O documento define o que é um espaço vetorial, descrevendo-o como um conjunto não vazio de vetores com operações de adição e multiplicação por escalares que seguem certas propriedades algébricas.

1. Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c
Valdex Santos
Instituto Federal da Bahia - IFBA
2 de novembro de 2011
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 1 / 13

2. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte:
c
(1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
a
(2) Um corpo F (R ou C) de escalares.
(3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de
ca ca
elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o
ca
opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca ca ca
(A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V .
(A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V .
(A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que
u + 0V = u; ∀u ∈ V .
(A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento
e
−u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .
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3. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte:
c
(1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
a
(2) Um corpo F (R ou C) de escalares.
(3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de
ca ca
elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o
ca
opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca ca ca
(A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V .
(A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V .
(A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que
u + 0V = u; ∀u ∈ V .
(A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento
e
−u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .
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4. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte:
c
(1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
a
(2) Um corpo F (R ou C) de escalares.
(3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de
ca ca
elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o
ca
opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca ca ca
(A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V .
(A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V .
(A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que
u + 0V = u; ∀u ∈ V .
(A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento
e
−u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .
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5. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte:
c
(1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
a
(2) Um corpo F (R ou C) de escalares.
(3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de
ca ca
elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o
ca
opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca ca ca
(A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V .
(A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V .
(A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que
u + 0V = u; ∀u ∈ V .
(A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento
e
−u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .
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6. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte:
c
(1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
a
(2) Um corpo F (R ou C) de escalares.
(3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de
ca ca
elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o
ca
opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca ca ca
(A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V .
(A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V .
(A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que
u + 0V = u; ∀u ∈ V .
(A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento
e
−u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .
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7. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte:
c
(1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
a
(2) Um corpo F (R ou C) de escalares.
(3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de
ca ca
elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o
ca
opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca ca ca
(A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V .
(A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V .
(A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que
u + 0V = u; ∀u ∈ V .
(A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento
e
−u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .
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8. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte:
c
(1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
a
(2) Um corpo F (R ou C) de escalares.
(3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de
ca ca
elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o
ca
opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca ca ca
(A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V .
(A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V .
(A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que
u + 0V = u; ∀u ∈ V .
(A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento
e
−u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .
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9. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte:
c
(1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
a
(2) Um corpo F (R ou C) de escalares.
(3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de
ca ca
elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o
ca
opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca ca ca
(A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V .
(A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V .
(A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que
u + 0V = u; ∀u ∈ V .
(A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento
e
−u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .
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10. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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11. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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12. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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13. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
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14. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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15. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
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ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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16. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
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ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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17. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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18. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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19. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial
ca c
(4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada
ca ca
elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´
e e
fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta
ca ca ca
opera¸˜o tem as seguintes propriedades:
ca
(M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F
(M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos:
ca
α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F.
(M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar:
ca
(α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F.
(M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V .
OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R
dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o
c
corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um
e
espa¸o vetorial complexo.
c
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20. Exemplos
Exemplos de Espa¸os Vetoriais
c
1 O conjunto do n´meros reais, R com as opera¸˜es usuais de adi¸˜o e
u co ca
multiplica¸˜o de n´meros reais, ´ um espa¸o vetorial real.
ca u e c
2 O conjunto dos n´meros complexos, C, com as opera¸˜es usuais de
u co
adi¸˜o e multiplica¸˜o de n´meros complexos, ´ um espa¸o vetorial
ca ca u e c
complexo, considerando o corpo dos escalares como sendo F = C.
Entretanto, podemos considerar o corpo de escalares como sendo
F = R. Desse modo, temos que C ´ um espa¸o vetorial real.
e c
3 O conjunto Rn = {u = (x1 , . . . , xn ); xi ∈ R}, conjunto de todas as
n-uplas reais, com a opera¸˜es de adi¸˜o de elementos definida por:
co ca
u + v = (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
e a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar definida por:
ca ca
λu = (λx1 , . . . , λxn ) ´ um espa¸o vetorial real.
e c
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21. Exemplos
Subespa¸o Vetorial
c
Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´
c c e
um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as
e c
opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V .
co ca ca
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22. Exemplos
Subespa¸o Vetorial
c
Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´
c c e
um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as
e c
opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V .
co ca ca
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23. Exemplos
Subespa¸o Vetorial
c
Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´
c c e
um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as
e c
opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V .
co ca ca
Exemplo 1: O subconjunto S = {(x, y ) ∈ R2 /y − ax = 0; a ∈ R} ´ um
e
subespa¸o vetorial de R.
c
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 5 / 13

24. Exemplos
Subespa¸o Vetorial
c
Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´
c c e
um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as
e c
opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V .
co ca ca
Exemplo 1: O subconjunto S = {(x, y ) ∈ R2 /y − ax = 0; a ∈ R} ´ um
e
subespa¸o vetorial de R.
c
Teorema(Subespa¸o Vetorial) Um subconjunto n˜o o vazio U de um
c a
espa¸o vetorial V ´ um subespa¸o vetorial de V se, e somente se, para
c e c
quaisquer elementos u, v ∈ U e para qualquer escalar α ∈ F, tem-se que
u + v ∈ U e αu ∈ U .
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 5 / 13

