sesion 4

2. Ingeniería de Minas
Ing. Oscar Zelada Mosquera
oscar.zelada@upn.pe
MECÁNICA DE FLUIDOS
Sesión 04:
Flotabilidad y estabilidad de cuerpos sumergidos y
flotantes.
Movimiento relativo de masas líquidas.

3. Resolver el test de entrada en forma individual y antes de la clase:
RECOGO DE SABERES PREVIOS:

4. MOTIVACIÓN:
Observa y responde:
• ¿Qué fuerzas están presentes en una embarcación para mantenerse estable?
• ¿Qué condiciones deben cumplir estas fuerzas.
• ¿Qué factores se alteran para que se produzca el volteo de la nave?
https://youtu.be/vvG3hv4FLmA

5. MOTIVACIÓN:
Considere un fluido que se transporta en una cisterna:
• ¿Qué sucede con la superficie del líquido?
• ¿Cómo varía la presión en el interior del fluido?
• ¿Si el recipiente que lo contiene, en lugar de desplazarse hace una rotación sobre su eje,
cuál sería el comportamiento del fluido?
https://youtu.be/q-tFGt3XIpM

6. CONFLICTO COGNITIVO:
Analiza:
La figura ilustra el casco de una barcaza que, cuando está
cargada por completo, pesa 150 kN. Los incisos (b) a (d)
muestran las vistas superior, frontal y lateral de la
embarcación, respectivamente.
Observe la ubicación del centro de gravedad, cg. Determine
si el bote es estable en agua dulce.

7. CONFLICTO COGNITIVO:
Analiza:
Un recipiente cilíndrico vertical de 20 cm de diámetro y 60 cm de
alto, que se muestra en la figura, está parcialmente lleno con un
líquido cuya densidad es 850 kg/m³ hasta una altura de 50 cm.
Ahora se hace girar el cilindro a una velocidad constante.
Determine la velocidad de rotación a la cual el líquido empezará a
derramarse por lo bordes del recipiente.

8. LOGRO DE LA SESIÓN:
Al término de la sesión, los estudiantes del curso de
Mecánica de Fluidos, de la carrera de Ingeniería de
Minas:
• Aplican las condiciones que deben tener los cuerpos
sumergidos y flotantes, para mantener su
estabilidad, a la solución de situaciones
problemáticas cercanas a la realidad.
• Aplican las características del movimiento de fluidos
como cuerpos rígidos, en la solución de situaciones
problemáticas cercanas a la realidad.

9. CAMPOS TEMÁTICOS:
• Flotabilidad.
• Estabilidad.
• Estabilidad en cuerpos sumergidos.
• Estabilidad en cuerpos flotantes.
• Fluidos en movimiento como cuerpo
rígido.
• Casos especiales: fluido en reposo y
movimiento vertical.
• Fluidos con aceleración en una
trayectoria recta.
• Rotación en un recipiente cilíndrico.

10. FLOTABILIDAD:
• Un cuerpo en un fluido, ya sea que flote o esté
sumergido, experimenta una fuerza hacia arriba igual
al peso del fluido que desplaza.
• La fuerza de flotación (Fb) actúa en dirección vertical
hacia arriba a través del centroide del volumen
desplazado, y se define en forma matemática por medio
del principio de Arquímedes, como sigue:
• Donde:
Fb = Fuerza de flotación.
f = Peso específico del fluido.
Vd = Volumen desplazado del fluido.

11. FLOTABILIDAD:
• La fuerza de flotación es independiente de la distancia del
cuerpo a la superficie libre y de la densidad del cuerpo sólido.
• Para los cuerpos flotantes, el peso del cuerpo completo debe
ser igual a la fuerza de flotación, la cual es el peso del fluido
cuyo volumen es igual al de la parte sumergida de ese
cuerpo; es decir:
• Entonces, un cuerpo sumergido en un fluido:
1. Permanece en reposo en cualquier punto en el fluido, cuando su densidad
es igual a la densidad del fluido.
2. Se hunde hasta el fondo, cuando su densidad es mayor que la del fluido.
3. Asciende hasta la superficie del fluido y flota cuando la densidad del
cuerpo es menor que la del fluido.

12. ESTABILIDAD:
• Un cuerpo en un fluido se considera
estable si regresa a su posición
original después de habérsele dado
un giro pequeño sobre un eje
vertical.
• Los submarinos y los globos
meteorológicos son dos ejemplos
cotidianos de cuerpos sumergidos
por completo en un fluido. Es
importante que ese tipo de objetos
permanezcan con una orientación
específica a pesar de la acción de las
corrientes, vientos o fuerzas de
maniobra.

