Este documento describe diferentes modelos econométricos con variables retardadas. Explica el modelo de Koyck, que transforma un modelo de rezagos distribuidos en un modelo autoregresivo, y también describe modelos derivados como el de expectativas adaptativas y el de ajuste parcial de existencias. Finalmente, introduce el modelo de Almon para aproximar coeficientes de rezagos distribuidos mediante un polinomio.

1. MODELO ECONOMETRICOS CON VARIABLES RETARDADAS
tktktttt uXXXXY +++++= −−− ββββα ....22110
ttttt uXXXY +++++= −− ....22110 βββα
Los modelos econométricos con variables retardadas son aquellos que contiene valores no solo del
periodo sino también valores rezagados (pasados).
Existen dos tipos de modelos: modelo de rezagos distribidos y modelo autoregresivo
Modelo de rezago finito
Modelo de rezago infinito
Modelo de rezagos distribuidos
Cuando la variable explicativa presenta rezagos
La longitud del rezago es la distancia entre el periodo t-k y el periodo t
plazocortodeoimpactodedormultiplicaeles0β
plazoolderezagosdedormultiplicaeles
k
i
i arg
0
∑=
= ββ
Modelo autoregresivo o dinámico
Cuando la variable explicada presenta rezagos
tttt uYXY +++= −1ϕβα

2. ttttt uXXXY +++++= −− ....22110 βββα
Metodo de KOYCK para modelo de rezagos distribuidos infinitos
KOYCK plantea que: ,....2,1,00 == kdondek
k λββ
ttttt uXXXY +++++= −− ....2
2
01
1
00 λβλββα
13
3
02
2
0101 .... −−−−− +++++= ttttt uXXXY λλβλβλβλαλ
Multiplicando por λ y rezagando un periodo tenemos
Restando miembro a miembro:
101 )1( −− −++−=− ttttt uuXYY λβαλλ Ordenando los términos
110)1( −− −+++−= ttttt uuYXY λλβαλ Se tiene un modelo autoregresivo
1−−= ttt uuv λ Se llama MEDIA MOVIL de orden 1 MA(1)
tttt vYXY +++−= −10)1( λβαλ
La longitud del rezago de la variabla Y es 1, como es autoregresivo se denomina AR(1)
El multiplicador de largo plazo, se puede determinar
como:
........ 2
000210
0
+++=+++== ∑
∞
=
λβλβββββββ
i
i
λ
ββ
−
=
1
1
0
λLog
Log
rezagoslosdeMediana
2
−=
λ
λ
−
=
1
Re Mediozago
Por otra parte, los otros indicadores está dados por:

3. Modelo de KOYCK
El archivo Consumo.wf1 recoge datos del periodo 1964-1998 del consumo privado nacional (CPN80) y de
la renta nacional disponible de las familias (RNDFAM80) en pesos constantes de 1980. Utilizando el
modelo de Koyck, estimar la propensión marginal a consumir a corto y a largo plazo.
ttttt uYYYCP +++++= −− ....22110 βββαSolución: El modelo es:
Realizando la transformación
tttt vCPYCP +++−= −10)1( λβαλY simplificando el modelo queda como:
k
k λββ 0=
Donde CP= Consumo
Y = Renta disponible
Realizando la regresion MCO queda:
β0 =β0λ
0
= 0,600705
β1 =β0λ
1
= 0,22587229
β2 =β0λ
2
= 0,08493069
β3 =β0λ
3
= 0,03193496
β4 =β0λ
4
= 0,01200793
7086.0
2
=−=
λLog
Log
rezagoslosdeMediana
9627,0
1
1
0 =
−
=
λ
ββ

4. En el modelo de Koyc
El modelo de Koyck empieza como un modelo de rezagos distribuidos y termina como un modelo
autoregresivo
En el modelo, es probable que Yt-1cree un problema estadístico porque es una variable estocástica y es
posible que tenga algun relacionamiento con e termino de perturbación.
En el modelo ut – λut-1presenta un problema de autocorrelacion serial
La Prueba d de Durbin Watson no se puede utilizar para la detección de autocorrelacion sino que se
utiliza la prueba h de Durbin
∧
∧
−
=
)var(1 λ
ρ
n
n
h
2
1
d
−=
∧
ρ
Donde: V(λ) es la varianzade la variable Y
rezagada
Y el coeficiente de correlacion muestral es: Donde: d es la Durbin Watson

5. ∧
∧
−
=
)var(1 α
ρ
n
n
h
Prueba h de Durbin para autocorrelacion
522105,0
2
95579,0
1
2
1 =−=−=
∧ d
ρ
H0: No existe autocorrelacion
616687,4
125626,0351
35
522105,0
)var(1
2
=
−
=
−
= ∧
∧
xn
n
h
α
ρ
Z al 5% de significacion = 1,96
H es mayor a la Z de tabla por tanto rechazamos la hipotesis nula. Existe AUTOCORRELACION

