ANALISIS_MATEMATICO_CALCULO_I_Espinosa_R.pdf

ANALISIS
MATEMÁTICO I
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA
(TERCERA EDICION)
♦ SISTEMA DE NUMEROS REALES
♦ RELACIONES Y FUNCIONES
♦ LIMITES Y CONTINUIDAD
♦ DERIVADAS
♦ APLICACIONES DE LA DERIVADA
♦ DIFERENCIALES
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

IMPRESO EN EL PERÚ
20 - 03 - 2002
39EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
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RUC N9 10070440607
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Ley de Derechos del Autor N9 13714
Registro com ercial Ne 10716
Escritura Publica N24484

PRESENTACION
Eduardo Espinoza Ramos, catedrático en la especialidad de matemática pura, me
hace el honor de pedirme la presentación de su obra Análisis Matemático I para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería.
El objeto principal de la presente obra Análisis Matemático I, es precisamente
llenar el vacío que existe para su fácil y mejor aprendizaje, desarrollando y analizando los
conceptos básicos necesarios y su aplicación hacia las especialidades de Ingeniería, de tal manera
que permita a los estudiantes disponer de una herramienta de trabajo práctico y comprensible.
El método didáctico empleado en todo el libro consta de cinco capítulos: Sistema
de Números Reales; Relaciones y Funciones; Límites y Continuidad; Derivadas y sus
Aplicaciones y Diferenciales.
Para orientación del estudiante, el trabajo llevado a cabo por el autor, en esta
obra, es digno de elogio. Su lenguaje sencillo y desarrollo al alcance del estudiante, producto de
sus años de experiencia como docente Universitario le permiten tratar rigurosamente estos, desde
el punto de vista científico en forma didáctica y amena.
Los ejercicios y/o problemas cuidadosamente seleccionados complementan los
propósitos y métodos empleados en la teoría.
Finalmente, expreso mi felicitación al autor de la obra EDUARDO ESPINOZA
RAMOS, quien ya se suma a la legión de autores nacionales que tienen más conocimiento de
nuestra realidad Universitaria.
ING. EDUARDO BULNES SAMAME
JEFE DE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD RICARDO PALMA,
iA-SECRETARIO ACADEMICO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA

PROLOGO
En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático I para Estudiantes de
Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos
comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la capital,
motivo por el cual se ha ampliado la demostración de propiedades así como los conceptos básicos
teóricos e incluyendo propiedades y teorema de acuerdo a las exigencias de la nueva curricula. Al
igual que su 2da edición se expone en forma teórica y práctica, los conceptos de sistemas de
números reales, relaciones y funciones, límites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones, así
como la regla de L’Hospital, las funciones hiperbólicas y la diferencial con sus aplicaciones, así
mismo se ha incluido algunos teorema en cuanto corresponde a las aplicaciones de las derivadas
antes de los Teoremas de Rolle y del Valor Medio, también se han incluido mas ejercicios
desarrollados y propuestos en las practicas y exámenes de las diversas universidades de la capital
proporcionados por mis colegas y en especiales de los coordinadores de área académica.
La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado,
tratando de noperder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo que
confunde al lector.
La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo del
álgebra elemental, geometría plana y trigonometría.
La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas,
física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus
conocimientos matemáticos del análisis real.
Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas por
sus valiosos comentarios y sugerencias.

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro —Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Ricardo
Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
Ex Jefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Instituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de
la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
Mg. JOSE QUIKE BRONCANO
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao
Catedrático de la Universidad Nacional de Ingeniería.
Catedrático de la Universidad Ricardo Palma.
E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S

DEDICATORIA
Este libro lo dedico a mis hijos R O N A L D ,
JO R G E y D IA N A , que Dios ilumine sus
caminos para que

INDICE
CAPITULO I
[* ■ S í.-»T E M A S D E N U M E R O S R E A L E S
1.1 Introducción 1
1.2 Definición 2
1.3 Axiomas de Sustitución 4
1.4 Axiomas Distributivas 4
1.5 Teorema de Igualdad para la Adición 4
1.6 Teorema de Igualdad para la Multiplicación 4
1.7 Teorema de Cancelación para la Adición 4
1.8 Teorema de Cancelación para la Multiplicación 5
1.9 Sustracción de Números Reales 5
1.10 División de Números Reales 5
1.11 Ejercicios Desarrollados- 6
1.12 Representación de los Números Reales 10
1.13 Desigualdades 11
1.14 Axioma de la Relación de orden 12
1.15 Definición 12
1.16 Teorema 12
1.17 Teorema 13
1.18 Teorema 13
1.19 Teorema 14
1.20 Teorema 14

1.21 Teorema 15
1.22 Ejercicios Desarrollados 15
1.23 Ejercicios Propuestos 23
1.24 Inecuaciones 29
1.25 Conjuntos solución de una Inecuación 31
1.26 Resolución de una Inecuación 31
1.27 Inecuación de Primer Grado en una Incógnita 31
1.28 Inecuación de Segundo Grado en unaIncógnita 33
1.29 Inecuaciones Polinómicas 38
1.30 Inecuaciones Fraccionarias 42
1.31 Inecuaciones Exponenciales 45
1.32 Inecuaciones Irracionales 47
1.35 Valor Absoluto 101
1.36 Propiedades Básicas para resolverEcuaciones e Inecuaciones donde
interviene Valor Absoluto 102
1.37 Máximo Entero 104
1.38 Propiedades del Máximo Entero 106
1.39 Inecuaciones Logarítmicas 111
1.42 Conjuntos Acotados 176
1.43 Axiomas del Supremo o Axiomasde la mínima cota superior 177
1.44 Principio Arquimediano 178

CAPITULO II
2.1 Introducción 182
2.2 Relaciones Binarias 191
2.3 Gráfica de una Relación de R en R 198
2.6 Funciones 215
2.7 Dominio y Rango de una Función 216
2.8 Criterio para el Calculo del Dominio yRango de una Función 217
2.9 Aplicaciones de A en B 218
2.10 Funciones Especiales 219
2.11 Evaluación de una Función 224
2.12 Función definida con Varias Reglas deCorrespondencia 224
2.13 Trazado de Gráficas Especiales 225
2.16 Operaciones con Funciones 258
2.17 Composición de Funciones 264
2.18 Propiedades de la Comprensión de Funciones 270
2.21 Funciones: Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas 293
2.22 Funciones Crecientes, Decrecientes y Monotomas 295
2.23 Calculo de Rango de Funciones Inyectivas Monotomas 297
2.24 Función Inversa 298
2.25 Función Inversa de una Composición 300

CAPITULO III
3. LIMITES Y CONTINUIDAD
3.1 Introducción 325
3.2 Definición 326
3.4 Proposición 337
3.5 Proposición 337
3.6 Teorema (Unicidad de Limite) 338
3.7 Teorema 339
3.8 Teorema 339
3.9 Propiedades sobre Limite de Funciones 340
3.12 Limites Laterales 365
3.14 Limites al Infinito 375
3.16 Limites Infinitos 386
3.18 Teorema de Sándwich 390
3.19 Limites Trigonométricos 391
3.21 Función Exponencial y Logarítmica 404
3.22 El Numero e 408
3.23 Calculo de Limites de la forma Uní (/(.v))?í' '
X->
a '
409

418
424
426
427
433
440
446
499
451
453
453
454
455
457
462
464
468
471
474
477
482
484
486
487
Asíntota de una Curva
Ejercicios Propuestos
Continuidad de una Función
Tipos de Continuidad
Ejercicios Propuestos
Problemas Sobre Limite
Problemas Propuestos
CAPITULO IV
L A D E R I V A D A
Definición
Inierpretación Geométrica de la Derivada
Definición
Definición
Derivadas Laterales
Derivabilidad y Continuidad
Algunas Reglas de Derivación
Derivadas de una Función Compuesto (Regla de la Cadena)
Derivación de la Función Exponencial y Logarítmica
Teorema
Derivación de las Funciones Trigonométricas
Teorema (Derivadas de las Funciones Trigonométricas)
Derivación de las Funciones Trigonométricas
Regla de Derivación para las Funciones Trigonométricas Inversas
Derivación Implícita
Derivada de la Función de la Forma y = (f ( x ) ) s(r)
Ejercicios Desarrollados

4.19 Ecuaciones de la Tangente y Normal a una Curva 526
4.20 Ecuaciones Paramétricas 529
4.21 Derivadas de Orden Superior 533
CAPITULO V
5 . A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A
5.1 Valores Máximos y Mínimos de una Función 565
5.2 Teorema 566
5.3 Extremos de una Función 566
5.4 Teorema (de los valores intermedios) 569
5.5 Teorema de Rolle 570
5.6 Teorema del Valor Medio 573
5.7 Teorema (de la función constante) 574
5.8 Teorema (de la diferencia constante) 575
5.9 Función Creciente y Decreciente 574
5.10 Teorema 580
5.11 Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos 581
5.12 Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos 582
5.13 Concavidad y Punto de Inflexión 583
5.16 Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Constante 639
5.17 Formula que Relaciona dos Variables cuya Razón de Cambio es Constante 640
5.18 Razón de Cambio Promedio 641

5.19 Razones Instantáneas 641
5.20 Velocidad y Aceleración Rectilínea 642
5.21 Razones de Cambio Relacionadas 642
5.22 Procedimiento Aconsejado para Resolver Problemas de Variables
Relacionadas 642
5.23 Problemas Desarrollados 643
5.24 Problemas Propuestos 651
5.25 Aplicación a la Económica 658
5.27 Problemas Propuestos 673
5.28 La Regla de L’Hospital 678
5.31 Funciones Hiperbólicas 687
5.33 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas 694
5.35 Funciones Hiperbólicas Inversas 701
5.36 Derivación de las Funciones Hiperbólicas Inversas 704
5.38 Diferenciales 708
5.39 Diferenciales como una Aproximación 710
5.40 Diferenciales de Orden Superior 711
BIBLIOGRAFIA 722

Sistema de Números Reales 1
CAPITULO I
1. SISTEMA DE NÚMEROS REALES.-
1.1 flSTROPUCClON.-
E1 sistema de los números reales de los cuales ahora disponemos, es el resultado de
una enorme cantidad de reílexión por parte del hombre.
Los enteros positivos, es decir: 1,2,3,..., pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra
civilización. Los enteros tan grandes como 100,000 se usaban en Egipto en fechas tan
tempranas como es 300 A.C.
Los antiguos Egipcios y Babilonios desarrollaron una aritmética con los enteros positivos
con los cuales podían efectuarse las operaciones de adición y multiplicación, aunque la
división no se desarrolló por completo.
Estos antiguos pueblos usaron ciertas fracciones, tenemos pues, que los números
racionales aparecieron también en una temprana etapa de nuestra civilización (un número
racional es cociente de dos enteros).
Los Babilonios fueron los que más éxito tuvieron en el desarrollo del aritmética y el
álgebra por que tenían una notación para los números muy superior a la de los Egipcios.
Esta notación en principio, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de
que su base es 60 en lugar de 10. Una buena notación es el pre-requisito para el desarrollo
de los matemáticos.
Nuestro sistema decimal con los números llamados arábigos fue inventado por los
Hindúes e introducido en Europa occidental en el siglo XII a través de las traducciones de
textos Arabes. Sin embargo, la aceptación generalizada de esta notación demoró mucho
en llegar.

Eduardo Espinoza Ramos
La espera fue aun mayor para la aceptación de los números negativos, incluso hasta
finales del siglo XVI se descartaban las raíces negativas de las ecuaciones.
La aritmética y el álgebra se desarrollaron bajo él estimulo de problemas prácticos en
contradicción de la'geometría que desarrollaron los griegos solamente para su satisfacción
intelectual y en un modelo del sistema lógico.
Sin embargo, con el desarrollo del cálculo, los números reales especialmente los números
irracionales tales como ~Jl, n, V 5. tuvieron que sustentarse sobre una firme
fundamentación lógica, esto se logro en la ultima parte del siglo XIX.
Disponemos ahora de un sistema de axiomas que describen completamente los números
reales partiendo de estos axiomas podemos derivar todas las propiedades de los números
reales.
Esto es el método usado en la geometría Euclidiana, se acepta un cierto número de
proposiciones, a las que se llama axiomas o postulados o hipótesis y basándose en esas
axiomas se prueban todos los teoremas de la geometría.
1.2 DEFlNÍClQNv-
Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones
adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y una relación de orden
denotado por “<”, es decir:
Io LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
+: R x R ----->R
(a,b) -—-> +(a,b) = a + b
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
Af, Cerradura: Va, b e R => a + b e R
Ax Conmutatividad: a + b = b + a , V a . b e R
A-, Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), V a,b,c e R

Sistema de Números Reales
»
3
Aj Identidad aditiva: V a e R , 3 0 e R / a + 0 = 0 + a = a
A4 Opuesto Aditivo: V a e R , 3 - a e R, y es único, tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0
2o LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA: •: R x R - ^ R
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
A/„ Cerradura: V a, b e R => a.b e R
M l Conmutativa: a.b = b.a,V a,b e R
M 2 Asociativa: (a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R
M 3 Identidad Multiplicativa: V a e R, 3 1* 0, 1e R, tal que: 1.a = a
M4 Inverso Multiplicativo: V a * 0, 3 a~1 e R, tal que: a.a ~l - a 1.a = 1
3o RELACIÓN DE ORDEN:
Ox V a.b e R una y solamente una de las relaciones se cumple a<b, a = b, b < a (ley de
tricotomía).
O2 Si a a + c < b+ c, V a,b,c e R.
0 4 Sí a < b, c > 0 entonces a.c < b.c
OBSERVACIÓN:
i) A los números a_ y b los llamaremos sumando, y al número a + b suma de a y b.
i¡) En a.b; a los números a y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y
b.
iü) El opuesto es único, así mismo cuando existe el inverso es único.

