Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
MAKALAH 
KOMPARASI METODE INTERPOLASI POLINOMIAL 
LAGRANGE DAN INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON 
Disusun untuk memenuhi tugas...
BAB I 
PENDAHULUAN 
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak persoalan yang sering dibawa dalam 
penyelesaian Matematika. Namun...
BAB II 
PEMBAHASAN 
A. BENTUK UMUM POLINOM LAGRANGE 
Kita mengingat kembali bentuk umum persamaan polinomial orde n, yaitu...
() = () + 

() , yang juga familiar disebut sebagai polinom 
Lagrange berorde 1. Dengan cara yang sama kita juga dapat men...
() = () = () + 

() + … + ()
Sebagai pengetahuan, penamaan polinomial ini didasarkan pada nama 
penemunya yaitu Joseph Louis Lagrange yang dipublikasik...
() =  + 
( − ) + ( − )( − 
) 
Dalam kasus ini, nilai a0, a1, dan a2 merupakan representasi nilai selisih-terbagi 
dengan n...
() = () + ( − )[
, ] + ( − )( − 
)[, 
, ] + … 
+ ( − )( − 
) … ( − )[, 	
, … , 
, ]
C. KOMPARASI POLINOM LAGRANGE DENGAN POLINOM NEWTON 
Dalam sebuah penelitian mengenai banyak cura hujan dan banyak polusi ...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Interpolasi lagrange dan newton

15.153 Aufrufe

Veröffentlicht am

Penerapan materi Metode Numerik, Matematika.

Veröffentlicht in: Wissenschaft
  • Follow the link, new dating source: ❶❶❶ http://bit.ly/2F7hN3u ❶❶❶
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier
  • Sex in your area is here: ❶❶❶ http://bit.ly/2F7hN3u ❶❶❶
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier

Interpolasi lagrange dan newton

  1. 1. MAKALAH KOMPARASI METODE INTERPOLASI POLINOMIAL LAGRANGE DAN INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu Mata kuliah : Bambang Sumarno Hadi M., M.Kom Oleh : Yuni Embriani Dwi Utami 11305141027 KELAS B PRODI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2013
  2. 2. BAB I PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari, banyak persoalan yang sering dibawa dalam penyelesaian Matematika. Namun, tidak semua persoalan tersebut bisa memperoleh penyelesaian yang akurat. Dari pendangan para rekayasawan, masih banyak penyelesaian kasus Metematika yang dirasa masih terlalu sulit atau masih dalam bentuk yang kurang konkret. Besari, Mohammad Sahari melalui Rinaldi Munir menyatakan, penyelesaian analitik yang sering diberikan oleh kaum Matematika kurang berguna bagi rekayasawan, karena ia harus dapat mentransformasikan solusi Matematika yang sejati ke dalam bentuk berwujud yang biasanya meninggalkan kaidah sejatinya. Salah satu kasus yang sering terjadi adalah saat para rekayasawan dan sejumlah ahli lebih sering bekerja dengan sejumlah data diskret yang diperoleh dari penelitian. Yaitu menentukan nilai di antara titik-titik diskret tersebut tanpa melakukan pengukuran lagi. Salah satu solusinya yaitu dengan menari fungsi yang mencocokkan titik-titik data di dalam tabel. Pendekatan seperti ini dalam metode numerik disebut Pencocokan Kurva. Walaupun fungsi yang diperoleh dari cara ini adalah fungsi hampiran (nilainya hanya mendekati nilai sejatinya) tapi cara ini sangat bermanfaat. Munir, Rinaldi “Pencocokan kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah kurva fungsi.” Salah satu metode dalam pencocokan kurva adalah Interpolasi, dimana interpolasi sendiri biasa dipakai untuk data yang memiliki tingkat ketelitian sangat tinggi. Dalam penyelesaian dengan interpolasi ini, fungsi cocokan yang sering dipakai adalah polinom interpolasi, karena dengan bentuk ini fungsi yang awalnya terlihat rumit menjadi lebih sederhana. Merujuk pada persoalan Interpolasi Polinom, ada banyak jenis polinom yang dipakai, namun pada makalah kali ini akan ditekankan pada pembahasan Polinom Interpolasi Newton dan Polinom Interpolasi Lagrange.
  3. 3. BAB II PEMBAHASAN A. BENTUK UMUM POLINOM LAGRANGE Kita mengingat kembali bentuk umum persamaan polinomial orde n, yaitu: f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + ….. + an.xn Untuk n+1 titik data, hanya terdapat satu polinomial orde n atau kurang yang melalui semua titik. Ilustrasi grafik : Dari bentuk persamaan orde 1, yaitu yang menghubungkan 2 titik, bentuk persamaannya , dan persamaan ini dapat dimanipulasi menjadi Bila kita misalkan a0 = y0 dan () = ( ) ( ) maka bentuk persamaan p1(x) menjadi
  4. 4. () = () + () , yang juga familiar disebut sebagai polinom Lagrange berorde 1. Dengan cara yang sama kita juga dapat menemukan bentuk umum dari polinom Lagrange untuk orde n, yaitu :
  5. 5. () = () = () + () + … + ()
  6. 6. Sebagai pengetahuan, penamaan polinomial ini didasarkan pada nama penemunya yaitu Joseph Louis Lagrange yang dipublikasikan pada tahun 1795. Meskipun sebenarnya pada tahun 1779 Edward Waring sudah membuat sebuah formulasi yang serupa dengan formulasi Lagrange ini. Polinom Lagrange tidak hanya berlaku untuk titik-titik yang berjarak sama, tapi juga untuk titik-titik data yang berjarak tidak sama. B. BENTUK UMUM POLINOM NEWTON Sebuah polinom yang menyaingi Lagrange adalah polinom Newton. Polinom ini sengaja dibuat karena kecenderungan orang-orang yang sulit untuk melakukan komputasi berulang kali. Ide awal polinom Newton tetap sama seperti yang dipakai pada polinom Lagrange. Perbedaannya adalah = pada persamaan polinom biasa orde 1, diubah bentuk menjadi = ( ) () , yang dalam penulisannya dapat ditulis = [ , ]. Untuk polinom dengan orde lebih dari 1 (misal 2) jika dinyatakan dalam bentuk polinom biasa adalah
  7. 7. () = + ( − ) + ( − )( − ) Dalam kasus ini, nilai a0, a1, dan a2 merupakan representasi nilai selisih-terbagi dengan nilai berturut-turut (), [ , ], [, , ] , sehingga bentuk umum polinom Newton dapat dinyatakan dalam bentuk :
