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Tópicos de cálculo vol. ii v by priale

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libro para ingenieria

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Tópicos de cálculo vol. ii v by priale

  1. 1. n M O L f l f m i l VOLUMEN 2 'i ¡ i i y T wEwRwC.FrEeeRLAib roEsD.coICmIÓN
  2. 2. TOPICOS DE CALCULO VOL. II - INTEGRAL INDEFINIDA - INTEGRAL DEFINIDA • INTEGRALES IMPROPIAS - APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - COORDENADAS POLARES - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL - SUPERFICIES MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA www.FreeLibros.com
  3. 3. TOPICOS DE CALCULO VOL. II TERCERA EDICION MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios gráficos, sin permiso de los autores. Número de Inscripción en le Registro Nacional de Derechos de Autor N° 160 Impreso en los Talleres Gráficos de: Editorial THALES S.R.L. TERCERA EDICION Mayo del 2009 www.FreeLibros.com
  4. 4. PRÓLOGO E n esta se g u n d a e d ició n de T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. II, n o s h e m o s e sfo rza d o por presentar el cá lc u lo integral para fu ncio n e s reales de una va ria b le real y la geom etría an alítica en el espacio, en fo rm a tal que resulte de m á x im o p ro v e c h o a los estudiantes c u y o ca m p o de e sp e cia liza ción n o sea estrictam ente las m atemáticas. L a orientación p rin cipal del libro es ha cia a p lic a c io n e s en d iv e rsa s áreas de la ciencia, lo cual am p lía la utilidad del texto. A u n q u e en esta e d ició n la estructura b ásica general no se ha cam bia do , se ha realizado una gran cantidad de revisiones. H e m o s reestructurado casi la totalidad del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho u na gran cantidad de m o d ific a c io n e s a lo largo de todo el libro, lo s cuales con siste n en ejem p los a d icio n ale s d e sa rrolla d os y re d acción de procedim ientos. E l conjunto de ejercicios prop u e stos se ha m od ifica d o , co n la a d ició n de n u e vo s ejercicios. E l L ib r o se d iv id e en siete capítulos. E n los p rim e ro s cuatro ca p ítulo s se hace una presentación de la integral indefinida, integral definida, integral im p ro pia, y sus a plicaciones. H e m o s visto p o r co n ve n ie n c ia desarrollar p rim e ro la integral inde finid a con la fin a lid ad de fam iliarizar al estudiante con las técnicas y/o artificios de integración que luego se usan en los ca p ítu lo s siguientes. E l capítulo cin co trata sobre las co orde n a da s polares y su s a plicaciones. E n los cap ítulos sigu iente s (del sexto al séptim o), se inicia con una in trod u cción breve de vectores en el e spa cio trid im e n sio n a l y se continua con recta, plano, su p e rficie s y se co n clu y e con las co ord e n a d a s cilin d rica s y esféricas. N u e stro p ro p ó sito es que esta edició n no lenga errores, pero es casi un a x io m a que todo libro de M a te m á tica lo s presente; p or tal m o tiv o co n sid e ra m o s que este texto n o sea la excep ción, a pesar del esm ero y la d e d ica ción puesta para detectarlos y co rre girlo s antes de su im presión. E n tal sentido, los autores co m p a rtim o s la re sp o n sab ilid a d de lo s m ism o s, aclarando que d ic h o s errores han sid o co m e tid os solam ente p or un o de lo s autores. Q u e re m o s expresar nuestro agrad e cim ie n to a los p rofesores y a lu m n o s de todo el p aís p o r la a co gid a b rin d a d a a la edició n anterior y espe ram os que esta n u e va e d ició n tenga la m ism a preferencia. L o s A u to re s www.FreeLibros.com
  5. 5. I N D I C E C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A A n tid e riv a d a e integración in d e fin id a .......................................... 1 P rop ie da d es de la integral in d e fin id a ..................................... 4 Integrales in m e d ia ta s........................................................... 5 M é t o d o s de in te grac ió n ........................................................ 10 In te gració n p or su stitu ció n o ca m b io de va ria b le ............. 11 In te gració n p or p a r t e s .................................... 20 T é c n ic a s de in te gra c ió n ........................................................ 29 Integrales de a lgu n a s fu n c io n e s trigonom étricas e h ip e rb ó lic a s 32 in te gra le s de la fo rm a / sen™* c o s - x d x y f s , n ^ x co sk’ x dx 32 Inte gració n p or su stitu ció n trig o n o m é t ric a ................................ 4 5 M é to d o de integración p o r d e sc o m p o sic ió n en fra ccion e s p arciales 56 Inte gració n de a lgu n a s fu n c io n e s irra cio n ale s........... .............. 68 C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A S u m a to ria s............................................................................ 95 C á lc u lo del área de una re gió n plana por s u m a to ria s .............. 104 S u m a su p e rio r y su m a in f e r i o r ............................................ 112 Integrales inferiores y s u p e r io r e s .......................................... 115 Integral de R ie m a n n .............................................................. 116 P rop ie dad es de la integral d e fin id a ....................................... 120 T e o re m a s fundam entales del cá lc u lo in t e g r a l........................ 121 C a m b ia de variab le en una integral d e f in id a ........................ 130 In te gració n p or partes en una integral d e f in id a ...................... 134 C á lc u lo a p ro x im ad o de las integrales d e fin id a s................... 144 C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S Integrales im p ro p ia s co n lím ite s in fin ito s.............................. 149 Integrales im p ro p ia s co n lím ite s f i n i t o s ............................... 152 Integrales im p ro p ia s co n integrando no n e g a tiv o ............. . 161 C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A Á r e a de re gio n e s p l a n a s ....................... ....... ........................... 167 www.FreeLibros.com
  6. 6. V o lu m e n de un só lid o en fu n ció n de las áreas de las secciones p la n a s ...... 181 V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n ..................................... 185 M é to d o del d is c o circu la r y del a n illo circ u la r...................... 185 M é to d o de la corteza c ilin d rica .............................. ............... 191 L o n g itu d de a r c o .................................................................. 201 Á re a de una supe rficie de r e v o lu c ió n ................................... 2 0 8 M o m e n t o s y centros de m asa (ó centros de g r a v e d a d ) ........... 2 1 4 A p lic a c io n e s de la integral en los n e g o c io s ............. ............... 2 2 9 C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S Siste m a de co orde n a da s p o la r e s ..................................... ........ 2 3 7 R e la ció n entre las co orde n a da s p olares y las re c ta n g u la re s....... 2 3 9 D ista n c ia entre d o s p u ntos en coordenadas p o la r e s ................... 2 4 0 E c u a c ió n p olar de una r e c t a .............................. ..................... 241 E c u a c ió n polar de una c irc u n fe re n c ia ....................................... 243 D isc u sió n y gráfica de una ecuación p o l a r ................................ 2 4 4 Intersección de c u rv a s en coordenadas p o la r e s ........................... 2 4 8 D e riv a d a s y rectas tangentes en coorde nadas p o la r e s .............. 251 Á n g u lo entre d o s c u rva s en coorde n adas p o la r e s ...................... 2 5 4 Á r e a de re gio n e s en co orde n a da s p o la r e s ........................ ....... 2 6 2 L o n g itu d de arco en coorde n adas p o la r e s ................................. 2 6 6 V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n en co orde n adas polares.... 2 6 8 C A P I T U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C I O T R I D I M E N S I O N A L V e cto re s en el e sp a cio t r id im e n s io n a l...................... ................. 273 Re p re sen tación ge om é trica de un vector en i 3 ....... .................. 2 7 4 V e cto re s paralelos en R 3 .......................................................... 2 7 6 M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ...................................... 2 7 7 Á n g u lo entre d o s v e c t o r e s ......................................................... 2 78 Ve ctore s orto go n ales o p erpe n d icu lare s..................................... 2 7 9 • P roducto v e c t o r ia l............. ....................................................... 283 A p lic a c io n e s del p rod ucto v e c t o r ia l............................................ 2 8 5 A p lic a c ió n del triple prod ucto e s c a la r ........................................ 2 8 7 Recta en el e s p a c io .............................. ..................................... 2 9 5 R e la c ió n entre lo s c o se n o s directores de una recta....................... 2 9 6 www.FreeLibros.com
  7. 7. E c u a c io n e s de un p la n o en el e s p a c io ......................................... 3 0 6 Á n g u lo entre d o s p l a n o s ............................................................. 3 1 9 P ro y e cc ió n ortogonal de una recta sobre un p l a n o ...................... 3 2 0 C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S E s f e r a .................................................................................... 3 4 2 D is c u s ió n y gráfica de la ecuación de una s u p e r f ic ie ................. 3 4 7 C i l i n d r o s ................................................................................. 3 5 2 Su p e rficie de r e v o lu c ió n ......................................................... 3 5 6 Su p e rficie s c u a d rá tic a s ............................................................. 361 C o o rd e n a d a s cilin d rica s y coordenadas e s fé ric a s ........................ 3 6 9 C o o rd e n a d a s e sfé ric a s............................................................... 371 A p li c a c i o n e s .............................................................................. 373 www.FreeLibros.com
  8. 8. ( r ' ........ ....1............................ ^ INTEGRAL INDEFINIDA ^ ...... .....— ^ 1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A E n el lib ro de T ó p ic o s de C á lc u lo V o lu m e n 1, se trató p rincipalm ente el p ro b le m a b ásico siguiente: “ D a d a u n a fu n c ió n encontrar su d e riv a d a ” . S in em b argo, existen m uc h a s a p lic a c io n e s del c á lc u lo que están re lacio n ad as con el p rob lem a inverso, el cual es: “ D a d a una fu n c ió n / , d efinid a en un intervalo /, encontrar una fu n c ió n F cu y a d e riv a d a sea la fu n c ió n / , es decir, F '( x ) = / ( x ) , V x G /. D e f in ic ió n 1. Se a / un intervalo y / : / -> M una función. U n a fu n c ió n F: / —» M tal que F ' ( x ) = / ( x ) , V x G /, se d en om ina p rim itiv a o antiderivada de / en / y se escribe F ( x ) = A n t ( / ( x ) ) , V x G / E je m p lo 1. S e a / ( x ) = 4 x 3 , x G R y g ( x ) = e x , x G B . L a s fu n c io n e s F( x) = x 4 y G ( x ) = e x, x G K , son respectivam ente a n tid erivadas de / y g en E , es decir, F' (x) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R G '( x ) = ( e xy = e * , V x G l T a m b ié n son a ntid erivadas de / ( x ) = 4 x 3 las fu n cio ne s 1007T F1(x ) = x 4 + 2, F2{x) = x 4 + ln7i y F 3( x ) = x 4 + - pues su s d erivadas so n igu a le s a / ( x ) = 4 x 3 A n á lo gam e n te , otras a ntid eriva d a s de g ( x ) = e x son, por ejemplo, V3 G iC x ) = e x - 1, G2( x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + — y C 4( x ) = e x + k don d e k es cu alq u ier constante real. www.FreeLibros.com
