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FAÇA A CRIAN A GESTICULAR: 

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Até filósofos têm de trabalhar
sob condições mais estritas.  "O fi-
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conjunto de ideias a partir das quais os matemáticos
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Matérias da revista cálculo sobre a matemática nos anos iniciais

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Revista cálculo - artigos matemática anos iniciais discussões

  1. 1. FAÇA A CRIAN A GESTICULAR: ELA ÀPRE DERA MAIS Mais um artigo científico na linha "Professorz gesticule para ajudar seus alunos a entender o que está dizendo. ” Desta vez, foi publicado por pesquisadores do departamento de psicologia da Universidade de Chicago, mas recomenda uma abordagem diferente: “Professor, ajude seus alunos a gesticular corretamente para que eles entendam melhor o que você está dizendo e o que eles estão fazendo. ” Isso é novo. Os cientistastrabalharam com três grupos de crianças - 30 em cada grupo, 90 crianças ao todo. Todos os grupos ouviram explicações sobre como resolver equações do tipo 4 + 2 + 6 : _ + 6. No primeiro grupo, as crianças receberam aulas do tipo convencional, nas quais elas mais olham do que agem. No segundo, trabalharam com números e símbolos magnéticos, que podiam pegar e colar nos lugares apropriados do quadro branco; para as crianças desse grupo, toda a aula transcorreu com bastante ação. No terceiro, elas não podiam tocar nos números antes de gesticular corretamente (de um modo que os professores haviam mostrado): elas tinham de gesticular com base tanto nos números quanto na operação que estavam realizando. Por exemplo, tinham de fazer um V com os dedos para juntar dois números, ou de apontar um espaço em branco com o dedo para indicar em qual lugar o resultado deveria ser escrito. Depois das explicações, os professores testaram os três grupos para ver se entenderam as lições: sim, entenderam. Depois do teste, contudo, os pesquisadores propuseram exercícios e atividades diferentes e mais difíceis; quiseram verificar se os alunos tinham ganhado a capacidade de generalizar bastante as ideias que estudaram. Só as crianças do terceiro grupo, que gesticularam antes de tocar nos números, foram capazes de abstrair os conceitos ainda mais. Os pesquisadores chamaram tais gestos de “gestos abstratos": eles corporificam ideias como “vamos juntar esses dois [ou três, ou quatro] números", "vamos movô-los para cá", "vamos tirar esse número daquele”, etc. Susan Goldin- Meadow, uma das autoras, explica: "Nossas descobertas dizem que os gestos abstratos não apenas ajudam o aluno a aprender o que devem aprender no dia, mas também o ajudam a generalizar os conceitos para além das tarefas do dia. ” Em didatiquês: uma criança pode aprender conceitos novos a partir das ações que realiza com o corpo, mas apenas se puder interpretar tais ações simbolicamente. Em português: se o professor souber ajudar a criança a fundir conceitos e gestos, ela compreenderá os conceitos mais completamente. 3+», FOTO: UNIVERSIDADE DE CHICAGO : L : I
  2. 2. Existem várias formas de ser bom de matemática Ellen Peter, da Universidade do Estado de Ellen e Pãr viram que as pessoas abordam os problemas Ohio, nos Estados Unidos, investigou como combinando as habilidades e dificuldades em cada uma das três _ as pessoas avaliam a própria competência competências numéricas. Quem pontuou mais na competência (a) l em matemática, e se sua autoavaliação se tendia a fazer as contas antes de responder às perguntas. No caso confirma em testes. Descobriu, sem querer, da aposta, um sujeito forte em (a) diz que deve ganhar com certeza j que existem várias formas de ser competente i2 reais - esse é o valor esperado de retorno numa aposta dessas. " em matemática e de usá-Ia no dia a dia. Com Aqueles com maior competência em (c) tendiam a fazer boas Í: a ajuda de Pãr Bjãlkebring, da Universidade aproximações do valor esperado, mas sem fazer contas. E aqueles de Gotemburgo, na Suécia, Ellen recrutou 130 com maior competência em (b) se saíram bem em testes nos quais É pessoas para participar do estudo sobre três o objetivo era memorizar números, não porque fossem realmente tipos de competência matemática: . bons de memória, mas porque se sentiam confiantes o suficiente para ~ (a) Objetiva: é a capacidade de realmente chutar um número. l. lidar bem com problemas de aritmética A questão, diz Ellen, é que há mais de uma maneira de ser bom de l e problemas matemáticos em geral, e se matemática, entre elas aquelas nas quais a pessoa é boa, mas se julga l traduz na capacidade de ir bem em testes de péssima, e daí desiste de atacar um problema cheio de números não '~' avaliação convencionais. porque não possa, mas porque acha que não pode. l (b) Subjetiva: é o modo como a pessoa vê a própria competência. Uma pessoa com boa competência objetiva pode ter péssima competência subjetiva, isto é, ela pode ser boa de matemática e achar que é péssima; e vice-versa. (c) A de mapeamento simbólico-numérico: é a capacidade de estimar magnitudes de cabeça, por exemplo, e de marca-las na reta dos números na posição correta. Para medir (a), os pesquisadores perguntaram coisas como: "Se a probabilidade de alguém contrair uma doença é de 10%, quantas pessoas num grupo de 1.000 pessoas você espera que contraiam essa doença? ” Para medir (b), perguntaram coisas como: "Quão bem você se sai ao trabalhar com porcentagens? " E, para medir (c), davam às pessoas, por exemplo, um papel com o desenho de uma linha marcada com zero à esquerda e com 1.000 à direita e pediam: "Escreva nessa linha os números 4, 6, i8, 71, 230 e 780." As pessoas também avaliaram a vantagem de apostas como: “Você prefere ganhar com certeza 8 reais ou fazer uma aposta na qual tem 50% de chance de ganhar 4 reais e 50% de chance de ganhar 20 reais? " Elas então tinham de dizer qual quantia deveriam ganhar com certeza para que apostar ou não se tornasse indiferente. . ..amv -': wç, ,c~sm›»aarvp. tt«a« . .a_». :,= ,_-m« , .
  3. 3. ll EINTÉCEV| ETA ¡ccuroooootlcono-IctnQo-Icolcooc¡volutooooouuooooovroocotuoI: :toaos¡unas¡nos¡u: Iconoccuuccoo-cclcu-lttcoou: :Inocente¡-no-uron-Ioooocnonlconu Resolução de problemas I Raciocínio lógico I Comunicação I Beleza [FA o escrever uma poesia, a me- “Fñanina encara o papel em bran- co, balança a caneta entre os dedos e deixa a imaginação viajar. Revira os olhos à procura de lembranças e algum resquício de inspiração. Se não escrevesse poesia, mas apenas listas de supermercado e bilhetes para o porteiro do prédio, como encararia as aulas de português? Muito do currículo de matemática é assim: desde crianças as pessoas a estudam com vista nos aspectos utilitários. “Nunca é sobre sua be- leza, sobre seu ponto de vista es- tético”, diz Mike. “lvías é fácil ver quando as crianças foram expostas ao lado belo da matemática: basta ver como explicam a matemática na qual estão trabalhando. " Mike visita escolas em vários paí- ses: ele e britânico, mas está passan- do uma temporada na Austrália e em 2014 Vai visitar escolas na África do Sul, Inglaterra, Austrália e Cingapu- ra para observar as aulas e conversar com alunos e professores. Para ele, existe algo simples que o professor pode fazer para melhorar o ensino de matemática: ser um bom ouvinte. Já soube de muitas histórias nas quais a criança erra um exercício não porque tem dificuldades, mas porque usou o raciocínio lógico. Nesses erros, elas muitas vezes se revelam mais mate- máticas do que se tivessem acertado o exercício de primeira. "Se hou- ver um interesse genuíno no que as crianças pensam, elas vão perceber e se interessar pela matéria. ” Por volta dos cinco anos, a criança ^ntra na escola e encon- tra pela primeira vez a matemática formalizada. A maioria de seus pro- fessores fez magistério, pedagogia ou outro curso correlacionado com educação, mas estudou matemática só até o ensino médio. Como mui- ta gente, uma parte deles não teve boa experiência e é comum que dê aulas parecidas com as que teve (uma série de algoritmos maqui- nais), e passe adiante a antipatia pela matemática. O que você gostaria de mudar no ensino do primário? Queria que professores e alu- nos vissem a matemática como llllllllll
  4. 4. ¡ouqoonoootoccouooooonotuou¡ i , uwsáw-q-s v-4,, .,_. _,__. _,__. .T. ,___. _.-›-«-. ... ,., ... ... ›.. .. MIKE ASKEW, especialista no ensino de matemática, já visitou escolas primárias do mundo todo para observar as aulas e falar com professores e alunos. Só de ver como as crianças se expressam em sala de aula e contam o que estão fazendo, já sabe dizer se encaram a matemática como um fardoou comoaexploraçãocriativa de um território desconhecido algo alem de estudar aritmética ordinária. Há lugar para as ideias básicas da aritmética, mas enfa- tizamos demais as contas de ca- beça, algo que hoje todo adulto faz com o telefone celular. Não quero que usem a calculadora para multiplicar 6 por 7, mas não precisam de papel para multipli- car 376 por 88. Podemos passar mais tempo ajudando as crianças a ver a beleza da matemática, e a sentir prazer com ela, em vez de encara-la como um conjunto de regras e procedimentos. Como assim, ir além da aritmética ordinária? Estou fazendo um trabalho corn crianças bem pequenas, de oonoloohconnoooooo nnnnnnn 1col¡0000000:¡-oonoouuocccvoou¡ 5 e 6 anos. Estamos brincando com razões simples, e como estou na Austrália, usamos os saltos dos cangurus. Se a mamãe canguru dá um salto, seu filhote precisa dar três saltos para acompanha- -la. Se ela dá sete saltos, quantos saltos o filhote tem de dar? As crianças desenham um diagrama de linhas [veja ajígwra l] para ano- tar o número de pulos da mamãe e embaixo o número de pulos do filhote, e a partir daí exploramos V várias ideias. Isso tem a ver com ' multiplicação, mas também com proporção, algo que professores evitam ensinar para crianças pe- quenas, pois acham muito com- plicado. Mas elas estão adorando e se divertindo com a matemáti- Mariana Osone oouoooooocctoooococooccoooooobnouoooco nnnnn nan ooooo naoouu-uuo-uuuuuu ca. Quero encorajar as pessoas a acreditar que podem estuda-la de forma alegre e agradável. lsso não é a mesma coisa que torna-la divertida. E ruim tornar a matemática divertida? Quando fazemos a matemá- tica parecer divertida, esconde- mos os conceitos atrás de jogos v e brincadeiras. Eu também pen- sava que tinha de ensina-la de um jeito que a disfarçasse. Então parei de dar aulas no primário e comecei a visitar escolas; obser- vei muitas Vezes atividades nas quais as crianças se divertiam, mas aprendiam pouco. Pergun- tava aos alunos e à professora o ARQUIVO PESSOAL : É i l i l : - í» r' T í "f f 4-1 llll l| I|I| I 13 | ||| ||ll| |
  5. 5. E-IÍNJTÉEVlETA nununo¡ununan. ..ou. u.nauo-uu--osoco-. u.u. .ooo. ouonooaan. nn. an. oo. .-an. uuno-ou-uuno-onnunes-nono. .-. .unuu--uuu Figura l que estavam estudando, mas não _ sabiam responder. Comecei a me 0 que as crianças estudam num desenho. .. . ç , questionar. sera que realmente estão aprendendo alguma coi- , r'"~ ¡r"~ ¡r'"~ , fax lí' sa aqui? Percebi que precisamos ' ' ' ' ' estar cientes do que estamos es- l": _l_ 'l- _l tudando; se não estamos cientes, 2 3 4 5 6 7 não aprendemos de verdade. - , -,Y: Y,-, l,-Y, -:x, -,L; ,a E djficn trabamar cpm 6 7 a e 1o 11 1213141516171819 2o 21 professores que nao _ _ estudaram matemática . ..mais tarde estudarao como fraçao: a| ém do ensmo básmo? Falo com os professores sobre 1 3 _ z __ os assuntos que as crianças es- 7 l tão estudando e não sobre seus próprios conhecimentos. Con- versamos sobre o que queremos Figura z que aprendam e quais resultados buscamos. Num livro norte- Se 8 é par, |10|' que 9 não é par também? «americano publicado em 2003 [Àdding it up: Hclping Children Êí"'1"°-Ç"-_l' Learn Mathematics', cujo down- load está disponível no website da *The National Academy Press'], o autor fala de cinco tópicos de proficiência na matemática para alunos do ensino fundamental, eu foco minha pesquisa em três: fluência, resolução de problemas e ÍHClOCÍnlO lógico. A maior par~ Tanto pafa niVeml' 0 8 qUantU 0 te do que ensinamos hoje cai em fluência, isto é, fazer cálculos rapidamente, o que é bom, mas oriento os professores a também Figura 3 as conforme você abre ou fecha o ãnguio azul, a área do quadrado oposto aumenta ou diminui trabalhar o raciocínio lógico, assim como a resolução de pro- blemas. Por exemplo, numa escola, pedi aos alunos para resolver a conta 12 + 7 = + 6. Alguns escreveram 19 no espaço em branco e explicaram que 12 + 7 = 19; ignoraram o seis. Outros escreveram 25 e disseram que 12 + 7 + 6 = 25. Mesmo aqueles que acertaram, explicaram as» sim: “Se 12 + 7 = 19, o que pre- ciso somar a 6 para chegar a 19?
