Método de Gauss para Bachillerato LOE (España) Versión en Lengua Gallega. Curso 2009/2010

1. Matemáticas (1º e 2º de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2º Bach // IES Monelos (A Coruña)
Método de Gauss
- En resumo, utilízase para resolve-las 3 incógnitas (x,y,z) dun sistema de 3 ecuacións. Por Exemplo:
x+y+z=0 x+y+z=0
x+y+z=0 Convértese nun sistema escalonado y+z=0
x+y+z=0 z=0
- Iso é exactamente o que é o Método de Gauss, aprender a escalonar este tipo de sistemas para logo, ao ter o valor de Z,
resolver a ecuación y+z=0 para obter o valor de Y, e logo, ao ter o valor de Y, resolver a primeira ecuación x+y+z=0, para obter
o valor de X.
____________________________________________________________________________________________________________________
- Imos a chamarlle a cada fila (A), (B) e (C), e a cada columna pois iso, columna das X, das Y, das Z… tamén ten nome a columna
do resultado, se che interesa infórmate por ahí :) (si, no primeiro ano de universidade olvídanseche moitas cousas…) tamén
lle podemos chamar fila 1º, 2º 3º… como máis che guste.
- Para comezar, colle papel e boli e comeza a facer probas. Para elimina-las X multiplicamos a fila (B) polo número que leve a X
da fila (A) e isto sumámolo ao resultado de multiplica-la fila (A) polo número que leve diante a X da fila (B)
(Antes aclarar que A’ (chamada “A prima”) e a fila A orixinal ¡Sempre!... // A’’ (A dobre prima) será o paso seguinte ó estado
orixinal da ecuación, e así sucesivamente, A, A’, A’’, A’’’… tantas veces como teñamos que facer pasos ata chegar o sistema
escalonado) Exemplo collendo só as X dun sistema, hai que eliminar as X da columna (B) e da C)
FILA (A) 2x (A’) = (A) (non cambiámo-la primeira fila, é a que tomamos como referencia)
FILA (B) x (B’) = 2(B) + - 1(A) (é dicir, collemos a fila (B) multiplicada por dous e restámoslle a (A) para que 2x-2x=0)
FILA (C) 3x (C’) = 2(C) + - 3(A) // que sería 2·3x+-3·2x é dicir: 6x+-6x = 0
Ou sexa, que teríamos as dúas X eliminadas, o seguinte sería eliminar a Y da columna (C) e xa teríamos escalonado o sistema,
sendo logo facilmente resolto.
- Para eliminar a Y da columna (C) facémo-lo mesmo que coas dous X anteriores, só que agora collendo como referencia a Y da
fila (B) (Olvidámonos xa da fila (A)) Exemplo:
FILA (A’) 2x +3y (A’’) = (A’) = (A)
FILA (B’) y (B’’) = (B’)
FILA (C’) 2y (C’’) = 1(C’) + - 2(B’) é dicir: 1·2y + - 2·y = 2y + - 2y = 0 // teríamos xa quitada a Y da fila (C’)
Poñer “2x+3y” e logo (A’’)=(A’)=(A) significa que soamente que xa estamos no paso 2, 3… (as
comiñas que teña a letra) neste caso (A’’) e igual a (A’) e a (A) por que ao ser a fila A, e esta non
cambia, en tódolos pasos valerá o mesmo, Non sendo así na B o una C nas que faremos cambios para
escalonar o sistema, polo que (B’’) = (B’) por que nesta fila quitaremos un X, e (C’’) non valerá ningún
dos valores anteriores por que lle faremos dous cambios, un pola X o outro pola Y)
- Así, o sistema de 3 ecuacións (Filas A, B, e C) con 3 incógnitas (X,Y,Z) estaría convertido nun sistema escalonado, é dicir,
saberíamos que a Z da fila (C) sería igual a un número, entón na fila B, que están Y e Z, sustituiríamos a Z polo número que
sabemos e despexaríamos Y para saber o seu resultado, agora, sabendo o valor de Y e Z poderemos despexar X na fila A, polo
que teremos resolto o exercicio.