4 Eduardo Espinoza Ramos
1,3 AXIOMA DE SI STITÜCION.-
Si a y b pertenecen a un conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede
sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación.
a) a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e R distributiva a izquierda
b) (a + b).c = a.c + b.c. V a, b, c e R distributiva a derecha
1.5 TEOREMA PE IGUALDAD PARA LA APICION~
Si a = b entonces a + c = b + c, para todo a, b, e e R
Demostración
Ioa = b. por hipótesis.
2o a + c = a + c, propiedad reflexiva.
3o a + c = b+c , Io. 2° y axioma 1.3
Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R
Demostración
Io a = b por hipótesis.
2° a.c = a.c. propiedad reflexiva.
3° a.c = b.c, Io, 2° y axioma 1.3
j ,7 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA APICFON.-
Sean a,b,c e R ; Sía + c = b + c entonces a = b
Demostración
Io a + c = b + c . por hipótesis.
2o a + c + (-c) = b + c + (-c), Io y teorema 1.4?

3o a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)), 2° y A2
4° a + O= b + U
, 3° axioma A4
5° a = b. 4o, axioma A¿
J.8 TEOREMA DE CANCELACION PARA LA MULTIPLICACION.-
Sean a,b,c e R; Si a.c = b.e y e * 0, entonces a = b
Demostración
Io a.c = b.c, ... por hipótesis.
2 o c * 0, ... por hipótesis
3o 3 — e R / (a.c).— = (b.c). —, ...2 o, Io y axioma M A
c c c
4o a.(c.—) =b.(c.—
), ...3 o y axioma M-,
c c
5o a .l= b .l, ...4 o y axioma M 4
6° a = b, ... 5o y axioma M 3
1.9
DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción
de números reales por:
a - b = a + (-b)
1.10 DIVISION DE NÚMEROS REALES.-
DEFINICION.- Para cualquier números reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al
cociente de números reales por:

1.11 EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
© Para cada número real a e R, demostrar que a + a = 2a
Demostración
1° a = a.l ... Por
2o a + a = a.l + a.l ... 1° y axioma 1.4
3o a + a = a.(l+l) ... 2o y axioma 1J.a
4° a + a = a.2 ... 3o y por M •,
5o a + a = 2a ... 4o y por M ,
Para cada número real a e R, demostrar que a.0 = 0
Demostración
1° a.0 = a.0 + 0 ... Por Aj
2o a.0 = a.0 + (a + (-a)) ... 1° y por A4
3o a.0 = (a.0 + a) + (-a) ... 2o y por A2
4° a.0 = (a.0 + a.l) + (-a) ... 3o y por M 3
5o a.0 = a(0 + l) + (-a) ... 4o y por axioma 1.3.a
6° a.0 = a.l + (-a) ... 5o y por A}
7 0
a.0 = a + (-a) ... 6° y por M 3
8o a.0 = 0 ... 7o y por A4
( 3) Para cada número real a e R, demostrar que: -a = (-l).a
Demostración
Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-l).a, y -a son inversos aditivos de a por A4

Luego a + (-1 )a = 1.a + (-l)a, ... por axioma 1.3
a + (-l)a = (1 + (-1))a, ... por axioma vfy.b.
a + (-l)a = 0.a, ... por A4
a + (-l)a = 0, ... por ejercicio 2.
.-. -a = (-l)a
( 4) Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = a
Demostración
Io a + (-a) = 0 ... por A4
2 ° (-a) + (-(-a)) = 0 ... por A4
3 0 (-a) + (-(-a)) = a + (-a) ... Io , 2o
4o -(-a) = a ... 3o y por teorema 1.6
( 5) Para cada número real a,b e R, demostrar que (-a).(-b) = a.b
Demostración
1° (-a).(-b) = [(-1 )a][(-l )b] ... por el ejercicio 3
2o (-a).(-b) = (-1 )[a((-1)b)] ... 1° y M 2
3o (-a).(-b) = (-1)[(-1>a].b ... 2o y M x, M 2
40 (-a).(-b) = (-1)[(-a)].b ... 3o y ejercicio3
5o (-a).(-b) = [(-1 )(-a)].b ... 4o y M 2
6o (-a).(-b)=a.b ... 5o y ejercicio4
(ó ) V a.b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b)
Demostración
Io a.(-b) = a.((-l).b) ... por ejercicio 3

©
2° a.(-b) = (a.(-l)).b ... 1° y porM ,
3o a.(-b) = ((-1 )a).b ... 2o y por M x
4° a.(-b) = (-l)(a.b) ... 3o y por M 2
5o a.(-b) = -(a.b) ... 4o y ejercicio3
6o -(a-b) = (-1)(a.b) ... Por el ejercicio 3
?o -(ab) = ((-l)a).b ... 6o y por M 2
8o -(ab) = (-a).b ... T y ejercicio 3.
9° a(-b) = -(ab) = (-a).b
O
O
C
O
V a,b g R, demostrar que a.(b - c) = a.b-a.c
Demostración
1° a.(b - c) = a.(b + (-c)) ... definición de sustracción
2o a.(b - c) = a.b + a.(-c) ... 10 y axioma 1.3.a
3o a.(b - c) = a.b + (-(a.c)) ... 2o ejercicio 6
40 a.(b - c) = a.b -a.c ... 3o definición de sustracción
Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces a "1 =
Demostración
Io a 1 = (a _l).l ... por M-,
2o a~l = l.(a _l) ... Io y
3o a "1= — ... 2o definición de división

( 9) V a,b e R, a.b* O, demostrar que (a.b) 1 =a 1.b
Demostración
Io (a.b).— = 1
{ab)
2° (ab).{aJb)~l =1
por A/4
y definición de división
3° (a.b).(a 1b 1) = (a).(a)1.(b).(b 1) por M 2
■u 1, * 1 . - 1.
4°(a.b).(a .h ' ) = (a.-).(b.-)
a b
3°, M 2 y definición de división.
5° (a.b).(a [.b ‘) = (1)(!) = !
6° (a.b).(a l.b l ) = 1
4° y M4
de 5°
7° (a.b).(a.b) 1= (a./>)(a 1i> 1)
8° (ai?) 1 1
... de 2° y 6°
... 7° y teorema 1.7
10J V a,b,c,d e R, b * 0, d * 0. demostrar que: —+ — = +
- ^'c
^ b d b.d
Demostración
Io - +- = a.b 1+ c . d x
b d
por definición de división
2° T + Ì7 = (a .b ì).{d.-) +{c.d-x).(b.-)
b d d b
Io y por M a
3° —+— = (a .b l ).(d.d x) +(c.d 1).(b.b ') ... 2o y definición por división.
b d

4o - +- = (a.d).(b]. d l )+(b.c).(b1. d l ) ... 3o, A/,
b d '
50 —+— = (a.d).(b.d) 1+(b.c).(b.d)~x ... 4° y ejercicio9
h d ’
6" —+ —-(aM + bx;).(bd) 1 ... de 5° y axioma 1.3.b.
b d
1° —+ — = + — ... 6o y definición de división
h d hd
U 2 REPRESENTACION PE LOS NÚMEROS R EALEsT
Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia, es decir:
51 sobre una recta se fija su origen “O”, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a
cada punto de una recta le corresponde un número real y reciprocamente, a cada número
real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto
de la recta se le llama abscisa del punto.
------ 1
-------- 1
--------1
------- 1
------- 1
------- 1
--------1
--------1
---------1
— ►
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
NOTACION PARA LOS CONJUNTOS DE NÜMEROS.-
N: Conjunto de los: números naturales.
Z: Conjunto do los números enteros.
Q: Conjunto de ios números racionales,
í: Conjunto de los números irracionales.
R: Conjun ¡o de los números reales.
C: Conjunto de los números complejos.;

CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
R
0
racionales
entero positivo
N0 = {0,1,2,...,«,...}
Z enteros negativos
Decimales periódicos = 0.abe =
999
Decimales periódico mixto = 0.abede -
abede - ab
99900
Decimales exactos = 0.abe =
abe
1000
Q = { - l a . b e Z , b * 0}
b
I f propios: a/2 , -73 ,...
V Irracionales! trascendentes = {e, 7
t,...}
1.13 DESIGUALDADES.,
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para
dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales.
La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al
número “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”.
A B
------------ 1
----------------------1
-----------►
a b
El símbolo < se lee "Es menor que”. También usaremos los símbolos siguientes:

1.13.a DEFINICIÓN.-
i) Un número real “a” es positivo sí, a > 0.
¡i) Un número real “a” es negativo sí, a < 0.
1.13.b DEFINICIÓN.-
Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor ó menor
que otro. Por ejemplo: 5 < 9.
V a,b,c e R., se tiene:
Ox Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumple:
a = b v a b
O, Orden transitivo: s í a a < c
0 3 Orden de adición: s í a a + c 0 => a.c < b.c
En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones:
U 4 AXIOMA DE LA RELACION DE ORDEN.-
L15 DEF1N1CJON.-
i) a b - a e s positivo. ii) a > b <
=
> a —b es positivo.
iii) a a = b v a b <
=
> a > b v a = b
1.16 TEOREMA.-
V a,b,c,d eR ; Sí a < c A b < d a + b < c + d
Demostración
O a < c por hipótesis
2° a + b < b + c i° y o3.

3o b < d por hipótesis
4° b + c < c + d 3°y 0 3
5o a + b < c + d 2o, 4o y O,
L17 TEOREMA.»
Para a.b € R, si a -a > -b
Demostración
1° a 0 1° y definición 1.1$ i.
3o (b -a ) + (-b) > 0 + (-b) 2oy 0,
4° -a + (b + (-b))>-b 3o, a2 y A
5o -a + 0 > -b 4o y A4
6o -a > -b 5° y a3
1.18 TEQREMA.-
Sí a, b, c e R, donde a a.c > b.c
Demostración
1° a () 2o y definición 1.14.i)
4o - a.c < -b.c Io, 3o y 0 4 y ejercicio 6
5o a.c > b.c 4o y teorema 1.bfa

1.19 11LUKIUMA.-
Para a e R, a * 0 => a 2 > 0
Demostración
1° a * 0 por hipótesis
2o a> 0 v a< 0 l° y 0 ,
3o sí a > 0 => a.a > 0.a 2° y 0 4
4o
O
A
N
3o y ejercicio 2
5o sí a < 0 => -a > 0 2o y definición 1.15i
6o (-a)(-a) > 0. (-a) 5o y o 4
T a 2 > 0 6o, ejercicio 2 y 5
M TEOREMA.-
Para a e R. a * O entonces a 1 tiene el mismo signo que “a” es decir:
i) Sí a > 0 => a~x >0 ¡i) Sí a < 0 => a~l < 0
Demostración
i) Io a > 0 por hipótesis
2o é
T ' c O hipótesis auxiliar
3o ¿7.a’1 < 0 Io, 2o y teorema 1.18
4o 1 < 0 3o y M 4 es absurdo
5o íT ' > 0, por 2oy 4o
6o Sí a > 0 => a~x >0 Io y 5o
ü) Su demostración es en forma similar.

« /«< T C A D C M A
Para a,b e R, donde a y b tienen el mismo signo, sí a a 1 > d 1
Demostración
Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos:
i) a > 0 a b > 0 i¡) a < 0 a b < 0
i) 1° a 0 a b > 0 por hipótesis
T a 1 >0 a b x >0 2o, teorema 1.20
4o a.a~ < b.a~l 3o y 1°; 0 4
5o (a.a~l )b~l < (b.a x)b~x 3o y 4o; 0 4
6o (a.a~1)b~1 <(b.b~{)a~l 5o y m 2
7° liT 1 <1 .a~l 6o y A
/ 4
8o b~x <a 1 7° y M3
9o sí a a~l >b~l l ° y 8°
V
ii) Su demostración es en forma similar.
1 IT lt? D C iriftC W c ADDA T T An /W
i ,¿¿ GiJüiKvlvIva ÜÍ-SAKKULLAUU5.-
© Si a > b > 0, Demostrar que: a 1 > b 2, donde a,b e R.
Demostración
Por hipótesis se tiene a > b > 0 => a > 0 a b > 0
Como a > b => a + b > 2b > 0 => a + b > 0
a > b => a - b > 0
...(a )
.. (ß)

de (a) y (f¡) se tiene: (a + b)(a —b) > 0.(a —b)
de donde a 1 - b 1 > 0 => a 2 > b 2 Sí a > b > 0 =s> a 2 > b 2
Sía, b>0 y a 2 > b 2 = > a > b
Demostración
Por hipótesis se tiene a 2 > b 2 => a 2 - b 2 > 0 de donde (a + b )(a-b ) > 0 ... (a)
como a > 0 a b > 0 => a + b > 0, de donde —— > o ...
a+b
de (a) y (P) se tiene ^ + —— > 0 , de donde a - b > 0 entonces a>b.
a +b
® S i b > a > 0 y c > 0. Demostrar: > —
3 h-Lr- h
b+c b
Demostración
Como b > a > 0 => a. b>0 ...(1 )
b > a y c >0 => b.c>a.c ...( 2)
en (2) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c
, . v .. . i t 1 d + C C
l
b.(a + c) > a.(b + c) , de donde: ------ > —
b+c b
a c „ a+c c
> —
® Si a,b,c,d > 0 y —> — Demostrar
r» /i
b d b+d d
Demostración
a c
Como —> — , donde b,d> 0 => a.d >b.c ... (1)
b d
Además c > 0, d > 0 entonces c.d > 0
Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (1): a.d + c.d > b.c + c.d

d.(a + c) > c.(b + d), de donde: a +° >—
b +d d
(^ ) Para a,b,c números reales. Demostrar que a 2 +b1 +c2 >a.b +a£ +b.c
Demostración
V a.b e R, ( a - b ) 2 > 0
V a.c e R, (a - c )2 > 0
V b,c e R, (b - c ) 2 >0
a 2 +b2 - 2a.b > 0
a 2 +c2 - 2 a r >0
b2 +c2 - 2b.c > 0
2(a2 +b2 +c 2)-2(a.b +a.c +b.c) > 0
de donde a 2 +b2 +c2 >a.b +a.c +b.c
(7 ) V a,b e R ' , demostrar que ü +^ > -Jali
Solución
Como a,b e R + => -Ja - 4 b e R
Sí 4a —4b e R => (4a ~ 4 b ) 2 > 0, de donde a + b - 2 4 a 4 b > 0 => a +b>24ab
a +b
-> 4 a h
( l ) Demostrar que sí a < b, Entonces a < ■ a + a < a + b => 2 a < a + b ...(1 )
a a + b a.c + b.d, para a,b,c,d e R

