1.
www.VNMATH.com
H N G Ả T C T O G M ẶT P HẲ G O Y
HÌ H GI I TÍ H TR ON MẶ PH N OX
ÌN
IẢ ÍC
R N
ẲN
X
PHƯƠNG TRÌNH
I. VÉCTƠ
C TRƯNG C A
Ư
Ư NG TH NG TRONG M T PH NG
NG TH NG:
1. Véctơ v = ( a1 ; a 2 ) là véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a v
2. Véctơ n = ( a; b ) là véc tơ pháp tuy n (VTPT) c a (∆) ⇔ (∆) ⊥ giá c a n
3. Nh n xét:
(∆) có vô s véctơ ch phương và vô s véctơ pháp tuy n
II. PHƯƠNG TRÌNH
Ư
ng th i v ⊥ n .
NG TH NG
1. Phương trình tham s : PT t (∆) i qua M0(x 0, y0) và có VTCP v = ( a1 ; a 2 ) :
 x = x 0 + a1t

(t ∈ » )

 y = y 0 + a 2t

2. Phương trình chính t c: PT t (∆) i qua M0(x 0, y0) và có VTCP v = ( a1 ; a 2 ) :
x − x0 y − y0
=
a1
a2
3. Phương trình h s góc: PT t (∆) v i h s góc a là: y = ax + b.
4. Phương trình t ng quát: PT t (∆) t ng quát: Ax + By + C = 0 v i A 2 + B 2 > 0
Nh n xét: (∆): Ax + By + C = 0 v i A 2 + B 2 > 0 có
VTCP v = ( B; − A ) và VTPT n = ( A; B )
5. Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i h s góc k là: y = k ( x − x 0 ) + y 0
6. Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i VTPT n = ( A; B ) là:
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0
7. Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i VTCP v = ( A; B ) là:
B ( x − x0 ) − A ( y − y 0 ) = 0
8. Phương trình t (∆) i qua 2 i m M1(x1, y1), M2(x2, y2):
x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1
y
9. Phương trình o n ch n i qua A(0; a), B(0; b) là: x + = 1
a b
10. Phương trình chùm ư ng th ng: Cho 2 ư ng th ng c t nhau
( ∆ 1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; ( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0
v i I = ( ∆1 ) ∩ ( ∆ 2 ) .
ư ng th ng (∆) i qua I là: p ( a1 x + b1 y + c1 ) + q ( a 2 x + b2 y + c2 ) = 0 v i p 2 + q 2 > 0
11

2.
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
III. V
TRÍ TƯƠNG
I C A 2
Ư
NG TH NG
 x = x1 + a1t

(t ∈ ») ,
(∆1) i qua M1(x 1; y1): 
 y = y1 + b1t

1. D ng tham s :
x = x2 + a2t

(t ∈ »)
(∆2) i qua M2(x 2; y2): 
y = y 2 + b2 t


N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) ⇔ a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) ∩ ( ∆ 2 ) = i m I.
a1b2 − a 2 b1 = 0

N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) // M 1 M 2 ⇔ 
a1 ( y 2 − y1 ) − b1 ( x 2 − x1 ) ≠ 0

thì (∆1) // (∆2).
a1b2 − a 2 b1 = 0

N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) // M 1 M 2 ⇔ 
a1 ( y 2 − y1 ) − b1 ( x 2 − x1 ) = 0

thì (∆1) ≡ (∆2).
( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; n1 = ( a1 ; b1 )

2. D ng t ng quát: 
;
( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0; n 2 = ( a 2 ; b2 )

a b1
b c1
c a1
; Dx = 1
; Dy = 1
D= 1
a 2 b2
b2 c 2
c2 a2
 D Dy 
N u D ≠ 0 ⇔ a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) ∩ ( ∆ 2 ) = i m I  x ;

