Este documento presenta un proyecto de investigación sobre los efectos del enfoque vectorial en el aprendizaje de la geometría analítica plana en estudiantes de 5to grado de educación secundaria en Huancayo, Perú. El objetivo general es determinar dichos efectos y los objetivos específicos son diseñar la efectividad del enfoque, aplicar el álgebra vectorial para promover el aprendizaje, evaluar el razonamiento lógico y analítico, y comparar resultados. El estudio se justifica porque el aprendizaje

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU
FACULTAD DE EDUCACIÓN
ESCUELA POST GRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
MENCIÓN: EDUCACION MATEMÁTICA
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
PRESENTADO POR EL BACHILLER:
VÍCTOR ZENÓN MILLÁN PECHO
PARA OPTAR EL GRADO ACADÉMICO DE:
MAGISTER EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
HUANCAYO – PERÚ
2013
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

2. I. ASPECTO INFORMATIVO:
1.1 TÍTULO : “EFECTOS DEL ENFOQUE VECTORIAL EN EL
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
EN EL 5TO. GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA –
HUANCAYO”
1.2 RESPOSABLE :
 AUTOR : BACH. VÍCTOR ZENÓN MILLÁN PECHO
 ASESOR : MG. MARTA CELINDA RIOS ZEA
 CO ASESOR : DR. WALDEMAR J. CERRÓN ROJAS
1.3 SECCIÓN DE POST GRADO: FACULTAD DE EDUCACIÓN
1.4 PROGRAMA Y LINEA DE INVESTIGACIÓN:
 ÁREA : DESARROLLO SUSTENTABLE DE LA REGION
 PROGRAMA : DESARROLLO POBLACIONAL
 SUB PROGRAMA : EDUCACIÓN Y CULTURA
 LINEA : PROBLEMÁTICA EDUCATIVA-EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
1.5 TIPO DE INVESTIGACIÓN : INVESTIGACIÓN EDUCATIVA PURA
1.6 LUGAR DE EJECUCIÓN : PROVINCIA DE HUANCAYO
1.7 DURACIÓN : 16 MESES
 FECHA DE INICIO : 16 DE ABRIL DE 2012
 FECHA DE TÉRMINO : 18 DICIEMBRE DE 2013
II. RESUMEN

3. “EFECTOS DEL ENFOQUE VECTORIAL EN EL APRENDIZAJE DE LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA EN EL 5TO. GRADO DE EDUCACIÓN
SECUNDARIA - HUANCAYO”
BACHILLER: VÍCTOR ZENÓN MILLÁN PECHO
En el presente trabajo de investigación se tratara de averiguar los efectos
del enfoque vectorial en el aprendizaje de la geometría analítica plana en alumnos
del 5to. Grado de Educación Secundaria de las II.EE.: “Politécnico Regional del
Centro” El Tambo – Huancayo y “Nuestra Señora de Fátima” de Huancayo,
buscando mejorar el rendimiento escolar en el área de matemática, se abordara el
siguiente problema: ¿Cuáles son los efectos del enfoque vectorial en el aprendizaje
de la geometría analítica plana en el 5to. Grado de Educación Secundaria –
Huancayo?, se asumirá como objetivo general, el determinar los efectos del enfoque
vectorial en el aprendizaje de la geometría analítica plana en el 5to. Grado de
Educación Secundaria de Huancayo. Se plantea como hipótesis: El programa
experimental del enfoque vectorial en el aprendizaje de la geometría analítica plana
en el 5to. Grado de Educación Secundaria de Huancayo, muestra su efectividad al
promover el mejor aprendizaje en el alumno.
El método general que se utilizara es el método científico, como método
específico utilizaremos el experimental con un diseño cuasi experimental, de diseño
básico: experimental. La población lo constituirá, 180 alumnos de dos instituciones
educativas y la muestra estará conformada por 60 alumnos que serán seleccionados
por el método aleatorio estratificado, recopilándose los datos a través de un
cuestionario de encuesta a escala y Test de entrada para los alumnos del 5to. Grado
de Educación Secundaria de Huancayo, cuyos resultados se analizaran con la
estadística descriptiva y correlacionar según sexo, sección por Institución educativa.
El aprendizaje de la geometría analítica en los estudiantes de la mayoría de las
Instituciones Educativas del Nivel Secundario de nuestro valle, es deficiente, escaso
a veces simplemente no se enseña, por consiguiente el nivel de aprendizaje es bajo

4. por los diversos factores que intervienen en el proceso de la enseñanza aprendizaje
de la matemática.
Este problema se manifiesta al enseñar la geometría analítica en el 5to. Grado
de Educación Secundaria, por un mal enfoque que se da en los temas relacionados,
llevando a un mecanicismo en la realización de operaciones matemáticas que
resultan engorrosas y dilatante los cuales dejan de lado el desarrollo de la capacidad
de raciocinio lógico del estudiante, dando como resultado deficiencias nocivas para
el desarrollo de una formación lógica y un bajo rendimiento académico en el área de
matemática. Por lo que se presenta la necesidad de replantear los contenidos de
este tema de acuerdo a un enfoque moderno y científico: “La geometría analítica
sobre las ideas intuitivas que proporciona el algebra vectorial.
Además por que la enseñanza de la geometría analítica mediante los vectores
permite estudiar la recta y las secciones cónicas en forma objetiva y sencilla, cuya
aplicación de estos conocimientos teóricos se hacen útiles en la medición de la
trayectoria de un proyectil, el movimiento de los planetas e interpretar las graficas de
las ecuaciones.
Por ello considero conveniente abordar el cartel de capacidades, conocimientos
y la quinta unidad de aprendizaje del programa curricular del 5to. Grado de
Educación Secundaria de Huancayo, destinado al tema de la geometría analítica,
correspondiente al componente: Geometría y Medición.
Los vectores constituyen una notación concisa y clara para presentar las
ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas y problemas
geométricos, además proporciona una ayuda inestimable en la formación de
imágenes mentales de los conceptos físicos y geométricos.
El trabajo tendrá una duración aproximada de 16 meses y un costo aproximado
de S/. 2900.00 nuevo soles.
EL AUTOR

5. III. ASPECTOS DE LA INVESTIGACIÓN:
3.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA EN ESTUDIO
3.1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
La educación en el Perú atraviesa por una grave crisis económica,
social, política, cultural y administrativa reflejándose entre otros aspectos en
la baja calidad de servicio educativo que brindan las instituciones educativas
públicas de los diversos niveles y modalidades.
Sin embrago al margen de la crisis la realidad socioeconómica
mundial y nacional, exigen a las instituciones educativas públicas, niveles
altos de calidad del servicio, sustentándose en la creatividad y
competitividad que deben ostentar los egresados de las instituciones
educativas.
El motivo que tuve para la elección de este tema es el hecho que,
el aprendizaje de la geometría analítica en los educandos de las diferentes
II.EE. estatales del nivel educativo de secundaria, tales como los educandos
de las II.EE “Politécnico Regional del Centro” y “Nuestra Señora de Fátima”
es deficiente, escaso o simplemente no se enseña, justificando tal afirmación
en la encuesta aplicada a los profesores de matemática del 5to. Grado de
Educación Secundaria, por consiguiente el nivel de aprendizaje es bajo por
los diversos factores que intervienen en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la matemática razón por el que he visto por conveniente
abordar el cartel de capacidades y conocimientos y la quinta unidad de
aprendizaje de la programación curricular de matemática del 5to. Grado de
Educación Secundaria destinado al tema de la geometría analítica,
correspondiente al componente: Geometría y Medición.
En ese sentido quisiera que el planteamiento de este tema al alumno tenga
la mayor utilidad en el sentido de que puede ser perceptible, es así que me
dedicare a adecuar las nociones de la geometría analítica plana para su
mejor enseñanza, desarrollándola mediante la aplicación del algebra
vectorial, el cual permitirá que el educando del quinto grado de educación
secundaria cuente con la suficiente capacidad de análisis y razonamiento

6. lógico matemático bajo la intuición de ciertas características y conexiones
que presenta una determinada situación problemática con la cuál, puede
tener una concepción mas amplia de la matemática en general.
3.1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El problema que motiva la presente investigación y los
argumentos antes mencionados se manifiesta al enseñar la geometría
analítica en el 5to. Grado de Educación Secundaria de acuerdo a un
mal enfoque que se le da, pues el hecho de ubicar puntos en el plano
cartesiano relacionándolas con expresiones algebraicas lleva un
mecanicismo en la realización de operaciones matemáticas que
resultan engorrosas y dilatantes los cuales dejan de lado el desarrollo
de la capacidad de raciocinio lógico del educando dando como
resultados deficiencias nocivas para el desarrollo de una sólida
formación lógico matemático.
El desarrollo bastante axiomático oculta a la perfección el
desarrollo de la estructura vectorial del espacio, por lo cual se presenta
la necesidad de replantear los contenidos de este tema de acuerdo a
un enfoque moderno y científico: La geometría analítica sobre las ideas
intuitivas que proporciona el álgebra vectorial.
a) FORMULACIÓN DEL PROBLEMA GENERAL:
¿Cuáles son los efectos del enfoque vectorial en
el aprendizaje de la Geometría Analítica Plana?

