Exponential and logarithm function

1
เลขยกกําลังสมบัติของเลขยกกําลังสมบัติของรากที่nฟงกชันเอกโปรเนนเชียล
•นิยาม
•กราฟของฟงกชัน
การแกสมการและ
อสมการของฟงกชัน
เอกโปรเนนเชียล
การหาคาของ√m+√n
ฟงกชันลอการิทึม
•นิยาม
•กราฟของฟงกชัน
ลอการิทึมสามัญและ
ลอการิทึมธรรมชาติ
แอนตีลอการิทึมการแกสมการและ
อสมการของฟงกชัน
ลอการิทึม
โจทยปญหา

2
ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
1.เลขยกกําลัง
ถา a เปนจํานวนจริงใดๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก
...n
a a a a a= × × × ×
ตัวอยาง เชน
6
2 2 2 2 2 2 2 64= × × × × × =
4
3 3 3 3 3 81= × × × =
n ตัว
เลขยกกําลัง
n
a
เรียกวา เลขชี้กําลัง
เรียกวา เลขฐาน
6 ตัว
4 ตัว

3
2.สมบัติของเลขยกกําลัง
ถา ,a b R∈ และ 0, 0m n> >
1)
( )m n m n
a a a +
⋅ = เมื่อ , 0a m ≠ พรอมกัน และ , 0a n ≠ พรอมกัน
2)
( )
( )m n mn
a a= เมื่อ , 0a m ≠ พรอมกัน
3) ( )n n n
ab a b= เมื่อ , 0a n ≠ พรอมกัน และ , 0b n ≠ พรอมกัน
4) ( )
n
n
n
a a
b b
= เมื่อ , 0a n ≠ พรอมกัน และ 0b ≠
5)
0
1a = เมื่อ 0a ≠
6)
1n
n
a
a
−
= เมื่อ 0a ≠
7)
( )
m
m n
n
a
a
a
−
= เมื่อ 0a ≠
8) ( )
11
mm
mn nna a a
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ , 0a m ≠ พรอมกัน
1. จงหาคาของ
( 2)
( 1)
5 3 9 3
3 3
n n
n n
−
−
⋅ − ⋅
−
วิธีทํา

4
( 2) 2 ( 2)
( 1)
5 3 9 3 5 3 3 3
33 3
3
3
n n n n
nn n
n
− −
−
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
=
−
−
[2 ( 2)]
5 3 3
1
3 [1 ]
3
5 3 3
2
3 [ ]
3
3 [5 1]
2
3 [ ]
3
4
2
3
6
n n
n
n n
n
n
n
+ −
⋅ −
=
−
⋅ −
=
−
=
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 1
( ) ( )
1 1
( ) ( )
m n
m n
x x
y y
y y
x x
+ −
+ −
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
m n m n
m n m n
xy xy
x x
y y y y
xy xy
y y
x x x x
+ −
+ −
=
+ −
+ −
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
m n
m n
m n
m n
xy xy
y y
xy xy
x x
+ −
=
+ −

5
( )
( )
( )
m n
m n
m n
m n
m n
x x
y y
x
y
x
y
+
+
+
=
=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3. ถา
( )
3 81x y+
= และ
( )
2
25 5
x
= จงหาคา y
3.รากที่ n
ให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 และ ,x a R∈
x จะเปนรากที่ n ของ a ก็ตอเมื่อ
n
x a=
ขอสังเกต
1) เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 และเปนจํานวนคู
รากที่ n ของ a
( )
( ) 4
3 81
3 3
4
1 4
3
x y
x y
x y
y
y
+
+
=
=
∴ + =
+ =
∴ =
( )
2
2 2
(2 )
2
25 5
(5 ) 5
5 5
5 5
1
x
x
x
x
x
⋅
=
=
=
=
∴ =
(+) เขียนแทนดวย
n
a
(-) เขียนแทนดวย
n
a−

6
2) เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 และเปนจํานวนคี่
1. จงหารากที่ 2 ของ 9
∴ รากที่ 2 ของ 9 คือ 3 และ -3
2. จงหารากที่ 3 ของ 8
∴ รากที่ 3 ของ 8 คือ 2
รากที่ n ของ a มีจํานวนเดียว เขียนแทนดวย
n
a
รากที่ 2 ของ 9 จํานวนใดยกกําลัง 2 แลวเทากับ 9
2
9x =
2
3 9=
2
( 3) 9− =
รากที่ 3 ของ 8 จํานวนใดยกกําลัง 3 แลวเทากับ 8
3
8x =
3
2 8=