  9. 9. T O I% ()S DE C Á L C U L O - VOLUMEN II Observación i. Si F { x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F( x) + C, donde C es una constante real, es también antiderivada de f en l. lista p ropiedad es evidente, pues si F ( x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces F ' ( x ) = f ( x ) , V x e l T a m b ié n ( F ( x ) + C ) ' = F' {x) = / ( * ) , V x 6 /. Enton ce s F ( x ) + C = A n t ( f { x ) ) en / U n a pregunta natural es: “S i F (x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, ¿c u a lq u ie r otra antiderivada de / en I difiere de F a lo m ás en una co n sta n te ?” . D ic h o de otro m odo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, ¿necesariam ente Fr (x) = F ( x ) + C, V x e l ? L a respuesta es afirm a tiva y se deduce de la siguiente prop osición. P r o p o s ic ió n 1. Se a / : / -» E una fu n ció n d efinid a en el intervalo abierto / y F:I -» E una antiderivada o p rim itiva de / . S i : / -> E es tam bién una antiderivada de / , entonces F1(x) = F ( x ) + C para a lgu n a constante C. D em ostración D e fin im o s la fu n c ió n H p or H ( x ) = F ^ x ) - F ( x ) . E n to n ce s H'( x) = Fi ( x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l Lu e go , H' ( x) = 0 , V x e l . D e aquí se d educe que H( x ) = C , V x e l , donde C es una constante (ver C o ro la rio 1 del T . V . M . T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. 1). L u e go , se tiene H ( x) = F i C O - F{ x) = C <=> F ^ x ) = F ( x) + C , V x e l Geom étricam ente, sig n ific a que si F ( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cu alq uier otra antiderivada de / en I es una cu rva paralela al gráfico de y = F ( x ) (F ig. 1.1). www.Fre2eLibros.com
  10. 10. INTEGRAL INDEFINIDA D e f in ic ió n 2. S e a F ( x ) u na antiderivada de f { x ) d efin id a en el in te rvalo I. L a in te g r a l in d e f in id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de tod as las a n tid erivadas de f ( x ) d e fin id a s en d ic h o intervalo y se representa m ediante el sím b o lo J f ( x ) d x = F ( x ) . + C d ond e C es u na constante real que se d e n o m in a c o n sta n te de in te g r a c ió n . L a fu n c ió n / ( x ) se llam a integrando, f { x ) d x es el elem ento de integración, x variab le de la integral- y el s ím b o lo j se d e n o m in a sím b o lo de la integral. L a e x p re sió n / / ( x ) d x se lee “ integral de f ( x ) co n respecto a x ” o “ integral in d e fin id a de / ( x ) diferencial x ” . Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades: i) ^ ( J / ( x ) d x ) — ( J / ( x ) d x ) = ( F ( x ) + c y = f ( x ) , es d e c i r : “la derivada de la integral indefinida es igual al integrando " ti) d / ( x ) d x j = / ( x ) d x j d x = f { x ) d x ¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego, J f ' { x ) d x = f ( x ) + C iv) Como d { f { x ) ) = / ' ( x ) d x , de (iii) se deduce: J d ( / ( x ) ) = f ( x ) + C D e las p rop ie da de s ii) y iv), se co n clu ye que la integral in d e fin id a puede interpretarse c o m o u na o p e ra ció n in ve rsa de la d iferenciación, pues al a p licar la integral in d e fin id a a la diferencial de la fu n c ió n f { x ) , ésta reproduce la fu n c ió n / ( x ) m ás la constante de integración. E j e m p lo 2. D e l ejem p lo 1 se deduce: i) J e x d x = e x + C ii) J 4 x 3 d x = x 4 + C E n la fig ura 1.2 se m uestra la grá fica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir, de F ( x ) = e * + C , d on d e C es un a constante real. S i C > 0, la grá fica de y = e x se d e sp la za paralelam ente C un idad es h acia arriba y si C < 0, se d esp laza paralelam ente C u n id a d e s h a cia abajo. www.FreeLib3ros.com
  11. 11. TÓPICOS DE C ÁLCULO - VOLUMEN II Ejem plo 3. Como d (x ln x - x ) = ln x d x, por la obs. 2-iv , se deduce: J d ( x l n x — x ) = J n x d x = x l n x - x + C Ejempl, o 4, . Jí - ^ —j = -1 ar c t a nx-+ C , pues n x ' 1 ( - a r c t a n - + C) = - 1 __ 2__ X^ 1 +=r 4 1 4 + x 2 1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A P r o p o s ic ió n 2. S i / y g so n fu n cio n e s que adm iten antiderivadas en el intervalo / y k es una constante cualquiera, entonces las fu n cio n e s / ± g y k f adm iten antiderivadas en / y se tiene: a ) [ í f ( x ) ± g ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± J g ( x ) d x b ) I [ k f ( x ) ] d x = k j f ( x ) d x D e m o s t r a c ió n a) C om o | J [ / ( x ) ± 5 ( x ) ] d x j = / ( x ) ± ^ ( x ) = / ( x ) d x j ± J g ( x ) d x , e n to nce s J [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x y J f ( x ) d x ± J g ( x ) d x s o n las a n tid e riv a d a s de / ( x ) ± g ( x ) . P o r tanto, j [ / ( * ) ± 9 ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± j g ( x ) d x b ) L a d em ostra ción q ueda c o m o ejercicio para el lector. D e la parte (a) se deduce que la integral inde finid a de u n a su m a alge b ra ica de varias fu n c io n e s es igu a l a la su m a alge b raica de sus integrales. E j e m p lo 5. Calcule j ( e x - 4 x 3 + ln x ) d x . S o lu c ió n . E n virtu d de la p ro p o sic ió n 2 y de los e jem plos 1, 2 y 3 se obtiene: J (e x - 4 x 3 + l n x ) d x = J e xd x - J 4 x 3d x + J l n x d x = ( e x + Ct ) - ( x 4 + C 2) + ( x l n x - x + C3) = e x - x 4 + x In x - x + C, d o n d e C = Cx + C2 + C3 E n lo que sig u e solam ente usare m o s u na constante ú n ic a de inte gració n para la su m a de 2 o m á s fu nciones. 4 www.FreeLibros.com
  12. 12. INTEGRAL INDEFINIDA 1.3 I N T E G R A L E S IN M E D IA T A S S i c o n o c e m o s f ' ( x ) , p o r la o b se rva ció n 2 -iii se d educe que j f ' ( x ) d x = f ( x ) + C ó J d ( f ( x ) ) = f { x ) + C E sta integral se d e n o m in a integral inmediata. P o r ejem plo, un a integral inm ediata es / d x = x + C. E n se g u id a , presentarem os una tabla de integrales inm ediatas, que contiene, adem ás de las integrales de fu n c io n e s elem entales, otras que serán de m u c h a utilidad. P o r com o did ad , en lugar de la variab le x u sa re m o s la letra u. M á s adelante, ve rem o s que u puede ser una fun ción , es decir, u = u ( % ) . F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E I N T E G R A C I Ó N 1. J du = u + C 2. j — = ln|u| + C f un+1 f 3. u nd u = ---------------- + C , n — 1 4. e udu = e + C J n + 1 J f ciu f 5. a udu = -------- b C 6 . | se n u du = - c o s u + C J l n a J 7. J eos u d u = se n u + C 8 . j tan u d u = ln [se c u| + C 9. J c o t u d u = ¡njsen u¡ + C 1 0 . J s e c u du — ln | se c u + tan u| + C ” ■ / ese u du = ln | csci¿ — coti¿| + C 12. J s e c2u du = tan u + C 13. J csc2u du = — cot u + C 14. J s e c u tan u du = s e c u 4- C 15. J ese u cot u d u = — ese u + C 16. J se n h u du = co sh u + C 17. j c o sh u du = s e n h u + C 18. j ta n h u du = ln|cosh u| + C 19. J sech2u du = ta n h u + C 2 0 . J c sc h Ju du = - c o t h u + C 2 1 . J s e c h u tp nh u d u = — s e c h u + C 2 2 . J c s c h u coth u d u = — c o s h u + C www.FreeLib5ros.com
  13. 13. ■h ■ h du + u- a TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1 U arctan — + C , (a > 0) 1 u — a = — ln 2a u + a 1 u + a = — ln 2a u - a + C , (a > 0) + C , (a > 0) 2 6 f du u —= = = a rc se n - + C , (a > 0 ) - a r c s e c ------1- C , (a > 0) a 29 30 a r c s e n - + C , (a > 0 ) a j f du i ,----------- 1 27. I - p = = In u + V u 2 ± a 2 + C v u 2 ± a 2 r du 1 28. — ;..= - J u v u 2 — a 2 a . J yj a2 — u 2du = — juVa 2 - u 2 + a j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln ( u + J u 2 + a 2)j 4- C 31. J yju2 - a 2du = - [ u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2j] + C C a d a una de éstas fó rm u la s se pueden ve rifica r m ediante la d e riv a c ió n (respecto a la variable u). P o r ejemplo, en el ca so de la fó rm u la 2 4 se tiene: d / 1 iu — ai 1 d d u 2 a n lu + aU 2a (ln | u - a - ln|u + a|) ¡L UU 1 1 1 1 2a u - a u + a P o r ta n to f d u 1 iu - a i ■ I —^------ j = t;—ln --------- + C J u'- — a 2 2a lu + a l E n el caso de la fó rm u la 18, se tiene: d s e n h u — ( In c o s h u|) = — — — .?= t a n h u d u c o s h u D e lo a n t e r io r s e d e d u c e q u e J ta n h u d u = ln | c o sh u| + C. 6 www.FreeLibros.com
  14. 14. INTEGRAL INDEFINIDA Ejem p lo 6 . C alcule J ( 6x 4 - x 2 + 3 )d u . Solución U s a n d o las fó rm u la s de integración, tenem os J (6x 4 - x 2 + 3 ) d u = J 6x 4d x - J x 2d x + J 3d x = 6 J x 4d x - J x z d x + 3 J dx 6 x 3 = - x 5 - — + 3x + C Ejem p lo 7. Calcule J (v 2 — [ x) 2dx. Solución C o m o ( V 2 — V * ) 2 = ( 2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene j (V 2 - yfx)2dx = 2 J dx - 2V 2 J x 1/2dx + J xdx r 3/2 y 2 = 2 „ _ 2 V 2 _ + y + C = 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C f 3 x 5 — 6x 2 + yfx E jem p lo 8. Halle I ------------------- ---- dx. J x 6 Solución D iv id ie n d o térm ino a té rm in o el integrando y a p lican d o las p rop ie d a d e s de la integral, se tiene f 3 x s - 6 x 2 + t J x f f d x f I ---------- -------------- d x = 3 I x d x - 6 I ------ ¡- x s/2d x 2 - x 3 - 6 nx ~ - x 3l2 + C E n los ejem p los anteriores, el m étodo para hallar las integrales co n sistió en tratar de d e sco m p o n e r el integrand o com o la su m a algebraica de v a ria s fu n c io n e s y luego a plicar las p rop ie d a d e s e nunciadas en la p ro p o sic ió n 2. E ste m étod o es llam ado "m étodo de integración por descom posición”. E n ciertas funciones, d e sco m p o n e r la fu n c ió n en su m a s parciales n o es tarea fácil, pues depende de la experiencia, ha bilid ad y práctica del que calcula. www.FreeLib7 ros.com
  15. 15. / TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II dx Ejem plo 9. Calcule ,J s e n h 2x c o sh -x S o lu c ió n 1 c o s h 2x - s e n h 2x Como -----—----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces s e n r r x c o s h - x s e n h 2x co sh ^ x / s e n h 2x c o s h 2x = / CSCh2* d x ~ / Se ch 2 * d x = ~ COth X “ t a n h x + C r x 2 + 2 Ejem plo 10. E n c u e n tre ■ --------dx. J x 2( x 2 + 4) S o lu c ió n E xp re sa n d o el n u m e rad or del integrando en térm inos de los factores del d enom inador, resulta 2 1 + 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ] A h o ra , e sc rib im o s la integral com o la su m a de d o s integrales (h a cie n d o las sim p lific a c io n e s en cada integrando) y obtenem os í * ¿ + 2 l f i ! + ( i 2 + 4 ) i r d x 1 r d x J x 2( x 2 + 4 ) X ~ 2 j x 2( x 2 + 4 ) 2 J x 2"+ ~ 4 + 2 J x 2^ i 1 rl ri x 1 ~ 2 l 2 í : a rc ta n - + 2 1 X 1 - a r c t a n - - — + C 4 2 2 x í x 2 — 5 E jem plo 11. H alle / = — —— — dx J x 2( x 2 - 9) Solución P roce d ie n d o del m ism o m o d o que en el ejem plo anterior, resulta x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -”X 2 9 9 9 _ f í * 2 + | ( * 2 - 9 ) 4 r d x 5 r d x J x 2( x z - 9 ) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2 4 1 = 9 ' ¿ ln x + 3 x — 3 5 2 ix + 3| 5 ~ 9 x + ° ~ 2 7 ln L — 31 ~ 9 x + C 8 www.FreeLibros.com
  16. 16. INTEGRAL INDEFINIDA 3 dx J x 2( x 2 + 5 ) Ejemplo 12. Halle S o lu c ió n U sa n d o el m ism o p roced im ie n to de los ejem plos anteriores, se obtiene 3 3 3 3 = - ( x 2 + 5 — x 2) = — ( x 2 + 5 ) - - x 2 . Luego, 3 , 7 . , . , , 3 2 j _ r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 d x ^ 3 r d x 3 r J x 2( x 2 + 5 ) 5 J x 2 5 J x 2 + 5 3 x a rc ta n — + C 5x 5 V 5 V 5 Ejem plo 13. Se a /: R -> K una fu n c ió n co n tinu a en E tal que m = 2 y = * e e x, x > 1 De te rm in e f ( x ) . Solución ( - 1, oo < x < 0 f - x + Cu x < 0 / '( x ) = | 1 . 0 < x < l => f ( x ) = I x + C2 , 0 < x < 1 l e * , x > l l e * + C 3 , x > l D e la co ntin uidad de / en E, se tie n e 0 / ( O ) - l*m / ( x ) = ü m / x-»0_ ( x ) < =* 2 = C, = C2 (1 ) ii) / ( l ) = lim _ / ( x ) = lim + / ( x ) «=> 1 + C2 = e + C3 ( 2 ) R e s o lv ie n d o las e cu a cione s (1 ) y (2), se obtiene: = 2, C 2 = 2 y C3 = e - 3. í - x + 2 , x < 0 P o r tanto, / ( x ) = | x + 2 , 0 < x < 1 le* + e - 3 , x > 1 Observación 3. Una identidad útil en el proceso de integración es 1 1 a2 - u2 2a a — u a -r u www.FreeLib9ros.com
