Μαθηματικά Δ΄ 5. 27. ΄΄Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://xristx.blogspot.gr/
Μαθηματικά Δ΄- Ενότητα 5η - Μάθημα 27ο
:
΄΄ Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες ΄΄
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Παρουσιάσεις
 Φύλλα εργασιών
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://xristx.blogspot.gr σελ.1

Δημιουργός: eva-edu
Τεµνόµενες ευθείες
Συναντιούνται σε
Τράβηξε τις γραµµές
- - - - - - - -
- - - - - - - -
Είναι ......................................
edu xristx.blogspot.gr Χρήστος Χαρμπής
Κεφάλαιο 27
ευθείες παράλληλες ευθείες
Συναντιούνται σε 1 σηµείο ∆εν συναντιούνται ποτέ
Τράβηξε τις γραµµές και γράψε αν είναι τεµνόµενες ή παράλληλες
- -
- -
...................................... Είναι ................................................
∆ύο τεµνόµενες ευθείες που σχηµατίζουν
4 ορθές γωνίες είναι κάθετες
Χρήστος Χαρμπής
ευθείες
συναντιούνται ποτέ
τεµνόµενες ή παράλληλες
................................................
σχηµατίζουν

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ-ΚΑΘΕΤΕΣ-ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ
ΟΝΟΜΑ: -------------------------------------------------------------------------- ∆1 – 11-02-09
1. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ευθειών είναι παράλληλα; (κύκλωσε)
(α)
(β) (γ) (δ)
2. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ευθειών είναι τεµνόµενα; (κύκλωσε)
(α) (β) (γ) (δ)
3. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ευθειών τέµνονται κάθετα; (κύκλωσε)
(β)
(γ) (δ)
(α)
4. Βρες σε ποια από τα παρακάτω γράµµατα υπάρχουν ευθύγραµµα τµήµατα που είναι: α)
παράλληλα µεταξύ τους, β) τεµνόµενα, γ) κάθετα µεταξύ τους.
Γ, Η, Λ, Ξ, Τ, Χ
Βασιλόπουλος Κων/νος

Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 27ο
Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεµνόµενες
ευθείες
Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:
Να γνωρίσουµε τις παράλληλες και τις τεµνόµενες ευθείες.
Να γνωρίσουµε τις κάθετες ευθείες.
Να ξέρουµε ότι δύο κάθετες µεταξύ τους ευθείες σχηµατίζουν 4
ορθές γωνίες.

2 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Αν παρατηρήσεις το χρώµα του αριθµού του κεφαλαίου, στο βιβλίο σου, θα δεις ότι είναι κίτρινο.
Εποµένως, το µάθηµα αυτό έχει περιεχόµενο που αναφέρεται στη γεωµετρία.
Το µάθηµα ξεκινάει µε µία ερώτηση:=
♦ Σε πόσα σηµεία µπορούν να συναντιούνται δύο διαφορετικές ευθείες;
Τι είναι η ευθεία;
• Είναι µία γραµµή που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος.
Είναι δυνατόν, δύο ευθείες να µην έχουν κανένα κοινό σηµείο;
• Ναι, δύο ευθείες µπορεί να µην έχουν κανένα κοινό σηµείο,
δηλαδή να µην συναντιούνται ποτέ, όσο και αν τις
µεγαλώσουµε (προεκτείνουµε) από τα δύο άκρα τους.
Τότε οι δύο ευθείες λέγονται παράλληλες ευθείες. ∆ύο
τέτοιες ευθείες φαίνονται στο διπλανό σχήµα.
Είναι δυνατόν, δύο ευθείες να έχουν ένα κοινό σηµείο;
• Ναι, δύο ευθείες µπορεί να έχουν ένα κοινό σηµείο,
δηλαδή να συναντιούνται σε ένα σηµείο. Τότε οι δύο
ευθείες λέγονται τεµνόµενες ευθείες. ∆ύο τέτοιες
ευθείες φαίνονται στο διπλανό σχήµα.
Η Στέλλα φτιάχνει σκίτσα
Σκέφτοµαι