  6. 6. "PODEMOS NOS ESFORÇAR MAIS PARA MOSTRAR ÀS CRIANÇAS QUE A MATEMATICA E UMA FORMA DE INTERAGIR COM O MUNDO, E QUE ELA MUDA O NOSSO OLHAR SOBRE AS COISA " Resposta: 13." Trabalhavam em duas contas separadas em vez de pensar assim: se havia 7 de um lado que diminuiu para ó do ou- tro, então o 12 de um lado tem de aumentar para 13 do outro, para manter a igualdade, o equi- líbrio. As crianças aprendem que o sinal de igual significa “ponha a resposta a seguir". Quando mostro a lógica do que acontece, conseguem resolver contas assim sem realizar conta alguma: só precisam raciocinar. Eles desperdiçam álgebra, não é? lsso! Eles estão pensando al- gebricamente e o professor pode usar esse fato para lhes mostrar que a álgebra não é esse mistério todo. Os alunos a usam natural- mente. Como sabe se a criança está aprendendo? Não posso dizer como você pode testar isso, mas consigo perceber quando converso com a criança. Não acho que todo mundo vai crescer e se tornar um matemático, porque as pes- soas têm gostos diferentes. Se as crianças estudassem apenas como escrever coisas como lis- tas de supermercado ou bilhetes, se nunca estudassem poesia, o currículo de [português] ficaria pobre. No entanto, ensinamos matemática desse jeito utilitá- rio - nunca é sobre os aspectos belos. É maravilhoso quando chego numa escola e as crianças vêm me contar a matemática que estão fazendo, não porque acertaram todas as questões num teste, mas porque sabem que me interesso pelo que fazem e pelo jeito como organizaram uma solução. Acho que essa é uma forma de ver se es- tão aprendendo e não acho que é dificil, porque parte do trabalho é apenas ouvir. Tem um pequeno exemplo de um menino que dizia [ele abre os dedos para imitar o aluno contan- dol: “Um é impar, dois é par, três é ímpar, quatro é par, cinco é ímpar, seis é par, sete é impar, oito é par e nove é par. " A professora não en- tendia: “Elc não é estúpido! Então, por que está errando? " Nessa turma, os alunos tinham cubinhos que podiam encaixar em blocos, então perguntei ao meni- no como sabia que oito é par. Ele disse: _ Se pego oito cubinhos, con- sigo montar duas torres da mesma altura, por isso é par. [Veja a jígura Z-l _ E por que você acha que nove é par? - Olha só, se pego nove cubi- nhos, consigo montar três torres da mesma altura; então, as torres são pares. [Em inglês, a palavra 'par' também signijíca “niveladoíl Ele estava usando raciocínio ló- gico! Percebeu que nove é um nú- mero composto - não estava sen- do estúpido, só generalizou demais o conceito de par. Essa explicação a. trcinsformingf x, primary a mathemctics / às , (71111 Ki: "ÀS s K E vv ê! Mike Askew é autor de livros para professores do primário e coautor da coleção Marhs for Mums and Dads, feita para ajudar os pais a ajudar seus filhos na matemática, em vez de os atrapalhar ou desamparar DIVULGAÇÃO DIVULGAÇÃO -0-4.oauoaoouauauaunononunnuuonnuuuuuuuuu. uu-uu. -u. .noounnanoooooouoouuuuuuu-uuouuuoouconuuu. u.anucoouuuunnououc' -w-u- a. . -. _._ . ,. ._m-w, «.. .«. c~». a-rnu¡. ... ... ~.. _ . _-. .__. ... . _ . . . M- g, i l i É. f: *aiümzcannvníaammsmqmvammarm. fvííTf-"Ú #kw-í - -
  7. 7. E-'ZNITÊEVIETA ¡cnto-ccoobctc ou¡ ¡noccnncocco-¡olnn-uovuon-Iono¡: nocturnonosoooou: nono¡ococo¡IIIocooootaoucoocccooolnnnnocco¡cclccuounoonoocnonnuccoloccn* gerou uma conversa muito rica sobre a diferença entre um nú- mero ser divisível por dois ou ser um número composto, que pode ser dividido em grupos de tama~ nho igual. Mas antes a professo» ra só pensava no erro e não em como o aluno tinha raciocinado. Outra vez, acompanhei uma turma por dois anos e a profes» sora me agradeceu, porque du~ rante esse tempo tinha apren- dido muito sobre seus alunos. E interessante, porque a única coisa que disse para cada crian- ça da sala foi: “Conte-me o que está fazendo. " Apenas ouvi o que tinham a dizer. Mas sei que é difícil ser professor e ser responsável por 25 crianças ao mesmo &tempo; para mim, como visitante, é mais fácil. Ainda assim, se os professores fossem mais curiosos em relação à ma» temática e em como as crianças a percebem, o ensino mudaria bastante. Qual poder o aluno ganha com a matemática? Os professores costumam di- zer: quero que meu aluno se torne um leitor, um escritor. Raramente querem que se tornem matemáti» cos; querem apenas que estudem matemática. Então, falamos da leitura e da escrita como algo em que a pessoa é o agente: eu escre- vo, eu leio, essas coisas são parte do que me tornei. Enquanto isso, falamos da matemática como um fardo que a criança deve aguentar. Podemos nos esforçar mais para mudar essa mentalidade e mostrar que a matemática é uma forma de se envolver com 0 mundo, de mu» dar seu olhar sobre as coisas. Por exemplo, o teorema de Pitágoras: gosto de imaginar dois quadrados encostados por um de seus vértices como numa dobradiça (veja a ¡Égu- m 3), e um terceiro quadrado sobre esses dois formando um triângulo. Conforme esse terceiro quadrado aumenta ou diminui de tamanho, o ângulo da "dobradiça" aumenta ou diminui até um ponto em que a soma da área dos dois quadrados na dobradiça é igual à área do terceiro quadrado, e isso acontece quando o ângulo da dobradiça é reto. Vemos quadrados se movendo e mudando de tamanho até que as figuras atin- gem uma igualdade, e a matemática capta esse momento de beleza. Mas o que as crianças tiram do teorema? a: = bz + cz. Depois praticam algu- mas contas e nunca sentem aquela sensação de: ah, isso é legal, é bo- nito, é elegante. O que inspirou suas ideias sobre o ensino? Quando me formei em matemá- tica pura nos anos 1970, dei aulas na Open University da Inglater- ra, uma universidade de ensino a distância que estava apenas co» meçando. Tinha 22 anos, era re- cém-formado e nunca tinha dado aulas; a maioria do pessoal era pro- fessor de longa data. Um educador chamado John Mason disse para a gente: “Cada dia desta semana vocês vão trabalhar na solução de um problema com os estudantes. ” As pessoas concordaram: “Certo, cadê a solução dos problemas? " E John respondeu: "Não vou dar a solução, vocês vão trabalhar com os estudantes sem ter as respostas. " Todo mundo achou horrível, odiou, porque não tinham um ro- teiro do que ensinar. Eu não tinha nada contra, porque nunca tinha dado aula e acabei achando fan» tástico. Essa experiência me co- locou no caminho em que estou até hoje: a crença de que o pro- fessor pode aprender muito ao trabalhar com problemas para os quais não tem a solução, e que na Verdade ele não pode ser "o espe- cialista" e ter todas as respostas prontas. A resolução de proble» mas é um grande promotor do aprendizado. Nesses anos todos, mudou sua visão sobre a matemática? Durante a graduação, lembro» -me de um momento em que en- trei em crise por causa de uma pesquisa sobre jeitos de pensar na matemática. Estava numa aula sobre equações diferenciais e parecia que todos ali viam al- guma coisa na mente, menos eu. Na época cheguei a pensar que faltava algo em mim, que talvez tivesse chegado àquele ponto da matemática sem realmente tê» -la compreendido. Anos depois, uma colega chamada Leone Bur- ton fez uma pesquisa com mate- máticos e mostrou que a maioria deles mencionava as figuras que imagina_ a, mas um pequeno gru- po pensava a matemática mais ou menos como quem dialoga consigo mesmo. Descobri que é assim que fazia e ainda faço ma- temática. Trabalho num proble- ma como se conversasse comigo, e não visualizo imagens mentais. Para mim, foi uma mudança po- derosa saber que processamos o raciocínio de maneiras diferen- tes. Então quando ensinamos, devemos tomar cuidado para não focar demais só na forma como pensamos. Eu me esforço muito para abordar conceitos com esse raciocínio mais visual, porque para mim essa não é uma manei- ra natural de trabalhar.
