1
EXERCICE N°1
1°)Soit g la fonction définie sur ] [+∞,0 par : g(x) = xln(x) – x + 1 .
a) Etudier le sens de variations de g
b) En déduire le signe de g .
2°)On considère la fonction f définie sur ] [+∞,1 par : f(x) =
1x
)xln(
−
a) Etudier les limites de f en + ∞ et en 1 .
b) Dresser le tableau de variation de f .
c) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( unité : 2cm)
EXERCICE N°2
1°)Soit f la fonction définie par : pour tout x ≥ 0 : f(x) = ( )
2
²x
x1xln +−+
a) Etudier les variations de f
b) En déduire que pour tout x ≥ 0 : ( )1xln
2
²x
x +≤−
2°) Soit f la fonction définie par : pour tout x ≥ 0 : f(x) = ( )
3
x
2
²x
x1xln
3
−+−+
a) Etudier les variations de f
b) En déduire que pour tout x ≥ 0 : ( )
3
x
2
²x
x1xln
3
+−≤+
3°)Etudier la limite éventuelle en 0+ de
²x
x)x1ln( −+
EXERCICE N°3
Soit f définie sur ]–1, 1[ par f(x) = (1 – x2).ln(
x-1
x1 +
). Montrer que f est continue. Etudier la parité de f et
montrer que f se prolonge en une fonction continue sur [–1, 1].
EXERCICE N°4
Soit g définie sur { }1R*
−+ par g(x) =
1x
x.ln(x)
−
et prolongée par continuité en 0 et en 1.
1°)Que valent g(0), g(1) ?
2°)Etudier la branche infinie de Cg.
EXERCICE N°5
Soit n appartenant à N. gn : ]0, 1[ → R, x → 





x
1
lnx n
1°)Montrer gn que est continue sur ]0, 1[
2°)Montrer que gn admet un prolongement par continuité fn sur [0, 1].
EXERCICE N°6
On considère la famille de fonctions (fn)n∈N* définies sur ]−1, +∞[ par fn(x) = xn ln(1 + x).
Soit n ∈ N*, on note hn la fonction définie sur ]−1, +∞[ par .
x1
x
)x1ln(n)x(hn
+
++=
1) Etudier le sens de variation des fonctions hn.
2) Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn.
3) Etude du cas particulier n = 1.
a. Après avoir justifié la dérivabilité de f1 sur ]−1, +∞[, exprimer f1'(x) en fonction de h1(x).
b. En déduire les variations de la fonction f1 sur ]−1, +∞[.
4) Soit n ∈ N* {1}.
a. Justifier la dérivabilité de fn sur ]−1, +∞[ et exprimer fn'(x) en fonction de hn(x).
b. En déduire les variations de fn sur ]−1, +∞[. On précisera les limites aux bornes.
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2
EXERCICE N°7
Soient dx
)x41()1x2(
x2x
I
2
1 2
2
∫ −+
+
= et dx
)x41()1x2(
1x2
J
2
1 2
2
∫ −+
+
= .
1°) Calculer K = 2I + J et L = 2I – J.
2°) En déduire I et J.
EXERCICE N°8
Partie I.
On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, ∑=
=
n
1k
n
k
1
v .
1°)Montrer que : ∫
+
≤
+
∈∀
1k
k
dt
t
1
1k
1
,*Nk .
2°)En déduire que : 1)nln(v,*Nn n +≤∈∀ .
Partie II.
On considère une suite (un) définie par son premier terme uo = 1 et par la relation suivante, valable pour tout
entier n :
n
n1n
u
1
uu +=+
a)Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.
b)En déduire le sens de variation de la suite (un).
2°)a)Pour tout entier k, exprimer
2
k
2
1k uu −+ en fonction de
2
ku .
b)En déduire que : ∑
−
=
++=∈∀
1n
0k
2
k
2
n
u
1
1n2u,*Nn
c)Montrer que: 1n2u,*Nn
2
n +≥∈∀ . En déduire la limite de la suite (un).
3°)a)A l’aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : 1n
2
n v
2
1
2n2u −++≤
b)En utilisant la partie 1, établir que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2,
2
)1nln(
2
5
n2u
2
n
−
++≤ .
c)En déduire
n
u
lim n
n +∞→
.
EXERCICE N°9
Soit f : ]1, +∞[ → R l'application définie par : ∀x ∈ ]1, +∞[ f(x) =
)xln(.x
1
.
1°) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.
2°) Montrer que pour tout entier k tel que k ≥ 3 : f(k) ≤ ∫ −
k
1k
dx)x(f ≤ f(k-1).
Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 on note Sn = ∑=
n
2k
)k(f .
3°) a) Montrer que pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 : Sn -
)nln(.n
1
Sdx)x(f
)2ln(.2
1
n
n
2
−≤≤ ∫ .
b) En déduire que pour tout n ∈ R tel que n ≥ 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) )2ln(
2
1
)2ln(ln)nln(lnS)2ln(ln)nln(ln n +−≤≤−
c)Calculer alors
( ))nln(ln
S
lim n
n +∞→
.
4°)Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 on note : ( ))1nln(lnSu nn +−= et ( ))nln(lnSu nn −=
Montrer que les suites (un)n≥2 et (vn)n≥2 sont adjacentes. On note ℓ leur limite commune.
5°) a) Montrer que pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 : 0 ≤ vn -
)nln(.n
1
≤ℓ
b) En déduire une valeur approchée de ℓ à 10-2 prés