• Μπορεί οι δύο ευθείες να µην συναντιούνται έτσι όπως τις βλέπουµε στο σχήµα µας αλλά να
συναντιούνται µόνο αν µεγαλώσουµε (προεκτείνουµε) κάποιο από τα δύο άκρα τους,
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Και σε αυτή την περίπτωση οι δύο ευθείες ονοµάζονται
τεµνόµενες ευθείες.
ΕΕΕίίίννναααιιι δδδυυυνννααατττόόόννν δδδύύύοοο εεευυυθθθεεείίίεεεςςς νννααα έέέχχχοοουυυννν πππεεερρριιισσσσσσόόότττεεερρρααα αααπππόόό έέένννααα κκκοοοιιινννάάά σσσηηηµµµεεείίίααα;;;
• Όχι, δεν είναι δυνατόν δύο ευθείες να έχουν περισσότερα από ένα κοινά σηµεία. Θα
µάθουµε σε επόµενη τάξη ότι αν δύο ευθείες έχουν περισσότερα από ένα κοινά σηµεία τότε
θα βρίσκεται η µία ευθεία πάνω στην άλλη και θα λέµε ότι οι δύο ευθείες συµπίπτουν.
∆ύο ευθείες µπορεί
να συναντιούνται σε ένα σηµείο (τεµνόµενες ευθείες)
να µην συναντιούνται σε κανένα σηµείο (παράλληλες ευθείες)
α) Με ξυλοµπογιές χαράζω τις διαδροµές των ποδηλάτων και ενώνω το κάθε
σκίτσο µε το επόµενό του:
Απαντώ

1ο σκίτσο 2ο σκίτσο
Με κόκκινο τη διαδροµή της Ηρώς
Με πράσινο τη διαδροµή του Νικήτα
Με µοβ τη διαδροµή της Ηρώς
Με πορτοκαλί τη διαδροµή του Νικήτα
Ποιο σκίτσο είναι το επόµενο του 1ου σκίτσου;
• Όπως βλέπω στο 1ο
σκίτσο τα ποδήλατα των δύο παιδιών κινούνται πάνω σε δύο ευθείες.
Αυτές οι δύο ευθείες, φαίνεται ότι δεν θα συναντηθούν, όσο κι αν προχωρήσουν τα δύο
Σκέφτοµαι

ποδήλατα. Με αυτή τη σκέψη οδηγούµαι στο συµπέρασµα ότι µετά το 1ο
σκίτσο ακολουθεί
το 4ο
σκίτσο.
Ποιο σκίτσο είναι το επόµενο του 2ου σκίτσου;
• Όπως βλέπω στο 2ο
σκίτσο τα ποδήλατα των δύο παιδιών κινούνται πάνω σε δύο ευθείες.
Αυτές οι δύο ευθείες, φαίνεται ότι θα συναντηθούν, αν προχωρήσουν τα δύο ποδήλατα. Με
αυτή τη σκέψη οδηγούµαι στο συµπέρασµα ότι µετά το 2ο
σκίτσο ακολουθεί το 3ο
σκίτσο.
Απαντώ

β) Παρατηρώ και συµπληρώνω όπου χρειάζεται:
Οι τεµνόµενες ευθείες συναντιούνται σ’ ένα
µόνο σηµείο.
Οι παράλληλες ευθείες ........................
................................................................
Οι παράλληλες ευθείες συναντιούνται σε κάποιο σηµείο;
• Όχι, οι παράλληλες ευθείες δεν συναντιούνται ποτέ σε κανένα σηµείο.
• Άλλωστε αν συναντιόταν σε κάποιο σηµείο τότε δεν θα τις λέγαµε παράλληλες αλλά
τεµνόµενες ευθείες.
Οι τεµνόµενες ευθείες συναντιούνται σ’ ένα
µόνο σηµείο.
Οι παράλληλες ευθείες δεν συναντιούνται
σε κανένα σηµείο.
Σκέφτοµαι
Απαντώ

Εργασίες
1) Το φορτηγό κινείται πάνω σε µια γέφυρα. Συναντιούνται σε κάποιο σηµείο η άσπρη και η
κίτρινη γραµµή των δύο δρόµων: ΝΑΙ ΟΧΙ
Είναι παράλληλες; ΝΑΙ ΟΧΙ
Είναι τεµνόµενες; ΝΑΙ ΟΧΙ
Εξηγούµε:
Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την εργασία;
Παρατηρώ προσεκτικά το παραπάνω σχήµα.
Ποια είναι η άσπρη και ποια είναι η κίτρινη γραµµή που υπάρχει στην εικόνα του βιβλίου;
Η άσπρη γραµµή είναι η γραµµή που βρίσκεται στη µέση του δρόµου που είναι πάνω από τον
άλλο δρόµο.
Η κίτρινη γραµµή είναι η γραµµή που βρίσκεται στη µέση του δρόµου που είναι κάτω από τον
άλλο δρόµο.