  17. 17. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II f dx Ejem plo 1 4 . C alcule I — — Solución U s a n d o la identidad de la o b se rva ció n 3, se tiene (■ d x _ 1 f r 1 1 J x 4 — 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~—~} 111 * 1 - — a r c t a n — + — — ln 6 LV3 V3 2V3 x 2 + 13 dx + V 3 - V 3 + C f Ejem plo 15. E n c u e n tre - -- dx. J V F T 9 Solución T ra b a jan d o de m anera adecuada en el num e rad or del integrando, se obtiene f x 2 + 1 3 , f ( x 2 + 9 ) + 4 f r—------ f d x . d x = — — d x = y j x 2 + 9 d x + 4 1 J V x 2 + 9 J V x 2 + 9 J J V * 2 + 9 = - j * V * 2 + 9 + 9 l n ( x + y j x 2 + 9 ) ] + 4 l n ( x + j x 2 + 9 ) + C = 2 [ W * 2 + 9 + 1 7 ln ( x + J x 2 + 9 )] + C 1.4 M É T O D O S D E IN TEG R A C IÓ N A n te s de presentar los m étodos de integración “p or su stitució n o c a m b io de va ria b le ” y “p or partes”, es necesario hacer notar una d iferencia esencial entre las op e racio ne s de d e riv a c ió n y de integración. D a d a una fu n c ió n elem ental (fu n c ió n que se obtiene m ediante un núm e ro finito de op e racio ne s de sum a, resta, m ultip licación , d iv isió n y c o m p o sic ió n de fu n c io n e s de las fun cio n e s: constante, potencia ( y - x a ), exp one n cial ( y = a x), lo ga rítm ica ( y = lo g a x), trigon om é trica s y trigon om é trica s inversas), su d erivada m antiene la m ism a estructura, es decir, tam bién se exp resa c o m o una fu n c ió n elemental, m ientras que en la integral indefinida, esto solam ente sucede en c o n d ic io n e s m u y especiales. P o r ejemplo, las integrales sim p le s c o m o l ^ i x . f e * d x . J V i + x 3 d x , J ser¡(x2) d x , j c o s ( x 2) d x no pueden ser e xp re sa d a s en té rm in os de “co m b in a c io n e s fin ita s” de fu n c io n e s elementales. www.Free10Libros.com
  18. 18. INTEGRAL INDEFINIDA D e l punto de vista práctico, la integración se presenta com o una o p e ra ció n m ás com p lica d a que la derivación , pues ésta tiene re glas generales de d eriva ción; m ientras que para la integración es p osib le hacer artificios que son v á lid o s para clases particulares de funciones. C a d a caso particular requiere un en sayo , una tentativa, por lo que se re com ie n da práctica, m ás práctica y m ás práctica. 1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T I T U C I Ó N O C A M B I O D E V A R I A B L E Para hallar la integral in de fin id a por este método, d iv id im o s nuestro a n á lisis en dos partes: re co n ocim iento del m od elo y ca m b io de variable. E n el re co n ocim ien to del m od e lo re alizam o s la su stitu ció n m entalmente, m ientras que en ca m b io de variab le e sc rib im o s los p aso s de la sustitución. E l proced im ie n to de sustitució n en la integración es com p arable con la regla de la cadena en la d erivación. Re cu e rd e que para fu n c io n e s d eriva bles y = f { u ) y u = g ( x ) , la regla de la cadena establece d S i h a ce m o s la sustitución u = g ( x ) , entonces a partir de la d e fin ic ió n de la integral d efinid a tenem os J f ' { g ( x ) ) g ' ( x ) d x = f { g ( x ) ) + C = f ( u ) + C A s í, h e m o s p rob ado la siguiente prop osición: ] P r o p o s ic ió n 3. S i y = f ( u ) es una fu n ció n derivable de u, u = g ( x ) es una i fu n c ió n d erivable de x y F es una antiderivada de / , entonces | J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C (R e c o n o c im ie n to del m o d e lo ) S i ha cem o s el ca m b io de va ria b le u = g ( x ) , entonces d u = g ' ( x ) d x . L u e go , J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = J f ( u ) d u = F ( u ) + C Ejem plo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx. Solución Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 d x . Lu e go , www.FreeLiIbI ros.com
  19. 19. TOPICOS DE C ÁLCULO - VOLUMEN II í X 4 Ejem plo 17. H alle la integral I - d x . J Vx5 + 1 Solución S i t = x 5 + 1 , se tiene d t = 5 x 4d x . En ton ce s f x 4 , 1 f 5 x 4dx i r ,,, 1 7 £í„ T 'f •- d x = r T r , = c f “ d t = - - - t 6/7 + C J Vx5 + 1 5 J Vx5 + 1 5 J 5 6 = ¿ 7 ( * 5 + i ) 6 + c r Sexdx Ejem plo 18. Calcule la inte gral J - ^ = = = = . Solución S i u = e x , se tiene d u = e * d x . Lu e go , se obtiene f S e xd x f du ...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C J Vi - e 2* J V l ^ ü 2 f s e n h x c o s h x Ejem p lo 1 9 . C alcule I = — ----------— - — dx. J (1 + s e n h 2x ) 5 Solución S i co n sid e ra m o s u = 1 + s e n h 2x , se tiene d u = 2 s e n h x c o s h x d x . Lu e go , f ? du 1 í 1 u“4 1 / - J - ¡ ^ - 2 j U d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8( 1 + s e n V x y + C f a rc s e n V x d x Ejem p lo 2 0 . H alle I — ■ = = — . ■/ V x — X 2 Solución r- . ' 1 d x d x Si se hace u = a r c s e n V x , se tiene du = ------- — = = — ■— ..... . P o r tanto, V T ^ x 2V x 2 V x - x 2 r arcsenVx dx f 2 J — — = J 2u d u = u + C = [arcsenVx] + C = arcsen2 Vx + C Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el integrando p a r a que el cambio de variable sea más f áci l de realizar. 12 www.FreeLibros.com
  20. 20. INTEGRAL INDEFINIDA Ejemplo 21. Calcule I I 2 + J2 + J 2 + 2 c o s (5 / x + 4 ) • x 1/ 2dx. Solución E n el integrando, a p lic am o s la identidad trigon om é trica 9 1 + e o s 9 e o s — = ------ — 2 2 Q ó 1 + e os 0 = 2 e o s 2 — 1 = 2 + 2 + |2 [ l + e o s (5V3c + 4 )] • x i / 2 d x - í - i . ! 2 + 12 + 2 co s 5-^ + 4 ■x~1/ 2dx = J 2 + 2 eos 5 V * 4- 4 1/2dx 5 V x + 4 5 _ . 16 Si u = ----- — -, e n to n ce s du = —~ x ,¿dx <=> — d u = x ' ‘ d x . Luego, 8 1 6 5 3 2 f 3 2 3 2 / 5 V x + 4 / = — I e o s u d u = — se n u + C = — s e n I ----- g — | + C Ejem p lo 2 2 . H alle / = J x dx e 3* ( l - x ) 4 Solución L u e g o de expresar el d e n o m in a d o r en una so la potencia, tenem os f xx ee x dd xx Cr xxee x dx = J ee 44xx(( ll —— xx )) 44 = JJ (( ee xx -— .x e x) 4 L u ch o , hacem os u = e x — x e x . E n to n ce s du = —x e xd x ■*=> —du = x e xdx l)c esiii manera, se obtiene: / f d u _ 1 J u4 3u 3 + C = 3 e 3* ( l - x ) 3 + C www.FreeLib13ros.com
  21. 21. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II E je m p lo 23. Calcule / = J (x 2 - 1) dx (.x 2 + l ) V x 4 + 1 Solución D iv id ie n d o el num e rad or y el d en om in a do r entre x 2 , se tiene , = f f t 1 ~ x 1) d x Si u = x + - , e n to n ce s du = ( l -----t ) dx x x 2) V u2 = x 2 + — + 2 ^ u 2 — 2 = x 2 + — . P o r tanto, se obtiene x 2 x-r d u 1 |u| 1 ( x 2 + 1 I = — ...... = — are see — + C = — are see ■ J x W u 2 — 2 V 2 V 2 V 2 V 2 |x| f x + 2 Ejem plo 2 4 . Calcule / = I -------- ^ “.x. J ( X — i-J Solución S i h acem os u = x — 2 , se tiene d u = d x . Lue go , / = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u - 4)du u “ 2 4 , 3 x + 2 = - — " 3 “ +C = - ^ 2 F +C r x íix Ejem plo 2 5. C alcule / = | f = . Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3 Solución L a integral puede e scrib irse co m o x d x f x d x / 1 + x z + V ( l + x 2) 3 V l + W l + V l + x 2 ,--------- x d x Si c o n sid e ra m o s i¿ = 1 + V x 2 + 1< e nto n ce s d u = . Luego, V x 2 + 1 / = J — = J u í/2du = 2 Vü + C = 2J 1 + V 1 + x 2 + C www.Free1L4 ibros.com
  22. 22. INTEGRAL INDEFINIDA Ejem p lo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx. S o lu c ió n S i se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x / = [ ( u 2 - 4 )u. 2u du = j ( 2 u4 - 8 u 2)d u 2 u d u . P o r consiguiente, ( x + 4 ) 3/2 1 5 ( 6 x - 1 6 ) + C E J E R C I C I O S J 4 x ( x + 1 ) d x 4 d x Vó — x ^ d x /?. - x 3/2 + 3 x + C R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C /?. 4 arcsen — + C V6 x ( x 2 — 8 ) 7 x 2 + 1 6 x 4 + 4 x 2 1 8 d x 9 x z - x 4 3 d x x 2 + 4 x - 5 4 d x V — 4 x 2 — 2 0 x — 9 J V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 d x 1 * ~ 16ln x 2 - 8 + C 3 x 4 /?. - a r c t a n ---------- 1- C 2 2 x /?. 2 1 in x 3 n x - 1 x + 5 x + 3 + C + C 2 x + 5 R. 2 a r c s e n ------------ i- C R. ( 2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rc s e n 2 x + 3 + C 10. I I. 2 X3 X 3 /6 ' * -dx (D'ÍE^s)- 2 5 s c n h x d x (1 + c o s h x ) 3 d x c o s 2( l - 4 x ) R. - ■ ■ + C 2 ( 1 + c o s h x ) : R. - - t a n ( l — 4 x ) + C 4 www.FreeLi1b5 ros.com
  23. 23. T O N IC O S D ii C Á L C U L O - V O L U M L N II 13. J c o s ( 7 x + 4 ) d x 14. J c l'2x~r,) d x 15. J (lnX + l ) e x l n x d x 16. d x x ln2x f dx 17. --------- J x ln x 18. J 4 xe x dx dx 19. 20./ sen2x V c o t x - 1 sen x e tan2x c o s Jx ev*3e 2'. I ‘I dx 23. (1 4- x 2) ln (x 4- V i + x 2) arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1 1 -f X 2 1 R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C R. - e i2x- ^ 4- C R. x x + C R. — --------b C In x R. ln I In x I 4- C ( 4 e ) x R. ------ ~ + C 1 4- In 4 3 R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C R. - e ta,>2* 4- C 2 ( 3 eÆ ) R. t~InT 3~ + c R- 2 J l n ( x 4- -J1 4- x 2) 4- C dx R■ e arctanx 4- — ln (x 2 4- 1) 4- arctan x 4- C 4 24, 25 2 6 J i I ■ / s e n x d x ■dx R. s e n x 4- ■ • *+■ C 1 4- c o s l O x d x R. — ta n 5 x 4- C V 2 x 4- 1 - yjx R. 2 ( V 2x 4- 1 4- V x ) — 2 [ a r c t a n V 2 x 4- 1 4- a r c t a n V x ] 4- C ^ f ( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j 27. -------- ---------------- dx J 1 - x R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4-C 16 www.FreeLibros.com
  24. 24. 28. J x 2x(nx + 1 )dx ' V2 + x 2 — V2 — x 2 INTEGRAL INDEFINIDA x 2x R . — + C 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. f / V ^ T h V 4 — x 4 dx -dx + s e n x x - a rc ta n 2x + 4 x 2 l n ( l n x ) ■dx f j J x l n x I dx 2 X 4- 3 dx V e * - 1 / f s e n x J x c o s x / V2 - s e n 4x dx -.dx 4 + 5 c o s 2x dx 4 + 5 s e n 2x dx ex + 4 In 3 x x In 5 x d x ln (x + V x 2 + 1) / i / / v r 1 + x2 + s e n x d x 43. j V l + c o s x dx « . J. d x *• arcsenf t ) - senl’ " ' © + c /?. - [ ( x + l ) 3/2 — ( x - l ) 3/2] + C R. ta n x - s e c x + C 1 1 /?. - l n ( l + 4 x o 2) - Z- a r c t a n 2( 2 x ) + C 1 R. - l n 2( l n x ) + C R. - x - ^ K 2^ 3) + c R. 2 arctanVfc^ - 1 + C R. - a r c s e n _ 2 V2 + C 1 2 ta n x R. - a r c t a n ) — - — ) + C R. 1 ( L A 3 J ( 2 c o t x V 3 )■ a rc ta n ( — =— | + C 1 R. - - l n ( l + 4 e x) + C R. In — ln | ln 5 x | + l n x + C R. - [ ln ( x + V x 2 + 1 )] + C R. — 2 V l — s e n x + C e x + e x R. 2 V l - c o s x + C R. a r c t a n ( e * ) + C www.FreeLi1b7 ros.com
  25. 25. y f W - TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II f dd xx 44 45' ~ r = = /?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1 ) 1/2 + C J vvx + 1 á f arctanVx • J v ï + æ + x * dx R• tarctan^ r + C *n í ( x - 2 ) , _ _ f y f x 2 - X + l ' j *• 2 arcse" (----- Ï----- ) + c 3. j x2senx~i(senx + x cosx In x)dx 4 8 . I j;Z s e n l 'fsen x + x ros r In r i d r ß , ì x 2 senx + ^ 2 ' '■ í ~ i----- - —------ R. J l n x + V l n x + ... + C e lr,(2x)4 in x + V l n x + ... + o o — x f e os 6x + 6 e o s 4x + 15 e os 2x + 10 J e o s 5x + 5 e os 3 x + 10 c o s x dX R - 2 s e n x + C f se n 8 x d x 1 / 'se n 2 4x 5L I 9 + senHx R' J^arctan (— 3— j + C f c o s 2x ( t a n 2x + 1) 1 52. —---------- ----------- —— d x R --------------------- 1- r J (s e n x + c o s x ) 2 1 + ta n x 4 9 . f I s e c x - ta n x b3‘ J J s e c x + t a n x d* R' >n|secx + ta n x | - ln(secx) + C 54. J c s c 3x d x R. - - [ e s c x c o t x 4- ln |csc x - c o tx| J + C 55. J s e c 3x d x R. - [ ln l s e c x + ta n x| + s e c x ta n x ] + C f e 2x 2 5 6 ' J 4 t + ~ é * dX fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C r V ^ T e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T 57. I ---------------- *-------------dx J l 1 4- y ^-!p x 4- y2pX — v2 — 1 R. earctan* + ^4ln 2 ( l + x 2) + arctanx + C q s f x d x n 1 J ( x - l ) 5e 4x R■ ~ 4 (x — l ) 4 e 4Ar + C www.Free1L8 ibros.com
  26. 26. 2e x + e x 59- 1 3^ - ^ d x I n x d x x 3 ( l n x — l ) 3 4 d x 6 0 6 1 / / f ---------- = J cos x v l - INTEGRAL INDEFINIDA fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C 1 R. - 2 x 2 ( l n x - l ) 2 + C s e n 2x + 2 c o s 2x _____________________ R. 4 ln [ ( t a n x — 1) + V t a n 2x - 2 ta n x + 3 ] + C 62. J ( 4 — 3 l n x ) 4 d ( l n x ) f e * V e * + 2 J ex + 6 x 5 d x 6 3 •dx x 3 - 8 . 1 + ta n x ■ / 65. | -------- — d x ■ J s e n 2 x /?. - — ( 4 - 3 1 n x ) s + C Ve* + 2 fi. 2 V e * + 2 - 4 a r c t a n ----- -------- h C x3 8 fí. Y + - l n | x 3 - 8 | + C /?. - l n | c s c 2 x - co t 2x + ta n x + C 6 6 . U n a fu n c ió n /: R - es continua en E y satisface: x + |1 - x| « o ) = - f y / ' W = l2 + 1 H a lle f ( x ) . x < 1 R. / W = arctan* - 2 ' (. l n ( x 2 + 1 ) - a rc ta n x - In 2 , x > 1 67. H a lle la e c u a c ió n d e la c u r v a p a r a el cu a l y " = y q u e es ta n g e n te a la x 2 re cta 2 x + y = 5 e n el p u n t o (1; 3 ) R. y = — + 1 6 8 . H a lle la e cuación de la cu rva cu ya tangente en el punto (0; 2 ) es h o rizon tal y / 10 tie n e p u n t o d e in fle x ió n en ( — 1 ; "g - ) y y " ; = 4. 2 v R. y = - x 3 + 2 x 2 + 2 x 2 + V i + x 69. E n c u e n t r e la a n t id e r iv a d a d e / ( x ) = — j---— — , d e m o d o q u e d ic h a a n t id e r iv a d a p a s e p o r P ^0; VTTx 7 0 9 2 8 0 / , „ r3 , 6 3 6 _______ R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x L8 5 L 1 + 1 www.FreeLi1b9 ros.com