7. b) FORMULACIÓN DE LOS PROBLEMAS ESPECÍFICOS:
- ¿Cuál es el grado de capacidad de análisis y razonamiento lógico
matemático que un alumno del 5to. Grado de Educación Secundaria
pueda alcanzar con esta enseñanza?
- ¿Es factible que a través del aprendizaje de la geometría analítica
haciendo uso de técnicas vectoriales podamos promover un mejor
rendimiento escolar?
-¿Es factible que mediante el enfoque vectorial en la enseñanza de
la geometría analítica plana podamos promover un mejor
aprendizaje?
3.2 FORMULACIÓN DE OBJETIVOS:
3.2.1 OBJETIVO GENERAL
Determinar los efectos del enfoque vectorial en el aprendizaje de la
geometría analítica plana en el 5to. Grado de Educación Secundaria
– Huancayo.

8. 3.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
-Diseñar la efectividad del enfoque vectorial en el aprendizaje de la
geometría analítica plana en estudiantes del 5to. Grado de
Educación Secundaria – Huancayo.
-Aplicar el álgebra vectorial para promover el aprendizaje de la
geometría analítica plana en estudiantes de 5to. Grado de Educación
Secundaria – Huancayo.
-Evaluar el grado de razonamiento lógico y analítico al enseñar los
vectores en el educando.
-Comparar los resultados que se obtienen del aprendizaje de la
geometría analítica en forma vectorial y cartesianamente.
-Diseñar el estilo de aprendizaje de la geometría analítica plana
mediante un enfoque vectorial en estudiantes del 5to. Grado de
Educación Secundaria – Huancayo.
3.3 IMPORTANCIA Y JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO
A nivel de asignatura la finalidad de su desarrollo es la de construir
un recurso indispensable para la mejor comprensión y transformación del
mundo actual y para lograr una actitud adecuada a los cambios que
experimentan los conocimientos científicos y técnicos para ponerse a la
par con el estudio de la matemática en la actualidad.
La enseñanza de la geometría analítica mediante los vectores
permite estudiar la recta y las secciones cónicas en forma objetiva y
sencilla, cuya aplicación de estos conocimientos teóricos se hacen útiles en
la medición de la trayectoria de un proyectil, el movimiento de los planetas,
interpretar las gráficas de ecuaciones, etc.
El contenido respecto a la enseñanza de la geometría analítica
hace su aparición en las programaciones curriculares de educación
secundaria hace poco tiempo y quisiera aprovechar esta introducción de

9. las matemáticas superiores para darle una aplicación moderna. Por ello
considero conveniente abordar el cartel de capacidades, conocimientos y la
quinta unidad de aprendizaje del programa curricular del 5to. Grado de
Educación Secundaria de las II.EE. “Politécnico Regional del Centro” y
“Nuestra Señora de Fátima” de la Provincia de Huancayo, destinado al
tema de la geometría analítica plana, correspondiente al componente:
Geometría y Medición. Intentaré adecuar las nociones de la geometría
analítica plana para su mejor aprendizaje desarrollándola mediante la
aplicación del algebra vectorial, ya que:
“En la geometría analítica han resultado los espacios vectoriales
vectoriales como una simplificación no solo técnica y
denotación sino conceptual, ya que el calculo con vectores es
vectores es muy sencillo y se hace independiente de cualquier
sistema de coordenadas, por lo que se
adapta mejor a los problemas geométricos de la
geometría cartesiana” .
(1) RIOS, Sixto. “Algebra Lineal y Geometría Vectorial”, Edic.
Paraninfo, Madrid 1976.
Los vectores no solo constituyen una notación concisa y clara para
presentar las ecuaciones del modelo matemático de las situaciones
físicas y problemas geométricos, sino que, además proporciona una
ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los
conceptos físicos y geométricos.
3.4 LIMITACIONES:
-La investigación puede tener algunas limitaciones como el trabajo en las
aulas de las instituciones educativas y la negación de los docentes a la
aplicación del cuestionario.
-Espacio: Instituciones Educativas de la provincia de Huancayo.
-Tiempo: Días libres.

10. -La investigación puede tener limitación en no aceptar la aplicación del
trabajo en alguna Institución Educativa debido al recelo mostrado a la
investigación.
3.5 MARCO TEORICO
3.5.1 ANTECEDENTES HISTORICOS DE LOS VECTORES:
Escribir esta historia desde el punto de vista en que nos
situamos, seria, una tarea tan importante como difícil, y debemos
contentarnos con algunas indicaciones bastante concisas.
Así “la palabra vector se deriva del latín vehere-vectus, que
significa llevar, transportar”, el vector, si bien ya era utilizado en la
composición de fuerzas y velocidades por los trataristas en
mecánica desde fines del siglo XVII, no tuvo repercusión entre los
matemáticos.
“El antecesor del vector es el cuaternion que es un número
complejo que puede expresarse como un conjunto y este este
conjunto a su vez estaba formado por dos partes, una parte real y
una parte imaginaria y que solo indican una dirección”.
William Hamilton.

11. “La palabra vector, viene del latín vector, vectoris y este a su
de veho, verbo que significa el que acarrea, el que conduce, el que
transporta”. En geometría se usa para definir una magnitud.
Diccionario etimológico.
Entendemos que Rene Descartes (1596 – 1650), al
descubrir el sistema de coordenadas había dado un paso para su
representación geométrica, aunque el ignoraba de los vectores;
pero a fines del siglo XVIII y el siglo XIX denominado la edad de
oro de la matemática debido a las innovaciones vertiginosas
registradas, surgen, pues nuevas figuras que dieron un
transcendental avance en la matemática.
Fue así que Federico Gauss (1775-1855) considera la
suma de vectores en forma implícita, mientras que Billavitis
“desarrolla en la geometría elemental con el nombre de “Método de
equipolentes” un conjunto de operaciones con magnitudes dirigidas
que equivale al calculo vectorial de hoy.
Posteriormente, el matemático y astrónomo Sir William R.
Hamillton (1815-1885). “El Padre del Algebra Moderna”, llamado
así por que contribuyo y enriqueció el algebra. Este estudioso
elabora, pues, un algebra de números complejos basado en los
pares ordenados de ternas y cuaternas, este ultimo o conmutativo.
Al mismo tiempo, Mobius da una versión del “Calculo
Baricentro” adoptado a las necesidades de la Geometría
proyectiva, mientras que Arthur Cayley desarrollaba sus estudios
de vectores en varias dimensiones hasta n = 8; por su parte el
matemático alemán Hermann G. Grassmann (1809-1877) prolongo
el estudio de los números complejos a la n-adas ordenadas de
números reales generalizando así los estudios de Hamilton para

12. luego quedar en el olvido. Grassmann construyo un basto edificio
algebraico - geométrico basándose en una construcción geométrica
o “intrínseco” del espacio vectorial de “n dimensiones”. Pero son
sobre todo la multiplicación exterior de los vectores e interior de los
“multivectores” los que les proporcionan las herramientas por
medio de los cuales trata fácilmente los problemas del algebra
lineal propiamente dicha, en primer lugar y luego lo relacionados
con la estructura euclidiana es decir, con la ortogonalidad de
vectores.
Mientras que por un lado los vectores y sus sucesores los
tensores, con el auxilio de los recursos del análisis matemático,
encuentran importantes aplicaciones en diversos campos de la
física.
En este sentido cabe señalar las obras del inglés Hamilton y
de Grassmann.
“Hamilton fue un sabio múltiple que destaco en la astronomía,
física y matemática se ocupo de los vectores y nombre de estos es
invención suya, fue el creador del calculo vectorial”. (2)
Aunque el estudio matemático de los vectores tardo mucho
en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés,
sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert (1862-1943) y
Stefan Banach (1892-1945), que hicieron uso de la teoría de
espacios vectoriales, aplicándolas a las técnicas de análisis
matemático.
Peano, uno de los creadores del Método Axiomático y fue
uno de los primeros matemáticos en apreciar todo el valor de las
obras de Grassmann, dio ya en 1888, la definición axiomática de
los espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales y con una
notación completamente moderna, la de las aplicaciones lineales
de un espacio vectorial en otro.

