1. Exercice N° 1: (2points)
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1) Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et a et b deux
réel de I on à:
) ( ) 0 ) ( ) 0 ) ( ) 0
b b b
a a a
a f t dt b f t dt c f t dt≥ ≥ ≥∫ ∫ ∫
2) La limite de ln(1 )t
t
−
en zéro est égale à :
a) 1 b) -1 c) 2
3) La parabole d'équation x2
= 4 y à pour foyer le point de coordonnées :
a) F (0,-1) b) F(0,1) c) F(1,0)
4) L'intégrale
1
ln
x
t dt∫ pour tout ] [0,x ∈ + ∞ est égal à :
a) x lnx – x + 1 b) x ln x c) x ln x - x
Exercice N° 2: ( 3points)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on désigne par (H) l'ensemble des
points M(x, y) tels que: 2 2
12 4 48.x y− =
1) a- Montrer que (H) est une hyperbole de foyer F(4,0).
b- Déterminer les asymptotes de (H) puis tracer (H).
2) Soit M(x0,y0) un point de (H) non situé sur l'axe focal .La tangente (T) à
(H) en M coupe la droite D d'équation x = 1 en un point Q.
a- Calculer le produit scalaireFM FQ
uuuur uuur
.
b- En déduire une construction géométrique de la tangente à (H)
en un point M de (H).
Prof: Otay
Classe: 4eme
Maths
Durée :4 heures
Devoir de synthèse N° 2
MathématiquesLycée El aghaliba
Mars 2009

2. Exercice N° 3: (5points)
Soit OAB un triangle rectangle isocèle en O tels que ( ) [ ], 2
2
OA OB
π
π≡
uuur uuur
et OA = OB = 2 cm
On pose I = O * A , J = O * B et K = A* B.
On désigne par S la similitude directe tel que S(A) = K et S(K) = J.
A / 1) Déterminer le rapport et l'angle de S .
2) Montrer que O est le centre de S.
B / On considère le repère orthonormé ( , , )R O OI OJ=
uur uuur
.
1) Déterminer l'application complexe associée a S.
2) Soit P l'ensemble des points M(x,y) vérifiant: x2
+ y2
+ 2xy – 4x + 4y = 0 selon R.
a- Soit M'(x',y') tel que M' = S (M) . Montrer que
( ' ')
( ' ')
x x y
y y x
= +

= −
.
b- Donner une équation de P' l'image de P par S.
c- Montrer que P' est une parabole dont on précisera le foyer F' et la directrice D'.
d- En déduire que P est une parabole dont on pressera le foyer et la directrice.
( 5points):Exercice N°4
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ln(x2
– 2x +2).
.On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1) a- Dresser le tableau de variation de la fonction f
b- Montrer que la droite D d'équation x = 1 est un axe de symétrie pour (C).
c- Préciser la branche infinie de (C) au voisinage de + oo.
d- Tracer la courbe (C).
2) Soit F la fonction définie sur 0,
2
π 
  
Par
1 tan
2
1
( )
2 2
x
dt
F x
t t
+
=
− +∫
et que F'(x) = 1.0,
2
π 
  
a- Montrer que F est dérivable sur
b- En déduire que F(x) = x et que
2
2
1
2 2 4
dt
t t
π
=
− +∫
3) a-Montrer que
2 2 2
2
1 1
( ) 2ln 2 2
2 2
x x
f x dx dx
x x
−
= −
− +∫ ∫
2
2 2 2
1 1
, 1
2 2 2 2 2 2
x x x
x IR
x x x x x x
− −
∈ = + −
− + − + − +
b- Vérifier que pour tout
c-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites

3. d'équations x=1 et x= 2
( 5points):Exercice N°5
( )
1
2
0 1
n
n
x
I dx
x
=
+
∫On définie pour tout entier naturel non nul n l'intégrale
1) Montrer que la suite (In) est décroissante .Déduire qu'elle est convergente
lim n
n
I
→∞
.
1 1
;
4( 1) 1
nn IN I
n n
∗
∀ ∈ ≤ ≤
+ +
En déduire2) Montrer que
3) a) Montrer que
1 1
3
0
1 2
;
4( 1) 1 ( 1)
n
n
x
n IN I dx
n n x
+
∗
∀ ∈ = +
+ + +∫
1 1 1 2
( 1)
4 4( 2) 4 2
nn IN n I
n n
∗
∀ ∈ + ≤ + ≤ +
+ +
Déduire queb)
lim ( 1) n
n
n I
→∞
+ En déduire lim n
n
nI
→∞
c) Calculer
4) Pour tout entier naturel non nul on pose
1
3
1 0
( 1)
( 1)
n
k
n K
K
x
S I et I dx
x=
−
= − =
+
∑ ∫ :
a- Montrer que
1
8
I = −
b- Vérifier que [ ]
1
1
( 1)
0,1 : ( 1)
1 1
n nn
K K
K
x x
n IN et x x
x x
+
∗
=
− −
∀ ∈ ∀ ∈ − = +
+ +
∑
c- En déduire que
1 1
3
0
( 1) .
(1 )
n
n
n
x
S I dx
x
+
− = −
+∫
En déduire que (Sn) est convergente et déterminer sa limite.,d- Montrer que 1n nS I I +− ≤
………………………………. ……………………. ………………………………..

