1. Apuntes de Topografía
Arquitectura técnica
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Título: Apuntes de Topografía
Autor: Extraído del material de la asignatura
Dibujos: Anes Ortigosa Blázquez
Editado: Anes Ortigosa Blázquez
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3. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
Índice de contenido
1.Definiciones y Conceptos básicos
Topografía……………………………………………………………………………….5
Plano topográfico………………………………………………………………………..5
Distancia geométrica…………………………………………………………………….5
Distancia reducida……………………………………………………………………….5
Levantamiento topográfico………………………………………………………………5
Realizar un levantamiento topográfico…………………………………………………..5
Mínima dimensión representable………………………………………………………...5
Medida directa de distancias……………………………………………………………..5
Medida indirecta de distancias…………………………………………………………..5
Formación de pendientes………………………………………………………………...6
Curvas de nivel…………………………………………………………………………..6
Equidistancia…………………………………………………………………………….6
Taquímetro……………………………………………………………………………….6
Distanciometro electo óptico…………………………………………………………….7
Estación total…………………………………………………………………………….7
Movimiento general y particular………………………………………………………...8
Posición CD (circulo directo) y CI (circulo inverso)……………………………………8
Error de paralaje…………………………………………………………………………8
Error de eclímetro………………………………………………………………………..8
Regla Bessel……………………………………………………………………………..8
Azimut topográfico de una recta………………………………………………………...8
Coordenadas particulares o relativas…………………………………………………….9
Coordenadas generales o absolutas……………………………………………………...9
Taquímetro orientado……………………………………………………………………9
Desorientación en una estación………………………………………………………….9
Desorientación…………………………………………………………………………...9
Nivel topográfico………………………………………………………………………..9
Nivelación geométrica o por altura……………………………………………………...9
Nivelación trigonométrica o por pendientes…………………………………………….9
Enlace indirecto de porro………………………………………………………………..9
Medición de superficies………………………………………………………………..10
Replanteo……………………………………………………………………………….11
Perfil…………………………………………………………………………………....12
Perfil longitudinal………………………………………………………………………12
Perfil transversal………………………………………………………………………..12
Plano de comparación…………………………………………………………………..12
Cota roja…………………………………………………………………………….….12
Obtención de un perfil……………………………………………………………….…12
Vaciado del solar. Fórmula prismoide…………………………………………….……14
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2.Métodos prácticos
Radiación…………………………………………………………………………….…14
Poligonal………………………………………………………………………………..15
Intersección directa……………………………………………………………………..16
Nivelación……………………………………………………………………………....17
Itinerario taquimétrico……………………………………………………………….....18
Replanteo por polares……………………………………………………….………….18
Obtención de perfiles…………………………………………………………………...21
3.Definiciones y conceptos adicionales 22
Anexo 23
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5. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
1. Definiciones y conceptos básicos
Topografía: Técnica que permite obtener planos topográficos
Plano topográfico: Es una representación gráfica plana de una zona del terreno
Distancia geométrica: Es la separación entre dos puntos medida en el espacio, lo que
llamamos verdadera magnitud en geometría
Distancia reducida: Es la separación entre dos puntos medida en el plano horizontal,
que en geometría corresponde a la distancia en proyección horizontal.
La relación entre las dos distancias es Dr = Dg · cosα
Levantamiento topográfico: Es el conjunto de operaciones por las cuales podemos
llegar a representar gráficamente los puntos que hemos escogido en el campo, a través
de recoger varios datos de cada punto. En función de los datos que tengamos y que
calculemos podemos hacer el levantamiento por varios sistemas, y obtener distintos
levantamientos los cuales clasificaremos de la siguiente forma:
- Planimétricos: que es cuando en la representación gráfica solo colocamos la
información de sus coordenadas horizontales (x, y)
- Altimetricos: que es cuando en la representación gráfica solo colocamos la
información de las cotas de los puntos que hemos considerado sobre el
plano de referencia.
- Taquimetricos: que es cuando en la representación gráfica colocamos toda la
información de los puntos considerados, incluimos simultáneamente sus
coordenadas horizontales y cotas de cada punto (x, y, z)
Realizar un levantamiento topográfico: Debemos seguir los siguientes pasos:
- Toma de datos de campo. (Que serán, distancia reducida, ángulos verticales y
ángulos horizontales de cada punto)
- Cálculo de coordenadas. (Por funciones trigonométricas básicas con los datos
anteriores)
- Dibujo del plano. Con autocad lo haremos a partir de los datos de campo. Y sin
el autocad lo haremos a partir de los cálculos de las coordenadas del punto anterior.
