Μαθηματικά Ε΄.2.13. ΄΄Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό΄΄

1. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://e-taksh.blogspot.gr
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 2 - Κεφάλαιο 13:
΄΄ Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο
με πηλίκο δεκαδικό αριθμό ΄΄

2. eva-edu
Κεφάλαιο 13 Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό
Διάβασε πως κάνουμε τη διαίρεση ακέραιου με ακέραιο αριθμό και μετά κάνε τη διαίρεση 6 : 5
1. Tο 4 χωράει στο 5 μία (1) φορά
και μένει υπόλοιπο 1.
2. Eπειδή το 4 δε χωράει στο 1,
βάζω πίσω από το 1 ένα μηδενικό
και μετά βάζω υποδιαστολή στο
πηλίκο.
3. Tο 4 στα 10 δέκατα χωράει 2
φορές και μένει υπόλοιπο 2 δέκατα.
4. Eπειδή το 4 δε χωράει στο 2,
μετατρέπω τα 2 δέκατα σε 20
εκατοστά.
5. Tο 4 στο 20 χωράει 5 φορές
ακριβώς.
Διαιρετέος διαιρέτης
30 5
- 30 0, 6 πηλίκο
00
Κάνε τη διαίρεση
Διαιρετέος διαιρέτης
4 5
πηλίκο
Όταν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από τον διαιρετέο τότε
βάζω 0 στο πηλίκο και υποδιαστολή ( , ). Μετά βάζω και 0
στον διαιρετέο και συνεχίζω τη διαίρεση

3. eva-edu
289,5 : 10 = 28,95 751,8 : 10 = .....................................
289,5 : 100 = 2,895 751,8 : 100 = ....................................
289,5 : 1.000 =0,2895 751,8 : 1.000 =...................................
Λύσε το πρόβλημα
Η γιαγιά μου έβαλε 30 λίτρα λάδι σε 4 μπουκάλια. Πόσα λίτρα λάδι έχει κάθε ένα δοχείο;
Σκέψου τι πράξη πρέπει να κάνεις + - x :
Τι θα κάνω για να βρώ από τα πολλά το ένα; Θα κάνω ......................................................
Κάνε την πράξη
Για να διαιρέσω έναν δεκαδικό αριθμό με το 10, το 100 ή το 1.000
μετράω πόσα μηδενικά έχει το 10, το 100, το 1.000 και βάζω την
υποδιαστολή προς τα του αριθμού τόσες φορές όσα
είναι τα μηδενικά
Αν δεν έχω άλλο αριθμό να βάλω την υποδιαστολή βάζω μηδενικά
στην αρχή

4. Φύλλο εργασίας για το Κεφάλαιο 13
Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο και πηλίκο δεκαδικό αριθμό
Ενότητα 2-Κεφάλαιο 13-Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό.i
11 Νοε.
1
ΟΝΟΜΑ;…………………………………………………………………………………………..
Για να υπολογίσω με ακρίβεια το
αποτέλεσμα(πηλίκο) μιας διαίρεσης
πρέπει…
 Το πηλίκο μιας διαίρεσης ακέραιου με ακέραιο είναι δεκαδικός αριθμός σε δύο
περιπτώσεις:
α)όταν συνεχίζουμε μια ατελή διαίρεση, για να βρούμε το πηλίκο με μεγαλύτερη
ακρίβεια.
β) όταν στη διαίρεσή μας, ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από το διαιρετέο.
 Συνεχίζουμε μια ατελής διαίρεση ως εξής:
 Βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο.
 Προσθέτουμε το ψηφίο 0 στο υπόλοιπο και συνεχίζουμε τη διαίρεση όπως
έχουμε μάθει .
 Εάν προκύψει πάλι υπόλοιπο( δηλαδή αριθμός μικρότερος του διαιρέτη)
προσθέτουμε σε αυτό ένα μηδενικό κ.τ.λ.
Π.χ. 8 5 Για να κάνουμε τη διαίρεση 8: 5 σκεφτόμαστε:
-5 1, 6 Το 8 χωράει μία φορά στο 5 και μένει υπόλοιπο 3.
3 0 Το 5 δε χωράει στο 3. Βάζουμε ένα μηδενικό στο υπόλοιπο
-3 0 και το 3 γίνεται 30.Συγχρόνως βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο.
0 0 Το 5 χωράει ακριβώς 6 φορές στο 30.
 Όταν σε μια διαίρεση ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από το
διαιρετέο, βάζουμε μηδέν στο πηλίκο και υποδιαστολή , καθώς και ένα μηδενικό στο
διαιρετέο .Συνεχίζουμε τη διαίρεση όπως έχουμε μάθει.
Π.χ. Για να κάνουμε τη διαίρεση 2: 8 σκεφτόμαστε τα εξής:
 Το 8 δε χωράει στο 2. Βάζουμε 0 στο πηλίκο και υ- 2 0 8
ποδιατολή, καθώς και ένα 0 στον διαιρετέο. - 1 6 0, 25
 Το 8 χωράει 2 φορές στο 20 και μένει υπόλοιπο 4. 0
4 0
 Το 8 δεν χωράει στο 4. Βάζουμε ένα 0 στο υπόλοιπο -
4 0
Και το 4 γίνεται 40. 0
 Το 8 χωράει ακριβώς 5 φορές στο 40.