  27. 27. TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 1.4.2 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R P A R T E S Sean u y v d o s fu n cio ne s d efinid as y derivables en el intervalo /. P o r la re gla de la diferencial del producto, se tiene d ( u v ) = u d v + v d u P o d e m o s re e scrib ir la e xp re sió n com o u d v = d ( u v ) - v d u Integrando a m b o s lados de la igualdad se obtiene la fó rm u la J u d v = u v — j v d u Esta fó rm u la es c o n o c id a c o m o fórmula de integración por partes. Observación 5. La idea básica de la integración por partes consiste en calcular la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea más simple de resolver que la integral original dada. Para descomponer el elemento de integración en dos f actores u y dv, normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se simplifica con la derivación y d v será el factor restante del elemento de integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habilidad y la experiencia del que calcula son las mejores herramientas. Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se considera v + C, C constante, entonces j u d v = u ( v + C) - j ( v + C ) d u = u v - J v du Esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final. E je m p lo 2 7 . C a lc u le j l n x dx. Solución D e acuerdo con la su ge re n cia d ada en la o b se rva ció n .2, e le g im o s 1 u = l n x = > d u = - d x x d v = d x = s v = J dx = x (n o se c o n sid e ra la co n sta n te de in te g ra c ió n ) P o r la fó rm u la de in te gración p o r partes, se obtiene í , f x d x J ln x d x = x ln x - I - x n x - x + C www.FreeL20ibros.com
  28. 28. INTEGRAL INDEFINIDA Ejem p lo 2 8 . C alcule I = J ( x 2 + 3x - 1 ) e Zxdx. Solución E s c o g e m o s u = x 2 + 3 x — 1 = > du = ( 2 x + 3 ) d x d v _ g 2x^x ^ v — J e 2xd x = — e 2x L u e g o , ob tenem os / = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x - J ( * + 2 ) E n la ú ltim a integral (m ás sim p le que la o rig in a l) a p lic am o s n u evam ente la integración p or partes con ( 3 ¡u = x + - = $ d u = d x d v = e 2xd x = * v = - e 2x 2 P o r lo tanto, / = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x 02x = ( x 2 + 2 x - 2 ) — • + C E jem p lo 2 9 . Calcule / = J e ax c o s b x dx. Solución E s c o g e m o s <u = e ax => d u = a e ax d x 1 d v = e o s bx d x = > v = 7- s e n 6 x b Entonces, 1 b ~í ¡ e axsen bx d x = - — s e n bx / = - e a* s e n 6 x b ¡íe axsen bx d x In te g ra n d o n u e va m e n te p o r p a rte s en | e ax se n bx d x , e sc o g e m o s C u = e ax = > d u = a e ax d x /' |d y = s e n bx dx =* v = — — c o s b x www.FreeLi2b1ros.com
  29. 29. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II De esta manera, se obtiene ^ = ~b e<XX' S6 n ~ ~b [ ~ b G<ÍX C° S + b í eaXQ0S^x d x ó 1 a a 2 1 = - e ax se n b x 4- — e a* c o s b x - ~ I o b z b 2 A h o ra , se despeja / de la últim a ecuación y al resultado final se su m a la constante de integración 1 . a 2 , a x í s e n b x a c o s b x e ax 1 = — — ( b s e n b x 4- a e os bx) + C a 2 + b 2 ' Ejem plo 3 0 . Calcule / = j s e c 5x dx. Solución E n p rim er lugar, e sc rib im o s la integral dada com o / = J s e c 5x d x = J sec3x. sec2x d x jltim a integral, f u = s e c 3x = '■dv = s e c 2x i E n la últim u tilizam o s integración p or partes e ligie n d o ( 3* * du = 3 s e c 3x ta n x dx • d x =$ v = t a n x Entonces, / = ta n X s e c 3x - J 3 s e c 3x t a n 2x dx l = ta n x s e c 3x - J 3 s e c 3x ( s e c 2x - 1 ) d x I = ta n x s e c 3x - 3 j s e c 5 x d x 4- 3 J s e c 3 x d x I = ta n x se c x - 3 / 4 - 3 J V I + ta n 2x s e c 2x d x 3 41 = ta n x s e c Jx 4- - ( s e c x ta n x 4- ln | s e c x 4- t a n x | ) 1 3 / = - ta n x s e c 3x 4- - (se c x ta n x 4- ln | s e c x 4- t a n x | ) 4- C 22 www.FreeLibros.com
  30. 30. INTEGRAL INDEFINIDA Ejem pia 31- Calcule J x arctan x dx. S o lu c ió n E s c o g e m o s d x u = arctan x => d u — ■ 1 f x 2 d x / = x arctan x d x = — arctan x 2 2 J 1 + x 2 f xx 2 dd xx ' P a ra c a lc u la r la in te g ra l ------- r , se efectúa la d iv is ió n y se tiene: J 1 + r , = T araan)I‘ l / ( i - r í ^ ) * r X 2 1 ( x 2 + 1) 1 = — a rc t a n x - - ( x - a rc ta n x ) + C = ----- ------ a rc t a n x - - x + C ¿ L> £* Lt f c o s x + x se n x — — 1 í E j e m p lo 3 32. 2 . C alcule / C = alcule J ----- / = ^ j x— ^ 2— S o lu c ió n U tiliza n d o la identidad s e n 2* + c o s 2x = 1, e sc rib im o s la integral c o m o f c o s x + x s e n x - s e n 2x - c o s 2x Í = J ( s e n x - x ) 2 f - c o s x ( c o s x - 1) - se n x ( s e n x - x) ( s e n x - x ) 2 1 I ---------------^ ^ / f - ■ cc oo ss xx (( cc oo ss xx —- 11)) ff se n x dx J (sen x - x ) 2 J (sen x - x) I P ara la integral J, a p lic a m o s la integración p or partes con Í u = — e o s x => du = s e n x dx ( c o s x - 1 )d x ^ _ 1 dV ~ ( s e n x - x ) 2 ^ v ~ ( Sen x - x ) L u e go , c o s x " f s e n x d x f s e n x d x / = --------- + f sen x d x f se n x - x JJ ((sseenn xx -- xx )) JJ ( se n x - x ) P o r lo tanto, cosx / = -------------- + C s e n x - x www.FreeLibros.com
  31. 31. Ejem plo 3 3 . Calcule / = J dx. Solución Se p aran d o la integral en la su m a de d os integrales, se tiene I = J ~ d x + J e x n x d x ¡ Para la integral / , hacem os j u ~ ^ n x = > d u = — vdi? = e x d x =$ v — e x A s í, 1 = j ~xdx + eX]nx ~ I ~^dx = e * l n * + c r ^.garctan* Ejem p lo 3 4 . Calcule / = í -----------------dx. J (1 + x 2)3/2 ux Solución g a rc ta n x Como la integral de — ^ 2 es inm ediata, elegimos g a rc ta n x d v = - ..2 d x 1 + x 2 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II Lu e go , tenem os x e ar< 1 ~ ’ V' nT- ■ + x--2- ~ jJ —( 14*--2-)~3d7x2 J E n la integral J co n sid e ra m o s 1 , x d x u = ■■■•. = * d u = - - V í T ? ( i + * 2) 3/2 g a rc ta n x d v = — ------— d x => v = e arctanjc 1 + x 2 Luego, se tiene ~ ”—^an x r i = V i + x 2 v r + i ^ j ( i + * 2) 3/2 d x -i « arc ía n x ( v _ < Portante, l = i - -■_ ! ? i i + c 2 V i + x 2 24 www.FreeLibros.com
  32. 32. INTEGRAL INDEFINIDA O tra fo rm a d e ca lc u la r la integral del ejem plo anterior es hacer el c a m b io de v a ria b le t = a rcta n x y la in te gral se tra n sfo rm a en J e csert t dt. E j e m p lo 3 5. Calcule / = [ ■ J s e n h 2x dx ( x co sh x — s e n h x ) 2 S o lu c ió n , M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o entre x , se tiene / f s e n h x x s e n h x d x J x ( x c o s h x - s e n h x ) 2 A h o r a e sc o g e m o s s e n h x x c o s h x - s e n h x u = ---------- =¡> d u = ----------■— ---------------dx x x l x s e n h x 1 d v = -------- -------------- -— — d x = > v ( x c o s h x - s e n h x ) 2 x c o s h x - s e n h x En ton ce s s e n h x r d x x ( s e n h x - x c o s h x ) J x 2 s e n h x 1 1 = — ----- :---------------- r - r - - - + C x ( s e n h x - x c o s h x ) x f e enx( x c o s Jx — se n x ) E j e m p lo 3 6. Calcule / = I ----------------- --------------- dx. J CQS¿X S o lu c ió n T e n e m o s l = J x e sen x e o s x d x - J s e n x sen* ---------- d x C O S 2X ( u = x = > d u = d x ... h n h a c i e n d o < , ,en _ , _ se obtiene t d f = e e o s x d x = > v = e U = x e senx " J 'i Kn /2, h a c ie n d o ( u = e sen * = > d u = e sen * e o s x d x , s e n * . 1 re s u lta d v = — — a * = * v = ------- c o s ^ x c o s x l2 = ----------- [ e senx d x = e senx se c x - [ e senx d x c o s x J J 25 www.FreeLibros.com
  33. 33. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II E J E R C IC IO S v3 Calcule las siguientes integrales indefinidas. 1. J x 2 l n x d x 2. J (7 + x — 3 x z ) e ~ x dx 3. J x s e c2x dx 4. J a r c s e n ( 2 x) d x _ f l n x * J ^ 6 . J ln ( x + V i + x 2) d x 7. j e o s ( l n x ) dx 8 . J s e n ( l n x ) d x 9. J x a r c t a n 2x dx R. — (3 l n x — 1) + C ñ. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C fí. a : t a n x + ln | e o sx | + C V i - 4 x 2 /?. x a re se n 2x h------------------ 1- c 1 + 2 l n x -— --------1- C 4 x 2 R. x ln ( x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C X R. - [ s e n ( l n x ) + e o s ( l n x ) ] + i ' /?. - [ s e n ( l n x ) — e o s ( l n x ) ] + C R- 2 [(*2 + l ) a r c t a n 2x - 2 x a rcta n x + l n ( x 2 + 1)] + C 10 / a r c s e n 2x d x ii. fx,n(hr) L í , J i r r n c v — c o n v V f — J (x + i y R. x aresen2* + 2 V I - x 2 aresen x - 2x + C R. ln x |ln (ln x ) - 1| + C x 2 + 1 ( X — 1 x 2 d x ( x c o s x - s e n x ) 2 ( x 2 + l ) e x R. R. R. - ln (— ) V x + 1 / se n x ( e o s x - s e n x ) 2 x e x x + C eot x + C x + 1 e x + C www.FreeL26ibros.com
  34. 34. INTEGRAL INDEFINIDA 15. 16. 17. 18. 19. 2 0 . 2 1 . 2 2 . 2 3 . 24. 2 5 . 27. 2H. x e* ( 1 + x ) 2 x e dx R. ----------+ e x + C 1 + x _ 1 ^ x a rc t a n y j x 2 — l d x R. - x 2 a r c t a n V * 2 - 1 - 1 + C (1 - x 2) 3/2 a rc ta n * d x a rc s e n x 1 /?. + — ln - d x R. V i - x 2 2 a rc ta n x 1 - x + C 1 + x + In|x| — l n i / l + x 2 + C es c 5x d x R. X ( X + 1 V i — X 2 e 2* c o s ( e * ) d x e a* s e n ¿ x d x - c s c 3x c o t x - - ( e s e x c o t x + ln | c sc x + c o tx | )j + C R. Vi - x 2 ln f------ + 2 a r c s e n x + C Vx + 1 / /?. e*sen (e*) + cos(e*) + C ■ [a se n bx — b c o s b x J + C a r c t a n ( V x + 1) d x ln ( V x + V i + x ) d x s e n 2( I n x ) d x a 2 + b 2 R. ( x + 2 ) a r c t a n V x + 1 - V x + 1 + C R. { x + ln ( V x + V x + 1) — ~ V x 2 + x + C R. x s e n 2 (ln x ) - - [x s e n ( 2 ln x ) - 2 x e o s (2 In x ) ] + C ^ g S e n x C 0 S 4 X _ ^ C O S J X d x R. e sen x - - [see x ta n x + ln | s e c x + ta n x |] + C ( x 2 - s e n 2x ) -dx R. x ( c s c x - c o t x ) + C x - se n x e os x + x e o s x - se n x (a rc c o s x - ln x ) d x R. x á rc e o s x - V 1 - x 2 — x ( I n x - 1 ) + C www.FreeL2ib7 ros.com
  35. 35. 29. S i / (x ) = —a / ( x ) y g " ( x ) = b g(x), donde a y b so n constantes, hallar la integral: TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II j f M g " ( x ) dx 30. I 4 x 3 a rc s e n — dx ’• / x a rc ta n x 31. íI ~~7Z-----T^rdx ’-P I 35. I (1 + x 2) 4 x 4 — x a rc ta n x 32. | — — -------— — dx (1 + x2)2 , a r c s e n V x 33. | ------ —— d x V x , 1 / x ■dx .. r x 2s e c 2x 37. I — ------------------- ^~z^dx J (ta n x - x se i > / ^ 2cai.2, s e c 2x ) 2 ' 1 dx a rc s e n 3 9 1 ---------- * x3 41. j a rc ta n ^ jVx - 1 dx 43. / senh" ‘J r - d x J ( e 2* - x 2) ( x - 1) 45. ------- - d x x 2ex s e n x + 1 ( x + c o s x ) 2 a l n ( x + a + V x 2 + 2 a x ) ( x + a ) 2 a + b l f ( x ) g ' ( x ) - f ' ( x ) g ( x ) } + C -yx 2 - 1 + c 34. e os x e x dx / 36. 38. : e o s x d x J x e x i J x a rc ta n V x 2 - 1 d x • / ’■ / c o s h 2x d x ( x s e n h x - c o s h x ) 2 ln (2 + Vx) 42. | — ' ' ' dx Vx 44. I (x se n x + e o s x ) ( x 2 - c o s 2x ) d x f x c o s x J (x - 46. J c o sh 3 x e o s 2 x dx í * 5 / l + * 48. I : In ( -------- J d x ■ / f • J - = = [ l n ( l + X ) * - l n ( l - x ) * ] J V I - x 2 Vi - x / d x www.FreeL2i8bros.com
  36. 36. INTEGRAL INDEFINIDA 1.5 T É C N IC A S D E IN T E G R A C I Ó N 1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinom io cu ad rad o de la form a: / d x f dx I I. í — 5— --------- II. í — J pp xx 22 ++ qqxx ++ rr JJ jj rp x 2 + qx + r n ] [ (ax + b)dx f ( ax 4- b)dx J p x 2 + qx + r J J p x 2 + qx + r E n lo s c a so s (I) y (II), es suficiente com pletar cu a d ra do s en el trin o m io y aplicar las fó rm u la s que correspondan: (23), (24), (2 5 ) ó (26). E n los c a so s ( I I I ) y ( I V ) se u sa el siguiente artificio: a aq a x + b = — (2 p x + q) — — + b 2 p 2 p L a e xp re sió n 2 p x + q es la d erivada del trin om io cuadrado. E n to n ce s r ((aaxx +4- bb))ddxx aa C f (2(2ppxx + 4 -q q))ddxx (/ a qaq f f dx J p x 2 + qx + r 2p j p x 2 + qx + r V 2 p) ) p; x 2 + qx + r a / a q = —— l n [p x ¿ + q x + r| + I b - — 1A 2 p V 2 p) P or otro lado, I' ((aaxx ++ bb ))dd xx __ aa ff ((22ppxx ++ qq ))dd xx ^ ^/ aaqq^ ff dx J yjpx2 + qx + r J J p x 2 + qx + r ' 2p / J J p x 2 + qx + : a /—^--------- ( acl = - V p x 2 4- qx + r 4- b - — j B p 2 p) I ,as integrales (¿4) y (B) son de los c a so s I y II, respectivam ente. E je m p lo 37. C a lc u le las sigu iente s integrales: f 33 dd xx ff dx J 4 x z 4- 4 x - 3 J x 2 - 2x 4- 1 0 f 2 d x í 5 d x J l x 2 4- 6x 4- 1 8 ^ i V — x 2 — 8x — 12 S o lu c ió n C om p le ta n d o el cu a d ra d o en cada trinom io y a p lican d o las fó rm u la s de m ig r a c ió n , tenem os www.FreeLi2b9 ros.com