7
3. จงหารากที่ 3 ของ -8
∴ รากที่ 3 ของ -8 คือ -2
สมบัติของรากที่ n
กําหนดให a และ b มีรากที่ n และ ,a b R∈
1)
n n n
a b ab⋅ =
2)
n
n
n
a a
bb
= เมื่อ 0b ≠
3)
m
n mn
a a= เมื่อ , 0a m ≠ พรอมกัน
3
3
1
6 4
2
+
3
3 3
3 3 3
1 1 4
6 4 6 4
2 2 4
×
+ = +
×
3
3
3
4
6 4
2 4
= +
×
รากที่ 3 ของ -8 จํานวนใดยกกําลัง 3 แลวเทากับ -8
3
8x = −
3
( 2) 8− = −

8
3
3
3
3
3
3
3
4
6 4
8
4
6 4
2
1
4(6 )
2
13
4
2
= +
= +
= +
=
3
4
81
3
344
81 81=
4
4 4 4
81 81 81
81 81 81
3 3 3
27
= × ×
= × ×
= × ×
=
1 1 1
3 3 6
6(5) 4(40) 10(25)− +
1 1 1 1 1 1 2
3 3 6 3 3 3 6
6(5) 4(40) 10(25) 6(5) 4(8) (5) 10(5)− + = − +
1 1 1
3 3 3
1 1 1
3 3 3
1
3
6(5) 4(2)(5) 10(5)
6(5) 8(5) 10(5)
8(5)
= − +
= − +
=

9
4.การหาคา m n+
พิจารณา 2 2 2
( ) ( ) 2( )( ) ( )a b a a b b+ = + +
2
( ) 2
a ab b
a b ab
= + +
= + +
2
( ) 2 ( )a b ab a b a b∴ + + = + = +
ดังนั้นในการหาคา m n+
……………….พยายามจัดรูป m n+ ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ + ใหได
1. จงหาคา 5 24+
1) จัดรูป 5 24+ ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ +
5 24 5 2 6+ = +
(3 2) 2 (3)(2)= + +
2) 5 24 (3 2) 2 (3)(2)+ = + +
2
( 3 2)
3 2
= +
= +
2. จงหาคา 5 24−
1) จัดรูป 5 24− ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ −
5 24 5 2 6− = −
(3 2) 2 (3)(2)= + −
2) 5 24 (3 2) 2 (3)(2)− = + −
2
( 3 2)
3 2
= −
= −

10
3. ถา 1.36 1.64x< < แลว 2 1 2 1x x x x+ − + − − มีคาเทากับเทาใด
1) ตรวจสอบ ที่ 1.36 1.64x< < 2 1 0, 2 1 0x x x x+ − > − − >
2)
2 1 2 1 [1 ( 1)] 2 (1)( 1) [1 ( 1)] 2 (1)( 1)x x x x x x x x+ − + − − = + − + − + + − − −
2 2
( 1 1) ( 1 1)
1 1 1 1
2
x x
x x
= + − + − −
= + − + − −
=
4. คาของ 8 28+ และ 6 20− มีผลตางเทากับเทาใด
1) หาคา 8 28+
8 28 8 2 7+ = +
2
(7 1) 2 (1)(7)
( 7 1)
7 1
= + +
= +
= +
2) หาคา 6 20−
6 20 6 2 5− = −
2
(1 5) 2 (1)(5)
( 5 1)
5 1
= + −
= −
= −
3) 8 28 6 20 ( 7 1) ( 5 1)+ − − = + − −
7 5 2= − +

11
5.ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
ถา f เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยที่
{( , ) | x
f x y R R y a= ∈ × = เมื่อ 0a > และ 1}a ≠ เรียก f วา “ฟงกชันเอ็กซโปเนน
เชียล” และเรียก a วา ฐาน
กราฟของฟงกชันเอกโปเนนเชียล แบงเปน 2 กรณี คือ
1) กรณีที่ 0 1a< <
โดเมน(D) R=
เรนจ(R) { | 0}y R y= ∈ >
2) กรณีที่ 1a >
โดเมน(D) R=
เรนจ(R) { | 0}y R y= ∈ >
1. จงเขียนกราฟของ {( , ) | 2 4}x
f x y R R y= ∈ × = +
1) จากสมการ 2 4x
y = + จัดรูปใหม
•
(0,1),0 1x
y a x= < <
กราฟมีลักษณะเปนฟงกชันลด
•(0,1)
, 1x
y a x= >
กราฟมีลักษณะเปนฟงกชันเพิ่ม