5. Φύλλο εργασίας για το Κεφάλαιο 13
Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο και πηλίκο δεκαδικό αριθμό
Ενότητα 2-Κεφάλαιο 13-Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό.i
11 Νοε.
2
Ασκήσεις:
1.Εκτελώ κάθετα τις παρακάτω διαιρέσεις:
2.Να γίνουν οι διαιρέσεις κάθετα με τις δοκιμές τους:
14 : 8=………… 5 : 4=………… 3 : 5=………… 7 : 8=…………
15 : 7=………… 11 : 2=………… 4 : 50=………… 5 : 8=…………
18 : 5=………… Δοκιμή 3 : 8=………… Δοκιμή
235 : 8=………… Δοκιμή 1 : 12=………… Δοκιμή

6. Φύλλο εργασίας για το Κεφάλαιο 13
Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο και πηλίκο δεκαδικό αριθμό
Ενότητα 2-Κεφάλαιο 13-Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό.i
11 Νοε.
3
Διαιρέσεις με το 10,100, 1.000
 Για να διαιρέσω έναν ακέραιο αριθμό με το 10,100, 1000… για συντομία,
μετακινώ την υποδιαστολή αριστερά τόσα δεκαδικά ψηφία, όσα μηδενικά έχω.
Π.χ. 2.450: 10 = 245, 0 ή 245
2.450 : 100 = 24,50
2.450 : 1.000= 2,450
3.. Υπολογίζω τα αποτελέσματα:
123,4 : 10= ……… 1,6 : 10 = ……… 678 :10 = ………
123,4 : 100 = ……… 1,6 : 100 = ……… 678 : 100 = ………
123,4 : 1.000 = ……… 1,6 : 1.000 = ……… 678 : 1.000 = ………
4. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα:
: 2 : 10 : 20 :100 : 200 : 1.000
60e
300e
24e
84 : 16=………… Δοκιμή 957 : 12=………… Δοκιμή
1,024 : 5=………… Δοκιμή 455 :125=………… Δοκιμή

7. Φύλλο εργασίας για το Κεφάλαιο 13
Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο και πηλίκο δεκαδικό αριθμό
Ενότητα 2-Κεφάλαιο 13-Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό.i
11 Νοε.
4
62e
400e
Προβλήματα:
5. Ένα κατάστημα προσφέρει το ίδιο κρασί σε διαφορετικές συσκευασίας, Α και Β. Ποια
συσκευασία μας συμφέρει να αγοράσουμε;
Α. Β.
Λύση:
Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………………………………..
6. Ο παππούς θέλει να μοιράσει 121 ευρώ, εξίσου στα 4 εγγόνια του. Πόσα χρήματα πρέπει
να δώσει στο καθένα;
Απάντηση:……………………………………………………………………………………………………………………………………..
7. Η κυρία Αμαλία αγόρασε για τα παιδιά της 3 παραμύθια και πλήρωσε συνολικά 20,1 ευρώ.
Αν και τα τρία παραμύθια είχαν την ίδια τιμή , να υπολογίσεις την αξία του καθενός.
Απάντηση:………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………… stefaki
2λίτρα
5Eυρώ
5λίτρα
11 Ευρώ
Σκέφτομαι: Τι ξέρω;
Τι ζητάω ;Τι θα κάνω;
Λύση:
Λύση:

8. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
49
Μάθημα 11ο
Πολλαπλασιασμός Δεκαδικών Αριθμών
π.χ. 2,55 • 4,22 =
παράγοντες 2,55 ( δύο δεκαδικά ψηφία )
x 4,22 + ( δύο δεκαδικά ψηφία )
510
510
+1020
γινόμενο 10,7610 ( τέσσερα δεκαδικά ψηφία )
Διαίρεση Δεκαδικού αριθμού με Ακέραιο
π.χ. 225,5 : 5 =
Φτάνοντας στην υποδιαστολή, πριν κατεβάσω το ψηφίο πίσω από αυτή ( 5 ), μετακινώ
την υποδιαστολή στο πηλίκο της διαίρεσής μου.
Διαίρεση Δεκαδικού αριθμού με Δεκαδικό
π.χ. 225,5 : 0,5 =
225,5
- 20
025
-25
00 5
- 5
0
5
45,1
Γίνεται όπως και ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών,
τοποθετώντας στο γινόμενο την υποδιαστολή τόσες θέσεις από τα
δεξιά προς τα αριστερά, όσα είναι συνολικά τα ψηφία στα δεκαδικά
μέρη των παραγόντων.
Για να διαιρέσω δεκαδικό αριθμό με ακέραιο, κάνω κανονικά τη
διαίρεση και όταν φτάσω στην υποδιαστολή συνεχίζω κανονικά τη
διαίρεση βάζοντας την υποδιαστολή στο πηλίκο της διαίρεσής μου.
Για να κάνω διαίρεση μεταξύ δύο δεκαδικών αριθμών πρέπει ο
διαιρέτης μου να γίνει ακέραιος αριθμός. Γι’ αυτό πολλαπλασιάζω το
Διαιρετέο και το Διαιρέτη με το 10, 100, 1.000 κλπ. μέχρι ο
Διαιρέτης μου να γίνει ακέραιος αριθμός.

9. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
50
Ο Διαιρέτης μου έχει ένα δεκαδικό ψηφίο, άρα πολλαπλασιάζω και τους δύο με το 10,
έτσι η διαίρεση μου μετατρέπεται σε :
2.255 : 5 = 451
π.χ. 450 : 0,005 =
Ο Διαιρέτης μου έχει τρία δεκαδικά ψηφία, άρα πολλαπλασιάζω και τους δύο με το
1.000, έτσι η διαίρεσή μου μετατρέπεται σε :
450.000 : 5 = 90.000
Ασκήσεις
1. Να κάνεις στο τετράδιό σου τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις :
12,3 • 5 = ........ 1,50 • 10 = …….. 3,98 • 100 = ……..
4,56 • 2 = …… 3,45 • 20 = …….. 7,98 • 200 = ……..
7,89 • 3 = …… 5,52 • 50 = …….. 1,00 • 100 = ……..
98,7 • 4 = …… 7,65 • 15 = …….. 4,32 • 432 = ……..
6,54 • 7 = …… 87,6 • 22 = …….. 5,55 • 155 = ……..
12,3 : 5 = ........ 1,50 : 10 = …….. 39,8 : 100 = ……..
45,6 : 2 = …… 34,5 : 20 = …….. 79,8 : 200 = ……..
78,9 : 3 = …… 55,2 : 50 = …….. 10,0 : 100 = ……..
98,7 : 4 = …… 76,5 : 15 = …….. 43,2 : 432 = ……..
65,4 : 4 = …… 87,6 : 50 = …….. 450,0 : 150 = ……..
2. Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις :
 725,085 + 3.500,5 + 1,234 = ……………………………..
 1.876,4 + 44,050 + 12,345 = ……………………………...
 2.345,678 + 1,234 + 456,789 = ………………………….
 8,5 – 2,34 – 2,4 = …………………………………………...
 45,005 – 23,5 – 1,55 – 0,5 = ………………………………
 ( 25,8 + 0,5 ) • 5 = ………………………………………….
 ( 45,5 – 5,5 ) • 8 = ………………………………………….
 ( 30,3 • 10 ) : 3 = …………………………………………..
 ( 5,5 • 6,5 ) : 10 = …………………………………………..
 ( 10,5 : 5 ) • 2 = ……………………………………………..
3. Υπολόγισε με κάθετες πράξεις :
α ) 43,4 · 1,3 = ………………… β ) 34 - 2,25 = ………………….
γ ) 28,34 + 2 , 7 = ………………… δ ) 7,45 · 0,2 = …………………
ε ) 3 : 6 = …………………………… στ ) 23 , 2 : 0,2 = …………………

10. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
51
4. Συμπλήρωσε του παρακάτω πίνακες :
5. Τα 10 δοχεία λάδι χωράνε 175 κιλά. Πόσα κιλά λάδι χωράνε τα 100 και πόσα τα 1.000
όμοια δοχεία ;
6. Ένα κατάστημα αγόρασε 84 ποτήρια προς 1,80 € το ένα. Κατά τη μεταφορά έσπασαν 4
ποτήρια και τα υπόλοιπα τα πούλησε προς 2,25 € το ένα. Πόσα χρήματα κέρδισε ο
καταστηματάρχης ;
7. Τα 45 μέτρα ύφασμα στοιχίζουν 1.458 €. Πόσο στοιχίζει το ένα μέτρο ;
8. Τα 12 δοχεία χωράνε 210 κιλά φέτα. Πόσα κιλά χωράει το ένα δοχείο ;
9. Ένας φρουτέμπορος πούλησε μια μέρα 68 κιλά μανταρίνια και εισέπραξε 102 €. Πόσο
πούλησε το κιλό ;
10.Ένας έμπορος φρούτων, αγόρασε 4.250 κιλά μήλα προς 1,75 ευρώ το κιλό. Τα πούλησε
όλα, κερδίζοντας 3.187,50 ευρώ. Πόσο πούλησε το κιλό τα μήλα και πόσο κέρδισε σε
κάθε κιλό ;
11.Ένας μανάβης, αγόρασε 140,5 κιλά πατάτες προς 0,65 ευρώ το κιλό. Τις πούλησε,
παίρνοντας συνολικά, 118,02 ευρώ. Πόσα χρήματα κέρδισε συνολικά σε κάθε κιλό
πατάτες που αγόρασε ;
• 10 100 1.000
5,321
• 10 100 1.000
23,456
: 10 100 1.000
55
: 10 100 1.000
5,5

11. Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
52
12.Οι 15 μαθητές της 6ης
τάξης, για να πάνε μια εκδρομή στο αρχαιολογικό μουσείο, πρέπει
να πληρώσουν για εισιτήριο και έξοδα μετακίνησης, 125,25 ευρώ. Αν στην εκδρομή
συμμετάσχουν και οι 18 μαθητές της 5ης
τάξης, πόσα χρήματα πρέπει να πληρώσουν
συνολικά, για να πάνε όλοι μαζί ;
13.Το δωδεκαπλάσιο ενός αριθμού, αυξημένο κατά 0,735, είναι ο αριθμός 9,519. Ποιος
είναι ο αριθμός αυτός ;
14.Οι 24 μαθητές της 5ης τάξης του σχολείου μας, θέλουν να πάνε στη Βέροια, να
παρακολουθήσουν μια θεατρική παράσταση. Το πούλμαν για να τους μεταφέρει,
ανεξάρτητα με το πόσοι θα είναι οι μαθητές, θέλει 315 ευρώ. Το εισιτήριο για να μπουν
στο θέατρο, είναι 4,5 ευρώ. Πόσο θα στοιχίσει η επίσκεψη στο θέατρο σε κάθε μαθητή,
αν πάνε μόνοι τους, και πόσο αν πάνε μαζί με τους 18 μαθητές της 6ης τάξης ;
15.Ένας αγρότης μάζεψε φέτος 12.578 κιλά μήλα, 7.850 κιλά αχλάδια, 3.254 κιλά κεράσια
και 8.548 κιλά ελιές. Πούλησε τα μήλα προς 0,25 € το κιλό, τα αχλάδια προς 0,40 € το
κιλό, τα κεράσια προς 0,60 € το κιλό και τις ελιές προς 1,20 € το κιλό. α) Πόσα χρήματα
πήρε από τα μήλα, πόσα από τα αχλάδια , πόσα από τα κεράσια και πόσα από τις ελιές ;
β) πόσα χρήματα εισέπραξε συνολικά φέτος ο αγρότης αυτός πουλώντας όλα τα φρούτα ;
16.Ένας μανάβης πούλησε 145 κιλά ντομάτες, προς 1,45 € το κιλό, 235 κιλά πατάτες προς
1,20 € το κιλό, 27 κιλά καρότα προς 0,85 € το κιλό, 65 κιλά πιπεριές προς 2,45 € το
κιλό και 239 κιλά μήλα προς 3,50 € το κιλό. Πόσα χρήματα πήρε ο μανάβης πουλώντας
όλα αυτά τα λαχανικά ;
17.Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά στις ισότητες :
24,85 · …… = 248,5 2,4 · …… = 24
4,85 · …… = 48,5 0,9 · …… = 900
0,85 · …… = 85 0,85 · …… = 8,5
14,55 · …… = 1.455,0 100 · …… = 1

12. ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΜΕ ΠΗΛΙΚΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ
1η περίπτωση: Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό
8 5
-5 1, 6
3 0
-3 0
0 0
2η περίπτωση: διαίρεση που ο διαιρέτης δεν χωράει στο διαιρετέο
4 0 5
-4 0 0, 8
0 0
3η περίπτωση: διαίρεση δεκαδικού με ακέραιο
3, 5 2
-2 1, 75
1 5
-1 4
1 0
-1 0
0 0
4η περίπτωση: ο διαιρέτης δεν χωράει στο ακέραιο μέρος του διαιρετέου
1, 5 2
-1 4 0, 75
1 0
-1 0
0 0
5η περίπτωση: διαίρεση με διαιρετέο και διαιρέτη δεκαδικούς αριθμούς
1, 5 5 2, 5
15,5 2 5
-150 0, 62
5 0
-5 0
0 0 eirini papa
Αν η διαίρεση αφήνει υπόλοιπο ακέραιες μονάδες,
βάζουμε δίπλα στο υπόλοιπο το ψηφίο 0 μετατρέποντάς
το σε δέκατα και συνεχίζουμε τη διαίρεση. Δεν ξεχνάμε
όμως ταυτόχρονα να βάλουμε και υποδιαστολή στο
πηλίκο!!
Αν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από τον διαιρετέο,
τότε θα βάλουμε στο πηλίκο 0 και υποδιαστολή, ενώ
ταυτόχρονα θα μετατρέψουμε το διαιρετέο σε δέκατα
προσθέτοντάς του ένα 0.
Όταν έχουμε να διαιρέσουμε δεκαδικό με ακέραιο
ξεκινάμε τη διαίρεση κανονικά και μόλις συναντήσουμε
την υποδιαστολή, την βάζουμε και στο πηλίκο της
διαίρεσης. ΠΡΟΣΟΧΗ! Υποδιαστολή μπαίνει μόνο 1
φορά. Αν χρειαστεί να συνεχίσω τη διαίρεση δεν θα
ξαναβάλω!
Όταν έχουμε να διαιρέσουμε δεκαδικό με ακέραιο και ο
διαιρέτης δεν χωράει στο ακέραιο μέρος του διαιρετέου
βάζουμε 0 στο πηλίκο και υποδιαστολή. Στη συνέχεια
χωρίζουμε ένα δεκαδικό ψηφίο στο διαιρετέο και
συνεχίζουμε τη διαίρεση.
Όταν ο διαιρέτης είναι δεκαδικός, τότε θα τον
πολλαπλασιάσουμε με τον κατάλληλο αριθμό (10, 100 ή
1.000) έτσι ώστε να φύγει η υποδιαστολή και να γίνει
ακέραιος! Με τον ίδιο αριθμό θα πολλαπλασιάσουμε
και το διαιρετέο.