 D D 
2
2
N u D = 0 và Dx + D y > 0 ⇔
N u D = Dx = D y = 0 ⇔
IV. GÓC GI A 2
Ư
a1 a 2 c1
=
≠
thì (∆1) // (∆2).
b1 b2 c 2
a1 a 2 c1
=
=
thì (∆ 1) ≡ (∆2).
b1 b2 c 2
NG TH NG:
1. D ng h s góc:
( ∆ 1 ) : y = a1 x + b1
a − a2

. Góc ( ∆ 1 , ∆ 2 ) = α ∈ [ 0; 90°] : tg α = 1
Cho 
1 + a1 a 2
( ∆ 2 ) : y = a 2 x + b1

2. D ng t ng quát:
( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; n1 = ( a1 ; b1 )
a1 a 2 + b2 b2

Cho 
; cos α =
2
2
2
a1 + b12 a 2 + b2
( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0; n 2 = ( a 2 ; b2 )

12

3.
www.VNMATH.com
Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t ph ng
V. KHO NG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH
1. Kho ng cách t M0(x0, y0)
Ư
NG PH N GIÁC
n (∆): ax + by + c = 0 là: d ( M , ( ∆) ) =
( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0

2. Cho 
c t nhau thì phương trình 2
( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0

a1 x + b1 y + c1
a x + b2 y + c 2
=± 2
2
2
2
2
a1 + b1
a 2 + b2
D u hi u
a1a2 + b1b2 > 0
a1a2 + b1b2 < 0
Phân giác góc nh n
a1 x + b1 y + c1
a12
=
a1 x + b1 y + c1
a12 + b12
2
a2
=−
a 2 + b2
ư ng phân giác
Phân giác góc tù
a 2 x + b2 y + c2
+ b12
ax0 + by0 + c
2
+ b2
a2 x + b2 y + c 2
2
2
a 2 + b2
a1 x + b1 y + c1
a12
=−
+ b12
a1 x + b1 y + c1
a12 + b12
a 2 x + b2 y + c 2
2
2
a2 + b2
=
a 2 x + b2 y + c 2
2
2
a 2 + b2
VI. CÁC BÀI T P M U MINH H A
Bài 1. Trên m t ph ng Oxy cho i m A(2;−2). Vi t phương trình ư ng th ng
∆ i qua i m M ( 3;1) và c t tr c Ox, Oy t i B và C sao cho tam giác ABC cân
Gi i
y
G i B ( b; 0 ) = ∆ ∩ Ox và C ( 0; c ) = ∆ ∩ Oy suy ra (∆): x + = 1 ( bc ≠ 0 )
b c
M (3;1) ∈ ( ∆) ⇒ 3 + 1 = 1 , (1). Tam giác ABC cân t i A ⇔ AB 2 = AC 2
b c
b − 2 = c + 2
b = c + 4
2
2
⇔ (b − 2) + 4 = 4 + ( c + 2) ⇔ 
⇔
b − 2 = −c − 2
b = −c
c = 2, b = 6
y
y
V i b = c + 4 : (1) ⇔ c 2 = 4 ⇔ 
⇒ (∆ 1 ) : x + = 1; (∆ 2 ) : x +
=1
6 2
2 −2
c = −2, b = 2
V i b = −c : (1) ⇔ b = 2 ⇒ c = −2 (lo i, do trùng v i ( ∆ 2 ) )
Bài 2. Cho tam giác ABC có
nh A(–1; –3)
a. Gi s hai ư ng cao (BH): 5 x + 3 y − 25 = 0 , (CK): 3x + 8 y − 12 = 0 .
Hãy vi t phương trình c nh BC.
b. Gi s
ư ng trung tr c c a AB là (∆): 3x + 2 y − 4 = 0 và G(4; – 2) là
tr ng tâm c a tam giác ABC. Xác
nh t a
các
nh B và C .
13