12
2 4
( 4) 2
x
x
y
y
= +
∴ − =
จากกราฟ { | }fD x x R= ∈
{ | 4}fR y R y= ∈ >
2. จงเขียนกราฟของ
( 1)
{( , ) | 3 1}x
f x y R R y −
= ∈ × = −
1) จากสมการ
( 1)
3 1x
y −
= − จัดรูปใหม
( 1)
( 1)
3 1
( 1) 3
x
x
y
y
−
−
= −
∴ + =
พิจารณากราฟ 2x
y = และเลื่อนกราฟขึ้นบน 4 หนวย
4
•
(0,5)
พิจารณากราฟ 3x
y = และเลื่อนกราฟขึ้นลงลาง 1 หนวย
และเลื่อนกราฟมาทางขวา 1 หนวย
2 4x
y = +

13
จากกราฟ { | }fD x x R= ∈
{ | 1}fR y R y= ∈ > −
3. จงหาเซตคําตอบของอสมการ
1
( ) 9
3
x
<
1) วาดกราฟของ
1
( )
3
x
y =
2) พิจารณาที่…………
1
( ) 9
3
x
=
2
(3) 3
2
x
x
−
=
∴ = −
จากกราฟ ที่
1
2 ( ) 9
3
x
x > − ⇒ <
1−
1
(1,0)
•
( 1)
3 1x
y −
= −
•
(0,1)
2x = −
9 1
( )
3
x
y =

14
4. จงวาดกราฟของ {( , ) | 2 }
x
f x y R R y= ∈ × =
5. จงวาดกราฟของ {( , ) | 2 }x
f x y R R y= ∈ × =
2
x
y =
2 , 0x
y x= ≥
1
2 ( ) , 0
2
x x
y x−
= = <
2 , 0x
y x= ≥1
( ) , 0
2
x
y x= <
•
(0,1)
2 , 0x
y y= ≥
2x
y =
2
2 , 0
x
x
y
y y
− =
= − <
•
(0,1)
•
(0, 1)−
2 , 0x
y y= ≥
2 , 0x
y y= − <

15
6.การแกสมการและอสมการของฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
ขออธิบายตามตัวอยางแลวแตกรณีดังนี้
1. จงหาเซตคําตอบของสมการ
(2 1)
3 28(3) 9 0x x+
− + =
(2 1)
2
2
3 28(3) 9 0
3 3 28(3) 9 0
3 (3 ) 28(3 ) 9 0
x x
x x
x x
+
− + =
⋅ − + =
⋅ − + =
ให 3x
A =
2
3 28 9 0
(3 1)( 9) 0
1
,9
3
A A
A A
A
− + =
− − =
=
∴เซตคําตอบคือ { 1,2}−
2. ถา
2
4(2 ) 3(2 ) 1 0x x
+ − = แลว 25x
มีคาเทาใด
2
4(2 ) 3(2 ) 1 0x x
+ − =
ให 2x
A =
2
4 3 1 0
(4 1)( 1) 0
1
, 1
4
A A
A A
A
+ − =
− + =
= −
1
1
3
3
3 3
1
x
x
x
−
=
=
∴ = −
2
3 9
3 3
2
x
x
x
=
=
∴ =

16
∴เซตคําตอบคือ { 2}−
ถา
2
2
1 1
2 25 25
25 625
x
x −
= − ⇒ = = =
3. จงหาคา x จากสมการ
3 2 1
25 9
3 25
x
x− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2 1
2
13 2 2 2
2
3 2 2(1 )
2
3 2 2(1 )
2
3 2 2
5 9
3 25
5 3
3 5
5 3
3 5
5 5
3 3
5 5
3 3
3 2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
− −
−−
− −
− − −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∴ − = −
3
2 0
0
x x
x
x
=
=
=
2
1
2
4
2 2
2
x
x
x
−
=
=
∴ = −
2 1x
= −
เนื่องจาก 2x
เปน (+) เสมอ
x∈∅

17
4. ถา
1 2 1
5 5 3775 5x x x+ + −
+ = − แลว x เทากับเทาใด
1 2 1
1 2 1
2
3
5 5 3775 5
5 5 5 3775
1
5 5 5 5 5 3775
5
1
5 [5 25 ] 3775
5
151
5 [ ] 3775
5
5
5 3775[ ]
151
5 125
5 5
3
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x
x
x
+ + −
+ + −
+ = −
+ + =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
+ + =
=
=
=
=
∴ =
5. จงหาผลบวกของคําตอบของสมการ 12 2(3 ) 9(4 ) 18 0x x x
− − + =
12 2(3 ) 9(4 ) 18 0
(3 )(4 ) 2(3 ) 9(4 ) 18 0
x x x
x x x x
− − + =
− − + =
ให 3x
A = และ 4x
B =
2 9 18 0
( 2 ) (9 18) 0
( 2) 9( 2) 0
( 2)( 9) 0
9
AB A B
AB A B
A B B
B A
A
− − + =
− − − =
− − − =
− − =
∴ = หรือ 2B =
2
3 9
3 3
2
x
x
x
=
=
∴ =
2 1
4 2
2 2
2 1
1
2
x
x
x
x
=
=
=
∴ =