13. Recién en 1947 se aplicaron en la Teoría de la Relatividad
donde se dieron cuenta de la significación e importancia de los
vectores, siendo el norteamericano Josiahw Gibbs (1829-1903) y el
inglés Oliver Heaviside (1885-1925) quienes impulsaron y crearon
el análisis vectorial.
Es así como el estudio de los vectores ha ido evolucionando
y enriqueciendo su estudio, ya que se hace más profundo cuando
se trata de espacios vectoriales en “n” dimensiones y la estructura
vectorial.
(2) BALBINI J. “Historia de las ideas modernas en
matemática”. Editorial Dtpto. De asuntos cientif. Unión
Panamericana-Bs. As. 1967. Pp. 73.
3.5.1.1 OBJETIVOS Y FINES DE LA ENSEÑANZA DE
LOS VECTORES
a) OBJETIVOS:
Para determinar el objetivo de nuestro trabajo y que este
acorde con el plan presentado es esencial exponer, que se
constituye esta una pieza de trabajo creador, es una guía de
acción para el futuro, una guía que comprende, problemas de
actividades.
Es conveniente entonces comprender lo que en el
planteamiento puede ayudar a cualquier maestro, a la orientación
de los alumnos, ya sea el de menor rendimiento o el más
destacado en la clase, las aptitudes e intereses especiales.

14. Teniendo estas pautas como precedentes para nuestra
labor podemos enfocar que, nuestra aspiración es lograr
desarrollar capacidades generales, desarrollar cualidades de
veracidad, corrección, de cooperar con los compañeros y amigos,
por otra parte, el deseo de aprender y a mi criterio, el éxito en el
pronostico y el éxito en el alcance de los objetivos para la
enseñanza de los vectores en la geometría analítica orientada a la
Educación Secundaria.
Esta dependerá mucho de nuestra inspiración de como
guiar y animar a los estudiantes, no dejando de lado nuestra
personalidad y dedicación en el estudio, el planteamiento regular
de lecciones apropiadas, contribuirá en gran parte asegurar el
éxito.
Los cambios estarán destinaos a mejorar la
enseñanza, acelerar el aprendizaje, enriquecer el currículo,
poner un mayor énfasis en la instrucción individualizada de
los estudiantes.
No solo serán las experiencias de la enseñanza de
los vectores una prueba para mejorar el proceso educativo,
sino que también crecerá la opinión de que un efectivo
aprendizaje dependerá de una radical revisión de la imagen
de los educadores ante la opinión pública.
La elección de nuevos procedimientos más simples e
eficientes ayudara a elevar la imagen metodológica del maestro.
b) FINES
El aprendizaje de los vectores permite en los alumnos
desarrollar el lenguaje geométrico en el que se expresan los
resultados del análisis mediante los cuales es posible darles una

15. generalidad, como parte integral de un fin formativo. Preparándolo
para poder pensar y razonar frente a los problemas y ejercicios que
se les presentan, dándole además una capacidad de relacionar con
las demás disciplinas.
Por consiguiente, debemos adoptar como meta general
para la enseñanza de las ciencias, el dominio de estas disciplinas
que puede ser necesaria para todo ciudadano culto, tanto para sus
necesidades individuales como para los de la sociedad de la cual
forma parte.
3.5.1.2 LOS VECTORES COMO TÉCNICA DE ENSEÑANZA
En el campo de la enseñanza aprendizaje, así como en
cualquier otro campo de las actividades científicas y filosóficas se
requieren, de una técnica apropiada para el logro de los propósitos
trazados.
En la enseñanza de la matemática se emplean
procedimientos diversos de acuerdo a la naturaleza del tema,
realidad de los estudiantes y del medio social en el cual se lleva
dicho proceso y, de esta manera contribuir eficientemente a la
formación integral de la personalidad de los futuros miembros de la
sociedad, quienes serán capaces, de crear valores para el desarrollo
de la sociedad.
a) VECTORES
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.
Cada vector posee unas características que son: origen, modulo,
dirección y sentido. (Leibniz-1705)

16. b) APRENDIZAJE
(Academia Española de la Lengua)
• “Un cambio en la disposición o capacidad de las personas que puede
retenerse y no es atribuible simplemente “Acción y efecto de aprender algún
arte, oficio u otra cosa” (Real al proceso de crecimiento” Gagné (1965:5)
• “El proceso en virtud del cual una actividad se origina o cambia a través de la
reacción a una situación encontrada, con tal que las características del cambio
registrado en la actividad no puedan explicarse con fundamento en las tendencias
innatas de respuesta, la maduración o estados transitorios del organismo (por
ejemplo: la fatiga, las drogas, entre otras)”. Hilgard (1979)
• “Los procesos subjetivos de captación, incorporación, retención y utilización de
la información que el individuo recibe en su intercambio continuo con el medio”.
Pérez Gómez (1988).
• “El aprendizaje se ocupa básicamente de tres dimensiones: como constructo
teórico, como tarea del alumno y como tarea de los profesores, esto es, el
conjunto de factores que pueden intervenir sobre el aprendizaje”. Zabalza
(1991:174)
• El aprendizaje como producto, que pone en relieve el resultado final o el
desenlace de la experiencia del aprendizaje. El aprendizaje como proceso, que
destaca lo que sucede en el curso de la experiencia de aprendizaje para
posteriormente obtener un producto de lo aprendido. El aprendizaje como función,
que realza ciertos aspectos críticos del aprendizaje, como la motivación, la

17. retención, la transferencia que presumiblemente hacen posibles cambios de
conducta en el aprendizaje humano. Knowles y otros (2001:15)
3.5.1.3 EL LENGUAJE VECTORIAL EN GEOMETRIA
La geometría actual esta expresada, en términos
vectoriales. Nociones como las de producto escalar, producto vectorial, vector
tangente, gradiente de un campo escalar o flujo de un campo de fuerzas son
básicas para expresar teoremas geométricos y resultados científicos.
En el proceso del descubrimiento del cálculo vectorial hubo dos tendencias
claramente diferenciadas que podemos personalizar en la obra de los autores más
representativos de cada tendencia William Rowan Hamilton (1805-1865) y
Hermann Gunther Grassmann (1808-1877).
Grassmann definió el producto de magnitudes en el espacio a partir de
propiedades geométricas de un determinado producto que era parecido al
producto vectorial y representaba áreas orientadas.
(Arenzana H., Víctor 1997, pp, 61-70)
3.5.1.4 NUEVOS MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA GEOMETRÍA DEL
SIGLO XIX
Los métodos vectoriales se impusieron en la
geometría entre 1830 y 1880 y que fue una obra colosal en la que estaba
empeñada la comunidad matemática anglosajona. El uso del cálculo vectorial
propicio el desarrollo del análisis con varias variables dando lugar a la aparición
de la geometría diferencial, al análisis vectorial y proporciono un método analítico
de gran potencia para el estudio de la geometría.
El uso del cálculo vectorial propicio el desarrollo del análisis con varias variables
dando lugar a la aparición de la geometría diferencial, al análisis vectorial y
proporciono un método analítico de gran potencia para el estudio de la geometría.
(Arenzana H., Víctor 1997, pp, 61-70)