4.
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
Gi i
a. (AB) ⊥ (CK) nên (AB) có phương trình là 8 x − 3 y + c = 0
i m A ∈ ( AB ) ⇔ c = −1 ⇒ ( AB ) : 8 x − 3 y − 1 = 0 .
( AC ) ⊥ ( BH ) nên ( AC ) có phương trình 3x − 5 y + m = 0
i m A ∈ ( AC ) ⇒ m = −12 ⇒ ( AC ) : 3 x − 5 y − 12 = 0
B ≡ ( BH ) ∩ ( AB ) ⇒ T a
8 x − 3 y − 1 = 0
c a B th a mãn h : 
⇒ B ( 2;5 )
5 x + 3 y − 25 = 0
C ≡ (CK ) ∩ ( AC ) ⇒ T a
3 x − 5 y − 12 = 0
c a C th a mãn h : 
⇒ C ( 4; 0 )
3 x + 8 y − 12 = 0
y−5
Phương trình c nh BC là (BC): x − 2 =
⇔ 5 x + 2 y − 20 = 0
4−2 0−5
b. (AB) ⊥ ( ∆ ) : 3x + 2 y − 4 = 0 và ch a A(−1;−3) ⇒ ( AB ) : 2( x + 1) − 3( y + 3) = 0
hay ( AB) : 2x − 3 y − 7 = 0 . G i M là trung i m AB suy ra t a
c a M th a h :
x B = 2xM − x A = 5
3 x + 2 y − 4 = 0
⇒ B ( 5;1)
⇒ M ( 2; −1) , khi ó: 

2 x − 3 y − 7 = 0
 yB = 2yM − y A =1
 x A + x B + xC = 3xG

i m G(4;−2) là tr ng tâm ∆ABC nên: 
 y A + y B + yC = 3yG

−1 + 5 + x C = 12
 xC = 8


⇔
⇔
⇒ C ( 8; −4 ) . V y B ( 5;1) , C ( 8; 4 )
−3 + 1 + y C = −6
 y C = −4


Bài 3. Cho (d 1 ) : x + y + 5 = 0; (d 2 ) : x + 2 y − 7 = 0 và i m A ( 2;3) .
Tìm B ∈ (d 1 ) và C ∈ (d 2 ) sao cho ∆ABC có tr ng tâm G ( 2; 0 ) .
Gi i
t B ( t1 ; −t1 − 5 ) ∈ (d 1 ) và C ( 7 − 2t 2 ; t 2 ) ∈ (d 2 )
 x A + x B + x C = 3xG

i m G(2; 0) là tr ng tâm ∆ABC nên: 
 y A + y B + yC = 3 yG

2 + t1 + 7 − 2t 2 = 6 t1 − 2t 2 = −3 t1 = −1
. V y B ( −1; 4 ) , C ( 5;1)
⇔
⇔
⇔
3 − t1 − 5 + t 2 = 0
t1 − t 2 = −2
t 2 = 1
14

5.
www.VNMATH.com
Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t ph ng
Bài 4. Cho (∆ 1 ) : x − y + 1 = 0 ; (∆ 2 ) : 2 x + y + 1 = 0 và i m M(2;1).
Vi t phương trình ư ng th ng (d) i qua i m M và c t (∆ 1 ), ( ∆ 2 )
l n lư t t i A, B sao cho M là trung i m c a o n th ng AB.
Gi i
i m A ∈ ( ∆ 1 ) ⇒ A ( t1 ; t1 + 1) ;
i m B ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ B ( t 2 ; −2t 2 − 1)
x + xB = 2xM
t1 + t 2 = 4
M(2; 1) là trung i m AB nên:  A
⇔
 y A + yB = 2 yM
t1 − 2t 2 = 2
(
) (
)
⇔ t1 = 10 , t 2 = 2 . Suy ra A 10 ; 13 , B 2 ; − 7 ⇒ AB = − 4 ( 2;5 )
3
3
3 3
3 3
3
y −1
⇔ 5x − 2 y − 8 = 0
(d) qua M và nh n AB làm VTCP có PT là: x − 2 =
2
5
Bài 5. Cho (∆ 1 ) : 2 x − y + 5 = 0 ; (∆ 2 ) : x + y − 3 = 0 và i m M(–2; 0).
Vi t phương trình ư ng th ng (d) i qua i m M và c t (∆ 1 ), ( ∆ 2 )
l n lư t t i A và B sao cho MA = 2 MB
Gi i
i m A ∈ ( ∆ 1 ) ⇒ A ( t1 ; 2t1 + 5 ) ;
i m B ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ B (t 2 ; 3 − t 2 )
Suy ra: MA = ( t1 + 2; 2t1 + 5 ) , MB = ( t 2 + 2; 3 − t 2 )
t1 = 1
t1 + 2 = 2 ( t 2 + 2 )
t − 2t 2 = 2


