Studio di funzione (provvisorio)

1. Studio di funzione reale
in una variabile reale

2. I^ Parte
Schema 1.Dominio
Derive Riportiamo il dominio sul grafico 2d-plot
2. Simmetrie e periodicità
2.1 Simmetrie: pari, dispari f(-x)=
2.2 Periodicità f(x+T)=f(x)
3. Segno f(x)>0
Riportiamo sul grafico 2d-plot
4. Incontro con gli assi. Asse x y=0; asse y x=0
Attenzione: 1) controllare x=0 appartenga al domino;
2) risolvere nei reali 3) in caso di approssimazioni indicarle
5. Limiti e continuità
5.1 Limiti sulla frontiera del dominio
5.11 Segnalare eventuali forme indeterminate
5.2 Continuità e punti di discontinuità (indicare dove la funzione è continua e
gli eventuali punti di discontinuità Attenzione se la funzione è definita per
casi)
6. Asintoti
6.1 Equazioni eventuali asintoti orizzontali e verticali
6.2 Controllo (se necessario) presenza asintoti obliqui

3. II^ Parte
Schema 1. Derivata
Derive 1.1 Indicare eventuali punti di discontinuità della derivata
(appartenenti al dominio). Punti non derivabili
2. Punti stazionari di f(x). f'(x)=0
3. Monotonia di f(x).
3.1 Studio di f'(x)>0
3.2 Intervalli di crescenza e decrescenza
4. Punti estremali: minimi e massimi locali
4.1 Minimi e massimi locali (appartenenti ai punti stazionari)
4.2 Se esistono punti non derivabili, minimi e massimi locali non derivabili
5. Punti non derivabili (se esistono) indicare la tipologia
6. Concavità e convessità
6.1 Derivata seconda f''(x)
6.2 Studio segno f''(x)>0
6.3 Intervalli nei quali la funzione è concava (convessa)
7. Punti di flesso
7.1 Flessi a tangente orizzontale (ovvero punti stazionari che sono flessi)
7.2 Flessi a tangente obliqua

4. I parte: definizione di funzione
Sul libro: pag. 117 e seg
definizione: Dati due insiemi A e B, una funzione di A in B è una relazione che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B
Come si indica: Si indica oppure semplicemente f(x).
Come si rappresenta: Si può rappresentare su un piano cartesiano tramite il grafico.
Come si riconosce Se è dato il grafico su un piano cartesiano, si considerano rette parallele all’asse y. Se anche una sola di queste rette incontra il grafico più
di una volta non è una funzione.
1.1) Funzione numerica
Definizione funzioni numeriche sono funzioni i cui domini e condomini sono insiemi numerici
Definizione diremo funzione reale di variabile reale una relazione fra un sottoinsieme (ovvero un sottoinsieme dei reali) e che associa ad ogni
elemento di D uno e un solo numero reale:
Ricorda che y è detta variabile dipendente e x è detta variabile indipendente. Inoltre se consideriamo, ad esempio la funzione ,
è detta espressione analitica della funzione, mentre è detta equazione della funzione
Dominio

5. I parte: dominio
Sul libro: 119
Definizione Dominio della funzione numerica f(x) è l’insieme dei numeri reali che si possono assegnare
alla variabile x in modo che i corrispondenti valori f(x) siano numeri reali.
Definizione un elemento y di B che è il corrispondente di almeno un elemento x di A si dice immagine di x nella funzione f.
Definizione L’insieme di tutte le immagini si dice immagine della funzione.
Definizione Grafico di una funzione f è l’insieme dei punti P(x,y) del piano cartesiano tali che
x è un numero reale del dominio e y è l’immagine di x, ossia y=f(x).
Definizione Date due funzioni e
si può considerare la funzione che porta direttamente A in C tale funzione si dice
funzione composta e si indica e associa ad ogni elemento x di A l’immagine mediante h dell’immagine di x mediante g.
Il concetto di funzione composta è fondamentale sia nel calcolo del dominio, che in quello dei limiti e
delle derivate.
Per determinare il dominio di una funzione, dovrò considerare, se la funzione è composta, i domini
delle funzioni che la compongono. In particolare è utile ricordarsi i domini delle funzioni elementari
Determinare
il dominio

