Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und relevantere Anzeigen zu schalten. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

St2

137 Aufrufe

Veröffentlicht am

  • Als Erste(r) kommentieren

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

St2

  1. 1. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica, v. 30, n. 3, 3313 (2008) www.sbfisica.org.br Regi˜es de seguran¸a em lan¸amento de proj´teis o c c e (Security regions in projectile launching) L´cia Resende Pereira e Valdair Bonfim1 u Faculdade de Matem´tica, Universidade Federal de Uberlˆndia, Uberlˆndia, MG, Brasil a a a Recebido em 29/2/2008; Revisado em 11/6/2008; Aceito em 4/7/2008; Publicado em 8/10/2008 Nosso principal objetivo neste trabalho ´ a determina¸ao de regi˜es de seguran¸a em bal´ e c˜ o c ıstica. Por regi˜o a de seguran¸a entendemos a regi˜o do espa¸o tridimensional que fica livre da a¸ao de proj´teis. A determina¸ao c a c c˜ e c˜ da regi˜o de seguran¸a ser´ reduzida ao c´lculo da envolt´ria de uma fam´ de trajet´rias, indexada segundo o a c a a o ılia o ˆngulo de tiro. a Palavras-chave: lan¸amento de proj´teis, resistˆncia do ar, envolt´ria, regi˜o de seguran¸a. c e e o a c Our main objective in this work is the determination of security regions in ballistics. By security region we understand the region of three-dimensional space that is free to the action of projectiles. The determination of the security region will be reduced to the calculation of the envelope of a family of trajectories, indexed according to the angle of shot. Keywords: projectile launching, resistance of the air, envelope, security region. 1. Introdu¸˜o ca O assunto “lan¸amento de proj´teis” ´ bastante rico, c e e tanto do ponto de vista do ensino como da pesquisa, pois aparece numa s´rie de situa¸˜es pr´ticas. A ine co a ten¸˜o deste trabalho ´ abordar um tema ainda pouco ca e trabalhado neste t´pico da f´ o ısica, qual seja, o tema da regi˜o de seguran¸a. Existem v´rias situa¸˜es pr´ticas a c a co a onde h´ interesse na determina¸˜o desta regi˜o, como a ca a por exemplo em treinamentos militares, teste de instrumentos b´licos ou em obras da engenharia civil onde se e faz necess´rio o uso de explosivos para desobstruir bara reiras. Neste ultimo caso os detritos resultantes das ´ explos˜es s˜o lan¸ados em dire¸˜o aleat´ria com uma o a c ca o determinada velocidade inicial v0 , cuja intensidade na pr´tica ´ superestimada, e a preocupa¸˜o ´ que tais cora e ca e pos n˜o atinjam pessoas e ou constru¸˜es pr´-existentes a co e nas proximidades. Na literatura pesquisada sobre o assunto [1] vimos que foi tratado apenas o caso particular em que n˜o se considera a resistˆncia do ar. Neste a e trabalho consideraremos o efeito da resistˆncia do ar e e da presen¸a de ventos, e comentaremos as mudan¸as c c qualitativas ocorridas no movimento e na regi˜o de sea guran¸a. Como a regi˜o de seguran¸a ´ obtida via o c a c e c´lculo da envolt´ria de uma fam´ de trajet´rias, e a o ılia o como o c´lculo desta envolt´ria utiliza argumentos de a o geometria e equa¸˜es diferenciais, cria-se um ambiente co 1 E-mail: valdair@ufu.br. Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ ısica. Printed in Brazil. prop´ ıcio ` interdisciplinaridade entre a f´ a ısica e a matem´tica. Cabe ainda ressaltar que, devido a consia ` dera¸˜o da resistˆncia do ar e da presen¸a de ventos, ca e c aparecem algumas dificuldades que sugerem e incitam a utiliza¸˜o de recursos computacionais, muito uteis para ca ´ a elabora¸˜o de conjecturas e em completa consonˆncia ca a com as diretrizes curriculares nacionais para os cursos de f´ ısica. 2. Lan¸amento de proj´teis sem resisc e tˆncia do ar e Embora o caso do lan¸amento de proj´teis sem rec e sistˆncia do ar seja um tema bastante estudado, faree mos uma recapitula¸˜o deste tipo de movimento apenas ca para efeito de compara¸˜es com o caso menos trivial no co qual se leva em conta esta resistˆncia, bem como para fie xar nota¸˜o. Suponha que um proj´til de massa m seja ca e lan¸ado a partir do solo com uma velocidade inicial v0 , c a qual faz um ˆngulo de θ radianos com a horizontal. a Este ˆngulo θ ser´ denominado ˆngulo de tiro. Suponha a a a ainda que a unica for¸a atuante no corpo seja a atra¸˜o ´ c ca gravitacional mg, da Terra sobre o corpo. Escolhendo o sistema de coordenadas ilustrado na Fig. 1, cuja origem coincide com o ponto de lan¸amento, e denotando c por r(t) = (x(t), y(t)) a posi¸˜o do corpo no instante t, ca ent˜o a segunda lei de Newton nos diz que a
  2. 2. 3313-2 Pereira e Bonfim dm´x = a 2 v0 sen(2θ). g (8) Em particular, a distˆncia horizontal m´xima ala a e can¸ada pelo corpo ´ v0 /g, e ´ conseguida quando o c e 2 a ˆngulo de tiro θ ´ igual a π/4 radianos, ou seja, 45◦ . e 3. A envolt´ria de uma fam´ de curo ılia vas Suponha dada uma fam´ de curvas planas ılia Cθ = { (x, y) ∈ R2 : f (x, y, θ) = 0 }. Figura 1 - Sistema de coordenadas para o lan¸amento obl´ c ıquo. 2 m d r = mg, dt2 r(0) = 0, dr (0) = v0 . dt (1) Ou ainda, em coordenadas cartesianas, x(t) = 0, ¨ y (t) = −g, ¨ x(0) = 0, y(0) = 0, x(0) = v0 cosθ, ˙ y(0) = v0 senθ, ˙ (2) cuja resolu¸˜o nos d´ ca a x = (v0 cosθ)t, g y = − t2 + (v0 senθ)t. 2 (3) (4) Isolando t na Eq. (3) e substituindo na Eq. (4) obtemos y=− g. sec2 θ 2 x + (tgθ) x. 2 2v0 (5) Das Eqs. (3), (4) e (5) podemos concluir v´rias coia sas a respeito do movimento do proj´til e de sua trae jet´ria. De in´ conclu´ o ıcio ımos, a partir da Eq. (5), que a trajet´ria do corpo ´ um arco de par´bola. O tempo o e a e e de subida ts , isto ´, o tempo que o proj´til leva para atingir o seu ponto mais alto, ´ conseguido impondo-se e y(ts ) = 0, ou seja ˙ ts = v0 senθ . g Dessa forma, a altura m´xima atingida pelo corpo a hm´x = y(ts ) = a 2 v0 sen2 θ , 2g (7) e a