análisis numérico

1. 1
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Facultad de Ingeniería
Cabudare – Edo Lara
Informe
Interpolación
Integrante: Víctor Rojas
CI: 21243151

2. 2
INDICE
Introducción ........................................................................................................................3
INTERPOLACIÓN...................................................................................................................4
Elección de la interpolación más adecuada.........................................................................4
Polinomio interpolador.........................................................................................................5
Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton.......................................6
INTERPOLACION LINEAL........................................................................................................7
Interpolaciónlineal de una variable independiente.............................................................8
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA.(Lagrange).............................................................................8
Interpolación de Lagrange...............................................................................................10
Ejemplos............................................................................................................................11
Interpolaciónlineal.........................................................................................................11
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA.........................................................................................13
CONCLUSION .....................................................................................................................14

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Introducción
En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad
en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de
un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.
Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podría usarse para estimar
razonablemente, algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse usando
una función que ajuste los datos. Este es un tema llamado Interpolación
La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos
matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más
profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática
aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las
herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos.
Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos
por diferentes razones:
 No se adecúan al modelo concreto.
 Su aplicación resulta excesivamente compleja.
 La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier
interpretación posterior.
 Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar
soluciones al problema.
En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de
cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son
siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de
estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de
computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de
la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de
las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos
.

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INTERPOLACIÓN
El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x), de
la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre
entre dos valores consecutivos conocidos.
"La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el
que conocemos los valores en los extremos".
El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una
función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.
Elección de la interpolación más adecuada.
Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la
misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder
estudiarla en otros puntos.
Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos
quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones
más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de
menor grado que pase por la n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio
de grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas
(sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los
coeficientes es de Van der monde y por lo tanto distinto de cero)

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Polinomio interpolador
Correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores
en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos
son naturalmente estimaciones aproximadas.
El problema de la interpolación tiene propiamente tres cuestiones:
 Saber si tiene solución o no.
 En caso de tenerla, ¿dicha solución es ´única o existen varias?
 Y finalmente métodos de cálculo lo más eficientes posibles.
A este respecto en interpolación polinómica tenemos el siguiente resultado:
Teorema 1. Supongamos conocido el valor de una función f(x) en un conjunto
de puntos distintos dos a dos x0, x1, . . . , xn. Entonces, existe un único
polinomio P(x) 2 <n[x] (esto es, polinomios de grado menor o igual que n) que
interpola a la función en esos puntos, es decir,P(xi) = f(xi) con i = 0, . . . , n.
La prueba más directa (con el coste de unos leves conocimientos de ´algebra)
consiste en plantear el sistema lineal de ecuaciones (ahora las incógnitas son
los coeficientes del polinomio P buscado) y darse cuenta de que es un sistema
compatible determinado al tener matriz de coeficientes de tipo Van der Monde
(con los xi distintos dos a dos) y por tanto invertible.
Otra forma inmediata de ver la unicidad de solución al problema consiste en
imaginar la existencia de dos polinomios P y Q de grado n satisfaciendo la tesis
del teorema.
Entonces
P − Q es otro polinomio de grado n con n + 1 ceros, y eso conduce
inevitablemente a que
P − Q _ 0.

6. 6
Completamos este razonamiento con dos respuestas (en las siguientes
secciones) de existencia de solución, ambas constructivas.
Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton.
Cualquier polinomio de <n[x] se puede expresar en forma única como una
combinación lineal de los monomios {1, x, x2, . . . , xn}, pues son evidentemente
sistema generador y además linealmente independientes (luego forman una
base del espacio vectorial), la más simple de hecho, la base canoníca.
Esta base, que es adecuada para algunas manipulaciones inmediatas de
polinomios como nombrábamos en la sección anterior (derivación e integración
por ejemplo), no es, sin embargo, la más adecuada para construir en principio el
polinomio interpolador.
Vimos que resultaba útil incluir los propios nodos del problema en los polinomios
a construir, de modo que en este parágrafo adoptamos una solución intermedia:
Expresaremos el polinomio P(x) que interpola a las abscisas x0, x1, . . . ,
xn, como una combinación lineal del siguiente conjunto de
polinomios { 0(x), 1(x), . . . , n(x)} siendo:
0(x) = 1,
1(x) = (x − x0),
2(x) = (x − x0)(x − x1),
3(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2),
n(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1)
Este conjunto es otra base del espacio de <n[x] por tener n + 1 elementos
linealmente independientes (obsérvese que con este método cada problema
requiere una base distinta, en función de los nodos xi que nos dan, y que el
cálculo de cada sirve para el siguiente.)