6. I parte: determinare il dominio
Per determinare il dominio :
1) immagino di calcolare un valore della funzione con la calcolatrice per poter individuare la
sequenza di funzioni elementari che la compongono (ovvero i tasti-operazione);
2) ripercorro la sequenza di calcolo domandandomi quale è il dominio e l’immagine di ogni
funzione elementare;
3) ricavo (in genere) equazioni e/o disequazioni che mi limitano i possibili valori da dare a x
4) risolvo (se possibile) tali equazioni/disequazioni e ricavo i valori numerici (o gli intervalli).
Rappresentare un dominio: possiamo limitarci a scrivere a parole o in simboli i risultati ottenuti, ma
spesso è utile aggiungere un sistema di assi cartesiani. Poiché il dominio si legge sull’asse x ,
individuare gli intervalli che non appartengono al dominio. In corrispondenza di questi intervalli
sbarrare tutta la regione di piano sopra e sotto poiché non potendo dare quei valori alla x, non avrò
valori y per la variabile dipendente (ovvero la funzione non potrà passare per nessuno di quei punti del
piano)
Funzioni
elementar
i

7. I parte: dominio funzioni elementari
Sul libro:
Funzione costante f(x)=k Funzione lineare
Equivale a y=k. Dominio R.
Immagine Domino R
Iniettiva NO Immagine R
Suriettiva NO Iniettiva SI
Sureittiva SI
Funzione quadratica Funzione cubica
Dominio R. Dominio R
Iniettiva NO Immagine R
Suriettiva NO Iniettiva ?
Esempio Suriettiva SI
Esempio
Funzione proporzionalità Funzione omografica
inversa (iperbole equilatera) (iperbole)
Dominio Immagine
Dominio
Iniettiva SI
Suriettiva NO
Funzione radice indice pari Funzione radice indice pari
(o anche potenza del tipo (o anche potenza del tipo
con q pari) con q dispari)
Dominio
Domino Immagine
Immagine
Funzioni
elementari II

8. I parte: dominio funzioni elementari
Sul libro:
Funzione esponenziale Funzione logaritmica
Dominio R Immagine Domino Immagine R
funzioni goniometriche funzioni goniometriche
e
Dominio
Domino R
Immagine [-1,1]
Iniettiva NO Ovvero
Suriettiva NO
Iniettiva No
Suriettiva Si
Funzione valore Funzioni definite per casi
assoluto Sono date da espressioni
analitiche diverse a seconda del
valore attribuito alla variabile x
Esempio
Domino R
Immagine
Iniettiva No
Suriettiva No

9. I parte: simmetrie e periodicità segno
Definizione Una funzione si dice Cosa accade al grafico della funzione
pari se Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle y
; ;
dispari se Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine
;
periodica di periodo T se Il grafico si ripete di periodo in periodo.
; ;
Studiare il segno della funzione Sul libro:133
Definizione Data la funzione studiare il segno della funzione, significa determinare per quali valori del dominio la funzione ha immagini positive e per
quali ha immagini negative.
Per studiare il segno: porremo e risolveremo (se possibile) la disequazione. Ovvero ricaveremo gli intervalli di valori di x per i quali la funzione è
positiva.
Rappresentare il segno della funzione: Oltre a scrivere, a parole o in simboli, i valori di x per i quali la funzione è positiva, risulta opportuno ed utile
riportare tali informazioni sul sistema di assi cartesiani nel quale abbiamo già indicato il dominio. Per fare questo:
- individuiamo sull’asse delle ascisse (x) gli intervalli nei quali la funzione ;
- tratteggiamo delle rette parallele all’asse y e passanti per gli estremi degli intervalli individuati sopra;
- ottenute queste “strisce” di piano, cancelleremo la parte sotto l’asse delle x, ovvero tutti i punti che hanno ordinata negativa;
- nelle rimanenti strisce (corrispondenti alle x per le quali la funzione non è positiva, e dunque risulta negativa) cancelleremo la parte sopra l’asse delle y.

