Persamaan Sturm-Liouville mempelajari persamaan diferensial khusus dengan syarat batas tertentu. Persamaan tersebut memiliki solusi berupa fungsi-fungsi ortogonal yang terkait dengan nilai-nilai eigen. Teorema utama menyatakan bahwa nilai-nilai eigen harus positif agar memiliki solusi non-trivial, dan solusi-solusi terkait dengan nilai eigen yang berbeda akan ortogonal.

1. STURM-LIOU
PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE
Nama Sturm dan Liouville merujuk pada matematikawan swiss Jacques
Sturm (1803-1855) dan matematika Perancis Joseph Liouville (1809-1882).
Keduanya mempelajari masalah syarat tertentu dan perilaku solusinya. Ada dua
alasan mengapa Persamaan diferensial perlu diberikan dalam kuliah ini :
1. Fungsi-fungsi ortogonal sebagai solusi persamaan diferensial yang memenuhi
syarat batas Sturm-Viouville.
2. Penyelesaian persamaan differensial parsial menggunakan metode pemisahan
variabel akan memerlukan persamaan diferensial tipe Sturm-Viouville.
Persamaan diferensial Sturm-Viouville mempunyai bentuk
/
67(8)9 / (8); < =>(8) < ?@(8)A9(8) B 0
yang terkait dengan syarat batas :
CD 9(C) < CE 9 / (C) B 0
FD 9(F) < FE 9 / (F) B 0
dengan
a) ? adalah nilai-eigen terkait dengan 9(8)
b) CD , CE , FD , FE adalah bilangan-bilangan real
c) 7, >, @ tiga fungsi yang continously differentiable pada =C, FA.
d) 7(8) H 0 dan @(8) untuk setiap 8 I =C, FA .
Contoh 1
Diberikan masalah syarat batas (? H 0)
9 // (8) < ?9(8) B 0
Dengan syarat batas : 9 / (0) B 0 dan 9(L) B 0
Solusi persamaan 9 // (8) < ?9(8) B 0 adalah
9(8) B MNO@(?8) < P@QR(?8)
Dengan menggunakan syarat batas, maka solusi non-trivial akan diperoleh jika
2R < 1
?B
2

2. untuk R B 0,1,2, … . Jadi nilai-nilai eigennya adalah
2R < 1
?T B
2
untuk R B 0,1,2, … . dan solusi persamaan diferensial di atas yang terkait dengan
nilai eigen ?T adalah
2R < 1
9T $8* B NO@ U V8
2
Selanjuntya, 9T $8* disebut fungsi eigen terkait dengan nilai eigen ?T .
Dari contoh di atas, persamaan diferensial akan mempunyai solusi non-
trivial jika ? H 0, dan tidak mempunyai solusi non-trivial jika ? W 0.
Teorema berikut memberikan pernyataan umum untuk persamaan diferensial tipe
Sturm-Viouville.
Teorema 1
Jika 9 adalah solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville yang terkait
dengan nilai eigen ? maka ? H 0 .
Bukti
Bukti dikerjakan oleh mahasiswa sebagai tugas .
Keortogonal solusi-solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville
diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 2
Jika 9D dan 9E adalah dua solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville
berturut-turut yang terkait dengan nilai eigen ?D dan ?E , maka
Z
Y @$8*9D $8*9E $8*8 B 0
[
asalkan ?D ] ?E .
Bukti
Bukti dikerjakan oleh mahasiswa sebagai tugas .