73Álgebraytrigonometría
Una función es una representación de un proceso.
3Polinomios.
Polinomio
cuadrático
Módulo 6
Polinomios
Módulo7
El polinomio cuadrático
Módulo8
Raíces de una ecuación cuadrática
Ejercicios
Capítulo 3, módulos 6 al 8
Capítulo3
Presentación
Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los
contextos científicos y tecnológicos. Las funciones polinómicas son útiles para
modelar muchas situaciones reales; por ejemplo, la ecuación de movimiento de un
cuerpo en caída libre puede expresarse mediante una función polinómica cuadrática.
En este capítulo se introduce el concepto de polinomio y se estudian las operacio-
nes básicas con polinomios, los productos notables y la factorización completa de
polinomios.Además se estudia el polinomio cuadrático y las raíces de la ecuación
cuadrática.
Contenido breve

74

75Álgebraytrigonometría
Introducción
En esta sección se introducen los conceptos de polinomio, grado de un polinomio
y polinomio primo sobre un sistema numérico. Se estudia también el concepto de
factorización completa sobre un campo.
Objetivos
1. Definir el concepto de polinomio.
2. Definir las operaciones básicas con polinomios.
3. Definir los productos notables principales.
Preguntas básicas
1. ¿Cómo se define un polinomio?
2. ¿Qué es el grado de un polinomio?
3. ¿En qué consiste la factorización completa?
4. ¿Cuáles son los principales productos notables?
5. ¿Qué es un polinomio primo?
Contenido
6.1 Polinomios
6.2 Grado de un polinomio
6.3 Operaciones básicas
6.3.1 Suma de polinomios
6.3.2 Resta de polinomios
6.3.3 Multiplicación de polinomios
6.4 Productos notables y factorización
6.4.1 Productos notables
6.4.2 Polinomios primos
6.4.3 Factorización completa
Vea el módulo 6 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
6
Polinomios
Évariste Galois (1811-1832)
Entre1829y1830hizoconocersusprimerostrabajossobre
fracciones continuas, cuestiones de análisis, teoría de las
ecuaciones y teoría de números, así como un resumen de
unasegundamemoriapresentadaalaAcademiadeCiencias
de Francia para optar al gran premio de matemática. En
1831, envuelto en los acontecimientos políticos, fue
expulsadodelaescuelanormal,dondeentoncesestudiaba,
y con el propósito de dedicarse a la enseñanza privada
anunció un curso de álgebra superior que abarcaría «una
nueva teoría de los números imaginarios, la teoría de las
ecuacionesresolublesporradicales,lateoríadenúmerosy
la teoría de las funciones elípticas, tratadas por álgebra
pura».ElcursonotuvooyentesyGaloisingresóenelejército,
a la vez que redactó una memoria, la última, hoy llamada
«TeoríadeGalois»,queremitealaAcademiayqueSimeón
Poisson califica de «incomprensible». Más tarde fue
detenido y pasó casi un año en la cárcel. Al recobrar la
libertad se vio envuelto en una cuestión de honor por una
«infame coqueta» y murió en el duelo subsiguiente.

76
Capítulo3:Polinomios.Polinomiocuadrático
6.1 Polinomios
Un polinomio real en la variable x es cualquier expresión de la forma:
1 2
1 2 1 0...n n n
n n na x a x a x a x a− −
− −+ + + + +
donde los coeficientes ia son números reales para 1, 2, 3,...i n= y n es un entero
no negativo.
El polinomio será polinomio complejo en la variable x si los coeficientes ia son
números complejos.
6.2 Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor exponente que aparece en el polinomio, en un
término con coeficiente diferente de cero.
Ejemplo1
4
2 1x + es un polinomio de grado 4.
5 4
3 7x x+ − es un polinomio de grado 5.
2 8x + es un polinomio de grado 1 o lineal.
5 es un polinomio de grado 0 o constante. Lo anterior es consistente con la defini-
ción porque 0
5 5 .x=
2 1
2 7x x−
+ + no es un polinomio porque aparece un exponente negativo.
6.3 Operaciones básicas
El tema de los polinomios carecería de utilidad si no ahondáramos en sus propieda-
des. Los polinomios, como los números enteros, cumplen la ley clausurativa para la
suma, la resta y la multiplicación que se definirán más adelante. Es decir, la suma,
resta y producto de polinomios es un polinomio.
6.3.1 Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios, se suman coeficientes de términos con el mismo expo-
nente. El polinomio suma es la suma algebraica de todos los términos resultantes.
Ejemplo2
Realice la suma de los polinomios 5 3
2 4 2 1x x x+ − + y 6 3
3 4 5.x x x− + −
Solución
El polinomio suma será:

77Álgebraytrigonometría
Módulo6:Polinomios
( ) ( ) ( )6 5 3
2 4 3 2 4 1 5 .x x x x+ + − + − + + −
Por tanto, el polinomio suma es:
( )6 5 3
2 4 3 2 4.x x x x+ + − + −
6.3.2 Resta de polinomios
Para restar dos polinomios, se cambian los signos de los términos del polinomio
restado; el más se cambia por menos y el menos por más y se suman algebraicamente.
Ejemplo3
Del polinomio 7 3
4 2 5 6x x x− + − reste el polinomio 7 3
3 6.x x x+ − +
Solución
Como el polinomio a restar es 7 3
3 6,x x x+ − + al cambiar de signo cada término se
convierte en el polinomio 7 3
3 6.x x x− − + − Se suman luego 7 3
4 2 5 6x x x− + − y
7 3
3 6.x x x− − + − El polinomio resultante es: 7 3
3 5 6 12.x x x− + −
6.3.3 Multiplicación de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por el otro
polinomio, utilizando las leyes de los exponentes; después se agrupan términos de
exponentes iguales usando la operación suma definida anteriormente.
Ejemplo4
Multiplique los polinomios siguientes: 3
2 7 8x x− + y 2
3 4.x −
Solución
Multiplicamos cada término del polinomio 3
2 7 8x x− + por el polinomio 2
3 4.x −
El proceso es el siguiente:
( ) ( ) ( )3 2 2 2
2 3 4 7 3 4 8 3 4 .x x x x x− − − + −
Realizando operaciones se tiene que:
5 3 3 2
6 8 21 28 24 32.x x x x x− − + + −
Simplificando se tiene que el producto es el polinomio:
5 3 2
6 29 24 28 32.x x x x− + + −
Escuche Galois y los tres
problemas clásicos de la
matemática griega en su
multimedia de Àlgebra y
trigonometría

78
6.4 Productos notables y factorización
6.4.1 Productos notables
Algunos productos aparecen con tal frecuencia que es importante tenerlos presen-
tes. Los tres productos más conocidos son los siguientes:
( )( ) 2 2
,x a x a x a+ − = −
( )
2 2 2
2 ,x a x xa a+ = + +
( )
2 2 2
2 .x a x xa a− = − +
En los tres productos anteriores, se supone que x es la variable y a es la constante.
Si se supone que en vez de a se encuentra la variable y, entonces las expresiones de
la forma 2 2
x y− , 2 2
2 ,x xy y+ + 2 2
2x xy y− + se llaman polinomios de dos varia-
bles.
Si tenemos en cuenta polinomios en dos variables, los productos notables más
utilizados los muestra la tabla 6.1.
Tabla 6.1. Fórmulas de productos notables
6.4.2 Polinomios primos
Se dice que un polinomio es primo con respecto a un conjunto dado de números si:
1. Los coeficientes son de ese conjunto de números.
2. No se puede escribir como producto de dos polinomios de grado positivo
con coeficientes en ese conjunto.
Capítulo3:Polinomios.Polinomiocuadrático
Fórmulasdeproductosnotables
a(x + y + z) = ax + ay + az
(x + a) (x+ b) = x2
+ (a + b)x + ab
(x + a)2
= x2
+ 2xa + a2
(x + y)3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
3 3 2 2 3
( ) 3 3x y x x y xy y− = − + −
2 2 2
( ) 2x a x xa a− = − +
2 2
( )( )x a x a x a+ − = −
3 3 2 2
( )( )x y x y x xy y+ = + − +
3 3 2 2
( )( )x y x y x xy y− = − + +