Demostración
V a,c e R, (cr-c’)2 >0 => a 2 +c2 >2a¿ ...(1)
V b,d e R, ( b - d ) 2 > 0 => b2 + d 2 >lb.d ...(2 )
sumando (1) y (2) se tiene: a 2 +b2 +c2 + d 2 >2(a£ +b.d)
2 > 2(a.c +b.d) 1> a.c + b.d
V a,b,c,d e R + yn e Z + , demostrar que: a 2" +b2n +c2n + d 2" > 4 (abcd)"12
Demostración
a,b e R + => a ",bn e /?+,pero a” - b n e R, entonces:
(an - b n)2 > 0 => a 2n +b2n >2anb ” . . . ( 1)
c,d e R^ => c " , d n e R +, pero c " - d " e R, entonces:
(c" - d " ) 2 > 0 => c 2" + ¿ 2n >2cnd" ...(2 )
Sumando (1) y (2) se tiene: a 2" + ¿>
2n + c2" + d 2n>2(anb" +c"d") ...(3 )
(Ja"bn - a /c V "”)2 > 0 => a nb" +cnd n>2^¡anb nc nd n ...(4 )
a 2" + />2” + c 2" + ¿ 2n >4-Janbnc nd n
... a 2" + 62” + c 2" + í/2n ¿4(a¿>c</)”/2
(lo) Si a + b + c = l , donde a,b,c > 0, Demostrar que (1 —a)(l -b )(l - c ) > 8abc
Demostración
Como a,b,c>0 => -J~a,-Jb,-Jc > 0 entonces:

©
-Je e R b +c> 2-Jbc
-Je e R => • a+ c> 2-Jac
-Jb e R a +b> 2-Jab
(b + e)(a + c)(a + b )> 8abe
Pero sí a + b + c = 1
1- a = b +c
- b - a +c
- c + a + b
..( 2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:(1 —a)( 1—b)( 1- c) > 8abc
Si a.b.c.d e R" , Demostrar que: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd
Demostración
Como a,b,c,d e R + => ab > 0, cd > 0, ac > 0, bd > 0
De donde -Jai) -~Jcd e R, y -Jac--Jbd e R. entonces:
(-fab—Jcd)2 > 0 ab +cd > 2-Jabcd
(4ac- - J b d ) 1 >0 Iac +bd > 2-Jabcd
multiplicando se tiene: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd
a c , a a+c c
Sean a,b,c,d e R tal que —< —. demostrar que: —< -------< —
b d b b+d d
Demostración
Como —< — => a.d < b.c por que b,d e R 1 a.d < b.c, sumando a.b, a ambos
b d
miembros ad + ab < be + ab, factorizando
a(b + d) < b(a + c), de donde ~ . . . ( 1)
En ad < be sumando cd, a ambos miembros ad + cd < be + cd,

Factorizando d(a + c) < c(b + d), de donde: Ü í £ < £
b+d d
...( 2)
^ . a a+c a +c c
De (1) y (2) se tiene: —< ---------- a ----------< —
b b+d b+d d
_ , , . a a +c c
De donde por transitividad se tiene: —
< ------- < —
b b +d d
Si a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrar que: a 4 +b4 + c 4 +d 4 >Aabcd
Demostración
Como a,b,c,d e R => a 2,b 2,c 2, d 2 e R, además:
a 2 - b 2 e R
c~ —d~ e R
(a2 - b 2)2 > 0
(c2 - d 2) 2 > 0
de donde al efectuar se tiene: a 4 +b4 > l a 2b2
cA+ d A> l c 2d 2 ... (2)
Sumando (1) y (2) miembro a miembro se tiene:
a 4 +b4 + c 4 + d A> l( a 2b2 + c2d 2) ...(3 )
Como ab. cd e R => ab - cd s R, entonces:
a~b2 +c2d 2 >2abcd => 2(a2b2 +c2d 2)> 4abcd
( a b - c d ) ' > 0 de donde
...(4 )
de (3) y (4) por transitividad se tiene: a 4 +bA+c4 + d 4 > 4abcd
Si a > 0, a e R, demostrar que: a +—> 2
a
Demostración
Como a > 0 => -Ja > 0 , de donde 4 a — e R por lo tanto

(Va — 7=)2 ^ 0 , desarrollando se tiene: a - 2 + —> 0 de donde a + —> 2
Va a a
, „+ , bc ac ab ,
Si a,b,c, e , demostrar que: — + ------1
-— >a +b +c
a b c
Demostración
Por hipótesis se tiene que a,b,c > 0, entonces
— > 0 , —> 0 , —>0 entonces aplicando el ejercicio 14).
b c c
Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respectivamente.
ac bc ^ _
— + — >2c
b a
ab a c . - - a c „bc -a b
— + — >2 a => 2 — + 2 — + 2 — >2c +2a +2b
c b b a c
ab
— + — > 2 b
c a
. h e ac ab s -, , ,
2(-----h— + — ) > 2(a +b +c)
a b c
bc ac ab ,
— + — + — >a +b +c
a b c
r.- ^ i ^ rv j a +b _ a b
Si a > 0, b > 0, demostrar que: -----:— - < -— - + -
a + b + 1 6+1 a + l
Demostración
Como a > 0, b > 0, entonces a + 1 > 1, b + 1 > 1 luego se tiene:
a + l > 1
Z>+ 1 > 1
a + è + 1> è + 1
a +b +> a +l
ahora inviniendo cada una de las desigualdades: ----- ---- < —— y ----- ----- < — —
a+b + 1 ¿
>+ 1 a +b + 1 a +l

multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente.
a a b _ b
---------- < ------ y ---------- < -------
o + b +1 b +1 ¿
7+ ¿
>+ l +1
• a +b ^ a b
Sumado estas dos desigualdades se tie n e :---------- < ------ +
a + b +1 b +1 a +1
1 4
17) Si a,b e R, b * 0, demostrar que: —
a 2 +ab +b2 3b2
Demostración
Completando cuadrado en a +ab +b se tiene: cr+ab +b = (a + — (1)
Como a.b e R => a +— e R, de donde (a + —)2 > 0
2 2
o J 3t>2 ■ , b ■
, 3b2 3b2
Sumando ------ se tiene: (a + —) ' + -------> ------ ...(2 )
4 2 4 4
Ahora de (1) y (2) se tiene.
2 . , t 3b2 , . . 1 4
a ' +ab +b~ como b * 0 invertimos — ------—
a 2 +ab +b2 3b2
18) Si a > 0 y b < 0, Demostrar que: < —
' a a
Demostración
Como a > 0, b < 0 => ab < 0, sumando “a” a ambos miembros se tiene:
a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a ... (1)
Como a > 0 => -X- > 0, ahora multiplicamos a (1) por - -
a~ a~
. . . a(b + l) a . , ¿ + 1 1
Obteníendose ----- < —r- simplificando .'. ----- < —
a a a a

19j Si a>0. b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: a^ - ~
Demostración
Como a > 0, b > 0 => a - b e R, de donde:
( a - b ) 2 > 0 => a 2 -2ab +b 2 >0 sumando 4ab.
a 2 +2ab +b 2 > 4 ab de donde: (a +b)2 > 4 ab
pero como a + b = l , se tiene l>4ab, por lo tanto a^>-~
20j Si a >0, b >0, 3a * 5b, demostrar que: — +— >2
5b 3a
Demostración
Como 3a* 5 b => 3 a - 5 b * 0 y 3 a - 5 b e R entonces (3 a-5 6 )2 >0
Desarrollando se tiene: 9a 2 -30ab +25b2 > 0
Sumando 30ab, a ambos miembros: 9a 2 +25b2 >30ab multiplicando por
9a2+25Z>2 30ab . . . 3a 5b ,
-------------- > ------- , de donde: — + — >2
15ab 15ab 5b 3a
15ab
i. 23 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
© Si a y b son números reales positivos, demostrar que: (—+ —)(a + b) > 4
a b
(T ) Si a,b,c son números reales positivos, demostrar que: (—+ —+ -)(a + b + c) > 9
a b e
© Si a,b,c,d son números reales positivos, demostrar
( - + —+ - + —)(a +b +c +d)> 16
a b c d
que:

( 4) Si a y b dos números reales positivos tal que a > b, demostrar que: —+— > — + 3
b a a 2
( J ) V a e R. a * 0, demostrar que: a 2 +— > 6
Si a,b,c e R* , demostrar que: (b + c)(a + c)(a + b) > 8abc
(T ) Si a,b e R, demostrar que: a^b +ab*< a 4 +bA
Si a,b,c e R, demostrar que: a 2 +b2 +c2 +3 > 2(a +b +c)
® Si 0 < a < 1, demostrar que a 2 <a
^ 0) Si a,b,c son números reales positivos y . Demostrar que:
a b e
d d + e + f f
a a+b+c c
Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces:
(a +b +c)(a2 +b2 +c2) >9abc
© Si a.b.c son números positivos y no iguales entre si. Demostrar que:
(a +b +c)(a~l + ¿ _1 + c_1) >9
13J Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:
a 2 16Z>2 8a 32b
— +— — +24>— +----
b~ a b a
¿4) Si a 2 +b2 = 1. Demostrar que: -^¡2 < a +b < 4 l
Sug. ( x - y ) 2 > 0 => 2(x2 +>’2) > (x +y ) 2
15)Si a + b = c, a > 0, b > 0, demostrar que: a 2,i +b2,3 > c 2li
® Si a + b > c > 0, demostrar que: —— +
l + o +b 1+c

© Si a,b,c > O, demostrar que: 3abe < a 3 + 63 + c3
® Si c > 0, d > 0, 2d * 3c, demostrar que: — > 1
3c 4d
(í?) Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar que: 2
4b -Ja
(20) Si a,b,c e R, demostrar que: b2c 2 +c2a 2 +a2b 2 > abc(a +h +c)
2l) Sea a + b = 2, donde a y b son números reales, demostrar que: a 4 + b 4 > 2
^ 7 7 ? 9 9 9
221 Si a~ +b~ +c~ = 1 y x +>> +z =1, demostrar que: ax + b y + c z < l
b 1 1 "
23) Si a > 0, b >0, demostrar que: — + —
—> —+ —
‘ J 4 b2 a 2 a b
24) Si 0 < a < l , demostrar que: a 2 < a
25) Si a,b > 0, demostrar que: -Jab >
a +b
26) Si a > 0, b > 0, demostrar que: ° > (—í^ ) 3
(27) Si a >0, a * 1, demostrar que: a l +^— > a 2 + ~
a a~
28) S i a > 0 y b > 0, demostrar que: 4(a +b )>(a +b)
29) Si a y b son números reales, demostrar que: ~J(a~+c)2 +(b +d )2 <-Ja2 +b2 + -Je2 + d 2
3(y Si a.b,c e R T, demostrar que: (a + ¿
>+ c)3 >21abc
(31) Si a,b,c y d son números reales cualesquiera. Demostrar (ab +cd)2 <(a2 +c 2)(b2 +d 2)

2)Si a.b e R, demostrar que: a 4 +b4 >—(a +b)4
8
33)Si a > 0 y b>0, demostrar que: (g+ —)2 +(b +—)2 ++
¿*)2
“
■ a h 2 a + b
1 1 25
^ Si a>0, b > 0 tal que a + b = l , demostrar que: (a +—)2 +(b +—)2 >-^-
(35) Si a,b.td e R,demostrar que: ac+bd < ^ ( a 2 +b 2)(c2 + d 2)
(3ó) Si a,b e R tal que a + b = 1, demostrar que: a 4 +bA > ^
® 8j
Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: a 4 +b 4 > —
38) Si a,b.c,d e R +, demostrar que: ~ (a +b +c +d)>^Jabed
9) Si a:,a2,...,a„. bx,b2,...,b„ eR tal que: a 2 +a2 +...+a2 = , b 2 +b2 +...+b2 =1
demostrar que: axbx +a2b2 +...+a„b„ <1
40) Demostrar que si -1 < a < 0 entonces a 3 > a
Si - a > 0 y ( a - b ) 2 > {a +b)2, entonces b >0
(42) Si a, b e R, tal que 2a +4b = 1, Demostrar que: a2 + b2 >
.43) Si a > 0. b > 0 =? a 3 +bl > a 2b +ab2
X1+x2 +X1 +—+xn
44) Si jc,,x,,...,jcn e R y si p =^Jxxj c
2..jc„ y a = —-2-----— —
— demostrar
^ - V n
que: p < a.
Í Í) Si a,b,c,m,n,p e R / m > 0 , n >0 , p>0: — < —< — entonces: — < ^+a +c <
^ m n p m m + n + p p