13. ESTABILIDAD PARA CUERPOS SUMERGIDOS:
• La condición de estabilidad para los
cuerpos sumergidos por completo en
un fluido es que su centro de gravedad
esté por debajo de su centro de
flotabilidad.
• El centro de flotabilidad de un cuerpo se
encuentra en el centroide del volumen
desplazado de fluido, y es a través de
dicho punto que la fuerza de flotación
actúa en dirección vertical. El peso del
cuerpo actúa verticalmente hacia abajo
a través del centro de gravedad.

14. ESTABILIDAD PARA CUERPOS SUMERGIDOS:
• La estabilidad vertical y la rotacional se explica con la
analogía de la “bola sobre el piso”:
a. Es estable, ya que cualquier perturbación pequeña
genera una fuerza de restitución (debida a la
gravedad) que la regresa a su posición inicial.
b. Es neutralmente estable, porque si alguien mueve la
bola hacia la derecha o hacia la izquierda
permanecería puesta en su nueva ubicación. No
tiende a regresar a su ubicación original ni continúa
moviéndose alejándose de ésta.
c. Es inestable cuando cualquier perturbación, inclusive
infinitesimal hace que la bola ruede hacia abajo del
promontorio (no regresa a su posición original, más
bien diverge de ella).

15. ESTABILIDAD PARA CUERPOS SUMERGIDOS:
• La estabilidad rotacional de un cuerpo
sumergido depende de las ubicaciones
relativas del centro de gravedad G del
cuerpo y del centro de flotación B, el cual
es el centroide del volumen desplazado.
• Un cuerpo sumergido es estable si tiene
un fondo pesado y, en consecuencia, el
punto G está directamente debajo del B.
En esos casos, una perturbación
rotacional del cuerpo produce un
momento de restitución que lo regresa a
su posición estable original.

16. ESTABILIDAD PARA CUERPOS SUMERGIDOS:
• Un cuerpo sumergido cuyo centro de
gravedad G está directamente arriba
del B es inestable y cualquier
perturbación hará que este cuerpo se
voltee.
• Un cuerpo para el cual G y B coinciden
es neutralmente estable. Éste es el
caso de los cuerpos cuya densidad es
constante en toda su extensión. Para
esos cuerpos no existe tendencia de
voltearse o enderezarse por sí mismos.

17. ESTABILIDAD PARA CUERPOS FLOTANTES:
Los criterios de estabilidad rotacional son semejantes
para los cuerpos flotantes.
• Si el cuerpo flotante tiene fondo pesado y, por
tanto, el centro de gravedad G, está directamente
abajo del centro de flotación B, el cuerpo siempre
es estable. A diferencia de los cuerpos
sumergidos, un cuerpo flotante inclusive puede
ser estable cuando G está directamente arriba del
B. Esto se debe a que el centroide del volumen
desplazado se mueve hacia uno de los lados hasta
un punto B durante una perturbación rotacional,
mientras que el centro de gravedad G, del cuerpo
permanece inalterado. Si el punto B está
suficientemente lejos, estas dos fuerzas crean un
momento de restitución y regresan el cuerpo a la
posición original.

18. ESTABILIDAD PARA CUERPOS FLOTANTES:
• Una forma analítica de determinar la estabilidad,
es localizar el metacentro M (punto de
intersección de las líneas de acción de la fuerza de
flotación que pasa por el cuerpo antes y después
de la rotación).
• La distancia del metacentro M al centro de
flotación B, se calcula por:
• I: momento de inercia mínimo del área superior del cuerpo; Vd:
volumen desplazado de fluido
• Si la distancia MB sitúa al metacentro arriba del
centro de gravedad, el cuerpo es estable.

19. ESTABILIDAD PARA CUERPOS FLOTANTES:
• Algunos objetos son más estables
que otros. Una medida de la
estabilidad relativa es la altura
metacéntrica MG, y se define
como la distancia que hay entre
el metacentro y el centro de
gravedad.
• El metacentro se puede
considerar como un punto fijo
para la mayor parte de las formas
de los cascos, para ángulos
pequeños de balanceo, hasta de
más o menos 20°.

20. ESTABILIDAD PARA CUERPOS FLOTANTES:
• Un cuerpo flotante es estable si el
punto M está arriba del G y, por
consiguiente, GM es positiva e
inestable si el punto M está debajo del
G y, en consecuencia, GM es negativa.
En el último caso, el peso y la fuerza de
flotación que actúan sobre el cuerpo
inclinado generan un momento de
volcadura, en lugar de uno de
restitución, haciendo que el cuerpo se
vuelque.
• La longitud de la altura metacéntrica
GM por encima de G es una medida de
la estabilidad: entre mayor sea, más
estable es el cuerpo flotante.