18. 3.5.1.5 LA APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN LA GEOMETRÍA
Las relaciones establecidas para los vectores en R constituyen instrumentos
de singular importancia para el tratamiento de ciertos conceptos de la geometría
elemental. Algunas veces una apropiada aplicación de métodos vectoriales
facilitara la interpretación y demostración de proposiciones geométricas. (3)
DIENES, Zoltan “La potencia de la Matemática”. Editorial Estrada, Bs. As.,
1ra. Edición, 1971, pág. 12.
3.5.1.6 LA APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN LA FÍSICA
El empleo de los vectores en la física es frecuente al tratar; la fuerza, la
aceleración y la velocidad los cuales se representan mediante los vectores en la
que la dirección del vector esta dada por la dirección de la cantidad física, en
tanto que la magnitud del vector es igual a la magnitud física, en las unidades
empleadas.
3.5.1.7 APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN LA GEOMETRÍA
ANALÍTICA
La geometría Euclidiana plana sobre una base analítica (geometría
analítica) en donde los puntos no son objetos indefinidos, ya que en la
geometría analítica los puntos y las rectas del plano son objetos que están
definidos en términos de números reales llamados “coordenadas”.
En la recta numérica podemos identificar (espacio unidimensional)
con los números reales. Luego los puntos en el plano (espacio
bidimensional pueden relacionarse con pares ordenados de números
reales, a su vez pueden extenderse a espacios de tres dimensiones, cuatro
dimensiones, “n” dimensiones, e incluso a espacios de infinitas
dimensiones. (4) HASSER, LA SALLE, “Análisis Matemático” (Vol. 1).
Edit. Trillas, México 1974.

19. 3.5.1.9 ESPACIO VECTORIAL
A un conjunto no vacío “v” en el que están definidas
dos operaciones, una de “adición de elementos de v” y otra de
“multiplicación de números reales por elementos de v” que cumplen las
propiedades de la adición y sustracción, se llama espacio vectorial sobre R.
(Kala B., Lourdes, 2011)
3.5.1.10 ÁLGEBRA DE LOS VECTORES EN R2 (ESPACIO
BIDIMENSIONAL)
a) PAR ORDENADO
Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos y un
criterio de ordenación establece cual es la primera componente y cual es
la segunda. Así en el par ordenado (a, b), siendo:
a: Primera componente
b: Segunda componente
-Si tenemos: (a, b) = (c, d) a = c y b = d
(Kala B., Lourdes, 2011)
b) PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS

20. Dados dos conjuntos A Y B , A×B se llama producto cartesiano y
esta conformado por el conjunto de pares ordenados ( a,b) , tales
que a pertenece a A y b pertenece a B
Ejemplos:
Si A= (2, 3,5) y B= (1,3)
A×B=2,1,2,3,3,1,3,3,5,1,(5,3)
(Kala B., Lourdes, 2011)
c) SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Se llama sistema de coordenadas cartesianas ala unión de
cada par ordenado (a, b) que pertenece a R2 con un solo punto P
del plano , es decir :

21. Un conjunto de pares ordenados de números reales que son
elementos del producto cartesiano R ×R el cual se denota por R2
R2=R×R = a,ba ϵ R, b ϵR
Y
4
3
2
1
0 1 2 3 4 X
Dos rectas numéricas reales que se intersectan
perpendicularmente separan al plano en cuatro regiones llamadas
cuadrantes, las rectas numéricas se llama ejes coordenados , donde la
recta horizontal se llama eje x o eje de las abscisas y la recta vertical
se llama eje “Y” u ordenada. El punto de intersección de los ejes se
llama origen de coordenadas.
(Kala B., Lourdes, 2011)
d) COORDENADA CARTESIANA

22. Se llama coordenada cartesiana a cualquier par ordenado
cartesiana a cualquier par ordenado de números reales (a, b) al que se
hace corresponder un punto y solo un punto P que es la grafica de (a,
b) y que ala vez indica la posición de este en el plano cartesiano así
en la figura 3 se tiene los puntos
B=-3,3; C=-2,-4;M=3,0;N=(1,2)
(Kala B., Lourdes, 2011)
e) CONCEPTO DE UN VECTOR Y DE UN ESCALAR
Un vector en el plano es un par ordenado de números reales
(x ,y), donde “x” recibe el nombre de primera componente y “y” segunda
componente . a los vectores en el plano se les denota por letras
minúsculas o mayúsculas con una flecha en la parte superior en la
parte superior por ejemplo :a ,b ,c, A ,B , etc.
Dado los vectores en V2: a = ( X1, X1 ) Y b = ( X 2, X2) ,
Podemos definir:
X1 = X 2
i) Si a = b
Y1 = Y2 (Igualdad de vectores)
ii) a + b = ( X1 + X2 , Y1 + Y2 )

23. iii) r . a = ( r. X1 , r.Y2 )
Escalar: Un escalar r es un número real.
(Kala B., Lourdes, 2011)
f) REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR EN EL
PLANO
Geométricamente un vector =(x, y), se representa en el plano
mediante u segmento de recta dirigida o una flecha, la flecha se llama
VECTOR GEOMÉTRICO. Un vector V ∈ R2 puede interpretarse como
una traslación descrita por un par ordenado de números reales (x, y) la
primera componente indica un desplazamiento paralelo al eje x y la
segunda al eje “y”.
Considerando que una traslación tiene un punto inicial o de partida
S del plano, y un punto final o de llegada en T, cada vector =(x, y) tiene
un numero infinito de representaciones geométricas en el plano, todas
ellas son paralelas, de igual sentido y de longitud.
La flecha asociada al par (x, y) que tiene un punto inicial en el origen
se denomina representación ordinaria de (x, y) y se dice que la flecha o
vector tiene posición ordinaria estándar.

24. (Kala B., Lourdes, 2011)
g) VECTOR POSICIÓN
Un vector de posición en R2 es una pareja de puntos que se
indica con P1 P2 para los cuales P1 es el punto de partida o inicial y P2
es el punto de llegada final .Si una flecha tiene como punto inicial a P1=
(x1 y1) y a P2 = (x2, y2) como punto final, entonces la flecha P1 P2 es una
representación geométrica del vector =(x, y) donde:
P1 P2 = (x, y)= (x2 –x1, y2 –y1)
Si consideramos a los puntos P 1P2 como radios vectores entonces
según lo mencionado tenemos:
= P1P2= P2 – P1 P = P + V
h) MAGNITUD O LONGITUD DE UN VECTOR
Para cada vector V ϵ R 2, V = (X, Y), existe un escalar o numero
llamado norma, modulo, longitud o magnitud de V denotado por: ‖ V ‖
tal que:
‖ V ‖ =

25. i) DIRECCIÓN DE UN VECTOR
A cada vector no nulo, V = ( X, Y ) le corresponde una dirección
dada por la medida del ángulo α (ángulo de inclinación de V), que
forma el vector con el semi-eje positivo de las X para el cual.
V = ( X, Y ) = ‖ V ‖ (cosα, senα)
(Kala B., Lourdes, 2011)
j) PARES ORDENADOS DE NÚMEROS REALES:
Los elementos de R x R se llama pares ordenados de
números reales y se denota por: P = (x, y); y
(Kala B., Lourdes, 2011)
k) ADICIÓN DE PARES ORDENADOS:
Dados los pares ordenados y en R2 , se llama
suma de y , al siguiente par ordenado:
+(b1, b2) = (a1 + b1 , a 2 + b2)
(Kala B., Lourdes, 2011)
l) MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR PAR ORDENADO POR UN
ESCALAR
Dados el número real “r” y el par ordenado
se llama producto del escalar “r” por “a” al siguiente par ordenado:

26. (a1, a2) = (r.a1, ra2)
( Kala B., Lourdes, 2011)
3.5.2 LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LOS VECTORES
3.5.2.1 LOS MÉTODOS Y SUS CARACTERÍSTICAS EN EL
PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE.
El empleo del método esta condicionado a la naturaleza del
tema, a la amplitud de los estudiantes, a los recursos de la I.E., al nivel
socio cultural del educando y el medio en el cual se actúa
pedagógicamente.
a) EL MÉTODO AXIOMÁTICO
Este método es un verdadero instrumento que permite
sistematizar el cuerpo de conocimientos de la matemática mediante la
selección de conceptos básicos y el establecimiento de sus relaciones
fundamentales de las cuales derivan la definición, los conceptos y, por
deducción los teoremas. Este método es empleado, como de
exposición del curso en diferentes etapas de la enseñanza y como
objeto de estudio.
A través de este método los contenidos matemáticos son
sometidos a la experiencia directa del educando mediante la actividad,
la concepción por si sola a través de los sentidos de las cosas, y es así
como el alumno adquirirá el concepto, primero vagamente y apenas
esbozado, después mas preciso, mas consistente, mas claro y
obtendrá su sentido universal.
Olivera G., Cipriano