® _ , . Qi + di +...+ a„
Probar que si al <a2 <—<a„ entonces ax < —-----P-----------<a„
a 3 - b l
47) Demostrar que si 0 < a Aabcd para a,b,c,d e R
(49) Si a,b,c > 0, demostrar que: 2(a3 +lr + c:3) > bc(b +c) +ac(c +a) +ab(a +b)
(501 Demostrar que: <
j2b 2 +b2c 2 +a2c 2 > abc(a +b +c) V a,b,c e R
x" 1
51) V x e R y n par, demostrar que: —
-------< —
“ 7 x 2n+l 2
52) Demostrar que si r > 0 y a —+ —
b2 a 2 a b
54) Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que:
■ > 2 2 ' > ^ 2
x + y + z + w > —(xy + xz + xw + yz + yw + zw)
a2 b2
55) Si a y b son números desiguales positivos demostrar que: a +b< — + — •
b a
56) Si a,b y c son números positivos distintos. Demostrar que: (a +b +c) 2 <3(a1 +b2 +c2)
51) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3 +b3)(a +b)> (a2 +b2)2
,58)Si x,y son números distintos, demostrar que: (x4 +y 4)(x2 +>’2) > (x 3 +>'3)2
59) Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que:
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz

a - 2 b - 2
(£0) Demostrar que: a —
---- <
a - 1 b - 1
61J Sean a,b,c,x,y,z números positivos distintos, demostrar que:
(a2 +b2 +c2)(x2 +y 2 +z 2) > (ax +by +cz)2
(62) Demostrar que: 0 < d < c => ^ — ^ - > d 2(c - d )
_ 4 .3
@ Si 0< d< c => d 3( c - d ) < — - — < c2( c - d )
(64) Si x > 0 , y > 0, z > 0, demostrar que:
a) xyz = 1 => x + y + z > 3
b) xyz =1 a x + y + z = 3 o x = y = z = 1
® x y z x y z
Demostrar que: x>0, y > 0 , z > 0 = > —+ —+ —>3 (su g :----- —= 1 y ejercicio 64)
y z x y z x
(óó) Demostrar para todo a y b real [ab <-~=¡a2 +b2
(ó?) Si x e y e R, demuestre que: |x| + |y| > |x + y|
(68) Si x 1, x 2,...,x„ e R~ tal que x¡ = 1. Entonces x x+ x2>1
(69^ Si a,b e R, demostrar que: (a +b)4 <8(a4 +b 4)
2 i
(70) Si a > 0, probar que: X . + +a > a + 1
x +a
J i) Si a,b,c ei?* ,y si a 2 +b2 +c2 =8 . demostrar que: a 3 +b3 + c 3 > 1 6 ^
72) Si a >0, b > 0, demostrar que: (-^- + -^-)(a2 +Z>2) > 4

Sistema de Números Reates 29
73) Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces a+ +C > Ifabc
^ 4) Sí V a,be R talque a > 0 A b > 0 y a < x 2 - J a < x < 4 b v --Jb < x < —Ja
^ 5) Si JC], x 2, —, x„ e R, talque x¡ jc2...jc„ =1. Demostrar que xx + x2 +...+x„ > n
Si a,h e. R ' , Demostrar que (a2 +b2)(a +b)2 >&a2b 2
77) Si a + b + c = 0, Demostrar que: (—+ —+—)2 = ——+ -Î- + —
^ a b c a - b2 c2
1 1
78)Si a,b g R , Demostrar que —
—+ —
—>
a 2 b2 (a +b)2
1.24 JNECUACÏONES.-
1.24.1 DEFINICION.- Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más
cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para
determinados valores de la incógnita o incógnitas.
Ejemplo.- La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una
incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4.
1.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven
para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos sé
representan gráficamente en la recta numérica real.
Consideremos los siguientes tipos de intervalos:
a) Intervalo cerrado.- a = {x e R / a < x < b} a b

c) Intervalo cerrado en a y abierto en b.-
[a,b>= {x e R / a < x = {x e R / x > a } a
<a,+*> = {x e R / x > a} < OHHmHHiHHMtHtttttt *
•
a
<-oo,b] = { x e R / x = {x e R / x < b} * m m m m m t m m Q ------1
b
<-oo,+oo> = {x/x g R}
<-», a> u <a,+oo> = {x e R / x * a} mmHtHHHmHMMtto mmmtHHmwmmm
a
Nota.- ( l ) Six e [a,b] <3 > a s x ¿ b
Ejemplo.- Demostrar que: síx e[2,4] entonces 2x + 3 € [7,11]
Solución
x e [2,4] => 2 < x < 4, multiplicando por 2
4 < 2x < 8, sumando 3
7 < 2x + 3 < 11
Sí 7<2x + 3 < l l => 2x + 3 e [7,11]
Por lo tanto, sí x e [2,4] => 2x + 3 g [7,11]

© I S j Q g L <
=
> &<x => x e <1,5>
Solución
2x —6 e <-4,4> =
?> -4 < 2x —6 < 4, sumando 6
2 < 2x < 10 dividiendo entre 2
l < x < 5 , entonces x e <1,5>
Por lo tanto, sí 2x - 6 <
= <-4,4> => x e < 1,5>
1,25 CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION.-:
Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la
verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado.
1.26 RESOLUCION DE UNA INECUACION.»:
El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el
intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la
inecuación.
1.27 INECUACION DE PRIMER GRADO EN UNA INCOGNITA.-
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma:
Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir, sí a > 0, entonces:
b . b
X > ------ O X < —
a a
Su representación gráfica es
O M M tM H H M H m tm ► Ó ■■
tHMtm tHftHHHtHtHiO
ax + b>0 ó ax + b < 0 , a=£Q
b X X b
a a

Luego la solución es dado en la forma: x e < — ,+oo> ó x e < -oo,— >
a a
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.
0 3x —4 < x + 6
Solución
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación
en la forma:
En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:
3x - x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5, es decir: x e <-oo,5>
m m H H M H tM m m tO ------► La solución es: x e <-oo,5>
5
0 3(x —4) + 4x < 7x + 2
Solución
Poniendo en un sólo miembrola incógnita y en el otro miembrolos números:
3x - 12 + 4x < 7x + 2 => 3x + 4x - 7x < 2 + 12simplificando 0 < 14
esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el
conjunto de todos los números reales (x e R).
0 5x —4(x + 5) < x —24
Solución
En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y
en el otro miembro los números: 5x —4x —x < -24 + 20 simplificando 0 < - 4
Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que
verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío (<
¡>
).
0 2 < 5 —
3x < 11
Solución
Aplicando la propiedad de transitividad: a < b < c o a < b A b < c

2 < 5 - 3 x < 11 <
=
> 2 < 5 - 3 x a 5 - 3 x < 11
» 3 x < 5 —2 a5 —l l < 3 x
o x < 1 a -2 < x -- O/////////////////////////////!
-2 1
La solución es: x e<- 2, l ] -----------------------
1.28 ÍINECUACION DE SEGÜNOD GRADO E3 UNA INCOGNITA,,
Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma:
ax2 +bx +c>0 ó aje2 +e <Q, a * O
í
donde a,b,c e R, siendo a * 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las
propiedades de los números reales ó también por medio de la naturaleza de las raíces del
trinomio ax2 + b x + c - 0.
a) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO.
Consideremos el trinomio de segundo grado
al analizar el valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan
tres casos:
Io Caso.- Si A = b 2 - 4 ac > 0, entonces hay dos valores diferentes rx < r2 que
anulan el trinomio ax1 +bx +c = 0 .
Es decir: a(x - rx)(x - r2) = 0 , si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta:
i) Cuando x toma valores menores que r ,, los factores (x-r¡) y ( x - r 2) son
negativos,luego el trinomio ax2 +bx +c , tiene el mismo signo del coeficiente
de “a”.
¡i) Cuando x toma valores intermedio entre i y r2; entonces el factor (x ) es
positivo yel factor ( x - r 2) es negativo, luego el trinomio ax2 +bx+c , tiene
signo opuesto del coeficiente de “a”.

iii) Cuando x toma valores mayores que r2, entonces los factores (x -r ¡) ,
( x - r 2) son positivos, luego el trinomio ax1 + bx + c , tiene el mismo signo
del coeficiente de “a”.
2o Caso.- Si A = b2 -Aac = 0 , entonces hay un solo valor real >
=r2 = r , que
anulan el trinomio ax2 + bx +c , luego como ( x - r ) 1 es positivo, el
signo del trinomio ax2 + bx + c es el mismo del coeficiente de “a”.
3o Caso.- Si A = b 2 - 4ac < 0 , entonces se tiene dos valores no reales
-■ r¡ = a +fíi y r2 = a - fii que anulan el trinomio ax1 + bx + c , y para
i » / J* ' ' -
cualquier valor de x, el trinomio: ax2 + bx +c tiene el mismo signo del
coeficiente de “a”.
NOTA.- Sí ax2 + bx + c = 0 entonces x = —------ ------
2a
b) RESOLUCION DE UNA INECUACION DE SEGUNDO GRADO.-
Para resolver una inecuación cuadrática de las formas ax1 +bx +c > 0 ó
ax2 + bx + c < 0 , donde a,b,c e R , a # 0 , por medio de la naturaleza de las raíces
primero se resuelve la ecuación ax2 +bx+c = 0 , y de acuerdo a la naturaleza de las
raíces se presenta tres casos:
Io Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene dos raíces reales diferentes
< ri ' " + v 7 v ~
*---------------© — :— e -------------
i) Si la inecuación es de la forma ax2 +bx +c > 0 , con a > 0, la solución es todos
los valores de x que pertenecen al intervalo < - o o , > U<r¡ ,+ao>.
¡i) Si la inecuación es de la forma ax2 + bx +c <0 con a > 0, la solución es todos
lo valores de x que pertenece al intervalo < r¡,r2 > .

2° Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene una raíz real única rx =r2 = r .
+— 1 6 ' >
r
i) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx +c> 0 , con a > 0.
La solución es todos los valores de x * r, es decir: x e <-oo,r> U <r,+oo>
ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx + c < 0 , con a > 0.
No se verifica para ningún valor real de x.
3o Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene dos raíces no reales.
i) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx +c >0, con a > 0.
La solución es todos los valores reales de x.
ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx+c < 0 , con a> 0.
No se verifica para ningún valor real de x.
RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO.
Forma de la Inecuación
Raíces de la Ecuación
ax2 +bx +c = 0
Conjunto Solución
ax2 +bx +c> 0 , a > 0
Raíces diferentes
r <r2
< —
oo,r, > U <r-, ,+oo >
Raíz Real Unica r R —{r}
Raíces no reales R
ax2 +bx +c < 0 , a > 0
Raíces diferentes
r <r2
<rx,r2 >
Raíz Real Unica <
t
>
Raíces no reales <
l>

©
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.
2x2 —
jc-10 > 0
Solución
Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales:
a,b > 0 o Ca>ÖA b > 0 ) v {a< 0 a b < 0)
2;t“ -;t- 1 0 > 0 => (x + 2)(2x —5)> 0
(x + 2)(2x- 5 ) > 0 <
=
> (x + 2 > 0 a 2 x —5 > 0 ) v ( x + 2 < 0 a 2 x —5<0)
©
O-
<
=
> (x > -2 a x > 5/2) v (x < -2 a x < 5/2)
----------------- ► -«
--------------- O
-2
O---------------
Q//////////A
5
2
-O
« ///////////O
-2
-6—►
5
2
La solución es: x e < —
oo,—
2 >U <—,+oo>
2
Otra forma de resolver esta inecuación, es por la-naturaleza de sus raíces de la ecuación
, 5 ,
2x~ - jc- 1 0 = 0 , de donde = -2 , r2 = — , luego < r2 y como 2x —je: — 10 > 0 ,
de acuerdo al cuadro la solución es: 7
¥
x e < - 00,-2 >U <—,+«>>
2
;t2 +8jc-6 5 < O
Solución
Usando propiedades de los números reales.
¡ s r < ¿ > , b > f l O -^ h < a < -4 b
completando cuadrados en x 2 + 8x-6 5 < O, se tiene:

x 2 + 8x + 16 < 65 + 16 => (x + 4)2 <81, aplicando la propiedad
(x + 4)2 <81 o -^|8Í <x +4<4%Í
<
=
> - 9 < x + 4 < 9 o - 1 3 < x < 5
La solución es x e <-13,5>
Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de
x 2 + 8 x -6 5 = 0 , es decir: (x + 13)(x —5) = 0 de donde rj = —
13, r-, =5
de acuerdo al cuadro es: x e <-13,5> "* O ///////////////O *"
-lo o
0 x 2 + 20x + 100>0
Solución
Mediante propiedad de los números reales se tiene:
x 2 + 2 0 jc + 1 0 0 > 0 => (x + 1 0 ) 2 > 0 entonces:
V x e R; x *-10, (x + 10)2 > 0 , por lo tanto la solución es; x s R -{-1 0 ¡
Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x 2 + 20x +100 = 0 => r = -10,
multiplicidad 2, y como x 2 + 20x +100 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es:
x g R —{-10}
® , 3 9
x ~+ —jc+ — < 0
inn
Solución
Aplicando la propiedad de los números reales: V x e R , x 2 > 0
3 9 3 'i 3
luego x 2 + —x + -----<0 => (x + — )2 <0 pero (xh-------)2 > 0 , entonces no existe
5 100 10 F 10
ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir: <
j>
.