18
เซตคําตอบ คือ
1
{2, }
2
∴ผลบวกของคําตอบของสมการ คือ
1
2 2.5
2
+ =
2
2
( )
( 3) 3
2 8
x
x x
−
−
<
2
2
2
( )
( 3) 3
2
3( )
( 3) 3
2
3 2
3 2
2
2
2 8
2 2
2
( 3) 3( )
3
3 2 3
3 3 2 0
( 2)( 1) 0
1 3
( 2)[( ) ] 0
2 4
( 2) 0
2
x
x x
x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
−
−
−
−
<
<
− < −
− < −
− + − <
− − + <
− − + <
− <
∴ <
∴เซตคําตอบ คือ ( ,2)−∞
7.ฟงกชันลอการิทึม
ฟงกชันลอการิทึม เปนฟงกชันผกผันของฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
{( , ) | x
f x y R R y a= ∈ × = เมื่อ 0a > และ 1}a ≠
ฟงกชันผกผันของเอกซโปเนนเชียล
1
{( , ) | y
f x y R R x a−
= ∈ × = เมื่อ 0a > และ 1}a ≠
ฟงกชันลอการิทึม
{( , ) | logag x y R R y x= ∈ × = เมื่อ 0a > และ 1}a ≠

19
เรียกฟงกชัน g วา เปน ฟงกชันลอการิทึม และ เรียก a วาเปน “ฐานของลอการิทึม”
พิจารณากราฟของฟงกชันลอการิทึม แบงเปนกรณีดังนี้
1) กรณี 1a >
โดเมน(D) { | 0}x x= >
เรนจ(R) R= และกราฟเปนฟงกชันเพิ่ม
2) กรณี 0 1a< <
โดเมน(D) { | 0}x x= >
เรนจ(R) R= และกราฟเปนฟงกชันลด
•
(1,0)
log , 1ay x a= >
•
(1,0)
log ,0 1ay x a= < <

20
ตัวอยางการวาดกราฟฟงกชันลอการิทึมแบบอื่นๆ มีดังนี้
1. จงเขียนกราฟของ 21 log ( 1)y x− = +
2. จงเขียนกราฟของ 1
2
1 log ( 1)y x− = +
เขียนกราฟ 2logy x= ใหได
ทําการเลื่อนแกน x,แกน y ไปทาซาย 1 หนวยและขึ้นบน 1 หนวย
กราฟของ 21 log ( 1)y x− = + ใหได
•
(0,1)
21 log ( 1)y x− = +
1
1−

21
3. จงเขียนกราฟ 3logy x=
เขียนกราฟ 1
2
logy x= ใหได
ทําการเลื่อนแกน x,แกน y ไปทาซาย 1 หนวยและขึ้นบน 1 หนวย
กราฟของ 1
2
1 log ( 1)y x− = + ใหได
•
(0,1)
1
2
1 log ( 1)y x− = +
1
1−
3logy x=
3log , 0y x x= ≥
3log ( ), 0y x x= − <

22
กราฟสมมาตรตามแกน y
4. จงเขียนกราฟ 3logy x=
กราฟสมมาตรตามแกน x
•
(0,1)
•
(0, 1)−
3log , 0y x x= ≥
3log ( ), 0y x x= − <
3logy x=
3log , 0y x y= ≥
3log , 0y x y− = <
• (0,1)
3log , 0y x y= ≥
3log , 0y x y− = <

23
สมบัติที่สําคัญของลอการิทึม
กําหนดให 0, 0, 0, 0,x y a b n R> > > > ∈ และ 1, 1a b≠ ≠
1) log 1a a =
2) log 1 0a =
3) log ( ) log loga a axy x y= +
4) log ( ) log loga a a
x
x y
y
= −
5) log ( ) (log )n
a ax n x=
6)
log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
7)
loga x
a x=
1. จงหาคาของ 3 3
log 10
3
3
33 3
log 10
log 10 log 3 3
3 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
3
3
2
3
3
log 10
log 3
log 10
3
2
3
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
=