⇔ 1
⇔
⇒ MA = ( 3; 7 )
MA = 2 MB ⇔ 
2t1 + 2t 2 = 1 t 2 = − 1
2 t1 + 5 = 2 ( 3 − t 2 )



2

y
(d) qua M và nh n MA làm VTCP có PT là: x + 2 = ⇔ 7 x − 3 y + 14 = 0
3
7
Bài 6. Cho ∆ABC có
tuy n v t hai
nh A(2;−7) phương trình m t ư ng cao và m t trung
nh khác nhau l n lư t là: 3x + y + 11 = 0, x + 2 y + 7 = 0 .
Vi t phương trình các c nh c a tam giác ABC.
Gi i
Nh n xét: Do A(2; −7) có t a
không th a mãn phương trình m t trong hai
ư ng th ng ã cho nên các ư ng cao và trung tuy n không i qua A(2; −7).
t (BH): 3x + y + 11 = 0 và (CM): x + 2 y + 7 = 0 .
Ta có: B ∈ ( BH ) ⇒ B ( t ; − 3t − 11) . G i M là trung i m AB khi ó t a
M là
15

6.
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
x A + xB t + 2

=
xM =

2
2

 y = y A + y B = −3 t − 18
 M

2
2
A
H
M
)
(
M ∈ ( CM ) ⇒ t + 2 + 2 −3t − 18 + 7 = 0
2
2
C
⇔ t = −4 ⇒ B ( −4;1)
B
y+7
⇔ 4 x + 3 y + 13 = 0
Phương trình ư ng th ng ch a c nh AB là: x − 2 =
−4 − 2 1 + 7
(AC) ⊥ (BH): 3x + y + 11 = 0 và (AC) i qua i m A(2; −7) nên phương trình
(AC) là: ( x − 2) − 3( y + 7) = 0 ⇔ ( AC ) : x − 3 y − 23 = 0
i m C ≡ (AC) ∩ (CM) suy ra t a
 x − 3 y − 23 = 0
C th a h : 
⇒ C ( 5; −6 )
x + 2 y + 7 = 0
y −1
⇔ 7 x + 9 y + 19 = 0
Phương trình c nh BC là (BC): x + 4 =
5 + 4 −6 − 1
Bài 7. Cho ∆ABC có
nh A(1; 2), ư ng trung tuy n (BM): 2 x + y + 1 = 0 và
phân giác trong (CD): x + y − 1 = 0 .Vi t phương trình
A
Gi i
i m C∈(CD): x + y − 1 = 0 ⇒ C ( t ;1 − t )
(
⇒ trung i m M c a AC là M t + 1 ; 3 − t
2
2
i m M∈(BM): 2 x + y + 1 = 0
)
B
( )
⇒ 2 t + 1 + 3 − t + 1 = 0 ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 )
2
2
I
D
ư ng th ng BC.
M
K
C
T A(1;2) k (AK) ⊥ (CD): x + y − 1 = 0 t i I ( i m K ∈ ( BC ) )
Suy ra (AK): ( x − 1) − ( y − 2) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0
x + y − 1 = 0
c a I th a h : 
⇒ I ( 0;1) . Tam giác ACK cân t i C nên
x − y + 1 = 0
 x = 2 x I − x A = −1
I là trung i m c a AK ⇒ T a
c a K:  K
⇒ K ( −1; 0 )
 yK = 2yI − y A = 0
T a
y
ư ng th ng BC i qua C, K nên có phương trình: x + 1 = ⇔ 4 x + 3 y + 4 = 0
−7 + 1 8
16