  8. 8. UM JOGO DE IDEIAS Como fazer a criança dizer aquele “ahhh” de que Mike faia? Um professor (vamos chamá-Io de Ribeiro) ensina o que é a diferença entre dois números, por exemplo a diferença entre 5 e 2, que é 3, ou entre 7 e 6, que é 1. Quando a turma já se acostumou com a ideia, propõe uma atividade: - Desenhem um quadrado grande, que ocupe uma boa parte do caderno. Alguns desenham quadrados que quase saem pelas beiradas da folha, outros desenham a figura mais centralizada. Ribeiro prossegue: - Escoiham números de que gostem para colocarem cada canto do quadrado. Em seguida, as crianças devem escrever a diferença entre números vizinhos bem no meio de ambos os números, isto é, no ponto médio de cada lado do quadrado. No quadrado abaixo, por exemplo, eia escreve 8 entre os números vizinhos i2 e 20. i2 8 QO | | ó l IL( |3 -Agora, vocês têm quatro pontos e números novos, então liguem os pontos para formar um quadrado menor. Eias vão fazer a mesma coisa que no primeiro quadrado: marcar os pontos médios e escrever a diferença entre números vizinhos, como no quadrado abaixo: 8 ~ 6 = 2. LA . r nau-uuooooouauo. naouaun. ..nuno-announc-uonnaonosuauu-nu. nonunuuuuuunouan"ouono. nnoouu¡oauuoaooooooo-unonuuuuun. ..uu-un- Ribeiro diz para continuarem fazendo quadrados e escrevendo as diferenças até não poder mais. As crianças ficam curiosas para saber aonde o professor pretende chegar com tantos quadrados. Logo, aluno por aluno, começam a ver algo interessante: o número em cada canto do menor quadrado de todos é 0. A aula vira uma discussão interessante sobre por que acontece isso, independente de quais números o aluno escolheu no começo. No livro Mat/ rs for Mums and Dads, Mike e seu colega Rob Eastaway propõem essa atividade e sugerem que o adulto (o livro é voltado para pais e mães) proponha desafios, como: “Qual número abaixo de 20 faz a figura ter mais quadrados antes de zerar todos os cantos? " Isso é um problema; enquanto buscam a resposta, as crianças vão se divertir à beça, ao mesmo tempo em que praticam a subtração. ' iso leo' 26o( 12o 13o i4: / -_. .- r/ 'se 7o eo 9o voo TAKE THE PAiN OUT OF MATHS HOMEWORK MMN «oexzswr : :F5 o 2o 3o 4: orvULeAÇ/ 'io l_ l . . r . . Í r . u. : r m_. n.¡. ..= ~ : - : :aranzs-snnuuuuammamw-nnamaagazaame - tfsaárísurún mmma-avwwvra-wva. '-/ ›«> . -.. _.. _.-. .»a-e«-r. ~u_-r-s. -w. .un. v._ . .-_. ._. z,,
  9. 9. EESFEZl/ ÀL_ l liiiiililiiililiilliillll lllllllll ll ililllil No- l l l' X: M: É. . * l . ml i , , ^; __ @e r . .a : s , llllllllllllll illlllil ill | |ll| ||| |
  10. 10. .. .ocean -ccccolocoynon 0000 D O OO Patriot r r 'I ' I " m título mais preciso seria “Para que Serve o Ensino de MatemáticaT', mas a versão mais curta prende melhor a atenção e me permite maior generalidade. Minha resposta se tornará evidente em breve, assim como a resposta ã subquestão de por que o público apoia o ensino de matemática tanto quanto apoia. Para que não haja confusão, deixe-me ex- plicar o que quero dizer com a palavra "ma- temática": álgebra, trigonometria, cálculo, álgebra linear e assim por diante, isto é, to- dos aqueles assuntos para além da aritmética. Ninguém põe em dúvida a serventia da arit- mética, nem os motivos pelos quais devemos apoia-la. A sociedade não funciona sem ela. Adição, subtração, multiplicação, divisão, porcentagens: embora nem todo cidadão lide facilmente com tais operações, partimos do pressuposto de que todos lidam quando a necessidade surge. Os que não conseguem as vezes ficam em desvantagem. A álgebra, porém, é outra questão. Qua- se todos os cidadãos, assim que concluem os anos escolares, ganham a vida sem ela. Ape- sar disso, ela fica cada vez mais presente; nós a ensinamos cada vez mais cedo nas classes do ensino fundamental, e sempre a exigimos no teste final de toda escola de ensino mé- dio. Há um acordo tácito de que deveríamos expor todo mundo a um pouco de álgebra. Vivemos a era do ensino universal de mate- mática. Isso é algo novo no mundo. A matemá- tica nem sempre sobressaiu, tão grande, na educação das novas' gerações. Não há regis- sEevE © 201 O BV THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETV Underwood Dudley Underwood Dudley é matemático americano, aposentado pela Universidade DePauw. Publicou este artigo ("What is Mathematics For? ) em maio de 2010 na revista Notices of the American Mathematical society, volume 57, número 5, páginas 608 a 613. É um dos artigos mais lidos e comentados no website da Sociedade Americana de Matemática. tro de quantas crianças no antigo Egito ou na antiga Babilônia receberam treinamento sobre números, mas foram poucas. E cla- ro que, nas civilizações antigas, não havia educação para todos, e muito menos edu- cação em matemática. A alfabetização não era universal, e suspeito que muitos dos que podiam ler e escrever não podiam subtrair e multiplicar números. Os gregos antigos, para sua glória, deram origem à matemática de verdade, mas não a conceberam para encher salas com jovens estudando jeitos de provar teoremas. Comparados aos gregos, os roma- nos passaram em branco na matemática. Os estudiosos árabes começaram a desenvolver a álgebra assim que o império romano ruiu, mas a desenvolveram para seu próprio prazer, e não como algo destinado às massas. Quan- do Brahmagupta resolvia a equação de Pell, ooacao. ..-o-oooonutaooon-ooo. n-aouu. no. ..ao. uooooounnooooaoonaooouosoounaoo. oaa-ouaoo-nuuao-oooooooooa-ao-cocos: :no-cousa-o----coa I| Illl| |l| III 47 à j l l l
  11. 11. mil anos antes que Pell nascesse, não tinha estudantes em mente. Mas talvez você pense: é claro, pois aque- les eram outros tempos; nos tempos moder- nos ficamos mais espertos, e no mínimo in- cluímos a aritmética no currículo universal. Nem tanto. Talvez fique surpreso, como eu fiquei, ao saber que a aritmética não era parte do ensino fundamental no período colonial [nos Estados Uriidosl. No livro Uma História do Ensino de Matemática nos Estados Unidos e no Canadá (editado pelo Conselho Ameri- cano de Professores de Matemática em 1970), existe o seguinte trecho: "Até poucos anos atrás, durante o perg- odo escolar, não permitiam nenhuma aula com exceção de ortografia, leitura e redação. Uns poucos professores ensinavam aritméti- ca, uma ou duas vezes por semana. Contudo, apesar da mais determinada oposição, agora estão permitindo a aritmética nos dias de aula. " Oposição à aritmética! Oposição determi- nada! Como seria uma coisa dessas? Como uma sociedade podia funcionar sem uma população competente em aritmética? Pois bem: funcionava, e até mesmo prosperava. fato que havia aritmética em muitas ativida- des, mas os que precisavam dela a estudavam no trabalho. Era um sistema que funcionava com a aritmética na ocasião e que pode fun- cionar com a álgebra hoje. A aritmética foi parar no currículo, mas, tanto antes quanto agora, os patrões ficaram descontentes com o que as escolas entregavam. Patricia Cline Cohen, no seu estimável Gente que Calculaua: O Avanço da Educação Numéri- ca na América Antiga (Editora da Universidade de Chicago, 1983), nos diz o seguinte: “Antes desse ato [1789], ninguém exigia aritmética nas escolas de Boston de nenhu- ma forma. Depois de uns poucos anos, um grupo de empresários bostonianos protestou na secretaria da educação, dizendo que os pupilos com treinamento na aritmética da- queles dias estavam completamente despre- parados para os negócios. Infelizmente, nesta ocasião os educadores insistiram no fato de que cumpriam seu papel adequadamente, e se recusaram a mudar o curriculo. ” Ambos os lados estavam certos. impos- sível preparar todo mundo para todo tipo de atividade, e é estupidez tentar. Portanto, muitos dos jovens recém-formados estarão despreparados para a maioria das atividades. Apesar disso, os professores de matemática, tanto antes quanto agora, faziam seu traba- lho adequadamente. Uns poucos anos atrás, eu participava de uma reunião na qual, a certa altura, alguém daria uma palestra sobre a matemática Lisada pelo departamento de trânsito da Flórida. Há bastante. Por exemplo, o departamento usa somas de Riemann para determinar a área de porções irregulares de terra, embora não cha- me tais somas por esse nome. Terminada a exposição, perguntei ao palestrante o que o de- partamento espera, à guisa de treinamento em matemática, de seus funcionários recém-con- tratados. A resposta foi: nenhum treinamento. O departamento havia decidido que, para o bem de todos, seria melhor presumir que todo funcionário novo só sabia a aritmética básica. Se os funcionários precisassem de mais alguma coisa, podiam aprendê-la no trabalho. Parece haver, em todo lugar do planeta, a ilusão de que a habilidade com a álgebra é ne- cessária no mundo do trabalho e no cotidia- no. No livro Indo Além dos Mitos (Academia Americana de Ciências, 1991) vemos que: "Mitor Quase todas as ocupações exigem um pouquinho de matemática. "Realidadez A verdade é o oposto disso. " Procurei diligentemente no texto as evi- dências que sustentassem tal afirmação, mas não achei nenhuma. Talvez a academia esti- vesse igualando matemática com aritmética. Muitos fazem isso, e ao questiona-los descobri de que modo usam a matemática, isso quando a usam. Quase sempre, a “rnatemática" que me descrevem é a que aparece nos nove anos do ensino fundamental.
  12. 12. e u A álgebra, contudo, é mencionada expli« citamente no relatório Todo Mundo Conta (Conselho Americano de Pesquisa, 1989): "Mais de 75% de todas as atividades re~ querem proficiência em álgebra simples e em geometria, tanto como pré-requisito num programa de treinamento como parte do exame de concessão de licença [para exercer a atividadel" Achei tal afirmação extraordinária. Então peguei minha lista telefônica, que abri ao aca» so nas páginas amarelas, e listei as primeiras oito categorias que vi: serviços de zeladoria, equipamentos e suprimentos para zeladores, joalherias, caratê e outras artes marciais, abri- gos para cachorros, rótulos, organizações tra- balhistas, lustres e luminárias. Em qual delas alguém exige álgebra, mesmo que para trei- namento ou concessão de licença? De novo procurei bastante por evidências no relatório do conselho, e de novo não achei nenhuma. Pode ser então que ninguém apresenta ne- nhuma evidência porque nenhuma é neces- sária: todos sabem que a álgebra é necessária em todo tipo de trabalho. Por exemplo, havia um livro de álgebra cujo editor propagandea- va assim seu conteúdo: "Aplicações na carreira, o que inclui expli- cações, exemplos, exercícios e respostas para trabalhar com eletrônica, engenharia civil e química, polícia, enfermagem, educação e muito mais. [Este livro] mostra aos estudantes o relacionamento entre os conceitos de cada capítulo e as habilidades eih cada carreira - com aplicações desenvolvidas por meio de entrevistas e pesquisa de mercado, para ga- rantir sua relevância. ” Pedi um exemplar ao editor, que graciosa- mente me mandou um. Para retribuir o favor, não vou mencionar nem o editor nem o au- tor. As aplicações na carreira iam na seguinte linha: Para o autor, os professores deveriam parar de justificar a matemática por sua utilidade prática, até porque tal justificativa é falsa: na prática, as pessoas precisam apenas de aritmética; pouca gente precisa de matemática para além da aritmética, e mesmo assim precisa dela poucas vezes na vida
  13. 13. EEÉEZVÀ; I¡ . ooo-ou “Ao se preparar para os jogos olímpicos de inverno de Salt Lake City, ocorridos em 2002, várias pessoas decidiram fazer uma va- quinha e dividir os 12.000 dólares que custa- ria alugar uma casa de quatro quartos em Salt Lake City por duas semanas. O número ori- ginal de pessoas que concordou em participar da vaquinha mudou, depois que duas delas desistiram do negócio, visto que acharam a casa pequena demais. Os que restaram no ne- gócio têm agora de pagar 300 dólares extras cada um para compensar os dois que saíram. Quantas pessoas sobraram na vaquinha? ” Exatamente em que carreira isso se aplica, o livro não especifica. Também não menciona o melhor jeito de descobrir tudo isso: achar um membro desse grupo e fazer perguntas. As respostas serão diretas ao ponto. Se alguém do grupo responder com a charada acima, deve levar uns tapas na cabeça até que prometa se comportar de maneira mais civilizada. Não quero dizer que o problema não é bom. Ele é bom, é muito bom r é do tipo que os estudantes deveriam resolver. Estudantes devem resolver muitos problemas assim, cuja proposta é converter palavras em equações, e quanto mais, melhor. A razão para resolve- -los, contudo, não é porque aparecem numa carreira. Outro livro, cujo autor e editora não vou nomear (aliás, o tal livro já chegou à terceira edição), afirma: “Este texto procura mostrar que a mate- mática é útil para praticamente todo mundo. Espeto que os usuários completem o curso com maior confiança na sua capacidade de resolver problemas práticos. " Eis abaixo um dos problemas práticos: "Um clube de investimentos decidiu com- prar ações no valor de 9.000 dólares, e cada membro pagaria uma parcela igual. Mas dois membros saíram do clube, e os que restaram tiveram de pagar 50 dólares a mais para com- pensar os que saíram. Quantos membros o clube tem agora? " ol¡nunonlIloolIrponunoonooncvooouconcuoooooobounec¡nuctoooonnelnoouInoonccoocounooelbnnuooeuuneonlnnnncUIOnono¡nnnoonn-oonecoonctoooou Você detecta a similaridade desse proble- ma prático com a aplicação em carreira do primeiro livro? Os dois problemas são iguais; só mudam os números. O segundo problema não é prático, nem o primeiro surgiu no con- texto de uma profissão. Eis a razão pela qual esse problema aparece em mais de um livro: é um problema soberbo, tão soberbo que vem aparecendo em textos didáticos há centenas de anos; um autor co- pia o outro. Se você quer um problema que obrigue os alunos a resolver equações de se- gundo grau, esse é o seu problema. Continuo procurando os usos da álgebra nas profissões, mas estou sempre desaponta- do. Para ser mais preciso, eu costumava pro- curar, até que um dia me convenci de que, em essência, não há uso nenhum. Para escre- ver este artigo, procurei de novo, e achei um website que prometia aplicações no dia a dia do trabalho para a “álgebra da faculdade". A primeira aplicação era: “Você é o gerente de infraestrutura de uma cidade pequena. A cidade contém uns 400 quilômetros de ruas que precisam ser alisadas depois de uma nevasca. Quantos tratores você precisa usar para completar o trabalho num dia, se cada trator percorre uns 7 quilômetros por hora quando está removen- do a neve? " Esse é outra "aplicação” inventada, acho, pelo autor do livro didático, mas sem ne- nhuma referência ao mundo externo. (Se a cidade tem 400 quilômetros de ruas, é uma cidade pequena bem grande. ) Um gerente de infraestrutura sabe muito bem quantos trato- res possui, e sabe se precisará de tratores ex- tras para limpar a cidade depois da nevasca. O problema seguinte, eu suponho, apareceu em algum lugar fora da cabeça do redator do livro: “Quanta pasta para sorvete e quanta es- sência sabor baunilha você precisará para fabricar 1.000 litros de sorvete de baunilha com 90% de aeração, sendo que deve usar 0,7489 grama de essência por litro de pasta?