10. I parte:limiti
Sul libro: 75 e seg
Definiamo
Sia x0 un punto dell’intervallo [a.b] e f(x) una funzione definita su [a,b] eccetto al più x0, diremo che f(x) ha per limite L
per x che tende a x0 e scriveremo
tale che tale che
Definiamo
Sia x0 un punto dell’intervallo [a.b] e f(x) una funzione definita su [a,b] eccetto al più x0, diremo che f(x) ha per limite +
o - per x che tende a x0 e scriveremo o
M>0 (grande) tale che tale che
può essere
1) =L, numero finito
2) =
3) non esistere.
Inoltre si parla di limiti destri e sinistri
Limiti II

11. I parte:limiti II
Definizione Si dice che una funzione f(x) ha per limite per x che tende a e si scrive
quando per ogni numero reale M>0 si può determinare un numero a>0 tale che risulti per ogni
Definizione Si dice che una funzione f(x) ha per limite per x che tende a e si scrive
quando per ogni numero reale M>0 si può determinare un numero a>0 tale che risulti per ogni
Definizione Si dice che una funzione f(x) ha limite finito l per x che tende a e si scrive quando
per ogni intorno V di l si può determinare un numero a>0 tale che risulti per ogni
Forme indeterminate
[ ]
; [ ]
;

12. I parte:continuità
Sul libro: pag.95 e 137
Definizione Una funzione f(x) si dice continua nel punto c con c Dominio di f (o di
accumulazione per il dominio di f) se il limite per x che tende a c esiste finito e se è uguale a f(c).
Ovvero: 1)
2)
Risultati notevoli:
dalla teoria dei limiti, dalla definizione e dai teoremi sui limiti si ricava facilmente che:
1) le funzioni elementari sono continue
2) se f(x) e g(x) sono continue in c allora lo sono anche f(x)+g(x); f(x)-g(x);f(x)g(x); f(x)/g(x)
(eccetto g(c)=0)
Teorema continuità funzione composta
Date due funzioni y=f(z) e z=g(x); con f(z) continua in m e g(x) continua per x=c e tale che m=g(c)
allora la funzione composta f(g(x)) è continua in c.
discontinua

13. I parte: discontinuità e punti discontinuità I specie
Sul libro: pag 137, 143 e seg
1) se la funzione non è continua in c allora diremo che c è un punto di discontinuità per f
2) rileggiamo la definizione di continuità e ricaviamo che affinché la funzione sia discontinua
in c può accadere una delle seguenti situazioni:
a. non vale poiché
b. non vale poiché o non esiste o vale infinito almeno uno dei
limiti, ad esempio o
c. vale ma non vale
Definizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di I specie se esistono finiti i
limiti destro e sinistri ma sono diversi (e quindi non esiste il limite). Ovvero
Esempio:
Se c è un punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) si chiama salto della funzione il
valore ottenuto da
discontinua

14. I parte: punti discontinuità II e III specie
Definizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di II specie quando non esiste,
o vale infinito, uno almeno dei due limiti destro o sinistro di x=c
Esempio:
1) in ha un punto di discontinuità di II specie poiché i limiti, da destra e da
sinistra valgono rispettivamente
2) in x=0 ha un punto di discontinuità di II specie poiché il limite sinistro non esiste.
Definizione Si dice che per x=c e y=f(x) c è punto di discontinuità di III specie quando esiste
finito , ma ( o f(c) non esiste)
Esempio:
1) Sia per rappresentarla dobbiamo esaminare i tre “pezzi” separatamente e poi
comporli in un unico grafico. Vedremo che in x=0 i limite esiste e vale 0. Ma la funzione vale 2.
Dunque ho discontinuità III specie.
Osserviamo: in generale, la discontinuità di III specie può essere eliminata ovvero può essere
ridefinita la funzione in modo da “non staccare la penna” nell’intorno del punto di discontinuità. Per
tale ragione si parla di discontinuità eliminabile