25. Exemplos
Subespa¸o Vetorial
c
Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´
c c e
um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as
e c
opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V .
co ca ca
Exemplo 1: O subconjunto S = {(x, y ) ∈ R2 /y − ax = 0; a ∈ R} ´ um
e
subespa¸o vetorial de R.
c
Teorema(Subespa¸o Vetorial) Um subconjunto n˜o o vazio U de um
c a
espa¸o vetorial V ´ um subespa¸o vetorial de V se, e somente se, para
c e c
quaisquer elementos u, v ∈ U e para qualquer escalar α ∈ F, tem-se que
u + v ∈ U e αu ∈ U .
Exemplo 2: O subconjunto U = {f ∈ C ([a, b])/f (a) = 1} n˜o ´ um
a e
subespa¸o vetorial de C ([a, b]).
c
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a c 2 de novembro de 2011 5 / 13

26. Exemplos
Subespa¸o Vetorial
c
Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´
c c e
um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as
e c
opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V .
co ca ca
Exemplo 1: O subconjunto S = {(x, y ) ∈ R2 /y − ax = 0; a ∈ R} ´ um
e
subespa¸o vetorial de R.
c
Teorema(Subespa¸o Vetorial) Um subconjunto n˜o o vazio U de um
c a
espa¸o vetorial V ´ um subespa¸o vetorial de V se, e somente se, para
c e c
quaisquer elementos u, v ∈ U e para qualquer escalar α ∈ F, tem-se que
u + v ∈ U e αu ∈ U .
Exemplo 2: O subconjunto U = {f ∈ C ([a, b])/f (a) = 1} n˜o ´ um
a e
subespa¸o vetorial de C ([a, b]).
c
Exemplo 3: Considere o espa¸o vetorial real P3 (R). O subconjunto
c
S = {p(x) ∈ P3 (R)/p(−1) = 0 e p ′ (1) = 0} ´ um subespa¸o de P3 (R)
e c
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 5 / 13

27. Exemplos
Combina¸˜o Linear e Subespa¸o Gerado
ca c
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Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 6 / 13

28. Exemplos
Combina¸˜o Linear e Subespa¸o Gerado
ca c
Defini¸˜o de Combina¸˜o Linear: Seja V um espa¸o vetorial sobre o
ca ca c
corpo F . Dizemos que o elemento u ∈ V ´ uma combina¸˜o linear dos
e ca
elementos v1 , . . . , vn ∈ V se existem escalares c1 , . . . , cn ∈ F tais que
u = c1 v1 + · · · + cn vn
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Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 6 / 13

29. Exemplos
Combina¸˜o Linear e Subespa¸o Gerado
ca c
Defini¸˜o de Espa¸o Gerado: Sejam V um espa¸o vetorial sobre o
ca c c
corpo F e S um conjunto finito de elementos de V , isto ´, e
S = {v1 , . . . , vn }. O subconjunto U constru´ a partir dos elementos de
ıdo
S da seguinte forma:
n
U= u ∈ V /u = αi vi ; αi ∈ F
i =1
´ um subespa¸o vetorial de V , que vamos denotar por U = [v1 , . . . , vn ]
e c
ou por U = [S], denominado subespa¸o gerado pelos elementos de S.
c
Dizemos que o conjunto S ´ um sistema de geradores para o subespa¸o U.
e c
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a c 2 de novembro de 2011 6 / 13

30. Exemplos
Combina¸˜o Linear e Subespa¸o Gerado
ca c
Exemplo: Considere o subespa¸o W = {A ∈ M2 (R)/A = At } de M2 (R).
c
Mostre que W ´ gerado pelas matrizes
e
1 0 0 1 0 0
A1 = , A2 = e A3 =
0 0 1 0 0 1
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a c 2 de novembro de 2011 7 / 13

31. Exemplos
Dependˆncia e Independˆncia Linear
e e
Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V .
c
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 8 / 13

32. Exemplos
Dependˆncia e Independˆncia Linear
e e
Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos
c
que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 8 / 13

33. Exemplos
Dependˆncia e Independˆncia Linear
e e
Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos
c
que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Independente(LI)
e
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 8 / 13

34. Exemplos
Dependˆncia e Independˆncia Linear
e e
Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos
c
que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Independente(LI)
e
se, e somente se,
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
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a c 2 de novembro de 2011 8 / 13

35. Exemplos
Dependˆncia e Independˆncia Linear
e e
Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos
c
que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Independente(LI)
e
se, e somente se, toda combina¸˜o linear nula
ca
α1 v1 + · · · + αn vn = 0V ; αi ∈ F
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
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a c 2 de novembro de 2011 8 / 13

36. Exemplos
Dependˆncia e Independˆncia Linear
e e
Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos
c
que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Independente(LI)
e
se, e somente se, toda combina¸˜o linear nula
ca
α1 v1 + · · · + αn vn = 0V ; αi ∈ F implicar que α1 = α2 = · · · = αn = 0.
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 8 / 13

