. Góc giữa hai 
 vectơ:
  a.b a1b1  a2 b2  a3b3
 
cos a,b    
a.b a12  a2  a3 b12  b22  b32
2 2

6. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:
a) Định nghĩa:
  a a3 a3 a1 a1 a2 
 a,b    2 ; ; 
  b b3 b3 b1 b1 b2 
 2 
a b
Chú ý:  ad  bc
c d
b) Tính chất:
 
   c  a

- Nếu c   a,b  thì:  
 
c  b

    
- a,b cùng phương   a,b   0
 
     
- a,b,c đồng phẳng   a,b  .c  0
 
     
-  a,b   a . b sin a,b
   
c) Diện tích tam giác:



1  
 
Cho tam giác ABC có diện tích là S. Khi đó: S   AB, AC  (đvdt)
2  
d) Thể tích khối hộp:
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Khi đó:
  

V   AB,AD  .AA' (đvtt)
 
e) Thể tích khối tứ diện:
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Khi đó:
1     
 
V AB, AC .AD (đvtt)
6 


Tom tat li thuyet va phuong phap giai toan 12

Tom tat li thuyet va phuong phap giai toan 12

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (19)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (19)

Ähnlich wie Tom tat li thuyet va phuong phap giai toan 12

Ähnlich wie Tom tat li thuyet va phuong phap giai toan 12 (20)

Tom tat li thuyet va phuong phap giai toan 12