O documento discute conceitos básicos de derivadas, incluindo:
1) A definição de derivada como a taxa de variação instantânea de uma função.
2) A interpretação geométrica da derivada como a inclinação da reta tangente.
3) Como o sinal da derivada indica se uma função é crescente, decrescente ou constante.
2. Derivadas
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• Definição: A derivada de uma função 𝑓 em um ponto 𝑥 ,
denotada por 𝑓′(𝑥), indica a taxa de variação instantânea dessa
função em um ponto, dada uma variação infinitesimal em 𝑥.
• Matematicamente, escrevemos:
𝑓′
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
𝑥 = lim
∆𝑥
• Vejamos a interpretação geométrica da derivada.
8. Derivadas
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• A taxa de variação média de 𝑓 no intervalo 𝑓[𝑥, ∆𝑥] é a
declividade da reta secante.
• A taxa de variação instantânea de 𝑓 em 𝑥 é a declividade da reta
tangente no ponto 𝑥.
10. Derivadas
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Crescimento e Decrescimento de Funções
• O sinal da derivada nos permite avaliar se pequenas variações
em um intervalo ocasionam:
“aumento” (crescimento) no valor da função.
“diminuição” (decrescimento) no valor da função.
ou se o valor da função permanece constante.
11. Derivadas
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Crescimento e Decrescimento de Funções
i. 𝑓′
ii. 𝑓′
iii. 𝑓′
𝑥 > 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é crescente, nesse intervalo.
𝑥 < 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é decrescente, nesse intervalo.
𝑥 = 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é constante, nesse intervalo.
12. Derivadas
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Crescimento e Decrescimento de Funções
𝑓′ chamados de Pontos
• Os pontos nos quais 𝑥 = 0 são
Críticos!!!
• Os Pontos Críticos são candidatos a ponto de Mínimo ou de
Máximo.
13. Derivadas
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Regras de derivação
1. f (x) C f ´(x) 0
2. f (x) xn
f ´(x) n.xn1
3.
4.
5.
f (x) eg(x)
f ´(x) eg(x)
.g´(x)
f (x) ln x f ´(x)
1
x
g(x)
f (x) ln g(x) f ´(x)
g´(x)
14. Derivadas
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Propriedades básicas das derivadas
1. [ f (x) g(x)]´ f ´(x) g´(x)
2.
3.
4.
[Cf (x)]´ Cf ´(x)
[ f (x).g(x)]´ f ´(x).g(x) g´(x). f (x)
[
f (x)
]´
f ´(x).g(x) g´(x).f (x)
g(x) [g(x)]2
16. Derivadas
16
Exemplos
• Derive:
2. Note que temos duas funções sendo
2
f (x) ln x.ex
multiplicadas. Então devemos usar a Propriedade 3!! Segue
abaixo:
f ´(x)
1
.ex2
ln x.ex2
.2x
x
19. Derivadas
19
Aplicação
• Encontre os candidatos a ponto críticos da função (Vamos aplicar
a Regra 5!!!):
f (x) ln(x2
1)
0
(x2
1)
2x
f ´(x)
2x 0.(x2
1)
2x 0 x 0
20. Derivadas
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Regra da Cadeia
• Algumas vezes, temos uma função aparecendo “dentro” de outra
função. É o que chamamos de Função Composta.
• Para esse tipo de função teremos uma regra específica de
derivação, que chamaremos de Regra da Cadeia.
21. Derivadas
21
• ⟹
Regra da Cadeia
• Considere uma função do tipo h(x) f [g(x)]
• A derivada dessa função é dada por:
h´(x) f ´[g(x)].g´(x)
• Vamos pensar em um exemplo. Considere a seguinte função:
f (x) (2x 1)3
f ´(x) 3(2x 1)2
.2
23. Derivadas
23
Aplicação
• Exemplo 1 – Considere que o Lucro de nossa cervejaria seja agora
dado pelo seguinte função:
𝐿 𝑞 = −2𝑞2 + 160𝑞 − 1400
• Qual a estratégia ótima que maximiza o lucro da nossa cervejaria?
Max Lucro Total
24. Derivadas
Aplicação
24
• Como visto, os possíveis pontos de máximo (ou mínimo) são
aqueles para os quais a derivada é zero.
• Essa condição chama-se: Condição de Primeira Ordem (CPO).
25. Derivadas
25
Aplicação
Exemplo 1 – Sendo 𝐿 𝑞 = −2𝑞2 + 160𝑞 − 1400, fazendo a CPO:
1) Derive a função:
𝐿´ 𝑞 = −4𝑞 + 160
2) Iguale a derivada a ZERO e isolo o valor de q:
𝑪𝑷𝑶
𝐿´ 𝑞 = 0
−4𝑞 + 160 = 0 ⟹ 𝑞 = 40
26. Derivadas
26
Aplicação
Exemplo 1:
• Mas o ponto 𝑞 = 40 maximiza ou minimiza o lucro da cervejaria?