  14. 14. q-q-A, .L. A1›~p (90% de aeração significa que vai misturar ar à pasta, de modo a aumentar seu volume em 90%. )" Embora disfarçado com xis e ípsilons, a solução se resume a um cálculo simples: você precisa de 1,9x + 0,7489x = 1.000. Deve che- gar a x z 378 litros de pasta, e por isso preci- sará de z283 gramas de essência de baunilha; com tudo isso, basta misturar os ingredientes e aerar tudo para produzir 1.000 litros de sor- vete com 90% de aeração. O funcionário que vai adicionar a essência à pasta não precisará de álgebra, nem preci- sará resolver esse cálculo todo. Haverá uma fórmula, ou regra, ou tabela que lhe mostra- rá o resultado - é isso o que acontece no trabalho. Os problemas que ocorrem numa empresa são, na maioria das vezes, problemas que alguém já resolveu antes, e por isso quase sempre ninguém precisa de soluções novas vindas dos funcionários. Fico contente com o fato de que, para pas- sar meu dia, não tenho de depender de fun- cionários capazes de empregar a álgebra para resolver problemas, pois, como qualquer pro- fessor de matemática sabe, os estudantes nem sempre captam os problemas direito. O chefe do departamento de matemática de uma das maiores universidades americanas uma vez observou (acho que depois de um dia ruim): um estudante consegue se graduar em mate- mática sem nunca na vida ter resolvido um único problema corretamente. lsso ocorreu nos anos 1950, que muitos consideram a era de ouro no ensino da matemática. Num daqueles testes internacionais de competência em matemática, alguém incluiu o problema de dizer qual assinatura de revista era mais barata: 24 edições (a) com as três primeiras edições grátis e 3 reais para cada edição seguinte ou (b) com as seis primeiras edições grátis e 3,50 para cada edição se- guinte. um problema fácil, então deixo a solução por sua conta. Apesar disso, só 26% das crianças americanas do nono ano pude- ram resolve-lo corretamente. Até no Japão só 39% das crianças puderam resolvê-lo. Não tenho dúvida de que, quando tais crianças l-I i7 “você é o gerente de infraestrutura de uma cidade pequena. A cidade contém uns 40o quilômetros de ruas que precisam ser alisadas depois de uma nevasca. Quantos tratores você precisa usar para completar o trabalho num dia, se cada trator percorre uns 7 quilômetros por hora quando está removendo a neve? " Um livro dizia que isso é um problema prático, e o autor pergunta: será mesmo?
  15. 15. cooco-oocuocococuuuccnuaceitou¡not¡IoooncuonouuoocloootoovotoootcooollloitoInonuoouuouocuuncontoucn Embora as pessoas se tornarem adultas, vão ficar melhor na arte "ãü "Sem álgebra "0 de resolver problemas, mas mesmo assim não dia a dia (diz o autor), , . defendem com “meu gostaria que elas resolvessem problemas tais OGHSÍHO de álgebra que, caso fossem resolvidos incorretamente, para todos. Além disso, me rdudicasgem quando a matemática p l ' éatacada, elas saltam y Embora as pessoas saibam que elas não em sua defesa resolvem problemas de álgebra todo dia, ou mesmo todo mês, muitas parecem pensar que conhecem outros que resolvem. Talvez elas tenham absorvido a insistente ideia do autor de livros didáticos, que menciona usos da álgebra “no mundo real”, muito embora os livros sirvam de prova de que não há ne- nhum. Se usássemos tanto assim a álgebra no trabalho, tudo o que um autor deve fazer é in- terpelar umas poucas pessoas, perguntar qual foi sua última aplicação da álgebra, transfor- __É_V 4--_-“i ---'A---__ _-_ÂÉÉÉIÍÉÉIIIVÀ ______ÉÉÉCCCCY_AC ______ÉCÉÉCCÍ. ÀC ! ___IÉIIÉÉÍÍÍVAÍ s¡ n 111111111117111 “naqnnnnnnnvmn II¡= IIIIIIYAK ____-Él-ÉYA. l| ||| IIII 52 --I-I-KKCCQ
  16. 16. . aconcccooocoooocooonoooocooccccncoocccooooocccc¡occurrence-occ-ooo¡: queneoon¡oooaaooooaooocoooocoooc mar a história num problema e incluí-lo no livro. Se 75% das atividades exigem álgebra, ele conseguiria três problemas a cada quatro pessoas que interpelasse. Contudo, tais pro- blemas não aparecem nos livros didáticos. O que vemos em vez disso é a interminável re- petição de problemas sobre o clube de inves- timentos que perdeu dois de seus membros e sobre todas as outras firulas, sobre carros indo do ponto A ao ponto B, sobre fazendeiros cercando plantações, etc. Falta espaço para mostrar todos eles. Por que os problemas da vida real não aparecem nos livros didáticos? Não é porque falte aos autores energia e ini- ciativa; é porque eles não existem. Embora as pessoas não usem álgebra, de- fendem com firmeza o ensino de álgebra para todos. Tom e Ray Magliozzi, dois irmãos que ancoram o programa "Falando de Carros" na NPR [National Public Radio, uma rede ame- ricana de rádi0], gostam de bancar os rudes quando na verdade não têm nada de rude. Num dos programas, Tom fez uns comentá- rios contra ensinar geometria e trigonome- tria no ensino médio. Duvido que ele falava a sério. Contudo, sério ou não, isso não altera o conteúdo de seus comentários, nem a reação dos ouvintes. Eles endossaram a matemática por unanimidade. Quando a matemática é atacada, as pessoas saltam em sua defesa. Num momento do programa, Tom disse que tinha uma fonte octogonal no quintal de casa, e queria circunda-la com um canteiro octogonal de flores, e por isso precisava cal- cular o comprimento do lado do octógono concêntrico. Depois de usar o teorema de Pi- tágoras com sucesso, Tom refletiu: "Essa foi talvez a segunda vez na minha vida - talvez a primeira _ na qual tive a oportunidade de usar a geometria e a tri- gonometria que aprendi no ensino médio. Além disso, nunca tive a oportunidade de usar a matemática mais avançada que o ensi- no médio me preparou para estudar. "Nuncai “Por que eu, e milhões de outros estudan- tes, gastei valiosas horas de estudo aprenden- do algo que ninguém jamais usa? “Isso é educação? Estudar habilidades das quais nós nunca vamos precisar? ” Depois de um pouco de populismo real ou fingido ("As pessoas que administram a edu- cação são idiotas que só pensam em dinheiro e nos próprios interesses"), ele concluiu: “O propósito de estudar matemática, que a maioria de nós jamais usa, é tão somente nos preparar para mais cursos de matemática, que vamos usar um pouco menos frequentemente do que nunca. " Muito ouvinte postou resposta à apresen- tação no website do programa “Falando de Carros". Todos discordavum das conclusões de Tom, que na verdade contêm elementos de verdade. (Uma das respostas, que começava com “concordd”, pode ser encarada como um contraexemplo, mas a ironia que se seguiu ao contraexemplo era tão pesada quanto chum- bo. ) Um deles escreveu: “Talvez você tenha tido a oportunidade de usar geometria só uma vez na sua vida, mas existem várias profissões nas quais ela é in- dispensável. Eu mesmo estou contente, pois minha casa foi desenhada e construída por gente que era capaz de calcular a correta in- clinação do telhado, para o escoamento ade- quado da água, ou de calcular o número de metros cúbicos de concreto necessários para estabelecer um alicerce forte. " Aqui ele cometeu o erro comum de supor que os problemas resolvidos uma vez devem ser resolvidos de novo quando aparecem mais outra vez. Os trabalhadores da construção civil têm manuais e tabelas, e as consultam. De fato, a humanidade já construía casas para durar, assim como construía pirâmides e catedrais, muito antes que passasse a ensi- nar álgebra nas escolas, e, na verdade, muito antes da álgebra. Outra concepção errônea apareceu noutra resposta: “Você botou fora uma enorme massa esfe- í a ¡ i
  17. 17. Oini-o--Ico-Ubccnonntununtnoccnnnonoocaonnnoc-o¡to¡cocaco¡noUncutcontouoconcoocccooccncocoItaocaIoaoonoootoccconocont- roide oblata quando seguiu na sua declama- ção contra ser obrigado a estudar geometria, trigonometria e outras coisas matemáticas. "Quem usa essas coisas? Geólogos, pro- jetistas de aviões, construtores de estradas, empreiteiros da construção civil, cirurgiões e até mesmo técnicos de emissoras de rádio (modulação por amplitude e modulação por frequência: ambas funcionam com base na manipulação do formato das ondas de rádio por meio de funções trigonométricas _ e nem queira me ouvir discorrendo sobre cor- rente alternada). "Sendo assim, Tom, vá viver, faça algo útil. As únicas pessoas que não usam tais princípios todo dia são as que não conseguem usa-las nem conseguem ensina-las, e portan- to só podem ganhar a vida como políticos ou âncoras de programas de rádio. " As pessoas parecem pensar que, porque alguma coisa envolve matemática, têm de sa- ber matemática para usá-la. O rádio de fato envolve senos e cossenos, mas o sujeito que sintoniza uma estação não precisa de trigo- nometria. Os geólogos, quando procuram por petróleo, não precisam saber nada sobre equações diferenciais, embora provavelmente tenham sido usadas por quem criou os instru- mentos de medição. Não estou dizendo que ninguém nunca precisa de matemática no trabalho. É claro que precisa, e ela nos ajudou a construir nos- sa tecnologia tal como a conhecemos hoje. Contudo, ela é necessária pouquíssimas vezes, e não precisamos treinar milhões de jovens só para manter as empresas funcio- nando. Uma vez, quando eu era funcioná- rio de uma empresa de seguros de vida, me deram uma tarifa anual para calcular. Na- quela época, as seguradoras tinham livros de tarifas, mas de vez em quando era preciso calcular uma tarifa que não estava nos li- vros. Usando meus conhecimentos a respei- to de expectativa de vida, calculei a tarifa. Quando dei o número a meu supervisor, ele me disse: “Não, não está certo. Você tem de calcular desse jeito. " Eu respondi: “Mas esse jeito vai me dar três vezes mais trabalhei" Ele me disse que sim, mas que havia um jei- to certo de calcular a tarifa, e que eu tinha de seguir o jeito. Meus conhecimentos de expectativa de vida se interpuseram entre mim e o cálculo apropriado, que era feito do mesmo modo que já tinha sido feito antes, e que qualquer funcionário minimamente competente conseguia seguir. Pode acontecer, por exemplo, que alguma empresa precise resolver uma nova equação diferencial parcial, numa configuração que ela nunca viu antes. Se isso acontecer, há muitos matemáticos disponíveis para o traba- lho. E, além de tudo, eles cobram pouco. Empregadores não exigem álgebra. Já ex- pressei essa verdade muitas vezes em pales- tras para qualquer audiência que quisesse me ouvir, e era muito comum que um membro da audiência me dissesse, depois da palestra ou durante a palestra, que eu estava errado, e que ele usava álgebra ou cálculo no seu em- prego o tempo todo. Sempre que isso aconte- ceu, descobri que essa pessoa usava matemá- tica não porque precisava, mas porque queria. Há quem não carregue sobre os ombros o erro de que a álgebra é necessária para man- ter o eiriprego; mesmo esses apoiam o ensino de álgebra. Todo mundo apoia o ensino de ál- gebra. O público deseja que iriais matemática seja ensinada a mais estudantes. As exigên- cias estão sempre auaientando; elas nunca diminuem. A razão para tanto, estou convencido, é que o público sabe, ou sente, que a mate- mática desenvolve o poder de raciocinar. Ela mostra, melhor do que qualquer outra maté- ria, que a razão pode nos conduzir à verda- de. claro que outras ciências se valem do poder da razão, mas há todo aquele esforço extra A ferroso e férrico, newtons e joules _ com o qual temos de lidar. Na matemá- tica, nada se interpõe entre o problema e o raciocínio. Os economistas também raciocinam, mas às vezes dois economistas partem das mesmas informações, raciocinam e chegam a duas conclusões distintas. Filósofos raciocinam, mas nunca chegam a conclusão nenhuma. Na matemática, podemos resolver os pro-
