Semana 3

1
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
b
a
H
COSenA 
b
c
H
CA
CosA 
c
a
CA
COTanA 
a
b
CO
HCscA 
c
b
CA
HSecA 
a
c
CO
CA
CotA 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con razones trigonométricas.
 Reconocer las características de las 6 razones trigonométricas.
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que
resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo.
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
. a2
+ b2
= c2
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
Sen =
Hipotenusa
OpuestoCateto
=
c
a
Cos =
Hipotenusa
AdyacenteCateto =
c
b
tg =
AdyacenteCateto
OpuestoCateto
=
b
a
Ctg =
OpuestoCateto
AdyacenteCateto
=
a
b
Sec =
AdyacenteCateto
Hipotenusa
=
b
c
csc =
OpuestoCateto
Hipotenusa
=
a
c
Razones Trigonométricas Recíprocas
Siendo  un ángulo agudo se cumple:
1csc.
1
csc  

 sen
sen
;
1sec.cos
cos
1
sec  

 ;
1.
1
 

 ctgtg
tg
ctg
Razones Trigonométricas De Ángulos
Complementarios
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
En la figura se muestra:
 y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en
consecuencia:
 cos
c
b
sen ;  sen
c
a
cos
 ctg
a
b
tg  ;  tg
b
a
ctg 
 cscsec 
a
c
;  seccsc 
b
c
Semana Nº 3

Lic. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2
Debido a estas relaciones las co-razones son::
 seno y coseno.
 tangente y cotangente.
 secante y cosecante.
Teorema del complemento
   deocomplementRTcoαRT 
Se llaman co–razones trigonométricas una de la
otra.
NOTA:
 Si:








1
1
1



CtgTg
SecCos
CscSen
 Si:     º90  RTcoRT
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
Casos:
1.
2.
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
37º
53º
3
5
4
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 + 1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
Cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
Tan
3
3
4
3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
3
3
Sec
3
32
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
32
conocido).(T.R
conocidoLado
odesconocidLado 

A B
C
L
 BCTan
L
BC
 AC
L
AC
I)
II)

A B
C
L
 ABCot
L
AB
 AC
L
AC
I)
II)

3
3
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle “ctg” del gráfico, si:
BCAB 
A) 32 B) 33 C) 3 D) 6/3 E) 9/3
RESOLUCIÓN
3n
APM: ctg 
3
n
33ctg 
RPTA.: B
2. Si ,AD3CD  halle: tg
(tomar: sen37º=0,6)
A)
16
1 B)
8
1 C)
8
3 D)
16
3 E)
4
1
RESOLUCIÓN
Se pide:
16
3
k16
k3
tg 
RPTA.: D
3. Si el triángulo ABC es equilátero.
Determine tg.
A)
5
3 B)
6
3 C)
7
3 D)
8
3 E)
9
3
RESOLUCIÓN
k 3 3
tg
7k 7
  
RPTA.: C

A B
C
L  BCSen
L
BC

L
AB
I)
II)
M
B
A C
120º

B
A C
a
D
3a

CA
53º
D

M
B

A C
2n
2n
3n2 3n 3nP
3n
60º
60º60º
30º
4n
30º
n 30º
4n
3n 3

n
A
53º
CD
9K
15K
12K
4K

5K
53º
3K
B
A C
a = 2k
D
3a = 6k
 60º
30º
60º
8k
60º
7k k
k 3

4
4. Siendo “” y "β" las medidas de 2
ángulos agudos tales que:
 1sec.11cos
1csc.cos 
Halle:    '30º52sen.'30º37tgW 
A)1 B) ½ C) 3
2
D) 3 E)
3
3
RESOLUCIÓN
Datos:
i) cos11.sec  =111=  … (I)
ii) 1csc.cos 
  )º..(90º90csc.º90 IIsen  
  '30º7
2
º15
º9011:)(  IIenI
  '30º82
2
º165
2
º15
11:Ien"" 






Piden:
    ?'30º52.'30º37   sentgW
    
2
1
º30.º45  sentgW
RPTA.: B
5. En un triángulo rectángulo si la
hipotenusa es el doble de la media
geométrica de los catetos. Calcule la suma
de las tangentes trigonométricas de los
ángulos agudos del triángulo.
A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6
RESOLUCIÓN
Si: ab2c 
Si pide:  tgtgE 
2 2
a b a b
E
b a ab

  
Pero:
a² + b² = c²
 E = 4
ab
ab4

RPTA.: C
6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N
son puntos medios. Determine "cot " .
A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3
RESOLUCIÓN
De la figura: 3Cot
RPTA.: D
7. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.
A) 3cos 2Sen  
B) 2cos 3Sen  
C) 2sen 3cos  
D) 3sen 2cos  
E) 2sen 3cos  
b
a
c