Συναντιούνται σε κάποιο σηµείο η άσπρη µε την κίτρινη γραµµή;
Όχι, οι δύο ευθείες δεν συναντιούνται σε κάποιο σηµείο.
Αφού οι δύο ευθείες δεν συναντιούνται σε κανένα σηµείο άρα µπορώ να βγάλω το
συµπέρασµα ότι είναι παράλληλες;
Όχι, γιατί οι δύο ευθείες ανήκουν σε ανισόπεδους κόµβους (δηλαδή σε δρόµους που δεν
ανήκουν στο ίδιο επίπεδο). Για να είναι παράλληλες δύο ευθείες που δεν συναντιούνται ποτέ,
πρέπει οι δύο ευθείες να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.
Τι είναι το επίπεδο;
∆εν µπορούµε να δώσουµε έναν ορισµό για το επίπεδο. Μπορούµε, όµως, µέσα από παραδείγµατα
να περιγράψουµε την έννοια του επιπέδου. Επίπεδο είναι το θρανίο µας, ο πίνακας, το πάτωµα,
ένας τοίχος, ένας δρόµος κ.λ.π.
Είναι οι δύο ευθείες τεµνόµενες;
Όχι, γιατί δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο.
Πώς ονοµάζονται αυτές οι δύο ευθείες;
Αυτές οι δύο ευθείες που δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο και δεν είναι παράλληλες ονοµάζονται
ασύµβατες ευθείες.
Απάντηση
Συναντιούνται σε κάποιο σηµείο η άσπρη και η κίτρινη γραµµή των δύο δρόµων:
ΝΑΙ ΟΧΙ
Είναι παράλληλες; ΝΑΙ ΟΧΙ
Είναι τεµνόµενες; ΝΑΙ ΟΧΙ
Εξηγούµε: Οι δύο ευθείες ανήκουν σε δύο ανισόπεδους κόµβους, δηλαδή δεν ανήκουν στο
ίδιο επίπεδο. Άρα δεν µπορεί να είναι παράλληλες. Τέτοιες ευθείες που δεν έχουν κανένα
κοινό σηµείο και δεν είναι παράλληλες ονοµάζονται ασύµβατες.

2) Τα παιδιά σχηµατίζουν µε το υλικό τους διαφορετικά ζευγάρια τεµνόµενων ευθύγραµµων
τµηµάτων. Ένα από τα ζευγάρια που παρουσιάζονται παρακάτω σχηµατίζει 4 ίσες γωνίες.
Ποιο παιδί το έχει φτιάξει; Επιλέγω µε .
Παρατηρώ προσεκτικά τα παραπάνω σχήµατα:
Η Στέλλα έφτιαξε τέσσερις ίσες γωνιές;
Με τη βοήθεια του γνώµονα, όπως φαίνεται παραπάνω, η γωνία στη
οποία είναι ο γνώµονας είναι µεγαλύτερη από την γωνία του γνώµονα.
Αν βάλω τον γνώµονα στη δίπλα γωνία, όπως φαίνεται στο διπλανό
σχήµα, η γωνία είναι µικρότερη από τη γωνία του γνώµονα. Άρα οι
δύο γωνίες δεν είναι ίσες. Εποµένως η Στέλλα δεν έφτιαξε τέσσερις
ίσες γωνίες.
Ο Σαλ έφτιαξε τέσσερις ίσες γωνιές;
οποία είναι ο γνώµονας είναι ίση µε την γωνία του γνώµονα. Αυτό
συµβαίνει και µε τη διπλανή γωνία. Αν βάλω το γνώµονα και στις δύο