7.
www.VNMATH.com
Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t ph ng
Bài 8. Vi t phương trình ư ng th ng (∆) i qua M(4; 1) và c t các tia Ox, Oy
l n lư t t i A và B theo các trư ng h p sau:
a. Di n tích ∆OAB nh nh t.
b. T ng OA + OB nh nh t.
Gi i
Gi s (∆) c t tia Ox t i A(a; 0) và Oy t i B(0; b) (v i a, b > 0)
y
suy (∆): x + = 1 . Do M(4; 1) ∈(∆) nên 4 + 1 = 1 ⇒ b = a ⇒ a > 4
a b
a−4
a b
a. Ta có: 1 = 4 + 1 ≥ 2 4 = 4 ⇒ S OAB = 1 OA.OB = ab ≥ 8
2
2
a b
ab
ab
D u b ng x y ra ⇔ 4 = 1 = 1 ⇔ a = 8; b = 2 ⇒ (∆): x + 4 y − 8 = 0
a b 2
b. OA + OB = a + b = a +
a = a − 4 + 4 + 5 ≥ 2 ( a − 4) ⋅ 4 + 5 = 9
a−4
a−4
a−4
D u b ng x y ra ⇔ a − 4 =
4 = 2 ⇔ a = 6 ⇒ b = 3 ⇒ (∆) : x + 2 y − 6 = 0
a−4
Bài 9. L p phương trình ư ng th ng (∆) i qua i m M(2; 1) và t o v i
ư ng th ng (d): 2 x + 3 y + 4 = 0 m t góc 45 o
Gi i
Phương trình (∆) i qua i m M có d ng: A ( x − 2 ) + B ( y − 1) = 0 ( A 2 + B 2 ≠ 0 )
⇔ Ax + By − 2 A − B = 0 và có vectơ pháp tuy n n1 = ( A; B )
ư ng th ng (d) có VTPT là n 2 = ( 2; 3) .
n1 .n 2
= cos 45 o ⇔
n1 . n 2
2 A + 3B
A2 + B 2 . 4 + 9
=
(∆) h p v i (d) m t góc 45 o thì:
2 ⇔ 2 ( 2 A + 3B ) 2 = 13 ( A 2 + B 2 )
2
 (∆ 1 ) : 5 x + y − 11 = 0
 A = 5B
⇒
⇔ 5B 2 + 24 AB − 5 A 2 = 0 ⇔ 
 B = −5 A  (∆ 2 ) : x − 5 y + 3 = 0
V y có hai ư ng th ng c n tìm là (∆ 1 ) : 5 x + y − 11 = 0 ; (∆ 2 ) : x − 5 y + 3 = 0
Bài 10. Cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(1; 0), B(0; 2)
và giao i m I c a hai ư ng chéo n m trên ư ng th ng y = x .
Tìm t a
nh C và D.
Gi i
17

8.
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
Ta có: AB = ( −1; 2 ) ⇒ AB = 5
C
Phương trình (AB) là: 2 x + y − 2 = 0
D
y=x
I
I ∈ ( d ) : y = x ⇒ I ( t; t )
I là trung i m c a AC và BD nên ta có:
C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − 2 )
B
A
H
M t khác: S ABCD = AB.CH = 4 (CH: chi u cao) ⇒ CH = 4
5
Ngoài ra: d ( C, ( AB ) ) = CH ⇔
V yt a
( ) ( )
t = 4 ⇒ C 5 ; 8 , D 8 ; 2
6t − 4
3 3
3 3
= 4 ⇔ 3t − 2 = 2 ⇔  3

