SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 6
Downloaden Sie, um offline zu lesen
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Đối với các phương trình, bất phương trình ngoài các dạng quen thuộc, đôi khi
còn gặp dạng phức tạp mà để giải nó đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Dựa
trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình, bất
phương trình.
Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên
D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y)
khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f(x) đồng biến nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương
đưa phương trình về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta
chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có
duy nhất nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số
y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên
D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) = g(a).Ta giả sử f(x)
đồng biến còn g(x) nghịch biến.
*Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô
nghiệm khi x > a.
*Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô
nghiệm khi x < a.
Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong
đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và
chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên
D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y )
Áp dụng các kết quả trên ta có thể giải các phương trình, bất phương trình
Sau đây là một số ví dụ:
1
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:
1. x  3  x  7 x  2  4 .
2. 5 x 3  1  3 2 x  1  4  x

3. 3 x  2  3 x  1  3 2 x 2  1  3 2 x 2 .
 x2  x  3 
2
4. log3  2
  x  3x  2 .
 2x  4x  5 

Lời giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ
sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút ta sẽ thấy ngay VT là một hàm
đồng biến và x =1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1
là nghiệm duy nhất.
Vậy ta có cách giải như sau.


TXĐ: D   x  R | x 




7  57 

2


Xét hàm số f ( x)  x  3  x  7 x  2 , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
7
1
2 7 x  2  0, x  D nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
f '( x) 

2 x  3 2 x  7x  2
1

Mặt khác, ta thấy f(1) = 4
*Nếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên phương trình vô nghiệm
*Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên phương trình vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chú ý:* Vì các hàm số y = ax + b với a > 0 là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm
đồng biến thì hàm n f ( x) ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến
nên ta dẽ dàng nhận ra VT của phương trình là hàm đồng biến.
* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức
dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ
gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của phương trình là
một hàm đồng biến và phương trình có nghiệm x=1. Do đó phương trình này có
nghiệm duy nhất x=1 (Cách giải tương tự như bài 1).
3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy
nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối
liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt u  3 x  1, v  3 2 x 2 thì
phương trình đã cho trở thành: u  3 u 3  1  v  3 v 3  1  f (u )  f (v)
trong đó f (t )  t  1  t là một hàm liên tục và có f '(t ) 
3

t2

3

(t 3  1) 2
1
đồng biến. Do đó f (u )  f (v)  u  v  2 x 2  x  1  x  1, x  
2
3

 1  0 nên f(t) luôn

2
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
1
2

Vậy, phương trình có nghiệm x = 1, x =  .
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy
( 2x2+4x +5) – (x2 + x +3 ) = x2 +3x +2
Do vậy, nếu đặt u = x2 + x +3 , v = 2x2 + 4x + 5 (u,v > 0) thì v- u = x2 + 3x + 2,
khi đó phương trình trở thành:
u
log3    v  u  log 3 u  u  log3 v  v  f (u )  f (v)
v
trong đó f (t )  log3 t  t ,với t > 0.

Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy
f (u )  f (v)  u  v  x 2  3 x  2  0  x  1, x  2 .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
(1)
1.3x + 4x = 5x
x
x
x
(2)
2. ( 3  2)  ( 3  2)  ( 5)
x
x
3. 9 + 2(x-2)3 + 2x – 5 = 0.
(3)
Lời giải:
1) Với phương trình trên rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ
để giải. Tuy nhiên với phương trình (1) ta dễ dàng đoán được một nghiệm của phương
trình là x =2. Ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất cúa phương trình.
x

x

4
3
Thật vậy, phương trình (1)        1
   
 5 5

Vì hàm số mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến nên
x

x

 4 3
f ( x)       là hàm số nghịch biến, còn vế phải là hàm hằng.
5 5

Do đó nghiệm x = 2 là nghiệm duy nhất.
2) Tuy nhiên, với pt (2) thì không dễ để ta đoán được nghiệm của pt (2) vì nó vô
nghiệm.
Ở đây ta để ý rằng 3  2  5 và 0  3  2  1