Mínima dimensión representable: Menor dimensión del terreno que tiene
representación a la escala a la que se va a dibujar el plano. Lo haremos a través de la
siguiente fórmula.
0’0002 x M = Mínima distancia representable Escala = 1 / M
El valor que nos salga es en metros, y todo lo que en el campo mida menos de ese valor
no se podrá representar en el plano.
Medida directa de distancias: es cuando se realiza con cinta métrica
Medida indirecta de distancias: que es cuando se realiza con procedimientos ópticos o
electrónicos.
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Formación de pendientes
Para formas rectas de una pendiente dada en un plano de curvas de nivel, casi siempre
nos darán la pendiente de la recta que tenemos que hacer y también nos darán la
equidistancia a la que quieren la recta.
Lo primero que hay que hacer es un triangulo
donde la hipotenusa tenga esa pendiente, que si
por ejemplo la pendiente es 1/5, hay que poner
una unidad en el cateto vertical, y 5 en el
horizontal. Una vez que tenemos el triangulo, ponemos la distancia que nos digan a
escala en el cateto vertical, y hacemos una horizontal, y cuando corte con la hipotenusa
hacia abajo, y desde donde corte al cateto, al extremo del cateto donde corta con la
hipotenusa, eso es el intervalo.
Cogemos esa distancia con el compás y lo llevamos al mapa, desde el punto que nos
digan hacemos un arco, y donde corte a la curva de cota superior, ahí tenemos la línea
que queríamos.
Curvas de nivel: línea que une puntos de igual cota. Se usa para representar
gráficamente en los planos la forma del relieve del terreno y se dibujan siempre a partir
de un plano con puntos acotados.
Equidistancia: Es la separación entre las cotas de dos curvas de nivel consecutivas
dibujadas en el plano. Las curvas de nivel que dibujaremos serán las múltiplo de la
equidistancia.
Taquímetro:
El taquímetro es un instrumento por el cual podemos obtener distancias lineales y
angulares por procedimientos ópticos y geométricos.
Este aparato tiene una parte móvil con forma de horquilla que llamaremos alidada, sobre
esta parte, es donde se monta un anteojo estadimétrico, que es un anteojo astronómico al
que se le ha añadido un retículo estadimétrico, que es un cristal, con unas líneas
grabadas muy finas, que es lo que llamamos hilos. También lleva dos círculos
graduados, que los llamaremos círculo acimutal al horizontal, y eclímetro al vertical.
Pero ambos se pueden llamar limbos (horizontal y vertical respectivamente)
Puede darse el caso de encontrarnos que el limbo sea de escala, significa que es un
círculo graduado, y que el cristal tiene una muesca, y se lee según donde coincida la
muesca.
El funcionamiento del aparato es el siguiente:
El taquímetro funciona proporcionándonos lecturas de ángulos en el plano horizontal y
vertical, y podemos medir distancias indirectamente por procedimientos ópticos.
El ángulo horizontal casi seguro que siempre lo va a medir en sentido horario, en el
vertical sucede lo mismo pero es más común que se pueda en los dos sentidos. Por ello,
cuando el cero está en la parte de arriba y los ángulos crecen hacia abajo, eso lo
llamaremos distancias cenitales, y lo representaremos generalmente por (V), si por el
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7. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
contrario, el 0 se coloca en el horizontal y cuenta los ángulos hacia arriba, a este
procedimiento le diremos altura de horizonte y lo representaremos generalmente por (α)
Obtención de medidas de forma indirecta:
- Óptico (con mira estadimétrica)
En este sistema se utiliza el taquímetro más una regla vertical llamada mira
estadimétrica de aproximadamente 4 metros.
El funcionamiento es sencillo, dentro del anteojo tenemos la cruz filiar, donde
conocemos la separación que tiene cada hilo al mirar por el anteojo vemos proyectados
estos hilos en la regla, y por los conceptos trigonométricos en los que se apoya la óptica,
podemos llegas a averiguar que distancia hay desde el punto donde estamos, hasta el
que está la mira, según la separación que tienen los hilos en la proyección.