distˆncia horizontal m´xima alcan¸ada pelo mesmo a a c ´ dada pela raiz positiva da equa¸˜o quadr´tica e ca a g sec2 θ 2 x + (tgθ) x = 0, − 2 2v0 ou seja, Isto significa que para cada valor do parˆmetro θ a temos uma curva Cθ constitu´ por pontos (x, y) que ıda satisfazem ` equa¸˜o f (x, y, θ) = 0. Vamos supor aqui a ca que a fun¸˜o f possua derivadas parciais cont´ ca ınuas com respeito `s vari´veis espaciais x e y, e tamb´m com resa a e peito ao parˆmetro θ. Admita ainda que a curva Cθ seja a suave, no sentido de admitir reta tangente por cada um de seus pontos. Uma condi¸˜o suficiente para isso ´ ca e que, para cada θ fixado, o vetor gradiente (com rela¸˜o ca a `s vari´veis espaciais) seja diferente de zero em todos a e os pontos da curva Cθ , isto ´ ∇f (x, y, θ) = ∂f ∂f (x, y, θ) , (x, y, θ) ∂x ∂y = (0, 0), para todo (x, y) na curva Cθ . e A envolt´ria da fam´ Cθ ´ uma curva parameo ılia trizada γ(θ) = (x(θ), y(θ)) satisfazendo `s seguintes a condi¸˜es co i) γ(θ) ∈ Cθ , ∀ θ; ii) γ e Cθ possuem a mesma reta tangente no ponto γ(θ). As express˜es matem´ticas para tais condi¸˜es s˜o, o a co a respectivamente, as seguintes f ( γ(θ) , θ ) = 0, ∇f ( γ(θ) , θ ) . γ (θ) = 0, (6) ´ e (9) ou seja,  f ( x (θ) , y (θ) , θ)    ∂f    (x (θ) , y (θ) , θ) ∂x     ∂f    (x (θ) , y (θ) , θ) ∂y = 0, (10) = 0. (11) dx + dθ dy dθ Para o c´lculo da envolt´ria basta fixarmos o parˆmetro a o a θ e resolvermos o sistema de equa¸˜es co
  3. 3. Regi˜es de seguran¸a em lan¸amento de proj´teis o c c e  f (x, y, θ)   3313-3 =0 (12)  ∂f   (x, y, θ) = 0 ∂θ (13) nas vari´veis x e y. Uma aplica¸˜o do Teorema da a ca Fun¸˜o Impl´ ca ıcita garante que, se ∂f ∂ 2 f ∂f ∂ 2 f − = 0, ∂x ∂θ ∂y ∂y ∂θ ∂x ent˜o o sistema composto pelas Eqs. (12) e (13) tem a solu¸˜o γ(θ) = (x(θ), y(θ)), a qual ´ t˜o regular quanto ca e a a fun¸˜o f . Para vermos que toda solu¸˜o (x(θ), y(θ)) ca ca das Eqs. (12) e (13) ´ uma envolt´ria, basta provarmos e o que a Eq. (11) tamb´m fica satisfeita, haja vista que e as Eqs. (10) e (12) s˜o as mesmas. Mas isto ´ sima e ples, pois derivando a Eq. (10) em rela¸˜o ` vari´vel θ ca a a encontramos Figura 3 - Fam´ de circunferˆncias cujos centros deslizam sobre ılia e o eixo x e cujos raios crescem de acordo com a raiz quadrada da distˆncia do centro ` origem. a a 4. C´lculo da regi˜o de seguran¸a a a c Inicialmente vamos fixar um plano perpendicular ao solo contendo o ponto de lan¸amento e determinar a enc volt´ria de todas as trajet´rias cujas velocidades iniciais o o sejam paralelas a este plano. Calculemos a envolt´ria o da fam´ de par´bolas (Cθ )− π <θ< π dada pela Eq. (5). ılia a 2 2 2 dx ∂f dy ∂f ∂f (x, y, θ) + (x, y, θ) + (x, y, θ) = 0, ∂x dθ ∂y dθ ∂θ que devido a Eq. (13) se reduz ` Eq. (11). Para ver ` a que este procedimento de fato conduz ` envolt´ria cona o sideremos duas fam´ ılias de curvas, as quais podem ser pensadas como propaga¸˜es de um