5
5
t = 0 ⇒ C ( −1;0) , D ( 0; −2)
( ) ( )
c a C và D là C 5 ; 8 , D 8 ; 2 ho c C ( −1; 0 ) , D ( 0; −2 )
3 3
3 3
Bài 11. Cho A ( 0; 6 ) , B ( 2; 5 ) . Tìm trên ( d ) : x − 2 y + 2 = 0 i m M sao cho:
a. MA + MB có giá tr nh nh t.
b. MA − MB có giá tr l n nh t.
Gi i
B
t f ( x, y ) = x − 2 y + 2 .
A
 f ( A ) = −10

Ta có: 
⇒ f ( A) . f ( B ) > 0
 f ( B ) = −6

H
M
Suy ra hai i m A và B n m cùng phía
A′
i v i ư ng th ng (d)
1. G i A′ là
(d)
M0
i x ng c a A qua (d)
Ta có: MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B (c
min ( MA + MB ) = A′B ,
nh)
t ư c khi ba i m A′, M , B th ng hàng
⇔ M = ( A′ B ) ∩ ( d )
( AA′ ) ⊥ ( d ) ⇒ ( AA′ ) : 2 x + y + C = 0
A ∈ ( AA′ ) ⇒ C = −6 ⇒ ( AA′ ) : 2 x + y − 6 = 0
G i H = ( AA′ ) ∩ ( d ) thì t a
A′
18
2 x + y − 6 = 0
c a H th a mãn h : 
⇒ H ( 2; 2 )
x − 2 y + 2 = 0
x ′ = 2xH − x A = 4
i x ng v i A qua (d) nên ta có:  A
⇒ A′ ( 4; −2 )
 y A′ = 2 y H − y A = −2

9.
www.VNMATH.com
Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t ph ng
y+2
⇔ 7 x + 2 y − 24 = 0
Phương trình ư ng th ng ( A′B ) là x − 4 =
2−4 5+2
T a
 x = 11
x − 2 y + 2 = 0

9
⇔
⇒ M 11 ; 19
c a M th a h : 
4 8
7 x + 2 y − 24 = 0
19

y =
8

(
2. Ta có: MA − MB ≤ AB (c
)
nh)
⇒ max MA − MB = AB , t ư c khi ba i m M, A, B th ng hàng
⇔ M = ( AB ) ∩ ( d ) . Phương trình ư ng th ng (AB) là: x + 2 y − 12 = 0
T a
c a M là nghi m c a h phương trình:
x = 5
x − 2 y + 2 = 0

7
⇔

7 ⇒ M 5; 2
 x + 2 y − 12 = 0
y = 2

( )
Bài 12. Cho ( D1 ) : kx − y + k = 0 và ( D2 ) : (1 − k ) x + 2ky − (1 + k 2 ) = 0
2
a. Ch ng minh khi k thay
i ( D1 ) luôn luôn qua m t i m c
nh.
b. Tìm giao i m c a ( D1 ) và ( D 2 ) suy ra qu tích giao i m này khi k thay
i.
Gi i
a. Ta có ( D1 ) t: k ( x + 1) − y = 0 . T a
i mc
nh mà ( D1 ) luôn i qua là
x + 1 = 0
nghi m c a 
⇒ x = −1, y = 0 . V y ( D1 ) luôn qua i m A(–1, 0).
y = 0
b. T a
giao i m c a ( D1 ) và ( D 2 ) là nghi m c a h phương trình
2
kx − y = − k