15. I parte: asintoti
Sul libro: pag.82,84,129
Quando lim f ( x) = +∞ o lim f ( x) = −∞ , anche solo da destra e/o sinistra, diremo
x  x0
→ x  x0
→
brevemente che la retta x=x0 è un asintoto verticale (eventualmente specificando
destro o sinistro)
Quando lim f ( x) = l diremo brevemente che la retta y=l è un asintoto orizzontale
x ∞
→
(eventualmente possono esistere due asintoti orizzontali uno da + e uno da -
infinito)
Quando x  ∞ f ( x) = ∞ indipendentemente dai segni di infinito, la funzione può
lim
→
avere un asintoto obliquo.
Ovvero una retta di equazione y=mx+q a cui la funzione tende (ma non tocca)
quando x tende a + o – infinito (attenzione, la funzione può tagliare l’asintoto
purchè non verso quando x tende all’infinito)
Per verificare e calcolare l’asintoto obliquo:
f ( x)
m = lim
-Si calcola x ∞
→ x
- se m è un numero finito non nullo allora si calcola q = x  ∞( f ( x) − mx)
lim
→
-L’asintoto obliquo sarà la retta y=mx+q dove a m e q sostituiamo i valori

16. II parte: derivate
Sul libro: 151-153, 161-176,
Definiamo rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto
x0 e all’incremento h e lo si indica con
Equivale a considerare il coefficiente angolare della retta che passa per i punto e
Possiamo pensare di “avvicinare” il punto Q a P, ovvero “rimpicciolire” h. Avremo sempre una
retta e una inclinazione. Tutto questo in matematica si traduce con limite per h .
Definizione Dunque data la funzione y=f(x) definita in un intorno completo di x0 e costruito il
rapporto incrementale, se esiste finito il prende il nome di derivata della
funzione nel punto x0 e lo si indica con uno dei seguenti simboli: f’(x0) oppure
Definiamo funzione derivata della funzione f(x), la funzione che associa ad ogni elemento x0
del dominio la derivata della funzione f(x) in x0.
E la indicheremo f’(x),
Definiamo una funzione si dice derivabile in x0 se in tal punto essa ha derivata finita

17. II parte: concetti generali – calcolo derivate
Funzione Derivata
Alcune osservazioni sul calcolo di =
f(x)=k f’(x)=0
costante ; =0
f(x)=x f’(x)=1
; =1
;
Attenzione: questa derivata vale sia per che per (ovvero
sia per potenze che per radici). Ma la sua dimostrazione è diversa nei
due casi.
;
Si ricava dalla precedente ricordando che
x in radianti
x in radianti

18. II parte: concetti generali – calcolo derivate
Teoremi per il calcolo delle derivate
1) La derivata della somma
La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni.
2) La derivata del prodotto
La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata, sommato al
prodotto della derivata della seconda per la prima non derivata.
3) La derivata del quoziente
4) La derivata di una funzione composta
Dai precedenti teoremi si ricavano:
6)
7) Se abbiamo una costante che moltiplica la funzione, lasciamo invariata la costante e deriviamo solo
la funzione.
8) La derivata della differenza di due funzioni è uguale alla differenza delle derivate.
9) Ovvero la derivata del prodotto di più
funzioni è uguale alla somma dei prodotti delle derivate di ciascuna funzione per tutte le altre non derivate.
Dal teorema 4, sulla derivata della funzione composta, si ricavano le seguenti regole:
10)
11) ; ;
12) ;

19. II parte: punti non derivabili
In particolare ci interessano i punti in cui la funzione è continua ma
non derivabile. (libro pag. 157) Dalla definizione data sopra di
derivabilità in un punto, affinché non sia derivabile può accadere
che:
1) Non esiste finito il limite del rapporto incrementale. Ovvero vale +∝ o -∝
2) Esistono finiti i limiti destri e sinistri ma non sono uguali
3) I limiti sinistro e destro valgono infinito e non sono uguali
Inoltre possono essere punti non derivabili gli estremi (finiti) degli intervalli del dominio.
Caso 1) parleremo di punti a tangente verticale. Ad esempio y =3 x
in x=0 (è un esempio pericoloso)
Caso 2) parleremo di punti angolosi. Ad esempio y= x
in x=0
Caso 3) parleremo di cuspidi. Ad esempio y = 3 x2
in x=0