27. b) MÉTODO HEURÍSTICO
El empleo de este método conduce al alumno a la búsqueda de
la verdad mediante el trabajo investigatorio, pues la palabra heurístico
significa precisamente investigación. El alumno, mediante este método,
busca, investiga, descubre la verdad matemática bajo a orientación del
profesor. Aquí el educando trabaja con cierta independencia y
espontaneidad en la búsqueda de la verdad científica, comprobable por
cierto, con la intervención del profesor.
c) MÉTODO DESCRIPTIVO Y CONSTRUCTIVO
Mediante este método se pate de lo concreto, de objeto
mismo observándolo como tal, con atención y por medio de ella poder
llegar a la abstracción, a la definición. Lo que nos interesa aquí es que
el alumno, siguiendo esta metodología, llegue por su solo esfuerzo a la
definición sin que ningún concepto le sea impuesto, sintetizando un
cierto número de observaciones de experiencias para captar una o
algunas propiedades fundamentales.
3.6 FORMUACIÓN DE HIPÓTESIS:
3.6.1 HIPÓTESIS GENERAL:
El programa experimental del enfoque vectorial en el
aprendizaje de la Geometría Analítica Plana, muestra su
efectividad al promover el mejor aprendizaje en el alumno.

28. 3.6.2 HIPÓTESIS ESPECÍFICAS:
-Esta asignatura de Geometría Analítica Vectorial permitirá en el
alumno el desarrollo de una solida formación lógico matemático.
-La aplicación de los vectores en el desarrollo de ciertos
problemas de matemática y física promueve en el menor tiempo la
mayor eficacia su proceso de solución.
-Hecho de aplicar este enfoque despierta en el alumno el mayor
interés hacia el conocimiento de nuevos temas y por ende a la
investigación de estos en los cursos de matemática y física.
-Mediante la enseñanza de la geometría analítica con vectores el
Alumno logra interpretar y representar mediante gráficas,
fenómenos de nuestra realidad física.
3.7 VARIABES DE ESTUDIO
3.7.1 VARIABLE INDEPENDIENTE
Efectos del enfoque vectorial
3.7.2 VARIABLE DEPENDIENTE
Aprendizaje de la Geometría Analítica
3.7.3 VARIABLES INTERVINIENTES
La edad, el sexo, la metodología empleada.

29. INDICADORES
-La variable aprendizaje de la geometría analítica cuenta con los
siguientes indicadores; cantidad de aprobados y de
desaprobados.
-La variable sexo admite dos indicadores; masculino y femenino.
3.8 METODOLOGÍA DEL ESTUDIO
3.8.1 MÉTODO EMPLEADO EN LA INVESTIGACIÓN
3.8.1.1 MÉTODO GENERAL
En el desarrollo del presente trabajo se utilizara el método
científico con sus procedimientos respectivos; observación,
planteamiento de hipótesis, análisis de los resultados y
formulación de las conclusiones.
3.8.1.2 MÉTODO ESPECÍFICO
Se hará uso de método experimental que convierte las aulas
en laboratorios y los alumnos son sujetos de investigación.
El proceso que se seguirá en la investigación experimental
comprende:
1. Planteo cuidadoso de los experimentos.

30. 2. Desarrollo del experimento de enseñanza aprendizaje con
control de algunos factores o variables.
3. Evaluación exacta de los resultados.
Mediante este método se buscara la comprobación causal de
los fenómenos de nuestra investigación. Se usara para
establecer la eficacia de una norma en el desarrollo de ciertas
actividades. Se tomara en cuenta en el experimento la Ley de
la variable única por la cual se va a tribuir los cambios que se
operan en los resultados solo a un factor (enfoque vectorial)
quedando las demás como simples elementos secundarios que
giran en torno al aspecto esencial o causa.
3.8.2 DISEÑO METODOLÓGICO
3.8.2.1 DISEÑO BÁSICO
Experimental
3.8.2.2 DISEÑO ESPECÍFICO
Grupo control con pre y post test
ESQUEMA DEL D.E.:
A G.E. O1 x O2
A G.C. O3 ‒ O4
Donde:
A : Significa aleatorización de ambos grupos
G.E : Grupo experimental
G.C. : Grupo control
O1 y O3 : Resultado de pre test
X : Es la variable experimental
O2 y O4 : Resultado del post test

31. Pre observación y post-observación con diseños de grupos
equivalentes. Ganancia x (O2 - O1), ganancia (O4 - O3)
En este diseño los grupos experimentales y de control estarán
igualados al azar en donde se aplicará una observación o test de
entrada, luego de haber manipulado la variable experimental, se
aplicara una observación o test de salida.
Seguidamente se comparará las guanacias medias (puntuaciones post
test menos puntuaciones pre test).
G. Orellana
3.8.3 POBLACIÓN Y MUESTRA
3.8.3.1 POBLACIÓN
Son los siguientes:
- 180 alumnos de la I.E.: “Politécnico Regional del Centro” de
Huancayo.
- 180 alumnos de la I.E.: “Nuestra Señora de Fátima” de Huancayo.
En ambas instituciones educativas se tomara como universo o
población la totalidad de las secciones del 5to. Grado de Educación
Secundaria.
3.8.3.2 MUESTRA
La muestra se seleccionara en forma intencionada y controlada
apareando grupos experimentales y de control.
-60 alumnos de la I.E.: “Politécnico Regional del Centro” de
Huancayo, se trabajara con una muestra de 02 secciones,

32. Quinto Grado A y B.
-60 alumnos de la I.E.: “Nuestra Señora de Fátima” de Huancayo. Se
trabajará con una muestra de 02 secciones, Quinto Grado “A” y “B”.
3.8.4 TIPO DE INVESTIGACION
Investigación Educativa Pura
Investigación de carácter científico pedagógico experimental pues
se trata de averiguar los efectos del enfoque vectorial en el aprendizaje de
la geometría analítica plana en el 5to. Grado de Educación secundaria.
3.8.5 PLANEAMIENTO DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
El presente trabajo de investigación requiere del planteamiento
conveniente para que las actividades y procesos sean ordenados,
organizados y sistematizados, y de este modo asegure el logro de los
objetivos planteados. Se da inicio con la elaboración de la programación para
aplicar el algebra vectorial en el aprendizaje de la geometría analítica plana
que es el siguiente:
-Cartel de capacidades, conocimientos y actitudes.
-Programaciones.
-Unidades de aprendizaje u/o Proyectos de aprendizaje.
-Sesiones de aprendizaje.
3.8.6 TÉCNICAS, INSTRUMENTOS Y PROCEDIMIENTOS DE
RECOLECCIÓN DE DATOS
En la investigación se utilizara la técnica de la encuesta.
Para la recopilación de datos se tomara las secciones mencionadas de

33. alumnos ya matriculados en el 5to. Grado de Educación Secundaria de las
Instituciones Educativas Estatales: “Politécnico Regional Del Centro” y
“Nuestra Señora de Fátima” de la Provincia de Huancayo.
Por ser el diseño seleccionado a emplearse el experimental
aplicable a dos grupos; grupo de experimento y grupo de control (Pre test –
Post test) iniciaremos esta tarea de experimentación considerando lo
siguiente: Diagnostico situacional de los grupos, conocimientos sobre
vectores en el plano, rendimiento académico.
De acuerdo al carácter experimental de la investigación, los
datos se analizaran mediante la estadística descriptiva (desviación
estándar, coeficiente de variación) e inferencial (Coeficiente de correlación
de Pearson) para hallar el nivel de significación del estudio y para la prueba
de hipótesis se empleara la puntuación Z.
3.8.7 DETERMINACIÓN DE LOS GRUPOS DE EXPERIMENTO Y
DE CONTROL
a) I.E.: “Politécnico Regional del Centro” El tambo – Huancayo.
b) I.E.: “Nuestra Señora de Fátima” de Huancayo.
3.8.8 MATERIALES Y EQUIPOS A UTLIZAR
-Materiales : útiles de oficina en general.
-Equipos : computadoras, impresoras y fotocopiadora.
-Recurso Humano: el investigador.
III. ASPECTOS ADMINISTRATIVOS
3.1 CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:

34. 2012 - 2013
ACTIVIDADES D M A M J J A S O N D E
1. Elaboración del proyecto X
2. Elaboración de instrumentos X
3. Recolección de información X
bibliográfica
4. Ejecución X X X X X X X X X
5. Organización y procesamientos de X
datos
6. Redacción de los borradores del X
informe
7. Revisión del informe X
8. Presentación X
9. Sustentación X
3.2 RECURSOS HUMANOS:
• Tesista
• Asesor
• Validadores de instrumentos
• Encuestadores
3.3 RECURSOS INSTITUCIONALES:
• Equipo multimedia
• Computadoras e impresoras
• Otros
3.4 PRESUPUESTO:
3.4.1 COSTO DEL PROYECTO:

35. RECURSOS COSTOS S/.
RECURSOS HUMANOS:
-Asesoramiento 500.00
-Asesoría estadística 300.00
BIENES:
-Materiales de escritorio 500.00
-Material de procesamiento electrónico 200.00
SERVICIOS:
-Impresión de registro de datos 100.00
-Impresión de trabajo 400.00
-Encuadernación 200.00
-Servicios no personales 200.00
-Otros
-Consultas técnicas 300.00
-Imprevistos 200.00
Total consolidado presupuestal 2 900.00
3.4.2 FINANCIAMIENTO:
-Autofinanciado por el investigador.

36. BIBLIOGRAFIA
-RIOS, Sixto. “Algebra Lineal y Geometría Vectorial”.
Edic. Paraninfo, Madrid 1976.
-VENERO, Armando. “Introducción al Análisis Matemático”.
Edit. Gemark. Lima 1992.
-BABINI J. “Historia de las Ideas modernas en
Matemática”. Editorial Dpto. de asuntos
cientif. Unión Panamericana-Bs. As. 1967. pp. 73.
-DIENES, Zoltan “La potencia de la Matemática”. Editorial
Estrada, Bs. As., 1ra. Edición, 1971, pág. 12.
-LEHMANN, Charles “Geometría Analítica”.
Edit. Utema. México 1962.
-LONDOÑO, Nelson. “Geometría Analítica y Trigonometría”.
Edit. Norman, Colombia 1984.
-TORANZOS, Fausto “Enseñanza de la matemática”.
Edit. Capeluz, Buenos Aires. 1977.
-SPIEGEL, Murray. “Análisis Vectorial”.
Edit. Mc Graw Hill Colección Schaum.
-HOWARD F. Fehr. “Enseñanza de la Matemática” (Trad)
Edit. Librería del Colegio. Buenos Aires 1970.
-BUNGE, Mario “La Investigación Científica”
Edit. And. Barcelona. 1983.
-LUZURIAGA, Lorenzo. “Pedagogía y Metodología”

37. Edit. Afa. Perú 1993.
-SPIEGEL, Murray. “Estadística”
Edit. Mc Graw Hill Colección Schaum.
-URIARTE, Felipe. “Técnicas para Estudiar”.
Edit. Studium. Lima 1986.
-CANGAHUALA C. Jorge. “Tecnología Educativa”
Edit. Cangahuala. Lima 1986.
-MIRA Y LÓPEZ, EMILIO. “Psicología Evolutiva del Niño y del Adolescente”
Edit. Atenso. Barcelona 1970.
- BRANDEN, Nathaniel, 1995, Seis pilares de la autoestima,
Barcelona, ediciones. Paidos, 1ra.edición.
-CARO FIGUEROA, Luis 2000, “La formación profesional”
Desafío del nuevo siglo, Argentina.
-COLOM, Antoni. 2001, “Pedagogía institucional”
España, síntesis educación.
-SANCHEZ BUCHON C “Estadística Elemental Aplicada a la Pedagogía”.
Colección. Poveda – Madrid.
-GARCIA ORE, C. “Estadística Y Probabilidades”.
Edit. Santa Úrsula. Lima 1991.
-PISCOYA, Luis “Investigación Educacional”.
Edit. Básicas, INIDE. Lima 1978.
-TORANZOS, Fausto “Enseñanza de la Matemática”

38. Edit. Capeluz, Buenos Aires. 1977.
-VOLKENSHTEIN S., V. “Problemas de Física General”
Editorial MIR, Moscú – Edición 1976.
-M.A. USHAKOV. “Problemas Didácticos de Física”
Editorial IR, Moscú – Edición 1976.
-VAN DER MERWE, Carle W. “Física General”.
Colección Schaum, Editorial Mc Graw Hill,
Mexico-1987.
-ESPINOZA R., Eduardo “Vectores y Matrices”
2da. Edición, Lima – Perú. 2002.
-FIGUEROA G., R. “Matemática Básica 2, Vectores y Matrices”.
Ediciones RFG, Lima - Perú, octava Edición.
2010.
-FIESTAS CHERRE, J. “Física, Vectores”
Colección: NOR – ORIE.
-CAREL W. Van der Merwe. “Física General”
Mc Graw – Hill, 1977.
-GOMEZ F., J. “Física General”
15ava Edición, lima-Perú, 1993

39. ANEXO

40. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES
DEFINICIÓN CONCEPTUAL DEFINICION
VARIABLE OPERACIONAL DIM INDICADORES ITEM INDICE
ENSI
ONE
S
VARIABLE Es un modelo de Pro Proceso mental - -Identifica la información Cuestionarios: a) Si
INDEPENDIENTE aprendizaje de la estratégico y Expe b) No
Geometría Analítica didáctico en la que rime -Selecciona la información ¿Considera
Enfoque vectorial. Plana que mediante la frente a un problema ntar importante el
los -Interpreta los enunciados enfoque
aplicación de vectores real del bajo
efect vectorial?
permite que el educando rendimiento
os -Compara información c) Si
tenga mayor concepción académico de la del Buena motivación d) No
visual de una gráfica Geometría Analítica enfo ¿Es posible
geométrica, para mejorar Plana, que mediante que -Aplica Modelos matemáticos aprender la
la eficacia y la rapidez en el empleo de los vect Geometría
el planteamiento y la vectores se logre una orial -Desarrolla el pensamiento Vectorial en
resolución de problemas mayor concepción en el creativo. Secundaria?
de aplicación. visual de una grafica apre
geométrica, para ndiz -Aplica propiedades en la
que el alumno aje resolución de problemas.
de la
comprenda mejor el
Geo
planteamiento y la
metr
resolución de ía
problemas de

41. aplicación. -An
alític
a
Plan
a
Iden
tifica
ción
de
los
elem
ento
s de
un
vect
or
-
Mej
orar
el
cono
cimi
ento
de
los
alum
nos
prior
izan
do el
apre

42. ndiz
aje
signi
ficati
vo.
-
Plan
tea
mien
to
de
prob
lema
s
-
Dete
rmin
ació
n de
la
resp
uest
a
-Adqu
VARIABLE isición y reconstrucción -Proceso mental - -Discrimina información ¿Es importante a) Si
DEPENDIENTE: de nuevos conocimiento estratégico y Reco la aplicación de b) No
y habilidades que didáctico en la que nstr -Demuestra información los vectores en
Aprendizaje de la frente a un problema ucci el aprendizaje
contribuye a la formación
Geometría ón - Interpretación de significados de la
del pensamiento lógico y real del bajo
Analítica Plana. de de la información Geometría
el desarrollo del lenguaje rendimiento
cono Analítica Plana?