  37. 37. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 3 f 2 dx 3 2 x - l ¡ = ^ln ( 2x + l ) 2 - 4 2x + 3 f 3 dx 3 r J 4 x 2 + 4 x - 3 ~ 2 J + C f dx f dx 1 ( x - l ■) J x 2 - 2x + 10 J ( x - l ) 2 + 9 “ 3 a rC ta n ( _ 3~ J + C ( 2 dx r dx , ,--------------------, c) J 7 f ■ ¿ . T i = 2 1 t =~ = 2 ln * + 3 + V x 2 + 6x + 18 + C V x 2 + 6x + 18 J J ( x + 3 ) 2 + 9 L J „ f 5 d x r d x /x + 4 d ) I 7 ' 0 ~ „ „ = 5 — — ■ = = 5 a rc se n ( — - — ) + C i V - x 2 - 8 x — 12 J ^ 4 - ( x + 4 ) 2 v 2 ) E je m p lo 38. C a lc u le las siguientes integrales: f ( 3 x - 5 ) d x r (1 - 4 x ) d x J x 2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1 c) í 2 ~ ‘ i x d ) ( - ( i i i í W í J V x 2 + l O x + 21 J x ( x + 3) S o lu c ió n C om p le ta n d o cu ad rado en cada trin om io y u san d o el artificio indicado, se tiene 3 3 a) 3 x — 5 = — ( 2 x + 6 ) — 9 — 5 = — (2 x + 6 ) — 14. E n to n c e s f ( 3 x — 5 ) d x _ 3 r ( 2 x + 6 ) d x f d x J x 2 + 6x + 18 2 J x 2 + 6 x + 18 1 4 J ( x + 3 ) 2 + 9 3 , / , 1 4 /x + 3 = 2 (x + 6 x + 1 8 ) — — a rcta n — - — J + C 4 4 2 7 b ) 1 — 4 x = — — ( 1 8 x + 6 ) + l + — = — - ( 1 8 x + 6 ) + — . Luego, f C l ~ 4 x ) d x _ _ 2 [ ( 1 8 x + 6 ) d x ^ 7 1 f 3 dx J V 9 x 2 + 6 x - 3 9 J V 9 x 2 + 6x - 3 + 3 3 J y/ ( 3 x + l ) 2 - 4 4 : 7 ---------------------------------------------------- = — -yV 9 x 2 + 6x - 3 + -yl n i 3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 i + C 1 1 c) 2 — x = — — ( 2 x + 1 0 ) + 2 + 5 = — - ( 2 x + 1 0 ) + 7. E n to n ce s f __ ((22 -— xx))ddxx _ 1i rf ((22xx ++ 1100))ddxx ff dx J Vx2 + lO x + 21 ~ 2 j VV xx22 ++ llOO xx ++ 2211 + 7 iJ 'V ( x + 5 ) 2 - 4 = - V x 2 + 1 0 x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 1 0 x + 2 l| + C 30 www.FreeLibros.com
  38. 38. d) INTEGRAL INDEFINIDA (4 4- f 55xx )) 55 ff 22xx 44- - 33 77 ff dx J x (x + 3 ) dX 2 j x 2 + 3 x dX 2 J í 3V 9 x + 2) 4 5 7 i x = - l n | x 2 + 3x — - l n 2 6 I * 4- 3 ' E je m p lo 39. C a lc u le las siguientes integrales: ^ f ( 3 e 2x - 4 e x) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^ J V 4 e * — e x — 3 J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5) S o lu c ió n a) I ( 3 e 2x - 4 e x) f ( 3 e x - 4 ) e * d x v '4 e * - e * - 3 J V 4 e * - e 2* - 3 S i se hace t = e x , entonces d t = e x d x . L u e g o , f ( 3 1 - 4 ) d t 3 f ( 4 - 2 t ) d t f d t l = j- ) d t _ 3 I" — + ^ [ J V 4 t - t 2 - 3 2 j V 4 t - t 2 - 3 J yjl - ( t - 2 ) 2 = - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 a rc se n (t — 2) + C = —3yj 4ex — e 2* — 3 4- 2 a r c s e n (e * — 2) 4- C r (se n h x + 3 co sh x ) d x ^ ^ J c o s h x (6 s e n h 2x 4 - se n h 2x 4 - 5) = /: (s e n h x + 3 c o s h x ) d x co sh x (6 s e n h 2x 4- 2 se n h x co sh x 4- 5 ) D iv id ie n d o n u m e rad or y d e n o m in a d o r entre c o s h 3x , se tiene J = J (ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx 6 t a n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 s e c h 2x (ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx J 6 ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 (1 — ta n h 2x ) A h o r a bien, si t = ta n h x , entonces d t = s e c h 2x dx. P o r consiguiente. r (t 4- 3) d t _ 1 f ( 2t + 2) d t n f d t 1 ~ J t 2 + 2 t + 5 ~ 2 J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4 1 , , /tanh x + 1 - ln | t a n h 2x 4- 2 t a n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C www.FreeLib31ros.com
  39. 39. TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II ! '5‘2 rH IP E R B Ó U C A ES A LG U N A S FU N C I° NES T R IG O N O M É T R IC A S R e co rd e m o s las sigu ien te s identidades: 1. sen2u + cos2u = 1 2. sec2u _ tan2u = 1 3. csc2u - cot2u = 1 4 sen2u _ 1 ~ cos 2u 2 r , 1 + cos 2 u 5. cos2u = ----------- --------- 6 cosh2u _ senh2u = 1 7. sech2u + tanh2u = 1 8. coth2u _ csch2u = 1 9. senh2u = ~ 1 10 cosh2u = cosh 2 u + l ¿ 2 E stas identidades so n m u y im portantes en los artificios para re so lve r ciertos tip os de integrales de fu n cio ne s trigon om é tricas e hiperbólicas. I. I N T E G R A L E S D E L A F O R M A : J s e nmx cosnx dx y j s e n h mx e o s h n* dx. Se co nsid e ra n 2 casos: C A SO 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im p ar positivo. 0 S i m es im p a r positivo, se factoriza se n x dx (o s e n h * d j ) y se e xp re sa los se no s o se no s h ip e rb ó lic o s) restantes en fu n c ió n de co se n o s (o co se n o s h ip e rb ó lic o s) u san d o la identidad s e n 2* = 1 — e o s 2* ( ó s e n h 2* = c o s h 2* - 1) ii) S. n es im p a r p o sitivo , se procede de m anera sim ilar, es decir, se factoriza e o s * dx (o c o s h x dx) y se expresa los co se n o s (ó co se n o s h ip e rb ó lic o s) restantes en fu nció n de se no s (o se no s h ip e rb ó lic o s) u san d o la identidad. e o s 2* = 1 - s e n 2* (o c o s h 2* = 1 + s e n h 2* ) Ejem plo 40. C a lc u le las integrales a) I s e n 3* e o s4* dx b) J s e n h 5* V ^ i h 7 dx Solución a) / = J s e n 3* e o s4* dx = J s e n 2* e o s4* (se n * dx) = - cos2*)cos4* (sen * dx) www.FreeLibros.com
  40. 40. INTEGRAL INDEFINIDA E n la ú ltim a integral, h a ce m o s u = e o s x =* d u = - s e n x d x . A s í, se tiene / = J (1 - ii 2) u 4 ( - d u ) = - f Cu4 - u 6) d u = - y + y + C •(5 e o s2* - 7 ) + C c o s 5x 35 b) f s e n h 5x V ^ i h l d x = J (c o s h 2x - l ) 2(c o sh x ? ' 2 (se n h x dx) = J (c o s h 9/2x - 2 c o s h 5/2x + c o s h 1/zx ) ( s e n h x dx) = J L c o s h 11/2x - ~ c o s h 7/2x + c o s h 3/2x + C 11 7 3 CA SO 2 : Am bos exponentes m y n son pares y m ayores o iguales a cero. E n este caso, se u san las identidades: 1 - e o s 2 x , 1 + e o s 2 x s e n 2x = ------- ^------- y C° = ------- 2------- / e o s h 2 x - 1 . , c o s h 2 x + í ó s e n h 2x ------- ------ y c o s h x = ----- - J A l efectuar las operaciones, se obtienen té rm inos que contienen p oten cia s pares e im pares de e os 2 x (ó c o s h 2 x ) . L o s té rm in os que tienen las potencias im p ares se integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s té rm inos que tienen las p otencias pares se reducen de n u e vo u sa n d o sucesivam ente las identidades indicadas. Ejem plo 41. C a lc u le las integrales: a) J s e n h 4 3 x dx b) f s e n 2x c o s 4x d x Solución a, f se n h -3 , ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2 dx = i J ( c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1) dx = 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0 s h 6 , + l ) d , = ^ | (c o sh 1 2 x - 4 cosh 6x 4- 3 ) dx = i f — s e n h 1 2 x - ^ s e n h 6 x + 3 x ) + C 8 12 3 > 33 www.FreeLibros.com
  41. 41. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II . 2 u f 4 , f / I - c o s 2 x /I 4-cos2x b) J sen-x cos4x dx = J ( ------- ------- j ( -------------- J dx = - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32 x) dx 1 f / 14- cos4x 1 [ - g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen2 2 x)(cos 2x dx) = ¿ J (j + C0S 2X ~ C0S 4X) d X ~ l 6 j <'1 ~ sen22x)(2 cos 2x dx) 1/x 1 ^ 1 1 / 1 = 8 ( 2 + 2 SGn 2 * ~ 8 Sen 4X) ~ T 6 [ Sen 2X ~ 3 sen32x) + C 1 ( se n 4x s e n 32 x = 16{ X — 4- + — ) + C II. I N T E G R A L E S D E L A F O R M A : J ta n mx s e c n x d x , j c o tmx c s c nx d x , J t a n h mx s e c h n x d x y J c o th mx c s c h nx dx. Se co n sid e ra n 2 casos: m entero p o sitivo im par y n entero p o sitiv o par. C A S O 1. S i m es u n e n te ro im p a r p o sitivo , se factoriza t a n x s e c x d x (ó c o t x c s c x d x ó ta n h x s e c h x d x ó co th x c sc h x d x ) y se e xp re sa las tangentes (ó cotangentes ó tangentes hipe rb ólica s ó cotangentes h ip e rb ó lic a s) restantes en té rm in os de s e c x (ó e s e x ó s e c h x ó c s c h x ) m ediante la identidad: t a n 2u = s e c 2u - 1 (ó c o t2u = c s c 2u - 1 ó t a n h 2u = 1 - s e c h 2u ó c o t h 2u = 1 4- c s c h 2u). E j e m p lo 42. C a lc u le las sigu ien te s integrales: f ta n 3x r 3) J : d x b) J cotSxdx c) J ta n h 3x V s e c h x dx d ) j co th sx c sc h 3x dx S o lu c ió n f ta n 3x f ta n 2x r se c 2x - 1 3) J ^ c dx = J i ^ (tan* Sec* dx) = J - ^ i ^ ( t a n x s e c x d x ) = j (se c ~ 3x - se c ~ 5x ) (tan x sec x dx) (si u = s e c x , du = s e c x tan x d x ) 1 -9 1 1 , = - - s e c x 4- - s e c 4x 4- C = 2 - c o s 2x ( c o s 2x - 2 ) 4-C 4 4 www.FreeLib3r4os.com
  42. 42. f f C0 t 4X , b) cot 5x d x = -------- ( c o t x c s c x d x ) J J CSC X INTEGRAL INDEFINIDA f ( csc2x — l ) 2 = -------------------(cot x csc x d x ) J c s c x = - í (c sc 3x - 2 c s c x 4-------- ) ( - c o t x e s c x d x ) J cscx c 4x --------csc2x + ln|cscx| I + k f , ,--------- f ta n h 2x c) ta n h 3x v s e c h x d x = ,........: (tan h x sech x x a x ) J J V s e c h x f 11 —- sseecchr2rxx = — ^ = = _ (ta n h x se ch x dx) J V s e c h x = - J (se c h ~ 1/2x — se c h 3/,2x ) ( — ta n h x se ch x dx) = — ^2 V s e c h x — - s e c h 5/2x j + C d) j c o th 5x c sc h 3x d x = J c o th 4x c sc h 2x (c o th x c s c h x ) dx = J (1 + c sc h 2x ) 2 csch x (coth x csch x d x ) = - J ( c s c h x + 2 c sc h 3x + c sc h 5x ) ( - c o t h x c s c h x d x ) n i i = — I - c sc h zx + - csch 4x + - csch 6x 1 + C 2 2 6 / CA SO 2. Si n es un entero p ar positivo, se factoriza s e c 2x d x (ó c s c 2x d x ó s e c h 2x d x ó c s c h 2x d x ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes h ipe rb ólica s ó cosecantes h ip e rb ólica s) se transform an en té rm in o s de ta n x (ó c o t x ó ta n h x ó co th x) u san d o la identidad s e c 2x = 1 + t a n 2x (ó c s c 2x = 1 + c o t 2x ó s e c h 2x = 1 - t a n h 2x ó c s c h 2x = c o t h 2x - 1 ). www.FreeLibros.com
  43. 43. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II E jem plo 43. Calcule las siguientes integrales: a) J ta n 3/2x sec4x dx b) j csc4x dx c) J ta n h 2x s e c h 4x dx d) j csch6x d x Solución a) j ta n 3/2x s ec4x d x = J ta n 3/2x s ec2x(sec2x dx) = j ta n 3/2x ( l + ta n 2x ) ( s e c 2x dx) - J (ta n 3/<2x + ta n 7/2x ) ( s e c 2x dx) (si t = ta n x , d t = s e c 2x dx) 2 2 = - t a n 3/2x + - t a n 5/2x + C O 7 b ) J csc4x dx = J c s c 2x ( c s c 2x dx) = - J (1 -f co t2x ) ( - c s c 2x dx) (si t = cot x , dt = — c s c 2x dx) = - ^cot x + ^ co t3x j + C c) j ta n h 2x se c h 4x d x = / ta n h 2x ( l - ta n h 2x ) ( s e c h 2x dx) = J ( ta n h 2x - ta n h 4x ) ( s e c h 2x dx) 1 , 1 = - t a n h 3x - - t a n h 5x + C d) J csch 6x dx - J (c o th 2x - l ) 2 (c sc h 2x dx) = - J (c o th 4x - 2 c o th 2x + l ) ( - c s c h 2x dx) = - ^ - c o t h 5x - - coth3 x + coth x j + C www.FreeLib3r6os.com
  44. 44. INTEGRAL INDEFINIDA I I I . I N T E G R A L E S D E L A F O R M A : J s e n (mx) cos(nx) d x , J sen(mx)sen(nx)dx, J e o s (mx) cos(nx) d x , J senh(mx) c o s h ( n x ) d x , J senh(mx)senh(nx)dx y j c o s h ( m x ) c o s h ( n x ) dx. P ara calcular estas integrales se usan las fórm ulas: 1 a) se n (mx) eos (nx) = - [s e n (m - n)x + se n (m + n)x] b ) s e n ( m x ) s e n ( n x ) = - [c o s (m - n ) x - e o s(m + n) x] c) eos (mx) eos (nx) = - [c o s(m - n) x 4- eos (m + n) x] 1 d ) s e n h ( m x ) c o s h ( n x ) = - [s e n h (m + n)x + s e n h ( m - n)x] 1 e) s e n h ( m x ) s e n h ( n x ) = - [c o s h (m + n ) x — e o sh (m — n )x ] 1 f) c o s h ( m x ) c o s h ( n x ) = — [c ó sh (m + n) x + e o s h (m — n)x] E je m p lo 44. C a lc u le las siguientes integrales: a) J se n 2x eos 3 x dx b ) j eos 3 x e os 4x dx c) j senh d) J cosh 4 x senh x d x S o lu c ió n a) J se n 2 x c o s 3 x dx = - J [se n (2 — 3 ) x + s e n (2 4- 3 ) x ] d x = 2 / ^S6n ~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5*" C° S * ) + b) J c o s 3 x c o s 4 x d x = - J [ c o s ( — x ) 4-eos 7 x ] d x = - ^ s e n x 4-- s e n 7 x ) c) J se n h 3 x se n h 4 x d x = - J [ c o s h 7 x — c o s h x j d x www.FreeLibros.com
