Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

Método de gauss (versión en galego)

Método de Gauss para Bachillerato LOE (España) Versión en Lengua Gallega.

Curso 2009/2010

  • Loggen Sie sich ein, um Kommentare anzuzeigen.

Método de gauss (versión en galego)

  1. 1. Matemáticas (1º e 2º de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2º Bach // IES Monelos (A Coruña) Método de Gauss - En resumo, utilízase para resolve-las 3 incógnitas (x,y,z) dun sistema de 3 ecuacións. Por Exemplo: x+y+z=0 x+y+z=0 x+y+z=0 Convértese nun sistema escalonado y+z=0 x+y+z=0 z=0 - Iso é exactamente o que é o Método de Gauss, aprender a escalonar este tipo de sistemas para logo, ao ter o valor de Z, resolver a ecuación y+z=0 para obter o valor de Y, e logo, ao ter o valor de Y, resolver a primeira ecuación x+y+z=0, para obter o valor de X. ____________________________________________________________________________________________________________________ - Imos a chamarlle a cada fila (A), (B) e (C), e a cada columna pois iso, columna das X, das Y, das Z… tamén ten nome a columna do resultado, se che interesa infórmate por ahí :) (si, no primeiro ano de universidade olvídanseche moitas cousas…) tamén lle podemos chamar fila 1º, 2º 3º… como máis che guste. - Para comezar, colle papel e boli e comeza a facer probas. Para elimina-las X multiplicamos a fila (B) polo número que leve a X da fila (A) e isto sumámolo ao resultado de multiplica-la fila (A) polo número que leve diante a X da fila (B) (Antes aclarar que A’ (chamada “A prima”) e a fila A orixinal ¡Sempre!... // A’’ (A dobre prima) será o paso seguinte ó estado orixinal da ecuación, e así sucesivamente, A, A’, A’’, A’’’… tantas veces como teñamos que facer pasos ata chegar o sistema escalonado) Exemplo collendo só as X dun sistema, hai que eliminar as X da columna (B) e da C) FILA (A) 2x (A’) = (A) (non cambiámo-la primeira fila, é a que tomamos como referencia) FILA (B) x (B’) = 2(B) + - 1(A) (é dicir, collemos a fila (B) multiplicada por dous e restámoslle a (A) para que 2x-2x=0) FILA (C) 3x (C’) = 2(C) + - 3(A) // que sería 2·3x+-3·2x é dicir: 6x+-6x = 0 Ou sexa, que teríamos as dúas X eliminadas, o seguinte sería eliminar a Y da columna (C) e xa teríamos escalonado o sistema, sendo logo facilmente resolto. - Para eliminar a Y da columna (C) facémo-lo mesmo que coas dous X anteriores, só que agora collendo como referencia a Y da fila (B) (Olvidámonos xa da fila (A)) Exemplo: FILA (A’) 2x +3y (A’’) = (A’) = (A) FILA (B’) y (B’’) = (B’) FILA (C’) 2y (C’’) = 1(C’) + - 2(B’) é dicir: 1·2y + - 2·y = 2y + - 2y = 0 // teríamos xa quitada a Y da fila (C’) Poñer “2x+3y” e logo (A’’)=(A’)=(A) significa que soamente que xa estamos no paso 2, 3… (as comiñas que teña a letra) neste caso (A’’) e igual a (A’) e a (A) por que ao ser a fila A, e esta non cambia, en tódolos pasos valerá o mesmo, Non sendo así na B o una C nas que faremos cambios para escalonar o sistema, polo que (B’’) = (B’) por que nesta fila quitaremos un X, e (C’’) non valerá ningún dos valores anteriores por que