  8. 8. () = () + ( − )[ , ] + ( − )( − )[, , ] + … + ( − )( − ) … ( − )[, , … , , ]
  9. 9. C. KOMPARASI POLINOM LAGRANGE DENGAN POLINOM NEWTON Dalam sebuah penelitian mengenai banyak cura hujan dan banyak polusi udara yang hilang terbawa hujan didapat hasil sebagai berikut : Curah hujan dalam satuan 0,01 cm (x) Debu yang Terbawa dalam satuan mikrogram/m3 (y = f(x) ) 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 146 130 121 117 109 102 Akan dipakai metode interpolasi Newton dan Lagrange untuk menaksir debu yang terbawa (polusi yang hilang) pada curah hujan 3,8. Penyelesaian dengan polinom Lagrange Dari data diatas, nilai Lagrange dapat dihitung dengan cara manual ataupun dengan sebuah aplikasi, salah satunya Matlab. Pada penyelesaian kali ini akan langsung menerapkan program Matlab untuk perhitungannya. Berikut adalah script M-file yang dipakai, dengan kode program lag1 clc;clear; syms x; disp('Program Interpolasi Lagrange') disp('============================') disp('by. Yuni Embriani D.U') disp(' ') %menginputkan banyaknya titik b=input('Masukkan banyak titik (gunakan titik untuk angka desimal) = '); %menginputkan masing-masing titik for i=1:b fprintf('x%d',i) bx(i)=input(' = '); fprintf('y%d',i) by(i)=input(' = '); end %menampilkan titik-titik yang sudah diinputkan ke layar disp('Titik-titik yang diketahui adalah sebagai berikut:'); for i=1:b fprintf('(%d,%1.1f)',bx(i),by(i)); end
  10. 10. %inisialisasi fx fx=0; fprintf('nn'); disp('Nilai masing-masing L(x)'); % mulai proses pencarian q(x), qx1, lx, dan px for i=1:b %inisialisasi qx qx=1; %perulangan untuk mencari qx for j=1:b if (i~=j) qx=qx*(x-bx(j)); end end %mencari qx1 dengan substitusi x ke gx qx1=subs(qx,x,bx(i)); %mencari lx lx=qx/qx1; lx1=collect(lx); %menampilkan lx fprintf('L%d(x) = ',i); disp(lx1); %mencari fx fx=fx+by(i)*lx; end %menyederhanakan f menjadi px dan menampilkan ke layar px=collect(fx); fprintf('Bentuk Umum polinom Lagrange nya = '); disp(px); disp('Masukkan nilai yang ingin ditaksir ') c=input('c = '); f=inline(px); disp(['Maka nilai taksirannya adalah ' num2str(f(c))]) Berikut adalah hasil outputnya :
  11. 11. Penyelesaian dengan Polinom Newton Dari tabel yang sudah diketahui di awal, yaitu Curah hujan dalam satuan 0,01 cm (x) Debu yang Terbawa dalam satuan mikrogram/m3 (y = f(x) ) 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 146 130 121 117 109 102 Maka dapat dibuat program Matlabnya sebagai berikut : Script M-File dengan nama program newton disp('Program Interpolasi Newton'); disp('=========================='); disp(' '); n=input('Masukkan jumlah titik = '); x=zeros(1,n); F=zeros(1,n); for i=1:1:n x(1,i)=input(['x(',num2str(i),')= ']); F(1,i)=input(['F(',num2str(i),')= ']); end; disp(' ') z=input('Masukkan nilai yang akan ditaksir = '); eps=input('Epsilon/galat = '); b(1,1)=F(1,1); tic pbagi=b(1,1); factor=1; for i=2:1:n b(1,i)=F(1,i); for j=i-1:-1:1
  12. 12. b(1,j)=(b(1,j+1)-b(1,j))/(x(1,i)-x(1,j)); end; factor=factor*(z-x(1,i-1)); suku=b(1,1)*factor; pbagi=pbagi+suku; if (abs(suku) = eps) break; end; end; interpolasi=pbagi; disp(' '); disp(['Jadi nilai taksirannya adalah ' num2str(interpolasi)]) Berikut tampilan hasilnya :
  13. 13. BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Dari pembahasan tersebut dapat disimpulkan : 1. Jumlah komputasi Polinom Newton lebih sedikit dibanding dengan komputasi pada Polinom Lagrange. 2. Taksiran galat untuk polinom Lagrange tidak dapat dihitung secara langsung karena tidak tersedia rumus taksirannya. DAFTAR PUSTAKA Krisnawati. 2007. IMPLEMENTASI INTERPOLASI LAGRANGE UNTUK PREDIKSI NILAI DATA BERPASANGAN DENGAN MENGGUNAKAN MATLAB. STMIK AMIKOM Yogyakarta. Diakses melalui http://p3m.amikom.ac.id/p3m/55%20- %20IMPLEMENTASI%20INTERPOLASI%20LAGRANGE%20UNTUK%20PR EDIKSI%20NILAI%20DATA%20BERPASANGAN%20DENGAN%20MENGG UNAKAN%20MATLAB.pdf pada 17 Desember 2013 pukul 07:03 WIB. Munir, Rinaldi. 2013. METODE NUMERIK Revisi Ketiga. Bandung : INFORMATIKA.

×