determinado tipo de co onda. Fam´ 1: (x − θ)2 + y 2 = sen2 θ, com 0 < θ < 2π ılia e e Cada Cθ ´ uma circunferˆncia centrada em (θ, 0), com raio | senθ |. Neste caso temos f (x, y, θ) = (x − ca co θ)2 + y 2 − sen2 θ, e a resolu¸˜o do sistema de equa¸˜es (12)-(13) nos leva a x = x(θ) = θ + senθ cosθ e a y = y(θ) = ±sen2 θ. A Fig. 2 mostra v´rias circuno ferˆncias Cθ , bem como a sua envolt´ria. Caso se trate, e por exemplo, de propaga¸˜o de ondas prejudiciais aos ca seres humanos, a envolt´ria delimita a regi˜o que est´ o a a recebendo a influˆncia danosa das ondas da outra regi˜o e a que fica livre desta influˆncia. e Figura 2 - Fam´ de circunferˆncias cujos centros deslizam sobre ılia e um eixo horizontal e cujos raios variam periodicamente. Fam´ 2: (x − θ)2 + y 2 = θ , com θ > 0 ılia Trata-se agora de uma fam´ de circunferˆncias ılia e √ centradas em (θ, 0) e raio θ. Neste caso temos que ca f (x, y, θ) = (x − θ)2 + y 2 − θ, e a resolu¸˜o do sistema (12)-(13) fornece x = x(θ) = θ − 1/2 e y = y(θ) = 1/4. A Fig. 3 mostra v´rias a ± θ − 1/4, para θ curvas Cθ e a envolt´ria, que ´ uma par´bola. o e a No caso f (x, y, θ) = y + g sec2 θ x2 − (tgθ)x, o sistema 2v0 (12)-(13) torna-se  2  y + g sec θ x2 − (tgθ)x = 0   2  2v0      x sec2 θ gx tgθ − 1 = 0  2 v0 (14) Como x sec2 θ > 0 para todo x > 0 e todo − π < 2 θ < π , ent˜o a segunda equa¸˜o do sistema (14) nos a ca 2 fornece 2 v0 . (15) gx Agora, lembrando que sec2 θ = 1 + tg2 θ, e substituindo a Eq. (15) na primeira equa¸˜o do sistema (14), ca obtemos tgθ = 2 g 2 v0 (16) 2 x + 2g . 2v0 Surpreendentemente, a envolt´ria da fam´ de trao ılia jet´rias parab´licas ainda ´ uma par´bola, denominada o o e a par´bola de seguran¸a. Para obter a regi˜o de segua c a ran¸a no espa¸o tridimensional basta fazer a rota¸˜o da c c ca par´bola de seguran¸a em torno de seu eixo de simetria a c uma vez que, sendo os lan¸amentos aleat´rios, temos de c o considerar velocidades iniciais v0 paralelas a qualquer plano vertical passando pelo ponto de lan¸amento, e c n˜o somente paralelas ao plano fixado. A Fig. 4 ilustra a algumas trajet´rias, com alguns ˆngulos de tiro entre 0o o a e 180◦ . Observe que cada ponto dentro da regi˜o delia mitada pela par´bola de seguran¸a est´ na intersec¸˜o a c a ca de duas trajet´rias, significando que um corpo neste o ponto pode ser atingido por um proj´til ascendente ou e por um proj´til descendente. Cada uma das trajet´rias e o y=−
  4. 4. 3313-4 Pereira e Bonfim na Fig. 4 pode ser visualizada na pr´tica com uma mana ´ gueira de jardim jorrando agua. E uma ocasi˜o onde a ´ a teoria pode ser comprovada de modo bastante simples. De fato pode-se observar, por exemplo, que o alcance horizontal m´ximo da ´gua ocorre quando a mangueira a a faz um ˆngulo de 45◦ com a horizontal. a Figura 6 - Uma erup¸˜o vulcˆnica. ca a 4.1. Figura 4 - Fam´ de trajet´rias e a respectiva envolt´ria obtidas