Recordemos que un superconductor perfecto es un material que exhibe dos propiedades características: resistencia eléctrica cero y diamagnetismo perfecto, cuando se enfría el el material por debajo de una temperatura particular Tc , llamada la temperatura critica.

1. Ecuaciones de Ginzburg-Landau
Yohana Bonilla Gutierrez
Universidad del Valle
17 de febrero de 2012
Yohana Bonilla Gutierrez (Univalle) Ginzburg-Landau 17 de febrero de 2012 1 / 15

2. Recordemos que un superconductor perfecto es un material que exhibe dos
propiedades caractersticas:
? Resistencia electrica cero.
? Diamagnetismo perfecto...
cuando se enfra el material por debajo de una temperatura particular Tc,
llamada la temperatura crtica.
*C.P. Poole, H. A. Farach, R. Creswick and R. Prozorov, Superconductivity (Academic Press. Inc, 2007 2nd ed).
Tipo I: Diamagnetismo perfecto. Efecto Meissner (1933, Meissner y
Ochsenfeld)
Tipo II: Diamagnetismo de tipo mixto, dando lugar al denominado
estado de vortice. (Alexei Abrikosov, 1950)
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3. Figura: Curvatura de las lneas de un campo magnetico aplicado, constante, alrededor
de una esfera superconductora.
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4. Teora (Ginzburg y Landau, 1950)
Landau (1937) ) Teora de transiciones de fase de segundo orden.
Parametro de orden ) Cantidad fsica que se anula en la fase de
alta temperatura. (Ej : magnetizacion espontanea en la transicion
ferromagnetica).
Parametro de orden vara continuamente desde cero para T Tc )
Se expande la energa libre en serie de potencias.
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5. Teora (Ginzburg y Landau, 1950)
Landau (1937) ) Teora de transiciones de fase de segundo orden.
Parametro de orden ) Cantidad fsica que se anula en la fase de
alta temperatura. (Ej : magnetizacion espontanea en la transicion
ferromagnetica).
Parametro de orden vara continuamente desde cero para T Tc )
Se expande la energa libre en serie de potencias.
Transicion ferromagnetica en un cristal cubico ) la energa libre se puede
escribir:
F(M; T) = F(0; T)+(M2
x +M2
y +M2
z )+
1
2

6. 1(M)2+
1
2

7. 2(MxMy+MxMz+MyMz)2
(1)
En una primera aproximacion se asume

8. = cte y una dependencia de con la
temperatura:
(T) = 0
T
Tc
1
; 0 0 (2)
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9. Teora (Ginzburg y Landau, 1950)
Parametro de orden (r):
j s(r)j2 = ns(r) (3)
Densidad de energa libre Fs(r):
Fs(r) = FN j j2 +
1
2

10. j j4 +
1
2m
j(i~r qA=c)j2
ZBa
0
M:dBa; (4)
Aporte del campo magnetico a la energa ) 1
8B2(r)
donde B(r) = r A(r).
Fs(r) = FN j j2 +
1
2

11. j j4 +
1
2m
j(i~r qA=c)j2
ZBa
0
M:dBa +
1
8
B2(r): (5)
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12. Ecuaciones de Ginzburg-Landau
Minimizacion de Fs(r) ) procedimientos del calculo variacional, por ser una fun-
cional.
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13. Ecuaciones de Ginzburg-Landau
Minimizacion de Fs(r) ) procedimientos del calculo variacional, por ser una fun-
cional.
Minimizamos la energa libre total
R
dV Fs(r) con respecto a s(r):
Fs(r) =
+

14. j j2 +
1
2m
(i~r qA=c) : (i~r qA=c)
+ c:c:
(6)
e integrando por partes, obtenemos
Z
dV (r ) (r ) =
Z
dV
r2
; (7)
= 0 en la frontera.
Finalmente
Z
dV Fs(r) =
Z
dV
+

15. j j2 +
1
2m
(i~r qA=c)2
+c:c (8)
Primera ecuacion de Ginzburg-Landau
+

16. j j2 +
1
2m
(i~r qA=c)2
= 0 (9)
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17. Minimizamos la energa libre total
R
dV Fs(r) con respecto a A,
conduce a la ley de Ampere:
r B =
4
c
J(r) (10)
r2A =
4
c
j =
2iq~
mc
( r r ) +
4q2
mc2
j j2A; (11)
el lado derecho contiene la expresion para la supercorriente
Segunda ecuacion de Ginzburg-Landau
j =
iq~
2m
( r r )
q2
mc
A: (12)
) Una expresion identica a la de la densidad de corriente en Mecanica Cuantica.
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18. Condiciones de frontera
Consideramos el termino de frontera
/
Z
i~r
q
c
d + c:c (13)
A
Exigimos que no haya
ujo de corriente fuera del superconductor en el vaco:
n:J(r) = 0 donde n es el vector normal a la super