13. Όνομα: ………………………. 7 / 11 / 2007
Με το 10, το 100 και το 1.000
234,6 : 10 = 23,46
234,6 : 100 = 2,346
234,6 : 1.000 = 0,2346
Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό
Έχουμε τη διπλανή ατελή διαίρεση. 20 : 7 π.χ. 20 7
(δηλαδή διαίρεση που αφήνει υπόλοιπο, το 6). – 14 2
Αυτή, αν θέλουμε μεγαλύτερη ακρίβεια, μπορούμε να τη = 6
συνεχίσουμε με τα εξής βήματα: υπόλοιπο
o Βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο και ένα μηδενικό στο 20 7
υπόλοιπο και συνεχίζουμε κανονικά. – 14 2,
= 60
o Το 7 στο 60 χωράει 8 φορές και περισσεύουν 4. 20 7
Το 7 στο 40 χωράει 5 φορές και περισσεύουν 5. – 14 2,85
= 60
- 56
= 40
- 35
= 5 πηλίκο
o Μπορώ μετά το υπόλοιπο 5 να συνεχίσω αν θέλω μεγαλύτερη
ακρίβεια στο αποτέλεσμα. Αν συνεχίσω θα βάλω πάλι μηδενικό
στο υπόλοιπο και ακολουθώ την ίδια διαδικασία όσο θέλω, ή
μέχρι η διαίρεση να βγει τέλεια (αν βγαίνει). Υπόλοιπο
Μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς
τα αριστερά, τόσες θέσεις όσα τα
μηδενικά του 10,100,1000…..Αν δεν
υπάρχουν ψηφία συμπληρώνουμε
τις θέσεις με μηδενικά.

14. Όταν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από το διαιρετέο
Έχουμε τη διαίρεση 2 : 8 όπου ο διαιρέτης (2) είναι μικρότερος από το διαιρετέο (8).
o Βάζουμε κατευθείαν μηδέν στο διαιρετέο και μηδέν με 20 8
υποδιαστολή στο πηλίκο. 0,
o Συνεχίζω τη διαίρεση όπως ξέρω. 20 8
- 16 0,25
= 40
- 40 τέλεια διαίρεση,
0 υπόλοιπο 0.
προσθέτω μηδέν στο υπόλοιπο 4 και συνεχίζω
1. Υπολογίζω τα αποτελέσματα:
123,4 : 10= ……… 1,6 : 10 = ……… 678 :10 = ………
123,4 : 100 = ……… 1,6 : 100 = ……… 678 : 100 = ………
123,4 : 1.000 = ……… 1,6 : 1.000 = ……… 678 : 1.000 = ………
2. Λύνω κάθετα τις παρακάτω διαιρέσεις:
3 : 2 7 : 5 25 : 2 50 : 16
3 : 16 32 : 80 17 : 25 54 : 75
Σκουλλή Νατάσα

15. Όνομα : ________________________________________ Ε1
Ημερομηνία: _______________________________
1. Κάνω τις παρακάτω διαιρέσεις :
1.565 : 10 = ………………........ 1.565 : 20 = ……………….........
1.565 : 100 = ………………........ 1.565 : 200 = ………………........
1.565 : 1.000 = ………………........ 1.565 : 2.000 = ………………........
2. Βρίσκω το λάθος και κάνω την πράξη σωστά :
α) 185 4 β) 605 8
- 16 46, 22 - 54 98, 1025
025 065
- 24 - 064
0010 010
8 20
- 8 - 16
0 40
- 40
00
3. Η κ. Αγαθή αγόρασε 6 καρέκλες 4. Πόσο ζυγίζει το ένα πακέτο βούτυρο , αν τα 1.000 πακέτα
και πλήρωσε 165 €. ζυγίζουν 250 κιλά ;
Πόσο κόστιζε η μία καρέκλα ;
Εκτιμώ : ______________________________ Εκτιμώ : ______________________________
Υπολογίζω με ακρίβεια : Υπολογίζω με ακρίβεια :
Απαντώ :________________________________ Απαντώ :________________________________
Μαλαματίδου Μαρίνα
Εεεεεεεεεέι …..Ψιιιιτ !!! Μην ξεχάσεις να διαβάσεις το συμπέρασμα απ’ το βιβλίο μαθητή σελ. 38

16. Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό
(17/10)