20. II parte: monotonia e criteri per stabilirla
Definizione
 Data una funzione ed un intervallo I (che possiamo indicare con [a,b]), diremo
che la funzione è crescente in I se per ogni coppia di valori dell’intervallo tali che
risulta
 Data una funzione ed un intervallo I (che possiamo indicare con [a,b]), diremo
che la funzione è decrescente in I se per ogni coppia di valori dell’intervallo tali che
risulta
Sul libro: 118
Criteri per crescenza e decrescenza:
Teorema – condizioni sufficienti - (pag 191)
Data una funzione continua in un intervallo I e derivabile al suo interno:
se in ogni punto interno di I la derivata prima di f(x) è positiva allora la f(x) è strettamente crescente;
se in ogni punto interno di I la derivata prima di f(x) è negativa allora f(x) è strettamente decrescente
Teorema – condizioni necessarie – (pag 192)
Data una funzione continua in un intervallo I:
se la funzione è crescente in I allora in I; se la funzione è decrescente in I allora in I
y = x 3 − 3x 2 y ' = 3x 2 − 6 x 3x 2 − 6 x > 0 ⇒ x < 0 x>2
f’(x)>0 + 0 - 2 +
f(x)

21. II parte: punti stazionari e punti estremali
Definizione
Data la funzione f(x) è un punto se è chiamato punto stazionario
B D
C
F
E
A
A,C,E sono punti di minimo ed B, D,F sono punti di massimo. Ma se osserviamo ad esempio il punto di massimo F ha
un ordinata minore del punto di minimo C. Ed ancora tra tutti i punti di minimo vi è un minimo Assoluto (cioè minore
degli altri che chiameremo relativi) analogo per il massimo.
Definizione Data la funzione y=f(x) definita in un intervallo I chiamiamo:
 punto di massimo assoluto se per ogni x dell’intervallo I (in simboli
); il valore M= è chiamato Massimo assoluto.
 punto di minimo assoluto se per ogni x dell’intervallo I (in simboli
); il valore m= è chiamato Minimo assoluto.
Definizione Data la funzione y=f(x) definita in un intervallo I chiamiamo:
 punto di massimo relativo se esiste un intorno di (ovvero un intervallo che
contiene ) tale che per ogni x dell’intorno (in simboli punto di
massimo relativo se tale che ); il valore M= è chiamato
Massimo relativo
 punto di minimio relativo se esiste un intorno di (ovvero un intervallo che
contiene ) tale che per ogni x dell’intorno (in simboli punto di
massimo relativo se tale che ); il valore m= è chiamato
Minimo relativo

22. II parte: punti estremali – stazionari - criteri
Possiamo osservare che né nelle definizioni di crescenza/decrescenza,
né in quelle di minimi e massimi si fa cenno alla derivata della
funzione. Dunque potranno esistere punti di minimo e massimo
anche se la funzione non è derivabile.
In questa prima parte riferiamoci solo ai punti minimi e massimi locali derivabili
Come trovarli:
Teorema -condizione necessaria- (pag 221)
Se è continua e derivabile in un intervallo I e se ( appartiene ad I) è un punto di massimo o
minimo relativo allora
Ovvero è stazionario
Attenzione: ; calcoliamo il valore della derivata in x=0 ovvero
. In questo caso la derivata prima è zero, ma non abbiamo né un massimo né un
minimo.
Dunque non vale il viceversa del teorema ; ovvero se non possiamo dire niente su
Teorema – condizione sufficiente-:
-Studiare il segno della derivata prima pag.223
-Cercare i punti stazionari e poi considerare le derivate successive pag.227

23. II parte: punti estremali – non derivabili
Abbiamo già accennato ai punti non derivabili. Occorrerà vedere (se
possibile) il valore e segno della derivata in un intorno destro e
sinistro del punto non derivabile.
Saranno probabili candidati ad essere punti di minimo o di massimo relativo i punti (se
esistono) di frontiera del dominio. Sebbene la definizione che abbiamo dato di massimi e
minimi relativi, richieda un intorno completo del punto.
Chiariamo con un esempio:
f(x) =√x. In x=0 è definita, ma non derivabile.
In un intorno destro di x=0 la derivata esiste ed è positiva, pertanto la funzione cresce;
dunque possiamo dire che x=0 è un punto di minimo sulla frontiera del dominio.
Attenzione: con un attento studio del segno della derivata prima f’(x)>0, molti di questi
problemi vengono risolti. Consiglio di riportare sempre (specie se fatto con carta e penna)
oltre agli intervalli in cui la f’(x) è positiva, anche il dominio di f(x).