24
3
3
2
log 10
3
2
log 10 3
2
3
3
3
(3 )
10
100
=
=
=
=
2. กําหนดให log2 0.3010= คาของ 4
4 2log 0.25 log 2 log0.16+ − มีคา
ตรงกับขอใด
4
4 2
1
4
4 2
log 0.25 log 2 log0.16
1 16
log log 2 log
4 100
+ −
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( ) ( )1
4 2
4 2
4 2
1
log 4 log 2 log16 log100
4
1
( 1)(log 4) (log 2) log16 log100
4
1
( 1) ( ) log(2 ) log(10 )
4
1
( 1) ( ) 4log2 2
4
1
( 1) ( ) 2 4log2
4
5
4(0.3010)
4
1.25 1.204
0.046
−
= + − −
= − + − +
= − + − +
= − + − +
= − + + −
= −
= −
=

25
3
2
1
( log 121)
3
8
+
3
32
2
1 1
( log 121)
log 1213 3
8 8 8
+
= ⋅
3
2
1
3
2
2
2
log 12133
3(log 121 )
1
3( log 121)
3
(log 121)
8 (2 )
2 2
2 2
2 2
2 121
242
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
4. จงหาคาของ 2 4 2log (log (log 16))
วิธีทํา ทําจากขางในออกไปขางนอก ดังนี้
4
2 4 2 2 4 2log (log (log 16)) log (log (log 2 ))=
2 4 2
2 4
2
log (log (4log 2))
log (log 4)
log 1
0
=
=
=
=
5. จงหาคาของ 1 1 2 8
2 8
1 1
log 8 log 2 log ( ) log ( )
8 2
+ + +
วิธีทํา ทําใหเปน log ฐาน 2 ทั้งหมด ดังนี้
1 1 2 8
2 8
1 1
log 8 log 2 log ( ) log ( )
8 2
+ + +
2
2 2
2
2
2 2
1
log ( )
log 8 log 2 1 2log ( )
1 1 8 log 8log ( ) log ( )
2 8
3 1 ( 1)
( 3)
( 1) ( 3) 3
= + + +
−
= + + − +
− −

26
1 1
3 3
3 3
20
3
= − − − −
= −
8.ลอการิทึมสามัญและลอการิทึมธรรมชาติ
ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเปน 10 เชน 10log x จะเขียนเปน log x
ลอการิทึมธรรมชาติ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเปน e (e เปนจํานวนอตรรกยะที่มีคาประมาณ
2.78182818) เชน loge x จะเขียนเปน ln x
1. จงหาคา log20
log20 log(2 10)= ×
log2 log10= +
(0.301) 1= +
1.301=
2. จงหาคา log0.02
วิธีทํา เขียน log0.02 ใหอยูในรูป log( 10 )n
a× เมื่อ 0 10a≤ ≤ และ n I∈ ดังนี้
2
log0.02 log(2 10 )−
= ×
เปดตารางlog a เมื่อ 0 10a≤ ≤
เราเรียกสวนนี้วา “คาแรกเตอริสติก”ของlog 20
เราเรียกสวนนี้วา “แมนทิสสา”ของlog 20

27
2
log2 log(10 )
log2 ( 2)
−
= +
= + −
(0.301) 2
1.699
= −
=
3. จงหาคา (2 )
ln e
e +
วิธีทํา ใชคุณสมบัติของ log ดังนี้
(2 )
ln (2 )(ln )e
e e e+
= +
(2 )(1)
2
e
e
= +
= +
9.แอนตี้ลอการิทึม
แอนตี้ลอการิทึมของ a เขียนแทนดวย loganti a มีความหมายคือ
log 10a
anti a =
1. จงหา log(log2)anti
log2
log(log2) 10anti =
2=
2. จงหา log[(log75 log5) log2]anti − +
75 2
log[(log75 log5) log2] log[log ]
5
anti anti
×
− + =
เราเรียกสวนนี้วา “คาแรกเตอริสติก”ของlog0.02
เราเรียกสวนนี้วา “แมนทิสสา”ของlog0.02

28
log30
log[log30]
10
30
anti=
=
=
10.การแกสมการและอสมการในรูปของลอการิทึม
มีรายละเอียดตามแตละตัวอยางตอไปนี้
1. จงหาเซตคําตอบของ
2 2 2
log(4 16) log( 4) logx x x− − − =
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
log(4 16) log( 4) log
4 16
log( ) log( )
4
4 16
4
4( 4)
4
4
4 0
( 2)( 2) 0
2, 2
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
− − − =
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
− =
− + =
= −
เมื่อตรวจสอบคําตอบแลวพบวาทั้ง x=2 และ x=-2 ทําใหเกิดคา log0 ซึ่งหาคาไมได
2x∴ = ± จึงไมใชคําตอบของสมการ ⇒เซตคําตอบ = ∅
2. จงหาเซตคําตอบของ
2 2
3 log (log )x x+ =
2 2
2
3 log (log )
3 2(log ) (log )
x x
x x
+ =
+ =
ให logA x=
นําคําตอบไปตรวจสอบคําตอบจากโจทย