B
CD
A

N
M
3

2
x

2a 2a
2a
a
45º
a2
a

5
RESOLUCIÓN
  CosSenx 23
RPTA.: D
8. En la figura, halle “X” en términos de ””,
“  ” y “m”.
A)   tgctgm
B)  m tg ctg  
C)   1
 tgctgm
D)   1
 ctgtgm
E)  tgctg.m
RESOLUCIÓN
Del gráfico: mxtgxCtg  
 x Ctg tg m   
   1
 tgctgmx
RPTA.: C
9. En la figura, halle el perímetro del
rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el radio
del cuadrante MON es “r”.
A)  2r sen cos  
B)  r csc sen  
C)  r sen cos  
D)  2r csc sec  
E) 2
r sec csc 
RESOLUCIÓN
 Perímetro del rectángulo
OABC=  2R csc sec  
RPTA.: D
PROBLEMA DE CLASE
1) En la figura 𝐴𝐵̅̅̅̅// 𝐶𝐷̅̅̅̅ 𝑦 𝑅𝑀̅̅̅̅̅// 𝑁𝑃̅̅̅̅ . si 𝑅𝑁̅̅̅̅ = 5, el
valor de 𝑁𝑃̅̅̅̅̅en función del ángulo 𝛼 es
a)
5
2
(3𝐶𝑡𝑔𝛼 + 1) b)
5
2
(√3𝑇𝑔𝛼 + 1) c)
5
2
(𝐶𝑡𝑔𝛼 + 1)
d)
5
2
(√3𝐶𝑡𝑔𝛼 + 1) e)
2
5
(√3𝑇𝑔𝛼 + 1)
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
2) Si: 𝑇𝑔𝛼 =
1
2
; 𝑇𝑔𝛽 =
1
3
𝑦 𝑇𝑔𝜃 =
1
7
, hallar 𝑇𝑔(𝛼 +
𝛽 + 𝜃)
A)
3
4
B)
4
3
C) 4 D) 3 E)
22
42
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
3) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo
mide 12m y uno de sus ángulos agudos mide
30º, el cateto mayor supera el cateto menor
en:
O
r
MA
C

N
B
m


X

x
3

2

Sen3
Cos2
m
X


xctg xtg
r
A
C

B


r Csc
r Sec r Sec 
r Csc 

6
A) (√3 − 1)𝑚 B) 3(√3 − 1)𝑚 C) 6(√3 − 1)𝑚
D) 5(√3 − 1)𝑚 E) 2(√3 − 1)𝑚
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - II
4) En la figura BP = 18m y 𝑁𝑃̅̅̅̅ // 𝐵𝐶̅̅̅̅ , hallar el
perímetro del triangulo ANP.
A) 72(√3 + 1) 𝑚 B) 37(√3 + 1) 𝑚 C)
17(√3 + 1) 𝑚 D) 27(√3 + 1) 𝑚 E) 47(√3 + 1) 𝑚
5) En la figura, AH = 15cm ; la medida de HM, es:
A) 15√3𝑐𝑚 B)
45
2
𝑐𝑚 C)
45
4
𝑐𝑚
D) 45𝑐𝑚 E)
45√3
2
𝑐𝑚
6) La tangente de un ángulo es
√3
3
. Hallar el coseno
del complemento de dicho ángulo.
A) 0.86 B) 0.50 C) 0.25 D) 0.43 E) 0.63
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
7) Calcular la superficie de un triángulo
rectángulo, sabiendo que su hipotenusa vale
54cm y el coseno del ángulo formado por la
mediana y altura relativa a la hipotenusa vale
2
3
A) 108 𝑐𝑚2
B) 216 𝑐𝑚2
C) 443 𝑐𝑚2
D) 486 𝑐𝑚2
E) 426 𝑐𝑚2
8) Si las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo son 8, (x+5) y (x+7) unidades, para
x<3; entonces el seno del mayor ángulo agudo
es:
A)
3
5
B)
8
17
C)
15
17
D)
2
3
E)
4
5
9) Del gráfico adjunto, determinar Cosθ ,
𝑠𝑖 𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐵𝐶̅̅̅̅ =
5
2
𝑅.
A)
1
3
B)
2
3
C) ½ D) ¼ E) ¾
10) Del grafico calcular Tg 
A) 3/5 B) 4/9 C) 9/10 D) 5/12 E) 5/14
11) Si: 12.085   CtgTgyCosSen ,
entonces el valor de
     º2325º54 22
  SenTgSenM ,
es:
A) 1,1 B) 2,1 C) 3,1 D) 4,1 E) 5,1
12) Al calcular:    22
1'30º674º15  CtgCtgM ,
se obtiene:
A) 349 B) 329 C) 397 
D) 329 E) 349
13) Siendo "" angulo agudo, además
Csc (40º -2) = Sec(50º+2).tg(20º+)
Calcular el valor de:
)º20sec().º50cos(
)º10(5