21. ESTABILIDAD PARA CUERPOS FLOTANTES:
• Como ejemplo, las naves pequeñas que
surquen el océano deben tener un valor
mínimo MG de 1.5 pies (0.46 m). Las naves
grandes deben tener MG > 3.5 pies (1.07
m). Sin embargo, MG no debe ser
demasiado grande, porque los
movimientos oscilatorios incómodos
podían provocar mareos.
• La distancia horizontal GH, conocida como
brazo estabilizador, es una medida de la
magnitud del par estabilizador. La distancia
GH varía conforme cambia el ángulo de
rotación.

22. FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO:
• Se estudiará la variación de la presión en los
fluidos que se mueven como un cuerpo sólido,
con o sin aceleración, en ausencia de esfuerzos
cortantes (es decir, ningún movimiento entre
las capas de fluido una con relación a las otras).
• Muchos fluidos, como la leche y la gasolina, se
transportan en cisternas.
• En estos casos, el fluido se mueve con rapidez
hacia la parte posterior y se presenta alguna
salpicadura inicial. Pero, a continuación, se
forma una nueva superficie libre (por lo
general no horizontal).
• Cada una de las partículas del fluido adquiere
la misma aceleración y todo el fluido se mueve
como un cuerpo rígido.

23. FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO:
• Analizando un elemento rectangular de fluido
en reposo, con dimensiones: dx, dy, dz.
• La presión en el centro es: P
• Su peso es: w = g.dx.dy.dz
• Se demuestra que la presión en las caras
superior e inferior, respectivamente está dada
por:
• Por lo tanto las fuerzas en las cara superior e
inferior, respectivamente, son:
2
dz
.
Z
P
P
y
2
dz
.
Z
P
P


−


+
dy
.
dx
2
dz
.
Z
P
P
y
dy
.
dx
2
dz
.
Z
P
P 







−








+

24. FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO:
• La fuerza resultante en la dirección vertical (z) es:
• Las fuerzas resultantes en las otras direcciones (x e y),
considerando que no actúa el peso:
• El vector fuerza resultante del elemento diferencial:
dz
.
dy
.
dx
.
g
dy
.
dx
2
dz
.
Z
P
P
dy
.
dx
2
dz
.
Z
P
P
Fz 
−








+
−








−
=

dz
.
dy
.
dx
.
g
dz
.
dy
.
dx
Z
P
Fz 
−


−
=

dz
.
dy
.
dx
x
P
Fx


−
=
 dz
.
dy
.
dx
y
P
Fy


−
=

→
→
→
→
→

−










+


+


−
=
 k
dxdydz
.
g
dxdydz
k
z
P
j
y
P
i
x
P
F

25. FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO:
• Se puede expresar como:
𝛁𝐏: Que expresa el gradiente de presión (magnitud
escalar) en forma vectorial.
• Considerando: dV = dxdydz:
• De la segunda ley de newton tenemos:
→
→

=
 a
.
dV
F
→
→
→

−

−
=
 k
dxdydz
.
g
dxdydz
.
P
F
→
→
→

−

−
=

k
g
P
dV
F
→
→

=
 a
.
m
F
→
→

=

a
.
dV
F

26. FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO:
• Igualando las ecuaciones anteriores y ordenando:
(Ecuación general de movimiento para un fluido
que actúa como cuerpo rígido)
• Desdoblando la ecuación anterior en ecuaciones
escalares:
Donde: ax, ay, az, son las aceleraciones en las direcciones x, y, z
respectivamente.
→
→
→

−
=

+
 a
k
g
P
x
a
.
x
P

−
=


y
a
.
y
P

−
=


)
g
a
(
z
P
z +

−
=



27. FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO:
Estas relaciones son aplicables tanto para los fluidos
compresibles como para los incompresibles.
• Caso especial 1: Fluidos en reposo
ax, ay, az = 0
Lo cual confirma que, en los fluidos en reposo, la presión
permanece constante en cualquier dirección horizontal y sólo
varía en la dirección vertical como resultado de la gravedad.
x
a
.
x
P

−
=


y
a
.
y
P

−
=


)
g
a
(
z
P
z +

−
=


g
dz
dP

−
=

28. FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO:
• Caso especial 2: Caída libre de un fluido
ax = ay= 0; az= – g entonces:
• Caso especial 3: Movimiento hacia arriba de un
fluido
ax = ay= 0; az= + g entonces:
x
a
.
x
P