gi i h ta ư c x = 1 − k 2 , y = 2k 2

2
2
1+ k
1+ k
(1 − k ) + 2ky = 1 + k

V y ( D1 ) ∩ ( D 2 )
2


= M  1 − k 2 , 2k 2 
1+ k 1+ k 
2
2
2



ý x + y =  1 − k 2  +  2k 2  = 1

1+ k 
1 + k 
2
2
Do ó qu tích c a M là ư ng tròn tâm O bán kính R = 1.
Bài 13. Trong m t ph ng Oxy, cho các i m A(0; 1), B(2; 1) và các ư ng th ng
d 1 : ( m − 1) x + ( m − 2 ) y + 2 − m = 0 ; d 2 : ( 2 − m ) x + ( m − 1) y + 3m − 5 = 0
a. Ch ng minh d 1 và d 2 luôn c t nhau.
b. G i P là giao i m c a d 1 và d 2 , tìm m sao cho PA + PB l n nh t.
19

10.
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
Gi i
m −1
( m − 1) x + ( m − 2 ) y + 2 − m = 0

a. Xét 
có: D =
2−m
( 2 − m ) x + ( m − 1) y + 3m − 5 = 0

Dx =
m−2
2−m
m −1
3m − 5
(
Do D = 2 m − 3
2
)
2
= 4m 2 − 14m + 12 ; D y =
m−2
m −1
2−m
m −1
3m − 5
2−m
= 2m 2 − 6 m + 5
= −2m 2 + 4m − 1
+ 1 > 0, ∀∈ » nên h phương trình có nghi m duy nh t.
2
V y d 1 và d 2 luôn luôn c t nhau t i i m P ( pcm)
b. Tìm m
T a
PA + PB l n nh t
D x 4m 2 − 14m + 12

2 − 2m
=2+
x = D =

2m 2 − 6m + 5
2m 2 − 6m + 5
c a P là: 
 y = D y = −2m 2 + 4m − 1 = −1 +
4 − 2m
2
2

D
2m − 6m + 5
2m − 6m + 5

2
2m − 2
2m − 4
4

; 2+
Ta có: PA =  −2 +

 ⇒ PA = 8 −
2
2
2
2m − 6m + 5
2m − 6m + 5 
2m − 6m + 5

2
2m − 2
2m − 4
4


PB = 
;
 ⇒ PB =
2m 2 − 6m + 5 2 m 2 − 6 m + 5 
2m 2 − 6m + 5

Suy ra: PA 2 + PB 2 = 8 . Theo b t
ng th c Bunhiacôpski, ta có:
( PA + PB ) ≤ 2 ( PA 2 + PB 2 ) = 16 ⇒ PA + PB ≤ 4 ⇒ max ( PA + PB ) = 4 ,
2
PA = PB ⇔ PA2 = PB 2 ⇔ 8 −
t ư c
m = 1
4
4
=
⇔ m 2 − 3m + 2 = 0 ⇔ 
2
2m − 6m + 5 2m − 6m + 5
m = 2
2
Cách 2: d 1 và d 2 có vectơ pháp tuy n là: n1 = ( m − 1; m − 2 ) , n 2 = ( 2 − m; m − 1)
Ta có n1 .n 2 = ( m − 1) ( 2 − m ) + ( m − 2 ) ( m − 1) = 0 nên d 1 ⊥ d 2 t i i m P.
ý r ng A ∈ d 1 , B ∈ d 2 và AB = 2 2 nên theo b t
ng th c Bunhiacôpski thì
( PA + PB ) 2 ≤ 2 ( PA 2 + PB 2 ) = 2 AB 2 = 16 ⇒ PA + PB ≤ 4 ⇒ max ( PA + PB ) = 4 ,
(
)
t ư c khi PA = PB ⇒ ∆PAB vuông cân t i P ⇒ d 1 , AB = 45 o
Ta có: cos 45 o =
n AB .n1
n AB . n1
2
⇔
2m − 3
= 1 ; ( n AB = (1,1) )
2
2. ( m − 1) + ( m − 2 )
2
2
⇔ ( 2m − 3) = 2m 2 − 6m + 5 ⇔ m 2 − 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = 2
20