  18. 18. ;con-oconuI0oootcccoloocoolhntoouconJ001Incconuocooolcooocooooooconournncoe-ou . ... .-. ... ... o-. ..na. ..-. ... ... ... ... ... ... ... Por que o público deseja que mais matemática seja ensinada a mais blemas ao usar tão somente a razão, e po- estudantes? Para o autor, o público conhece (ou pressenle) o real motivo: a matemática mostra, mais e melhor do que qualquer outra matéria demos checar os resultados ara com rovar . . p p escolar, que a razao pode levar a verdade sua veracidade. A arte do raciocínio deve ser aprendida, e a matemática é o melhor jeito de aprendê-la. As pessoas entendem isso, talvez não v, conscientemente, e portanto querem que suas crianças estudem matemática. Muitas vezes alguém me diz que gostava de matemá- tica, pois era definitiva e era gostoso obter a ir resposta correta. Você nunca ouviu a mesma 1' coisa? Essa pessoa gostava da capacidade de raciocinar corretamente. Ela sabia que tal prática lhe faria bem. Nunca ninguém me p disse: “Gosto de matemática porque ela me , j permitiu arrumar um bom emprego. ” l Nós professores não temos mais tanta fé na nossa matéria, fé que nos permita dizer tudo isso. Nós justificamos a matemática por sua utilidade num mundo em que é impor- tante "ganhar" e "gastar". Nossos antepassa- L x * dos eram menos desconfiados. Em 1906, ]. D. ç _ _ Fitch escreveu: < › . v' - i 4# “Na universidade, nossos futuros advoga- dos, clérigos e políticos devem estudar bastan- - . te sobre curvas, ângulos, números e propor- ções; não porque tais tópicos tenham a menor correlação com as necessidades do dia a dia, A ~ mas porque, no próprio ato de estuda-los, os ' ^ z estudantes provavelmente vão adquirir o hábi- y to do raciocínio acurado e imperturbável, que é indispensável nas buscas da vida. " . ' Não sei quem era esse ]. D. Fitch, mas esta- va certo. Thomas ]efferson disse: “A matemática e a filosofia natural [física] são tão peculiarmente atraentes e agradáveis que induzem todo mundo a querer saber mais sobre elas. Além disso, as faculdades da men- te, como os membros do corpo, são fortaleci- das e melhoradas com exercício. O raciocínio e as deduções matemáticas são, portanto, um bom preparativo na investigação das obscu- ras especulações da lei. ” Em 1834, um comitê do congresso sobre questões militares escreveu: M
  19. 19. Aki-: gg t. , . - . . . z 12: à CÊEFEÉIAL_ a “A matemática é a matéria que forma as fundações do curso [na academia militar de j West Point]. Isso é necessário, seja para con- ceder à mente aquela combinação de força e . versatilidade, seja para conceder o vigor e a rapidez nas comparações, que são tão neces- sários durante a ação militar, seja para prepa- ' rar o caminho para o progresso nas ciências ' militares mais avançadas. " Eis aqui o testemunho de um estudante de hoje: "No verão do meu primeiro ano de fa- culdade, decidi aprender álgebra por conta própria. No ano seguinte, na faculdade, mi- nha média geral pulou de 6,5 para 8,75. As provas ficaram mais fáceis, e eu as realizava com maior eficiência, e tal foi verdade para quase todas as facetas de minha vida. Para resumir: álgebra não significa apenas princí- pios matemáticos, mas uma filosofia ou um jeito de pensar; ela treina sua mente e faz as provas, tão complexas e intimidadoras, pa- recerem mais simples tanto na escola quan- to na vida. " Tudo evidência anedótica, é verdade, mas toda a história é uma sucessão de evidências anedóticas. É para isso que o ensino da matemática serve e para isso que sempre serviu: para que aprendamos a raciocinar, em geral por meio ç de problemas bobinhos. Nos papiros Rhind, , um texto didático egípcio de mais ou menos v 1.650 anos antes de Cristo, vemos que: “Dê cem pães para cinco homens de modo que as porções nas mãos de cada um estejam em progressão aritmética e a soma das duas porções menores seja um sétimo da soma das três porções maiores. " Os antigos egípcios eram um povo práti- - co, mas mesmo assim acharam que valia a pena resolver esse problema tão claramen- te desajeitado. (As porções são 1 + 2/3, 10 + 5/6, 2o_ 29 + 1/6 e 38 Otermo geral desta + 1B) No livro progressão aritmética no y Álgebra de Geor- papim Rhmd é: ge Chrvstal (pu- a” _. : ga ln __ 9) Â “PARA OUESERVE O ENSINO DA MATEMÁTICA, a E . PARA QUE SEMPRE SERVIU? PARA QUE , APRENDAMOS A RACIOCINAR, EM GERAL POR MEIO DE PROBLEMAS BOBINHOS" . _ i. non-uno-. un. ..unn. .as. .u. .non-naun. ... unn-aouaauooaooouanonu-o-. uuuonnuu. ..nun-oo-"ou". uuunuunuonuo.
  20. 20. cnooooccoocn , blicado em 1886), há na página 154 mais de . 50 roblemas, todos com a instru ão "sim- P plifique", inclusive o problema a seguir: _Í_ _1_ L_L x2+y2_x2 yz L_L L _1_ x2 yz xz+y2 8 “y “Wi *l (x-y+x+y y2+x1 2 Não há nenhuma razão fornecida, em lugar nenhum do texto, de por que raios alguém gostaria de simplificar tais coisas. Era óbvio. E assim que se aprende álgebra. Quanto à razão para aprender álgebra, isso era óbvio também, e não era para arrumar i emprego. (A resposta para o problema, que me faz pensar no quanto Chrvstal se diver- tiu ao cria-lo, é -1.) Não sou tão faritasista a ponto de dizer _ que os autores de textos didáticos deveriam ¡ produzir textos cujo título é Álgebra, Um 1 Prelúdio à Razão. Isso não daria certo. Não queremos transformar estudantes de má von- tade em estudantes de maior má vontade ain- aoo. nao. --on. ..oo. ..4.. ..ona-naooo. o-no. -.. ... ... ... ..§. ... .o. ... .nan . j da. Não podemos voltar a livros como o de Chrvstal. Mas será que podemos baixar o tom _ um pouquinho? Ou insistir um pouco menos ~ É, na ideia de que a matemática é essencial para ' ganhar a vida? arrumar emprego. É para mostrar o caminho em direção à razão. Como os céus sabem, tal N método nem sempre funciona, e para esse i ¡ , objetivo não há apenas um, mas não existe i ensinar matemática. Se eu fosse dado a hi- : pérboles, diria que a matemática é a mais gloriosa criação do intelecto humano, mas não sou dado a hipérboles e não direi tal à juízo, celeste ou mundano, e me pedirem para justificar minha vida, vou me pôr de pé motores da matemática, e sob meus cuida- › "Ajudei o povo a arrumar emprego. " . canon O ensino da matemática serve não para método melhor. Além do mais, vale a pena É' coisa. Contudo, quando estiver diante do e orgulhosamente declarar: "Fui um dos pro- dos ela não prejudicou ninguém. " Não direi: _ copos-nnoanonuln
  21. 21. â7 . .__: __. ___ t l lrímfil lítio *H , _ . __, ... L,. "l ogo que terminou o doutorado, Vanderlei Ho- Eirita, vice-presidente da Sociedade Brasileira de Matemática, recebeu a visita de um colega de pesqui- sa. Matemáticos que colaboram num trabalho costu- mam se encontrar pessoalmente para discutir ideias, mostrar esboços e organizar os próximos passos do trabalho. “Nessas ocasiões, aproveitamos o tempo o máximo possivel, incluindo finais de semanas e feriados", explica Vanderlei. Então outros amigos, não matemáticos, ficaram curiosos com o trabalho. “Perguntaram se passávamos o tempo todo fazendo contas, qual o “tamanhd dos números envolvidos e se os computadores não faziam isso melhor que a gente. " Vanderlei encarou o desafio de explicar o que faz um matemático, mas diz que até hoje acha dificil fazer isso sem que o interlocutor perca o interesse depressa. John William MacQuarrie, matemático escocês e pesquisador na Universidade Federal de Minas Ge- rais, acha compreensível que uma pessoa escolhida na rua ao acaso não saiba dizer o que a matemática é - ou que ainda a defina com características que ela não tem. "Isso não é estranho", diz John, “porque nós matemáticos também não sabemos o que ela é. " Porém, enquanto o matemático tem a certeza de que é algo maravilhoso, vários leigos a acham feia, inútil, entediante. Para Luiz Márcio Imenes, autor de livros didáticos da Editora Moderna, a culpa é da matemática escolar. "A escola costuma desfigurar o conhecimento não só da matemática, como também de outras áreas. " Outros especialistas, como Antonio Carlos Rosso Júnior, professor no Anglo Vestibulares e no Ins- per, também listam outras razões, como seu caráter
  22. 22. Danielle Ferreira e Dubes Sônego Por que tantos têm da matemática uma impressão errada? Por que ela tem essa propriedade peculiar de parecer o que não é? Sete especialistas discutem as razões, entre elas: o matemático gosta tanto do que faz que não lhe ocorre fazer propaganda da matemática abstrato demais. "As pessoas querem resultados de imediato, e é difícil ver as aplicações diretas da mate- mática no dia a dia", diz Antonio Carlos. "É diferente com a química ou a biologia, nas quais descrevemos objetos ou entes concretos da natureza. Com a ma- temática, descrevemos uma versão muito ideal do universo. " , ~ ' a A matemática é inútil. Muita gente tem essa GL “na impressão, mas, se colasse um selinho com 'i os dizeres "Esta Coisa Contém Matemática" em tudo o que é feito ou construído com a ajuda de bastante matemática, haveria um selinho desses em todo computador, todo carro, todo telefone, todo avião, todo semáforo, todo filme de cinema. .. Porém, porque ela pertence aos bastidores, ninguém a vê. Cristina Acciarri lista sem esforço as várias aplica- sie ções da matemática. "Se pensar num cartão de cré- dito, ou na criptografia para a segurança na internet, por exemplo, estamos falando de conceitos matemá- ticos. Para criar essas soluções, digamos, fáceis para nosso dia a dia, matemáticos resolvem problemas di- ficeis, ou até mesmo recorrem a soluções parciais de problemas sem solução. " Quando dá aulas para turmas de engenharia, Cristina volta e meia precisa responder à inevitável pergunta: para que estudar álgebra linear? "Até para eles, que se interessam e têm maior contato com a matemática, é complicado entender por que precisam estudar certos conceitos. " Cristina então conta como hoje é impossivel fazer desenhos animados sem ál- gebra linear. Desenha na lousa um plano cartesia- no com um bonequinho, e dai' pergunta como pode movê-lo de uma região a outra sem deforma-lo. Em