άλλες γωνίες, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, όλες οι γωνίες είναι ίσες µε τη γωνία του γνώµονα.
Εποµένως ο Σαλ έφτιαξε τέσσερις ίσες γωνίες.
Η Ηρώ έφτιαξε τέσσερις ίσες γωνιές;
οποία είναι ο γνώµονας είναι µεγαλύτερη από την γωνία του
γνώµονα. Αν βάλω τον γνώµονα στη δίπλα γωνία, όπως φαίνεται
στο διπλανό σχήµα, η γωνία είναι µικρότερη από τη γωνία του
γνώµονα. Άρα οι δύο γωνίες δεν είναι ίσες. Εποµένως η Ηρώ δεν
έφτιαξε τέσσερις ίσες γωνίες.
Απάντηση

Εργάζοµαι παρόµοια µε το υλικό µου (Καρτέλα 7).
Όταν σχηµατίζονται 4 ίσες γωνίες, τι είδους γωνίες είναι αυτές;
Όταν σχηµατίζονται 4 ίσες γωνίες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ορθές, δηλαδή ίσες η κάθε
µία µε 90ο.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
∆ύο ευθείες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο
είναι παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο.
είναι τεµνόµενες όταν έχουν ένα κοινό σηµείο.
∆ύο ευθείες που τέµνονται µεταξύ τους (τεµνόµενες ευθείες) σχηµατίζουν 4
γωνίες. Αν οι 4 γωνίες είναι ίσες µεταξύ τους τότε η κάθε µία γωνία είναι ορθή,
δηλαδή ίση µε 90ο
. Σε αυτή την περίπτωση λέµε ότι οι δύο τεµνόµενες ευθείες
είναι κάθετες µεταξύ τους.

Τετράδιο εργασιών
ΕΡΓΑΣΙΑ 1: Πού συναντάµε παράλληλες γραµµές στην καθηµερινή µας ζωή; Γράφουµε µερικά
παραδείγµατα:
Απάντηση
Παράλληλες ευθείες συναντάµε σε πολλές δραστηριότητες της καθηµερινής µας ζωής.
Υπάρχουν πολλά παραδείγµατα. Μερικά είναι:
Τα σύρµατα της ∆.Ε.Η.
Οι γραµµές του τρένου.
Τα απέναντι πεζοδρόµια ενός δρόµου.
Οι γραµµές στο τετράδιό µας.
Οι απέναντι πλευρές ενός χάρακα.
ΕΡΓΑΣΙΑ 2: Ποιο ακόντιο θα περάσει πάνω από το εµπόδιο;
Προβλέπω: Το ακόντιο µε το γράµµα ...............
Επαληθεύω

Παρατηρούµε προσεκτικά το σχήµα.
Ποιο ακόντιο προβλέπεις ότι θα περάσει πάνω από το εµπόδιο;
Από τα 3 ακόντια προβλέπω ότι το ακόντιο Γ θα περάσει πάνω από το εµπόδιο.
Γιατί προβλέπεις ότι θα περάσει το ακόντιο Γ;
Γιατί είναι αυτό που κατευθύνεται προς τα πάνω. Τα ακόντια Α και Β φαίνεται να πηγαίνουν περίπου
οριζόντια. Φαίνεται ότι αν προεκτείνουµε τα ακόντια τότε οι γραµµές που θα φτιάξουµε θα
συναντήσουν το εµπόδιο.
Αντιθέτως, αν προεκτείνουµε το ακόντιο Γ τότε η γραµµή που θα φτιάξουµε δεν θα συναντήσει το
εµπόδιο.
Απάντηση
Προβλέπω: Το ακόντιο µε το γράµµα Γ.
Επαληθεύω

ΕΡΓΑΣΙΑ 3: Ποια από τα παρακάτω ζεύγη ευθειών τέµνονται κάθετα µεταξύ τους; Ελέγχω µε
γνώµονα και σηµειώνω .
Παρατηρούµε προσεκτικά τα σχήµατα.
Πότε λέµε ότι δύο ευθείες τέµνονται κάθετα;
∆ύο ευθείες λέµε ότι τέµνονται κάθετα όταν οι τέσσερις γωνίες που σχηµατίζονται είναι ορθές,
δηλαδή ίσες µε 90ο
η κάθε µία.
Πώς µπορώ να ελέγξω, µε τη βοήθεια του γνώµονα, αν µία γωνία είναι ορθή;
Τοποθετώ, όπως φαίνεται στα σχήµατα παρακάτω, το γνώµονα στη γωνία που θέλω να
ελέγξω. Αν ο γνώµονας καλύπτει ακριβώς τη γωνία τότε η γωνία είναι ορθή. Σε κάθε άλλη περίπτωση
η γωνία δεν είναι ορθή.
Στην 3η
περίπτωση οι δύο ευθείες δεν τέµνονται. Τι πρέπει να κάνω;
Προεκτείνουµε την µία ευθεία και βλέπουµε ότι τώρα οι δύο ευθείες τέµνονται. Εξετάζουµε, µε τη
βοήθεια του γνώµονα, αν οι δύο ευθείες τέµνονται κάθετα.