De todo esto nos quedamos que para conocer la distancia reducida, hay que aplicar la
siguiente fórmula: Dr = k · l · cos2α ó Dr = k · l · sen2 V
k: constante estaquimetrica
l: la diferencia entre el hilo superior y el inferior
*Para estar seguros que las lecturas de los hilos está bien, siempre comprobaremos que
el hilo medio es la media de los hilos extremos
* Constante estaquimétrica: es la relación entre en la distancia focal y la separación
entre los hilos extremos del retículo, suele ser 100
Para tomar los datos en el campo, nos podemos hacer un estadillo como el siguiente:
Estación Punto Lectura hilos Lectura ángulo Lectura ángulo
visado Extremos Axial vertical horizontal
Distanciometro electro óptico
Es un aparato parecido al taquímetro pero que solo mide distancias de forma
automática. Se basa, en calcular la distancia mediante la longitud de onda de una señal
que emite que puede ser un láser, infrarrojo, etc.., Esta señal llega hasta el prisma retro-
reflector, y al llegar de vuelta la señal ha sufrido un desfase, el aparato mide la
cantidades de ondas que ha emitido lo divide en dos, y le suma el desfase con el que ha
llegado.
Estación total
Este instrumento de medida es el que se está instaurando y monopolizando la
topografía. No es más que un taquímetro electrónico al que además le han añadido un
distanciómetro. Ambos aparatos utilizan el mismo anteojo estadimétrico, por lo que se
ahorra tiempo, ya que en la pantalla que lleva de una sola vez, se pueden obtener todos
los valores angulares y distancias.
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Movimiento general y particular
El movimiento general es cuando todo el taquímetro (alidada y círculo horizontal) giran
solidariamente alrededor del eje principal. Con este movimiento también movemos el
círculo graduado y podemos elegir el punto donde situar el 0. El otro movimiento que
tiene el aparato es el particular, que es el que hacemos normalmente, el círculo graduado
se mantiene fijo, y solo gira la alidada. Estos movimientos los podemos hacer por
combinación de 1 o 2 tornillos según el instrumento. Si es por dos tornillos, uno hará
que giren como un bloque las dos partes, y el otro bloqueará el giro de círculo graduado.
Si solo tiene un tornillo de presión horizontal, se hace pulsando a la vez la tecla
“HOLD”.
Posición CD (circulo directo) y CI (circulo inverso)
afectan al sentido de la graduaciones del eclímetro con respecto a la posición del
anteojo. La posición de CD es cuando el anteojo está en horizontal marcando un valor
aproximado de 100g de distancia cenital. Para pasar de una a otra lo que hay que
realizar es darle media vuelta de campana al anteojo, y girar 200g la alidada. La suma
de la lectura vertical en CD más CI debe ser 400g. Y para la toma de datos siempre lo
haremos en posición CD.
Error de paralaje: Se produce cuando la imagen del objeto y la cruz filar están en
planos paralelos dentro del anteojo. Afecta a la posición de las imágenes obtenidas con
el anteojo, para comprobar si hay paralaje, lo que tenemos que hacer es: cuando este
todo enfocado, el punto y la cruz filar, movemos levemente la cabeza en vertical, y si la
lectura de los hilos cambia, es que existe error de paralaje. Para corregirlo basta con
mover el anillo de enfoque del anteojo y repetir la comprobación.
Error de eclímetro: Es un error sistemático que afecta a la lectura del circulo vertical y
se produce a consecuencia de una incorrecta posición del origen de ángulos del circulo
vertical. Se detecta visando a un punto en la posición CD y CI, si la suma es distinta de
400 hay error. Para compensarlo, primero obtenemos el error, con la siguiente formula:
LVCD + LVCI – 400 = 2 Error
después calculamos la corrección que es el error con el signo contrario, y se la sumamos
con su signo a cada lectura.
Regla Bessel: Es un procedimiento de toma de datos con el fin de minorizar errores,
consiste en visar a cada punto 2 veces, una en CD y otra en CI, y tomaremos como
lectura horizontal buena la media de las dos lecturas corrigiendo la CI en 200g y en la
vertical la lectura CD corregida de error de eclímetro.