  45. 45. TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II d ) J c o s h 4 x s e n h x d x = —j [s e n h 5 * - s e n h 3 x ] d x 1 / 1 1 = 2 5 C° S ~ 3 C0S 3 x ) + ^ E n este ejem plo, se han usad o las identidades: s e n h ( - u ) = - s e n h u , s e n ( - u ) = - s e n u c o s h ( — u ) = c o s h u , c o s ( - u ) = c o s u E j e m p lo 45. C a lc u le las integrales: y í i ~ . í se n 4* + e o s4* a) I s e n 3( 3 * ) t a n 3 * d * b ) ------ ------------T-dx J J s e n 2* — e o s2* f e o s * r c) ■ ■ dx d) I eos3* sen 3* dx J V'sen7 (2 *)eos* J S o lu c ió n f f s e n 43 x a ) / = s e n 3 ( 3 * ) tan 3 * dx = ------— dx J J eos 3 * _ J (1 - c o s 23 * ) 2 eos 3 * - d x b ) = J(sec3x - 2 eos 3* + cos33*)d * 1 2 1 f = -ln |s e c 3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx) 1 2 1 / 1 = -ln |s e c 3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - - s e n 33* + C j 3 3 V 3 / 1 , 1 1 = -ln |s e c 3 * 4- tan 3*| - -s e n 3* - - s e n 33* + C ■J J 7 f sen4* + eos4* r 4 (2 + 2 cos22*) -----i ----------- J~ d x = ------------- J sen2* - eos2* J - e o s 2ñ-*------- d x - l í ( s e c 2* + eos 2x ) d x 1 , 1 = - - r h i ( s e e 2 * + tan 2*| - - s e n 2 * + C 4 4 38 www.FreeLibros.com
  46. 46. c) / INTEGRAL INDEFINIDA cos * I f cos x dx - f C0SX H - 1 f J Y s e n ^ ( 2x T c o s x V 2 7 J V s e n 7 x c o s 8* Se o b se rv a que esta integral no se adapta a n in g u n o de los tip o s e stu d iad os en (I). C u a n d o se presentan estos casos, a veces, es co nveniente tra n sfo rm a r a los otros casos, es decir, a p roductos de tangentes y secantes ó cotangentes y cosecantes. E n este ejem plo, transform ando a tangentes y secantes (d iv id ie n d o entre e o s 5* , num e rad or y d e n om in a d o r) se obtiene: 1 f s e c 4* 1 f 1 + ta n 2* ' = V l 2 8 J t a n 7/3* = Í V f J t a n 7/3* O 0 " * d * ) 1 , . .t a n 7/3x + ta n 1/3* ) s e c 2* d * 4 V2J v J = —rrz ( — - c o t4/3* + - t a n 2/3* ) + C 4V2V 4 2 ) f 7 f (1 + eos 4* d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^------------- J eos 2* sen 3* dx 4 / ( c „ s 2 x Sen 3 ^ + Í J eos 4*(cos 2* sen 3x ) d x = - J [sen * + sen 5*] dx + - J [eos 4* sen * + eos 4* sen 5x ] dx = —1 — eos * - -1 eos 5* + - I [-sen 3* +1 siern 5* + sen * + sen 9x]dx ( 1 1/1 1 1 = - — eos * - - eos 5 * I + - - eos 3* — - eos 5 * - eos * ----- eos * + C 4 V 5 / 8 3 5 9 / 3 1 3 1 = - - eos * + — eos 3* - — eos 5 * - — eos 9* + C 8 24 40 72 E je m p lo 46. Calcule las siguientes integrales: f f f s e n ^ x a) j tanh42 * d x b) I seeh3x d x e) I —— dx , ^ d) e o s “* f s e n 43 * f ----- T¿—d x e ) t a n ¿ x s e c * d * J e o s 33 * J Solución Se o b se rv a que n in g u n a de las integrales se adaptan a los c a so s estudiados, p or lo que será necesario efectuar a lgu n a s transform aciones. E n efecto, • 39 www.FreeLibros.com
  47. 47. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II a) I tanh4 2 x dx = J (1 - sech2x ) 2 dx = J ( 1 - 2 sechz2 x + sech4 2 x) dx = x — tanh 2x + J (1 — tanh2 2 x) sech2x dx 1 / 1 = x - tanh 2 x + - ( t a n h 2x - - t a n h 3 2x) + C 1 1 = x - - t a n h 2 x - - t a n h 32 x + C ¿ O b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx) (Si u = tanh x , du = sech2x dx) = — [tanh x Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C l r = - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C f sen2x f r ^ J c ö s ^ x dx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx) = I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C J 3 5 ( sen43x r (1 - cos23x)2 r 3 J cos33x “ J ^ 3 * dx = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3*) = J Vl + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x + tan 3x| + ^sen3x A 1 r = ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A 1 1 1 = gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c e) I tan2* secx d x = J y / s e c ^ x ^ l ( t a n x s e c x d x ) 1 , = - | s e c x t a n x - ln|secx + tan x| ] + C www.FreeLibros.com
  48. 48. INTEGRAL INDEFINIDA f ddxx l:)riii|)lo 4 7 . Halle la integral J + u sa n d o la s u s t it u c ió n x = 2 ta n i So l ut-ion ( .uno x = 2 ta n 0 , d x — 2 s c c 29 d9. En tonce s d x l f s e c 29 dB 1 i f I see 0 f 1 f (1 + c o s 2 9 ) d 9 1 'i 2 1 6 x 2 x ) - i J 1 ( a rc t a n - 4- , , 1 6 V 2 4 + x 2 se n 2 0 + C = — [0 + s e n 0 c o s 0 ] + C 1 6 4 - C l’.tra re g re sa r a la va ria b le o rig in a l x, en vista de q u e t a n # = - , se c o n stru y e d triángulo A partir de este triángulo, se obtiene que sen 0 = V x 2 + 4 y e o s ti = —V x 2 4- 4 E J E R C I C I O S C a lcu le las sigu ien te s integrales indefinidas: 1. / + 2 x — 8 dx R. 9 d x 3. V 9 x z - 1 2 x + 13 3 d x 4 x 2 — 1 6 x 4 -1 7 4 — I x - [ ( x 4- l)Vx2 - « x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2x - 8|J 4- C fl. 3 ln [3 x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C fi. - a r c t a n ( 2 x - 4 ) 4- C : dx V x 2 4- 2 x — 8 ß . - 7 a /x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2 x - 8 | 4- C 41 www.FreeLibros.com
  49. 49. 3 + 5* 1 2 * + 13 i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II dx 5. f — ! 1. 8. J 9 * 2 - R- — In (9 * 2 - 1 2 * + 1 3 ) + y a rcta n ( ^ y ~ ) + C j f (2 — x)dx _____________ __ ^ ^ J V —* 2 — 10* — 21 ^ ~ xZ ~ 1 0 * — 21 + 7 a rc se n + C J se n 2 * + 3 c o s * dx ta n h * + 5 n * se n 2* *• 2 ---- i ~ +C D X 1 R- 2 + ^ s e n ( ! 0 * } + C 3 * se n 2 * se n 4 * *• T — 4~ + — +c n 2 1 se n * - - s e n 3* + - s e n 5* + C V 9 + 4 s e n * - c o s 2* *■ 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | s e n * + 2 + x » 7 T 4 l i I 7 T T 8 | + c [ (5 se n h * + 4 c o sh x)dx J co sh * ( 9 s e n h 2* + 6 s e n h 2* + 5) R- r l n | 4 ta n h 2* + 12 tan h *| - — In l- t a n h * + 1 l 1 6 12 tanh I 9. J s e n 2* dx 1 0 . J c o s h 25 * dx n . / s e n 4* dx 12 . / c o s 5* dx , 3 . / c o s 7* s e n 3* d * „ „ f s e n 3* 14. I -----r - d * J c o s 4* c o s 8* 40 1 (4 c o s 2* - 5 ) + C 3 c o s 3* - s e c * + C 15. J s e n h 3* dx 16. j s e n 2( 3 * ) c o s 43 * dx 17. J s e n h 8* c o s h 5* dx 18. j ta n 6* dx 1 R■ - c o s h * ( c o s h 2* — 3 ) + C * se n 1 2 * s e n 36* ' 1 6 1 9 2 + ~ 1 4 4 ~ + C 1 2 i R. - s e n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C 1 1 g tan * - - t a n 3* - tan * + * + c www.FreeLibr4o2 s.com
  50. 50. INTEGRAL INDEFINIDA 19. J c o t5* dx 20. J ta n h 4* dx 21. J se c 4* V c o t3* dx 2 2 . J ta n 5* V e o s 3x dx 23. J t a n h 6* se c h 4* dx V2 dx 24. í J I c o s 3* V s e n 2* 25. J se n 3 * se n 5 * dx 26. I eos 2* eos 7 x d x 27. J s e n 52* c o s B2 * dx 28. j s e n 3* e o s3* dx 29. J (1 4- eos 4 * ) 3/2 dx 30. J c o t4 (3 x)dx i a x ->x , 31. | sen4 - cos'1- dx 32. J ta n 3* dx 33. J ta n 3( 3 * ) s e c 3( 3 * ) c ¿ * 1 A 1 , R. — - c o t 4* + - c o t z* + ln | se n *| + C R. x — t a n h * - - t a n h 3* + C R. — 2Vcot * + - V tan3* + C 2 2 R. -sec5/2* — 4 sec1/2* —-cos3/2x + C R. - t a n h 7* — - t a n h 9* + C 7 9 R. - V t a n * ( 5 + ta n 2* ) + C se n 2* se n 8* R■ — ------77— + C 4 16 1 1 R. — se n 5 * + — se n 9 * + C 10 18 1 1 R. - s e n 6( 2 * ) - - s e n 8( 2 * ) + C R. - e o s ( 2 * ) + - i - e o s 3( 2 * ) + C 1 6 4 8 V 2 V 2 , ' R. — se n 2 * — — s e n 32 * + C 2 3 1 , 1 R. — - c o t 33 * + - c o t 3 * + * -I- C 9 3 * 1 1 R■ TZ ~ T o se n 2 * — — se n * + C 1 6 3 2 2 4 ta n 2* R. — ------h ln| co s*| + C 1 1 , R. — s e c 53 * - - s e c 33 * + C 15 9 www.FreeLibros.com
  51. 51. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II f s c n 3x _____ ,3 ' i V ^ dX R' 3V i ¿ n ( - c o s 2x + 3) + C 1 dx s e n 2x c o s 4x 2 t a n x + ^ t a n 3x — c o t x + C 36. / 3 7 . f d x 1 3 1 J s e n5x c o s 5x ? tan * ^ ^n l^a n x ~ ^9 ~ 1 ^ “«i«» ai — ¿~ c o t 2x —— —4—c(ot4* 4* C 3 8 ’ / v s e n x c o s 3x R-2Vtáñx + C oq í Sec4*H 1 ■ J ta n 4x R- - co tx - 3 c° t 3x + C 40. I S o t x c o s ^ x dx R. 2-sfséñx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C í s e n 2(nx) i ^ ^ J c o s 6(jrx) dx R • “ [3 tan3C^x)+ - t a n s ( 7rx)J + C 42. J se n x se n 2x se n 3x d x R. ¿ c o s 6 x - A Co s 4 x ^ cos 2x + C .43. f sen 4x eos 5x dx r cos9x cosx J 18 2 44. í sen 8x sen 3x dx r sen x _ sen , r J 22 10 45. J cosh 3x cosh x dx r . i senh 4x + ^senh 2x + C o 4 46. j senh 4 x senh x dx R. _ COsh 5x + ^ cosh 3 x + C 47. J sen3x eos 3x dx R. l c o s 2 x - ¿ c o s 4 * + ¿ c 0S6x + C 48. f cos2x sen24x d x R x ^en i sen 2x sen 6x sen lOx J ' 4 3 2 -8 ~ 4 8 8 Ó ~ + C 49. f senh2x cosh 5x dx r sen^ ^x j_ senh 3x senh 5x J 90 n tt:— 5 0 . / d x 28 ' 12 10 +C 2 V s e n 3x c o s ^ x R‘ ~ 2 ^ x + 3 t a n x V t l F * + C 44 www.FreeLibros.com
  52. 52. INTEGRAL INDEFINIDA 1.5.3 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T IT U C IÓ N T R I G O N O M É T R I C A Las integrales de la fo rm a f R ( x , J p x 2 + qx + r ) d x , d ond e R es u n a fu n c ió n racional de las va ria b le s x y J p x 2 + q x + r , se puede sim p lific a r p o r m e d io de una su stitu ció n trigo n o m é trica adecuada. C om p le ta n d o el cu ad rado en el trin om io p x 2 + qx + r se obtiene u na e xp re sió n de la fo rm a u 2 + a 2 ó u 2 — a 2 ó a 2 — u 2, d on d e a es una constante. I) S i el trin o m io tiene la fo rm a a 2 — u 2, m ediante la sustitució n u - a s e n 9 , a > 0 se e lim in a el radical, p ues V a 2 - u 2 = a e o s 9 . T a m b ié n se tiene que d.u = a e o s 9 dO P a ra regresar a la va ria b le o rig in a l u, se em plea el triá n g u lo fo rm a d o co n la sustitución sen 6 = —u (Fig. 1.3 a). (a) Fig. 1.3 II) S i el trin om io tiene la fo rm a a 2 + u 2, m ediante la sustitución u - a ta n Q , a > 0 se e lim in a el radical, pues Va2 + u 2 = a se c 9 . T a m b ié n se tiene que d u = s e c 29 d 8 P a ra regresar a la va ria b le o rig in a l u, se u tiliza el triá n g u lo fo rm a d o co n la u s u st itu c ió n tan 9 = - (Fig. 1.3 b). a III) S i él trin om io tiene la fo rm a u2 t - a 2 , m ediante la sustitución u = a se c 6 , a > 0 se e lim in a el radical, p u es Vu2 - a 2 = a ta n 6 . T a m b ié n se tiene d u = a s e c 9 t a n 9 d 9 P a ra expresar la integral o rig in a l en té rm inos de su va ria b le u, se em p lea el u t r iá n g u lo e la b o r a d o c o n s e c f i = - (F ig. 1.3 c). www.FreeL4i5bros.com
  53. 53. TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II Ejem plo 48. Calcule / = J ^9 - x 2 dx. Solución H a cie n d o ia su stitució n * = 3 s e n 8 , d x - 3 e o s 8 d d y ca lc u la n d o la integral trigon om é trica que resulta, se tiene / = j V 3 2 — x 2 dx — J ^p^-^^señ2d 3 eos 9 dd = J 9 eos26 dd = - J (1 + eos 29) dd c o s 20 . 3 eos 6 dd 9 9 ( x xV9 - x2 = - ( 0 4- se n 0 eos 9) + C = - I arcsen-4------- ------- - ( Xy¡9 - x 2 + 9 are sen - ) + C E j e m p l o 4 9 . C a lc u le / = / dx x 2-J 1 6 + 9 X 2 Solución Sea 3 x = 4 t a n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego, í d x _ 4 f J x 2V l 6 ~ 3 J sec2d dd x 2V l 6 4- 9 x 2 3 J ^ t a n 20 V 1 6 4- 1 6 ta n 20 3 f s e c d 3 f c o s í = — -----T - d d = — ----- — d 0 - C S C 0 4- C 16 J tan2d 16 J se n 2d 16 3 V 1 6 4 - 9 x 2 V 1 6 4 -9 X 2 „ . + c = ----------—-------- + c 1 6 3 x 1 6 x E j e m p lo 5 0. Calcule / , :dx. J V x 2 — 9 Solución H a c ie n d o x = 3 sec 9, dx = 3 sec 9 tan 9 d9 , se obtiene 2 7 se c 30 . 3 sec d tan d dd V 9 s e c 20 — 9 ( x J f : = d x = J V x 2 — 9 J = 2 7 J ( 1 4- ta n 20 ) s e c 20 d d = 2 7 (ta n d 4- - t a n 3flj 4- = 9 v ' x 2 — 9 4- - ( x 2 — 9 ) 2 4- C O 46 www.FreeLibros.com
  54. 54. I'li'iiiplo 51. Halle I = J INTEGRAL INDEFINIDA X 3 d x V x 2 + 2x 4- 5 Solución i om pletando el cu ad rado en el trin om io y Imi icndo la su stitu ció n v I 1 = 2 ta n 9 , d x = 2 s e c z 9 d d M' obtiene x 3 dx f x 3 dx / V x 2 + 2x + 5 J J ( x + l ) 2 + 4 I (2 tan 0 — l ) 3 2 se e 20 dd 2 s e c 0 = J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd (8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0 4- 6 tan 6 see 0 - see 0) dd H see30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln|see0 + tan 8 - 2 see 8 + C 1 3 t____________________ (xz + 2x + 5 ) 3/2 - - (x + 1 )V * 2 + 2x + 5 + 5 In x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - J x ^ T Y T s + C ( 2 x 2 - 5 x - 5 ^ lije m p lo 52. H alle / Solución / 4- 5 ln ¡x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C dx ( 1 + X 4)a//T + X 4 - X 2" s e c 20 Si se hace x ¿ = tan 0 => d x = — ;— . d f t . líntonces / d x - / ■ se e 20 d 0 (1 + x 4)VVl + x 4 - x 2 ■> se e 20 V se e 0 — tan 0 e o s 0 d 0 V s e n 0 — s e n 20 1 / l T eos 0 d8 z 2- a r c s e n + C 1 1 / 2x 2 = - a r e s e n ( 2 se n 0 - 1 ) 4- C = - a rcse n - ^ = 2 2 V v i + x 4 1 4-C www.FreeLib4r7os.com