• Para verificar o ponto, deve ser feito o Teste da Derivada Primeira
que nos diz:
𝑓′ 𝑥 > 0 à esquerda
de máximo.
de 𝑐 e 𝑓′ 𝑥 < 0 à direita de 𝑐 ⟹ 𝑐 é ponto
𝑓′ 𝑥 < 0 à esquerda
de mínimo.
de 𝑐 e 𝑓′ 𝑥 > 0 à direita de 𝑐 ⟹ 𝑐 é ponto
27. Derivadas
Exemplo 1: Teste da Derivada Primeira
27
1) Encontre os pontos críticos da função, ou seja fazer a CPO.
2) Marque cada ponto na reta e escolha:
i. um ponto maior do que ponto crítico (a direita);
ii. um ponto menor do que o ponto crítico (a esquerda).
3) Calcule a derivada primeira nos pontos escolhidos.
4) Analise o crescimento/decrescimento à esquerda e à direita de
cada ponto crítico e conclua o teste.
31. Derivadas
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Derivadas de segunda ordem
• Seja 𝑓′ 𝑥 a derivada de 𝑓 𝑥 . Se calcularmos a derivada de
𝑓′ 𝑥 , chamaremos essa função de derivada segunda 𝑓 𝑥 e a
denotaremos por 𝑓′′ 𝑥 .
• De forma análoga, temos que:
i. 𝑓′
ii. 𝑓′
𝑥 > 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é crescente, nesse intervalo.
𝑥 < 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é decrescente, nesse intervalo
32. Derivadas
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Derivadas de segunda ordem
• O Teste da Derivada Segunda nos permite verificar se o ponto
crítico encontrado na CPO é de máximo ou mínimo.
• A lógica do teste consiste no fato de que um ponto no qual
𝑓′ 𝑥 = 0 e que tem nele a concavidade voltada para cima é um
ponto de mínimo.
• Analogamente, se a concavidade for voltada pra baixo, o ponto é
de máximo.
34. 34
Exemplo 1: Teste da Derivada Segunda
• Se 𝑓′ 𝑐 < 0, então o ponto é de máximo.
• Se 𝑓′ 𝑐 > 0, então o ponto é de mínimo.
1) Encontre os pontos críticos da função, ou seja faça a CPO.
2) Calcule a derivada segunda da função.
3) Calcule a derivada segunda em cada ponto crítico e conclua o
teste.
37. Derivadas
37
com funções que mudem de
Derivadas de segunda ordem
• É comum nos depararmos
concavidade em algum ponto.
• Por exemplo, suponha que queiramos analisar a eficiência de uma
campanha publicitária nas vendas (em termos de unidades
vendidas) como função do investimento realizado.
• É plausível pensar que essa campanha tenha uma mudança de
concavidade.
39. Derivadas
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Derivadas de segunda ordem
• Chamamos o ponto 𝑥𝑖 , no qual acontece a mudança na
concavidade da função de Ponto de Inflexão. O ponto candidato a
ponto de inflexão, é obtido quando:
𝑓′′
𝑥𝑖 = 0
• Quando essa condição for atendida a chamaremos de Condição
de Segunda Ordem (CSO).
40. Derivadas
40
Derivadas de segunda ordem
• Para verificar se o ponto é de inflexão, deve ser feito o teste que
nos diz:
𝑓′′ 𝑥𝑖 > 0 à esquerda de 𝑥𝑖 e 𝑓′′ 𝑥𝑖 < 0 à direita de 𝑥𝑖 ⟹ 𝑥𝑖 é
ponto de inflexão.
𝑓′′ 𝑥𝑖 < 0 à esquerda de 𝑥𝑖 e 𝑓′′ 𝑥𝑖 > 0 à direita de 𝑥𝑖 ⟹ 𝑥𝑖 é
ponto de inflexão.
Nos casos que não há mudança de concavidade o ponto 𝑥𝑖 não é
de inflexão.
41. Derivadas
Exemplo 2: Teste de Ponto de Inflexão
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1) Encontre os pontos candidatos fazendo CSO.
2) Marque cada ponto na reta e escolha:
i. um ponto maior do que o candidato (a direita);
ii. um ponto menor do que o candidato (a esquerda).
3) Calcule a derivada segunda nos pontos escolhidos.
4) Analise o crescimento/decrescimento à esquerda e à direita de
cada ponto candidato e conclua o teste.
42. Derivadas
42
Derivadas de segunda ordem
• Exemplo 2: Suponha que a quantidade 𝑄 vendida pela empresa
seja função do investimento em publicidade 𝑥, dada por:
9
2
3 2
𝑄 𝑥 = −𝑥 + 𝑥 + 12𝑥
• Identifique se existe um ponto de inflexão.