Azimut topográfico de una recta: Es un ángulo en el plano horizontal que forma la
recta con el norte geográfico medido en dirección del sentido horario, y se representa
por θ
El ángulo se puede obtener a partir de las coordenadas XY de 2 puntos de la
recta aplicando funciones trigonométricas.
arc tan ∆x Para casos como el del dibujo. Para los otros cuadrantes, habrá que
∆y restárselo 200 (2ºcuadrante), sumárselo (3ºc) o restárselo a 400 (4ºc)
Cuando en un sistema cartesiano el eje y coincide con el norte, se llama sistema de
referencia orientado.
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9. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
coordenadas particulares o relativas
Son las coordenadas que están referidas a un sistema de referencia que tiene su centro
en el punto de estación.
coordenadas generales o absolutas
son las coordenadas que están referidas a un sistema de referencia centrado en un punto
externo al punto de estación.
Las coordenadas generales las podemos obtener como las coordenadas de la estación
más el incremento (positivo o negativo) de las coordenadas particulares
Nombraremos a las coordenadas particulares (las orientadas desde la estación) como
( xab, yab ) y las coordenadas generales del punto de la estación serán XA YA.
Como hemos dicho anteriormente, para saber las coordenadas generales de un punto b,
haremos lo siguiente
XB = XA ± xab (según el signo que tengan en su sistema de referencia)
YB = YA ± yab (según el signo que tengan en su sistema de referencia)
Taquímetro orientado: Cuando la lectura horizontal cero coincide con la dirección del
norte geográfico. Para orientar un aparato se necesita conocer el acimut de una recta que
tenga por origen el punto de estación. Una vez conocido esto haremos lo siguiente:
Primero con el movimiento particular se gira la alidada hasta que la lectura horizontal
sea igual al acimut. Seguidamente con el movimiento general apuntamos al extremo de
la dirección de referencia, y por último se pasa a movimiento particular para la toma de
datos. Una vez orientado, las lecturas horizontales son azimutes.
Desorientación en una estación: es el ángulo que forma el cero del aparato con el
norte geográfico y se designa por δ
Desorientación: Es el ángulo que forma el Norte geográfico con el cero del circulo
horizontal en un instrumento no orientado. Se obtiene visando a una dirección de acimut
conocido y a partir de los datos del acimut a ese punto y de la lectura horizontal
proporcionada por el aparato, podemos obtener la desorientación de la siguiente forma:
δA = θAB – LHAB
Gracias a la desorientación podemos pasar lecturas horizontales a acimutes, que es
sencillamente, sumando la lectura y la desorientación (con su signo)
θAB = δA + LHAB
Como podemos intuir por la definición, la desorientación es propia de cada estación y
distinta de cualquier otra.
Nivel topográfico: Este instrumento está diseñado para obtener visuales horizontales y
a partir de ahí sacar desniveles entre dos puntos. El aparato está constituido por una base
que se sujeta en un trípode, y sobre la base un anteojo estadimétrico. En la actualidad, la
base lleva en el interior un mecanismo basculante, que nivela perfectamente el anteojo.
Nivelación geométrica o por altura: Se hace mediante un nivel topográfico más una
mira, se emplea el método del punto medio y es mediante visuales horizontales
Nivelación trigonometrica o por pendientes: Se usa el taquímetro más una mira o con
una estación total más prisma. Las visuales pueden ser con pendientes (inclinadas) y se
emplea el método del punto extremo.
Enlace indirecto de porro
Este es un método para conseguir enlazar dos estaciones que no están visibles entre sí.
Su funcionamiento es sencillo, desde la estación A, se visa y se apuntan los datos de dos
puntos (1 y 2) que sean visibles desde las dos estaciones. Lo siguiente es visar desde B a
los puntos 1 y 2, y anotar los datos, y mediante trigonometría se obtienen las
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coordenadas particulares de 1 y 2, y desde ahí se obtiene por duplicado las coordenadas
de B, que sirve para comprobar que se ha realizado correctamente.
Medición de superficies
Hay varios métodos, uno de ellos es dividiendo el solar en triángulos, y a partir de ahí
sacar el área de cada triangulo y sumarlas.
Para este método usaremos la fórmula del semiperimetro
S = √p(p-a) (p-b) (p-c) => semiperimetro P = (a + b + c) /2
si usamos varios triángulos ST = S1 + S2 + …
Otro método es descomponiendo el solar en trapecios, a partir de fijar unos ejes
perpendiculares.
