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The decomposition of a prime number 素数の因数分解

This slide introduces the decomposition of a rational prime into quadratic primes. このスライドでは、素数(有理素数)を2次体の素数に因数分解することについて紹介しています。

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The decomposition of a prime number 素数の因数分解

  1. 1. 素数の因数分解 onewan 第20回 日曜数学会 2021年1月24日(日)
  2. 2. 自己紹介 onewan(わんわん)
 ・大阪出身、東京在住
 ・学生時代は工学(応用数理)
 ・就職後はずっと特許部員
 ・2017年頃から趣味数学を開始

  3. 3. 今回の発表内容 1年前に発表した内容のつづき ・前回の内容は、ニコニコ動画のアーカイブ参照 https://www.nicovideo.jp/watch/sm36461364
  4. 4. 復習 ➢ 素因数分解とは、素数の積に分解すること ➢ 素数:pが素数である必要十分条件は、1と p自身でしか割り切れない整数 ■割り切れるとは? ➢ 素因数分解では、整数に限定される ➢ 3/2は有理数だが整数ではない ➢ 素数は分解できない ■素因数分解
  5. 5. 復習 ■体と環 ・体:+, -, x, ÷ で閉じてる(例)有理数体 ・環:+, -, x で閉じてる (例)整数環   => 有理数体を拡張して、それに合った整数環を定義する
  6. 6. 復習 ➢ 有理数に        を加えた体 (アイゼンシュタイン数体) ➢ 体     の整数環 (アイゼンシュタイン整数環) ■アイゼンシュタイン数体と整数 ・整数を拡張すれば、素数をさらに因数分解出来ることがある! ・具体的には、   で3をさらに2つの元に分解することが出来た ■前回のまとめ 複素平面 単位円 120度 これ
  7. 7. 発表のレベル☆☆ - 前提知識は、素因数分解、複素数、+α - 意欲的な人が理解出来るレベル
  8. 8. 前回は 最小の奇素数3を 分解することに注力した
  9. 9. こういうときはどうする? 任意の素数を 分解したい!
  10. 10. 2次体 (特に、下2つは、1or -1のいずれか)
  11. 11. 2次体 要するに、 ・2次体を決める整数 m ・分解したい p からχd(p)が決まり、分解できるかどうかが決まる ただし、上記の定理には、UFDという条件がある
  12. 12. 2次体 ・m<0のとき、2次体を虚2次体という  UFDとなるのは、m=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163の9 個に限られる(Baker-Heegner-Starkの定理) ・m>0のとき、2次体を実2次体という  UFDとなるものは、無数に存在する(ガウス予想)  は、未解決問題!
  13. 13. 2次体 (ここから考察) ・p=2はm=-1で分解できる。実際、2=(1+i)(1-i) ・p>2において、下記赤枠について考える 1or -1のいずれか   がUFDとなるmで、    が0 or 1であればpは分解できる。 ①mがpの倍数 ②mがpの平方剰余 のどちらかになるようにmを取れれば良い。 p=2
  14. 14. 2次体 <疑問> ・①or②を満たし、UFDとなるmが任意取れるか? 虚2次体は有限個(9個)しかないので、大きなpを取ると満たさな い可能性がありそう。実2次体に頼る? mがpの原始根だと、-1となり分解できない。 虚2次体でUFDとなるmすべてが原始根となるような pがあると分解できない。(考察不足)   がUFDとなるmで、   が0 or 1ならpは分解できるので、 ①mがpの倍数 ②mがpの平方剰余 となるようにmを取れれば良い。
  15. 15. まとめ ● 任意の素数を分解したかったが、必ず分解できるのか分か らなかった。 ● 今回は、UFDの場合に分解できるか考えたが、素イデアル 分解(ゆるにじたいでやった)を考えると、①と②だけ満たせ ば良く、mは適当にpの倍数を取れば分解できそう。

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