1. 241Álgebraytrigonometría
Introducción
En matemáticas se encuentran con frecuencia expresiones complicadas que
involucran las seis funciones trigonométricas. El objeto de este módulo es poder
escribir estas expresiones de una forma más sencilla y simple mediante el uso de
identidades trigonométricas. Se exponen, inicialmente, siete identidades fundamen-
tales que hay que memorizar.
Objetivo
1. Estudiar las identidades básicas de la trigonometría.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es una identidad trigonométrica?
2. ¿Cuáles son las identidades fundamentales?
Contenido
21.1 Identidad trigonométrica
21.2 Identidades fundamentales
Vea el módulo 21 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
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AlgebraTrigonometria/
21
Identidadesfundamentales

2. 242
Capítulo8:Trigonometríadelcírculo
21.1 Identidad trigonométrica
Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones
trigonométricas, que se cumple cualquiera sea el valor o valores de los ángulos que
aparecen en la expresión.
Ejemplo7
La expresión
1
sec
cos
D
D
es una identidad trigonométrica porque no importa el
valor del ángulo para que la igualdad se cumpla, ya que la secante de un ángulo
cualquiera es el inverso del coseno de ese ángulo.
Ejemplo8
La expresión 2 2
sen cos 1D D es una identidad trigonométrica.
Si P(x, y) son las coordenadas del lado terminal de un ángulo D en su forma estándar
y forman parte de un círculo de radio a, se cumple que:
2 2 2
.x y a Por tanto
2 2
2 2
1
x y
a a
,
2 2
1.
x y
a a
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
De la definición de funciones circulares, se tiene que 2 2
sen cos 1.D D
Ejemplo9
Si en el círculo 2 2 2
x y a se divide por 0,x z se tiene que:
2 2 2
2 2 2
.
x y a
x x x
Por tanto
2 2
1 .
y a
x x
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
De la definición de funciones circulares, se tiene que 2 2
1 tan sec .D D
21.2 Identidades fundamentales
El estudio de las identidades trigonométricas es importante porque mediante ellas
se pueden transformar expresiones que envuelven funciones trigonométricas en
otras equivalentes y estas transformaciones hacen que ciertas operaciones, como
la integración y la diferenciación, puedan efectuarse con mayor facilidad.
Las siguientes identidades trigonométricas son fundamentales:
1. 2 2
sen cos 1.D D
2. 2 2
1 tan sec .D D

3. 243Álgebraytrigonometría
Módulo21:Identidadesfundamentales
3. 2 2
1 cot csc .D D
4.
sen
tan .
cos
D
D
D
5.
1
sec .
cos
D
D
6.
1
csc .
sen
D
D
7.
1
cot .
tan
D
D
Ejemplo10
Si D está en el segundo cuadrante y sen 4 / 5,D encuentre los valores de las
demás funciones trigonométricas.
Solución
Como 2 2
sen cos 1,D D se tiene que

4. 2 2
4 / 5 cos 1.D Por tanto,
cos 3/ 5D r .
Como D está en el segundo cuadrante, cos 0D , o sea que cos 3/ 5D .
1 5
sec .
cos 3
D
D
1 5
csc .
sen 4
D
D
Ahora, 2 2
1 tan sec ,D D 2 2
tan sec 1.D D Portanto, 2
tan 25/9 1 4 / 3.D r
Como D está en el segundo cuadrante, se tiene que tan 0D , o sea que
tan 4 /3.D
Finalmente,
1 3
cot .
tan 4
D
D
Ejemplo11
Utilice las identidades trigonométricas fundamentales para hallar los valores de las
funciones trigonométricas de un ángulo D tal que:
a.
2
sen y tan 0.
3
D D

5. 244
Solución
Empleando la identidad trigonométrica 22
sen cos 1,D D obtenemos:
2
2 52
cos 1 sin 1 .
3 3
D D § ·
r r r¨ ¸
© ¹
Como
sen
tan 0,
cos
D
D
D
entonces cos 0D y por tanto
5
cos .
3
D Aplicando
las restantes identidades trigonométricas, tenemos:
, ,
sen 2 1 5
tan cot
cos tan 25
1 3 1 3
sec , csc .
cos sen 25
D
D D
D D
D D
D D
b. tan 5 y sen 0.D D
Solución
Empleando la identidad trigonométrica 2 2
1 tan sec ,D D obtenemos:
2
sec 1 tan 26.D Dr r
Como
sen
tan 50,
cos
D
D D entonces cos 0D y
1
sec 0.
cos
D D Así,
sec 26.D Aplicando las restantes identidades, tenemos:
, ,
, .
1 1 5
cos sen cos tan
sec 26 26
1 1 1 26
cot csc
tan 5 sen 5
D D D DD
D DD D
Ejemplo12
Calcule (sec cos )csc si tan 2.D D D D
Solución
Empleando las identidades trigonométricas, tenemos:
2 2
1 1
(sec cos )csc cos
cos sen
1 cos 1 sen 1 sen
tan 2.
cos sen cos sen cos
D D D D
D D
D D D
D
D D D D D
§ ·
¨ ¸
© ¹
˜ ˜
Capítulo8:Trigonometríadelcírculo

6. 245Álgebraytrigonometría
Módulo21:Identidadesfundamentales
Ejemplo13
Calcule (sec csc ) si cot 1.D D D
Solución
Empleando las identidades trigonométricas fundamentales, tenemos:
cos
1
1 1 sen cos 1 cotsensec csc 0.
cos sen sen cos cos cos
D
D D DDD D
D D D D D D
Ejemplo14
Exprese todas las funciones trigonométricas de un ángulo D en términos de cot .D
Solución
Empleando las identidades trigonométricas, tenemos:
2 2 2
2
2 2
2
2
,
,
,
,
.
1 cot csc csc 1 cot
1 1
sen sen
csc 1 cot
1
tan
cot
1
1 tan sec sec 1
cot
1 1
cos cos
sec 1
1
cot
D D D D
D D
D D
D
D
D D D
D
D D
D
D
Ÿ r
Ÿ r
Ÿ
Ÿ r
Ÿ r
Ejemplo15
Si
2
csc 1,aD con D en el primer cuadrante, calcule las funciones
trigonométricas del ángulo D en términos de a.
Solución
Como D está en el primer cuadrante, todos las funciones trigonométricas deD son
positivas.

7. 246
2
2
2
2
2
,
,
,
.
1 1
sen
csc 1
cot csc 1 ,
1 1
tan
cot
1
sec 1 tan
1
cos
sec 1
a
a
a
a
a
a
a
D
D
D D
D
D
D D
D
D
Capítulo8:Trigonometríadelcírculo