Primero tendríamos que conocer las coordenadas de los puntos sobre un sistema de
referencia y sobre ese obtener el área. Sumando y restando el área de los trapecios.
Superficie trapecio = altura · Semisuma de las bases
S = ∆x · (Y1 +Y2)
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ejemplo trapecio ABAxBx
(Bx-Ax) · (A + B)
2
Superficie del solar:
S = SABAxBx + SBCBxCx + SCDCxDx – SAEAxEx - SEDExDx
También se puede hacer por el método de radiación.
Consiste en desde aproximadamente el punto central del solar, hacer una radiación a
cada uno de los vértices, y tomando la distancia de los vértices al centro y el ángulo
interior de todos los triángulos podemos obtener el área de cada triangulo que se forma.
Sumando todos tenemos el área total del solar
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11. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
Superficie triangulo = ½ · Senα · Da · De
Superficie solar = ½ (Senαae · Da · De + Senαab · Da · Db + ….)
Otra forma de calcular el área de una superficie es empleando métodos mecánicos,
usando un planímetro
Replanteo
El replanteo comienza con la fase de elegir sobre el dibujo los puntos estratégicos que
definan geométricamente el dibujo. El replanteo en sí es el situar dichos puntos
escogidos sobre el terreno, para después pasar a la fase del trazado geométrico.
Para poder hacer la tarea de replanteo lo que necesitamos es una referencia que esté en
el plano y también marcada en el terreno, para poder apoyarnos en ella.
Los métodos para replantear son las mismas construcciones que en dibujo técnico..
Abscisas y ordenadas Por polares sobre una recta
Ref.: una recta y un punto de ella Ref: recta de origen de ángulos
Datos: distancia AP y PP’ Datos: Punto de origen de distancias
Con estación total, por tanteo.
Intersección angular sobre una recta Intersección angular por trileración
recta más 2 puntos o con solo 2 puntos (como si fuera con compás)
Con dos puntos y dos distancias AP y BP
Se hace igual que el anterior pero usando cinta
Obtención de los datos de replanteo
- Gráficamente con Autocad
- Numéricamente
- Con Estación Total y programa de replanteo
- mediante calculo a partir de las coordenadas generales de los puntos de
referencia y del punto a replantear.
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Calcular analíticamente los datos necesarios para replantear P
Xp: 410 Ref: A Xa: 360 B Xb: 440
Yp: 370 Ya: 250 Yb: 220
1) Se dibuja la posición de los puntos implicados en coordenadas
2) Elegir datos necesarios para el replanteo
Datos AP’ P’P
3) Se calculan resolviendo el triangulo AP’P
Cálculo AP = √ ∆x2 + ∆y2 = 130m
conocemos un ángulo 100 gones
Cálculo ángulo A.
A = θAB - θAP = [200 – arctag (∆x /∆y)] – [arctag (∆x /∆y)] = 122’840 – 25’1332 =
97’7069 gon
AP’ = AP · CosA = 4’681
PP’ = AP · SenA = 129’915
Perfil: Es el dibujo de la sección vertical de una alineación en el terreno
Perfil longitudinal: Es cuando el plano seccionado contiene a la alineación. Se emplea
para establecer la rasante de la obra.
Perfil transversal: es cuando el plano seccionado es perpendicular a la alineación. Se
utiliza para calcular el volumen del movimiento de tierra y para determinar el ancho de
la obra a lo largo de la alineación del perfil longitudinal
Rasante: Es el plano de referencia que define las z de la obra
Plano de comparación: Son las Z del eje de colimación en cada estación del nivel.
Cota roja: Es la diferencia entre la cota del terreno y la cota de la rasante. Si el terreno
es más bajo que la rasante es terraplén, si es al revés (terreno por encima) es desmonte.
Obtención de un perfil
- A partir de un plano con curvas de nivel. La separación de los puntos son los
intervalos de las curvas.
- A partir de un modelo digitalizado del terreno con un ordenador, la separación entre
puntos es constante.
- A partir de datos tomados en campo
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13. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
Calculo, a partir de datos de campo
1º. Establecimiento de la alineación del perfil y elección de los puntos
2º. Toma de datos, con estación total y prisma o con Nivel, más mira, más cinta.