ılia o o desconsiderando-se a resistˆncia do ar e com ˆngulos de tiro que e a variam entre 0◦ e 180◦ . A Fig. 5 mostra a implos˜o do Complexo Penia tenci´rio Carandiru num dia que, possivelmente, n˜o a a soprava ventos fortes, e portanto se enquadra dentro da modelagem feita. Observe que a nuvem de part´ ıculas sugere uma regi˜o que se assemelha a um a parabol´ide. Na Fig. 6 vemos uma erup¸˜o vulcˆnica, o ca a que tamb´m sugere aproximadamente o formato de e regi˜o parab´lica. Pequenas diferen¸as com o resultado a o c te´rico obtido se devem ao fato de que o modelo f´ o ısico n˜o incorporou particularidades destas situa¸˜es, como a co a possibilidade de existir mais de um centro de explos˜o, a ou seja, diferentes pontos de lan¸amento, gerando uma c combina¸˜o de regi˜es com formato de parabol´ide. ca o o Lan¸amento de proj´teis com resistˆncia c e e do ar A partir de agora consideraremos, al´m da for¸a grae c vitacional da Terra sobre o corpo de massa m, a resistˆncia do ar sobre o mesmo. Esta resistˆncia ser´ e e a e modelada fisicamente por −b dr , onde b ´ uma consdt tante positiva. Escolhendo o mesmo sistema de coordenadas (vide Fig. 1), cuja origem coincide com o ponto de lan¸amento, e denotando a posi¸˜o do corpo no insc ca tante t por r(t) = ( x(t) , y(t) ), ent˜o a segunda lei de a Newton nos diz que m dr d2 r = mg − b , dt2 dt r(0) = 0, dr (0) = v0 , dt (17) ou ainda    x(t) + b x(t) = 0 , x(0) = 0 , x(0) = v0 cosθ ˙ ˙  ¨  m    y (t) + b y(t) = −g , y(0) = 0 , y(0) = v senθ  ¨ ˙ ˙ 0 m Resolvendo este sistema de equa¸˜es diferenciais orco din´rias obtemos a x(t) = v0 cos θ (1 − e−kt ) k (18) e y(t) = ( v0 g g senθ + 2 )(1 − e−kt ) − t, k k k (19) onde k = b/m. Isolando t na Eq. (18) e substituindo na Eq. (19) obtemos y= Figura 5 - Explos˜o do Complexo Penitenci´rio do Carandiru. a a Foto: Rog´rio Cassimiro. e tgθ + g kx g sec θ x + 2 ln 1 − sec θ kv0 k v0 (20) Portanto, a trajet´ria do proj´til com velocidade inio e a e cial v0 e ˆngulo de tiro θ ´ a curva Cθ no plano xy cuja
  5. 5. Regi˜es de seguran¸a em lan¸amento de proj´teis o c c e 3313-5 equa¸˜o ´ dada na Eq. (20). Observe que a Eq. (20) ca e s´ faz sentido quando o 1− kx sec θ > 0, v0 ou seja, quando v0 cos θ = ξ. k (21) lim y (x) = −∞, (22) x< Mais ainda, como x→ξ − segue que a trajet´ria tenderia assintoticamente para o uma reta vertical (a saber, a reta x = ξ) caso n˜o houa vesse colis˜o do proj´til com o solo. Isto ´, a trajet´ria a e e o seria limitada ` direita, conforme ilustrado na Fig. 7. a No caso espec´ ıfico abaixo temos ξ = 12, 6295 m. Esta ´ uma diferen¸a qualitativa grande com o caso e c parab´lico, uma vez que l´ as trajet´rias, caso n˜o foso a o a sem interrompidas com a colis˜o do proj´til no solo, a e seriam ilimitadas na dire¸˜o x. ca Outra diferen¸a entre os dois casos refere-se ao ˆnc a gulo de tiro que produz o alcance horizontal m´ximo. a 2 Enquanto