 3
Do vậy, khi x > 0 ta có 

 3

 3
Khi x < 0 ta có 

 3





   5  do đó pt không có nghiệm khi x>0
2  0
2   5
do đó pt không có nghiệm khi x < 0
2  0
2

x

x

x

x

x

x

Với x = 0, rõ ràng không thỏa mãn.
Vậy pt (2) vô nghiệm.
Từ hai phương trình trên ta có thể tổng quát:
Cho phương trình ax + bx = cx (*), với a,b,c đều dương
Khi đó: Nếu a < b < c hoặc a > b > c thì pt (*) có nghiệm duy nhất
Nếu a < c < b thì pt (*) vô nghiệm
3
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
3) Đặt 3x = t > 0, phương trình trở thành: t2 + 2(x - 2)t + 2x – 5 = 0
t  5  2 x

t  1, lo¹i

Với t = 5 – 2x ta có 3x = 5 – 2x
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.
Vế trái là hàm số đồng biến còn vế phải là hàm nghịch biến.
Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: x5 – x2 -2x -1 = 0 luôn có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành
theo cách sau:
* Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này
ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0
* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số f(x) = x5 – x2 -2x -1
Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2) < 0, dẫn đến pt f(x) = 0 luôn có nghiệm
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó x05  x0 2  2 x0  1  ( x0  1)2
5
2
Từ đây ta suy ra được x0  0  x0  ( x0  1)  1 .
Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x  1
Ta có f’(x) = 5x4 - 2x - 2 = 2x(x3-1)+ 2(x2 – 1) + x4 > 0 nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:
* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là
hàm đồng biến,do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ
vào bản thân của phương trình.
* Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có
cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta
suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng
toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó
hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những
dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến.

Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
1) 3 3  2 x 
2)

5
 2x  6
2x 1

x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1

3) 2 x3  3x 2  6 x  16  2 3  4  x
4) log 7 x  log 3 (2  x )
4
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
Lời giải:
1
3
1) ĐK:.  x 
2
2
5
 2x
2x 1
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1) = 6.
Do đó f ( x)  6  f (1)  x  1 .

Xét hàm số f ( x )  3 3  2 x 

3
2

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bpt là: T = [1; ].
2) ĐK : 1  x  3
Bất phương trình tương đương:

x 2  2 x  3  x  1  x 2  6 x  11  3  x

 ( x  1) 2  2  x  1  (3  x) 2  2  3  x

Xét hàm số f ( x)  x  2  x
Dễ dàng chứng tỏ được hàm số đồng biến trên [1;3].
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với f(x - 1) > f(3 - x)  x – 1 > 3 – x
 x>2
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2  x  3 .
3) ĐK: 2  x  4 .
Xét hàm số f ( x)  2 x3  3x 2  6 x  16  4  x
Ta có f '( x ) 

3( x 2  x  1)
2 x 3  3 x 2  6 x  16



1
 0 , do đó f(x) là hàm đồng biến.
2 4 x

Mặt khác: f(1) =2 3
Do vậy bpt f(x) < 2 3 = f(1)  x < 1.
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là 2  x  1 .
4) ĐK: x > 0
Đặt log 7 x  t  x  7t
Bất phương trình đã cho trở thành t  log3 (2  7t )
 3t  2  7t
t

t
1  7 
 1  2   
  f (t )
 3  3 



Do f(t) là hàm nghịch biến trên R , f(2) = 1.
Nên bất phương trình f(t) < f(2)  t >2 hay log7 x  2  x > 49.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) x  x  5  x  7  x  16  14
2) 2 3x  1 

3
 3  2x
2 x

3) 4 x  1  4 x 2  1  1
5
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
4) 3  x  x 2  2  x  x 2  1
5) x  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  1
6) 8x + 18x = 2.27x
7) 2 x  x  2 x 1  ( x  1) 2
8) 25x  2(3  x)5x  2 x  7  0
9)lg (x2 – x – 6) +x = lg (x +2) + 4
10) log 2 (1  3 x )  log7 x
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
1) x  9  2 x  4  5
2) x  x  7  2 x 2  7 x  35  2 x
2

3) 3 x  4  2 2 x  4  13
32 x  3  2 x
4)
0
4x  2
5) log 2 x  1  log3 x  9  1

6
Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch

Weitere ähnliche Inhalte

Andere mochten auch

Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫnBài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫndiemthic3
 
[Vnmath.com] 13-ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham
[Vnmath.com] 13-ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham[Vnmath.com] 13-ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham
[Vnmath.com] 13-ki-thuat-giai-phuong-trinh-hamDuy Duy
 
phương trình lượng giác
phương trình lượng giácphương trình lượng giác
phương trình lượng giácphanhak7dl
 
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10tuituhoc
 
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013Phan Sanh
 
Ungdung tamthucbac2-giaitoan
Ungdung tamthucbac2-giaitoanUngdung tamthucbac2-giaitoan
Ungdung tamthucbac2-giaitoanchanpn
 
Tuyen tap hinh khong gian trong cac de thi thu
Tuyen tap hinh khong gian trong cac de thi thuTuyen tap hinh khong gian trong cac de thi thu
Tuyen tap hinh khong gian trong cac de thi thundphuc910
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa
 