Απάντηση
ΕΡΓΑΣΙΑ 4: Συναντιούνται σε κάποιο σηµείο οι ευθείες; Αν µπορώ, το εντοπίζω σε κάθε µια
περίπτωση.
α β γ
Συναντιούνται σε κάποιο σηµείο οι ευθείες της α’ περίπτωσης;

Αν προεκτείνουµε τις δύο ευθείες προς τα αριστερά, όπως φαίνεται στο σχήµα παρακάτω, τότε οι
δύο ευθείες θα συναντηθούν.
Συναντιούνται σε κάποιο σηµείο οι ευθείες της β’ περίπτωσης;
Αν προεκτείνουµε την αριστερή ευθεία προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο σχήµα παρακάτω, τότε οι
δύο ευθείες θα συναντηθούν.
Συναντιούνται σε κάποιο σηµείο οι ευθείες της γ’ περίπτωσης;
Φαίνεται από το σχήµα ότι οι δύο ευθείες πλησιάζουν η µία την άλλη. Για να βρούµε το σηµείο στο
οποίο τέµνονται πρέπει να προεκτείνουµε προς τα δεξιά και τις δύο ευθείες. Αυτό το σηµείο, όµως,
φαίνεται να απέχει αρκετά από τα τµήµατα της ευθείας που βλέπουµε τώρα. Έτσι συµπεραίνουµε ότι το
σηµείο τοµής σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι εύκολο να εντοπιστεί.
Απάντηση
α β γ
ΕΡΓΑΣΙΑ 5: Τα παιδιά κρατούν κάρτες µε το αρχικό γράµµα του ονόµατός τους:
Γ

Σε ποιο από τα γράµµατα που κρατούν τα παιδιά υπάρχουν ευθύγραµµα τµήµατα που να είναι:
παράλληλα ( ) µεταξύ τους; ........................................
κάθετα ( ⊥ ) µεταξύ τους; ........................................................
Στο γράµµα Π υπάρχουν παράλληλα ή κάθετα ευθύγραµµα
τµήµατα;
Όπως φαίνεται στο διπλανό σχέδιο στο γράµµα Π υπάρχουν 2 παράλληλα
ευθύγραµµα τµήµατα και 2 ζευγάρια κάθετων ευθύγραµµων τµηµάτων.
Στο γράµµα Ν υπάρχουν παράλληλα ή κάθετα ευθύγραµµα τµήµατα;
Στο γράµµα Ν υπάρχουν 2 παράλληλα ευθύγραµµα τµήµατα.
Στο γράµµα Σ υπάρχουν παράλληλα ή κάθετα ευθύγραµµα τµήµατα;
Όπως φαίνεται στο σχέδιο στο γράµµα Σ υπάρχουν 2 παράλληλα ευθύγραµµα τµήµατα.
Στο γράµµα Η υπάρχουν παράλληλα ή κάθετα ευθύγραµµα τµήµατα;
Όπως φαίνεται στο διπλανό σχέδιο στο γράµµα Η υπάρχουν 2 παράλληλα
ευθύγραµµα τµήµατα και 2 ζευγάρια κάθετων ευθύγραµµων τµηµάτων.
Στο γράµµα Γ υπάρχουν παράλληλα ή κάθετα ευθύγραµµα τµήµατα;
Όπως φαίνεται στο διπλανό σχέδιο στο γράµµα Γ υπάρχουν 2 κάθετα
ευθύγραµµα τµήµατα.