3º. Datos necesarios para dibujar el perfil. Cotas de los puntos, y distancia entre dos
puntos consecutivos
Punto Distancias Visuales Plano Cotas Rasante Cotas Rojas
parcial Al Atrás intermedio Adelante de terreno rasante (pendient) desmonte terraplén
origen comp.
1 0’00 0 3’285 751’785 748’50 746’00 2’500
2 45’60 45’60 1’486 750’299 747’368 2’131
3 37’50 83’10 2’743 749’042 748’493 +3% 0’549
4 7’60 90’70 2’195 0’875 753’105 750’910 748’721 2’189
5 21’35 112’05 1’976 751’129 749’361 1’768
6 18’46 130’51 3’248 749’857 749’915 0’058
7 12’30 142’81 1’123 751’982 750’284 1’698
Al leer las visuales, se estaciona el nivel fuera de los puntos, el primer punto es visual
de espalda, y sin mover la estación miramos a todos los puntos que estén a menos de 40
metros.
Las distancias parciales son las distancias entre los puntos
Plano de comparación: Son las Z del eje de colimación en cada estación del nivel.
Cotas lecturas intermedias.
Z2 = Zeje – L2
Distancias al origen se van sumando las parciales
El dibujo del perfil se hace a escala
Rasante: La pendiente no puede rebasar el límite de calculo, el movimiento de tierra
tiene que ser mínimo. Una vez dibujado se estable la cota de la rasante.
Calculo de cota rasante.
Se saca el tanto por uno y se multiplica por la distancia
ej.: 0’03 x 45’60 = + 1’368 (positivo pq la pendiente es positiva)
746’00 + 1’368 = 747’368
Cota roja: Es la diferencia entre la cota del terreno y la cota de la rasante. Si el terreno
es más bajo que la rasante es terraplén, si es al revés (terreno por encima) es desmonte.
Calculo de la cota de la rasante. Datos de partida:
- Z del primer punto rasante + la pendiente % (ejercicio)
- Z del primer punto y la Z del último punto (ejemplo libro)
Perfiles transversales: Se hacen en cada punto del perfil longitudinal. Siempre están
asociados a un perfil longitudinal. Se pueden obtener como los otros, con PC, curvas de
nivel, datos de campo.
Toma de datos de campo:
Lo necesitamos calcular el desnivel entre el punto central y los otros puntos así como
sus distancias.
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Sección tipo: Perfil de la obra una vez terminado.
ejemplo de un vial
Cajear el perfil: suponer al perfil y la sección tipo
Vaciado del solar. Fórmula prismoide
Primero se calcula las coordenadas taquimétricas de los vértices del solar (x,y,z)
Después se calcula la superficie horizontal de la excavación
Lo siguiente es calcular el incremento de Z (altura) de cada vértice, y después la altura
media. Con estos datos lo que queda es dividir el solar en zonas con una superficie fácil
de calcular, e ir calculando el volumen que hay entre la cota media que tiene esa porción
y la altura de excavación que tenemos que dejar. Hay que prestar atención si el resultado
es a excavar o a rellenar, para obtener el total se suman o se restan según sea excavar o
rellenar todas las parciales.
2. Métodos prácticos
Radiación: Relaciona los puntos del terreno con uno de posición conocida mediante los
datos del ángulo horizontal y la distancia reducida. Para ello necesitamos el taquímetro
y la mira, y de las observaciones a cada punto nos quedamos con la lectura de los 3
hilos y la lectura de los dos ángulos. (Horizontal y vertical)
Levantamiento de un plano por radiación.
- Fase 1: dibujo del croquis solo con los elementos que van a tener
representación en el plano.
- Fase 2: Ubicación de la estación, teniendo en cuenta que el punto debe ser de
coordenadas conocidas y que desde ahí se pueden ver perfectamente y sin obstáculos los
puntos a mirar
- Fase 3: Elección de puntos y toma de datos.
Los puntos que escogeremos serán los más representativos, y estos son, los extremos de
los segmentos rectos, y en las zonas curvas, escogeremos los suficientes para poder
después representarla, una opción es escoger puntos donde la cuerda que forman entre
ellos y la circunferencia, no tenga flechas mayores a lo que podemos representar en el
plano. (seria interesante conocer primero la escala del plano).