B1 tinh don dieu cua ham so
B1 tinh don dieu cua ham soB1 tinh don dieu cua ham so
B1 tinh don dieu cua ham sokhoilien24
 
Bộ sách về phương trình hàm
Bộ sách về phương trình hàmBộ sách về phương trình hàm
Bộ sách về phương trình hàmThế Giới Tinh Hoa
 
Hamsolientuc
HamsolientucHamsolientuc
HamsolientucQuoc Thai
 
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh TuấnTuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh TuấnDương Ngọc Taeny
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyroggerbob
 

Andere mochten auch (18)

Phương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thức
 
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫnBài tập đạo hàm có hướng dẫn
Bài tập đạo hàm có hướng dẫn
 
[Vnmath.com] 13-ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham
[Vnmath.com] 13-ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham[Vnmath.com] 13-ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham
[Vnmath.com] 13-ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham
 
phương trình lượng giác
phương trình lượng giácphương trình lượng giác
phương trình lượng giác
 
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
Chuyên đề khảo sát hàm số dành cho lớp 10
 
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
 
Pt mũ có lời giải chi tiết
Pt mũ có lời giải chi tiếtPt mũ có lời giải chi tiết
Pt mũ có lời giải chi tiết
 
Ungdung tamthucbac2-giaitoan
Ungdung tamthucbac2-giaitoanUngdung tamthucbac2-giaitoan
Ungdung tamthucbac2-giaitoan
 
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toanTai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
 
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
 
Tuyen tap hinh khong gian trong cac de thi thu
Tuyen tap hinh khong gian trong cac de thi thuTuyen tap hinh khong gian trong cac de thi thu
Tuyen tap hinh khong gian trong cac de thi thu
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
 
B1 tinh don dieu cua ham so
B1 tinh don dieu cua ham soB1 tinh don dieu cua ham so
B1 tinh don dieu cua ham so
 
Bộ sách về phương trình hàm
Bộ sách về phương trình hàmBộ sách về phương trình hàm
Bộ sách về phương trình hàm
 
Hamsolientuc
HamsolientucHamsolientuc
Hamsolientuc
 
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh TuấnTuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
 
Ngữ pháp n3 tuần 9
Ngữ pháp n3 tuần 9Ngữ pháp n3 tuần 9
Ngữ pháp n3 tuần 9
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
 

Mehr von tuituhoc

Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Trung
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng TrungĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Trung
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Trungtuituhoc
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Pháp
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng PhápĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Pháp
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Pháptuituhoc
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Nhật
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng NhậtĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Nhật
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Nhậttuituhoc
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Nga
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng NgaĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Nga
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Ngatuituhoc
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Đức
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng ĐứcĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Đức
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Đứctuituhoc
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Anhtuituhoc
 
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối D
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối D
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối Dtuituhoc
 
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1tuituhoc
 
Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1tuituhoc
 
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối D
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối D
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối Dtuituhoc
 
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1tuituhoc
 
Đề thi đại học 2011 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2011 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2011 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2011 môn Tiếng Anhtuituhoc
 
Đề thi đại học 2010 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2010 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2010 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2010 môn Tiếng Anhtuituhoc
 
Đề thi đại học 2009 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2009 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2009 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2009 môn Tiếng Anhtuituhoc
 
Đề thi đại học 2008 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2008 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2008 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2008 môn Tiếng Anhtuituhoc
 
Đề thi đại học 2006 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2006 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2006 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2006 môn Tiếng Anhtuituhoc
 
Đề thi đại học 2015 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2015 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2015 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2015 môn Sinh Họctuituhoc
 
Đề thi đại học 2014 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2014 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2014 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2014 môn Sinh Họctuituhoc
 
Đề thi đại học 2013 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2013 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2013 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2013 môn Sinh Họctuituhoc
 
Đề thi đại học 2012 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2012 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2012 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2012 môn Sinh Họctuituhoc
 

Mehr von tuituhoc (20)

Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Trung
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng TrungĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Trung
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Trung
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Pháp
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng PhápĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Pháp
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Pháp
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Nhật
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng NhậtĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Nhật
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Nhật
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Nga
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng NgaĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Nga
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Nga
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Đức
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng ĐứcĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Đức
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Đức
 
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2015 môn Tiếng Anh
 
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối D
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối D
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối D
 
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1
 
Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1
 
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối D
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối D
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối D
 
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1
Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1
 
Đề thi đại học 2011 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2011 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2011 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2011 môn Tiếng Anh
 