sen
k

a)
3
25 b)
2
25 c)
2
23 d)
3
35 e) 25

7
14) Dado el cuadrado ABCD, hallar Tg𝜃, si el área
de los triángulos EAF, FBC y EDC son iguales.
A)
1+√5
2
B)
2−√5
2
C)
3−√5
2
D)
4+√3
2
E)
5−√3
2
15) En el triángulo rectángulo mostrado, si
4
3
Tg , entonces el perímetro del triángulo
es igual a
a) 48m b) 96m c) 120m d) 80m e) 192m
16) En un triángulo ABC, AC = 10m, ∡𝐴 = 2∡𝐵 y la
longitud desde el pie de la altura trazada
desde el vértice C hasta el punto B es igual a
15m, luego el ángulo C mide:
A)
8
3 B)
4
3 C)
2
 D)
5
2 E)
7
3
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
17) En un triángulo isósceles ABC (AB = AC ) se
tiene : 𝐶𝑜𝑠 𝐴 =
3
5
. Calcular TgB
A) 1/5 B) 2/5 C) 2 D) 3/2 E) 3
EXAMEN EXCELENCIA – UNS 2013 - I
18) Si:
3
.
4
6
.
3
.
4



CtgTg
SecTgSen
Tg 
;
2
,0

 
Hallar Sen  . Cos 
A) 1 B) 6 C) 7 D)
6
7 E)
7
6
EXAMEN EXCELENCIA – UNS 2013 - I
19) Si
2
0
41
40 
  ySen , hallar






4

Ctg
a)
4
541  b)
4
541  c)
4
341 
d)
4
341  e)
4
3
20) En la circunferencia trigonométrica mostrada,
ABCD es un cuadrado. calcular Sen 
A)
5
3 B)
5
2 C)
5
22 D)
5
52 E) 2
PROBLEMA DE REPASO
1) Si: sen2x - cos15x = 0, Calcular el valor de:
E = sen13x.sec4x + tg10x - ctg7x
a) -2 b)-1 c)0 d) 1 e) 2
2) Del gráfico que se muestra encontrar el valor
de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es mediana
relativa a la hipotenusa.
A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28
3) El perímetro de un triángulo rectángulo es de
338m. Si la tangente de uno de los ángulos
agudos es 2,4 ¿Cuánto mide el cateto menor?
A) 135,19m B) 146,66m C) 50m
D) 56,33m E) 55m
A M C
B
37°
x
y

8
4) Calcular el perímetro de un triángulo isósceles
en función del lado desigual (b) y uno de sus
ángulos iguales ().
A) b (sen  + 1) B) b (cos  + 1) C) b (tg  + 1)
D) b (sec  + 1) E) b (csc  + 1)
5) La suma de los cuadrados de los catetos de un
triángulo rectángulo es 25. Si además, uno de
los catetos es el doble del otro, el valor de la
suma de los senos de los ángulos agudos del
triángulo rectángulo, es:
a)
√5
5
b)
2√5
5
c)
3√5
5
d)
4√5
5
e)
√5
3
6) Si 𝐶𝑜𝑠𝛼 =
𝑇𝑔
𝜋
6
+𝑆𝑒𝑛
𝜋
3
√1+𝑆𝑒𝑐2 𝜋
4
,
Calcular 𝑅 =
𝑆𝑒𝑛𝛼+𝑇𝑔𝛼
𝑆𝑒𝑛𝛼−𝑇𝑔𝛼
, (𝛼 𝑒𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜)
A) 1 B) 0 C) 11 D)-11 E) –
1
11
7) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
tiene que Ctg C = 1.25 ; hallar el valor de la
expresión: 𝑀 = 13 [
5𝐶𝑜𝑠𝐶+3𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑆𝑒𝑛𝐴+2𝑆𝑒𝑛𝐶
]
A) 47 B) 43 C) 37 D) 31 E) 21
8) De la figura adjunta, calcular aproximadamente
AB; sabiendo que 𝐵𝐶 = 10√3 𝑐𝑚
A) 7 𝑐𝑚 B) 14 𝑐𝑚 C) 7√3 𝑐𝑚
D) 14√3 𝑐𝑚 E) 5√3 𝑐𝑚
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
9) Se tiene un triángulo rectángulo en el cual la
diferencia entre el semiperímetro y la
hipotenusa es igual a 4. hallar el radio de la
circunferencia inscrita en dicho triángulo.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
10) Sí m 32 ; entonces el valor de
R = tg7º30` - Ctg 7º 30`, en términos de m es:
a) m/3 b) m/2 c) m d) 2m e) 3m
11) En un triángulo AB, se tiene:
 2m<BCA = m<BAC
 Cos(2C) = 1/8 ; c = 4u
La medida de los lados a y b, respectivamente, son:
a) 6u y 7u b) 6u y 4u c) 6u y 5u
d) 6u y 6u e) 6u y 3u
12) En la figura mostrada AOD es un cuadrante, M
y P son puntos de tangencia. Determinar
E=(1 – tg)2.
A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5
13) En el gráfico mostrado, calcular "tg ".
Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de
tangencia.
a) 1/3 b) ½ c) d) e) 2
3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III
14) Se sabe que:
6
.3
3
.
2
.
3
.

tgbSecaSen 











y que  SecSecbyCscCsca .. 
Entonces el valor de





 

2
.2

SecH
, es:
A
P
B0 M

2
2 2 2

9
A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 10

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