37. Exemplos
Dependˆncia e Independˆncia Linear
e e
Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos
c
que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Dependente(LD) se, e
e
somente se, ´ poss´ uma combina¸˜o linear nula
e ıvel ca
α1 v1 + · · · + αn vn = 0V ; αi ∈ F sem que todos os escales seja todos nulos.
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 8 / 13

38. Exemplos
Dependˆncia e Independˆncia Linear
e e
Decorrem facilmente das defini¸˜es as seguintes consequˆncias:
co e
(a) Todo conjunto que cont´m um subconjunto linearmente dependente ´
e e
LD.
(b) Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente ´ LI.
e
(c) Todo conjunto que cont´m o elemento neutro, 0V , ´ linearmente
e e
dependente.
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a c 2 de novembro de 2011 9 / 13

39. Exemplos
Bases e Dimens˜o
a
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a c 2 de novembro de 2011 10 / 13

40. Exemplos
Bases e Dimens˜o
a
Defini¸˜o de Base: Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Uma
ca c
base de V ´ um conjunto linearmente independente de elementos de V
e
que gera V .
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 10 / 13

41. Exemplos
Bases e Dimens˜o
a
Defini¸˜o de Base: Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Uma
ca c
base de V ´ um conjunto linearmente independente de elementos de V
e
que gera V .
Exemplo: Considere o espa¸o vetorial real R3 . O conjunto
c
β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ´ linearmente independente em R3 e gera
e
o espa¸o R3 . Logo, β ´ uma base para R3 , denominada base canˆnica.
c e o
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a c 2 de novembro de 2011 10 / 13

42. Exemplos
Bases e Dimens˜o
a
Defini¸˜o de Dimens˜o de um Espa¸o Vetorial: Seja V um espa¸o
ca a c c
vetorial de dimens˜o finita, que possui uma base com n elementos. A
a
dimens˜o de V ´ definida como sendo o n´mero de elementos de uma
a e u
base de V . Indicaremos a dimens˜o do espa¸o vetorial V por dim(V ) = n.
a c
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Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 10 / 13

43. Exemplos
Bases e Dimens˜o
a
Defini¸˜o de Dimens˜o de um Espa¸o Vetorial: Seja V um espa¸o
ca a c c
vetorial de dimens˜o finita, que possui uma base com n elementos. A
a
dimens˜o de V ´ definida como sendo o n´mero de elementos de uma
a e u
base de V . Indicaremos a dimens˜o do espa¸o vetorial V por dim(V ) = n.
a c
Exemplo: Considere o espa¸o vetorial real M2 (R). Temos que o conjunto
c
1 0 0 1 0 0 0 0
β= A1 = , A2 = , A3 = , A4 =
0 0 0 0 1 0 0 1
´ uma base para M2 (R). Desse modo, dim(M2 (R) = 4.
e
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Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 10 / 13

44. Exemplos
Bases, Dimens˜o e Coordenadas
a
Teorema: Sejam U e W subespa¸os de dimens˜o finita de um espa¸o
c a c
vetorial V . Ent˜o, o subespa¸o U + W ´ de dimens˜o finita e tem-se que
a c e a
dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩ W )
.
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 11 / 13

45. Exemplos
Coordenadas
Sejam V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre o corpo F e
c a
β = {v1 , . . . , vn } uma base ordenada de V . Ent˜o, todo elemento de V ´
a e
escrito de modo unico como uma combina¸˜o linear dos elementos de β,
´ ca
isto ´, dado o elemento u ∈ V temos que existe uma unica n-upla
e ´
(c1 , . . . , ci , . . . , cn ) ∈ Fn tal que
n
u= ci vi
i =1
Dizemos que ci ´ a i-´sima coordenada do elemento u com rela¸˜o a base
e e ca
ordenada β.
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 12 / 13

46. Exemplos
Desse modo, ´ mais conveniente utilizar a matriz de coordenadas do
e
elemento u a em rela¸˜o ´ base ordenada β, que denotamos por [u]β , dada
ca e
por:  
c1
.
.
.
[u]β =  ci  ∈ Mnx1 (F)
.
 
..
cn
Exemplo: Podemos verificar facilmente que γ = {1, 1 + x, 1 + x 2 } ´ uma
e
base ordenada para o espa¸o vetorial real P2 (R). Determine as
c
coordenadas do elemento p(x) = 2 + 4x + x 2 em rela¸˜o ` base ordenada
ca a
γ.
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Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 13 / 13

47. Exemplos
Desse modo, ´ mais conveniente utilizar a matriz de coordenadas do
e
elemento u a em rela¸˜o ´ base ordenada β, que denotamos por [u]β , dada
ca e
por:  
c1
.
.
.
[u]β =  ci  ∈ Mnx1 (F)
.
 
..
cn
Exemplo: Podemos verificar facilmente que γ = {1, 1 + x, 1 + x 2 } ´ uma
e
base ordenada para o espa¸o vetorial real P2 (R). Determine as
c
coordenadas do elemento p(x) = 2 + 4x + x 2 em rela¸˜o ` base ordenada
ca a
γ.
Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA)
Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais
a c 2 de novembro de 2011 13 / 13