79Álgebraytrigonometría
Módulo6:Polinomios
Ejemplo5
El polinomio 2
2x − es un polinomio primo en los enteros pero no es polinomio
primo en los reales porque ( )( )2
2 2 2 .x x x− = − +
6.4.3 Factorización completa
Se dice que un polinomio no primo está completamente factorizado con respecto a
un conjunto dado de números si es el producto de polinomios primos respecto a
ese conjunto determinado.
Ejemplo6
El polinomio ( )( )4 2 2
4 2 2x x x− = − + está completamente factorizado en los ente-
ros, pero no está factorizado completamente respecto a los reales. Respecto a los
reales, el polinomio 4
4x − se factoriza completamente así:
( )( ) ( )( )( )4 2 2 2
4 2 2 2 2 2 .x x x x x x− = − + = − + +
Este polinomio no está factorizado completamente respecto a los números comple-
jos. Respecto a los complejos, se factoriza completamente así:
( )( ) ( )( )( )( )4 2 2
4 2 2 2 2 2 2x x x x x x i x i− = − + = − + + − ,
donde i es la unidad imaginaria, es decir, 1.i = −
Ejemplo7
Factorice completamente en los enteros 2
5 14.x x− −
Solución
Si se piensa en que( )( ) ( )2
,x a x b x a b x ab+ + = + + + se debe cumplir que:
5a b+ = − y 14.ab = −
Por simple inspección se observa que 7a = − y 2.b =
Por tanto, ( )( )2
5 14 7 2 .x x x x− − = − +
No siempre es posible encontrar dos enteros a y b tales que:
( )( ) ( )2
.x a x b x a b x ab+ + = + + +
Cuando ello ocurre, el polinomio ( )2
x a b x ab+ + + es primo en los enteros.

80
Ejemplo8
Factorice completamente en los enteros 2 2 2
4 4 .x xy y z− + −
Solución
En este caso se trata de buscar agrupamientos de la forma siguiente:
( )
( )
( ) ( )
( )( )
2 2 2 2 2 2
2 2
4 4 4 4
2
2 . 2
2 2 .
x xy y z x xy y z
x y z
x y z x y z
x y z x y z
− + − = − + −
= − −
= − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + − −
Ejemplo9
Factorice completamente, sobre los enteros, el polinomio 4
4.x +
Solución
Aunque no es fácil de observar a simple vista, se trata de reescribirlo sumando y
restando 4x2
, y después agrupando.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 4 2 2
24 2
2 22
2 2
2 2
4 4 4 4
4 4 2
2 2
2 2 . 2 2
2 2 2 2 .
x x x x
x x x
x x
x x x x
x x x x
+ = + + −
= + + −
= + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + − +
El polinomio anterior no está factorizado completamente en los reales y en los
complejos.
Ejemplo10
Factorice completamente sobre los enteros el polinomio 1
.n n
x ax bx ab+
− − +
Solución
Si se utilizan la técnica de agrupamiento y la ley distributiva, se tiene que:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
1 1
.
n n n n
n
n
x ax bx ab x ax bx ab
x x a b x a
x a x b
+ +
− − + = − − −
= − − −
= − −
Si no se cumple simultáneamente que b sea cuadrado perfecto y n sea par, el
polinomio está completamente factorizado sobre los enteros.
Capítulo3:Polinomios.Polinomiocuadrático

81Álgebraytrigonometría
Módulo6:Polinomios
En el caso de que b sea cuadrado perfecto y n sea par se tiene que:
( ) 2 2
.
n n
n
x b x b x b
⎛ ⎞⎛ ⎞
− = + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
Ejemplo11
Factorice completamente sobre los enteros
2 2 2 2
4 4 3 .n n
x x x+ +
− −
Solución
2 2 2 2 2 2
2
4 4 3 (4 4 3)
(2 1)(2 3).
n n n n
n n
x x x x x x
x x x
+ +
− − = − −
= + −
Ejemplo12
Dados los polinomios 4 3
( ) 1p x x x x= + − + y 3 2
( ) 5 5,q x x x x= − − + halle la
suma y la multiplicación de estos polinomios.
Solución
4 3 3 2
4 3 2
4 3 2
( ) ( ) ( 1) ( 5 5)
(1 1) ( 5) ( 1 1) (1 5)
2 5 2 6.
p x q x x x x x x x
x x x x
x x x x
+ = + − + + − − +
= + + + − + − − + +
= + − − +
4 3 3 2
4 3 2 3 3 2
3 2 3 2
7 6 5 4 6 5 4 3
4 3 2 3 2
7 6 5 4 3
( ) ( ) ( 1)( 5 5)
( 5 5) ( 5 5)
( )( 5 5) ( 5 5)
( 5 5 ) ( 5 5 )
( 5 5 ) ( 5 5)
( 5 1) ( 1 5) (5 1 1) (5 5 1)
(1 5
p x q x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
⋅ = + − + − − +
= − − + + − − + +
− − − + + − − +
= − − + + − − + +
− + + − + − − +
= + − + + − − + − − + + +
+ − 2
7 6 5 4 3 2
) ( 5 1) 5
4 6 3 11 4 6 5.
x x
x x x x x x x
+ − − +
= − − + + − − +
Ejemplo13
Factorice completamente en los enteros, los reales y los complejos las siguientes
expresiones:
a. 2 2
6 9 .x x y− + −

