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ALEGRE FREYRE 2013
1
METODO RUFFINI
IE . PNP MEB
AULA CRT MEB 2013

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2
TEMA 3.5 * 1º BCS
REGLA DE RUFFINI

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3
• Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la
forma (x – a), siendo a un número, la división de puede realizar de
una forma más rápida y precisa:
• 1.‑ Se reduce el dividendo.
• 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente.
• 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros.
• 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluidos los
ceros.
• 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a.
• 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini.
• 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo
el último que es el resto de la división.
• 8.- Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá:
• D(x) = d(x).c(x) + r(x).
Regla de Ruffini

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4
• EJEMPLO 1
• Sea ( x3
+ 4.x2
- 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3
• 1 4 0 - 5
• +
• 3 3 21 63
• 1 7 21 58
• C(x) = 1.x2
+ 7.x + 21
• R(x) = 58
• Podemos comprobar la división:
• (x3
+ 4.x2
- 5) = (x - 3).(x2
+ 7.x + 21) + 58

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5
• EJEMPLO 2
• Sea ( x3
+ 4.x2
- 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5
• 1 4 0 - 5
• +
• - 5 - 5 5 - 25
• 1 - 1 5 - 30
• C(x) = 1.x2
- 1.x + 5
• R(x) = - 30
• Podemos comprobar la división:
• (x3
+ 4.x2
- 5) = (x + 5 ).(x2
- x + 5) + (- 30)

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6
• EJEMPLO 3
• Sea ( 4.x3
+ 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2
• 4 0 5 - 3
• +
• - 2 - 8 16 - 42
• 4 - 8 21 - 45
• C(x) = 4.x2
- 8.x + 21
• R(x) = - 45
• Podemos comprobar la división:
• ( 4.x3
+ 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2
- 8.x + 21) + (- 45)

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• EJEMPLO 4
• Sea ( x3
+ 5.x - 3 ) : ( 2.x – 1)
• Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 2:
• Queda ( 0,50.x3
+ 2,50.x – 1,5 ) : ( x – 0,50)
• 0,50 0 2,50 - 1,50
• +
• 0,50 0,25 0,125 1,3125
• 0,50 0,25 2,625 - 0,1875
• C(x) = 0,50.x2
- 0,25.x + 2,625
• R(x) = - 0,1875
• El verdadero resto es: R(x) = 2.(-0,12875)= - 0,2575
• Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x)

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• EJEMPLO 4
• Sea ( 2.x2
+ 5.x - 3 ) : ( 3.x + 1)
• Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 3:
• Queda ( 2/3.x3
+ 5/3.x – 1) : ( x + 1/3)
• 2/3 5/3 – 1
• +
• – 1/3 – 2/9 – 13/27
• 2/3 13/9 – 40/27
• C(x) = 2/3.x + 13/9
• R(x) = - 40/27
• El verdadero resto es: R(x) = 3.(-40/27)= - 40 / 9
• Como los decimales no son exactos se deja en fracción.
• Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x)

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Método escalonado de Ruffini
• 1 - 3 3 - 1
• +
• 1 1 - 2 1
• 1 - 2 1 0
• 1 1 - 1
• 1 - 1 0
• 1 1
• 1 0
• Si el resto de la división de
P(x) entre (x – a) es cero,
entonces a es una raíz del
polinomio P(x).
• Podemos encontrar las
restantes raíces siguiendo
aplicando la Regla de Ruffini.
• Sea P(x) = x3
- 3 x2
+ 3.x - 1
• Las posibles soluciones o
raíces enteras son:
• PRE = {1, -1} ,
• o sea los divisores de 1.

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10
Método escalonado de Ruffini
• 1 3 0 - 4
• +
• 1 1 4 4
• 1 4 4 0
• - 2 - 2 - 4
• 1 2 0
• - 2 - 2
• 1 0
• Sea P(x) = x3
+ 3. x2
- 4
• Tenemos que resolver la
ecuación:
• x3
+ 3 x2
- 4 = 0
• Las posibles soluciones o
raíces enteras son:
• PRE = {1, -1, 2, - 2, 4, - 4} ,
• o sea los divisores de 4.
• Aplicamos el método de
Ruffini sin recurrir al
Teorema del Resto, o tras
encontrar una raíz mediante
sustitución.