3 9
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación x~ +—x +-—- = 0 ,
5 100
3 9 3 9
de donde r = ----- de multiplicidad dos, pero se tiene que x~ +—x +-------- <0 y de
10 5 100
acuerdo al cuadro la solución es: (|).
I M INECUACIONES POLINOMÍCAS.-
Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente:
P { x } - a nx n +,..+atx+a$ > 0 ó '. P{x) ~ a„xn + < 0
donde o0, s o n constantes y a„ * 0, n e Z 4 .
a) RESOLUCION DE UNA INECUACION POLINOMICAS.-
Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 ó P(x) < 0, se resuelve de acuerdo
a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma
sencilla y rápida, considerando a„> 0 .
Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio
P(x) = a„xn +...+£7lx + a 0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene
n raíces, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.
I o Caso.- Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales
diferentes. Es decir: rx < r, < ...< rn_x < rn
a) En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio
P(x) = 0, se alternan los signos “+” y reemplazando por asignar el signo
(+) al intervalo < rn,<
x>> .
^ A A ^ A ^ T A A ^ A A ^ r
■■■■■ rn-3 rn-2 rn-l rn

b) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx n +...+alx +a0 > 0 ,
an > 0; al conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le
ha asignado el signo
c) Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anx" +...+axx +a0 < 0 ,
a„ > 0 ; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le
ha asignado el signo
NOTA.- Explicar el método de Ruffini
Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes:
© jc5 +3x4 - 5 x 3 -15x2 +4jc+ 12>0
Solución
Expresamos el Io miembro de la inecuación en forma factorizada
(x + 3)(x + 2)(x—l)(x + 1)(x —2) = 0
1 3 -5 -15 4 12 1
1 4 -1 -16 -12
1 4 -1 -16 -12 0 2
2 12 22 12
1 6 11 6 0 -1
-1 -5 -6
1 5 6 0 -2
-2 -6
1 3 0 -3
-3
1 0

Luego las raíces son: /•, = -3 , r2 = - 2 , r3 = - l , rA = 1, /-5 = 2
©
-3 - 2 - 1 1 2
Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+).
Es decir: x e <-3,-2> U < -l,l> U <2,+oo>
2x3 -3 jr2 -1 l.v + 6 < 0
Solución
Hallaremos las raíces de la ecuación 2x3 - 3x2 -1 Le+ 6 = 0
2 -3 -11 6 -2
-4 14 -6
2 -7 3 0 3
6 -3
2 -1 0 '/2
1
2 0
Luego las raíces del polinomio son: r, = -2 , r2 = —, r, = 3
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (-). Es decir: x e < -oo,-2 > { / < —,3 >
2
2° Caso.- Si algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de
multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:

a) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0
es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los
intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del Io caso.
b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio
P(x) = 0, es impar, en este caso a la raíz se considera para la determinación de
los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del Io caso.
Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes.
0 ( x - l ) 2(x + 2)(x + 4) > 0
Solución
Resolviendo la ecuación (x -1 )2(x + 2)(x + 4) = 0, de donde rx = - 4 , r, = -2 , y
= 1, de multiplicidad 2.
-4 -2 1
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+), es decir: x e <-co,-4> U <-2,+co> - {1}
© (2x +1)(3x - 2)3(2x - 5) < 0
Solución
1 2
Resolviendo la ecuación (2x + l)(3x-2)3(2x-5) = 0, de donde ri = y de
multiplicidad 3, r, = —
-1/2 2/3 5/2
1 2 5
donde aparecen el signo (-). Es decir: x e < -oo,- —> U <—,—>
3o Caso.- Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en
este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los
intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los
casos anteriores.

©
Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones.
(.v2 -7 )(x 2 +16)(.v2 —
16)(jc2 + 1) < 0
Solución
Resolviendo la ecuación: (x 2 - l ) ( x 2 + 16)(x2 -16)(x2 +1) = 0, de donde
rx = -4 , r2 =—
j 7 , i =^ 7 , r4 =4, r¡¡ =-4/, r6 =4i , r-¡ =/,
+ A A T - i
-4 -V7 V7 4
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es de la unión de losintervalos
donde aparecen el signo (-), es decir:x e < - 4 - - J l >U <-Jl,4 >
( ? ) (1+x + x 2)(2- x - x 2) > 0
Solución
La inecuación la expresaremos así: (x2+x + 1)(jc2 + x - 2) < 0
ahora resolviendo la ecuación (x1 +x +){x2 + x - 2 ) = 0 de donde: r¡= - 2 , r2 =1,
-1 + V3i -1 -V 3 ; -----
r3 = ----r ----, # 4 = ---- ----- •
AA~rA/' +
-2 1
donde aparecen el signo (-), es decir: x e [-2,1]
L30 INECUACIONES FRACCIONAR! AS.-
Una inecuación fraccionaria en una incógnita es de la forma:
donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero.

Sistema de Números Reates 43
©
Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones:
P(x) . . P(x) _ . , ,
----- - > 0 o ------- < 0, son equivalentes a las inecuaciones
Q(x) Q(x) M
P(x).Q(x)>0 ó P(x).Q(x)<0 es decir: Si Q(x)*0=> Q 2(x)> 0, de donde se tiene:
Si ^ > 0 =* P(x)n f ' ( x ) >0.Q2(x) =¡> P(x).Q(x) > 0
Q(x) O(x)
Si ^ > < 0 => P(X)Q (X)< 0 .Q2(x) => P(x).Q(x)< 0
Q(x) Q(x) V ’w v w
Ejemplo.- Resolver las inecuaciones siguientes:
(.t2 -1)(x + 3)(jc-2 )
;>u
Solución
/ ^ (-Y- -1)(jc+3)(* -2 ) ^ Q
^ (x—5)(x +7)
, • (*2 -l)(* + 3)(*-2) , • • • ■
■
La inecuación----------- ——---------- > 0 , es equivalente a la siguiente inecuación.
(x-5)(x +7) H B
(jc2 —1)(jc+3)(jc—
2)(jc—
5)(jc-»
-7) > 0, para x * -7 ,5
ahora hallaremos las raíces de la ecuación (x 2 —
1)(jc -i-3)(jc —2)(jc —5)(jch- 7) = 0 .
De donde r, = -7 , r2 -3 , = -1 , r4 = 1, rs =2 , r6 = 5, que son reales diferentes.
- 7 - 3 - 1 1 2 5
P(x)
Como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+) es decir: x e <-»,-7> U <-3,-l> U <1,2> U <5,+oo>
x - 2 jc+ 1
<-
x +3 x

Solución
La inecuación dada se expresa en la forma, mayor que cero o menor que cero, es decir:
x - 2 .r + 1 x ( x - 2 ) - ( x +l)(x+3)
--------------- <0 => —------- — --------------- < 0 , de donde:
x + 3 x x(x + 3)
6x—
3 2x +1 .
<0 => ---------- > 0 , que es equivalente a:
x(x + 3) a
'(x + 3)
x(2x + 1)(x + 3)x > 0, para x * -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación.
(2x + l)(x + 3)x = 0, de donde r, = -3 , r2 = — , r3 =0
-3 -1/2 0
Como la inecuación es de la forma: (2x + l)(x + 3)x > 0,
la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). es decir:
x e < —
3,—>U < 0.+ »>
2
x x - 2x
-+ -----<-
x -1 X X + 1
Solución
x x —
1 2.x
La inecuación dada expresaremos en la f o r m a :------- h:--------- -— < 0
jc-1 .v x +1
x'(.v + l) + (.í-lK .r-l)(x + l)-2 x ‘ fx -l) .
----------------------------------------------------- < 0 , simplificando
(x-D xU +l)
2x2 - x +l
< 0 , que es equivalente a la inecuación.
(a- - 1 ) .v(a- + 1)
(2x2 - x +l)(x-l).v(.v +1) < 0, para x * -1,0,1

ahora encontramos las raíces de (2x2 - x +l)(x- )x(x + 1) = 0 , de donde sus raíces son:
. - V + / ~ V + “ „
-1 0 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma ------ < 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (-), es decir: x e <-*>,-1> U <0. 1>
1,31 INECUACIONES E X P ( Í Ü Í I Ü M C
Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma:
donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a e R +, a 1.
Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos:
1 ° Caso.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el
mismo sentido prefijado, es decir:
Si > a ^ y. <=> f[x)>g&}
Sí a ri' ^ < a sM o f|x)<g(&)
2o Caso.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en
sentido contrario al prefijado, es decir:
Sí a fíx)> a ^ o f(x)<g(x>
Si a f i A < a ^ <
=
> fíx) > gíx)
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones:

0 3/3(S,-l>/3
Solución
5jr-t-l 3(x +l) 5x+l 6x+6
La inecuación dada es equivalente a: 3 9 < 9 10 => 3 9 < 3 10
, ^ , 5jr+ l 6.v+ 6
como a = 3 > 1 entonces ------- < ---------
9 10
50.y+ 1 0 < 54.r + 54 =
?> —
44<4.v => x > - l l => xe<- l l , +oo>
La solución es: x e <-11 ,+»>
0 [(0
,2
>
tv
^
1
K
' 2
)]A3>(0
,°1
2
^ 3jr-l
Solución
La inecuación dada se puede escribir en la forma:
(jr-j-'Xjr -2) . (x+l)(.r-2)
(0 ,2 ) * - 3 > ( u - ^ z o )3x-i d e d o n d e : (0<2) v-3 > ( 0 , 2 ) 12a- 4 ,
8
, . (x + )(x-2) (jc + 1)(jc—2)
como a = 0.2 < 1, se tiene:--------------- < 1 2 - 4 => ------- --------1 2 * + 4 <0
x - 3 jc—
3
1 lx 2 -39x + 14
efectuando operaciones y simplificando tenemos: --------------------> 0, esta inecuación es
x -3
equivalente a: (1 be2 -39x + 14)(jc - 3) > 0 parax*3.
Ahora hallando las raíces de : (1lx2 -39x + 14)0c-3) = 0 , de donde:
39-^905 , 39+^905
r, = ------------- , r7 = 3 , =-------------
1 22 2 3 22
39-V905 3 39+^905
22 22

P(x)
Q(x)
, ■ . ■ 39-^905 , „ 39 + ^905
donde aparece el signo (+) es decir: x e < -------------- j > U <-------------- ,+w >
22 22
1.32 INECUACIONES IRRACIONALES.»
Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma:
.....Ó .............................0
donde P2(x),P-¡ (x),...,P„ (x) son monomios o polinomios diferentes de cero.
Para que la solución de la inecuación sea valida debe resolverse antes la condición
P¡(x)> 0, i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solución
constituirá el universo o dentro del cual se resuelve la inecuación dada.Debe observarse
que quiere decir, (+^P(x)) y si se desea la raíz negativa se escribirá
expresamente como (--JPfx)); es decir:
i) V P(x) > 0 , ^P(x) > 0 ii) -JP(x) = 0 <» P(x) = 0
para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes
propiedades:
O 0 < x < y <
=
> 0 < 4 x < © 0 < x < y o 0 < 4 x < J y
© 0 < x < y <
=
> 0 < 4 x < ^ y
Si n es un entero positivo par.
ax) V P(x) > 0 !{¡P(x) > 0 <=
> P(x)>()
a2) H¡P(x)= 0 <
=
> P(x) = 0
ö3) » 0 < P(x) < Q(x)

J
ii) Si n es entero positivo impar.
bx) ^jP(x) > 0 <
=
> P(x) > 0
b2) '-{]P(x) < 0 o P(x) < 0
bi) !{[PM<!{lQM » P(x) < Q(x)
Las propiedades 6, ), b2) indican que '-{jP(x) tienen el mismo signo que P(x) si n es
impar.
OBSERVACION.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se
calculan los universos relativos UX,U 2,...,Uk para cada radical
y el universo general será U = Ul n U 2 n . . . n U k .
Daremos algunos ejemplos de ilustración de estas propiedades, para después estudiar las
diversas formas de inecuaciones irracionales.
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones
Q -Jx +5 > -2
Solución
Como -Jx +5 > -2 es valida para todo x tal que x e U : x + 5 > 0 => x > - 5
=> U = [-5,+»>, luego el conjunto solución es [-5,+*»
© -Jx + 1 >0
Solución
Como -Jx +7 > 0 entonces el conjunto universal es x + 7 > 0 => x >- 7 U = [-7,+co>
Además -Jx +l >0 <=>x + 7 > 0 = > x e <-7,+oo>.
Luego el conjunto solución es x g [-7,+*>> A <-7,+oo> x g <-7,+o
o
>
@ -Jx^5<0

Solución
Como sjx- 5 < 0, el conjunto universal es x - 5>0 =
> x >5 =
> U= [5
,+
o
o
> ycomo
0 <-Jx-5 < 00 '/i-5 =0 =
> x—
5=
0=
> x =5 e U
, luego el conjunto solución es {5
}.
@ <0
Solución
Como -Jx-H < 0 es absurdo entonces la solución es (|).
© V
-v+9 >0
Solución
Como a
/-í + 9 >0 es verdadero V x e U: x + 9 > 0 es decir U = [-9,+°o>, luego el
conjunto solución es x e [-9,+oo>.
© V8-2.v <VÍ3
Solución
El conjunto universal es 8 —2x > 0 => x < 4 de donde U = <-oo,4],
-Jü-2x < ~ j v í o 8 - 2 x < 1 3 => de donde j c g [ - ^ , + o o > . Luego el
conjunto solución es: U n [ —
^-,+«>>=[-—,4]
© -
V
A
T
3
"-
4
- >-3
Solución
Calculando los universos relativos.
L : x + 3 > 0 => x> -3 => x e [-3,+oo>
U2'. 4 —x > 0 x < 4 x e <-»,4]
U =í/j nt/2=[-3.+oo>n<-oo,4] = [-3,4]
como la suma de dos positivos es siempre mayor que un negativo.
-Jx +3 +-J4-X > -3 es valido V x g U = [-3,4],

® - J x ^ 7 >3
Solución
Sea U: x —7 > 0 => x > 7 = > x e [7,+*>
-Jx—
7 >3 o x - 7 > 9 = > x > 1 6 => x e <16,+*>
el conjunto solución es x e U n < 16,+oo> = < 16,+*>
( ? ) -V -v-5 >0
Solución
- V-v-5 > 0 o -Jx-5 < 0 el conjunto solución es <
j>
.
©
V-í2 - x - 1 2 <-Jx2 - 6x +5
Solución
Calculando los universos relativos.
U] : x 2 - x - 1 2 > 0 => (x —4)(x + 3) > 0 + / . / +
-3 4
Ul =< -oo,-3] U [4,+x> >
U2 '■ x 2 - 6 x + 5 > 0 => (x —5)(x —1)> 0 + +
U2 =< -oo,l] U [5,+*> 1 5
U = Ul n U 2 = < - « - 3 ] U [5,+co >
Vx2 - x —
12 <-Jx2 -6 x + 5 <
=
> x 2 - x - 1 2 < x 2 -6 x + 5
17 17
de donde 5x<17 => x < — => x e< - 00,— ]
5 5
17
Luego el conjunto solución es: x e V A < - 00,— ] = < -oo,-3]
Vx2 - 4 (x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) ^ ^
(x + 4)3(x3 + 8 x 2 + 4x-48) “