Εμφανίσεις: 1101
Προβλήματα - Παραδείγματα
Πρόβλημα :
Πήγα στο βιβλιοπωλείο για να αγοράσω 4 τετράδια και πλήρωσα 5€. Πόσο κόστισε το
καθένα ;
ΔΕΔΟΜΕΝΑ
Ξέρω πόσα τετράδια αγόρασα : 4 τετράδια
Ξέρω πόσα χρήματα πλήρωσα και για τα 4 τετράδια : 5€
ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ
Πόσο κοστίζει το 1 τετράδιο ;
ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗΣ
Αφού ξέρω την τιμή των πολλών μονάδων (5€) και γνωρίζω πόσες είναι οι μονάδες, για
να βρω την τιμή της μιας μονάδας θα κάνω διαίρεση το 5 με το 4.
ΛΥΣΗ

17. Μάθαμε από πέρυσι ότι κάθε αριθμός διαιρεί ακριβώς τα πολλαπλάσιά του. Το 5 δεν
είναι πολλαπλάσιο του 4, μπορούμε όμως να κάνουμε τη διαίρεση και να βρούμε με
ακρίβεια το αποτέλεσμα :
Το 4 χωράει στο 5 1 φορά. Γράφουμε 1 στο πηλίκο.
Πολλαπλασιάζουμε το 1 του πηλίκου με το 4 και λέμε : 1 φορά το 4, 4. Γράφουμε το 4
κάτω από το 5 που είναι Διαιρετέος και κάνουμε την αφαίρεση : 4 από 5 1. Αυτή τη 1
μονάδα που έμεινε τη γράφουμε από κάτω.
Βλέπουμε εδώ ότι ο Διαιρετέος δεν έχει άλλα ψηφία για να συνεχίσουμε τη διαίρεση.
Για να συνεχίσουμε τη διαίρεση, θα βάλουμε δίπλα στο 1, που βρήκαμε από την
αφαίρεση, 0 και στο πηλίκο υποδιαστολή και θα πούμε :
Το 4 στο 10 χωράει 2 φορές. Γράφουμε το 2 στο πηλίκο. Πολλαπλασιάζουμε το 2 με το 4
του διαιρέτη και λέμε 2 φορές το 4, 8. Γράφουμε το 8 κάτω από το 10 και κάνουμε την
αφαίρεση. Βρίσκουμε υπόλοπο 2.
Για να συνεχίσουμε τη διαίρεση, θα βάλουμε δίπλα στο 2, που βρήκαμε από την
αφαίρεση, 0 και θα πούμε :
Το 4 στο 20 χωράει 5 φορές. Γράφουμε το 5 στο πηλίκο. Πολλαπλασιάζουμε το 5 με τον
διαιρέτη λέγοντας 5 φορές το 4, 20. Γράφουμε το 20 κάτω από το 20 αριστερά και
κάνουμε την αφαίρεση : 0 από 0, 0. 2 από 2, 0. Επειδή δεν υπάρχει άλλο ψηφίο να
αφαιρέσουμε αντί για 0 βάζουμε = .
Η διαίρεσή μας έχει ολοκληρωθεί.
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ

18. Πριν δώσουμε την απάντηση, πρέπει να κάνουμε επαλήθευση (δοκιμή). Η δοκιμή
της διαίρεσης είναι η αντίστροφή πράξη της, δηλαδή ο πολλαπλασιασμός. Θα
πολλαπλασιάσουμε τον διαιρέτη με το πηλίκο και για να είναι σωστή η διαίρεσή μας
θα πρέπει να βρούμε ως γινόμενο τον Διαιρετέο.
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμό είναι 5 και άρα η διάιρεσή μας είναι σωστή.
Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε στην απάντηση.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Το κάθε τετράδιο κόστιζε 1,25€
Όταν η διαίρεση αφήνει υπόλοιπο
Στη διπλανή διαίρεση βλέπουμε ότι υπάρχει υπόλοιπο
(5). Τότε η διαίρεση λέγεται ατελής.
Για να κάνουμε τη δοκιμή πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη και στο γινόμενο
προσθέτουμε το υπόλοιπο.
1,25
Χ 4
5,00

19. 3,85 Χ 7 = 26,95
Επειδή χρειάστηκε να προσθέσουμε 2 μηδνικά για να προχωρήσουμε τη διαίρεση, αυτό
σημαίνει ότι το υπόλοιπο που βρήκαμε είναι εκατοστά και γράφεται 0,05.
Συνεχίζουμε λοιπόν και λέμε :
26, 95 + 0,05 = 27
Άρα η διαίρεση λύθηκε σωστά.
Όταν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από τον διαιρετέο
Όταν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από τον διαιρετέο, όπως στο παράδειγμα δίπλα
κάνουμε τη διαίρεση ως εξής :
Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης δύο τονίζουμε και στον διαιρετέο και λέμε το 29 στο 27 δεν
χωράει.
Γράφουμε 0 στο πηλίκο, βάζουμε υποδιαστολή και συμπληρώνουμε με ένα 0 τον
διαιρετέο.
Από εδώ και πέρα κάνουμε τη διαίρεση όπως μάθαμε και παραπάνω.
Κάνουμε και τη δοκιμή : 29 Χ 0,931 = 26,999