  55. 55. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 12 dx Ejem plo 5 3 . Calcule / - , __________________ /; ( 2x - l ) / ( 4 x 2 - 4x - 8 ) 3 Solución C om p le ta n d o el cuadrado en el trin om io y haciendo la sustit jc ió n 2x - 1 = 3 se c 9, d x = - se c 9 ta n 9 d.9 R e su lta / = / - / ■ / 12 dx ( 2x - 1 ) V ( 4x 2 — 4x — 8) 3 12 dx {2.x — l ) [ ( 2 x — l ) 2 — 9 ]3/2 1 8 sec 8 tan 9 dd 2 3 s e c 0 2 7 t a n 30 9 J co t26 d9 = — j (esc29 — 1 ) d 6 2 , 2 / = — [—cot 6 — 0] + C = — (■ Ejem p lo 5 4 . Calcule J Solución S i se sustituye / 9 V V 4 x 2 - 4x - 8 e _:>f dx 2x - 1 + a r e s e n — - — J + C ( 9 e ~ 2x + 1 ) 3/2' 3e * = t a n fl, e = - - s e c 29 d9 , se tie n e = J e x d x [ ( 3 e ~x ) 2 + I ] 3/2 r ~ 3 sec29 d 9 r J s e c 39 3 J eos 9 d 9 -- s e n 9 + C Vi + 9e~2* + C 48 www.FreeLibros.com
  56. 56. INTEGRAL INDEFINIDA R | c in p lo 55. Calcule / = I XV * X- d* J V 2 — x S o lu c ió n R a c io n a liz a n d o el integrando, obtenem os f x [ i - x f x ( l ~ x ) r x ( l - x ) d x J V 2 - x X ~ J V l ^ / 2 ^ X ~ V x 2 - 3 x + 2 A lio ra bien, com p letand o el cuadrado en el trin om io y haciendo la su stitu ció n 3 1 1 - = - se c 8, d 2 2 x = -2 sec 8 tan 8 d8 Sust . 2x - 3 = s e c 9 c obtiene 2x- 3/ l y / x 1 - 3 x + 2 f x ( l - x ) d x ( y 1 / Q 2 1 r ^ se c 8 + ( l - ^ - i se c ^ se c 6 ta n 0 dd ^ ta n 8 = - - J ( s e c 3 8 + 4 s e c 28 4- 3 se c 8) dd 3 1 r ------------------ = - ta n 8 - - l n | s e c 0 + ta n 8 - - y / l + t a n 20 s e c 2d dd 4 4 J 3 1 = - t a n 8 - - l n | s e c 0 4- ta n 8 | - - ( s e c 8 ta n 8 + ln | s e c 0 4- ta n 0 4- C 4 o 1 7 = - - t a n 0 ( 8 4- s e c 0 ) - - l n | s e c 0 4- ta n 8 4- C O O 2sJx 2 — 3x 4- 2 7 i ____________ = -----------------------( 8 + 2x - 3 ) - - l n 2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C O O ' ' y j — 3x “h 2 7 i ____ i = ------------ -----------(5 4- 2 x ) - - n 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3x 4- 2| 4- C www.FreeL4i9bros.com
  57. 57. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II Observación 7. Si el integrando contiene una expresión de la form a V a 2 — u ó V a2 + u 2 ó V u2 - a2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva. Para V a 2 - u 2 , la sustitución es u = a ta n h t. Para Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t. Para Vu2 — a2 , la sustitución es u = acoshí. En el primer caso, V a2 - u2 = a se c h t. En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a c o s h t. En el tercer caso, V u 2 - a 2 = a s e n h t. E j e m p lo 5 6 . Calcule / = J x 2J x 2 + 4 dx. S o lu c ió n U sa n d o la sustitución x = 2 s e n h í , d x = 2 c o s h í d t tenem os / - J x 2y¡ x2 + 4 d x = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t d t - 16 J senh2t co sh 2t d t = 4 J senh22 í d t = 2 J (cosh 4 t - l)d £ 1 - - s e n h 4 í - 2 t + C = 2 senh tc o s h t(se n h 2 t + cosh 2t ) - 2 1 + C x V 4 + x 2 / x 2 4 + x 2 x j _ 2 Se n h -1 - + í: x V 4 + x 2 4 2 x 2 dx E jem p lo 5 7 . Calcule / ~ f ■ J <V x2 + 4 x - 5 Solución Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución x + 2 = 3 cosh t , d x = 3 senh i d t resulta I r n { _ _ *2 dx f * 2 d x f (3 cosh t ~ 2 ) 2 3 senh t d t J + 4 * - 5 ~ J / ( * + 2)z - 9 i 3 senh t www.FreeLibros5.0com
  58. 58. INTEGRAL INDEFINIDA (3 cosh t - 2 ) 2 dt = J (9 c o sh 2í - 12 cosh t + 4 )d t í / c o sh 2 t + 1 9 ^-----------------) - 1 2 c o sh t + 4 ) d t 9 17 - c o s h 2 t - 1 2 c o s h t + — d t 2 2 9 17 = - s e n h 2 t - 1 2 s e n h t + — t + C 4 2 9 1 7 = - s e n h t c o s h t — 1 2 s e n h t + — - t + C 2 2 V x 2 + 4 x - 5 1 7 ( x 4- 2 --------- - --------- (x — 6 ) + — c o s h - ( - J + ^ O b s e r v a c i ó n 8 . Si la i nt egr al tiene la f o r m a I R [ x n ; J a 2 ± x 2) dx ó I R ( x n ; J x 2 — a 2) d x , donde n es ent ero i mpar posit ivo, es p r e f e r i b l e usar ia sustitución z 2 = a 2 ± x 2 ó z 2 = x 2 - a 2. I.je m p lo 58. C a lc u le las siguientes integrales: J) <0 x3 dx f ( x s - x) b ) — V x 2 - 9 J V. x 3 dx « J d x Vx2 + 3 x 3 d x (3 — x 2) 4 ( x 2 + 9 ) 3/2 S o lu c ió n a) U tiliza n d o z 2 = x 2 - 9, 2 z d z = 2 x d x <=> z d z = x dx se tiene x 3 d x r xx 4((xx ddxx)) ff( z 2 + 9 ) 2z d z V x 2 — 9 JJ VVxx22 -— 99 J = J (z 4 + 1 8 z 2 + 9 ) d z = ^ z 3 + 6 z 3 + 9 z + C = - ( z 4 + 3 0 z 2 + 4 5 ) + C V x 2 - 9 ( x 4 + 12x - 1 44) + C www.FreeLi5b1 ros.com /
  59. 59. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II b) H aciendo z 2 = x 2 + 3, z dz = x dx se obtiene f ( x 5 - x ) _ r (x * - l ) ( x d x) f [ ( z 2 - 3 ) 2 - ] z d z J V ^ T 3 J V F T 3 " J z f z ** = J ( z 4 - 6 z 2 + 8 ) d z = Y - 2 z 3 + 8 z + C z = - [ z 4 - 1 0 z 2 + 4 0 ] + C Vx2 + 3 , = ----- ------ ( x 4 - 4 x 2 + 1 9 ) + C c) S i se sustituye z 2 = x 2 + 9, z d z = x dx resulta r x 3 d x _ r x 2 ( x d x ) f ( z 2 - 9 ) ( z d z ) J (X2 + 9)3/2 - J (x2 + 9)3/2 - J dz 9 1 , = z H ------h C = - ( z + 9 ) + C z z 1 ( x 2 + 1 8 ) + C V x 2 + 9 d ) H a c ie n d o z — 3 — x 2, x d x = - - d x se obtiene f x 5 d x í x 4( x d x ) f (3 - z ) 2( - í d z ) J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2) 4 = J i? 1 f / 9 6 1 2 J + 1 / 3 3 1 “ 2 ^ ~ I * + z ) + C x 4 - 3 x 2 + 3 ~ 2 ( 3 - x 2) 3 + C www.FreeLibros.com
  60. 60. f x~ dx J v f ^ F J * + x 2 d x j x z ¡4 - x z d x f dx J x 2v l + x 2 dx J ( X 2 -r 1 ) V 1 - X 2 ' x 3 d x v 2 x 2 + 7 dx x 4V x 2 + 3 J r ( 4 x + 5 ) d x ( x 2 — 2 x + 2 ) 3/2 f - 4 ( 2 x - 3 ) d x I ( X 2 J ( x 2 4- 2 x - 3 ) 3/2 f V x 2 — 4 x d x x 4 d x I 1 (4 - x 2y /z ( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x x 6 d x INTEGRAL INDEFINIDA E JE R C IC IO S (x ■+■ l)3Vx2 + 2x r sen x dx J Vcos2x + 4cosx 4- 1 1 x /-------- - R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 - C R. - j x V 4 + x2 + ln (x + J 4 + x 2)j 4- C x V 4 - x 2 R. 2 a rc s e n ----------- -— |x - 2 x j + C V l + x i R . --------------- 4- C I y[2x , 1 v f V 1 - X 2 R. — a r c t a n l - = = ) + C V 2 x 2 4- 7 , R. — — ------- ( x 2 + 7) + C V x 2 4- 3 ( x 2 + 3 ) 3/2 R. ---- r--------- -- ---- + C R. 9 x 2 7 x 3 9x - 13 ^ _______ : 4~ C V x 2 - 2 x 4- 2 5 x - 3 4 V x 2 + 2 x - 3 ( x 2 - 4 x ) 3/2 : + C 6 x 3 v s R. 2 0 ( 4 - x 2) 5/2 ( x 2 - 2 5 ) s/2 4- C + c 1 2 5 x 5 1 V x 2 4- 2 x if. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C /?. - l n j c o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j + £ www.FreeLibros.com 53
  61. 61. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 5 / e x ¡ e2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2 ) 15. | — ------------- — "■■ ■ ■ —— — dx 2 { e x + 2 ) 4 e 2x~ - 4 R. — n ex + 2| - V e 2* - 4 + c _ f 2 x 2 - 4 x 4- 4 16. j - — d x J 4 3 + 2x — x 2 R. a resen - (x - 1 ) V 3 + 2 x - x 2 + C 17 18. d x ( x 2 - 2 x + 5 ) 3/2 ( x 3 x ) d x R. x - 1 4 V x 2 - 2 x + 5 í ( x 2 + 3x J ((Xx -- ll )WV xx 22 -- 2x + 10 R . V * 2 - 2a: + 10 + 5 In | V *2 - 2x + 10 + x + l| + - ln V x 2 - 2x + 1 0 - 3 x - 1 + C m Í 4 ^ L J V 4 — x 2 ( 3 + x 2) 2 x 3 2 0 ' V4 - x2 /? .------ -----(8 + x2) + C 21 22 2 3 / f V y 2 ~ 4 i y 4 ‘ J ■ / R. - - . 2 ( * 2 + l ) 2 , 7 , 4 -------------+ ( x 2 + 1) + -f* € d y (x2 — l)Vx2 - 2 2x2 4- 1 ( x 2 + 4 ) 2 d x dx r — ( y 2 - 4 ) 3/2 ■ Í 2 y 3 + C _ Vx2 - 2 k. arctan--------- + C 161 x x 1 4 x 2 x 2 4- 4J ( 2 x 2 4- l ) V x 2 + 1 f 3 x a r c s e n x 25. I — . d x R- r r l a r c t a n r ----— — - 1 4- C fi. a rc t a n * ) + C W 1 4- r / J V ( i - * 2) 5 J V i - x 2 v i - x / aresen x i 1 r [ x (1 — x 2) 3/7 2 l ~ -4 -in ■ V i x 2 AT + 1 V T 4- C dx R ] n f 1 + X ) ( 2 7 3 1 s , 89 /2 5 + 6x 2 *■ l n l T ^ I A 3 z ~ 5 - z J + g ó a rc s e n * “ * 2 ( — e T ' j + c-donde z = J l - x 2 54 www.FreeLibros.com
  62. 62. i t x ¿ - 3 A v/x4 - 4 :d x INTEGRAL INDEFINIDA 1 In |x 2 + V * 2 _ 4 | - - a r c s e n — x d x ¿'t ( x 2 - 2 ) V x 4 - 4 x 2 + 5 x 2 d x 1 /?. - I n V x 4 — 4 x 2 4- 5 — 1 x 2 - 2 + C 4- C l 4 x 2 — 1 2 x — 5 ( 2x 4- 3 i------------------------ 11 a rc s e n ^ — - — j 4- -J—4-x2 - 12x — 5 (3 — 2x) 411 I I 1,’ 4 I x z dx ( x 2 4- 4 ) 3 2 x :i dx 1 R ‘ 6 4 x 2 x ( 4 - x 2) 1 a rc ta n - - '2 ( 4 + x 2) 2 4- C 4- C ( v ’ - l ) 4 dx 1 - 3 x 2 R ■ ^------ T“TT 4- C (() _ x 2)3 ( 4 x 2 4- l ) d x R. 3 6 ( x 2 — l ) 3 ■ 4- - In (3 + x f 3 6 ( 9 - x 2) 2 1 6 ( 9 - x 2) 4 9 — x 2 4- C It ( v - 3 ) V 6 x — x 2 — 8 /Í. 2 4 a r c s e n ( x — 3 ) 4- 3 7 In e 2x d x 1 - V ó x - x 2 - 8 x — 3 J ( c ¿x - 2 e x 4- 5 ) ) 3 s e n h 2 x dx R. 4y¡6x — x 2 — 8 4- C e * - 5 4 V e 2* - 2 e * 4- 5 4- C (2 c o s h 2x — 3 s e n h 2x — 2 c o s h x ) 3/2 R 3 — c o s h 2 x 2 V 2 c o s h 2x - 3 s e n h 2x - 2 c o s h x :4- C ill I , ! s e n 2 x s e n x d x ( - 4 s e n 2 x - 1 9 s e n 2x ) 5/2 4 tan x — 16 / 5 ( t a n x - 4 ) 2 </ W t.m 2* - 8 ta n x + 20 t a n 2x - 8 tan x 4 20 dx + 12 + 128 3 ( ta n 2x - 8 ta n x + 2 0 )3/ " t C (* 1 ) ( x 2 - 2x + 5 ) 2 R- 32 ( x - l ) 2 x 2 — 2x + 5 4- 1 8 ( x 2 - 2x + 5) + C www.FreeL55ibros.com
  63. 63. I.5.4.1 I N T E G R A C I Ó N D E F R A C C I O N E S S I M P L E S Se d en om in a n fraccion e s sim p le s a ias funciones que se presentan bajo una de las form as siguientes: 0 f W = TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1.5.4 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R D E S C O M P O S IC IÓ N EN F R A C C IO N E S P A R C IA L E S x — r •*) / O ) = 7(—x — r ) n , n > 2 , n e N ax + b ill) f ( x ) — 2 '------ :— , d o n d e p x 2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir, J jX “t” CJX T Y qz — Apr < 0. ^ s CLX + b IV ) f ( x ) = -— — -----------— , d o n d e n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0. (;p x 2 + qx + r) n ^ p L a s integrales de estas fra ccion e s sim p le s son inm ediatas, pues f a i) J x — rdx = a ln¡x - r| + C U) í (x - r ) n dX ~ (1 - n)(x - r ) n_1 + C f ax + b iii) — 7 - -------- ;— dx (d e sa rro lla d o en 1.5.1 caso III) J p x 2 + q x + r J f ax + b ( 2 p x + q)dx J (p x 2 + qx + r ) n X 2 pJ ( p x 2 + qx + r ) n + 2p( n - 1 ) ( p x 2 + qx + r ) n~ f dx i ( p x 2 + qx + r ) n f dx J ( p x 2 + qx + r ) n - + ( * - S ) / ; Para ca lcu la r la integral /, al com pletar el cuadrado en el trinom io, se obtiene r í du j j r~ R , 4 r P _ <7 J = ~ T i , i n , ' d o n d e u = J p . x + — = y k = ------------ J v J (( uu 22 ++ kk 22rY ’ yy 44np E n esta ú ltim a integral, se puede u sar la sustitución trigon o m é trica u = k ta n 0 ó la siguiente fó rm u la de reducción: www.FreeLibr5o6s.com
  64. 64. INTEGRAL INDEFINIDA d x l'le m p lo 59. U sando la fórm ula de reducción, calcule / = J + . S o lu c ió n l n este ca so n = 2 y k = 2. E n to n ce s r dx x 2 ( 2 ) - 3 f dx ] ( x 2 + 4 ) 2 “ 2.22(2 - l ) ( x 2 + 4 ) 2-1 + 2.22(2 - 1) J (x 2 + 4) x 1 1 x 1 / x 2 x “ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í ) + C 1.5.4.2 I N T E G R A C I Ó N D E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S P O R D E S C O M P O S I C I Ó N E N F R A C C I O N E S S I M P L E S P ( x ) Sim la fu n c ió n ra cio n a l f ( x ) = — -r, d o n d e P ( x ) y Q{ x) s o n p o lin o m io s Q(x) i <«primos de g ra d o s m y n ( m , n e N ), respectivam ente. Si m < n , se dice que la fu n c ió n racional es propia y cu a n d o m > n , se dice que rs una fu n c ió n racional im propia. Por ejemplo, las fu n c io n e s racionales x 5 - 6 x 2 + 7 2 x 4 + 8 Jy "a t o 2 x& + 3 x 3 + 2 mm propias, pues el gra d o del p o lin o m io del n u m e rad or es m en o r que el g ia d o del p o lin o m io del d e nom in a d o r; m ientras que las fu n c io n e s racionales 3 x 4 - 2 x 2 + 7 _ 5 x 3 - 3 x 2 + 1 F(X) ~ x 2 + 2x + 3 y " 2 x 2 - 7 x 3 + 4 son im propias. P(x) Si / (x ) = es Una fu n c ió n ra cio n al im p ro p ia , p o r el a lg o ritm o de la d ivisió n , uxisicn p o lin o m io s C( x ) y / ?(x ) ú n ico s tales que -l-’-t--o-- = Cr(rx ) ^+ Q(x) Q(x) ilmule el gra d o de R( x ) es m e n o r que el grad o de Q(x). C( x) y R ( x ) son, ii'speclivam ente, el cociente y el resto de la d iv isió n de P ( x ) entre Q( x ) . I tío sig n ific a que toda fracción im p ro p ia puede ser exp resad a c o m o la su m a de un p o lin o m io y de una fracción propia. A s í, la integral de una fra cción im p ro p ia IMifilc ser escrita c o m o í p t o , f , ( R t o dx www.FreeLi5b7 ros.com
