1) El documento presenta 15 problemas de trigonometría relacionados con sectores circulares, ángulos centrales, áreas de sectores y figuras formadas por arcos de circunferencia. 2) Los problemas incluyen cálculos para determinar áreas, longitudes de arcos, números de vueltas de ruedas y medidas de ángulos. 3) La resolución de los problemas requiere aplicar conceptos como relación entre área y medida del ángulo central de un sector, fórmulas para calcular áreas de sectores y figuras compuestas, y relaciones entre

1. Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
S-02
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2016-III
TRIGONOMETRÍA
“Sector Circular”
I. PROBLEMA DE CLASE
1) En un trapecio circular sus arcos miden
√2𝑥 𝑦 √2𝑦, 𝑥 > 𝑦 . si su área es
𝑥2
− 𝑦2
2
, calcular
la medida del ángulo central del sector
circular al cual pertenece.
a) .1rad b) .2rad c) .2rad
d) .3rad e) .4rad
2) En la figura adjunta :
Si: 𝑚𝐴𝐷̂ = 𝑎 , 𝑚𝐵𝐶̂ = 𝑏 y AB = DC = h ,
entonces, el área de la figura sombreada es
igual a :
A)
𝑎.𝑏
2ℎ
B)
𝑎+𝑏
2ℎ
C)
( 𝑎+𝑏)ℎ
2
D)
( 𝑎−𝑏)ℎ
2
E) ( 𝑎 + 𝑏)ℎ
3) De la figura mostrada calcule:
1
32
.11
2
L
LL  , si L1 ,
L 2 y L 3 son longitudes de arcos y
AB =BC=CD y “K” es el área delsector circular
JAH
A) 4 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
4) La medida del ángulo central de un sector
circular de radio R es 24º y se desea
disminuirlo en 18º de tal manera que el área
no varié si aumentamos el radio una longitud
“x” .determinar “x”
A) R B) 2R C) R/2 D) R/3 E) 3R
5) De la figura mostrada, Siendo O centro del
sector circular AOB y COD, xBDAC  ,
1xLCD
, 1xLAB
, entonces el valor de
x. , es:
A) 1 B) 1,5 C)2 D) 2,5 E) 3
6) Determine el área de un sector circular en
función de su perímetro P, si se sabe que
dicha área es máxima.
A)
2
2
P B)
4
2
P C)
8
2
P D)
16
2
P E)
32
2
P
7) En el gráfico adjunto, el área del sector
circular COD es el doble del área del sector
AOB. Hallar la medida del ángulo “” en
radianes, si 3OB=2BC
a)
4𝜋
29
b)
5𝜋
33
c)
8𝜋
33
d)
7𝜋
29
e)
4𝜋
21
Semana Nº 2

2. Lic. Rodolfo CarrilloVelàsquez Trigonometría.
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2
8) Calcular la longitud de la curva PQT de la
figura, sabiendo que 𝑃𝑄̂ Y 𝑄𝑇̂ son arcos de
circunferencias cuyos centros son O Y O’,
respectivamente.
A) 3𝜋 cm B) 4𝜋 cm C) 6𝜋 cm
D) 7𝜋 cm E) 8𝜋 cm
9) En la siguiente figura 𝑆1 + 𝑆2 = 16𝜋. Calcular
r.
A) 2𝑐𝑚 B) 2√2𝑐𝑚 C) 4cm D) 6cm E) 8cm
10)Dos ruedas de radios R y r (𝑅 > 𝑟) realizan
el mismo recorrido. Si la rueda menor da 10
vueltas y
𝑅
𝑟
=
5
2
, calcular el número de
radianes que gira la rueda mayor.
A)6𝜋 B) 8 𝜋 C) 10 𝜋 D) 4 𝜋 E) 2 𝜋
11)Se tiene un sector circular cuyo radio,ángulo
central y arco miden R cm, 𝜃 radianes y L cm
respectivamente. Si 𝑅( 𝜃𝑅 + 𝐿) = 𝑘.
Determinar el área del sector.
a) 2k b) k c)
𝑘
2
d)
𝑘
4
e)
𝑘
8
12)En el gráfico, hallar el valor de 𝐸 =
2𝑥
3𝑦−2𝑧
donde: 𝐶𝐷 = 2𝐷𝐵
a) ½ b) 2 c) 3 d)
1
3
e) 1
13)El área de la región sombreada es
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑.
Hallar el arco del sector BAE si ABCD esun
rectángulo
A)
𝜋
5
B)
4𝜋
5
C)
5𝜋
6
D)
7𝜋
15
E)
8𝜋
7
14)De gráfico, si las áreas de las regiones
sombreadas se relacionan de la siguiente
manera:
𝑆1
𝑆2
=
1
2
, entonces la medida del
ángulo 𝛼 , es:
a)
𝜋
7
b)
𝜋
6
c)
6
𝜋
d)
𝜋
8
e)
𝜋
18
15)Si lossectorescircularesAOB y COD , tiene
igual área, ademásOA = 2; entonces el área
de la región sombreada es:

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3
a) x – y b) 2( x - y ) c) 2( y - x )
d) 4 ( x – y ) e) 4( y - x)
PROBLEMA DE REPASO
1) Dos ruedas de radio r y R (r < R), recorren la
misma distancia horizontal. Si la suma del
número de vueltas de ambas ruedas es igual
a 10 veces su diferencia. Entonces, el
cociente entre los ángulos barridos, de la
rueda menor a la rueda mayor es:
A)
11
9 B)
10
9 C)
9
10 D)
9
11 E)
10
11
2) Se tiene dos monedas colocadas sobre una
mesa. Las monedas tienen diámetros D1 y D2,
siendo D1 > D2. La moneda más grande esta
fija y la moneda pequeña rueda sobre el
borde de la otra, haciendo un recorrido
completo y dando exactamente 3 vueltas.
calcule:
2
1
D
D
A) 2 B) 1,5 C) 2, 5 D) 3 E) 3,5
3) En la figura, las áreas de las superficies
ABCD y DOC cumplen la relación
S ABCD = 2.S DOC .calcule 32 
n
m
A)0 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
4) El tramo de una vía férrea curvilínea está
formado por 36 arcos sucesivos. Elprimer arco
corresponde a un ángulo de
rad
37
 , con un
radio talcomo R, el segundo corresponde a un
ángulo central doble del anterior, el tercero
corresponde a un ángulo el triple del primero y
con un ángulo también el triple del primero y
así sucesivamente hasta el último arco.
Encontrar la longitud total de la vía férrea
curvilínea.
A) R430 B) R432 C) R438 D) R500 E) R600
5) De la figura, se muestra doscircunferencias
de radiosr1y r2(r2> r1) y L1, L2 son la longitud
de arco de los sectores circulares, AOB y
COD respectivamente. Halle 1
2
L
L
.
A)
1
2
r
r
B)
2
1
r
r
C)
1 2
r.r
D)
1 2
r r E)
2 1
r r
6) En la circunferencia de la figura mostrada,
dos autos A y B parten del punto P en la
misma dirección, con velocidades VA y VB
respectivamente; después de un tiempo t el
ángulo central formado por sus posiciones
finales mide 90º. Calcule el valor de  (en
radianes), si se cumple que VA es a VB como
2 es a 5.
A)
6

B)
5

C)
4

A
B
P
O


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4
D)
3
 E)
2

7) En la figura mostrada, r1 = 2u, r2 = 4u, r3 =
3u, r4 = 8u; si las dosesferitasse encuentran
inicialmente al mismo nivel y la rueda deradio
r1 gira un ángulo de medida 1 rad, entoncesla
diferencia de alturas (h), después de este
giro (en u), es:
A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 3,5
8) De la figura mostrada; determine el número
de vueltas que da la rueda de radio r para
recorrer el circuito MNP.
A)
 R 3r
6r

B)
 R 3r
6r

C)
 R 3r
2r

D)
 3R r
2r

E)
 3R r
6r

9) De la figura mostrada si r 3u ;
AM = 6u, ME = 8u. Calcule el número entero
de vueltasque da la rueda al ir desde A hasta
B sin deslizamiento.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
10)Sobre una pista circular, 3 móviles parten al
mismo tiempo de un mismo punto y están
animados con un movimiento uniforme con
velocidades de
𝜋
2
,
𝜋
3
, −
𝜋
6
… .
𝑟𝑎𝑑
𝑚𝑖𝑛
. Calcule el
tiempo en que por primera vez se encuentran
los tres móviles.
A) 6 min B) 8 C)10 D) 12 E) 14
11)En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el
ángulo (en radianes) que se debe girar para
que los centros de las esferas A y B se
encuentren a la misma altura si inicialmente
dicha diferencia de alturas es de 14
unidades?
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
A
B
2u
5u
r
60°
A
M B
RN
M
R
R
P
R60
º
120
º
r
r3
r2
r1
r4
h