29
2
2
3 2
2 3 0
( 3)( 1) 0
1,3
A A
A A
A A
A
+ =
− − =
− + =
= −
∴ เซตคําตอบ
1
{ ,1000}
10
=
3. จงหาเซตคําตอบของสมการ 2log 4log 2 5xx + =
วิธีทํา เปลี่ยน log 2x ใหเปน 2log x ดังนี้
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
log 4log 2 5
log 2
log 4 5
log
4
log 5
log
(log ) 4
5
log
(log ) 4 5(log )
xx
x
x
x
x
x
x
x x
+ =
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
=
+ =
ให 2logA x=
1
log 1
10
1
10
x
x
x
−
= −
=
∴ =
3
log 3
10
1000
x
x
x
=
=
∴ =
เมื่อตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ได

30
2
2
4 5
5 4 0
( 4)( 1) 0
4,1
A A
A A
A A
A
+ =
− + =
− − =
=
∴ เซตคําตอบ {16,2}=
4. จงหาเซตคําตอบจากสมการ log( 1) log( 1) log3x x− + + =
วิธีทํา ใชคุณสมบัติของ log ดังนี้ คือ
2
2
2
log( 1) log( 1) log3
log[( 1)( 1)] log3
log[ 1] log3
1 3
4 0
( 2)( 2) 0
2, 2
x x
x x
x
x
x
x x
x
− + + =
− + =
− =
− =
− =
− + =
∴ = −
∴ เซตคําตอบ {2}=
2
4
log 4
2
16
x
x
x
=
=
∴ =
2
1
log 1
2
2
x
x
x
=
=
∴ =
เมื่อตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ไมได

31
5. ถา 5log log 2x x= จงหาคา x
5
5
5 5
5
5
5 5
5 5
5
5 5
5
5
5 5
5
5 5
5
5
5 5
5
5
5
5 5
log log 2
log
log 2 log
log 10
log
log 2 log
[log 2 log 5]
log
log 2 log
log 2 1
log
log log 2
log 2 1
1
log [ 1] log 2
log 2 1
( log 2)
log [ ] log 2
log 2 1
( 1)
log [ ] 1
log 2 1
log (log 2 1)
l
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
= +
= +
+
= +
+
− =
+
− =
+
−
=
+
−
=
+
= − +
5 5
1
5 5
5 5
og log 10
log log (10 )
1
log log
10
1
10
x
x
x
x
−
= −
=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ =
∴
1
10
x =

32
6. ถา
2
log( 1) 2log 1x x+ − = แลวจงหาคา x
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
log( 1) log( ) 1
1
log[ ] 1
1
10
1 10
1 9
1
9
1 1
,
3 3
x x
x
x
x
x
x x
x
x
x
+ − =
+
=
+
=
+ =
=
=
∴ = −
∴
1
3
x =
7. จงหาเซตคําตอบของอสมการ ( )2
(4 2) log(1 ) 0x
x− − >
1) กรณีที่ 1 (4 2) 0x
− > และ
2
log(1 ) 0x− >
∴ x∈∅
เมื่อตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ไมได
2 1
4 2 0
4 2
2 2
2 1
1
2
x
x
x
x
x
− >
>
>
>
>
2
2 0
2
2
log(1 ) 0
(1 ) 10
(1 ) 1
0
x
x
x
x
x
− >
− >
− >
<
∴ ∈∅

33
2) กรณีที่ 2 (4 2) 0x
− < และ
2
log(1 ) 0x− <
∴
1
( 1,0) (0, )
2
x∈ − ∪
2
40 log ( 5) 1x< − <
2
4
0 2 1
2
2
0 log ( 5) 1
4 5 4
1 5 4
6 9
( 6,3) ( 3, 6)
x
x
x
x
x
< − <
< − <
< − <
< <
∴ ∈ ∪ − −
2 2
log (2 1) log ( 1)x xx x x+ − < +
วิธีทํา แบงเปนกรณีดังนี้
1) กรณีที่ 1 0 1x< <
2 2
2 2
2
log (2 1) log ( 1)
(2 1) ( 1)
2 0
( 2)( 1) 0
( , 2) (1, )
x xx x x
x x x
x x
x x
x
+ − < +
+ − > +
+ − >
+ − >
∴ ∈ −∞ − ∪ ∞
x∈∅
2 1
4 2 0
4 2
2 2
2 1
1
2
x
x
x
x
x
− <
<
<
<
∴ <
2
2 0
2
2
log(1 ) 0
0 (1 ) 10
0 (1 ) 1
0 1
( 1,0) (0,1)
x
x
x
x
x
− <
< − <
< − <
< <
∴ ∈ − ∪