Solución
Como t/x 2 - 4 tiene el mismo signo que x 2 - 4 y (x + 4)3 tiene el mismo signo
que x + 4 entonces la inecuación dada es equivalente.
¡x2 - 4 ( x - 2 ) 2(x3 -13x + 12) (x2 -4 )(x -2 )2(x3 -13x + 12) _
---------¿ U <
=
> ---------------:------------------------ > U
(x + 4)3(x3 + 8x 2 + 4x -4 8 ) (x + 4)(xi + 8.x2 + 4 x - 48)
Como V x e R, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces
(x2 —
4)(.v —
2)2(r 1 -13,v + 12) (x2 -4 )(x 3 -13x + 12)
■ U O ----------- ;-------;--------------¿ U
(x + 4)(x3 + 8x2 + 4x-48) (x + 4)(x3 + 8x2 + 4x-48)
(x + 2)(x -2 )(x - l)(x2 + x-12)
(x + 4)(x-2)(x + 6)(x + 4)
> 0, para x * 2, - 4
(x + 2)(x-l)(x + 4)(x-3)
(x + 6)
> 0, para x * 2, - 4
-6 -4 -2
Luego el conjunto solución es: x e <-6,-4] U [-2,1] U [3,+oo>
Vx + 7(x + 2)4(.v+ 3);
líx2
^ 7x + 12 Vh T I
fyx + 9 (x - 8 ) 3(x 3 -2 7 )(x 2 -1 4 x + 48)
<0
Solución
Los radicales pares nos da el universo U. 1 0 -x > 0 A x + 9 > 0 => x < 1 0 A x > -9
x e <-9.10] => U = <-9,10]
(no se incluye el -9 por que anula al denominador)
como los radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a:

Vx + 7(x + 2)4(x + 3)^Jx2 - 7 x + 2 $ ] 0 - x < ^ ^ $ J x + 7 (x + 2 )4
Jtf+3)^jx2 —7jc+12 ^ ^
^ + 9 ( j c - 8 ) 3(x3 -2 7 )(x 2 -1 4 x + 48) ~ (jc-8>3(jc3 -27 )(x2 -14x+48) ~
como los radicales impares tienen el mismo signo que las cantidades subradicales
entonces:
(x + 7)(x + 2)4(x + 3)(x2 -7 x + 12) „ , _ . 4 „
-< 0 , como para todo x e R (x +2) > 0
(or—8)3( x —3)(x') + 3 x + 9 )(x -6 )(x -8 )
(x + 7)(x + 3)(x-3)(x-4) .
-— , -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
-
-
-
-—
-< 0, para x * 3
, 8 simplificando tenemos
(x —
8) (x—
3)(x-6)(x-8)
(x + 7)(x + 3)(x-4) ^ A + A ~ ^ ~ ~ V + _»
--------- — ---------< 0 , x * 3,8 - 7 - 3 4 6
x e [-7,-3] U [4,6> luego el conjunto solución es: x e U n ([-7,-3] U [4,6>)
/. x e [-7,-3] U [4,6>
ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando
criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional.
1° Para las inecuaciones irracionales de las formas:
a) J P M > Q(x). La solución se obtiene así:
J P Ü j >Q(x) o (P(x) > 0 A [Q(x) < 0 V (P(x) > 0 A P(x) > Q 2(x))])
b) sJP(x) >O(x) ; la solución se obtiene así:
J P M >Q(x) o [P(x) > 0 A (Q(x) < 0 V [P(x) > 0 A P(x) >Q2(x)])]
2o Para las inecuaciones irracionales de las formas:
a) -JP(x) < Q(x); la solución se obtiene así:
J püc) < Q(x) «• [(P(x) > 0 A (Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(x ))]

b) -JP(x) < Q(x) ; la solución se obtiene así: /
JP(x) < Q(x) <
=
> P(x) > 0 A [Q(.x) > 0 A P(x) < Q 2(x)]
3o Para las inecuacionesirracionales de la forma:
a) -JP(x) +^¡Q(x) > 0; La solución se obtiene así:
4P(x)+4Q(x) >0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0
b) ,JP(x) + ~JQ(x) > 0 ; La solución se obtiene así:
^P (x )+ ^Q (x)> 0 => P(x) > 0 A Q(x) > 0
4o Para la inecuación irracional de la forma:
s¡P(x) +s[Q(x) > K , K > 0; La solución se obtiene así:
-¡FV¡)+4Q(x )> K ^ [(PU )> 0 A Q(x)> 0) A P(x) > ( k ~ 4 0 M ) 2]
5o Para las inecuaciones irracionales de la forma:
-JP(x) +^¡Q(x) < 0; La solución se obtiene así:
^ P ( X ) + ^ Q ^ j < 0 => P(x) = 0 A Q(x) = 0
OBSERVACION.-
C
’onsíderemos otros casos más generales.
Io Caso.- Si n es impar positivo mayor que uno.
P í » ) # w >0 o f w . e w >0
R(x) R(x)
b) _ < 0 « — <o
R(x)'i¡Q(x) R(x)Q(x)

c) ’
-ljP(x) <H¡Q(x) o P(x) < Q(x)
2o Caso.- Si n es par positivo
, P(x)
C)
d)
’
<¡QWR(x)
P(x)
A
O
2
IV
o
A
o
VI
Ó
A P U )>o
R(x)
A P W <0
R(x)
'4q (x )R(x) ~
e) nJP(x) > Q (x )o(P (x) > 0 A [Q(x) <0 V (P(x) > 0 A Q(x) > 0 A P(x) > Q" (*))]
f) !{fPÜ) < Q(x) o P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A P(x) < Qn(jc)]
Ejemplo.- Resolver las siguientes inecuaciones
(7) -n
/.v
2—14jc-i-13 > x - 3
Solución
V-v2 -14.V + 13 > .v -3 <=
> x~ -14.v+ 13> 0 A [jt —
3 < 0 V
(a-2 -14.V + 13 > 0 A .v2 -14.V + 13 > (jc- 3 ) 2)]
o jc2 - 1 4 .V + 13 > 0 A [x<3 V (jc2 - 14jc+ 1 3 > 0 A x< ~)]
o jc2 - 1 4 a + 1 3 > 0 A [ j[ : < 3 v x g < —
* ,1 ] U [1 3 ,oo> A x <—
]
o x 2 -14x + 13> 0 A [jc <3 V x < —1
2
o A 2 -1 4 .r + 1 3 > 0 A x<3

o (x—13)(x —1) > 0 A x < 3 x
» x e <-oo,l]U[13,+oo> A x < 3 x e <-*,l]
-Jx2 -14* + 13 < x +l
Solución
Aplicando la parte b) del Io caso:
■¡x2 -1 4 X + 13 < x + l <=>(.v2 -14.V + 13 > 0 A [jc +1 > 0) A (x2 - 1 4 * +13 < (x + l )2])
<=> ((jc —13)(jc —1>> 0 A [ . v > -1 ) A ((jc -1 3 )(.v -1 )< (.y + 1)2 ])
<
=
> ((jc-13)(x-1) > 0 A [x > —
l) A jc> —
]
4
<
=
> x e <-1,1] U [13,+*» A x > - ]
4
o x e < —.1] U[13.+oo>
4
2x - 8 5-.v
¿ il
Solución
Aplicando la parte b), del 3o caso: -JP(x) +s]Q(x) > 0 P(x)>0 A Q (x )> 0
Í 5 ^ > 0 0 A — 2 0
i x - i ]¡x + 3 -v-1x+3
o ( x - 4 ) ( x - 1) > 0, x * 1 A (5-x)(x + 3) > 0, x * 3
» (x —4)(x—1) > 0, x * 1 A (x —5)(x + 3) < 0, x * -3
~ + / - V + „ yV ____~
IA / - ,
1 4 -3 5

x e <-oo,l> U [4,oo> A x e <-3,5] /
----------------------------o • -------------------------
-----------e / / / / / / / / / / e ----------------------------
-3 1 4 5
O ----------------------------------------------------------------------•
La solución es: x e <-3,l> U [4,5]
OBSERVACION.- Si n es un numero positivo impar, entonces:
© 'jJP(x) <'ifQ(x) » P(x) < Q(x) © # W < # W « P(x)<0(x)
© o P(x) > Q(x) © '4poT)>'4q Ü) o P(x) > Q(x)
3j 2 _ j.
Ejemplo.- Resolver la inecuación __*
------------> 0
Solución
El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par y diferente de
cero: x 2 -1 > 0 , dé donde x 2 > 1 => x > 1 v x < -1 x e <-oo,-l> u <l,+oo>
luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación
> 0 , que de acuerdo a las observaciones, las expresiones del subradical tiene el
¡x + 5
mismo signo - ——> 0 , de donde —
—- < 0 ------ - .....^ ..................
x +5 .v+ 5 .5 3
x e <-5,3>
Luego la solución de la inecuación es: x e <-5.3> n (<-».-1> u <1,+oc>)
.-. x e <-5,-l> u < l,3 >
n i i • •• V A -A .(x 3+8x2 + 4x-48)
Ejemplo.- Resolver la inecuación--------------— ------------------- >0
(* + 4)5(x -13jc+ 12)

Solución
De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene que ^ x 2 - 9 tiene el mismo signo que
x 2 - 9 y que (x + 4)5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada
resulta equivalente a la inecuación:
(x2 -9)(x3 +8x2 + 4x-48) .
------------------------------------ > 0 factorizando el numerador y el denominador
(x +4)(x -13x + 12)
(.v+ 3)(x - 3)(x - 2)(x + 6)(a + 4) (a + 3)(a-2)(a + 6)(a + 4)
—---------------------------—----- —>0 o ---------------- -----------------> 0 , x * 3
<a + 4)(a-1)(a + 4)(a-3) (x +4) (a —
1)
(a+3)(a
--2)(a46Xx+4) ~ + V ' V + V 1 V +■
x-1 " - 6 - 4 - 3 1 2
x u [-6,-4] u [-3,1> u [2,+oo> - -¡3}
OBSERVACION.- Si n es un numero positivo par, entonces:
O ¡(/PW < ’
4 Q ( x ) « 0 < P(x) < Q(x) © oO V-V
Vx + 2
Solución
Aplicando la observación a) se tiene:
r 3 2 - 2 a „ 32 - 2 a
a/x < — ------ O ()< x< — —
V x+2 x+2
3 2 - 2 a
x +2
<=> X> 0 A a - 32 - 2x <0
. a + 2
r 2 + 4x - 32
<
=
> x > 0 a --------------— < 0
a + 2

„ x >o a í í ± w £ z í ) < o Z 2 ¿ Z 2 ¿ H 2 ¿ -
+
x +2
<» x > 0 a x e <-oo,-8] u <-2,4]
-8 -2 4
x e [0,4]
1.33 EJERCICIOS DESARROLI.ADOS.-
o Resolver la inecuación cuadrática: - 4 x2 +4x +3 > 0
Solución
La inecuación dada expresaremos en la forma: 4x2 - 4 x - 3 < 0
faclorizando (2x + l)(2x - 3) < 0, aplicando la propiedad de números reales:
(2x + 1)(2x —3) < 0 <
=
> (2x + 1 > 0 A 2x —3 < 0) V (2x + 1 < 0 A 2x —3 > 0)
1 3 1 3 *
«■ ( * > - - A x <•—) V ( x < — A x > - )
2 2 2 2
O -------------------------*
--------------------------O
--> V
-1/2 3/2
-O O
- 1/2 3/2
La solución es: x e < - —,—>
2 2
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces la ecuación 4x2 - 4x - 3 = 0 , de
donde r, = —- , r-, =—
+ +
-1/2 3/2
Como la inecuación es de la forma 4x2 —
4jr —
3 < 0 . la solución es la unión de los
intervalos donde aparece el signo (-), es decir: 1 1
W M
© x 5 +8x4 +12x3 - x 2 —
8jc—
12 > 0

Solución
Aplicaremos el criterio de las raíces de la ecuación: .r + 8x4 +12*3 - x 2 -8 .Í-1 2 = 0
La ecuación que queda es: x 2 + x +1 = 0 , cuyas raíces son:
/• = —* ■ Luego las raíces reales son: /•, = -6 , r2 = -2 , r-, = 1
-6 -2 1
donde aparece el signo (+). es decir: x e íi <L+<o>
( ? ) 12 x 4 - 56x3 + 89x 2 - 56x +12 < 0
Solución
Encontrando las raíces de la ecuación
12x4 -5 6 x 3 +89x2 -56x + 12 = 0 dividiendo entrex2

Reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
y
12(r2 - 2 ) -5 6 - + 89 = 0. entonces: 12r2 -5 6 r +65 = 0 => (6 r-1 3 )(2 r-5 ) = 0
de donde r = — . r = —
6 2
13 1 1 3 3 2
para : = — => ,v+ —= —• => 6x -13x + 6 = 0, de donde r->= —
6 x 6 2 "3
para r = — => x + —= — => 2x2 - 5 x +2 = 0, de donde r3 = —, r4 = 2
2 A
' 2 '2
ordenando las raíces en la recta numérica
+
1/2 2/3 3/2 2
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0. la solución es la unión de los intervalos
donde aparece el signo (-), es decir:
x(2x + 1)(x —2)(2x —3) > 63
Solución
Hallaremos las raíces de la ecuación:
x(2x + 1)(x —2)(2x —3) —63 = 0, entonces x(2x-3)(2x + 1)(x —2) —63 = 0
(2 x 2 - 3x)(2x2 - 3.v- 2) - 63 = 0
Sea r = 2.'2 -3 x z ( z - 2)-63 = 0
r 2 - 2 r -6 3 = 0 => (;-9 ) (r + 7) = 0, dedonde z = 9, z = -7, entonces:
Para z = 9 => 9 = 2.y2 -3.y => 2.t2 —
3jc—
9 = 0 , dedonde: r, = — . r-, =3
i 2 .