Απάντηση
Σε ποιο από τα γράµµατα που κρατούν τα παιδιά υπάρχουν ευθύγραµµα τµήµατα που να είναι:
παράλληλα ( ) µεταξύ τους; Π, Ν, Σ, Η.
κάθετα ( ⊥ ) µεταξύ τους; Π, Η, Γ.
Το αρχικό γράµµα του ονόµατός µου έχει:
................ παράλληλα ευθύγραµµα τµήµατα.
................ κάθετα ευθύγραµµα τµήµατα.
................ τεµνόµενα ευθύγραµµα τµήµατα (όχι κάθετα).
Απάντηση
Εδώ οι απαντήσεις ποικίλουν. Ας θεωρήσουµε ότι το αρχικό γράµµα είναι το Γ.
Το αρχικό γράµµα του ονόµατός µου έχει:
0 παράλληλα ευθύγραµµα τµήµατα.
1 κάθετα ευθύγραµµα τµήµατα.
0 τεµνόµενα ευθύγραµµα τµήµατα (όχι κάθετα).
ΕΡΓΑΣΙΑ 6: Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι:
παράλληλη µε την ευθεία στο πλαίσιο α;
κάθετη µε την ευθεία του πλαισίου α;

Απάντηση
Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι:
παράλληλη µε την ευθεία στο πλαίσιο α; δ.
κάθετη µε την ευθεία του πλαισίου α; γ.
Ελέγχω την εκτίµησή µου:
Αντιγράφω κάθε ευθεία, µαζί µε το πλαίσιό της, σ’ ένα λευκό ή διαφανές χαρτί.
Εφαρµόζω το χαρτί κατάλληλα στο πλαίσιο α.
Οι ευθείες στα πλαίσια α και β είναι παράλληλες ή κάθετες;
Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, οι δύο ευθείες τέµνονται, δηλαδή
συναντιούνται σε ένα σηµείο. Άρα οι δύο ευθείες δεν είναι παράλληλες.

Με τη βοήθεια του γνώµονα βρίσκω ότι η µία γωνία δεν ορθή. Άρα οι δύο ευθείες δεν είναι κάθετες
µεταξύ τους.
Οι ευθείες στα πλαίσια α και γ είναι παράλληλες ή κάθετες;
Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, οι δύο ευθείες τέµνονται. Άρα οι δύο
ευθείες δεν είναι παράλληλες.
Με τη βοήθεια του γνώµονα βρίσκω ότι η µία γωνία είναι ορθή. Όµοια
µπορώ να διαπιστώσω ότι και οι άλλες τρεις γωνίες είναι ορθές. Άρα οι δύο
ευθείες είναι κάθετες µεταξύ τους.
Οι ευθείες στα πλαίσια α και δ είναι παράλληλες ή κάθετες;
Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, οι δύο ευθείες δεν τέµνονται,
δηλαδή δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο. Άρα οι δύο ευθείες είναι
παράλληλες.
Απάντηση
Με τη βοήθεια του λευκού ή του διαφανούς χαρτιού επιβεβαιώνω ότι
οι ευθείες στα πλαίσια α και γ είναι κάθετες.
οι ευθείες στα πλαίσια α και δ είναι παράλληλες.

Ασκήσεις εκτός βιβλίου
ΑΣΚΗΣΗ 1: Ποια από τα γράµµατα της Ελληνικής Αλφαβήτου έχουν ευθύγραµµα τµήµατα που να
είναι παράλληλα ή κάθετα µεταξύ τους;
Παράλληλα: ΟΧΙ
Κάθετα: ΟΧΙ
Κάθετα: 2
Παράλληλα: 3
Κάθετα: 3 ζευγάρια

Παράλληλα:
Κάθετα:
Κάθετα: 2

ΑΣΚΗΣΗ 2: Βρείτε όλα τα ζευγάρια των παράλληλων και κάθετων ευθειών που βλέπετε στο
παρακάτω σχήµα:
Απάντηση
Παράλληλες ευθείες: ε//ζ, ε//η, ε//θ, ζ//η, ζ//θ, η//θ, x//y.
Κάθετες ευθείες: x ⊥ ε, x ⊥ ζ, x ⊥ η, x ⊥ θ, y ⊥ ε, y ⊥ ζ, y ⊥ η, y ⊥ θ.

ΑΣΚΗΣΗ 3: Αντιστοιχίστε τις δύο στήλες των παρακάτω πινάκων.
Παράλληλες ευθείες Ένα κοινό σηµείο.
Κάθετες ευθείες Κανένα κοινό σηµείο.
Απάντηση
Παράλληλες ευθείες Ένα κοινό σηµείο.
Κάθετες ευθείες Κανένα κοινό σηµείο.