lle faremos dous cambios, un pola X o outro pola Y) - Así, o sistema de 3 ecuacións (Filas A, B, e C) con 3 incógnitas (X,Y,Z) estaría convertido nun sistema escalonado, é dicir, saberíamos que a Z da fila (C) sería igual a un número, entón na fila B, que están Y e Z, sustituiríamos a Z polo número que sabemos e despexaríamos Y para saber o seu resultado, agora, sabendo o valor de Y e Z poderemos despexar X na fila A, polo que teremos resolto o exercicio. - Esta forma de facelo é a mais sistemática posible (ou alomenos non hai que pensar moito, só non trabucarse cos signos e pouco máis). Claro que non é preciso que se eliminen sempre as X das filas B e C, nin a Y da C, soamente tes que ter una ecuación con 3 incógnitas, 3 na fila A, dúas na fila B e una xa resolta na fila C, e dicir, en vez de X Y Z na primeira fila, Y Z na segunda, e Z na terceira, podes eliminar Z na segunda fila, e Z e Y na terceira, se tes ganas practícao, pero eu creo que xa con resolvelo ben chega, non nos imos a poñer esquisitos… iso si, sempre a última incógnita ten que estar incluída na segunda fila, por que se na terceira fila tes Z e na segunda X e Y, non poderías resolver o sistema, na segunda tería que estar sempre Z, e dicir, esa incógnita da terceira fila. (Suponse, pero por non dicilo que non sexa) - A todo isto!, non tódolos sistemas de ecuacións teñen solución, ou poden ter varias, na seguinte páxina tes como se poden clasificar os sistemas segundo o tipo de solución que teñan.1
  2. 2. Matemáticas (1º e 2º de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2º Bach // IES Monelos (A Coruña) Clasificación dos sistemas de ecuacións - É moi sinxelo, clasifícanse en: o SCD = Sistema compatible determinado (Unha soa solución para cada incógnita) o SCI = Sistema compatible indeterminado (Varias solucións para o sistema) o SI = Sistema incompatible (Non hai solución) - Hai casos nos que vemos a simple vista que se sumamos unha fila por outra directamente podemos eliminar unha incógnita, neses casos pódese pódese aproveitar como o de a continuación, primeiro o resolverei da maneira que expliquei, logo da outra. EXEMPLO DE SCD x +2y+z = 3 (A’) = (A) x+2y+z = 3 (A’’) = (A’) =(A) x+2y+z = 3 2x-2y+3z = -1 (B’) = 1(B) + - 2(A) -6y+z = -7 (B’’) = (B’) -6y+z = -7 3x-2y+2z = 2 (C’) = 1(C) + - 3(A) -8y-z=-7 (C’’) = -6(C’) + 8(B’) 14z = -14 1) Temos que 14z = -14; logo z = -14/14 = -1 2) Se Z= -1, imos a (B’’) e despexamos: -6y+z = 7 (por que “-6y+z=-7” (fila B) é o mesmo que -6y = -7-z ; cambiase de signo á Z ó trocar de lado) -6y+(-1) = -7; -6y = -6, logo y= -6/-6 = 1 3) Se z = -1 ; y= 1, imos a (A’’) e despexamos: x+2y+z = 3 (por que “x+2y+z = 3” (fila A) é x = 3-2y-z, polo mesmo que expliquei antes) x+2(1) + (-1) = 3 ; x = 2 POLO CAL: X = 2 ; Y = 1 ; Z = -1 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Pódese facer o exercicio directamente sobre o sistema de ecuacións ou transformar o sistema de ecuacións nunha matriz e facelo ahí. x +2y+z = 3 1 2 1 3 x+2y+z = 3 1 2 1 3 2x-2y+3z = -1 2 -2 3 -1 -6y+z=-7 0 -6 1 -7 3x-2y+2z = 2 3 -2 2 2 14z = -14 0 0 12 -14 SEN APLICA-LO MÉTODO DE GAUSS MÉTODO DE GAUSS XA APLICADO OUTRAS MANEIRAS DE FACELO Co sistema de ecuacións anterior podemos facer outros procedementos para resolvelo. como: 1) Vemos como a Y de (A) e a Y de (B), se sumámolas dúas filas, réstanse, polo que queda eliminada a Y de (B) X+2y+z = 3 (A’) = (A) x +2y+z = 3 2x-2y+3z = -1 (B’) (A)+(B) 3x +4z = 2 3x-2y+2z = 2 2) Poderíamos elimina-la Y de (C) da mesma maneira (A’) = (A) x+2y+z = 3 (B’) = (A) + (B) 3x +4z = 2 estas cores verdes é vermellas son unha indicación dunha explicación (C’) = (A) + (C) 4x +3z = 5 que virá a continuación 3) Agora, tendo dous ecuacións con dúas incógnitas, collemos unha para eliminar outra incógnita.2
  3. 3. Matemáticas (1º e 2º de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2º Bach // IES Monelos (A Coruña) 4) Vemos que xa non se poden buscar maneiras simples de eliminar membros, así que seguimos facéndoo da maneira explicada anteriormente. (A’’) = (A’) = (A) x+2y+z = 3 (B’’) = (B’) 3x +4z = 2 (C’’) = 3 (C’) + - 4(B’) -7z = 7 Facémo-lo seguinte nun borrador para que sexa máis sinxelo sumar tódolos compoñentes sen ter erros: 3(4) + - 4(3) = 0 3(3) + - 4(4) = -7 Isto exactamente é está “fórmula”: (C’’) = 3 (C’) + - 4(B’) indicada anteriormente 3(5) + - 4(2) = 7 sendo os números en vermello e verdes os que deixei indicados na páxina anterior, xa que o resultado das operacións feitas na parte de arriba desta mesma páxina é o resultado de facer este borrador. 5) Despexámo-las incógnitas: 7 Z= -7 = -1 2-4z 2-4(-1) X= 3 = 3 = 2 3-x-z 3-2-(-1) Y= 2 = 2 =1 X = 2 ; Y = 1 ; Z = -1 ; SCD (Solucións que xa coñecemos) EXEMPLO DE SCI - Este tipo de sistemas teñen varias solucións (valores) para cada incógnita. Aínda que isto non nos importa para nada, un sistema é SCI cando al dar algún paso do método elimínasenos unha fila enteira, xa non temos os tres escalóns polo que nestes casos decimos que o sistema ten infinitas solucións. Dise isto, pero en realidade, simplemente fáltanos unha fila para poder despexar as 3 incógnitas da fila (A) (o paso final polo que resolveríamos as 3 incógnitas) Exemplo: 3x+2y-2z = 4 (A’) = (A) 3x+2y-2z = 4 (A’’) = (A’) = (A) 3x+2y-2z = 4 4x+y-z = 7 (B’) = 2(B) + - 4(A) -5y+5z = 5 (B’’) = (B’) -5y+5z = 5 X+4y-4z = -2 (C’) = 3(C) + - 1(A) 10y-10z = -10 (C’’) = 2(B’) + (C’) 0y+0z = 0 -> non queda nada na 3ª fila. Pero o resultado 0+0 non é un absurdo, é dicir, 0+0=0 é totalmente certo, polo cal será un Sistema Compatible Indeterminado (no caso de que o resultado fose un absurdo como 5+2=12 o sistema será Incompatible como veremos a continuación. Ó non ter a terceira ecuación con unha soa incógnita, xa non podemos resolver o sistema. O SISTEMA É INCOMPATIBLE EXEMPLO DE SI - Un sistema é incompatible cando ó aplica-lo método chégase a un “Absurdo” como o seguinte: 3x+2y-2z = 4 (A’) = (A) 3x+2y-2z = 4 (A’’) = (A’) = (A) 3x+2y-2z = 4 4x+y-z = 7 (B’) = 3(B) – 4(A) - 5y+5z = 5 (B’’) = (B’) -5y+5z = 5 X+4y-4z = 0 (C’) = 3(C) – (A) 10y-10z = -4 (C’’) = 2(B) + (C) 0y–0z = 6 -> ABSURDO O SISTEMA É INCOMPATIBLE3

×