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11
MG VICTOR ALEGRE F.
TEOREMA DEL RESTO Y
TEOREMA DEL FACTOR

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12
TEOREMA DEL RESTO
• Recordemos que RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x
que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero.
• Cumplen la ecuación: P(x)=0
• TEOREMA DEL RESTO
• El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la
forma (x a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el‑
valor de a.
• Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por a.‑
• Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que
es una raíz del polinomio.
• Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces
reales.
• Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz
real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales.

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• EJEMPLO_1
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( x3
+ 4.x2
- 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(3)= 33
+ 4.32
- 5 = 27 + 36 – 5 = 58
• EJEMPLO_2
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( x3
+ 4.x2
- 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(-5)= (-5)3
+ 4.(-5)2
- 5 = -125 + 100 – 5 = - 30
• EJEMPLO_3
• Ya hemos visto al hacer la división:
• ( 4.x3
+ 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45
• Veamos aplicando el Teorema del resto:
• P(a)=P(-2)= 4.(-2)3
+ 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45

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• RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
• Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son
divisores del término independiente.
• Sea P(x) = a.x3
+ b.x2
+ c.x + d
• Donde a, b, c y d son números enteros.
• Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x):
• a.r3
+ b.r2
+ c.r + d = 0
• r.(a.r2
+ b.r + c) = - d
• Vemos que r es un factor de – d
• O sea, que r es un divisor entero de d.
• Para hallar las raíces de un polinomio de grado igual o superior a 3,
o sea las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo primero será
comprobar las posibles soluciones enteras o divisores enteros del
término independiente.
• Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será
una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0

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• EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
• Sea P(x) = x3
+ 2.x2
- 5.x - 6
• Tenemos que resolver la ecuación: x3
+ 2.x2
- 5.x - 6 = 0
• Las posibles soluciones o raíces enteras son:
• PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6} , o sea los divisores de 6.
• Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto:
• P(1) = 13
+ 2.12
– 5.1 – 6 = – 8 <> 0  No es raíz x =1
• P(-1) = (-1)3
+ 2.(-1)2
- 5.(-1) – 6 = 0  x = -1 es una raíz.
• P(2) = 23
+ 2.22
- 5.2 – 6 = 0  x = 2 es otra raíz.
• P(-2) = (-2)3
+ 2.(-2)2
- 5.(-2) – 6 = 4 <> 0  No es raíz
• P(3) = 33
+ 2.32
- 5.3 – 6 = 24 <> 0  No es raíz x = 3
• P(-3) = (-3)3
+ 2.(-3)2
- 5.(-3) – 6 = 0  x = -3 es otra raíz
• Las soluciones o raíces son: x = -1 , x = 2 y x = -3

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16
• OTRO EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO
• Sea P(x) = x3
+ x2
+ 4.x + 4
• Tenemos que resolver la ecuación: x3
+ x2
+ 4.x + 4 = 0
• Las posibles soluciones o raíces enteras son:
• PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4.
• Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto:
• P(1) = 13
+ 12
+ 4.1 + 4 = 10 <> 0  No es raíz x = 1
• P(-1) = (-1)3
+ (-1)2
+ 4.(-1) + 4 = 0  x = -1 es una raíz.
• P(2) = 23
+ 22
+ 4.2 + 4 = 24 <> 0  No es raíz x = 2
• P(-2) = (-2)3
+ (-2)2
+ 4.(-2) + 4 = – 8 <> 0  No es raíz x = - 2
• P(4) = 43
+ 42
+ 4.4 + 4 = 100 <> 0  No es raíz x = 4
• P(-4) = (-4)3
+ (-4)2
+ 4.(-4) + 4 = - 60 <>0  No es raíz x = -
4
• La única raíz real entera es x = -1

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TEOREMA DEL FACTOR
• RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el
valor numérico del polinomio es cero.
• Cumplen la ecuación: P(x)=0
• Por el Teorema del Resto, si a es una raíz, entonces P(a) = 0
• TEOREMA DEL FACTOR
• Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma
(x a) es 0, entonces la división es exacta y a es una raíz del polinomio.‑
• Se cumple que: P(x) = (x – a).C(x)
• Siendo C(x) el cociente que nos haya dado la división.
• (x – a) será un factor de P(x).
• P(x) se podrá entonces factorizar, convertir en un producto de polinomios.