3
EXERCICE N°10
On pose, pour tout élément n de N* : un = ∑=
n
1p
p
1
.
1)a. Montrer que : ∀ p ∈ N* , ∫
+1p
p
t
dt
≥
1p
1
+
.
b. En déduire que : ∀ n ∈ N* , un ≤ 1 + ln(n).
2°)On considère la fonction ϕ1 définie sur R+ par :



>+=
=
0xsi))xln(1(x)x(
0)0(
1
1
φ
φ
Montrer que ϕ1 est continue sur R+.
3°)Pour tout réel x positif et pour tout entier naturel n non nul, on pose : ϕn+1(x) = dt)t(
x
0
n∫φ .
a. Montrer que pour tout élément n de N* la fonction ϕn est parfaitement définie et continue sur R+.
Que vaut ϕn(0) ?
b. Vérifier qu'il existe deux suites (an)n∈N* et (bn)n∈N* telles que:∀ n ∈ N*,∀x∈ R*+ ϕn(x)= xn (an+bn ln x ).
On montrera que : ∀ n ∈ N* an+1 = 2
nn
)1n(
b
1n
a
+
−
+
et bn+1 =
1n
bn
+
.
5°)Calculer bn.
6°)Pour tout élément n de N*, on pose : cn = n! an.
a. Montrer que cn =2- un.
b. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : cn  ≤ 1 + ln(n).
c. Conclure que
+∞→n
lim an = 0.
EXERCICE N°11
1°) Soit x > -1. Démontrer : ln(1+x) ≤ x .
2°) Soit k dans ]0, 1[ et soit (un) définie par un = ∏=
+
n
0p
p
)k1(
a) Montrer que (un) est croissante.
b) Montrer que la suite (vn) définie par vn = ln(un) est majorée.
c) Montrer que (un) est convergente.
EXERCICE N°12
Soit u et v les deux suites définies par :
un = 1 + )nln(
n
1
...
3
1
2
1
−+++ et vn = 1 + )1nln(
n
1
...
3
1
2
1
+−+++
Montrer que u et v sont deux suites adjacentes. On sera amené à étudier les VARIATIONS, puis le SIGNE des
fonctions f et g définies par :f(x) =
1x
1
1x
x
ln
+
+





+
; g(x) =
1x
1
2x
1x
ln
+
+





+
+
.