  23. 23. resumo, o aluno deve multiplicar matrizes; o produto dessa multiplicação é a nova posição do bonequinho (veja mais sobre o assunto na matéria da pág. 20). Noutras vezes, o aluno encrenca com vetores de ordem 4, or- dem 5, ordem n. Não vê utilidade em estudar tantas dimensões, já que o mundo tem apenas três. ”Nem sempre a aplicação é do tipo geométrico", diz Cris- tina. "As informações que armazenamos dentro de uma matriz podem ser de qualquer natureza, como as variáveis do trânsito em Brasília: o tipo de carro, a estrutura das ruas, o horário em que esta' ocorrendo o estudo. " Ricardo Miranda Martins, matemático da Uni- versidade de Campinas, diz que, para entender muitas aplicações, o leigo teria de entender concei- tos mais avançados. Além disso, reconhece que, em geral, os matemáticos não fazem propaganda de tão boa qualidade quanto os físicos fazem. “Vemos com frequência em filmes e séries de TV termos como viagem no tempo, relatividade e mecânica quântica de forma muito mais ficção científica do que são na realidade: um monte de equações matemáticas di- fíceis de resolver, ou mesmo de entender. ” Ricardo também menciona outra explicação: o currículo de matemática, tanto no ensino básico quanto no su- perior, é grande demais. Nem sempre sobra tempo para mostrar as belas aplicações. Basta pegar um livro de história da matemática para ver o contraste entre como a escola ensina os conceitos e como os matemáticos os criaram e in- vestigaram suas propriedades. O processo histórico lembra uma criança que aprende a andar: há mui- tos tombos, muitos recomeços, muita diversão. Nos anos 1960, quando Luiz Márcio Imenes era estudan- te, usava como livro didático uma adaptação d'Os Elementos, de Euclides. "O professor Manfredo Per- digão, do lmpa, disse uma vez numa palestra que adotar Euclides como livro didático é um grande equívoco; ele e' mais bem entendido por filósofos e matemáticos. N'Os Elementos, a matemática aparece desprovida de vida, sem as contradições e as moti- vações do matemático. " Mesmo hoje, estudantes ainda usam livros que copiam o modelo de Euclides: teorema, prova, aplica- ção - sem contar nenhuma história de contexto. Um livro assim lembra uma lista de dogmas. "Há quem sugira um modelo mais próximo do de Arquimedes, que misturava experimentação e dedução", diz Ime- nes. "É uma matemática mais viva, impregnada de sentido e significado. " Sim, professores e alunos têm de formalizar a matemática, mas não sem antes expe- rimentar muito, pois, para Imenes, apresentar a mate- mática pronta e acabada beira a calamidade. Helenara Sampaio, coordenadora da licenciatura em matemática na Universidade Norte do Paraná, diz que os povos precisaram de matemática para desen- volver a agricultura, a navegação, a ciência. Se hoje o estudante tem celular, computador e videogame, foi porque os matemáticos resolveram problemas difí- ceis, muitos deles nos últimos 100 anos. Numa sala, qualquer uma, restaria pouca coisa se retirassem dela tudo o que foi construído graças à matemática. A cada ano os matemáticos criam cada vez mais matemática, o número de artigos públicos aumen- ta com muita rapidez. John MacQuarrie arrisca um chute: “Talvez haja dez vezes mais artigos por ano agora do que havia há dez anos. " Contudo, hoje mais do que antes, o matemático trabalha motivado por perguntas muito abstratas, ainda sem correlação com o mundo real. Cristina explica: muitas vezes, o matemático está interessado em beleza; ele se deixa guiar apenas pela própria curiosidade. “É um pouco como a filosofia. Se você pensar bem, qual é a aplica- ção prática da filosofia? " Cedo ou tarde alguém acha aplicação prática para alguma ideia matemática. John diz que as regras da matemática servem como imagem aproximada de fenômenos do mundo real. "Mas as aplicações da matemática não são a mesma coisa que a matemática em si. " j_ l Fm¡ A matemática é uma ciência. Até matemáti- cl_ cos às vezes dizem que a matemática é uma i . ciência; quanto mais estudantes e professores comuns. Muitos matemáticos, contudo, não se inco- modariam se a classificassem como uma arte: a arte de criar objetos imaginários perfeitos, tão simples quanto possível, e de depois disso investigar suas pro- priedades. O cientista tem a obrigação de descobrir como o universo funciona - as proteínas, as galá- xias, os pulmões. As regras já existem, e não podem ser modificadas de nenhum modo. O matemático cria universos novos para depois explora-los, e quando se cansa de explorar um desses universos, muda as re- gras e o transforma num outro. (E depois ainda des- cobre que pode correlacionar os dois. )
  24. 24. Até filósofos têm de trabalhar sob condições mais estritas. "O fi- lósofo", diz John, "tem de justificar suas proposições. " John quer dizer o seguinte: o filósofo mostra que A e B implicam C, mas, antes que possa asseverar que C é verdadei- ro, tem de mostrar que A e B tam- bém são. Não é assim com o mate- mático. Ele pode presumir que A e B são verdadeiros, e daí provar a implicação. Aliás, ele com bastan- te frequência presume a verdade das premissas e segue em frente. Afinal, como poderia provar, por exemplo, a existência de segmen- tos de reta que podem ser dividi- dos ao meio indefinidamente? Outro ponto no qual matemá- ticos e cientistas diferem: o peso que dão às evidências. Se um cien- tista achasse 400 quadrilhões de evidências em favor de uma expli- cação, e nenhuma evidência con- trária, ele a classificaria como "ex- plicação excelente". Que tal pensar agora na conjectura de Goldbach? Todo número inteiro par maior que 2 e' igual a soma de dois números primos. Defato:4=2+2,6=3+3,8=5+ 3, . .., 154 = 71 + 83, etc. A conjectura já foi confirmada para os primeiros 4 ~ 1017 inteiros positivos. Qualquer cientista ficaria feliz com isso, mas não o matemático, que só classifi- cará a conjectura como teorema no dia em que alguém publicar uma demonstração cabal. É coisa de gente sem criatividade. Helenara Q' ' Sampaio, da Unopar, ouve o tempo todo comen- l 1 tários de que a matemática só complica tudo; estão sempre questionando sua utilidade. Imenes diz que as pessoas têm essa impressão porque se acostu- maram a vê-la de modo deturpado. Muitas vezes, diz Imenes, a escola omite as aplicações e conexões que equações difíceis de resolver, de novo a física ganha destaque Diz Ricardo Miranda Martins, matemático da Universidade Estadual de Campinas: "Matematicos não são marqueteiros tão bons quanto os fisicos. Vemos com frequência na TV coisas como viagem na tempo e relatividade, de um jeito bem mais ficção científica do que são na realidade: um bando de ou mesmo de entender. " Com o filme InteresteIaNWarner Bros. , 2014), existem dentro da própria matemática. "Quanto mais as relações que ela tem com a arte e outras disciplinas! " Se na escola o leigo só conheceu a matemática feia, é fácil imagina-la como O Reino dos Sem Imaginação. "É ficar fazendo contas como um papagaio", diz Imenes. "O ser humano não tolera coisas sem sentido; procura- mos nexo nas coisas. " A ideia de que a matemática embota a criatividade é tão forte que, entre os que acreditam nessa ideia, IMAGEM DIVULGAÇÃO ll l l «l l
  25. 25. e' fácil encontrar quem diga: a matemática estraga a experiência de vida - pois deixa tudo "excessi- vamente racional". A verdade é que o matemático profissional, para resolver um problema difícil, tem de recorrer a doses cavalares de criatividade. Quase sempre, a resolução de um grande proble- ma faz surgir uma nova área da matemática, e com ela fica mais fácil ver coisas que antes ficavam in- visíveis - isto e', com ela o mundo fica mais bonito. Se hoje o homem pode construir uma sonda espa- cial, envia-la ao espaço para fazer medições, e com as medições calcular o raio do universo (46 bilhões de anos-luz; quem não fica de queixo caído diante de uma informação dessas? ), é porque Bolyai, Lo- bachevsky e Riemann criaram as geometrias não euclidianas no século 19. Cristina lembra como muita gente se orgulha de dizer que não tem cabeça para a matemática. "É como se, ao dizer que não sabe nada de matemá- tica, a pessoa mostrasse como é fantasiosa, artís- tica. " Mas nenhuma pessoa se orgulharia de dizer que não leva jeito para a leitura, pois seria tachada de ignorante. John diz que não há nada mecânico ou automático na matemática, e se algum aspecto dela se torna automático e mecânico, o matemático não hesita em delega-lo a computadores. "Quan- do dizemos que o matemático precisa de criati- vidade", diz John, "não e' criatividade para fazer contas, mas sim para manejar ideias. " Cristina diz que matemáticos muitas vezes agem como crian- ças. “Eles deixam a mente bem aberta, pois caso contrário as ideias não aparecem. " Ela ate' acha que se transformou numa pessoa melhor graças a matemática, ou melhor, graças ao hábito cle olhar um problema de vários ângulos. "Isso me ajudou a ser menos impulsiva. Muitas vezes, estou vendo o cantinho de um problema, mas mudo o ângulo e percebo que ele é bem maior. ” Cristina reconhece ainda: se as pessoas não conhecem bem a matemá- tica, é culpa dos matemáticos, que não sabem se comunicar direito. Para Vanderlei Horita, a culpa é também da pró- pria matemática: orovoca tanto contentamento que, para o matemático, divulgar seu trabalho se torna secundário. Ele se envolveu numa atividade na qual cria universos e escolhe quais regras devem regê- -los. “Certa vez, tive a ingenuidade de contestar a frase tão certo quanto dois mais dois são quatro", diz Vanderlei. O leigo só conhece a aritmética comum, mas há muitas décadas os matemáticos recorrem à aritmética módulo m, na qual 2 + 2 = l ou 2 + 2 = O. Para entender essa ideia melhor, o estudante pode desenhar um relógio com 3 números: 0 2 Daí, o dedo repousado em zero, começa a con- tar: l, 2, 3, 4 movendo o dedo para 1, 2, O, l. Com isso, pode dizer que, na aritmética módulo 3, o 4 é congruente a l. Pode fazer o mesmo para entender a aritmética módulo 4. Desenha outro relógio, des- ta vez com quatro números: 0, l, 2, 3: O 2 Conta l, 2, 3 apontando para l, 2, 3, mas ao contar 4 só lhe resta apontar o O. Com isso, conclui que, na aritmética módulo 4, 2 + 2 = O. E ainda assim o estu- dante pode se divertir com un* 'l ideia bonita: 2 + 2 é sempre igual a 4, mesmo nas aritméticas-nas quais o algarismo 4 não existe. Feia, feiíssíma. Muita gente acha que a matemática é feia, mas todo professor de matemática e todo matemático pode testemunhar o contrário: ela provoca prazeres estéticos parecidos com aqueles que uma pessoa sente quando aprecia uma escultura ou ouve um concerto. John MacQuarrie é algebrista e, para mostrar a verdadeira cara da mate- matica, gosta de explicar o que é um grupo. Primeiro, cita um exemplo de grupo: os números inteiros com a operação de adição. O estudante adiciona 3 ao 4 e obtém 7, que também é um inteiro. Ou então subtrai 3 de 4 e obtém l, outro número inteiro. Ele pode então generalizar essa ideia ao definir um grupo: Um conjunto G fechado para uma operação a, isto
  26. 26. e', ao pegar dois elementos a e b em G, e ao combina'- -los segundo as regras que especificam a operação o, obtém um terceiro elemento que também está em G. (Em outras palavras: o elemento a o l¡ também está em G. ) Além disso, num grupo existem três regrinhas: ° Paratodoa, becemG, ao(bvc)= (a<= b)oc, isto é, nele vale a propriedade associativa. 0 Existe em G um elemento identidade e tal que a oe= e oa= apara todoaem G. 0 Para cada a em G, existe um elemento inverso a' emGtalqueaoa'= e. Desde criancinha, o estudante sabe que núme- ros inteiros têm a propriedade associativa, e que existe um número, o zero, que se adicionar a qual- quer número inteiro (como l + O, 2 + O, .. ., 2.342 + 0) obterá como resultado o próprio número. Assim como cada número tem seu inverso: o do O é o pró- prio O, o do 1 é o -l, o do 2 é o -2, e assim por diante. "Agora esqueça os números, esqueça as simetrias", diz John. "Agora você tem apenas essas três pro- priedades. Então, pode usá-las para estudar ob- jetos no mundo abstrato que também as tenham. Acho os grupos lindos de um jeito muito prático. Essas três regras são exatamente o que precisam ser, fazem exatamente o que precisam fazer. " Matemáticos muitas vezes veem a beleza num conceito matemático, como os grupos, por causa de suas propriedades, isto é, por causa do que conse- guem fazer com elas. No caso da teoria dos grupos, se podem provar que certo objeto muito complexo é um grupo, podem também provar que existe uma correspondência entre tal objeto e o grupo dos nú- meros inteiros com a operação de adição. Ora, exis- tem muitos teoremas úteis sobre os inteiros com a adição, e o estudante pode usei-los para descobrir coisas sobre esse objeto mais complexo. Ele pode até verificar que vale para seu grupo a conjectura de Goldbach. Para Antonio Carlos, pro- fessor no Anglo Vestibulares e no Insper, muita gente fica com a ideia errada porque estuda a matemática como se fosse um conjunto de pro- cedimentos, e não como um Édificil convencer um leigo de que rabiscos podem se transformar em obras de arte. Do mesmo modo, é dificil convencer muita gente de que a matemát pois há quem não veja nada além de rabiscos rca é bonita,