- Esta forma de facelo é a mais sistemática posible (ou alomenos non hai que pensar moito, só non trabucarse cos signos e
pouco máis). Claro que non é preciso que se eliminen sempre as X das filas B e C, nin a Y da C, soamente tes que ter una
ecuación con 3 incógnitas, 3 na fila A, dúas na fila B e una xa resolta na fila C, e dicir, en vez de X Y Z na primeira fila, Y Z na
segunda, e Z na terceira, podes eliminar Z na segunda fila, e Z e Y na terceira, se tes ganas practícao, pero eu creo que xa con
resolvelo ben chega, non nos imos a poñer esquisitos… iso si, sempre a última incógnita ten que estar incluída na segunda
fila, por que se na terceira fila tes Z e na segunda X e Y, non poderías resolver o sistema, na segunda tería que estar sempre Z,
e dicir, esa incógnita da terceira fila. (Suponse, pero por non dicilo que non sexa)
- A todo isto!, non tódolos sistemas de ecuacións teñen solución, ou poden ter varias, na seguinte páxina tes como se poden
clasificar os sistemas segundo o tipo de solución que teñan.
1

2. Matemáticas (1º e 2º de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2º Bach // IES Monelos (A Coruña)
Clasificación dos sistemas de ecuacións
- É moi sinxelo, clasifícanse en:
o SCD = Sistema compatible determinado (Unha soa solución para cada incógnita)
o SCI = Sistema compatible indeterminado (Varias solucións para o sistema)
o SI = Sistema incompatible (Non hai solución)
- Hai casos nos que vemos a simple vista que se sumamos unha fila por outra directamente podemos eliminar unha incógnita,
neses casos pódese pódese aproveitar como o de a continuación, primeiro o resolverei da maneira que expliquei, logo da
outra.
EXEMPLO DE SCD
x +2y+z = 3 (A’) = (A) x+2y+z = 3 (A’’) = (A’) =(A) x+2y+z = 3
2x-2y+3z = -1 (B’) = 1(B) + - 2(A) -6y+z = -7 (B’’) = (B’) -6y+z = -7
3x-2y+2z = 2 (C’) = 1(C) + - 3(A) -8y-z=-7 (C’’) = -6(C’) + 8(B’) 14z = -14
1) Temos que 14z = -14; logo z = -14/14 = -1
2) Se Z= -1, imos a (B’’) e despexamos:
-6y+z = 7 (por que “-6y+z=-7” (fila B) é o mesmo que -6y = -7-z ; cambiase de signo á Z ó trocar de lado)
-6y+(-1) = -7; -6y = -6, logo y= -6/-6 = 1
3) Se z = -1 ; y= 1, imos a (A’’) e despexamos:
x+2y+z = 3 (por que “x+2y+z = 3” (fila A) é x = 3-2y-z, polo mesmo que expliquei antes)
x+2(1) + (-1) = 3 ; x = 2
POLO CAL: X = 2 ; Y = 1 ; Z = -1 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Pódese facer o exercicio directamente sobre o sistema de ecuacións ou transformar
o sistema de ecuacións nunha matriz e facelo ahí.
x +2y+z = 3 1 2 1 3 x+2y+z = 3 1 2 1 3
2x-2y+3z = -1 2 -2 3 -1 -6y+z=-7 0 -6 1 -7
3x-2y+2z = 2 3 -2 2 2 14z = -14 0 0 12 -14
SEN APLICA-LO MÉTODO DE GAUSS MÉTODO DE GAUSS XA APLICADO
OUTRAS MANEIRAS DE FACELO
Co sistema de ecuacións anterior podemos facer outros procedementos para resolvelo. como:
1) Vemos como a Y de (A) e a Y de (B), se sumámolas dúas filas, réstanse, polo que queda eliminada a Y de
(B)
X+2y+z = 3 (A’) = (A) x +2y+z = 3
2x-2y+3z = -1 (B’) (A)+(B) 3x +4z = 2
3x-2y+2z = 2
2) Poderíamos elimina-la Y de (C) da mesma maneira
(A’) = (A) x+2y+z = 3
(B’) = (A) + (B) 3x +4z = 2 estas cores verdes é vermellas son unha indicación dunha explicación
(C’) = (A) + (C) 4x +3z = 5 que virá a continuación
3) Agora, tendo dous ecuacións con dúas incógnitas, collemos unha para eliminar outra incógnita.