4. Correction du devoir de synthèse N° 2
Exercice N° 1:
1) b 2) b 3) b 4) a
Exercice N° 2:
1) a-
2 2
12 4
1
48 48
x y
− =
2 2
1
4 12
x y
− = donc a = 2 ; b= 2 3 et c= 4
(H) est une hyperbole de foyer F(4,0) et de directrice D: x = 1
b- D1 : y = 3 x et D2 : y = - 3 x
2) a- Q (1,yQ)
Q 0
0 0
: 1
4 12
M
xx yy
T∈ − = on conclu que 0
0 0
3 12
Q
x
y
y y
= −
0
0
4x
FM
y
− 
 
 
uuuur
et 0
0 0
1 4
3 12FQ x
y y
− 
 
 − 
 
uuur
Donc 0
0 0
0 0
3 12
( 4)( 3) ( ) .... 0
x
FM FQ x y
y y
= − − + = =
uuuuruuuur
b- 0FM FQ =
uuuuruuur
donne FM FQ⊥
uuuur uuur
on trace la perpendiculaire à (FM) passant par M.
Exercice N° 3:
A- 1) 2
2
k = et [ ]2
4
π
θ π≡
B) 1) S(M) = M'
Z' = a Z + b or S(O) = O donc b= 0 d' ou Z' = a Z = 4
2
2
i
e Z
π
1
' ( )
2 2
i
Z Z= +
2) a-Z = x + iy et Z' = x' + iy'
1
' ' ( )( ) ..........
2 2
i
x iy x iy+ = + + =
b- on obtient x= x' +y' et y= y' – x'
c- P' : y'2
= 2x' donc P' est une parabole de foyer (
1
'( ,0)
2
F et de directrice D': x'=
1
2
−
d- P' = S(P) donc P = S -1
(P) , S -1
est une similitude directe de centre O , de rapport
2 et d'angle
4
π
−
Soit M un point du plan et K son projeté orthogonal sur D' on note N = S-1
(M) ,
H = S-1
(K) et F = S-1
(F')

5. M ∈P' signifie que
'
1
MF
MK
=
Signifie que
2
1
2
NF
NH
=
Signifie que 1
NF
NH
=
Comme (MK) ⊥ D' en K alors (NH) ⊥ S-1
(D') en H
On pose D = S-1
(D')
1
NF
NH
= donc P est une parabole de foyer F et de directrice D avec F = S-1
(F')
xF= x'F' + yF' =
1
2
et yF = 0 -
1
2
= -
1
2
d’où F(
1
2
,-
1
2
) et D : x – y = -1
Exercice N° 4:
1) f est définie ssi 2
2 2 0x x− + f
or 2
2 2 0x x− + =
4 0∆ =− p sig 2
2 2 0x x− + f
Df =IR
2
2( 1)
'( )
2 2
x
f x
x x
−
=
− +
b-
c-
( )
lim 0
x
f x
x→+∞
= donc cf admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses
2) b- F'(x) =1 sig que F(x) = x + c or F(0) = 0 donc F(x) = x
2
2
1
( )
2 2 4 4
dt
F
t t
π π
= =
− +∫
2) a-
2
1
( )f x dx∫
u(x) = ln( x2
– 2x +2) u'(x) = 2
2 2
2 2
x
x x
−
− +
v'(x) = 1 v(x) = x
2
1
( )f x dx∫ = …………….=…..
b-Réduire au même dénominateur
c-
2
2
1
ln( 2 2A x x dx= − +∫

6. =
2
2
1
ln( 2 2)x x dx− +∫
= 2ln2 - 2
2 2
2
1
2 2
x x
dx
x x
−
− +∫
= 2ln2 - 2
2
2 2
1
1 1
1
2 2 2 2
x
dx
x x x x
−
+ −
− + − +∫
= ………………
= (ln2 +
4
π
) ua
Exercice N° 5:
1)In+1 – In =……..≤0 or In est minoré par 0 d’où le résultat
2) 0 1 1 1 2x sig x≤ ≤ ≤ + ≤ sig 1 ≤(x+1)2
≤ 4 sig ………………
3) a-
1
2
0
(1 )
n
n
x
I dx
x
=
+∫ une intégration par partie avec
u(x) = 2
1
(1 )x+
u'(x) = 3
2
(1 )x
−
+
v'(x) = xn
v(x) =
1
1
n
x
n
+
+
nous donne le résultat
b- de même que la question n°2
c- 1
lim ( 1) ..........
4
n
n
n I
→+∞
+ = =
1
lim
4
n n
n
nI I
→+∞
+ = or lim 0n
n
I
→+∞
= donc
1
lim
4
n
n
nI
→+∞
=
4)a-
1
3
0
( 1)
x
I dx
X
−
=
+∫ une intégration par partie avec
u(x) = x u'(x) = 1
v'(x) = 3
1
( 1)x
−
+
v(x) = 2
1
2( 1)x +
nous donne I =
1
8
−
b-
1
1 ( )
( 1) ( )
1 ( )
nn
k k
k
x
x x
x=
− −
− = −
− −
∑ ,somme des termes consécutif d'une suite géométrique de
raison (-x) et de premier terme (-x).
1
1
( 1)
( 1)
1 1
n nn
k k
k
x x
x
x x
+
=
− −
− = +
+ +
∑
c- Sn- I =……..=
1
3
1
(1 )
0
( 1)
nn x
x
dx
+
+
− ∫

7. d- nS I− =
1
3
1
(1 )
0
n
x
x
dx
+
+∫ or (1+x)2
≤ (1+x)3
donc 3
1
(1 )x+
≤ 2
1
(1 )x+
sig
1
3
(1 )
n
x
x
+
+
≤
1
2
(1 )
n
x
x
+
+
sig
1 1
3
0
(1 )
n
x
dx
x
+
≤
+∫
1 1
2
0
(1 )
n
x
dx
x
+
+∫
d’où le résultat
1
lim
8
n
n
S I
→+∞
−
= =