  65. 65. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II En se gu id a , ve rem o s el m étodo de integración para una fracción propia, el cual se basa en que “toda fracción racional propia puede ser d escom p uesta en la su m a de fracciones sim p le s” . Este hecho se sustenta en el co n ocim ie n to de d o s teorem as del Á lg e b r a que a dm itirem os sin dem ostración. T e o r e m a 1. S i Q ( x ) es un p o lin o m io de grado n ( n > 1 ) , entonces Q ( x ) se d escom p on e c o m o un prod ucto de factores de 1er gra d o y de factores de 2 do grad o irreductibles en M, de la siguiente forma: Q(x) = a(x — r j ) " 1 (x — r2) n2 ... (x - rk) nk(x2 + p^x + q1)m» ...(x2 + psx + qs) m> ( * ) , donde n = TI-L+ n 2+ ... + n k + 2 m l + ... + 2 m s T e o r e m a 2. S i el p o lin o m io ( ? ( * ) posee la d e sco m p o sició n '( * ) y P ( x ) es P (X j un p o lin o m io de gra d o m e n o r que n, entonces la fracción p ro p ia se d e sco m p on e u nívo cam e nte en fracciones sim p le s com o P( X) _ ^11 A12 ^21 ^22 Q(x) x — + (x — rx) 2 (x - r j ) ni + (x - r2) + (x - r 2) 2 + ^ + - Alnt- + . - 4 - A k l - + Ak2 + . . . + A k n *__ + ( x - r 2)"2 (x - rk) (x — rk) 2 (x - r k) nk ^ Bl l x + ^11 ^ Bl2x + ^12 ^ J ^lm , + ^ ( x 2 + p 1x + q 1) ( x 2 + p xx + Ch) 2 ( x 2 + p jX + Q i)mi _l_ B S1X + C s í ^ B s2 X + C S2 ®smj "t" Q m s x 2 + psx + qs ( x 2 + psx + qs) 2 ( x 2 + psx + qs) ms E n resum en, p o d em o s a firm ar que la integración de una fu n c ió n racional (p ro p ia ó im p ro p ia ) se reduce a integrar a lo m ás un p o lin o m io y las fraccione s sim ples. Recuerde que si ei grad o del num e rad or es m a yo r o igual que el gra d o del denom in ador, p rim e ro se debe d iv id ir (sa lvo que se em plee otro artificio de integración). C u a n d o se d e sco m p o n e una fu n c ió n racional en fraccion e s sim ples, la e cuación resultante es una identidad, es decir, es verdadera para todos los va lo re s sig n ific a tiv o s de la variab le x. E l m étodo para determ inar las constantes que se presentan en los num e rad ore s de las fracciones sim p le s se basa en un T e o re m a del A lg e b r a que establece que los p o lin o m io s de un m ism o grad o so n idénticos cuand o so n igu a le s los coeficientes que corresponden a potencias iguales. E sta s constantes tam bién se pueden determ inar re so lvie n d o la iguald ad de p o lin o m io s para un n ú m e ro suficiente de va lo re s de x. E n el sigu iente ejem plo, sin determ inar las constantes, m ostrarem os c o m o se de sco m p on e una fra cción propia. 58 www.FreeLibros.com
  66. 66. Sea la fracción p rop ia INTEGRAL INDEFINIDA P ( x ) 7 x 4 — 2 x 3 + x 2 — %/2x + n Q(x) = (x + l ) ( x - 4 ) 3( x 2 + 9 ) ( x 2 + 1 ) 2 I .1 d e sc o m p o sic ió n de esta fra cción en fracciones sim p le s se e xp re sa c o m o P(x) A B C D Ex + F Gx + H Jx + M ■ + -------r + 7------ :t t + -:------ ; t t + — ---- — H---- ^---- - + - Q(x) x + 1 x - 4 (x - 4 ) 2 ( x - 4 ) 3 x 2 + 9 x 2 + 1 ( x 2 + l ) 2 donde A, B, C, D , E, F, G, H, J y M son constantes a determinar. f x 3 — 3 x + 3 lile m p lo 6 0 . Calcule / = — :---------- i rdx. H J x 2 + x - 2 S o lu c ió n I n prim er lugar, se d ivide, y a que el integrando es un a fra cción racional im propia. x 3 — 3 x + 3 1 1 = x — 1 + — ---------- - = x - 1 + ■ x 2 + x - 2 x 2 + x - 2 ( x - l ) ( x + 2) 1 iit'í’o, J = j (x — l) d x + J • dx x 2 — — X ( x — l ) ( x + 2 ) 2 A l d escom p on e r el integrando de I en fracciones sim p le s, se tiene 1 A B (x — l ) ( x + 2 ) x — 1 x + 2 donde A y B son constantes a determinar. M u ltip lic a n d o esta e cu a ció n p o r el m ín im o c o m ú n m últip lo del denom inador, se obtiene la e c u a c ió n p r in c ip a l 1 = A( x + 2 ) + B( x - l ) , V x £ l A h o ra bien, para determ inar las constantes A y B se debe e sco g e r va lore s npi op ia do s de x. E sto s va lo re s son aquellos que hacen igual a cero el d e n o m in a d o r de cada fracción sim ple. A s í, tenem os: l'm a x = 1 en la ecu ación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1 / 3 l'n ia x = - 2 en la e cu a ció n p rincipal, resulta: 1 = - 3 B «=> B = - 1 / 3 I ui'^o, x . /(: 1 /3 1 /3 1 , 1 , 1. dx = -ln|x — 1| — -ln|x + 2| + C = -in 1 x + 2) 3 3 3 'n i lauto. x + 2 + C X 2 X 1 / = y - í + ^ T - x + 3 1" x + 2 + C I ti el ejem plo anterior, para calcular la integral I no es necesario d e sco m p o n e r en li h it iones sim ples, pues tam bié n se puede calcular com p le tan d o cuadrados. E n los llá m e n le s ejem plos, u sa re m o s el m étodo m ás adecuado. www.FreeL5i9bros.com
  67. 67. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II f Xx 2¿ —— 66xx ++ 88 Ejem plo 6 1 . Halle I = I — — ------ - d x J x 2 + 2x + 5 Solución C o m o el integrando es una fra cción im propia, p rim ero se d iv id e y lu e go se aplica el artificio presentado en 1.5.1. A s í, se obtiene f x z - 6x + 8 f 3 - 8 x i f ( 8 x - 3 ) dx = I 7' , o — r ? d x = I 1 + - ^ — =------ - d x = x - J x 2 + 2x + 5 J L x 2 + 2x + 51 J f 2x + 2 f = x — 4 I —-— ------ dx + 11 I , J x 2 + 2x + 5 J (x + l ) 2 + 4 x 2 + 2x + 5 r dx , 11 ¡x + 1 x — 4 l n ( x 2 + 2x + 5 ) + — arctan ^— - — J + C dx Ejem plo 6 2 . Halle J . , . J x3 + 1 Solución L a d e sc o m p o sic ió n que corresponde a la'fracción p rop ia del integrando es 1 1 A Bx + C x 3 + 1 ( x + l ) ( x 2 - x + 1) x + 1 x 2 - x + l P E lim in a n d o d enom inadores, obtenem os la e cuación principal: 1 = A ( x 2 - x + 1 ) + ( Bx + C) ( x + 1) ( * ) Para x — — 1 en la e cuación ( * ) , se tiene: l = 3A ==> A = 1/ 3. Ig u a la n d o coeficientes de x 2 en ( * ) , resulta: 0 = i 4 + í ? = > f i = — 1/3. Igu a la n d o coeficientes de x en ( * ) , obtenem os: O = - A + B + C =$ C = 2/3. E n esta integral, el p rob lem a m a y o r es la integración de la fracción sim p le /?. U n m étodo que facilita la integración de este tipo de fraccione s sim p le s (y que se usa cuando el d e n o m in a d o r presenta factores cuadráticos irreducibles) con siste en expresar el integrando com o 1 1 A D ( 2 x - 1 ) t E X 3 + 1 ( x + l ) ( x 2 — x + l ) x + 1 x 2 — x + 1 donde 2 x - 1 es la d erivada del d e n o m in a d o r x 2 - x + 1. O b sé rv e se que para integrar la se g u n d a fra cción es suficiente separar en d o s integrales tal c o m o verem os a continuación. E n la igu a ld ad anterior, m u ltip lica n d o por el d e n o m in a d o r se obtiene la n u e va ecuación p rincipal: www.FreeLibros.com
  68. 68. INTEGRAL INDEFINIDA 1 = A(x2 - X + 1) + [D (2 X - 1 ) + E ](x + 1) Para x = - 1 en ( * * ) , se obtiene: 1 = 3A = > A = 1 /3 . Igu a la n d o coeficientes de x 2 en ( * * ) , resulta: Q = A + 2 D = $ D = — 1/6. Igu a la n d o coeficientes de x en ( * * ) , se tiene: 0 = —A + D + E = > E = 1/2. fu e g o , 1 1 1 í 2x ~~ = -ln|x + 1 | - gln(x2 - x + 1) + -^arctan + c dx lí j e in p lo 6 3 . C alcule J ■ S o lu c ió n C o m o x 3 - 1 = (x - l ) ( x 2 + * + 1), a p lic am o s el m étodo del ejem plo anterior. 1 )c este m od o, la d e sc o m p o sic ió n en fraccion e s sim p le s es 1 A B ( 2 x + 1 ) + ^ x 3 - 1 ~ x - l + x 2 + x + 1 E lim in a n d o d e n o m in a d o re s .s e obtiene A = 1/3, B = - 1 / 6 . C = - 1 / 2 . P o r tanto. dx E j e m p lo 6 4 . H alle / - J <•* m plo 64. Halle / — _ 2) 2^ - 4 x + 3 ) ' S o lu c ió n ( orno ( x - 2 ) 2( x 2 - 4 x + 3 ) = ( x - 2 ) 2 ( x - 3 ) ( x - 1), entonces (x — 2 ) 2( x 2 — 4 x + 3 ) x — 2 (x - ¿ V x - i x - 1 l lim in a n d o den om in adore s, obtenem os la e cuación p rincipal: www.FreeLibros.com
  69. 69. TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II l = A ( x - 2 )(x - 3 ) ( x - 1) + B(x - 3 )(x - 1) + C(x - l ) ( x - 2 ) 2 + D(x - 3 ) ( x - 2) 2 Trab ajan d o con esta e cuación principal, se tiene Para x = 2 = > 1 = —B = > B - - 1 Para x = 3 => 1 = 2C = > C = 1 / 2 Para x = 1 => 1 = - 2 D =¡> D = - 1 / 2 Ig u a la n d o coeficientes de x 3 resulta: 0 = i4 + C + D = > . 4 = 0 P o r consiguiente, dx r dx I S o (rx :- 2 ) 2 ( * - 3 ) ( x - l ) x - 3 _ f 1 r dx 1 f dx ( x - 2 ) 2 + 2 J x — 3 ~ 2 J x - 1 1 1 : ------^ + r l n x - 2 2 x — 1 + C E j e m p lo 6 5 . H alle I - j S o lu c ió n E s c r ib im o s la integral c o m o ' V se rT x Vsen x c o s x -dx. f v s e n f v s e n x c o s x / = ---------- dx = — ----------- — dx J c o s x J l - s e n 2x H a cie n d o u 2 — s e n x => e o s x d x = 2 u d u y d e sco m p o n ie n d o el resultado en fracciones sim ples, se tiene r 2 u 2 du _ í 2 2u u 2 2 du du r r i /2 1/2 1 " J 1 - u 4 ~ J (1 - U2)(l + u 2) ~ J l l - u + 1 + u " l T ^ du 1 , | u+li 1 I Vsenx + 1 ~ ln ------ r - a rcta n u + C = - l n , ------ 2 l u - H 2 V ü ñ x - 1 a rc ta n V se n x + C E j e m p lo 6 6 . Cacule I = j S o lu c ió n dx x ( x 69 + l ) 3 ' dx 1 f 6 9 x 68 d x Se tiene qu e / = I - —^7--------- -- — ¡ ------------------ J x ( x 69 + l ) 3 6 9 J x 69( x 69 + l ) 3 »S i en la ú ltim a integral se hace u = x 69 + 1 => d u = 6 9 x 68 d x , resulta / - 1 f du 1 f A B c D 1 6 9 J u 3 (u - 1) 6 9 J [u + u 2 + i í 3 + w - l j www.FreeLibr62os.com
  70. 70. INTEGRAL INDEFINIDA D e term inand o las constantes A, B, C y D p o r el p roced im ie n to u sa d o en los ejem plos anteriores, se obtiene 1 . Í L Í _ j L _ - L 1 i9 69 J i u u 2 u 3 + u - 1 1 >.69 6 9 r " k 69 + 1 1 1 du = -ln | u | H------t - r - r + ln|u - 1| + C u 2 u 2 + C + 1 2 ( x 69 + l ) 5 K | e m p lo 6 7 . Calcule 1 = J V t a n x dx. .Solución SI lineem os t 2 = t a n x =» x = a r c t a n t 2 y d x = 2 1 d t 1 + t e n to n ce s f 2 t 2 d t _ f 1 ~ J i + t4 “ J ( T 2 t z d t + V 2 t + t z) ( l - V 2 t + t 2) I ,ii l'actorización de 1 + t 4 se realizó del siguiente modo: I f t 4 = ( t 2 + l ) 2 - 2 t 2 = ( t 2 + l ) 2 - ( V 2 t) 2 = ( t 2 + 1 - V 2 t ) ( t 2 + 1 + V 2 t) I ,¡t d e sc o m p o sic ió n del integrando es A ( 2 t + V 2 ) + B t C( 2t - s / 2 ) + D _ 2 12 t 2 + V 2 t + l t 2 - V 2 t + l “ l + t 4 E lim in a n d o den om in adore s, se tiene 212 = [¿(2 t + V2) + B ][t2 - V2t + 1] + [C(2t - V2) + Z>][t2 + V2t + l] Igu a la n d o lo s coeficientes de las potencias de t en los d o s p o lin o m io s, se obtiene 2A + 2 C ^ = 0 , ( B + D ) + V 2 ( C — A) = 2 , yj2(B - D) = 0 , V 2 G 4 - C ) + B + D = 0 K e so lv ie n d o las e cuaciones, resulta i4 = — V 2 / 4 , C = V 2 / 4 , B = — 1 /2 , D = 1 /2 I uego, V 2 ’ 4 r 2t + V 2 _ i r _ J t 2 + V 2t + 1 f 2 J dt V 2 f 2t - V 2 1 f t2 + V 2t + 1 4 J t2 - V 2t + 1 t + 2 j t2 - h iiegra n d o y sim p lifica n d o , se obtiene t 2 - V 2 t + 1 dt V 2 t + 1 V 2 , / = T4 ln t 2 + V 2 t + 1 donde t = V ta n x. / ^ ^2 — — a r c t a n (V 2 t + l ) + — a r c t a n (V 2 t — l ) + C www.FreeLi6b3 ros.com
  71. 71. r TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II Ejemplo 68. Calcule I = í ------— J 3 + 4 sec2x dx tan x + sec2x ' Solución E s c r ib im o s la integral c o m o l = [ x sec2* dx - f _____ x s e ^ x dx _ f x sec2x dx J 3 + 4 tan x + sec2x J 3 + 4 tan x + (1 + ta n 2* ) ~ J (ta n x + 2 ) 2 A p lic a n d o el m étodo de integración p o r partes, e le gim o s ( u = x => du = dx sec2x dx d v = 71--------V = - - (tan x + 2 )2 tan x + 2 Lu e go , l = -----------_ + dx r tan x + 2 JJ ttaann xx + 2 J H a c ie n d o t = ta n x =* d t = sec2x dx en la integral ], se tiene , f ddxx f _ r s__e_c_2_x_ _dsxe c2x dx_______ rr dt J tan x + 2 J (tan x + 2)(1 + tan2x) J '( t + 2 ) ( 1 + t 2) D e s c o m p o n ie n d o el integrand o en fra ccion e s sim ples, tenem os 1 _ 5 ■ +. ~• l ñ ( 2 t) + 5 ( í + 2) ( l + t 2) t + 2 1 + t 2 L u e go , l r d t 1 r 2t d t 2 r d t 5 j t + 2 1 0 J 1 + t 2 + 5 J 1 + t 2 1 1 2 J = p ln | t + 2| — —— ln | l + t 2 1 + - a r c t a n t + C b 10 5 1 1 2 7 = g In|tan x + 2| - — ln | l + ta n 2x| + - a r c t a n ( t a n x) + C Finalm ente, ob tenem os * 1 (tan x + 2 ) 3 / — ------------- “ H----- ln tan x + 2 10 sec2x 2 + - * + C dá www.FreeLibros.com

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