DINÁMICA - CINEMÁTICA DE UN CUERPO RÍGIDO

1. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.65
Hallar la velocidad de A y C, la aceleración absoluta de
A y la aceleración angular de AC. Sí la velocidad angular
de la barra OB es igual a 4 rad/s en el sentido de las
manecillas del reloj y es constante.
SOLUCIÓN:
1. Velocidad del punto B:
B/
0 ( 4 ) ( 3 )m
(4 3 4 ) /
OB O OB
B
B
v v r
rad
v k i j
s
v j i m s
= + ω ×
= + − × − +
= +
2. Aceleración del punto B:
2
B/O B/O B/O( )
0 0 ( 4 )².( 3 )m
(16 3 16 )m/ s²
B O OB OB
B
B
a a r r a
rad
a i j
s
a i j
= + α × − ω +
= + − − − +
= −
i
3. Velocidad del punto A:
/
(4 3 4 ) ( 3 )
(4 3 4 ) ( 3)
(4 ) (4 3 3 )
B AA B BA
A BA
A BA BA
A BA BA
v v r
v j i k i j
v j i j i
v i j
= + ω ×
= + + ω × − −
= + + −ω + ω
= + ω + − ω
4

2. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
Se observa que el punto A está restringido a moverse solamente en la
dirección “x”. Por lo tanto:
4 3 3 0 : 4
tanto : 8
BABA
A
rad
Luego k
s
m
Por lo v i
s
− ω = ω =
=
4. Aceleración del punto A:
2
/ / /( )
(16 3 16 ) ( 3 ) (4)²( 3 ) 0
(16 3 16 ) 3 (16 3 16 )
(32 3 ) ( 3 )
A B A BA B BA BA A B
A BA
A BA BA
A BA BA
a a r r a
a i j k i j i j
a i j j i i j
a i j
= + α × − ω +
= − + α × − − − − − +
= − − α + α + +
= + α + − α
i
Se observa que el punto A está restringido a moverse solamente en la
dirección “x”. Por lo tanto:
;
3 0 0
²
: : 0
²
BA BA
BA AC AC
rad
k
s
rad
pero entonces k
s
− α = → α =
α = α α =
: 32 3
²
A
m
Finalmente a i
s
=
5. Velocidad del punto C:
/C
(4 3 4 ) 4 ( 3 )
(4 3 4 ) 4 3 4
8 3
BC B BC
C
C
C
v v r
v j i k i j
v j i j i
m
v j
s
= + ω ×
= + + × +
= + + −
=
…RESPUESTA
…RESPUESTA
…RESPUESTA
…RESPUESTA
5

3. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.67
El sistema que se muestra está articulado en A. Las barras
AB y BC son de 45 y 60 cm respectivamente. Hallar la
aceleración del punto B y la velocidad angular de AB
para el instante que se muestra. El bloque C tiene una
velocidad de 90cm/s hacia la derecha y una aceleración
de 1.2 m/s² hacia la izquierda en este instante.
SOLUCIÓN:
1. Velocidad del punto B:
/C
0.9 ( 0.30 0.30 3 )
0.9 ( 0.30 0.30 3 )
BB C CB
B CB
B CB
v v r
v i k i j
v i j i
= + ω ×
= + ω × − +
= + − ω −
2. Aceleración del punto B:
2
B/C B/C
2
( )
1.2 ( 0.30 0.30 3 ) ( ) ( 0.30 0.30 3 )
1.2 0.30 0.30 3 0.30 ² 0.30 3 ²
B C CB CB
B CB CB
B CB CB CB CB
a a r r
a i k i j i j
a i j i i j
= + α × − ω
= − + α × − + − ω − +
= − − α −α + ω − ω
i
3. Velocidad del punto A:
/
(4 3 4 ) ( 0.225 3 0.225 )
(0.9 0.3 3 0.225 ) ( 0.3 0.225 3 )
B AA B BA
A BA
A CB BA CB BA
v v r
v j i k i j
v i j
= + ω ×
= + + ω × − −
= − ω + ω + − ω − ω
Se observa que el punto A no tiene desplazamiento, por esto las
componentes cartesianas de su velocidad son cero, entonces:
1.3
0.3 3 0.225 0.9
0.3 0.225 3 0 1
CB
CB BA
CB BA
BA
rad
k
s
rad
k
s

