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Teorema de Rice

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Aula sobre o teorema de Rice

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Teorema de Rice

  1. 1. Teorema de Rice Yuri Tavares dos Passos
  2. 2. Prévia ● Antes de começar, pesquisem sobre o seguintes problemas: – Le = {Mi| L(Mi) = ∅} – Lne = {Mi| L(Mi) ≠ ∅} E responda se eles são RE, não-RE ou decidíveis.
  3. 3. Propriedade ● Uma propriedade de uma linguagem RE é um conjunto de linguagens RE ● Exemplo: A propriedade de uma linguagem ser CFL é o conjunto de todas as linguagens CFLs.
  4. 4. Propriedade trivial ● Uma propriedade é dita trivial se: – Ela é vazia. – Ela corresponde a um conjunto de linguagens RE. ● Observe que {∅} é diferente de ∅. ● Se P é uma propriedade das linguagens RE, podemos dizer que LP é a linguagem das MTs que aceitam alguma linguagem de P. – LP = {Mi | L(Mi) ∈ P} ● Ou seja, LP possui os códigos de MTs que aceitam alguma linguagem de P.
  5. 5. Teorema de Rice ● Toda propriedade não-trivial das linguagens RE é indecidível. ● Prova: Considere P uma propriedade não-trivial que não possui a linguagem vazia ∅. ● Como ela não possui vazio e não é vazio, deve existir uma linguagem L dentro dela. ● Considere que existe uma máquina ML que aceita esta linguagem.
  6. 6. Prova ● ML possui um código que está em LP. ● Considere também que exista uma MT MP que reconhece a propriedade P. ● Vamos descrever um algoritmo que constrói M', uma MT que aceita a seguinte linguagem: L(M ' )={L M aceita w ∅ M não aceita w
  7. 7. Algoritmo que gera a MT M' x w M Aceitar ML Aceitar Aceitar M'
  8. 8. Prova ● Veja que se M' aceita x, como x ∈ L, então M' é uma MT, cujo código está em LP. ● Chame o algoritmo que gera M' de algorimto A. ● Usando A, podemos criar uma redução de LU para o teste da propriedade P como mostra a figura que segue.
  9. 9. Redução de LU para P M111w A M' MP Aceitar Aceitar Rejeitar Rejeitar
  10. 10. Prova ● Mas, o algoritmo de construção de M' é uma redução de LU a P. ● Sabemos que LU é indecidível, logo P também é. ● Falta tratar o caso em que vazio pertence a P. Mas, sabemos que o teste para linguagem vazio é não-RE.

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