Đề thi đại học 2010 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2010 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2010 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2010 môn Tiếng Anh
 
Đề thi đại học 2009 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2009 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2009 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2009 môn Tiếng Anh
 
Đề thi đại học 2008 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2008 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2008 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2008 môn Tiếng Anh
 
Đề thi đại học 2006 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2006 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2006 môn Tiếng Anh
Đề thi đại học 2006 môn Tiếng Anh
 
Đề thi đại học 2015 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2015 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2015 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2015 môn Sinh Học
 
Đề thi đại học 2014 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2014 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2014 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2014 môn Sinh Học
 
Đề thi đại học 2013 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2013 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2013 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2013 môn Sinh Học
 
Đề thi đại học 2012 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2012 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2012 môn Sinh Học
Đề thi đại học 2012 môn Sinh Học
 

Kürzlich hochgeladen

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxngothevinhs6lite
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...Nguyen Thanh Tu Collection
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...Nguyen Thanh Tu Collection
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxNguynHn870045
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptLinhPham480
 

Kürzlich hochgeladen (17)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
 

Sử dụng hàm số giải phương trình

  • 1. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Đối với các phương trình, bất phương trình ngoài các dạng quen thuộc, đôi khi còn gặp dạng phức tạp mà để giải nó đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Dựa trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình, bất phương trình. Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D. Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f(x) đồng biến nên * x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm * x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm. Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giải pt: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) Nếu là pt: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Nếu là pt: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm. * Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm. Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) = g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến. *Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x > a. *Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x < a. Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm. Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y ) Áp dụng các kết quả trên ta có thể giải các phương trình, bất phương trình Sau đây là một số ví dụ: 1 Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
  • 2. Ví dụ 1:Giải các phương trình sau: 1. x  3  x  7 x  2  4 . 2. 5 x 3  1  3 2 x  1  4  x 3. 3 x  2  3 x  1  3 2 x 2  1  3 2 x 2 .  x2  x  3  2 4. log3  2   x  3x  2 .  2x  4x  5  Lời giải: 1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút ta sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x =1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.  TXĐ: D   x  R | x     7  57   2  Xét hàm số f ( x)  x  3  x  7 x  2 , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và 7 1 2 7 x  2  0, x  D nên hàm số f(x) luôn đồng biến. f '( x)   2 x  3 2 x  7x  2 1 Mặt khác, ta thấy f(1) = 4 *Nếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên phương trình vô nghiệm *Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên phương trình vô nghiệm Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Chú ý:* Vì các hàm số y = ax + b với a > 0 là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm n f ( x) ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của phương trình là hàm đồng biến. * Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương. 2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của phương trình là một hàm đồng biến và phương trình có nghiệm x=1. Do đó phương trình này có nghiệm duy nhất x=1 (Cách giải tương tự như bài 1). 3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt u  3 x  1, v  3 2 x 2 thì phương trình đã cho trở thành: u  3 u 3  1  v  3 v 3  1  f (u )  f (v) trong đó f (t )  t  1  t là một hàm liên tục và có f '(t )  3 t2 3 (t 3  1) 2 1 đồng biến. Do đó f (u )  f (v)  u  v  2 x 2  x  1  x  1, x   2 3  1  0 nên f(t) luôn 2 Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
