Función lineal, sistema de ecuaciones

1. Función lineal
Sistema de ecuaciones
Prof. Viviana LLoret
1

2. Función lineal3
La función lineal es una función polinómica de grado uno.
Su forma general es f(x): R R / f(x) = m. x + b
Su representación gráfica es una recta.
m se llama Pendiente, es la inclinación de la recta con respecto al eje de
abscisas.
b se llama Ordenada al origen, y es el valor que toma la función en el origen
de coordenadas, es decir para x=0.

3. Función creciente y decreciente
Si m<0 la función es
decreciente, la recta forma
un ángulo obtuso con el eje
de abscisas.
4
Si m>0 la función es creciente, la
recta forma un ángulo agudo con el
eje de abscisas.

4. Casos particulares5

5. Cómo graficar?6
Representar:
f(x) = 4 x -2

6. Cómo graficar?7
Graficaremos y= 3 x + 1
1. Marcamos la Ordenada al origen, en este caso b=1
2. Avanzamos una unidad hacia la derecha
3. Subimos (si m es positiva) o bajamos (si m es negativa), en este caso
subimos 3 unidades
4. Marcamos el punto Q, luego unimos B y Q

7. Cálculo de la raíz8
Sabemos que llamamos raíz o raíces de una función al punto en donde su
gráfica corta al eje x, veamos entonces cómo calculamos la misma:
Consideremos, por ejemplo, la función lineal:
f(x)= 4 x – 2
Igualamos y a 0
0 = 4 x – 2
Pasamos 2 sumando al primer miembro
2 = 4 x
Pasamos 4 dividiendo al primer miembro
2/4 = x
Luego la raíz de la función f(x) = 4 x – 2 es:
X= ½ -Punto verde en la gráfica-

8. Fórmula pendiente9
Aprenderemos, ahora, a encontrar el valor de la pendiente conociendo dos
puntos que pertenecen a su gráfica.
Si la gráfica de la función pasa por los puntos P=(x1,y1) y Q=(x2,y2) empleamos
la siguiente fórmula para hallar el valor de la pendiente:
m=
𝒚 𝟐
−𝒚 𝟏
𝒙 𝟐
−𝒙 𝟏
En el ejemplo,
P=(1,1) y Q=(2,3),
Luego la pendiente
es igual a 2.

9. Rectas paralelas
10
Si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales, es
decir:
Considerando R1  y=m1 x + b1
R2  y=m2 x + b2
Si R1 // R2  m1 = m2

10. Rectas perpendiculares11
Si dos rectas son perpendiculares entonces sus pendientes son
opuestas e inversas, es decir:
Considerando R1  y=m1 x + b1
R2  y=m2 x + b2 Si R1  R2  m1 = -1/m2

11. Ejercicios resueltos
12
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q, siendo:
P=(1;1) y Q=(5;6)
Recordemos la fórmula de la función lineal
y= m.x + b
 Por medio de la fórmula m=
𝒚 𝟐
−𝒚 𝟏
𝒙 𝟐
−𝒙 𝟏
calculamos su pendiente, luego
m=
6−1
5−1
=
5
4
 m=
𝟓
𝟒
 Luego consideramos las coordenadas de cualquiera de los dos puntos, por
ejemplo, el punto Q, reemplazamos a x por 5 y a y por 6 en la fórmula
6 =
𝟓
𝟒
. 5 +b Despejamos b
6 =
25
4
+b
6 -
25
4
= b  b=-
𝟏
𝟒
luego la ecuación es y=
𝟓
𝟒
x -
𝟏
𝟒

12. Ejercicios resueltos13
Encuentra la fórmula de la función lineal sabiendo que su pendiente es
igual a -3 y su raíz es x= 4.
Recordemos la fórmula de la función lineal
y= mx + b
 Como la pendiente es -3 reemplazamos m por -3
y= -3 x + b
 Ahora solo nos resta calcular b, para ello utilizamos el otro dato, si su raíz
es 4 significa que la gráfica de la función pasa por el punto (4,0), luego
reemplazamos x por 4 e y por 0 y despejamos b.
0= -3. 4 + b
0= -12 + b
12 = b
Luego la fórmula pedida es:
y= 3 x + 12

13. Ejercicios resueltos14
Encuentra la fórmula de la función lineal sabiendo que tiene
ordenada al origen -8 y pasa por (1;4).
Recordemos la fórmula de la función lineal
y= mx + b
 Como la ordenada al origen es -8 reemplazamos b por -8
y= m x - 8
 Ahora solo nos resta calcular m, para ello utilizamos el otro
dato, si pasa por el punto (1,4), reemplazamos x por 1 e y por 4
y despejamos m.
4= m 1 -8
4 + 8 = m
m = 12
Luego la fórmula pedida es:
y= 12 x - 8

14. Ejercicios resueltos15
Hallar la ecuación de la recta paralela a y= 3 x + 5 que pasa por el punto
(1,3)
Recordemos la fórmula de la función lineal
y= mx + b
 Como es paralela a y= 3 x + 5 tiene la misma pendiente, es decir m= 3.
y= 3 x + b
 Ahora solo nos resta calcular b, para ello utilizamos el otro dato, si pasa
por el punto (1,3), reemplazamos x por 1 e y por 3 y despejamos b.
3 = 3. 1 + b
3- 3 = b
b = 0
Luego la fórmula pedida es:
y= 3 x

15. Ejercicios resueltos16
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a y= 1/ 3 x + 5 que pasa por el
punto (1,3)
Recordemos la fórmula de la función lineal
y= mx + b
 Como es perpendicular a y= 1/3 x + 5 tiene la pendiente opuesta e
inversa, es decir m= -3.
y= -3 x + b
 Ahora solo nos resta calcular b, para ello utilizamos el otro dato, si pasa
por el punto (1,3), reemplazamos x por 1 e y por 3 y despejamos b.
3 = -3. 1 + b
3+ 3 = b
b = 6
Luego la fórmula pedida es:
y= -3 x + 6

16. Sistema de ecuaciones lineales
con dos incógnitas17

17. 18
Hallaremos, en primer lugar, el punto donde se cortan
las rectas
y= 2 x + 3
y= x +4
Como x=1 e y=5
verifican las dos
ecuaciones a la vez
decimos que las
mismas forman un
sistema.
El punto (1,5) es la
solución del
sistema
𝑦 = 2 𝑥 + 3
𝑦 = 𝑥 + 4

18. Método de sustitución
19
𝒚 + 𝟐 𝒙 = 𝟕
𝟐 𝒚 + 𝒙 = 𝟓
1
2
Este método consiste en:
1- Despejo alguna de las dos variables en una de
las ecuaciones
En despejo y:
y= 7-2x
2- Reemplazo en la ecuación la variable que
despejamos (en este caso y) por la expresión
obtenida (7- 2x)
2 (7- 2x) + x = 5
Aplicamos Propiedad distributiva:
14 – 4 x + x = 5
14 -5 = 4x – x
9 = 3x
x= 9: 3
x=3
Luego y = 7 – 2. 3
y= 1
1
2
S= (3;1)

19. Método de igualación
20
𝒚 + 𝟐 𝒙 = 𝟕
𝒙 − 𝒚 = 𝟐
1
2
Este método consiste en:
1- Despejo la misma variable en las dos
ecuaciones
En despejo y:
y= 7-2x
En despejo y:
x - 2 = y
Como y = y
7- 2x = x - 2
Despejo x:
7 + 2 = x + 2 x
9 = 3 x
x=3
Luego y = 7 – 2. 3
y= 1
1
2
S= (3;1)