Ενότητα 27
Ευνίκη Τοκατλή

Γραίγοσ Εσαγγελία Δ΄Δημοτικού Ενότητες 27-28
Teachers aid ylikogiadaskalous.blogspot.gr
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
 Φέοετε τιπ κάθετεπ ερθείεπ με τη βξήθεια τξρ γμώμξμα.
 Ελέγντε με τη βξήθεια τξρ γμώμξμα πξιεπ από τιπ παοακάτω ερθείεπ είμαι κάθετεπ
μετανύ τξρπ:

- 90 -
ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ και ΚΑΘΕΤΕΣ
_ _______ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ ________ _
Όταν δύο αυτοκινητάκια κινούνται σε δύο δρόμους και δεν
πρόκειται ποτέ να συναντηθούν, τότες οι δύο δρόμοι είναι
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΙ
οι ΕΥΘΕΙΕΣ πάνω στις οποίες κινούνται τα αυτοκίνητα είναι
ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ
« ∆εν συναντιούνται ποτέ – ∆εν έχουν κανένα κοινό σημείο »
Αν υπάρχει ένα σημείο στο οποίο τα αυτοκινητάκια μπορεί να
συναντηθούν, τότε οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται
λέγονται ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ (ή τέμνουσες)
Προπονητής Μαθηματικών - proponitismathimatikon.blogspot.com

- 91 -
Οι τεμνόμενες ευθείες στο σημείο που συναντιούνται
σχηματίζουν μία ΓΩΝΙΑ!
∆ες τον χάρτη και συμπλήρωσε στα κενά παράλληλη ή κάθετη:
- Η οδός Πανεπιστημίου είναι
………………… με την Ακαδημίας
- Η οδός Σόλωνος είναι …………
………………… με την Ιπποκράτους
- Η οδός Χαριλάου Τρικούπη
είναι………………με την Ακαδημίας
- Η οδός Σταδίου είναι ………
…………………… με την Σόλωνος
- Η οδός Μαυρομιχάλη είναι……………………(!) με την οδό Πεσματζόγλου.

- 92 -
Π  Όπως Προπονητής!
Ας πάρουμε τρία στυλό και να σχεδιάσουμε το γράμμα «Π»
- Αν έχω μία ευθεία (το μπλε στυλό) και θέλω να σχεδιάσω μία
παράλληλή της, μπορώ να σκεφτώ στο μυαλό μου το γράμμα Π
και να σχεδιάσω το άλλο «πόδι» του (το δεύτερο μπλε στυλό).
- Ή αν θέλω να σχεδιάσω 2 παράλληλες ευθείες, μπορώ να
σκεφτώ το κόκκινο στυλό και με τον γνώμονα να σχεδιάσω 2
κάθετες σε αυτό, οι οποίες θα είναι μεταξύ τους παράλληλες!!!

- 93 -
- Αν θέλω να σχεδιάσω μία κάθετη γραμμή χωρίς γνώμονα
μπορώ να σκεφτώ το Π και να σχεδιάσω το κόκκινο στυλό!

Μπορείς να βρεις παράλληλες, τεμνόμενες, κάθετες ευθείες
που υπάρχουν στη … Μ Ε Σ Η

; )
Τώρα προσπάθησε να σχεδιάσεις ενώνοντας τελίτσες στον
παρακάτω πίνακα, παράλληλες, τεμνόμενες και κάθετες
ευθείες, στα παρακάτω σχεδιασμένα ευθύγραμμα τμήματα:

- 94 -
Ας παίξουμε μπιλιάρδο! .
Τι σχήμα έχει το μπιλιάρδο; 
Είναι Ορθογώνιο: γιατί έχει
όλες του τις γωνίες ΟΡΘΕΣ
και Παραλληλόγραμμο: γιατί
έχει τις απέναντι πλευρές του
ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ!
Ποιές πλευρές είναι παράλληλες και ποιες κάθετες; 
Αν τοποθετήσω μια στέκα κάθετη στην μικρή αριστερή πλευρά
τότε αυτή θα είναι
π α ρ ά λ λ η λ η
με τις δύο μεγάλες
πλευρές και κάθετη
με την απέναντι ! ! !
Μπορούμε όμως να
εξηγήσουμε γιατί;;; ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Αν τοποθετήσω άλλη μια στέκα παράλληλη με την κάτω πλευρά
τότε αυτή θα είναι
π α ρ ά λ λ η λ η
και με την απέναντι
μεγάλη πλευρά και
με την άλλη στέκα!!!
Μπορούμε όμως να
εξηγήσουμε γιατί;;;…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Χτυπάμε ευθεία και ταυτόχρονα τις δύο πορτοκαλί μπάλες:
-Υπάρχει περίπτωση να συγκρουστούν μεταξύ τους; NAI/OXI
-Υπάρχει περίπτωση να χτυπήσουν την μαύρη μπάλα; NAI/OXI