2

3. Matemáticas (1º e 2º de Bacharelato LOE - Galicia) Alumnado 2º Bach // IES Monelos (A Coruña)
4) Vemos que xa non se poden buscar maneiras simples de eliminar membros, así que seguimos facéndoo da
maneira explicada anteriormente.
(A’’) = (A’) = (A) x+2y+z = 3
(B’’) = (B’) 3x +4z = 2
(C’’) = 3 (C’) + - 4(B’) -7z = 7
Facémo-lo seguinte nun borrador para que sexa máis sinxelo sumar tódolos compoñentes sen ter erros:
3(4) + - 4(3) = 0
3(3) + - 4(4) = -7 Isto exactamente é está “fórmula”: (C’’) = 3 (C’) + - 4(B’) indicada anteriormente
3(5) + - 4(2) = 7 sendo os números en vermello e verdes os que deixei indicados na páxina anterior,
xa que o resultado das operacións feitas na parte de arriba desta mesma páxina é o resultado de facer
este borrador.
5) Despexámo-las incógnitas:
7
Z= -7 = -1
2-4z 2-4(-1)
X= 3 = 3 = 2
3-x-z 3-2-(-1)
Y= 2 = 2 =1
X = 2 ; Y = 1 ; Z = -1 ; SCD (Solucións que xa coñecemos)
EXEMPLO DE SCI
- Este tipo de sistemas teñen varias solucións (valores) para cada incógnita. Aínda que isto non nos importa para nada, un
sistema é SCI cando al dar algún paso do método elimínasenos unha fila enteira, xa non temos os tres escalóns polo que
nestes casos decimos que o sistema ten infinitas solucións. Dise isto, pero en realidade, simplemente fáltanos unha fila para
poder despexar as 3 incógnitas da fila (A) (o paso final polo que resolveríamos as 3 incógnitas)
Exemplo:
3x+2y-2z = 4 (A’) = (A) 3x+2y-2z = 4 (A’’) = (A’) = (A) 3x+2y-2z = 4
4x+y-z = 7 (B’) = 2(B) + - 4(A) -5y+5z = 5 (B’’) = (B’) -5y+5z = 5
X+4y-4z = -2 (C’) = 3(C) + - 1(A) 10y-10z = -10 (C’’) = 2(B’) + (C’) 0y+0z = 0 -> non queda nada na
3ª fila. Pero o resultado 0+0 non é un absurdo, é dicir, 0+0=0 é totalmente certo, polo cal será un Sistema Compatible
Indeterminado (no caso de que o resultado fose un absurdo como 5+2=12 o sistema será Incompatible como veremos a
continuación.
Ó non ter a terceira ecuación con unha soa incógnita, xa non podemos resolver o sistema.
O SISTEMA É INCOMPATIBLE
EXEMPLO DE SI
- Un sistema é incompatible cando ó aplica-lo método chégase a un “Absurdo” como o seguinte:
3x+2y-2z = 4 (A’) = (A) 3x+2y-2z = 4 (A’’) = (A’) = (A) 3x+2y-2z = 4
4x+y-z = 7 (B’) = 3(B) – 4(A) - 5y+5z = 5 (B’’) = (B’) -5y+5z = 5
X+4y-4z = 0 (C’) = 3(C) – (A) 10y-10z = -4 (C’’) = 2(B) + (C) 0y–0z = 6 -> ABSURDO
O SISTEMA É INCOMPATIBLE
3