6. El modelo de expectativas adaptativas
)1(*
10 ttt uXY ++= ββ
Y = Variable dependiente
X* = Valor esperado de la variable X
Supuesto:
)2()( *
1
*
1
*
−− −=− tttt XXXX γ
Coeficiente de expectativas adaptativas o de aprendizaje por error
10 ≤≤ γ
=γ
X es el valor observado
)1()1()2( *
1
*
endoreemplazanXXXde ttt −−+= γγ
)1()1()1()1( 1
*
1101 γγβγβγ −+−+−=− −−− ttt uXY
tttt uXXY +−++= −
*
1110 )1( γβγββ
La Ec (1) rezagando un
periodo y multiplicando por:
)1( γ−
Restando Ec(a) – Ec(b) y simplificando tenemos:
tttt vYXY +−++= −110 )1( γγβγβ 1)1( −−−= ttt uuvdonde γ
Nuevamente tenemos un modelo autoregresivo
Modelos derivados de KOYCK

7. El modelo de ajuste parcial de existencias
)1(10
*
ttt uXY ++= ββ
Y* = Variable dependiente (Valor deseado de Y)
X = Valor de la variable X
Supuesto: )2()( 1
*
1 −− −=− tttt YYYY δ
Coeficiente de ajuste
10 ≤≤ δ
=δ
De la ecuacion (2) se tiene: 1
*
)1( −−+= ttt YYY δδ
Sustituyendo la Ec (1) en la anterior se tiene:
tttt uYXY δδδβδβ +−++= −110 )1(
Nuevamente tenemos un modelo autoregresivo
Modelos derivados de KOYCK
observadoCambioYY tt =− −1 deseadoCambioYY tt =− −1
*
Nota: Si en los modelos de Koyc y de expectativas adaptativas no se puede utilizar directamente el MCO
porque las ui esta correlacionadas con Yt-1, se deben utilizar tecnicas alternativas para estimar los
parametros. Una tecnica alternativa es el de la introduccion de variables instrumentales.
En este modelo, si ut satisface las condiciones que se exige para los MCO entonces, la uɗ t tambien los
hara por tanto es posible utilizar los MCO para estimar los parametros.

8. Considerese el modelo: tu
ttt eYRM 21
0
* ββ
β=
Donde : M* = demanda de dinero deseada o de largo plazo
R = la tasa de interes a largo plazo en %
Y = Ingreso nacional real agregado
Sugerencia: Utilice el modelo de Ajuste de existencias o de ajuste parcial
Los datos se encuentran en la tabla 17.3

9. tktkttt uXXXY +++++= −− βββα ....110
Modelo de Almon para rezagos distribuidos
Almon supone que βi puede ser aproximado mediante un polinomio de grado m en i. Se supone que m
(grado del polinomio) es menor que k (longitud del rezago)
m
mi iaiaiaa ++++= ....2
210β
*
*
**
**
*
*
*
i
βi
Polinomio de grado 2
*
* *
*
*
* *
*
*
i
βi
Polinomio de grado 3
Haciendo un cambio de variable
........
93
42
2103
2102
2101
00
aaa
aaa
aaa
a
++=
++=
++=
=
β
β
β
β
∑=
−=
k
i
it
m
mt XiZ
0
tmtmttt uZaZaZaY +++++= ....1100α
Una vez estimado los valores ai, se puede encontrar las betas de la siguiente forma:
Para el caso de un
polinomio de
segundo grado
K = numero de rezagos
**
*
*
*
*
* *
*
i
βi
Caso de Koyck

10. tktkttt uXXXY +++++= −− βββα ....110
Modelo de Almon para rezagos distribuidos
Almon supone que βi puede ser aproximado mediante un polinomio de grado m en i. Se supone que m
(grado del polinomio) es menor que k (longitud del rezago)
m
mi iaiaiaa ++++= ....2
210β
*
*
**
**
*
*
*
i
βi
Polinomio de grado 2
*
* *
*
*
* *
*
*
i
βi
Polinomio de grado 3
Haciendo un cambio de variable
........
93
42
2103
2102
2101
00
aaa
aaa
aaa
a
++=
++=
++=
=
β
β
β
β
∑=
−=
k
i
it
m
mt XiZ
0
tmtmttt uZaZaZaY +++++= ....1100α
Una vez estimado los valores ai, se puede encontrar las betas de la siguiente forma:
Para el caso de un
polinomio de
segundo grado
K = numero de rezagos
**
*
*
*
*
* *
*
i
βi
Caso de Koyck