19. cie.
La condicion de frontera natural en la frontera superconductora:
i~r
q
c
A

22. n
= 0; (14)
Asegura que no haya
ujo de corriente a traves de la super

23. cie.
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24. Longitud de correlacion
Las ecuaciones de Ginzburg-Landau Ecs. (9), (12) introducen dos longitudes
caractersticas:
Consideramos el caso en ausencia de campo A = 0 y tal que las
variaciones del parametro de orden de segundo orden son
despreciables

25. j j2 ! 0.
En una dimension Ec. (9)
~2
2m
d 2
dx2 = ; (15)
Que tiene soluciones del tipo exp(ix=) donde se de

26. ne como
=
~2=2m
1=2
(16)
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27. =
p ~
2mjj
=
p ~
2m0c
(Tc T)
=
~1=2
p
2m0c
Tc
= (0)1=2; (17)
donde = (Tc T) =Tc y (0) = ~=
p
2m0c
Tc es un radio de correlacion
condicional para T = 0; condicional puesto que la teora , es estrictamente
aplicable solamente en la vecindad de Tc.
(T) = (0)
Tc
Tc T
1=2
(18)
de modo que las variaciones de que tienen lugar dentro de la longitud
(T) son suaves respecto a (0) si T es cercana a Tc
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28. Consideremos ahora la longitud de penetracion de un campo
magnetico debil (B Hc) en el superconductor.
Asumimos que j j2 = j 0j2 el valor en la ausencia de campo. Entonces la
ecuacion para la supercorriente se reduce a
J(r) =
q2=mc
j 0j2A; (19)
que es justamente la ecuacion de la Teora de London.
J(r) =
c=42
A; (20)
con la longitud de penetracion
2 =
mc2
4q2 j 0j2 =
mc2

29. 4q2 jj
(21)
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30. Parametro de Ginzburg-Landau
Hasta el momento se han de

31. nido las dos longitudes caractersticas (T)
y (T), que determinan el comportamiento de un superconductor cerca al
punto de transicion. Ambas divergen cuando T ! Tc. Se de

32. ne la razon
=
(T)
(T)
(22)
como el parametro de Ginzburg-Landau.
Usando las de

33. niciones de (T) y
=
mc
q2~

34. 2
1=2
: (23)
Cuando . 1, ( ) el superconductor es de tipo I, cuando 1,
( ) el material es del segundo tipo.
Se encontro que la separacion p
exacta entre los dos tipos de superconduc-
tores, ocurre para = 1=
2.
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35. Una aplicacion simple: nucleacion de la
superconductividad en muestras volumetricas
Consideraremos el problema de la nucleacion de la superconductividad en
una muestra volumetrica, en presencia de un campo H dirigido en la direc-
cion z.
Un gauge conveniente es:
Ay = Hx (24)
Para esto se despreciara el termino no lineal en la primera ecuacion de
Ginzburg-Landau, bajo el supuesto de que j j2 2
1, para un campo
externo determinado. En la aproximacion lineal
i~r
q
c
A
2
= ; (25)
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36. Utilizando el resultado conocido, que establece que el
ujo magnetico debe
estar cuantizado, se representa el cuanto de
ujo por 0 = hc=e con h, la
constante de Planck, as:
1
i
r
2
0
A
2
=
2m
~2
2(T)
: (26)
*M. Thinkam, Introduction to Superconductivity (Mc Graw-Hill, New York, 1996 2nd ed).
Sustituyendo el gauge para el campo magnetico en (26), encontramos:
r2 +
4i
0
Hx
@
@y
+
2H
0
2
x2
#
=
2(T)
(27)
as es razonable buscar soluciones del tipo
= eikyyeikzzf(x): (28)
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37. Sustituyendo en (27) y reagrupando terminos, encontramos:
f00(x) +
2H
0
2
(x x0)2f =
1
2
k2
z
f (29)
x0 =
ky0
2H
: (30)
Se pueden obtener soluciones de Ec.(29) inmediatamente, notando que esta
corresponde a la ecuacion de Schrodinger para una partcula de masa m en
un potencial armonico con fuerza constante (2H=0)2 =m ) niveles de
Landau, separados por la frecuencia ciclotronica ~!.
n =
n +
1
2
~! =
n +
1
2
~
2eH
mc
(31)
igualando con ~2=2m
1
k2
2 z
,
H =
0
2n(2n + 1)
1
2
k2
z
; (32)
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