43. geométrico en los académico de la cimi -Resuelve e interpreta
alumnos, para resolver Geometría Analítica, ento información del
problemas mediante se emplea los sy lenguaje matemático ¿Qué técnicas Phillips
procedimientos simples, vectores para tener habil grupales de 66
idad -Coherencia en el algoritmo de enseñanza
uniformes, asociado con mayor concepción
es. solución. aplica en el El arte
el uso de un sistema visual de una grafica
aprendizaje de de
coordenado. geométrica, donde el - -Estrategias y técnicas de la Geometría pregunt
alumno logra Iden solución de problemas. Analítica? ar.
interpretar, tifica
representar ción
mediante graficas, del (Cuestionarios:
fenómenos de prob Análisis de
nuestra realidad lema documentos,
física, plantear y bajo Cuestionarios,
resolver problemas rend prueba
imie pedagógica:
con rapidez.
nto Pre y post test)
acad
émic
o.
-
Desa
rroll
o del
leng
uaje
geo
métr
ico.
-

44. For
maci
ón
del
pens
amie
nto
lógic
o.
Apli
caci
ón
del
razo
nami
ento
y
dem
ostr
ació
n
-
Plan
teo
de
prob
lema
s
-
Reso

45. lució
n de
prob
lema
s.
-
Dete
rmin
ació
n de
la
resp
uest
a.

46. MATRÍZ DE CONSISTENCIA DE LOS ELEMENTOS CONCEPTUALES
TITULO: EFECTOS DEL ENFOQUE VECTORIAL EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
ANALÍTICA PLANA EN 5TO. DE SECUNDARIA.
PROBLEMA OBJETIVOS HIPÓTESIS VARIABLES INDICADORE POBLACIÓN
S
PROBLEMA OBJETIVO GENERAL: HIPÓTESIS GENERAL: POBLACIÓN
GENERAL: El programa VARIABLE Conocimiento Son los siguientes:
¿Cuál -Determinar los efectos experimental del INDEPENDIENTE: s - 60 alumnos de la I.E.:

47. es son los del enfoque vectorial en enfoque vectorial en el Enfoque “Politécnico Regional del
efectos del el aprendizaje de la aprendizaje de la vectorial Memorizació Centro”- El Tambo,
enfoque geometría analítica Geometría Analítica n Huancayo.
vectorial en el plana en el 5to. Grado Plana, muestra su - 60 alumnos de la I.E.:
aprendizaje de la de Educación efectividad al promover Percepción “Nuestra Señora de Fátima” de
Geometría Secundaria – Huancayo. el mejor aprendizaje en Huancayo.
Analítica Plana? el alumno. Buena En ambas instituciones
PROBLEMAS OBJETIVOS: comprensión educativas se tomara como
ESPECÍFICOS: ESPECÍFICOS HIPÓTESIS ESPECÍFICAS: universo o población la
- ¿Cuál es el -Diseñar la efectividad Buena totalidad de las secciones del
grado de del enfoque vectorial en -Esta asignatura de motivación 5to. Grado de Educación
capacidad de el aprendizaje de la Geometría Analítica Secundaria.
análisis y geometría analítica Vectorial permitirá en Desarrolla el
razonamiento plana en estudiantes del el alumno el desarrollo pensamiento
lógico 5to. Grado de Educación de una solida creativo.
matemático que Secundaria formación lógico VARIABLE MUESTRA:
un alumno del – Huancayo. matemático. DEPENDIENTE: Resolución de La muestra se
5to. Grado de -Aplicar el álgebra -La aplicación de los problemas seleccionara en forma
Educación vectorial para promover vectores en el Aprendizaje de la intencionada y controlada
Secundaria el aprendizaje de la desarrollo de Geometría Analítica apareando grupos
pueda alcanzar geometría analítica ciertos problemas de experimentales y de control.
con esta plana en estudiantes del matemática y física -30 alumnos de la I.E.:
enseñanza? 5to. Secundaria – promueve en el “Politécnico Regional del
Huancayo. menor tiempo la mayor Centro” El Tambo -
¿Es factible que -Evaluar el grado de eficacia su proceso de Demostracio Huancayo, se trabajara con una
a través del razonamiento lógico y solución. nes muestra de 02 secciones,
aprendizaje de la analítico al enseñar los -El hecho de aplicar este quinto
geometría vectores en el enfoque despierta en Razonamient grado A y B.
analítica educando. el alumno el o -30 alumnos de la I.E.: “Nuestra
haciendo uso de -Comparar los mayor interés hacia el Señora de Fátima” – Huancayo.
técnicas resultados que se conocimiento de nuevos Lenguaje Se trabajara con una muestra
vectoriales obtienen del aprendizaje temas y por ende a matemático de 02 secciones, quinto A y B
podamos de la geometría la investigación de

48. promover un analítica en forma estos en los cursos
mejor vectorial y de Estrategias y
rendimiento cartesianamente. matemática y física. – técnicas de
escolar? -Diseñar el estilo de Mediante la enseñanza solución de
¿Es factible que aprendizaje de la de la geometría problemas.
mediante el geometría analítica analítica con vectores
enfoque plana mediante un el Cartel de
vectorial en la enfoque vectorial en alumno logra contenidos,
enseñanza de estudiantes del 5to. interpretar y capacidades y
la geometría Grado de Educación representar mediante actitudes.
analítica plana Secundaria – Huancayo. graficas,
podamos fenómenos de nuestra Programacion
promover un realidad física. es y unidades
mejor de
aprendizaje? aprendizaje.
Registros
Actas
Cantidad de
alumnos
aprobados y
desaprobado
s
Masculino
Femenino

50. ENCUESTA ACERCA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA MEDIANTE LA
APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN EDUCACION SECUNDARIA
DIRIGIDO AL PROFSOR:……………………………………………………………………
CENTRO DE LABOR:…………………………………AÑOS DE SERVICIO:………….
INSTRUCCIONES: Sírvase Ud. contestar y fundamentar las interrogantes que
continuación se plantean:
1. ¿Cree Ud. Que existe problema alguno en la enseñanza de la Matemática en
nuestro medio. A que se debe?:……………………………………………………….
……..………………………………………………..…………………………….…………
2. ¿Cuál cree Ud. Que sean los temas mas fundamentales y necesarios que el
alumno debe conocer para poder seguir estudios superiores en ingeniería,
medicina y campos científicos a fines?:……………………………………………..
………………………………………………………………………………………………
3. ¿Cree Ud. Que el rendimiento académico de los alumnos en el 5to. Grado sea
menor que en los demás grados?:………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………….
4. ¿Cuál cree Ud. Que sea el método mas eficaz para la enseñanza de la Geometría
Analítica Plana?:……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
5. ¿Piensa Ud. que la enseñanza de los vectores este bien que se ubique dentro de
la física, en el Nivel Secundario?:……………..…………………………………………
………………………………………………………………………………………………..
6. ¿Cuál cree Ud. que sea el problema fundamental en el educando y educador en
el proceso de interaprendizaje?:………………………………………………….………
………………………………………………………………………………………………..
7. ¿Cree Ud. que en el alumno no existe la capacidad suficiente de abstracción para
poder interpretar los principios geométricos?:…………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
8. ¿Considera Ud. importante la enseñanza de los vectores en la Geometría
Analítica Plana? :…………………………..………………………………………………
9. ¿Qué beneficios traería como consecuencia la enseñanza de la Geometría
Vectorial en el área de Matemática, en el 5to. grado de educación secundaria? :..
……………………………………………………………………………………………….
10. ¿En que grado cree Ud. que se debería enseñar los vectores dentro de nivel
Secundario? :………………………………………………………………………………
11. ¿Cree Ud. que seria mas objetivo el hecho de demostrar un teorema geométrico
mediante el Algebra Vectorial? :…….…………………………………………………..
12. ¿Cree Ud. que seria posible enseñarle la Geometría Vectorial en Educación
Secundaria? :……………………………………………………………………………...

