1. 1
Théorème
Soit a un réel fini ou infinie
aulim n
n
=
+∞→
, si et seulement si, aulim n2
n
=
+∞→
et aulim 1n2
n
=+
+∞→
Théorème
Toute suite convergente est bornée.
Théorème
Soit ℓ et 'ℓ deux réels.
Soient )u( n et )v( n deux suites convergentes respectivement vers ℓ et 'ℓ .
• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : 0un ≥ , alors 0≥ℓ
• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : 0un ≤ , alors 0≤ℓ
• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : Mum n ≤≤ , alors Mm ≤≤ ℓ
• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : nn vu ≤ , alors 'ℓℓ ≤
Convergence et divergence
• Si



croissanteest)u(
majoréeest)u(
alors (u) est convergente vers un réel ℓ et pour tout n de I : ℓ≤nu
• Si



tedécroissanest)u(
oréeminest)u(
alors (u) est convergente vers un réel ℓ et pour tout n de I : ℓ≥nu
• Si




majoréenonest)u(
croissanteest)u(
alors +∞=
+∞→
n
n
ulim
• Si




oréeminnonest)u(
tedécroissanest)u(
alors −∞=
+∞→
n
n
ulim
Calcul de limite
• Si



ℓ
ℓ
encontinueestf
verseconvergentest)u(
alors ( ) )(fuflim n
n
ℓ=
+∞→
• Si




=
=
→
+∞→
e)x(flim
)iniinfoufini(ulim
n
n
n
ℓ
ℓℓ
alors ( ) euflim n
n
=
+∞→
Soit (u) la suite définie par ( )n1n ufu =+
• Si



ℓ
ℓ
encontinueestf
verseconvergentest)u(
alors )(f ℓℓ =
Suite adjacente
• Si
( )





=−
≤∈∀
+∞→
0vulim
tedécroissanest)v(etcroissanteest)u(
vuIn
nn
n
nn
nn
alors )u( n et )v( n convergent vers le même
limite
Théorème d’encadrement
• Si




==
≤≤≥∈∃
+∞→+∞→
ℓn
n
n
n
nnn00
wlimvlim
wuv:nn/Nn
alors ℓ=
∞→
n
n
ulim
• Si




=
≤≥∈∃
+∞→
0vlim
vu:nn/Nn
n
n
nn00
alors 0ulim n
n
=
∞→
Fiche de cours 4ème Maths
Suites rSuites rSuites rSuites reeeeelleselleselleselles
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
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2. 2
• Si




+∞=
≥≥∈∃
+∞→
n
n
nn00
wlim
wu:nn/Nn
alors +∞=
∞→
n
n
ulim
• Si




−∞=
≤≥∈∃
+∞→
n
n
nn00
vlim
vu:nn/Nn
alors −∞=
∞→
n
n
ulim
Suite arithmétique – Suite géométrique
( ) ( )
{ }
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
+
+
+
=
+
=
=
=
=
+
+∞→
+∞→
+∞→
−
++
−
−
=+++=•
−
−
=+++=•
−∈
++−
=+++=•
++
=+++=•
+
=+++=•
+=+++=•







−≤
>∞+
=
<<−
=





=
+∞=
⇒≠⇒−≠−
=−+=
=+=
=+=
n
pk
1np
n1ppk
1n
n1
n
0k
k
*
np
n1pp
n
pk
k
n
0k
n0
n10k
n
0k
n
0k
xfois1n
n
n
n
n
0
1
1
2
0112
sp
spsp
n
0n0n
n1nn1n
q1
qq
q...qqq
q1
q1
q...q1q
1Rqtoutpour
2
)uu)(1pn(
u...uuu
2
)uu)(1n(
u...uuu
2
)1n(n
n...21k
x)1n(x...xxx
1qsipasexiste'n
1qsi
1qsi1
1q1si0
qlim
0
n
1
lim
nlim
g.snonv
v
v
v
v
a.snonuuuuu
qvvr)sp(uu
qvvnruu
qvvruu
***g.segéométriquSuite******a.suearithmétiqSuite***