82
Solución
2 2 2 2
2 2
6 9 ( 6 9)
( 3)
( 3 )( 3 ).
x x y x x y
x y
x y x y
− + − = − + −
= − −
= − − − +
Factorización completa en los enteros, en los reales y en los complejos.
b. 2
5 6.x x− −
Solución
2 2
5 6 6 6
( 6) ( 6) ( 1)( 6).
x x x x x
x x x x x
− − = − + −
= − + − = + −
Factorización completa en los enteros, en los reales y en los complejos.
c. 4 2
3 5 2.x x− +
Solución
4 2 4 2 2
2 2 2
2 2
2
3 5 2 3 3 2 2
3 ( 1) 2( 1)
(3 2)( 1)
(3 2)( 1)( 1).
x x x x x
x x x
x x
x x x
− + = − − +
= − − −
= − −
= − − +
Factorización completa en los enteros.
( 3 2)( 3 2)( 1)( 1).x x x x= − + − +
Factorización completa en los reales y en los complejos.
d. 4 2
1.x x+ +
Solución
4 2 4 2 2
2 2 2
2 2
2 2
1 ( 2 1)
( 1)
[( 1) ][( 1) ]
( 1)( 1).
x x x x x
x x
x x x x
x x x x
+ + = + + −
= + −
= + − + +
= − + + +
Factorización completa en los enteros y en los reales.
Capítulo3:Polinomios.Polinomiocuadrático

83Álgebraytrigonometría
Módulo6:Polinomios
2 2
2 2
2 22 2
1 3 1 3
4 4 4 4
1 3 1 3
2 4 2 4
1 3 1 3
2 2 2 2
1 3 1 3 1 3 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x
x x
x i x i
x i x i x i x i
⎛ ⎞⎛ ⎞
= − + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= − + − − + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
.
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Factorización completa en los complejos.
e. 3 3 3
8 .x y z+
Solución
3 3 3 3 3
2 2 2
8 (2 )
( 2 )( 2 4 ).
x y z x yz
x yz x xyz y z
+ = +
= + − +
Factorización completa en los enteros y en los reales.
2 2 2
2 2
( 2 )( 2 ( ) 3( ) )
( 2 )([ ] [ 3 ] )
( 2 )( 3 )( 3 ).
x yz x xyz yz yz
x yz x yz i yz
x yz x yz i yz x yz i yz
= + − + +
= + − −
= + − − − +
Factorización completa en los complejos.
f. 4 3
27 27.x x x+ − −
Solución
4 3 3
3 3 3
2
27 27 ( 1) 27( 1)
( 27)( 1) ( 3 )( 1)
( 1)( 3)( 3 9).
x x x x x x
x x x x
x x x x
+ − − = + − +
= − + = − +
= + − + +
Factorización completa en los enteros y en los reales.

84
2
22
9 27
( 1)( 3) 3
4 4
3 27
( 1)( 3)
2 2
3 27 3 27
( 1)( 3) .
2 2 2 2
x x x x
x x x i
x x x i x i
⎛ ⎞
= + − + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟= + − + − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
= + − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
Factorización completa en los complejos.
g. 4 2
2 5 12.y y− −
Solución
4 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2
2 5 12 2 8 3 12
2 ( 4) 3( 4) (2 3)( 4)
(2 3)( 2)( 2).
y y y y y
y y y y y
y y y
− − = − + −
= − + − = − −
= + − +
Factorización completa en los enteros y en los reales.
( 2 3)( 2 3)( 2)( 2).y i y i y y= − + − +
Factorización completa en los complejos.
Capítulo3:Polinomios.Polinomiocuadrático