  • 3. 1 2 Vậy, phương trình có nghiệm x = 1, x =  . 4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy ( 2x2+4x +5) – (x2 + x +3 ) = x2 +3x +2 Do vậy, nếu đặt u = x2 + x +3 , v = 2x2 + 4x + 5 (u,v > 0) thì v- u = x2 + 3x + 2, khi đó phương trình trở thành: u log3    v  u  log 3 u  u  log3 v  v  f (u )  f (v) v trong đó f (t )  log3 t  t ,với t > 0. Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy f (u )  f (v)  u  v  x 2  3 x  2  0  x  1, x  2 . Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: (1) 1.3x + 4x = 5x x x x (2) 2. ( 3  2)  ( 3  2)  ( 5) x x 3. 9 + 2(x-2)3 + 2x – 5 = 0. (3) Lời giải: 1) Với phương trình trên rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ để giải. Tuy nhiên với phương trình (1) ta dễ dàng đoán được một nghiệm của phương trình là x =2. Ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất cúa phương trình. x x 4 3 Thật vậy, phương trình (1)        1      5 5 Vì hàm số mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến nên x x  4 3 f ( x)       là hàm số nghịch biến, còn vế phải là hàm hằng. 5 5 Do đó nghiệm x = 2 là nghiệm duy nhất. 2) Tuy nhiên, với pt (2) thì không dễ để ta đoán được nghiệm của pt (2) vì nó vô nghiệm. Ở đây ta để ý rằng 3  2  5 và 0  3  2  1    3 Do vậy, khi x > 0 ta có    3   3 Khi x < 0 ta có    3       5  do đó pt không có nghiệm khi x>0 2  0 2   5 do đó pt không có nghiệm khi x < 0 2  0 2 x x x x x x Với x = 0, rõ ràng không thỏa mãn. Vậy pt (2) vô nghiệm. Từ hai phương trình trên ta có thể tổng quát: Cho phương trình ax + bx = cx (*), với a,b,c đều dương Khi đó: Nếu a < b < c hoặc a > b > c thì pt (*) có nghiệm duy nhất Nếu a < c < b thì pt (*) vô nghiệm 3 Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
  • 4. 3) Đặt 3x = t > 0, phương trình trở thành: t2 + 2(x - 2)t + 2x – 5 = 0 t  5  2 x  t  1, lo¹i Với t = 5 – 2x ta có 3x = 5 – 2x Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình. Vế trái là hàm số đồng biến còn vế phải là hàm nghịch biến. Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: x5 – x2 -2x -1 = 0 luôn có nghiệm duy nhất. Lời giải: Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau: * Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0 * Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. Trở lại bài toán: Xét hàm số f(x) = x5 – x2 -2x -1 Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2) < 0, dẫn đến pt f(x) = 0 luôn có nghiệm Giả sử x0 là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó x05  x0 2  2 x0  1  ( x0  1)2 5 2 Từ đây ta suy ra được x0  0  x0  ( x0  1)  1 . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x  1 Ta có f’(x) = 5x4 - 2x - 2 = 2x(x3-1)+ 2(x2 – 1) + x4 > 0 nên f(x) là hàm đồng biến. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất. Chú ý: * Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến,do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình. * Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm. Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến. Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình. Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau: 1) 3 3  2 x  2) 5  2x  6 2x 1 x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1 3) 2 x3  3x 2  6 x  16  2 3  4  x 4) log 7 x  log 3 (2  x ) 4 Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
  • 5. Lời giải: 1 3 1) ĐK:.  x  2 2 5  2x 2x 1 Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1) = 6. Do đó f ( x)  6  f (1)  x  1 . Xét hàm số f ( x )  3 3  2 x  3 2 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bpt là: T = [1; ]. 2) ĐK : 1  x  3 Bất phương trình tương đương: x 2  2 x  3  x  1  x 2  6 x  11  3  x  ( x  1) 2  2  x  1  (3  x) 2  2  3  x Xét hàm số f ( x)  x  2  x Dễ dàng chứng tỏ được hàm số đồng biến trên [1;3]. Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với f(x - 1) > f(3 - x)  x – 1 > 3 – x  x>2 Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2  x  3 . 3) ĐK: 2  x  4 . Xét hàm số f ( x)  2 x3  3x 2  6 x  16  4  x Ta có f '( x )  3( x 2  x  1) 2 x 3  3 x 2  6 x  16  1  0 , do đó f(x) là hàm đồng biến. 2 4 x Mặt khác: f(1) =2 3 Do vậy bpt f(x) < 2 3 = f(1)  x < 1. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là 2  x  1 . 4) ĐK: x > 0 Đặt log 7 x  t  x  7t Bất phương trình đã cho trở thành t  log3 (2  7t )  3t  2  7t t t 1  7   1  2      f (t )  3  3    Do f(t) là hàm nghịch biến trên R , f(2) = 1. Nên bất phương trình f(t) < f(2)  t >2 hay log7 x  2  x > 49. Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) x  x  5  x  7  x  16  14 2) 2 3x  1  3  3  2x 2 x 3) 4 x  1  4 x 2  1  1 5 Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch
  • 6. 4) 3  x  x 2  2  x  x 2  1 5) x  x 2  x  1  x  1  x 2  x  1  1 6) 8x + 18x = 2.27x 7) 2 x  x  2 x 1  ( x  1) 2 8) 25x  2(3  x)5x  2 x  7  0 9)lg (x2 – x – 6) +x = lg (x +2) + 4 10) log 2 (1  3 x )  log7 x Bài 2: Giải các bất phương trình sau 1) x  9  2 x  4  5 2) x  x  7  2 x 2  7 x  35  2 x 2 3) 3 x  4  2 2 x  4  13 32 x  3  2 x 4) 0 4x  2 5) log 2 x  1  log3 x  9  1 6 Hoàng Tiến Ngọc - Trường THPT Số 1 Bố Trạch