7. 7
INTERPOLACION LINEAL
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos
y cuadrática cuando se tomen tres.
Interpolación lineal es un método de conexión usando polinomios lineales de
curva. Calcula el desconocido tasa como si se encuentra en una línea recta entre
los dos tipos, es la forma más sencilla para calcular la tasa de desconocidos.
Interpolación lineal y su cálculo profundamente empleadas en análisis numérico
particular de matemáticas y numerosas aplicaciones incluyendo gráficos por
computadora. Es una forma simple de interpolación
Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi
proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha
función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..
Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una
estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. Teniendo en cuenta que
la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:
 fórmula general
La interpolación lineal:
x2 = ((y2 - y1)(x3 - x1) / (y3 - y1)) + x1
y2 = ((x2 - x1)(y3 - y1) / (x3 - x1)) + y1

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Interpolación lineal de una variable independiente.
Es igual que hacer integrales cerradas. En una tabla se representan algunos
valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la
función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en
la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos
un poco más por interpolación, la interpolación casi siempre nos dará un
pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será
menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla, veamos
cómo se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente
que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.
Por la tabla sabemos que:
y
Queremos, pues, saber:
Siendo:
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. (Lagrange)
Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el
nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se
encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es
preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.

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Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios
interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa
por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):
EÇl error en la interpolación lineal resulta de aproximar una curva con una línea
recta.
Estrategias:
– Disminuir el tamaño del intervalo.
– Introducir alguna curvatura en la línea que conecta los puntos.
Si tres puntos de los datos están disponibles, esto puede realizarse con un
polinomio de segundo grado (parábola).
Puede utilizarse un procedimiento simple para determinar los valores de los
coeficientes.
Sustituyendo las ecuaciones anteriores, y evaluando en x = x1:
Sustituyendo nuevamente, y ahora evaluando en x = x2:

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Interpolación de Lagrange.
Este método es el más explícito para probar existencia de solución ya que la
construye.
Sin embargo su utilidad se reduce a eso: a dar una respuesta formal y razonada,
pues no es eficiente en términos de cálculo (requiere muchas operaciones y tiene
limitaciones técnicas que después nombraremos).
Para calcular el polinomio interpolador P(x) asociado a una tabla de datos (xi, fi)
con i =
0, . . . , n podemos plantearnos una simplificación previa: ¿qué ocurre si
construimos polinomios
li(x) de grado n que valgan 1 en el nodo xi y 0 en el resto?
li(xk) = _ik = _ 1 si i = k, 0 si i 6= k.
Es inmediato que con esto se resuelve el problema original, tomando la suma
de esa n + 1 polinomios de grado n (con coeficientes adecuados):
P(x) = Pn k=0 fk · lk(x).
¿Es posible encontrar tales li(x)? Si damos el polinomio facto izado para que
tenga en cada nodo xj (con j 6= i) una raíz, el candidato es:
(x − x0)(x − x1) ·. . . · (x − xi−1)(x − xi+1) · . . . · (x − xn) = n Yj=0 j6=I (x − xj).

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Ejemplos
Interpolación lineal
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que
conocemos los valores en los extremos.
Si se supone que las variaciones son proporcionales se utiliza la interpolación
lineal.
Sean dos puntos (x1, y1) y (x3, y3), entonces la interpolación lineal consiste en
hallar una estimación del valor y2 , para un valor x2 tal que x1<x2 <x3.
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes
entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones:
3 22 1
2 1 3 2
y yy y
x x x x


 
De igual forma podemos determinar por ejemplo que:
3 12 1
2 1 3 1
y yy y
x x x x


 
o lo que es equivalente 2 1 2 1
3 1 3 1
x x y y
x x y y
 

 
Despejando y2 obtenemos que:
3 1 2 1
2 1
3 1
( )( )
( )
y y x x
y y
x x
 
 


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Algunas propiedades básicas de las proporciones son:
En toda Proporción se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos.
II) Alternar Extremos:
III) Alternar Medios:
IV) Permutar:
V) Invertir:
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:
VIII) Componer y descomponer a la vez:

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INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla:
• X Y
• 1 2
• 3 10
• 5 26
Si nos dan tres puntos, calculamos las
pendientes:
• m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4
• m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8
• Las pendientes no coinciden.  NO hay
Interpolación lineal.
• Debe pues hacerse una interpolación
cuadrática.
Interpolación lineal
La interpolaciónconsiste enhallar un dato dentrode un intervaloen
el que conocemos los valores en los extremos.
Si se supone que lasvariacionessonproporcionalesse utilizala
interpolaciónlineal.
Seandos puntos(x1,y1) y (x3, y3),entonceslainterpolaciónlineal
consiste enhallarunaestimacióndel valory ,paraun valorx tal
que x1<x <x3.

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CONCLUSION
En numerosos métodos matemáticos observamos una cierta regularidad en la forma de
producirse,estonospermite sacarconclusionesde lamarchade un método ensituacionesque
no hemos medido directamente.
Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podría usarse para estimar
razonablemente,algunasprediccionesde este tipopuedenobtenerse usandounafunción que
ajuste los datos. Este tema se le llama Interpolación.