que o alcance m´ximo v0 /g no caso paa rab´lico ´ obtido quando o angulo de tiro ´ 45◦ , isso o e ˆ e n˜o acontece no caso b > 0. Para constatar isso basta a considerar o caso particular em que v0 = 20 m/s, g = 9,8 m/s2 , b = 1 kg/s e m = 0,5 kg. Chamando d (θ) a distˆncia horizontal atingida pelo proj´til quando o a e a ˆngulo de tiro ´ θ, ent˜o e a tgθ + g kd g sec θ d + 2 ln 1 − sec θ = 0, kv0 k v0 ou seja, a fun¸˜o d (θ) ´ dada implicitamente pela ca e equa¸˜o ca G (θ, d) = 0, (23) onde G (θ, d) = tgθ + g g kd sec θ d + 2 ln 1 − sec θ . kv0 k v0 Utilizando um software para plotar a curva G (θ, d) = 0 obtemos a curva descrita na Fig. 9, ou seja, o ˆngulo de tiro que produz o alcance horizona tal m´ximo, neste caso particular, ´ aproximadamente a e 51% do ˆngulo de tiro que produz o alcance horizontal a m´ximo no caso parab´lico. a o Figura 7 - Trajet´ria de um proj´til considerando-se a resistˆncia o e e do ar. Al´m disso, independentemente do ˆngulo de tiro e a θ, nenhuma trajet´ria ultrapassaria a reta x = v0 /k = o (mv0 )/b. Note que a constante b aparece no denominador e, portanto, quanto maior o seu valor, isto ´, quanto e maior for a resistˆncia do ar, menor ser´ o alcance hoe a rizontal, conforme podemos ver na Fig. 8, que ilustra trajet´rias correspondentes aos parˆmetros: m = 2 kg, o a e θ = 45◦ , g = 9,8 m/s2 , v0 = 20 m/s, θ = 45◦ , e trˆs valores distintos de b, em kg/s. Figura 9 - Alcance horizontal m´ximo vs. ˆngulo de tiro. a a 4.2. C´lculo da regi˜o de seguran¸a considea a c rando a resistˆncia do ar e Para o c´lculo da envolt´ria devemos resolver o sistema a o Figura 8 - Trajet´rias correspondentes a diferentes valores de b, o em kg/s. f (x, y, θ) = 0, ∂f ∂θ (x, y, θ) = 0, onde agora (24)
  6. 6. 3313-6 Pereira e Bonfim Para obter a regi˜o de seguran¸a no caso b > 0 basta a c rodar a envolt´ria da fam´ acima em torno do eixo o ılia y. Apesar das diferen¸as qualitativas j´ comentadas no c a texto do artigo, foi poss´ observar, em ambos os caıvel sos, que a envolt´ria da fam´ de trajet´rias tem o o ılia o mesmo aspecto das trajet´rias. Precisamente, no caso o parab´lico a envolt´ria tamb´m ´ uma par´bola, e no o o e e a caso b > 0 a envolt´ria tem uma ass´ o ıntota vertical, assim como tem ass´ ıntota vertical todas as trajet´rias de o proj´teis que est˜o sujeitos ` resistˆncia do ar. e a a e g f (x, y, θ) = (tgθ)x + (sec θ) x + kv0 g kx ln(1 − sec θ) − y. k2 v0 Efetuando os c´lculos obtemos o sistema a  y = (tgθ)x + g x sec θ + g ln(1 − kx sec θ),    kv0 k2 v0    (sec2 θ)x + g kv0 x sec θtgθ − g x cos θ sec θtgθ = 0, k v0 cos θ − kx ou ainda   y = (tgθ)x + g x sec θ + g ln 1 − kx sec θ ,    kv0 k2 v0   senθ   sec θ + g tgθ − g = 0. kv0 k v0 cos θ − kx 4.3. Vamos supor agora que os lan¸amentos ocorram num c local onde h´ presen¸a de vento, o qual imprime aos cora c pos a´ presentes uma velocidade constante u = (u1 , u2 ). ı Neste caso a equa¸˜o do movimento pode ser modelada ca na forma m Isolando x da segunda equa¸˜o obtemos ca x = x (θ) = 2 v0 k v0 sec θ + g tgθ (25) O efeito da presen¸a de vento c d2 r = mg − b. dt2 dr −u , dt dr (0) = v0 . dt r(0) = 0, Chamando k = b/m e escrevendo a equa¸˜o anterior ca em coordenadas cartesianas obtemos e levando a Eq. (25) na primeira obtemos g x (θ) sec θ+ y = y (θ) = (tgθ)x (θ) + kv0 g kx(θ) ln 1 − sec θ k2 v0 que junto com a Eq. (25) fornece uma parametriza¸˜o ca da envolt´ria. o Utilizando um software obtemos as seguintes trajet´rias, cujos ˆngulos de tiro s˜o vistas na Fig. 10 e o a a dadas por x(t) + k x(t) = ku1 , ¨ ˙ y (t) + k y(t) = −g + ku2 , ¨ ˙ x(0) = 0, y(0) = 0, x(0) = v0 cos θ, ˙ y(0) = v0 senθ, ˙ cuja resolu¸˜o fornece ca x(t) = tu1 + v0 cos θ − u1 (1 − e−kt ), k (26) e (−g + ku2 ) t+ k v0 senθ ku2 − g 1 − e−kt . − k k2 y(t) = π θi = (2i − 1) , para i ∈ {1, 2, 3, ..., 12} . 48 (27) Observe que para valores grandes de t o fator 1 − e−kt ´ e quase igual a 1, de modo que temos as seguintes aproxima¸˜es co x(t) ≈ u1 t + v0 cos θ − u1 , k e y(t) ≈ Figura 10 - Fam´ de trajet´rias obtidas considerando-se a reılia o sistˆncia do ar e com ˆngulos de tiro que variam entre 0◦ e 90◦ . e a (−g + ku2 ) t+ k Chamando c1 = k u2 − g , ent˜o a k2 v0 senθ k u2 − g . − k k2 v0 cos θ − u1 k e c2 = v0 senθ − k
  7. 7. Regi˜es de seguran¸a em lan¸amento de proj´teis o c c e x(t) ≈ u1 t + c1 e y(t) ≈ 3313-7 (−g + ku2 ) t + c2 . k Logo y(t) − c2 (−g + ku2 ) ≈ , x(t) − c1 k u1 ou seja y(t) ≈ c2 + (−g + ku2 ) ( x(t) − c1 ) . k u1 A conclus˜o ´ de que para valores grandes de t a traa e jet´ria fica arbitrariamente pr´xima de uma reta com o o inclina¸˜o (−g+ku2 ) , a saber, a reta r de equa¸˜o carteca ca ku1 siana y = c2 + (−g + ku2 ) ( x − c1 ) . ku1 As diferentes trajet´rias depender˜o dos valores de o a e u1 e u2 . Na sequˆncia analisaremos alguns casos particulares. 4.3.1. Figura 12 - Trajet´ria de um corpo e sua respectiva ass´ o ıntota. Lan¸amento realizado a partir da origem considerando-se a rec sistˆncia do ar e a presen¸a de vento na dire¸˜o oeste co intensie c ca dade de 2 m/s. A Fig. 13 ilustra algumas trajet´rias com ˆngulos o a de tiro compreendidos entre 0◦ e 180◦ . O efeito do vento com velocidade u sobre o formato da regi˜o de a seguran¸a ´ evidente, a saber, o vento deforma a regi˜o c e a de seguran¸a fazendo com que a mesma n˜o apresente c a nenhum tipo de simetria. Caso 1: Vento horizontal soprando na dire¸˜o oeste ca Neste caso temos u1 < 0 e u2 = 0. Logo a inclina¸˜o ca da reta r ser´ positiva e igual a −g/ku1 , e como a ora denada y(t) dada na Eq. (27) ´ limitada superiormente e conclu´ ımos em particular que o corpo colidir´ com o a solo em tempo finito. As Figs. 11 e 12 ilustram duas trajet´rias t´ o ıpicas de um corpo sendo lan¸ado a partir da origem e as c correspondentes retas ass´ ıntotas, cujos