20. Επειδή έχουμε προσθέσει στον διαιρετέο 3 μηδενικά, το 1 που έμεινε ως υπόλοιπο είναι
χιλιοστά. Άρα :
26,999 + 0,001 = 27
ΝΑ ΜΗΝ ΞΕΧΑΣΩ
Όταν, τελειώνοντας μία διαίρεση, μένει υπόλοιπο, αν θέλουμε να τη
συνεχίσουμε, βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο, προσθέτουμε ένα μηδενικό στο
υπόλοιπο, μετατρέποντάς το σε δέκατα, και συνεχίζουμε τη διαίρεση. Αν μένει ξανά
υπόλοιπο, βάζουμε πάλι σ' αυτό ένα ακόμη μηδενικό (μετατρέποντάς το σε εκατοστά) και
συνεχίζουμε.
Αν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος απ' τον διαιρετέο, δηλαδή δε χωράει, βάζουμε 0 στο
πηλίκο και υ π ο δ ι α σ τ ο λ ή και μετατρέπουμε τον διαιρετέο σε δέκατα, βάζοντάς
του στο τέλος ένα μηδενικό (0). Μετά συνεχίζουμε τη διαίρεση.
Αν ο διαιρέτης είναι το 10, το 100 ή το 1.000, η διαίρεση γίνεται σύντομα. Γράφουμε
τον διαιρετέο και χωρίζουμε από το τέλος του ένα, δύο ή τρία ψηφία ανάλογα με τα
μηδενικά που έχει το 10, το 100 ή το 1.000. Αν δεν έχει τόσα ψηφία που πρέπει να
χωρίσουμε, συμπληρώνουμε τις θέσεις που λείπουν με μηδενικά αριστερά του
αριθμού.
Στη διαίρεση ο αριθμός που διαιρείται λέγεται Διαιρετέος, αυτός που
διαιρεί Διαιρέτης και το αποτέλεσμα της διαίρεσης λέγεται πηλίκο.
Αν η διαίρεση δεν ολοκληρώνεται, λέγεται ατελής και ο αριθμός που μένει
λέγεται υπόλοιπο.
Παραδείγματα: 8 : 10 = 0,8 46:100 = 0,46 75:1.000 = 0,075
Τα Σαΐνια 11ου Δημοτικού Σχολείου Παλαιού Φαλήρου

21. Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο
με πηλίκο δεκαδικό αριθμό
Γιάννης Φερεντίνος

22. Πώς γίνεται;
• Όταν μια διαίρεση είναι ατελής (αφήνει
υπόλοιπο) και χρειαζόμαστε μεγαλύτερη
ακρίβεια στο αποτέλεσμα, μπορούμε να τη
συνεχίσουμε με δεκαδικά ψηφία στο πηλίκο.
• Βάζουμε λοιπόν υποδιαστολή στο πηλίκο
ενώ ταυτόχρονα προσθέτουμε ένα μηδενικό
στο υπόλοιπο και συνεχίζουμε να διαιρούμε.
• Μπορούμε στο νέο υπόλοιπο, που θα
προκύψει να προσθέσουμε κι άλλο μηδενικό
και να συνεχίσουμε τη διαίρεση μ’ αυτό τον
τρόπο για όσο χρειάζεται.
Γιάννης Φερεντίνος

23. Παράδειγμα
• Για παράδειγμα στη διαίρεση 20:7 μόλις
βρούμε πηλίκο 2 και υπόλοιπο 6,
μπορούμε να σταματήσουμε.
• Αν όμως θέλουμε μεγαλύτερη ακρίβεια
συνεχίζουμε τη διαίρεση.
Γιάννης Φερεντίνος

24. Παράδειγμα
• Βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο και συγχρόνως
προσθέτουμε ένα μηδενικό στο πηλίκο.
• Διαιρούμε ξανά. Το 7 χωράει 8 φορές στο 60 και
μένει υπόλοιπο 4 .
• Προσθέτουμε πάλι ένα μηδενικό στο υπόλοιπο και
το 4 γίνεται 40.
• Το 7 στο 40 χωράει 5 φορές και μένει υπόλοιπο 5.
Μπορούμε να συνεχίσουμε μέχρι, βάζοντας
μηδενικά στο υπόλοιπο, μέχρι η διαίρεση να βγει
τέλεια (αν βγαίνει). Συνήθως σταματάμε μετά τα
δυο ή τρία δεκαδικά ψηφία.
Γιάννης Φερεντίνος

25. Παράδειγμα
• 20 7
- 14 2, 85
=60
- 56
=40
- 35
=5
ταυτόχρονα
Νέο υπόλοιπο
κι άλλο μηδενικό
Γιάννης Φερεντίνος