Para z = -7 => --7 = 2x —
3jc => 2 jr-3 jc + 7 = 0, dedonde: r =
3 + V47i
+
-3/2 3
donde aparecen el signo (+), es decir:
I !
X > U <3„+0t>
©
x < x - 3
1- x 2 - x
Solución
La inecuación dada se escribe en la forma:
.v x - 3
1—x 2 - x
-2x +3
( l - x ) ( 2 - x )
2 x - 3
<0
x ( 2 - x ) - ( x - 3 ) ( l - x )
(l-x )(2 -x )
< 0, simplificando
<0
2 x -3
(x-l)(x-2)
> 0 , es equivalente a la inecuación
> 0 , entonces la inecuación
( x - l) ( x - 2 )
(2x —3)(x —1)(x -2 ) > 0 para x ^ 1,2 encontrando las raíces de la ecuación
(2 x -3 )(x -l)(x —2) = 0, se tiene: r, = 1, r, = —, r-, =2
1 . 23
3/2
como la inecuación es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: XC< !,-} £ / < >

©
x - 2 x + 1
■< ----
x + 3
Solución
La inecuación dada se escribe en la forma:
x - 2 x + 1 A x(x - 2) - (x + )(x + 3) .
-------- — <0 => ----------;-------------------<0 , simplificando
x + 3 x x(x + 3)
-6 x —
3 n2x +
---------- <0 => -----------> 0 , entonces la inecuación -----------> 0 es equivalente a la
x(x + 3) x(x + 3) x(x+3)
inecuación (2x + l)x(x + 3) > 0, para x * -3,0, ahoraencontraremos las raices de la
ecuación: (2x + 1)(x + 3)x = 0, de donde rx = -3 , r2 = —~ , r3
=0.
-3 -1/2 0
Como la inecuación P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el
signo (+) es decir:
i
______ 2_______
x 1 -5 x + 6
¿ u
Solución
0 * ;- 5 » + 6 > o
^ x + x -4 2
x -5 x + 6 „ (x -2 )(x -3 ) ,
— >0 <
=
> ------------------> 0 , esta inecuación es equivalente a:
x + x -4 2 (x + 7)(x - 6)
(x—
2)(x—
3)(x + 7)(x - 6) > 0 para x * -7,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación,
(x —2)(x —3)(x + 7)(x —6) = 0, donde i = -7 , r2 = 2 , r3 = 3 , r4 = 6.
-7 2 3 6

P(x)
Como la ecuación es de la forma ------>0 la solución es la unión de los intervalos
Q
(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: x £ -7> U [2,3
®
- x 3 + J 2 +22.V--40
x(x +7)
>0
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma:
x 1 -.v 2 - 22x + 40 (x -2 )(x -4 )(x + 5)
<0 => ------- :----------------- < 0
x{x +7) x{x + 7)
, -, (x-2 )(x-4 )(a
:+ 5) . ,
La inecuación --------- -— ......... < 0, es equivalente a:
x(x +7)
(x —2)(x —4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, para x * -7,0
ahora encontramos las raíces de la ecuación
(x -2)(x -4)(x + 5)x(x + 7) = 0 de donde: rx = - 7 , r2 = -5 , r3 = 0, r4 =2 , r5 = 4
P(x )
Como la inecuación es de la forma ------ < 0, la solución es la unión de los intervalos
Q
(x)
donde aparecen el signo (-), es decir: x 6 <-aj,-7> tí U [2,4]
©
i 24~ 4x n
1+ —
------------- > 0
x 2 —
2jc—
15
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma: — — 6x +9 ^ ^ ^
a
-2 - 2a
--15
(x -3 y
(,r-5)(.r + 3)
> 0

i ( t —
3)“
pero (x -3 )2 > 0 , x * 3 , entonces: — —— — —> 0 <
=
>
1
(x-5Kor+3) U-5KX+3)
> 0 para 3
1
(.r-5)(.t + 3)
> 0 . x * -3,5 •» (x —5)(x + 3) > 0. para x * -3, 5,
ahora encontraremos las raíces de (x —5)(x + 3) = 0, de donde jj = - 3 , r2 = 5 .
A A ~ ^ A A
-3
PiJr)
Como la inecuación es de la forma —— > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+). es decir: | x 6 <-se,t3> U <5v*>>- f$f
3.V+ 5
<3
2x + l
Solución
A la inecuación dada escribiremos en la forma:
---------- 3 < 0 o ---------- < 0 C
3> --------->0
Z t + 1 2x +1 2x+l
— ——> 0 o (3x —2)(2x + 1) = > 0 , para x * ——
2 x + 1 2
I 2
ahora encontramos las raíces de: (;3x—2> (2x + I) = 0, donde ri =—*r2 = y
-1/2 2/3
P{x}
Como la inecuación es de la forras —— > 0 , la solución es la unión de los intervalos
Qix)
donde aparecen el signo (+>, es decir

©
(2.v2 -8 x + 8)(x + 3)
x + 6
(2x2 -8 x + 8)(x + 3)
x + 6
x + 3
>0
Solución
x + 6
> 0 , (x -2 ) > 0 , V x e R
x + 6
> 0 <
=
> (x + 3)(x + 6) > 0, para x * -6
Luego las raíces de (x + 3)(x + 6) = 0 son rx = - 6 , r2 = -3
-6 -3
P{x)
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: X
, e <~to,~6> U
( l- x - x ~ ) ( 2 - x - x )
(3 -x )(2 -x )
( l - x - x 2)(2 -x --x 2)
(3 -x )(2 -x )
(x2 + x -l)(x 2 + x -2 )
>0
>0 <
=
>
Solución
(x + x -l)(x ~ + x -2 )
>0
(x-3)(x -2 )
>0<=>(x2 + x -l)(x 2 + x -2 )(x -3 )(x -2 )> 0 , parax*2,3
(x -3 )(x -2 )
ahora encontramos las raíces de: (x2 + x -l)(x 2 + x -2 )(x -3 )(x -2 ) = 0 , dé donde
-1 -V 5 -1 + ^ 5 , 0 ,
rx = -2 , r2 = ---- ----- , r3 = — -— , r4 =1, /-5 =2 , r6 =3
-2—
1—v/5 -1 + V5 1 2 3

Como la inecuación es de la forma
P(x)
Q(x)
> 0, la solución es la unión de los intervalos
2 l
i
l
i
5 i 5 -
>
x -1 x - 2
x 4 + l x +2
Solución
V x e R, x 4 + l > 0 , x 4 + 2 > 0 , entonces la inecuación dada se puede escribir en la
forma: (x5 -l)(x 4 + 2 )< (x 5 -2 )(x 4 +1), efectuando operaciones y simplificando se
tiene: x 4(x + l ) < 0 , luego encontrando las raíces de
x 4(x + l)= 0 se tiene /¡ = -1 , r2 = 0 , multiplicidad 4.
-i
punto critico de
multiplicidad par.
Como la inecuación es de la forma p(x) < 0, la solución es:
(x¿ - 2x + 4)(x-1)
(2x + l)(x + 4)
<0
Solución
(x2 - 2 r + 4)(x-l)
La inecuación ---------:-------------- < 0, es equivalente a:
(2x + l)(x + 4) M
(x2 -2 x + 4)(x-l)(2x + l)(x + 4) <0 , para x * - 4 , --
ahora encontramos las raíces de la ecuación.
(x2 - 2x + 4)(x - l)(2x + l)(x + 4) = 0 , de donde.

Á------------------
= - 4 , r2 = — , r3 = 1, r4 = l+^¡3i, r5 = 1-^ 3 /
- 1/2
P(X )
Como la inecuación es de la forma — — < 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (-), es decir: ,t € < -» ,-4 > U 
x +5 x -1
x —6 x - 3
Solución
x + 5 x —
1 x + 5 x —
1
------ < ------- c? ----- -------- - < 0 , efectuando operaciones se tiene:
x - 6 x -3
3x - 7
x - 6 x -3
<0 <
=
> (3x —7)(x —6)(x-3) < 0, x * 3,6
(x -6 )(x -3 )
ahora encontramos las raíces de la ecuación
(3x - 7)(x - 6)(x -3 )= 0, de donde r, =— , /•, = 3, r-, = 6
3
+
7/3
P(x)
Como la inecuación es de la forma — — < 0 , la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (-), es decir: x €< -*>,-] V <3,6 >
3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ^ -----------------
Solución
(x + 2)2 > 0 , para x * -2, la inecuación dada es equivalente.
(x-3)(x + l)(x + 4) ,
---------------------- —=—----p - > 0 , la cual es equivalente a:
(jc+ 2)x(x + 3)(x + V 3)(x-V 3)
(x-3)(x + l)(x-4)x(x + 3)(x + -j3)(x--j3)(x +2) > 0 , x ^ O ,-3,-2, -^3 , —73
ahora encontramos las raíces de la ecuación,
(x + 2)(x - 3)(x +1)(x - 4)x(x + 3)(x + V3)(x - V3) = 0 , de donde
/•, = -3 , r2 = - 2 , /-3 = —s/3 , r4 = -1 , r5 = 0 , r6 = -y/3 , r7 = 3, r8 = 4
-3 -2 -V3 -1 0 -73 3 4
P(x)
Como la inecuación es de la forma -— - > 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
x e < > U < -2,-73 > l/< - ! ,ü > t/ < a/3,3> £/ < 4,+^o>
17) *
x + 2 x" + 2
Solución
^ 2 2
X- 2 X x - 2 X n j j
------ < —
------- <=>--------------------------------------- --< 0 , de donde
x+ 2 x + 2 x+2 x '+ 2
- 4 x 2 + 2 x -4 2x2 - x + 2 a
----------- ------<0 ------------ ------->0
(x + 2)(x +2) (x + 2)(x +2)
V xeR, 2x2 -x-t 2 > 0 y x 2 + 2 > 0 , entonces se simplifica la inecuación------ > 0
x + 2

Luego------ >0 o x + 2 > 0, para x * -2. La solución es:
x+ 2
x + 4 x
■>-
x - 7 x+l
Solución
x+ 4 xx+ 4 x . , , ,
•> -----
-
—
---r > 0, de donde
x - 7 x + l
12x + 4
x - 7 x + l
>0 o (3x + l)(x-7)(x + 1) > 0, para x *-1,7
(x-7)(x + l)
ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x + l)(x —7)(x + 1) = 0, de donde
r2 — ■
r . r3 - 7
-3 -1/3
P(x)
Como la solución es de la forma ------ > 0, la solución es la unión de los intervalos
Q(X)
donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir:
x £< < 7,+üG >
2 x ' -6 x + 3
x 2 -5 x + 4
2x2 -6 x + 3
x 2 -5 x + 4
x 2 —
x —
1
Solución
> 1 <
=
>
2x - 6x + 3
x 2 -5 x + 4
-1 > 0 , de donde
>0 <
=
> (x 2 —
x —
1)(x2 —
5x + 4) > 0 p a r a x * l,4 ;
x 2 - 5x + 4
ahora hallaremos las raíces de la ecuación.
(x2 - x - l) ( x 2 -5 x + 4) = 0, dedonde r2 =1, r3 = ~ , r4 = 4

i + S
I- V5
P(x)
Q(x)
2jc-1 x x +
< ------ U <1.--------- >U <4,+30>
a : 2 2
x +4x +4 x +4
Solución
2 x -l x x + 1 2 x - l x
< - — - < <
=
>
x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4 x +4
- — — <0 A — ---- - ^ - < 0 , de donde !-<0 A
x +4 x+4 x +4 x +4 x - 4 x +4
> 0 , estas
ecuaciones son equivalentes a:
(x — 1)(x + 4) < 0 A x + 4 > 0, para x * -4 ahora encontraron las raices de las
ecuaciones, (x —2)(x + 4) = 0 A x + 4 = 0 , de donde t = - 4, r2 = 1 A r3 = —
4
A
+
-4
de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es: x e <-4,l> A x e [-4,+to
>
4 x 2 - x - 2 < 5 - x
Solución
Aplicando la propiedad: ^jP(x) < Q(x) <
=
> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0) A (P(x) < Q 2(x)])
4 x 2 - x - 2 < 5 - x <
=
> (x2 - x - 2 > 0 A [5 -x > 0 A x 2 - x - 2 < (5 -x )2])

<
=
>(x2 - x - 2 ) >0 A [5 -x > 0 A j:2 —jc—
2 < 2 5 —
1Ojc-hjc2])
<
=
> (jc- 2)(x +1) > 0 A (x<5 A x<3)
-1
x e <-oo,-l ] U [2,5] A x e <-*>,3>
5
-o
/W/iW
W
iW
O--------- Q
W
////////////zO
-1 2 3
----------------o
La solución es: x 6 <-'/„,-! j U [2,3>
3.V-4
22J y(0.8) 4 > v(0.64) 5
2 .V -2
Solución
3j -4 4x-4
La inecuación dada es equivalente a: (0.8) 16 >(0.8) 40
como a = 0.8 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir:
3.V-4 4.t - 4
16 40
3 * -4 x-1
■, efectuando y simplificando.
8
< -
12
=> x< — , la solución es:
5 7
12
X <£< >
-
¡ 2 4 - 2 x - x 2 <x
Solución
Aplicando la propiedad siguiente:
-JP(x) < Q(x) <
=
> (P(x) > 0 A [Q(x) > 0 A P(x) < Q 2(*)])