dados s˜o os a seguintes: θ = π/4 rad, v0 = 20 m/s, u2 = 0, m = 0,25 kg, b = 0,6 kg/s, k = 2,4 s−1 , g = 9,8 m/s2 . Na Fig. 11 temos u1 = -10 m/s e na Fig. 12 temos u1 = -2 m/s. Ou seja, se o vento oeste for muito intenso o corpo colidir´ com o solo num ponto de abscissa a negativa (Fig. 11). Figura 13 - Fam´ ılia de trajet´rias obtidas considerando a reo sistˆncia do ar e a presen¸a de vento na dire¸˜o oeste. e c ca 4.3.2. a e Neste caso temos u1 > 0 e u2 = 0. A an´lise ´ completamente an´loga ` anterior, com a diferen¸a de que a a c para valores grandes de t as ´rbitas ficar˜o arbitrariao a mente pr´ximas de retas com inclina¸˜o negativa e igual o ca a −g/ku1 . 4.3.3. Figura 11 - Trajet´ria de um corpo e sua respectiva ass´ o ıntota. Lan¸amento realizado a partir da origem considerando-se a rec sistˆncia do ar e a presen¸a de vento que sopra na dire¸˜o oeste e c ca com intensidade de 10 m/s. Caso 2: Vento horizontal soprando na dire¸˜o leste ca Caso 3: Vento com dire¸˜o nordeste, e ca baixa intensidade na dire¸˜o vertical ca Por “vento na dire¸˜o nordeste” estamos querendo dica a zer que as componentes u1 e u2 s˜o ambas positivas, e por “baixa intensidade” entenderemos que u2 < g/k. Sob estas hip´teses a inclina¸˜o (−g + ku2 )/(k u1 ) da o ca reta ass´ ıntota ser´ negativa, e os proj´teis colidir˜o com a e a o solo em tempo finito, como nos casos anteriores. A
  8. 8. 3313-8 Pereira e Bonfim regi˜o de seguran¸a apresentar´ o mesmo aspecto dos a c a casos anteriores. 4.3.4. diferentes ˆngulos de tiro. Com ela tem-se uma id´ia de a e como fica a regi˜o de seguran¸a, que ´ o complementar a c e da regi˜o “varrida” por estas v´rias trajet´rias. a a o Caso 4: Vento com dire¸˜o nordeste, e ca alta intensidade na dire¸˜o vertical ca a Al´m de supormos que u1 e u2 s˜o positivas, admitie remos que u2 > g/k. Isto implica que o coeficiente ıntota ´ positivo. e angular (−g + ku2 )/(ku1 ) da reta ass´ Assim, as express˜es de x(t) e y(t) dadas nas Eqs. (26) o e (27) s˜o ilimitadas superiormente, e dizem que para a valores grandes de t o proj´til estar´ bem pr´ximo de e a o uma reta com coeficiente angular positivo. Em particular podemos concluir que o corpo jamais atingir´ o a solo, conforme ilustra a Fig. 14. Figura 15 - Fam´ de trajet´rias na presen¸a de vento na dire¸˜o ılia o c ca nordeste, com alta intensidade na dire¸˜o vertical. ca Referˆncias e Figura 14 - Trajet´ria de um corpo lan¸ado a partir da origem o c na presen¸a de vento na dire¸˜o nordeste e alta intensidade na c ca dire¸˜o vertical, e sua respectiva ass´ ca ıntota. A Fig. 15 por sua vez mostra v´rias trajet´rias, com a o [1] J.L. Synge e B.A. Griffith, Mecˆnica Racional (Ed. a Globo, Porto Alegre, 1968), 2a ed. [2] M.P. Do Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ ıcies (Sociedade Brasileira de Matem´tica, Rio a de Janeiro, 2005), Cole¸ao Textos Universit´rios. c˜ a

×