ω = ω − ω = 
 
ω + ω =  ω = −

6

4. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
4. Aceleración del punto A:
2
/ / /( )
[ 1.2 0.30 0.30 3 0.30 ² 0.30 3 ² ]
( 0.225 3 0.225 ) ( 1)²( 0.225 3 0.225 )
( 1.2 0.3 3 0.3 ² 0.225 0.225 3)
( 0.3 0.
A B A BA B BA BA A B
A CB CB CB CB
BA
A CB CB BA
CB
a a r r a
a i j i i j
k i j i j
a i
= + α × − ω +
= − − α − α + ω − ω
+ α × − − − − − −
= − − α + ω + α +
+ − α −
i
3 3 ² 0.225 3 0.225)CB BA jω − α +
Se observa que el punto A no tiene desplazamiento, por esto las
componentes cartesianas de su aceleración son cero, entonces:
0.98
0.3 3 0.225 0.303 ²
0.3 0.225 3 0.653 0.92
²
CB
CB BA
CB BA
BA
rad
k
s
rad
k
s

α = − − α + α = 
 
− α − α =  α = −

Reemplazando este último resultado en lo obtenido en el ítem 2:
1.2 0.30( 0.98) 0.30 3( 0.98) 0.30(1.3)²
0.30 3(1.3)²
[ 0.148 0.584 ]
²
B
B
a i j i i
j
m
a i j
s
= − − − − − +
−
= − − …RESPUESTA
7

5. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.69
Los dos discos A y B se mantienen en contacto en el
punto E debido al brazo OC, tiene una velocidad angular
constante, en el sentido de las manecillas del reloj, de 2
rad/s. Hallar la aceleración del punto D que está en la
parte inferior del disco B, en la posición que se muestra.
SOLUCIÓN:
1. Velocidad del punto C:
C/O
0 ( 2) ( 0.9)
1.8
C O OC
c
c
v v r
v k j
m
v j
s
= + ω ×
= + − × −
=
2. La velocidad del punto E es cero; por lo tanto:
C/
0 ( )
(4 3 4 ) 4 3 4
1.8
EC E EC
C
C
C
v v r
v k r i
v j i j i
m
v j
s
= + ω ×
= −ω × −
= + + −
=
3. También se puede plantear que:
; : 1.8 , 0.3 ;
: 6
C
m
v r j entonces r r m
s
rad
Luego
s
= ω ω = =
ω =
4. Aceleración del punto D:
2 2
/ B/O( ) ( )
(6)²( 0.3) (2)²( 0.9)
3.6 10.8
D ED DC AO
D
D
a r r
a j i
a i j
= − ω − ω
= − − − −
= +
i i
…RESPUESTA
8

6. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.71
El rodillo en C se mueve en una guía práctica. El eslabón
AB tiene una velocidad angular, en el sentido de las
manecillas del reloj, de 1 rad/s, y una aceleración gulag
de igual sentido de 1.2 rad/s². Hallar la aceleración del
rodillo.
SOLUCIÓN:
…RESPUESTA
1. Velocidad del punto B:
/A
0 (1.5 )
1.5
BB A AB
B
B
v v r
v k j
v i
= + ω ×
= − ×
=
2. Aceleración del punto B:
2
B/A B/A
2
( )
0 1.2 (1.5 ) (1) (1.5 )
1.8 1.5
B A AB AB
B
B
a a r r
a k j j
a i j
= + α × − ω
= − × −
= −
i
3. Velocidad del punto C:
/
1.5 (3.6 1.5 )
1.5 3.6 1.5
C BC B BC
C BC
C BC BC
v v r
v i k i j
v i j i
= + ω ×
= + ω × −
= + ω + ω
Se observa de la figura que la componente ‘i’ de la velocidad del punto
D, es nula, entonces:
1Bc
rad
k
s
ω = − ; Por lo tanto: ( 3.6 ) /cv j m s= −
9

7. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
4. Aceleración del punto C:
2
/B /( )
1.8 1.5 (3.6 1.5 ) (1)²(3.6 1.5 )
(1.8 1.5 3.6) 3.6
C C BC B BC BC
C BC
C BC BC
a a r r
a i j k i j i j
a i j
= + α × − ω
= − + α × − − −
= + α − + α
i
Se observa de la figura que la componente ‘i’ de la aceleración del
punto D, es nula, entonces:
1.8 1.5 3.6 0BC+ α − = ; Por lo tanto: 1.2
²
BC
rad
k
s
α =
Luego la aceleración del punto C es:
3.6*(1.2 )
²
4.32
²
C
C
rad
a j
s
m
a j
s
=
= …RESPUESTA
10

8. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.73
En el sistema de eslabones que se muestra, la barra AB
tiene una velocidad angular en el sentido de las
manecillas del reloj. Determinar la velocidad angular de
la barra DC. Las longitudes de los miembros son l, m, n.
SOLUCIÓN:
…RESPUESTA
1. Velocidad del punto B:
/A
0 ( )
BB A AB
B
B
v v r
v k n j
v ni
= + ω ×
= −ω ×
= ω
2. Velocidad del punto C:
/
( )
C BC B BC
C BC
C BC
v v r
v ni k mi
v ni m j
= + ω ×
= ω + ω × −
= ω − ω
3. Velocidad del punto D:
/
( )
2 2
( )
2 2
2 2
2 2
D CD C CD
D BC
D BC CD
D BC CD CD
v v r
v ni k mi
v ni m j k li l j
v ni m j l j li
= + ω ×
= ω + ω × −
= ω − ω + ω × − +
= ω − ω − ω − ω
4. Dado que el punto D no tiene desplazamiento, entonces:
2
0
2
22
0
2
BC
CD
CD
BC CD
n
kn l
m
n
km l
l
 ω
ω = −ω − ω =  
 
ω ω =ω + ω = 
…RESPUESTA
11

9. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.77
El sistema cuadrado de eslabones que se muestra opera a
los dos émbolos E y F y el sistema tiene una velocidad
angular de 10 rad/s en el sentido de las manecillas del
reloj. Determina la velocidad de D, E y F.
SOLUCIÓN:
1. La velocidad del punto D es:
( 10) (0.2 2)
2.82
D
D
v k j
m
v i
s
= − ×
=
2. De la misma manera para el punto F:
2.82F
m
v j
s
= −
3. En la posición mostrada los puntos D y E tienen la misma magnitud de
velocidad, entonces:
2.82D E
m
v v i
s
= = …RESPUESTA
12

10. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.79
Un cable está enrollado en el cubo interior de una rueda
y sentida hacia la derecha con una velocidad constante de
0.5 m/s. Sí la rueda no desliza, determina la velocidad y
aceleración del punto A. ¿Hacia dónde rodará a la rueda?.
Explique por qué.
SOLUCIÓN:
1. Velocidad del punto O:
/
1
1
0.5
0.5 ( )
0.5 0.5
1
O CO C CO
B
B
B
v v r
v i k r j
r
v i i
m
v i
s
= + ω ×
= + ×
= +
=
2. Velocidad del punto A:
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2
2 1
0.5 ( 2 )
( )
0.5
( )
0.5
( )
A
A
A
k r r
v i j
r r
r r r r
v i
r r
r m
v i
r r s
− − +
= +
−
− − +
=
−
=
−
3. Aceleración del punto A:
/
2
2 1
2
2
2 1
²
0.5
( )² r ; :
²
0.25r
r
( )² ²
A OA
A
A
a r
m
a j entonces
r r s
m
a j
r r s
= −ω ×
−
=
−
−
=
−
i
i …RESPUESTA
…RESPUESTA
13

11. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.85
La velocidad angular del eslabón AB es de 2 rad/s en el
sentido de las manecillas del reloj y está aumentando a
razón de 4 rad/s². Determinado la velocidad angular de
CD y la aceleración angular de BC. Sugestión: Primero
resolver el problema de la velocidad empleando el
método del centro instantáneo.
SOLUCIÓN:
1. Velocidad del punto B:
/A
0 ( 2) ( 0.9 )
1.8
BB A AB
B
B
v v r
v k j
v i
= + ω ×
= + − × −
= −
2. Aceleración del punto B:
2
/ / /( )
0 ( 4) ( 0.9) (2)²( 0.9) 0
3.6 3.6
A B A BA B BA BA A B
A
A
a a r r a
a k j j
a i j
= + α × − ω +
= + − × − − − +
= − +
i
3. Velocidad del punto C:
/
1.8 ( 1.2 0.9 )
1.8 1.2 0.9
( 1.8 0.9 ) 1.2
C BC B BC
C BC
C BC BC
C BC BC
v v r
v i k i j
v i j i
v i j
= + ω ×
= − + ω × − +
= − − ω − ω
= − − ω − ω
4. Aceleración del punto C:
2
/B /( )
3.6 3.6 ( 1.2 0.9 ) ( )²( 1.2 0.9 )
( 3.6 0.9 1.2 ²) (3.6 1.2 0.9 ²)
C C BC B BC BC
C BC BC
C BC BC BC BC
a a r r
a i j k i j i j
a i j
= + α × − ω
= − + + α × − + − ω − +
= − − α + ω + − α − ω
i
16

12. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
5. Velocidad del punto D:
/
[( 1.8 0.9 ) 1.2 ] ( 0.6 0.45 )
( 1.8 0.9 0.45 ) ( 1.2 0.6 )
D CD C CD
D BC BC CD
D BC CD BC CD
v v r
v i j k i j
v i j
= + ω ×
= − − ω − ω + ω × − −
= − − ω + ω + − ω − ω
6. Dado que el punto D no tiene desplazamiento, entonces:
1
0.9 0.45 1.8
1.2 0.6 0
2
BC
BC CD
BC CD
CD
rad
k
s
rad
k
s

ω = −− ω + ω = 
 
ω + ω =  ω =

7. Aceleración del punto D:
2
/ /
2
( )
( 3.6 0.9 1.2 ²) (3.6 1.2 0.9 ²)
( 0.6 0.45 ) (2) ( 0.6 0.45 )
( 3.6 0.9 1.2( 1)² 0.45 2.4)
(3.6 1.2 0.9( 1)² 0.6 1.8)
D C D CD D CD CD
D BC BC BC BC
CD
D BC CD
BC CD
a a r r
a i j
k i j i j
a i
j
= + α × − ω
= − − α + ω + − α − ω
+ α × − + − − +
= − − α + − + α +
+ − α − − − α +
i
8. Dado que el punto D no tiene desplazamiento, entonces:
1.875
0.9 0.45 1.8
1.2 0.6 4.5
3.750
BC
BC CD
BC CD
CD
rad
k
s
l rad
k
s

α =− α + α = 
 
α + α = α =

…RESPUESTA
…RESPUESTA
17

13. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.89
La rueda de 1.20 metros de diámetro gira alrededor del
eje fijo A a una velocidad angular, en el sentido de las
manecillas del reloj, de 20 radianes por segundo que está
decreciendo razón de 5 rad/s². En la posición que se
muestra DC es horizontal y BC es vertical. Determinar
las velocidades angulares absolutas de estos dos
eslabones cuando se halla en esa posición.
SOLUCIÓN:
1. Velocidad del punto B:
/A
0 ( 20) (0.3 2 0.3 2 )
6 2 6 2
BB A AB
B
B
v v r
v k i j
v j i
= + ω ×
= + − × +
= − +
2. Velocidad del punto C:
C/A
6 2 6 2 ( ) (1.5 )
(6 2 1.5 ) 6 2
C B BC
C BC
C BC
v v r
v j i k j
v i j
= + ω ×
= − + + ω ×
= − ω −
3. Velocidad del punto D:
/
[(6 2 1.5 ) 6 2 ] ( ) (1.5 )
(6 2 1.5 ) (1.56 2)
D CD C CD
D BC CD
D BC CD
v v r
v i j k i
v i j
= + ω ×
= − ω − + ω ×
= − ω + ω −
Pero el punto D no tiene desplazamiento, entonces, planteamos que las
componentes cartesianas de su velocidad son cero, entonces:
5.657
6 2 1.5 0.9
1.56 2 0 5.657
BC
BC
CD
CD
rad
k
s
rad
k
s

ω = − ω = 
 
ω − =  ω =

…RESPUESTA
…RESPUESTA
19

14. CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA D I N Á M I C A
EJERCICIO 2.91
La placa rectangular es " móvil", y según se muestra, sus
extremos están en contacto con el suelo y el plano
inclinado. Sí la aceleración de A es 7.5 m/s² hacia la
derecha y la velocidad angular del lado CD es cero,
determina la aceleración angular del lado AB.
SOLUCIÓN:
1. Por la geometría de la placa podemos afirmar que:
|AO| = |OB|
2. Velocidad del punto B:
/
0 ( 1.5 1.5 );además :
B AB A AB
B A CD AB
B A
v v r
v v k i j
v v
= + ω ×
= + × − + ω = ω
=
3. Aceleración del punto B:
2
B/A B/A B/A( )
7.5 ( ) ( 1.5 1.5 ) 0
B A AB AB
B AB
a a r r a
a i k i j
= + α × − ω +
= + α × − + −
i
4. La velocidad del punto B, se puede descomponer en sus componentes
cartesianas, y con esto la expresión anterior se puede escribir así:
0.5 0.5 3 7.5 ( ) ( 1.5 1.5 )
0.5 0.5 3 (7.5 1.5 ) 1.5 3
B AB
B AB AB
a i j i k i j
a i j i j
− = + α × − +
− = − α − α
Desarrollando, obtenemos:
7.5 ( 60 )0.5 1.5 7.5
0.5 3 1.5 3 0
2.5
²
B
B AB
B AB
AB
m
aa s
rada
k
s

= °+ α = 
 
− α =  α =

ց
…RESPUESTA
20