175
175
27. Ãíùñßæù ôéò ðáñÜëëçëåò êáé ôéò ôåìíüìåíåò
åõèåßåò
ÁðÜíôçóç óôçí
Üóêçóç 1
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 6
Ïé ãñáììÝò ôïõ ôñÝíïõ åßíáé ðáñÜëëçëåò, ïé ðëåõñÝò ôïõ ðßíáêá ôïõ ó÷ï-
ëåßïõ, ïé êïëþíåò ôçò Ä.Å.Ç., ôá ðüäéá åíüò ôñáðåæéïý.
Üóêçóç 2
ÐñïâëÝðù ðùò ôï áêüíôéï ðïõ èá ðåñÜóåé ôï åìðüäéï åßíáé áõôü ìå ôï
ãñÜììá Ã.
Åðáëçèåýù:

176
176
Ãíùñßæù ôéò ðáñÜëëçëåò êáé ôéò ôåìíüìåíåò åõèåßåò
¢óêçóç 1
Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù åõèåßåò ôÝìíïíôáé êÜèåôá ìåôáîý ôïõò; ÔïðïèåôÞóôå ãíþìïíá ãéá ôá ôéò
äåßîåôå.
Ëýóç

177
177
Üóêçóç 4
Á
Â
Üóêçóç 3
Ã
Ïé åõèåßåò óõíáíôéïýíôáé
óôá óçìåßá Á, Â êáé Ã.

178
178
Üóêçóç 5
¢óêçóç 2
Óå ðïéá áðü ôá ðáñáêÜôù ãñÜììáôá õðÜñ÷ïõí åõèýãñáììá ôìÞìáôá ðïõ åßíáé ðáñÜëëçëá
ìåôáîý ôïõò êáé óå ðïéá êÜèåôá; ×ñùìáôßóôå ìå ìðëå ôéò êÜèåôåò åõèåßåò êáé ìå êüêêéíï ôçò
ðáñÜëëçëåò.
Ëýóç
Ôï áñ÷éêü ãñÜììá
ôïõ äéêïý ìïõ
ïíüìáôïò Ô

179
179
óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçò
óôçí Üóêçóç 5
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 7 • Áðü ôá ãñÜììáôá ðïõ êñáôïýí ôá ðáéäéÜ:
- Óôá ãñÜììáôá Ð, Ó, Í, Ç õðÜñ÷ïõí ðáñÜëëçëá åõèýãñáììá ôìÞìáôá
- Óôá ãñÜììáôá Ð, Ç õðÜñ÷ïõí êÜèåôá åõèýãñáììá ôìÞìáôá
• Ôï áñ÷éêü ãñÜììá ôïõ ïíüìáôïò ìïõ Ý÷åé êÜèåôá åõèýãñáììá ôìÞìáôá.
¢óêçóç 3
Óå ðïéåò ðåñéðôþóåéò ïé äåßêôåò åßíáé êÜèåôïé; Óçìåéþóå ìå ôá ñïëüãéá.

180
180
Üóêçóç 6
Ëýóç
• ÐáñÜëëçëç ìå ôçí åõèåßá óôï ðëáßóéï á åßíáé ç ä.
• ÊÜèåôç óôçí åõèåßá ôïõ ðëáéóßïõ á åßíáé ç ã.

Μαθηματικά Δ΄ 5. 27. ΄΄Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Μαθηματικά Δ΄ 5. 27. ΄΄Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες΄΄

Similar to Μαθηματικά Δ΄ 5. 27. ΄΄Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (9)

Μαθηματικά Δ΄ 5. 27. ΄΄Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες΄΄