24. II parte: concavità e convessità
(pag. 236) Prima di procedere osserviamo i due grafici di esempio
Tracciando la retta tangente nel punto possiamo osservare che
 Se la funzione è concava verso l’alto nel punto allora in un intorno del punto la
funzione sta sopra la retta tangente
 Se la funzione è concava verso il basso nel punto allora in un intorno del punto
la funzione sta sotto la retta tangente.
Definizione Data una funzione f(x) definita e derivabile in un intervallo I , un punto appartenente
all’intervallo e indicato con y=t(x) la retta tangente alla funzione nel punto :
 Diremo che la funzione è concava verso l’alto in se esiste un intorno di tale che
per ogni x dell’intorno escluso (in simboli )
 Diremo che la funzione è concava verso il basso in se esiste un intorno di tale che
per ogni x dell’intorno escluso (in simboli )

25. II parte: concavità e convessità 2
Prima di procedere osserviamo i due grafici di esempio
alle volte si parla anche di concavità in un intervallo, ovvero anziché guardare un solo punto ci
interessa sapere cosa accade in un intero intervallo I. In tal caso le definizioni si modificano: se
osserviamo le due funzioni riportate sopra queste sono concave rispettivamente verso l’alto e verso
il basso in tutto l’intervallo preso in esame.
Pensiamo allora di prendere, ad esempio nel primo caso, una qualunque coppia di punti sulla
funzione e tracciamo la retta che congiunge i due punti:
- se la funzione è concava verso l’alto la retta si troverà sempre sopra la funzione;
- se la funzione è concava verso il basso la retta si troverà sempre sotto la funzione.
E’ possibile fornire una definizione rigorosa di questo fatto, ma qui la omettiamo.

26. II parte: concavità e convessità – criteri
Criterio per stabilire la concavità del grafico di una funzione
Teorema (pag 237)
Sia y=f(x) una funzione definita e continua in un intervallo I e che ammetta derivate prima e
seconda . Sia un punto di I:
 se allora la funzione è concava verso l’alto
 se allora la funzione è concava verso il basso.

27. II parte: flessi - criterio
Pag 236
Si dice che f(x) ha un punto di flesso in x0 se
-Esiste la retta tangente alla curva in x0
-Esiste un intorno di x0 tale che la curva si trovi da parti opposte
rispetto alla tangente.
In classe abbiamo dato una definizione forse più complicata ma più efficace:
Data la funzione f(x), definita e derivabile in x0; indicata con t(x) la tangente in x0 alla
funzione, x0 è un punto di flesso se esiste un intorno I di x0, tale che per ogni punto x
appartenente a I: f(x)*t(x) mantiene lo stesso segno.
Metodo per cercare i flessi (pag. 238)
1. si calcola f’’(x)
2. Si individuano i punti in cui f’’(x)=0 e i punti (se esistono) in cui non è definita f’’(x)
3. Si studia il segno di f’’(x) ovvero concavità e convessità
4. Tra i punti trovati al passo 2, cerchiamo quelli in cui la funzione ha cambiato
concavità
5. Verifichiamo che in tali punti esista la retta tangente (ovvero la derivata prima
esista finita, oppure esista ma sia infinito)

28. II parte: flessi - classificazione
Il metodo indicato sopra si può ridurre al solo studio del segno della
derivata seconda (fatto con attenzione, in particolare nei punti in cui
risulta il flesso)
Possiamo classificare i flessi: sia x0 un punto di flesso
1)Se f’(x0)=0 (ovvero stazionario) allora diremo flesso a tangente orizzontale
2)Se f’(x0) esiste ma ≠0 allora diremo flesso a tangente obliqua
3)Se f’(x0) non esiste finita, ma vale infinito diremo flesso a tangente verticale.
(pag. 223)