26. Επαλήθευση της διαίρεσης
• Η επαλήθευση της διαίρεσης γίνεται
πολλαπλασιάζοντας το πηλίκο με το
διαιρέτη και προσθέτοντας στο γινόμενο
το υπόλοιπο.
• Αν το αποτέλεσμα είναι ίσο με το
διαιρετέο,
η διαίρεση είναι σωστή.
Γιάννης Φερεντίνος

27. Η ΠΡΑΞΗ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ
Διαιρετέος: Ακέραιος
διαιρέτης: Ακέραιος
πηλίκο: Δεκαδικός
Διαιρετέος: Δεκαδικός
διαιρέτης: Ακέραιος
Πηλίκο: Δεκαδικός
Διαιρετέος: Ακέραιος
διαιρέτης: Δεκαδικός
πηλίκο: Ακέραιος
ΓΚΟΤΑ ΕΥΘΥΜΙΑ
Διαιρετέος: Δεκαδικός
διαιρέτης: Δεκαδικός
πηλίκο: Δεκαδικός
Ευθυμία Γκοτα

28. ‐2 4
3 8
0 6 0
‐ 5 6
0 4 0
‐ 4 0
0 0
,0
Ένα ψηφίο έχει ο διαιρέτης, ένα χωρίζω και στο Διαιρετέο.
Το 8 δε χωράει στο 3.
Μηδέν στο πηλίκο.
Βάζω ένα μηδενικό στο 3 και οι 3 μονάδες γίνονται 30 δέκατα.
Υποδιαστολή στο πηλίκο, γιατί διαιρώ δέκατα.
Συνεχίζω τη διαίρεση όπως γνωρίζω.
Το 8 στο 30 χωράει 3 φορές
3Χ8=24, το αφαιρώ από το 30. Υπόλοιπο 6 δέκατα.
Βάζω ένα μηδενικό στα 6 δέκατα και γίνονται 60 εκατοστά.
Το 8 στο 60 χωράει 7 φορές
7Χ8=56, το αφαιρώ από το 60. Υπόλοιπο 4 εκατοστά.
Βάζω ένα μηδενικό στα 4 εκατοστά και γίνονται 40 χιλιοστά.
Το 8 στο 40 χωράει 5 φορές.
5Χ8=40, το αφαιρώ από το 40. Υπόλοιπο 0
0
3 7 5
Διαιρετέος: Ακέραιος
διαιρέτης: Ακέραιος
πηλίκο: Δεκαδικός
Δ < δ
π= δεκαδικός
Ευθυμία Γκοτα

29. 5 1, 16
0 3
3
‐ 4 8
2
,
2
2
‐ 3 2
0 0
Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης, δύο χωρίζω και στο Διαιρετέο.
Το 16 στο 51 χωράει όσο το 1 στο 5, (5 φορές).
Βάζω 3 στο πηλίκο.
3Χ16=48, το αφαιρώ από το 51. Υπόλοιπο 3 μονάδες= 30δέκατα.
Κατεβάζω τα 2 δέκατα κι έχω συνολικά 32 δέκατα.
Υποδιαστολή στο πηλίκο, γιατί διαιρώ δέκατα.
Το 16 στο 32 χωράει 2 φορές.
2Χ16=32, το αφαιρώ από το 32. Υπόλοιπο 0.
Διαιρετέος: Δεκαδικός
διαιρέτης: Ακέραιος
Πηλίκο: Δεκαδικός
Ευθυμία Γκοτα

30. 3 9 2 1,4
Ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πρέπει να είναι πάντα ακέραιος αριθμός.
Στην περίπτωσή μας είναι δεκαδικός.
Πολλαπλασιάζω τον δεκαδικό 1,4 Χ 10 = 14
για να τον μετατρέψω σε ακέραιο.
Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσω και τον διαιρετέο
392Χ10=3.920
Έχω τη διαίρεση 3.920:14
Συνεχίζω τη διαίρεση όπως γνωρίζω.
Διαιρετέος: Ακέραιος
διαιρέτης: Δεκαδικός
πηλίκο: Ακέραιος1 43 .9 2 0
2‐2 8
1 12
8
‐ 1 1 2
0 0 0 0
0
Ευθυμία Γκοτα

31. Διαιρετέος: Δεκαδικός
διαιρέτης: Δεκαδικός
πηλίκο: Δεκαδικός
1,56, 7 5
Έχω διαιρέτη δεκαδικό.
Πολλαπλασιάζω τον δεκαδικό 1,5 Χ 10 = 15
για να τον μετατρέψω σε ακέραιο.
1 5
Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσω και τον διαιρετέο.
Προσέχω ότι είναι δεκαδικός
6,75Χ10=67,5
6 7, 5
Συνεχίζω τη διαίρεση όπως γνωρίζω.
4
‐ 6 0
0 7
,
5
5
‐7 5
0 0
Ευθυμία Γκοτα

32. Έντεκα μηνών
Ημερομηνία:
Βάρος: [Βάρος[ Ύψος: [Ύψος]
Σημειώσεις:
[Τοποθετήστε φωτογραφίες εδώ]