51. ENCUESTA ACERCA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA MEDIANTE LA
APLICACIÓN DE LOS VECTORES EN EDUCACION SECUNDARIA
DIRIGIDO AL PROFSOR:……………………………………………………………………
CENTRO DE LABOR:…………………………………AÑOS DE SERVICIO:………….
INSTRUCCIONES: Sírvase Ud. contestar y fundamentar las interrogantes que
continuación se plantean:
5. ¿Cree Ud. Que existe problema alguno en la enseñanza de la Matemática en
nuestro medio. A que se debe?:…………………………………………………….
……..………………………………………………..…………………………….…………
6. ¿Cuál cree Ud. Que sean los temas mas fundamentales y necesarios que el
alumno debe conocer para poder seguir estudios superiores en ingeniería,
medicina y campos científicos a fines?:……………………………………………..
………………………………………………………………………………………………
7. ¿Cree Ud. Que el rendimiento académico de los alumnos en el 5to. Grado sea
menor que en los demás grados?:………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………….
8. ¿Cuál cree Ud. Que sea el método mas eficaz para la enseñanza de la Geometría
Analítica Plana?:……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
5. ¿Piensa Ud. que la enseñanza de los vectores este bien que se ubique dentro de
la física, en el Nivel Secundario?:……………..…………………………………………
………………………………………………………………………………………………..
6. ¿Cuál cree Ud. que sea el problema fundamental en el educando y educador en
el proceso de interaprendizaje?:………………………………………………….………
………………………………………………………………………………………………..
7. ¿Cree Ud. que en el alumno no existe la capacidad suficiente de abstracción para
poder interpretar los principios geométricos?:…………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..
8. ¿Considera Ud. importante la enseñanza de los vectores en la Geometría
Analítica Plana? :…………………………..………………………………………………
9. ¿Qué beneficios traería como consecuencia la enseñanza de la Geometría
Vectorial en el área de Matemática, en el 5to. grado de educación secundaria? :..
……………………………………………………………………………………………….
10. ¿En que grado cree Ud. que se debería enseñar los vectores dentro de nivel
Secundario? :………………………………………………………………………………
11. ¿Cree Ud. que seria mas objetivo el hecho de demostrar un teorema geométrico
mediante el Algebra Vectorial? :…….…………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………
12. ¿Cree Ud. que seria posible enseñarle la Geometría Vectorial en Educación
Secundaria? :……………………………………………………………………………...

52. TRABAJO DE INVESTIGACION “APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA ANALITICA
VECTORIAL”
TEST DE ENTRADA PARA ALUMNOS DEL QUINTO GRADO DE EDUCACION SEUNDARIA
I. SECCION DE TEST COGNITIVO:
1. Dados los conjuntos: A= { 1;2 } y B = { 4;2 } , hallar AxB y BxA, ¿será AxB = BxA? y
2. En la figura se observa el vector , hallar:
a) Las componentes:
4 P:(3;4)
-en el eje X:……………………………………
c) La dirección (β ) del vector con respecto
a la horizontal:………….…….…………….…..
3. Que idea tiene sobre un vector:………………………………………………………………………………
4. Establecer si es verdadero o falso:
X d) La dirección de es ϴ2 ….…….….…..( )

53. método grafico (Método Polígono)
6. En la figura mostrada, hallar las proyecciones de los vectores A y B sobre el eje X o de las abscisas, si
el valor o longitud de los vectores es de 4 y 5 respectivamente.
450
450
7. Si = (2;4), = (-1; 8) y = ( 8; -4), simplifique las siguientes expresiones vectoriales:
a) 2. + =
b) 2. - 1/8 . =
c) 4 [ 2. - 5 ( 2. ) ] =
8. E n la figura ¿Por qué las rectas L1 y L2 son paralelas?

54. L1
L2
9. En la figura ¿Por qué las rectas L1 y L2 son perpendiculares:?
L1
L2
10. En la figura / / y ‫ ﮮ‬α = ‫ .× ﮮ‬Demostrar que es bisectriz del ‫ ﮮ‬AOB
B
M
L
X
α
A
O

56. TABLA DE ESPECIFICACION DEL (PRE TEST)
TEMA: VECTORES EN E PLANO Y CONOCIMIENTOS GEOMETRICOS BASICOS.
% DE TIEMPO
O CONTENIDOS NIVEL DE DOM. TIPO CANT. CANTIDAD DE PES POR CADA
B COGNITIVO DE PRE. PREGUNTAS O PREGUNTA
PRUE
BA
01 PRODUCTO CARTESIANO APLICACION DESA 1 5% 2 2 MINUTOS
RROL
LO
02 CONOCIMIENTOS BASICOS
SOBRE VECTORES.
-DEFINICION
-DIRECCION Y MODULO 4 MINUTOS
-COMPONENTES CONOCIMIENTO COMP 3 1 2 MINUTOS
-IGUALDAD COMPRENSION LETA 3 1/2
-OPERACIONES M.
CON VECTORES. COMPRENSION V-F 2 78% 1 2 MINUTOS
-PROYECCIONES COMPRENSION 2 1/2 2 MINUTOS
DE UN VECTOR. APLICACIÓN COMP 3 1 3 MINUTOS
-RESULTANTE LETA
DE UN GRUPO M.
DE VECTORES. COMPRENSION V-F 1 2 3 MINUTOS
DESA
COMPRENSION RROL 1 2 4 MINUTOS
LO
DESA
RROL
LO

57. DESA
RROL
LO
03 CONOCIMIENTOS BASICOS
SOBRE GEOMETRIA PLANA.
-PARALELISMO DE RECTAS. CONOCIMIENTO DESA 1 3/2 3 MINUTOS
-PERPENDICULARIDAD DE RROL
RECTAS. CONOCIMIENTO LO 1 17% 3/2 3 MINUTOS
-RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA APLICACION DESA 1 3/2 3 MINUTOS
SECANTE. RROL
LO
DESA
RROL
LO
TOTAL 100% 20 45 MINUTOS
HIPÓTESIS UNIDADES VARIABLES ELEMENTOS LÓGICOS
DE
ANALISIS

58. • El • Estudiante • VARIABLE • La aplicación del enfoque vectorial en el aprendizaje de la Geometría
programa s del 5to. INDEPENDI Analítica Plana, muestra su efectividad al promover el mejor aprendizaje en
experiment Grado de ENTE los alumnos de 5to Grado de Educación Secundaria.
al del Educación Enfoque • La aplicación del enfoque vectorial en el aprendizaje de la Geometría
enfoque Secundari vectorial Analítica Plana influye significativamente en el rendimiento escolar de los
vectorial a de la I.E. alumnos del 5to. Grado de Educación Secundaria.
en el “Politécnic • VARIABLE
aprendizaj o Regional DEPENDI
e de la del ENTE
Geometría Centro” – Aprendizaj
Analítica El Tambo e de la
Plana, Huancayo Geometría
muestra su y la I.E. Analítica.
efectividad “Nuestra
al Señora de • VARIABLE
promover Fátima” de S
el mejor la INTERVINI
aprendizaj Provincia ENTES
e en el de La edad, el
alumno. Huancayo. sexo, la
metodologí
a
empleada.
MATRÍZ DE CONSISTENCIA DE LOS ELEMENTOS METODOLÓGICOS

59. TECNICAS E
METODO DISEÑO DE POBLACION Y MUESTRA INSTRUMENTOS DE TECNICAS DE
INVESTIGACION RECOLECION DE ANALISIS
DATOS
DISEÑO POBLACIÓN
E ESPECÍFICO Son los siguientes:
Cuasi - 60 alumnos de la I.E.: Encuestas Estadígrafo:
X experimental. de “Politécnico Regional del Centro”-
grupo de control no El Tambo, Prueba pedagógica: Pre Estadística
equivalente con Huancayo. y post test descriptiva:
P
Pre y Post test - 60 alumnos de la I.E.: “Nuestra
Señora de Fátima” de Huancayo. Ma., CV, S, S2
E ESQUEMA DEL
D.E.: MUESTRA:
R La muestra se Estadística
A G.E. seleccionara en forma Inferencial:
I O1 x O2 intencionada y controlada
A G.C. apareando grupos experimentales t de Student
M O3 ‒ O4 y de control.
-30 alumnos de la I.E.: “Politécnico
E Donde: Regional del Centro” El Tambo -
A : Significa Huancayo, se trabajara con una
aleatorización de muestra de 02 secciones, quinto
N ambos grado A y B.
grupos -30 alumnos de la I.E.: “Nuestra
T G.E : Grupo Señora de Fátima” – Huancayo.
experimental Se trabajara con una muestra de
A G.C. : Grupo 02 secciones, quinto A y B
control
L O1 y O3 :
Resultado de pre
test
X : Es la

60. variable
experimental
O2 y O4 :
Resultado del post
test