−
=


y
a
.
y
P

−
=


)
g
a
(
z
P
z +

−
=


)
cte
P
(
0
z
P
y
P
x
P
=
=


=


=


g
2
z
P

−
=



29. ACELERACIÓN SOBRE UNA TRAYECTORIA RECTA:
• Considere un recipiente parcialmente lleno con un
líquido.
• El recipiente se mueve sobre una trayectoria recta con
una aceleración constante, en el plano XZ (ay = 0) .
• Las componentes x y z de la aceleración son ax y az.
• Las ecuaciones del movimiento para fluidos en
aceleración se reducen a:
• Entonces el diferencial total de presión es:
• Para dos puntos 1 y 2, y considerando  = cte:
x
a
.
x
P

−
=


)
g
a
(
z
P
z +

−
=


dz
)
g
a
(
dx
a
dP z
x +

−

−
=
)
z
z
)(
g
a
(
)
x
x
(
a
P
P 1
2
z
1
2
x
1
2 −
+

−
−

−
=
−

30. ACELERACIÓN SOBRE UNA TRAYECTORIA RECTA:
• El ascenso (o descenso) de la superficie libre,
podemos determinar estableciendo los puntos 1 y
2 sobre la superficie libre, donde P1 = P2, entonces
P2 – P1 = 0
• Para cualquier isóbara, tenemos dP = 0:
• Esto demuestra que todas las isóbaras tienen la
misma pendiente.
)
z
z
)(
g
a
(
)
x
x
(
a
0 1
2
z
1
2
x −
+

−
−

−
=
Δzs = zs2 − zs1 = −
ax
az + g
(x2 − x1)
dz
)
g
a
(
dx
a
0 z
x +

−

−
=
g
a
a
dx
dz
z
x
isóbara
+
−
=

31. ROTACIÓN EN UN RECIPIENTE CILÍNDRICO:
• Cuando un recipiente lleno con agua se hace girar
alrededor de su eje, se fuerza al fluido hacia afuera
como resultado de la fuerza centrífuga y la superficie
libre del líquido se vuelve cóncava. Esto se conoce
como movimiento de vórtice forzado.
• Considerando un recipiente cilíndrico vertical lleno
parcialmente con un líquido. Ahora se hace girar el
recipiente alrededor de su eje a una velocidad angular
constante ,. Después de los efectos transitorios
iniciales, el líquido se moverá como un cuerpo rígido
junto con el recipiente.
• No se tiene deformación y, por lo tanto, no puede
haber esfuerzo cortante y cada partícula de fluido en el
recipiente se mueve con la misma velocidad angular.

32. ROTACIÓN EN UN RECIPIENTE CILÍNDRICO:
• Trabajando en coordenadas cilíndricas:
• El diferencial total de presión es:
• Ecuación de las superficies de presión constante: dP=0
la cual es la ecuación de una parábola. Por tanto, se llega a la conclusión
que las superficies de presión constante, inclusive la superficie libre, son
paraboloides de revolución.

33. ROTACIÓN EN UN RECIPIENTE CILÍNDRICO:
• Para la superficie libre, cuando r = 0, zs = hc = C1
zs es la distancia de la superficie libre al fondo del recipiente en el radio r.
• Igualando el volumen del paraboloide al volumen
inicial:
Entonces:

34. ROTACIÓN EN UN RECIPIENTE CILÍNDRICO:
• Para dos puntos 1 y 2, la diferencia de presión se determina
integrando la expresión:
• Si se toma el punto 1 como el origen (r = 0, z = 0) donde la
presión es P0 y el punto 2 como cualquier punto:
✓ En un radio fijo, la presión varía en forma hidrostática en la dirección vertical, como en un fluido
en reposo.
✓ Para una distancia vertical fija z, la presión aumenta desde la línea central hacia el borde exterior.
✓ En cualquier plano horizontal la diferencia de presión entre el centro y el borde del recipiente de
radio R es:

35. BIBLIOGRAFÍA:
• Y. Cengel, J. Cimbala. (2006). Mecánica
de fluidos: fundamentos y aplicaciones,
México DF, México: Mc Graww Hill.
• R. Mott, (6a Ed.). (2006). Mecánica de
Fluidos, México DF, México: Pearson
Educación.
• J. Gonzales-Santander, G. Castellano.
Fundamentos de mecánica de fluidos.
España, Alicante: ECU.
• A. Crespo. (2006). Mecánica de Fluidos.