34
2) กรณีที่ 2 1x >
2 2
2 2
2
log (2 1) log ( 1)
(2 1) ( 1)
2 0
( 2)( 1) 0
( 2,1)
x xx x x
x x x
x x
x x
x
+ − < +
+ − < +
+ − <
+ − <
∴ ∈ −
x∈∅
จากทั้ง 2 กรณี เซตคําตอบคือ ∅
แบบฝกหัด
1. จงหาคาของเลขยกกําลังตอไปนี้
1.1)
2 3 4 5 2
( 3) 3 ( 3) 2 3 2 ( 3)− − − − − × + × −
1.2)
2 4
4 5 2 ( 3)× + × −

35
1.3)
5 2
4 2 4
( 4) ( 5)
2 3 5
− × −
× ×
1.4)
3 4 5 2 2 1 2 2
2 8 9 27n n
x x y x y y+ −
× × ×
1.5)
3 10 10 2 4
(6 49 4 )(4 7 6 )− −
× × × ×
1.6)
2 2
2 3 1 2
7 7 7n n n n n− + − −
× ×

36
1.7)
( 2)6 4 8 2 6 7
4 2 4 7 4 12
6 3
4 9
a b c a b c
a b c a b c
−−
−
⎛ ⎞
÷⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.8) 12 75
1.9) 33
54 4
1.10) 3 9 27

37
1.11)
2 2 23
53 3 54
(125) (81) 2( 216) 2(4)+ − +
1.12)
2 7 11 1
3 6 6 4 23 9 32 2
(3 )x y z y x y z
−
−
× ×
1.13)
1
3 2 23
2
3 2 2 3
( ) ( 2 )
( )
a b a ab b
a b a b
−
− × + +
− × +

38
1.14)
1 2 2 1
2 2 1
4 9 3 2
9 2 4 3
n n n n
n n n n
+ +
+ +
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
1.15)
1
2
729 81
27 243
n n n
n n
⎛ ⎞+
⎜ ⎟
+⎝ ⎠

39
1.16) 12 2 35+
1.17) 7 48−
1.18) 6 35−

40
1.19)
1
1
10 2 5 2
6 2 3 2
n n
n n
−
+
⋅ − ⋅
⋅ + ⋅
1.20) 50 32 18+ −
1.21) 3 3 3
5 4 2 32 108+ −

41
2. จงหาวาจํานวนตอไปนี้จํานวนใดมีคานอยที่สุด
65 104 52
3 ,2 ,7
3. ถา , ,x y z เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับ 0 และ 2 2
3 4 6x y z−
= = แลว
1 1 1
x y z
+ +
มีคาเทากับเทาใด

42
4. ถาเขียน
3
6
3 2
12
ไดในรูป
1
( )n
a โดยที่ a และ n เปนจํานวนเต็มบวกแลว จงหาคาของ
a และ n
5. จงเขียน
1
2 2 3+
ใหตัวสวนอยูในรูปไมติดกรณฑ

43
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 2011 2012
+ + + +
+ + + +
7. ให
6 3
6 3
x
+
=
−
และ
6 3
6 3
y
−
=
+
จงหาคาของ 2 2
4x xy y− +

44
8. จงหารากที่สองของ 2
4 1 2 3 5 2x x x− + − −
9. จงพิจารณาขอความตอไปนี้เปนจริงหรือไม
9.1)
2 3
5 5<
9.2)
4 5
1 1
3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
<⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

45
9.3) ( ) ( )
7 5
sin1 sin1° < °
9.4) ( ) ( )
2 5
tan 46 tan 46° < °
9.5) ถา 48 36
2 , 3a b= = และ 24
5c = แลว
1 1 1
a b c
> >

46
10. จงพิจารณาวาฟงกชัน
2
2
( )
3
x
f x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลด
11. ขอใดเปนฟงกชันลด
ก)
1
2
x
y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ข) 1
2x
y −
= ค) 2 1
3 x
y +
= ง)
1
3
x
y
−
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠

47
12. จงแกสมการหรืออสมการตอไปนี้
12.1) 5 1 6 10x + + =
12.2) 7 5x x+ = −

48
12.3) 7 3 1x x+ = +
12.4)
1
3
27
x
=

49
12.5) 5 125x
≤
12.6)
2 81
3 16
x
⎛ ⎞
≥⎜ ⎟
⎝ ⎠

50
12.7)
2
5 3
1 1
3 27
x x+ +
⎛ ⎞
<⎜ ⎟
⎝ ⎠
12.8) 2 2
2 9(2 ) 2 0x x+
− + =

51
12.9)
23
(3 ) 2 0
4
x x
− =
12.10) 4 1 4 1 6 1
2 9 25 625x x x x− − −
⋅ ⋅ =

52
12.11) ( )
2
2 1
3 2 3 2
x x+ −
+ = −
12.12) 9(4 ) 12(6 ) 4(9 ) 0x x x
− + =

53
12.13) 1
6 3 3 2 9x x x+
+ − ⋅ =
12.14) 5 3
(0.25) (0.5)x x− +
>

54
12.15) 3 16 2 81 5 36x x x
⋅ + ⋅ ≤ ⋅
12.16)
2
2
( )
( 3) 3
2 8
x
x x
−
−
<

55
13. จงหาคาตอไปนี้
ก)
7log 3
7
ข)
3 3
log (10)
3
ค)
2
3
1
4
log 64
ง) 5log 25
5log 25

56
14. จงหาคาของ 36log 5 เมื่อให 6log 5 0.8982=
15. กําหนดให log 2 0.3010= และ log3 0.4771= จงหาคาตอไปนี้
15.1) log8
15.2) log9

57
15.3) log 6
15.4) log300
15.5) log0.02
15.6) log120

58
16. กําหนด log3.51 0.5453= จงหาคาของ
16.1) log3510
16.2) log0.351
17. จงหาคาของ 2 3 1
4
1
log 16 log log 64
9
+ −

59
18. จงหาคาของ 3 93
log 6 log 15 log 400+ −
19. จงหาคาของ 8log2
6log5 log 4 log10− +

60
20. จงหาคาของ 3 3 3 3 3log 120 log 80 log 27 log 24 log 16− + − +
21. จงหาคาของ 3 4 5 2011log 4 log 5 log 6 ... log 2012⋅ ⋅ ⋅ ⋅

61
ln10 ln5
e −
23. จงหาวา 15
875 มีกี่หลัก เมื่อกําหนดให log8.75 0.9420=

62
24. จงหาคาของ ln 2 ln10 ln 20+ −
25. ขอใดเปนฟงกชันลดบาง
ก) log(3 )x
y = ข) log3
2 x
y = ค)
log(2 )
1
2
x
y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ง) 1
2
log (2 )y x=

63
26. 200
2 เปนเลขจํานวนเต็มที่มีกี่หลัก โดยกําหนดให log 2 0.3010=
ก) ln e ข)
1
ln
e
ค) ln3 2ln5
e +

64
28. จงแกสมการหรืออสมการตอไปนี้
28.1) log[3 2log(1 )] 0x+ + =
28.2) 2 2log ( 1) log 3x x+ − =

65
28.3) 2
log( 1) 2log 1x x+ − =
28.4) 27 9
1
log ( 1) log ( 1)
6
x x− − − =

66
28.5) 2
8 3 2log log log ( 2 ) 0x x− =
28.6)
2
2 16
9log 3x x
x+ −
=

67
28.7) 0.5 0.5log ( 5) log (2 3)x x− > −
28.8) 3 3log ( 2) log (3 6)x x+ ≤ −

68
28.9) 3log 4log 3 3 0xx − + =
28.10)
2
7log ( 2 )
4 3 2log log log 7 0x x+
=

69
28.11)
1
2 log16
2
10x
+
=
28.12)
log log
4 3 25
3 4 12
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

70
28.13) 2
5
log log 2
2
xx + =
28.14) log 28 log 325 log 91 logx x x x+ − =

71
28.15)
2
1 1
2 2
log ( 2 ) log 3x x− >
28.16)
2
1 1
2 2
2log (3 4) log ( 8) 2x x x+ − + + ≥ −

72
28.17) 1
3
0 log 2 3x< <
28.18) 2
1log (5 ) 2x x x+ − ≥

73
28.19) 1 3
2
log [log ( 1)] 1x + > −
28.20) log(3 4) log( 1) 1x x+ > − +

74
28.21)
2
2 4
1 1
log (2 1) log ( )
2 2
x x− − + <
28.22) 2
(4 2)log(1 ) 0x
x− − >

Exponential and logarithm function

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Exponential and logarithm function

Similar to Exponential and logarithm function (20)

More from Thanuphong Ngoapm

More from Thanuphong Ngoapm (20)

Exponential and logarithm function