V24 —
2x —
jc2 <x <
=
> ( 2 4 - 2 x -x 2 > 0 A [x > 0 A 2 4 - 2 x - x 2 < x 2])
<
=
> (x + 2x < 24 A [x > 0 A 2x + 2x > 24])
<
=
> ((x + 1)2 <25 A [x> 0 A(x + y ) 2 > —
~)
« (-6 < x < 4 A [x > 0 A (x > 3 V x < -4)])
<=
> x e [0,4] A x e <
-o
o
, -4> U <3,+*>
x r <3,4
6.V-4 2*-33.V-44.V-2
( 0 .2 5 ) ~ .( 0 .5 ) ~ < (0.0625) ^ .(0.125) ^
Solución
12*-» 2*-3 6x-8 4x-2
La inecuación dada es equivalente a: (0.5) 3 .(0.5) 4 <(0.5) 3 .(0.5) 3
12*-» 2.V-3
Operando tenemos: (0.5)
6.t-8 4.V-2
4 <(0.5) 3 ' 3
Como a = 0.5 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario a la
. ., , . 12x-8 2 x -3 6 x -8 4 x -2
inecuación, es decir: ---------+ -------- > ----------b--------
12x-8 2 x -3 10x-10 . 2x + 2 2 x -3 8x + 8+ 6 x -9
---------+ —— - > -------------------------------------------------------------------- , simplificando:-----------+
3 4 3 3 4 12
1 4 x - l> 0 => x > — ; la solución es:
14
32-^2**^ > (42A
.8Jr~3)2/5
Solución
jr+l
La inecuación dada es equivalente a: 25.2 2 > (24a.23a~9)2' 5, de donde

A-+U 14.V-18
2 2 > 2 5 , como a = 2 > 0, entonces:
x + 11 14jc—
18
------- > ----------- 5 x + 5 5 > 2 8 x -3 6 => x<
91_
23
La solución
o- 1 i * 3 x + 2 ^
Si —< x < 1, Demostrar que: —< ------ < —
2 8 jc+ 3 7
x +2
x +3
= 1—
x + 3
Solución
(se obtiene dividiendo)
, 1 1 A1 1
-< jc< 1 => —< x + 3 < 4 => —<
4 x + 3 < 7
_ 2
7 x + 3
1 1
— < —
4
1- - < 1-
7
-----------------<1 —
x + 3 4
5 x+ 2 3
— < ---- < —
7 x + 3 4
3 x + 2 6
8 x + 3 7
27) - J l^ x < ^ 5 +x
Solución
91 •
X € < ~tXJ ~~~ >
23
V T A á V s + I <
=
> ( l- x > 0 A x + 5> 0) A (V T A )2 <(V* + 5)2
<
=
> (x < l A x > -5 ) A ( l- x < ~Jx + 5)
-Jx +5 > 1 -x o [x + 5 > 0 A (1- x < 0 v (x + 5 > OAx+ 5 > (1—
x 2))]
[x > -5 A(x > 1v (x > -5Ax + 5 > 1- 2x + x 2))]
o [x > -5A(x > 1v (x > -5Ax2 -3 x -4 < 0 ))]
...(1 )

•(2)
o [jc > - 5 A (je > 1 v (jc > - 5 A jc e[-1 ,4 ]))]
<
=
> [jc > -5 A (x >1 v x e [-1,4])]
<=
> [x > -5 A x > -1 ] => x > - l => x e[-l,o o >
ahora (2) en (1) se tiene: (x < 1 A x > -5) Ax e [-l,+oo>
x e [-5, 1] A x e [-l,+oo>
V3jc + 7 -V * r 2 >9
Solución
7
C alculando el campo de existencia 3.r + 7 > 0 a .v - 2 > 0 o x > A x > 2
por lo tanto x e [2,+oo> es el cam po de existencia
~j3x +l > 9 + V * -2 <
=
> jce[2,+oo> A [3jc+ 7 <81 + 18V*-2 + x - 2 ]
<
=
> Jce[2,+oo> A (jc-3 6 < 9 V * -2 )
<
=
> jte[2,+oo> A x 2 -153jc + 1458<0
r~ A. 153 2 17577
<
=
> x € [2 ,+ oo > A (jc -------) ' < ------—
2 4
„ 153-^17577 153 + Vi 7577
jc e [2 ,+oo > a --------------------------< jc < ------------------------
2 2
1S3-V17577 153+VÍ7577
m
-Jx +1+V*-2
V9-JC2 -Vjc
>0
Solución
Calculando el campo de existencia

(x —1 > 0 A x - 2 > 0) A ( 9 - x > 0 A x > 0)
(x > 1 a x > 2 ) a ( x 2 <9 a x > 0)
(x > 1 a x > 2) a (-3 < x < 3 a x > 0)
x > 2 a 0 < x < 3 , de donde x e [2,3] es el campo de existencia.
Como -J x-l + V x -2 > 0 , V x e [2,3]
a/x - 1 + ylx-2
■J9-X2 - 4 x
: 0
-s/x-l +ylx~ 2 l
-J9 - X 2 —s[x V x-1 + V x -2 V x-1 + V x -2
>0.-
simplificando , .-------> 0 <
=
> - j 9 - x 2 ~ 4 x > 0
-J9 - X 2 —sjx
de donde Vx < ^¡9-x2 => x < 9 —
x 2
x + x - 9 <0
1 2 37
(x + —
) < — (completando cuadrados)
. 1 , 37
(* + —) ' < —
2 4
Luego la solución es:
^37 1 ^37
---------< X H
-----< ---------
2 2 2
V37+1 «
y
/3 7 - l
-------- —< x < ----------
Solución
■y]2-^[T+x <-j4 +x » ( 2 - ^ 3 + x >0 A 4 + x > 0 ) A (2 -^ 3 + x <4 + x)
<
=
> (a/3 + x <2 A x > -4 ) A (a/3 + x > - x - 2 ) ... (1)

-s
/3 + jc <2 <
=
> (3-t-jc> O A 3 + x < 4 )
o ( x > - 3 A x < l) => x e[-3,l]
a/3 + jc > —
x —2 <
=
> x + 3 > 0 A —
x —2 < 0 V (x + 3 > 0 A x + 3 > (x + 2 )2 )]
<=> x> -3 A [x > - 2 V (jc > -3 A .x2 + 3.r + l < 0)]
(2)
”
5 C
<=> i > - 3 A [ i > - 2 v ( i > 3 A ( j t + - ) 2 < - ) ]
o i > - 3 a [ i> - 2 v (x> 3 a
2 2
^ , r i/^ +3 ^ “3 i
o i > - 3 a i > - 2 V x e < -----------,--------->1
2 2
-v/5+3
o x > 3 a x e < -----------,+oo>
2
^5 + 3
x e < ---------- ,+00 >
2
... (3)
Luego de (2), (3) en (1) se tiene:
■^2—[¡^+3 <-^A +x <
=
> (x e [-3,1] a x > —
4) a x e< - ^ ’+0° >
r 1 n ^ 5 + 3
<
=
> x e [-3,1] a x e< ----- -—- ,+00 >
<
=
>
■J$+3 „
jr €< - --- - - J]
3 13 1
x 4(x - 1) 4jc + 12
Solución

A la inecuación dada expresaremos así:
3
13 1
> 0, efectuando operaciones
13(x+3)+x(x-l)-12(x-l)(x+3)
4(jc—
1) 4(jc+ 3) x
I3x2 + 39x + x 2 ~ x - 2 ( x 2 + 2x-3)
4(x -1)(jc+ 3)x
>0
4x(x-l)(x+3)
> 0 , simplificando
2x2 +14JC+ 36
4jc(jc-1)(jc+ 3)
>0
x + 7x + 18
x(jc-l)(jt+3)
>0
V
J n 1 -i i o n » X~+7X+18
V x e R, j r + 7x + 18 > 0 entonces: ----------------- «
1
1
jc(j c —
1)(x 3) x(x - 1)(jc + 3)
>0 o jc(jc—
1)(j c 3)> 0 , para x * 1,-3, 0
>0
x(x-l)(x + 3)
resolviendo la ecuación x(x —l)(x + 3) = 0, de donde, i = -3 , r2 - 0 , r3 -1
-3
como la ecuación es de la forma
0 1
P(x)
Q(x)
> 0 la solución es la unión de los intervalos donde
aparecen los signos (+), es decir:
3 1 3
-+ ------>-
j t- l x +l x
Solución
3 1 3 3x2 +3x +x 2 —
x ~ 3 x 2 +3 ^ n
-+ ----------->0 o ----------------------------------- >0
x —1 X+ l X x(x —
l)(x + 1)
x +2x +3 ^ „
<
=
> ----------------- > 0
x(x-l)(x + l)

como V x e R, x 2 +2x +3 > 0 , entonces
x 2 + 2x+3 . 1 .
>0 <
=
> ----------------- >0
x(jc-1)(x + 1) x(x-l)(jt + l)
-------- —------>0 <
=
> x(x —l)(x + 1) > 0, para x * -1,0,1
x(x-)(x +l)
Ahora resolviendo x(x —1)(x + 1) = 0, de donde t = -1 , r2 = 0 , r3 = l
-1 0 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma —
---- > 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir: * « lí
2 x-25 2x + ll 1
33) ------------------+ ----- ------ >
2(x2 +2x-3) 2(x2 -1) * + 3
Solución
2 x-2 5 2x + l 1 1 A .. ,..
-+ ----- -------- —— > 0 , factorizando en el denominador
2(x2 +2x-3) 2(x -1) * + 3
2 x-2 5 2x +U 1 A , J .
+ ---------------------------> 0 , efectuando operaciones
2(jc+ 3)(x-1) 2(x-1)(jc + 1) x+3
(2x - 25)(x +) +(2x +l 1)(-t+ 3) - 2(x - l)(x +1)
2(.r-l)(x + l)(x+3)
,v” -3 x + 5
> 0, simplificando se tiene:
(.y-1)(jc+ 1)(jc+3)
> 0 , como V x e R, x -3 x + 5 > 0, entonces:
x ¿ -3 x + 5 n 1 „
■
>0 o ------------------------ >0
(x - 1)(x + 1)(jc+ 3) (x - l)(x + l)(x + 3)

1
(jc-1)(x + 1)(jc+ 3)
>0 «> (x -l)(x + l)(x + 3)> 0, x * -3, -1,1
encontrando las raíces de (x - l)(x + l)(x + 3) = 0, donde rx = -3 , r2 = - 1 , r3 = 1
-3
P(x)
Como la inecuación es de la forma - — - >0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparece el signo (+), es decir: x e < -3 ,-^ U O ,+x»
( x - ) - - ( x +2)¿
( x - 2 ) 2 - ( x +l)2
> 0
Solución
Por medio de la diferencia de cuadrados se tiene:
[( x - l) - ( x + 2)][(r-l) + (x + 2 )] ^ 0 | simpliricand0.
[(.v- 2) - (x + l)][(x - 2) + (x +1)]
- >0 <
=
> (2x + 1)(2x - 1) > 0 para x * —
-3(2jc-1) 2
encontrando las raíces de (2x + l)(2x - 1) = 0, de donde, /¡ = , 72 = y
- 1/2 1/2
P(x)
Como la inecuación es de la forma ------ > 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)

35) * 4 + 5* ’ -20* —1K< 0
x + 2.x -13jc+ 10
Solución
Factorizando tanto en el numerador y denominador.
(x -2)(x +2)(x 4 1)(x + 4)
---------------------------------< 0 , para x * -5,1,2
(jc+5)(x—
2)(x—)
la inecuación dada es equivalente a:
(x —2)(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x-2)(x - 1) < 0 para x*-5,l,2
( x - 2 ) 2(x +2)(x + 1)(x + 4)(jt + 5)(.v + 1) < 0 para x * -5,1,2
como V x e R, x * 2, ( x - 2 ) 2 > 0 entonces
(x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5 ) ( x - 1) < 0 , para x * -5,1,2
encontrando las raíces de (x + 2)(x + l)(x + 4)(x + 5)(x - 1) = 0 , de donde:
rx = -5 , r2 = - 4 , r, = -2 , r4 = -1 , r5 = 1
-5 -4 -2 -1 1
P(x)
Como la inecuación es de la forma ------ < 0 la solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (-), es decir: x € < -$> O < -4, -2> U < -I, 1>
2-v—
1 -j4-.v
Solución
La inecuación dada expresaremos en la forma
3 2 ,- 1+4-.r—
6*+l > 3 (2^1 K --2 ) ) d e d o n d e ; y S x + 4 > 3 2x>-3x-2

como a = 3 > 0 => - 5 jc+ 4> 2jc‘ - 3 x - 2 , de donde
2x2 -2 jc -6 < 0 <
=
> x 2 + x -3 < 0 , completando cuadrados x 2 +x + -^-<3 + ^-
, 1 , 13 -JÍ3 l o/¡3
(* + — ) " < ---- v = > ----------------< X + — < ---------
2 4 2 2 2
V
Í3+1 V Í3-1 , , ,
-----------< x < ---------- , de donde
2 • 2
1
+ --- >
2x
x 2 - 5 x +6 2x 3 - 4 x +x 2
Solución
A la inecuación dada expresaremos en la forma
2x
,v2 -5 .y+ 6 2.y 3 - 4 x + x 2
2x2( x - ) +( x - 2)(x - 3)(x -1 ) - 4x2(x - 2)
2x(x -3)(x - 2){x - )
> 0 , efectuando las operaciones:
> 0, desarrollando:
2x' - 2 x ¿ + x' - 6x2 + l l x - 6 - 4 x 3 +%x
2 x ( x -3 )(x -2 )(x -)
x~ -1Ly + 6
■
> 0 , simplificando
, ,4
, , 3-o/Í7w , 3+VÍ7
(x - 3)(x + ---- -----)(x + ---------- )
.y(.v-3 )(x -2 )(a--1)
<0 <
=
>
x ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x - l )
<0
para x * 3 se tiene
, , 3 - V n ^ . 3 + -Jn
(x +— - — )(x + ---- ----)
x(x - 2)(x - 1)
<0
- 3- 0/7 - 3+0/7 o

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