1. CENTRO PREUNIVERSITARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
a un triángulo que tenga por base la suma B
de las bases del trapecio y por altura la a 7) S ABC m.n .
misma que éste. c
B
P = punto de tangencia
A b C
Corolario.- Todo trapecio es equivalente por
suma a un paralelogramo de la misma a.b.c
EQUIVALENCIA DE POLIGONOS altura y cuya base es la semi suma de las 3) S ABC , R = circuncentro A m P n C
4R
bases de aquél.
I.- CONCEPTO DE LOS POLIGONOS B
8) SABC =(ra )(rc ) , donde: ra y rc son
EQUIVALENTES. RELACION ENTRE LAS ÁREAS DE DOS
FIGURAS SEMEJANTES. a R
excentros.
DEFINICION: se dice que dos polígonos son c
equivalentes cuando se pueden descomponer * Teorema.- La razón entre las áreas de dos
en ortos polígonos respectivamente. triángulos semejantes es igual al cuadrado de A b C
A
la razón de semejanza. rc
TIPO DE EQUIVALENCIA. Hay dos tipos de C
equivalencia: equivalencia por suma y * Teorema.- La razón entre las áreas dos 4) S ABC P.r , r = incentro y B
equivalencia por deferencia. polígonos semejantes es igual al cuadrado de p = semi perímetro
la razón de semejanza (o bien a la razón de ra
II Equivalencia de paralelogramos. Dos los cuadrados de los segmentos homólogos). B
paralelogramos que tiene sus bases iguales y
sus alturas, son equivalentes. CIRCULOS. Dos circunferencias son siempre
semejantes 9) SABC = (r)(rb), donde: r = incentro y
* Dos paralelogramos de igual base y alturas son r rb = Excentro.
equivalentes también por suma. SECTORES CIRCULARES. Las área de dos
C
sectores circulares semejantes son
A
* Todo paralelogramo es equivalente por suma a proporcionales al cuadrado de los radios.
un rectángulo que tenga igual base e igual 5) S ABC rc ( p c) , rc = ex radio y
altura. SEGMENTOS CIRCULARES. Las áreas de los p = semi
segmentos circulares semejantes son perímetro rb
A
Corolario.- Dos paralelogramos de igual base e proporcionales a los cuadrados de los radios.
igual altura son equivalentes. B
r
AREAS DE REGIONES TRIANGULARES rc
c a B C
III. Equivalencia de triángulos y trapecios con
el paralelogramo. 1 A C
1) SABC = b.h
b r1 r2 r
2 10) S ABC r2
Teorema. Todo triángulo es equivalente a un r1 r2 r
B
paralelogramo de igual base y la mitad de
6) S ABC ra .rb .rc .r , donde :
altura , o a un paralelogramo de igual altura B
y mitad de base o a la mitad de un h
ra , rb , rc = excentros y
paralelogramo de igual base e igual altura. r = incentro
* Dos triángulo de igual base y alturas son A b C rc
r2
r1
equivalentes por diferencia.
2) S ABC P( P a)(P b)(P c) donde B
r
C
* El área de un triángulo de base constante no A
varia aunque el vértice opuesto se mueva a b c ra
P r
sobre una paralela a la base 2
C A
Teorema.- todo trapecio es equivalente a un
paralelogramo que tenga por base la paralela rb
media y por altura la misma que el trapecio, o
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2. CENTRO PREUNIVERSITARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
15) SABC = (PMNP )(R), Donde: B
2
S AFC (PMNP)= semi perímetro B c
11) S ABC del triángulo MNP na
S AOD B L
N P
3
L mc R
1
B a
Q
R
P A b bp C
M N M
O A C
A C L2
A P C S PQR ( n 1) 3
24)
S ABC ( n 3 1)
20) 1 (M N )( M P)( N P)
S ABC
F
16) S ABC M N P , donde : L1//AB, 2 MN NP MP B
L2//BC y L3//AC
12) S ABC M N , PT//AC Y PK//AB. B c
L2 an
B
B
M
N P
L3 M N
M cn Q
T P = punto cualquiera P a
R
A C A C
P
L
N 1 A b bn C
C
A K
17) S ABC = M2 + N2 + P2
2
S ABC
25) S PQR
S ABC 2R B 25
13) , Donde : R = circunradio B
S MNP r
am cn bp
y r = inradio.
N 21) S ABC
M 2
B
B Q
p P
A C a n
P c R
m
N A C
M
R A C
1 1 1 1 b
r 18) S ABC
S S1 S2 S3 26) S MNP
A P C S PQR 2abc 2
22) B
S ABC (a b)( a c)(b c)
S ABC 2R A
14) , R= circuncentro y S2
B
S MNP ra S1
N
C
S
ra= Excentro. M
S3 P Q P
M
B ra
A C
N R
A C P 23)
R
19) S ABC M N P , donde : L1//AB, S PQR (mnp 1) 2
L2//BC y L3//AC S ABC (np m 1)( mp n 1)( mn p 1)
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B
S ABC .S MNL
27) A+C = B S MNP
39) S PQR
2
mnp 1 4
31)
S ABC (m 1)( n 1)( p 1) hb
B
B hc
ha N
a
M Q
cn A C P
A
B
am
N S ABC R2 M L
c 35)
C S PQT r2 A R C
A bp P b C
B
M .P
28) S ABC 40) S APEQ S ABC
N S MNP n3 1
32) R
B S ABC (n 1) 3 P
P M
B B
E
a Q
N T r
cn M P
A C
P
A N an
C
A
c Q C
29) 2
S RLS S ABC .S MNP A bn P b C 36) S ABC PQ.(R)
B 41) S BMPN S ABC .S BMN
R
B 3
33) S ABC (M ma )( M mb)( M mc ) P B
4
S
N ma mb mc
R Donde: M , (ma, mb y mc M N paralela
M P
2
son medianas del triángulo ABC) A Q C
B C
A L C A P
37) S ABC A C D 2 B
30) S ABC m.n mb B
ma mc
A C
42) 2
S BMC S BMN . S ABC
A C
B
B
D
1 A C
34) S ABC ,
A
m 1 1 1 N paralela
4 H (H )( H )( H ) M
ha hb hC
n 38) S ABC A B C
1 1 1 1
B C
Donde: H ( ) , (ha, hb y hc B
2 ha hb hc A C
son las alturas del triángulo ABC) A
B
C
A C
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4. CENTRO PREUNIVERSITARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
43) A + C = B + D 47) X = A + B 3) ÁREA DE UN ROMBO 2) Si: “P” es un punto cualquiera (interior)
y “S” el área del paralelogramo ABCD
D
A B B C
B
incentro S2
L L
D C S1 S3
P
X S
S4
d
A A D
L S
2S APQ .S PQC L
S1 S3 S2 S4
44) S PQR 2
S APQ S PQC
48) X = A + B
D.d
B S
NUEVA
2
A
4) ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
ACADEMIA
Q X
P B
b H
h
PREUNIVERSITARIA
“THALES DE MILETO”
A C S
R
AREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
45) SABC = SAQIP B
1) ÁREA DE UN CUARDADO
Q
S B.h ó S H .b SOLO PARA CHANCONES
Incentro 45° PROPIEDADES DE UN
B
D PARALELOGRAMO
L
I
S 45° 1) Si: “P” es un punto de un lado
45° cualquiera y “S” el área del
P
L paralelogramo ABCD.
A C
B P C
D2
S L2 Ó S
S PQR 2
46) S MNL Sx
4
2) ÁREA DE UN RECTÁNGULO
A D
B
S
P Q a S SX
M N 2
b
S a.b
A L C
R
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