  27. 27. conjunto de ideias a partir das quais os matemáticos desenvolveram os procedimentos. Quando estuda a multiplicação de dois dígitos, por exemplo, o estu- dante talvez ache uma chatice repetir um algoritmo aparentemente sem pé nem cabeça. Por exemplo, ao fazer 12 Vezes 15: l 15 112 30 li) 180 No livro Matemática: Uma Breve Introdução, o ma- temático britânico Timothy Gowers explica por que tanta gente odeia a matemática. Matemáticos constro- em conceitos novos em cima dos antigos. Se o leigo acha o algoritmo da multiplicação de números com dois dígitos uma chatice, tem de voltar uns passos para trás e compreender seu mecanismo: a proprieda- de distributiva da multiplicação sobre a adição. Para visualizar isso melhor, o estudante usa um desenho de quadradinhos, como o da figura 3. Ao somar os quadradinhos, pode Ver que esta' fazendo o seguinte: 2 (10 + 5) + 10 (10 + 5), isto é, está usando o algoritmo da multiplicação. "Sem isso [a propriedade distributiva] é natural que você se sinta pouco à vontade ao expandir ex- pressões como (x + 2)(x + 3), e isso implica que não compreende bem as equações quadráticas", escreve Gowers. "E, não tendo uma boa compreensão das equações quadráticas, não perceberá por que a razão áurea é (1 + V5)/2." N: : k . tm. t. l0 5 POR POUCO Visto que é dificil entender bem uma matemática mais avançada sem entender conceitos básicos, mui- tos jovens nunca descobrem que a má reputação da matemática vale (quando vale) apenas para a mate- mática no ensino básico. Cristina explica: "É como aprender a falar para aprender a escrever poesia. " É mais charmoso escrever poesia do que simplesmente falar, mas uma coisa não vem sem a outra. Cristina sabe pouco sobre como funciona o ensino médio no Brasil, pois estudou na Itália, mas acha que o brasi- leiro se interessa tanto por matemática quanto qual- quer outro cidadão de qualquer outro país. A dife- rença entre o Brasil e a Alemanha, por exemplo, é que na Alemanha ha' mais especialistas interessados no trabalho de divulgar a matemática. Quando era estudante, Cristina já gostava de matemática, mas visto que só via contas, equações, algoritmos, etc. , não se interessava tanto assim. Por acaso, leu um livro sobre matemática e sime- tria. "Não lembro mais o nome, mas era um autor dos Estados Unidos. O livro tinha muitas imagens, dese- nhos, e falava da matemática na vida, na simetria das flores, da série de Fibonacci que aparece em vários lugares. .." Então ficou em dúvida entre fazer letras ou matemática, mas como a matemática era algo misterioso, resolveu descobrir mais sobre ela. Seus pais a apoiaram, se bem que com alguma reticência. "Quando cheguei lá, achei a matemática uma coisa muito mais bonita do que imaginava. " John conta uma história semelhante: na Escócia, a reputação da matemática também é ruim, mas tudo mudou na universidade. "Para mim foi incrivel descobrir que não existe só um tipo de infinito - in- crivel! " Ricardo Martins é outro caso de "por pouco não fiz matemática". Quando prestou o vestibular, esco- lheu matemática com o propósito de pedir mais tarde a transferência para o curso de computação. "Eu mesmo tinha a ideia equivocada de que pre- cisaria decorar fórmulas. Quando 1000 'l' 5) z 150 descobri que elas vinham de algum lugar, comecei a achar tudo muito in- teressante e segui a carreira. " Quantas outras pessoas não da- riam ótimas matemáticas, e não se-
  28. 28. Cristina Acciarri, matemática da Universidade de Brasília riam até mais felizes, não fosse a péssima reputação da matemática? Uma vez, o matemático Bertrand Russell (1872-1970) escreveu (tratando de outro assunto): “É como a teoria de que sempre acaba- mos descobrindo o assassino. Evidentemente, todos os as- sassinos que conhecemos fo- ram descobertos, mas quem _ _ pode calcular o número da- A' A'. " v queles sobre os quais nada r sabemos? Da mesma forma, todos os homens de gênio de que já ouvimos falar triun- g faram sobre circunstâncias ea 4:7 ' *rss-w w › adversas, mas não há razão para supor que não tenham existido diversos outros gê- nios malogrados durante a ju- ventude. " Não há razão para supor que, tivesse a matemá- tica boa fama, muitos dos que hoje se orgulham de não ter cabeça para os números pas- sariam horas, felizes da vida, pensando sobre coisas como a aritmética módulo m e a conjectura de Goldbach.
  29. 29. .xr a «a -- . _.e-. -n. u,--. -,. ; C-EINJTÊEV IST/ Ã Relações entre quantidades l Intuição infantil “. ,~f". .7.V*? & a. , u. .ucuqtãx4coocoo: ea: contanto-autoco-uooolootnlnosn› se' Nos anos 1980, Terezinha i a A Nunes escreveu com dois colegas ' um livro que ficou famoso entre professores de matemática: Na Vida Dez, na Escola Zero. Alguns dos exemplos que cita nesta entrevista fazem parte das pesquisas que abordou no livro.
  30. 30. a MarianaOsone . ... ... ... ... ... ... .s. ... ... ... ... ... ... ..u. ... ... ... ... ... ... u.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .u. ..u. ... ... .u. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... i. llllilã-ii-'iiilílilà hihi ! tai di. ; uicioiroit, mi itaim iiirioíioi, Ibilieiciai 'làiãiãiitãitâiàl ii imigrante: : Ctllllioi ai: : : intaum: :ipiniiioíiani matanníiiiciatt* Em oiii; guia, militar: itaim. , ai: : sintomas, ciiianiçiaw ; iniciam ÍFRÍpIOIIIIÍÊiHÇ, :rias aiiwznli ii : Ritilllãi Cilllli Iliilligíl# Íuãidlciai: : lT blíi : Italic: dia : i0 : Inicie ifãflârjlflillrifi LllilNÉi_ _aimiqtlfkiaii i l l É i um: o» rlilõlíâ-Lüiíli' , curtia atari¡ aiiiiliv nuiiêmargoiílnizi mi cioimiiiligíioi »dia aoiniciaiioi: : mafia ilifãlliçfãlíllit. Ki Quando Terezinha estudou sub- ç ' tração pela primeira vez, aprendeu o algoritmo direitinho. Tinha sete y anos e estava na segunda série, o ; atual terceiro ano do fundamental i i 1. A professora ensinou o método ~ 7 do empresta: a criança escreve um ç í número (o minuendo) em cima do . É outro (o subtraendo) e, quando í í um dígito do subtraendo é menor › í que o dígito acima dele, tem de í i “pegar emprestado" do número de . í cima e “pagan” para o número de l 1 baixo. Por exemplo, na operação 3 : 190 - 39, a pessoa pega 1 do nove Í no 190 e empresta ao zero, depois É paga o 1 de volta para o 3 no 39. 19,0 1,39 151 ç Ficou incomodada com o que ã Í aprendeu, então chegou em casa e í 'Í disse: “Olha, pai, a professora en» 1 . _ sinou uma coisa que sei fazer, mas a não sei por que dá certo. " Mostrou i a conta e continuou: “Se você A E pega emprestado de alguém, não , pode devolver para outra pessoa! " Então, seu pai decidiu explicar * a subtração de outro jeito. Disse Í ; que, em vez de pedir emprestado à § em cima e pagar embaixo, podia i : decompor os números. Primeiro i É disse que o zero no 190 não sig- l i nifica zero unidades, porque no , número há na verdade 190 unidades i que podem ser arranjadas de várias formas. Assim, podia reescrever o _ l número como 18 dezenas e 10 uni» _ Í' dades, e o 39 como 3 dezenas e 9 , i unidades, como na tabela abaixo: Ao fazer isso, o minuendo con- í tinua igual, mas reorganizado para a ' facilitar a conta. Após ouvir a expli- É cação, Terezinha perguntou por que l ' a professora ensinou daquele jeito Í g que ela não entendia. “Ele disse que V tinha vários jeitos de explicar. lsso ; ~ é algo que nunca esqueci: há várias maneiras de ensinar, e em algumas i Í delas a criança aprende, entende, vê _. g sentido. Noutras ela repete o pro» _ fessor igual a um papagaio: mandou E fazer assim, eu faço. " 7 l Até hoje Terezinha traz à tona " essa lembrança quando investiga _ como a criança aprende matemáti- 'l Í ca. Para ela, a professora (no femi- l Í nino, pois a maioria dos professores . no ensino fundamental é mulher) i v faz bem se ouve as crianças sempre têm alguma visão que ela , pode aproveitar no ensino. A pró- ' pria Terezinha, por exemplo, nun- ' ca contou à professora que não vía sentido no método do empresta. "De jeito nenhum! [risos] Quando uma criança de sete anos vai dizer l uma coisa dessas para a profes- _ sora? Isso ficou entre mim e meu ' pai. " Sorte é que essa experiência não atrapalhou o gosto que já ti- ~ nha pela matemática. Í Como se interessou por _ educação matemática? rença entre o que a criança sabe e pensa e o que a escola avalia. 'põe' na casa 'idas IWÕÉÕBSa . j_ ' O subtraendo' continua igual; Quando trabalhava na Univer- i . sidade Federail de Minas Gerais, ' v recebia crianças diagnosticadas ~ com dificuldade de aprendizagem, , mas, ao avalia-las, não encontrava ›_ nada. Comecei a pensar na dife- í i Depois fui trabalhar na Universi- , T umaide na, :isto é, 10
  31. 31. EINTÊEVIETA ' 'outono: :lutou; ¡uooocnncvccoooccooontInooccuoooucnotice¡a0000Cc00010otattoo¡nas¡oc: :ouosoou¡Iooo¡-: nocaooQuitonunonnt-nuo--uooooouc-nnoIon-coco¡ n dade Federal de Pernambuco, em Recife, e notei que nas feiras e na praia os Vendedores faziam con- tas de cabeça rapidamente, muito mais depressa que eu. Então me perguntei: qual a diferença entre o que essas pessoas sabem do que eu sei? Um exemplo que me impres- sionou muito foi numa conversa com um pescador. Perguntei o preço do quilo do peixe e ele res¡ pondeu: 950 (na época a moeda era outra). Pesou o peixe, disse que tinha um quilo e 350 gramas e logo depois me falou o preço total. Nessa hora, me dei conta de que não sabia como fazer aquela conta de cabeça e nem como ele a tinha feito, dai' ele me explicou. Depois dessa conversa, eu e meus colegas (a Analucia Schliemann e o Da- vid Carraher) começamos a fazer uma pesquisa mais sistemática: íamos à feira entrevistar crianças na atividade que faziam; depois a visitávamos e fazíamos tipo uma prova de matemática escolar: com continhas e problemas orais. Quando estavam na feira, elas res- ponderam certo 98% dos proble- mas. Mas quando resolviam um problema no método da escola, se saíam muito mal. O mais interes- sante é que, apesar disso, elas se ltlllçliñllgllllll-'illllilliillllllll-ililü» Muitas professoras têm medo de ensinar frações para crianças pequenas, pois acham o assunto complexo demais. Estão certas; o assunto é complexo, mas a professora pode usar noções intuitivas para explicar o que são frações. Terezinha conta que ao perguntar: - Qual fração é maior: um terço ou um quinto? A maioria das crianças responde um quinto, pois cinco é maior que três. A professora logo pensa: "Essa criança não sabe nada de frações. " Na verdade, a criança pensou com lógica, porém no contexto errado dos números que já conhece, os naturais. Terezinha reformula a pergunta assim: saíam melhor em resolver problemas que em fazer Continhas. Bom, qual é a filosofia da esco» la? Primeiro a gente ensina a fazer continhas, depois ensina a usa-las para resolver problemas. Mas se as crianças têm mais facilidade em re- solver problemas que em fazer con- tinhas, por que a escola toma esse caminho? lnvestiguei isso por mui- tos anos e continuo investigando. A primeira coisa que descobri no Bra» sil foi a diferença entre a aritmética oral e a escrita. Na feira, as crianças faziam a conta de cabeça e falavam durante o raciocínio. Por exemplo, perguntei a um menino quanto era o coco: - 35. _ Vou querer 10. Quanto é? - Bom, 3 cocos dá 105, com mais 3, dá 210, com mais 3.. . Ele pensou um pouquinho e disse: - 315. Dez cocos são 350. Olha que interessante: de um lado ele falava o número de cocos e do outro dizia o preço, e à medida que acrescentava cocos, aumentava o preço na mesma proporção. Ou seja, ele criou um modelo mental da situação para explorar a relação entre o número de cocos e o preço até chegar a resposta. Mas se, em vez de deixado pensar, alguém lhe dissesse qual conta fazer [por exem» J v~r"1%* chocolate? o todo. plo, acrescentar um zero no preço unitário], iria inibir seu raciocí- nio, que não era o de se pergunt, r qual conta fazer, mas sim como aquelas quantidades se relacio~ nam. Então a escola ensina pelo caminho inverso? Muitas vezes o ensino começa digamos que um passo à frente e não onde a criança está. Por exem- plo, a criança estuda os números naturais, cuja lógica é baseada na adição, a cada unidade você soma 1: então se tem 4, soma l e vira 5, daí soma mais l e vira 6, etc. De- pois ela começa a estudar frações, cuja lógica é a da divisão. Não podemos apenas ensinar como re- presentar a fração e depois esperar que a criança entenda a lógica so- zinha. Ela entende o que é dividir, então devemos começar por aí. Como a professora pode ajudar a criança? A formação do professor no Brasil e na Inglaterra é bem dife» rente, mas a situação do professor frente ao ensino da matemática para crianças e' semelhante. A matemática é uma ciência antiga, com uma tradição riquíssima, e é complicado escolher quais aspec- - imagine que você tem um chocolate para dividir por três pessoas e um chocolate igualzinho para dividir igualzinho por cinco pessoas. Em qual grupo cada pessoa vai ganhar mais Toda criança por fim responde: "Ahl Quando você divide um por cinco, cada um ganha um pedaço menor. " Se a professora fala desde o inicio sobre fração no contexto de divisão, a criança adquire uma visão diferente: a de que a fração representa uma relação entre duas quantidades, uma que é a parte e a outra que é
  32. 32. __. ___ unnnor¡soco10000000nonaruton-Io00000OhiltonolIobancoUnoItpoconotou¡ononoolnunoocccoontooono ononocouocccootu uocvouoocolnnooouonuccooionococ tos dela incluir no currículo pri» de frações - um conceito compli- so para os conceitos que a crian- mário. O que eu na realidade estu- cadíssimo! Muito mais complica- ça precisa formar na escola pri- do é a criança: como ela aprende do que o de número natural, o qual mária? É interessante, mas não matemática. Não é a mesma coisa ela ensina durante um ano inteiro. contribui para o que ela precisa que estudar a matemática. A im- Por isso, a escola deve escolher dominar e ainda por cima cai na pressão de que quanto mais mate» melhor o que entra ou não no cur» prova! [risos] mática souber, melhor a professora rículo, e direcionar melhor o tem- Atualmente, os especialistas é não tem o menor fundamento po investido em cada tópico. Acho na Inglaterra e em outros países, nas pesquisas que fazemos na In» que até hoje ensinam no Brasil os como a Hungria (que se sai mui- glaterra. Elas têm sim de ter certo algarismos romanos; qual é a uti- to bem nas avaliações interna- conhecimento, mas a quantidade lidade disso na vida? Ler relógio cionais), discutem se precisamos e o nível de formação em mate- , da estação de trem? Então muda mesmo ficar ensinando a fazer mática não prevê o sucesso. O que o relógio! Esse é um exemplo bem contas. E um legado do passado, , prevê, na verdade, é o número de banal, mas qual a importância dis» pois hoje todo mundo usa calcu- Í cursos que ela faz para entender E r~~r~w~r_ amv -r como as crianças aprendem. A professora deve ouvir a criança para saber qual o próximo passo. Felizmente, as professoras não precisam reinventar esse ca- minho, porque há muitas pesqui- sas sobre quais perguntas fazer para entender o raciocínio das i crianças. A formação da profes- e sora primária exige demais (e não ' ii-iímxiuiiquiiuuaiiaiiia» tem como ser diferente): ela tem de saber um pouco de matemática * e muito sobre criança, e ainda pre- cisa saber como essas duas coisas i combinam. Acho que as professoras têm a oportunidade de aprender isso, mas muitas sofrem a pressão da escola para cumprir o currículo. Às vezes ela tem três dias para ensinar a subtração com reser- va, então não pode optar por um método mais trabalhoso. Não sei como é agora, mas há um tempo a professora tinha entre cinco e dez aulas para ensinar o conceito
  33. 33. 5NTtFEV5T^ rxrx ladora. Não estou dizendo: vamos parar de ensinar continhas. Estou questionando: quanto tempo in- vestimos em ensinar continhas e quanto tempo investimos no raciocínio matemático? A gente tem de pesar essas coisas e ver o ' que contribui melhor para desen- volver as habilidades da criança. 0 que descobriu recentemente? Estou estudando a resolução de r problemas um pouco mais avan~ çados, que no Brasil chamamos de pré-álgebra. O que define a dificul- dade de um problema está muito relacionado ao que os números representam: uma quantidade ou ' ç uma relação entre quantidades. Quando digo: “Maria tem cinco bolinhas e ganhou mais três. Com quantas bolinhas ficou? " Estou falando de duas quanti~ dades: quantas tinha e quantas ga» _j posso resolver isso, porque não nhou. Esse problema é facílimo e l uma criança de cinco anos resolve. Mas quando digo: quantidades concretas. Atual- “Maria tem cinco bolinhas e ]oão tem três a mais que Maria. Quantas bolinhas João tem? " ções, o que é um grande passo é uma disciplina que envolve MLIitas crianças de 7 ou 8 anos não resolvem. A conta é a mesma: ._ " ' _' São elas que nos permitem che- as informações é diferente. “Maria . _ . ' tem cinco bolinhas" uma quantidade c “joão tem três _ a mais que Maria" representa uma Í 5 + 3. Mas a maneira de interpretar representa ' B e B é igual a C, as relações relação entre o número de bolinhas de cada um deles. Agora, quando a criança vê este problema: - para compreender a matemática “João é dois centímetros mais _ alto que Pedro e Pedro é três centí» metros mais alto que Paulo. Qual a diferença entre João e Paulo? " ' alguma coisa. "GALILEU DIZIA QUE O LIVRO DO UNIVERSO: ABERTO DIANTE nos Npssos, OLHOS, MAS, S0 PODEMOS ENTENDE-'LO-SE SOUBEBMOS, EINGUAGEM EM QUE FOI ESCRITO": A MATEMAT E UMA IIvIAeEIvI MUITO BONITA E DEMONSTRA AÍREAL. IMPORTANCIA DA MATEMATICA A DE ENTENDERE A o . REPRESENTAR O MUNDO" Elas dizem: “Professora, não I* sei a altura deles. " Estão acov . tumadas a pensar apenas com ' mente, investigo como a criança ' aprende a lidar com essas rela» _ ' no raciocínio. A matemática quantidades, mas, além de tudo _ e sobretudo, envolve relações. gar a deduções: se A é igual a ›_ _ entre A e B e B e C nos per» _ mitem concluir que A é igual a . C. Entender relações é crucial 'n' e muitas vezes a professora não ' tem consciência se um problema " é sobre quantidade ou sobre re- '5 lação. Sem entender a dificulda- «l 4.' de da criança fica difícil ensinar
  34. 34. Como faz para divulgar essas ideias? Há muitas boas ideias que de- í viam fazer parte da formação do professor, mas não fazem; muitas vezes só corremos atrás da forma- ção malfeita. Os futuros professo- res devem ter acesso às novas pes- quisas para se atualizar o tempo todo. Na Universidade de Oxford, não temos um curso para formar professores do primário, mas em outra universidade, a Oxford Brookes, tem. Os professores que l dão aulas lá sempre vêm às pales- tras que dou. Temos uma comu- nicação fácil e contínua entre o pesquisador e o formador de pro- É fessores, o que é importantíssimo. ' No Brasil, isso já melhorou mui- to em relação à época em que tra- balhava aí; é uma impressão que tenho continuamente. Respeito muito as professoras primárias bra- sileiras, pois são bastante dedicadas. Quando dou palestras no Brasil, elas sempre estão dispostas a assistir, seja no sábado ou no domingo, e a pagar do próprio bolso. Contudo, elas preci- sam de apoio para se atualizar; conhe- cer as pesquisas é uma grande chave para a boa formação do professor. Qual o pior erro na hora de ensinar matemática? É convencer a criança de que a matemática não é uma questão de raciocínio, que é uma questão de me- morizar e aplicar o que memorizou. É convence-la a, ainda que implícita- mente, deixar de raciocinar e “fazer como mandei". Quando a criança confia no próprio raciocínio, mesmo quando erra, analisa como pensou e vê o que poderia ter feito diferente. Em 2011, passei quatro meses em São Paulo e vi coisas fantásticas nas es- colas em que trabalhei. As crianças resolviam problemas que a professora não esperava, pois não tinha dado aulas sobre o assunto. Não é por- que não tiveram aula que não sa~ bem resolver. Elas sabem pensar e a professora pode explorar o raciocí» nio para chegar a conclusões muito interessantes. Qual o objetivo de estudar matemática? Galileu dizia que o grande livro do universo está aberto diante dos nossos olhos, mas só podemos en- tendê-lo se soubermos a linguagem em que foi escrito: a matemática. É uma imagem muito bonita e de- monstra a real importância da ma» temática para os não matemáticos (que somos a maioria), isto é, usa-la para tentar entender e representar o mundo - assim como a língua natural, porém numa abordagem mais científica. Se a escola olhar a matemática com esse objetivo de entender o mundo, teremos uma vi- são diferente de como ensina-la.
  35. 35. I E E IT" IE “TÍTETF C3 lVl I= ©F4TA IVI Ef-TS Lógica › Teoria dos conjuntos › Artes e ofícios
  36. 36. ljllÍÍllRlFEllWPlWlTTÍl”*i'll Francisco Bicudo e Renato Mendes . e. : Em Há quem consiga ensinar matemática recorrendo à literatura, à música, à culinária ou a qualquer outra paixão. (De outro ponto de vista: é possível lançar mão de qualquer paixão para estudar matemática melhor. ) Professores dizem que, graças aos próprios hobbies, conseguem deixar as aulas mais agradáveis j l 'r- que estudar outro assunto, além da matemática, deixa a vida e a matemática mais interessantes e agradáveis. Um pro- fessor que se apaixone por um hobby tal- N/ üatemáticos famosos já disseram vez consiga usar em sala de aula alguma ideia da filosofia, da literatura, da histó- ria, das artes plásticas, da música, da culi- nária, do enxadrismo. .. Pode bolar uma brincadeira, criar um jogo, selecionar um trecho de texto para que os alunos o ence- nem - tudo para fazer com que os alunos pensem sobre matemática mais e melhor. Cientistas americanos recentemen- te mostraram que, de fato, é mais fácil aprender uma nova habilidade quando o aprendizado o ajuda a correlacioná-la com outra - como aprender a tocar uma nova melodia ao piano. (Sobre isso, veja i1 edição 45, página 13.) Caso o aluno caia de amores por história, daí é um passo para fazê-lo gostar de história da matemática. É exatamente o que disse o dramaturgo inglês William Shakespeare (1564-1616): "O que não dá prazer, não dá proveito. ” Grandes universidades, como a Universi- dade de São Paulo, oferecem cursos e ofi- cinas para ajudar o professor a misturar assuntos como literatura e matemática. Há professores que têm a sorte de viver de matemática e de seu hobby ao mesmo tempo. Um deles é Rafael Montoi- to, professor de matemática no Instituto Federal Sul-rio-grandense, em Pelotas (RS), que conseguiu unir as aulas de ma- temática com um antigo amor: a litera- tura. "Eu tenho uma história de leituras; meus pais sempre me incentivaram mui- to. Quando era criança, passava as férias praticamente lendo. " Na época de esco- lher a faculdade, Rafael ficou em dúvida entre jornalismo e matemática, mas optou pela licenciatura em matemática. "Várias pessoas da minha familia já dão aulas, mas o que me fez decidir foi a paixão por geometria", diz Rafael. "Geometria é o que mais me encanta na matemática. Ao mesmo tempo, não parei de ler Monteiro Lobato, Érico Verissimo, Ziraldo, entre tantos outros. "

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