Procedimiento toma de datos:
- Se visa a un punto lejano, fijo y ajeno a la radiación que se toma como referencia y
solo se anota la lectura del círculo horizontal
- Se toman los datos de los puntos del plano por vueltas de horizonte
- Se termina siempre visando nuevamente a la referencia y anotando la lectura
horizontal
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15. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
Obtener las coordenadas de los puntos destacados
Datos de partida: ángulo horizontal y distancia reducida
Para el sistema de referencia, colocaremos los ejes en el punto de la estación con los
ejes formando ángulo recto. De esta forma los ejes coincidirán con los 0, 100, 200 y
300 grados de la estación. Y la formula para sacar las coordenadas es:
X = distancia reducida · Senθ
Y = distancia reducida · Cosθ
Estas formulas son aplicables cuando la radiación es orientada o podemos conocer la
desorientación. Si no es orientada, utilizaremos el seno y coseno de la lectura
horizontal.
coordenadas particulares o relativas
Son las coordenadas que están referidas a un sistema de referencia que tiene su centro
en el punto de estación.
coordenadas generales o absolutas
son las coordenadas que están referidas a un sistema de referencia centrado en un punto
externo al punto de estación.
Las coordenadas generales las podemos obtener como las coordenadas de la estación
más el incremento (positivo o negativo) de las coordenadas particulares
Nombraremos a las coordenadas particulares (las orientadas desde la estación) como (
xab, yab ) y las coordenadas generales del punto de la estación serán XA YA.
Como hemos dicho anteriormente, para saber las coordenadas generales de un punto b,
haremos lo siguiente
XB = XA ± xab (según el signo que tengan en su sistema de referencia)
YB = YA ± yab (según el signo que tengan en su sistema de referencia)
El dibujo del plano se puede hacer mediante autocad, introduciendo los datos de campo
de ángulo horizontal y distancia reducida, o de forma manual en papel, dibujando el
sistema de referencia general, y colocar ahí los puntos en su sitio.
Poligonal
Primero hay que hacerse una tabla para la los datos de campo y otra para los cálculos
(cálculos de gabinete)
Lo más completo de todo es que nos den lecturas directas e inversas de todo
Nota: antes de nada hay que ver si la poligonal es cerrada o encuadrada, y si es
orientada o no. Para saber si es cerrada o encuadrada, hay que ver si sale de un punto y
termina en el mismo (es cerrada). Y para ver si está orientada nos fijamos si la lectura a
la referencia y el azimut de la referencia (Dato) es el mismo. Si está orientada también
se cumple que la lectura de la base 1 a la base 2, y que la lectura de la base 2 a la base 1,
varían en 200. Si es desorientada no varían en 200 las lecturas.
Primero hay que apuntar en la tabla los ángulos horizontales corregidos, que esto se
hace si nos dan las dos lecturas, hay que sumar las dos medidas, restarle 200º y dividirlo
entre 2, ese es el valor del ángulo menor compensado, normalmente basta con fijarnos
en los decimales y poner la lectura del circulo directo.
Para los ángulos verticales lo que hay que hacer es sumar las dos medidas, y lo que se
diferencie de 400º es el error que tiene, que se compensa cada medida repartiendo la
mitad del error en cada medida.
Si hay que calcular la desorientación, hay que tener en cuenta que siempre se obtiene la
desorientación haciendo azimut conocido – lectura a ese punto, y para calcular el
azimut, es siempre lectura al punto más desorientación de la estación.
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16. IC+ www.icplus.es
Al ángulo medido para la referencia se le resta lectura a ese punto, y la diferencia es la
desorientación. Si hay que ir corriendo azimutes, esa desorientación se le suma a la
lectura del punto en el que estamos al siguiente, y obtenemos el ángulo que hay entre el
punto en el que estamos y el siguiente. Para obtener la desorientación del siguiente
punto, como ya tenemos el ángulo, le ponemos el contrario (sumado 200 o restado),
volvemos a repetir el proceso de restarle la lectura. Y esto se hace con todas las medidas
que tenemos.
Para compensar los azimutes, podemos tener dos casos, si es encuadrada, nos darán el
ángulo de cierre, que en este caso lo que hay que hacer es comprobar si el último ángulo
que hayamos con la desorientación es el mismo que el que nos dan. Si son distintos, la
diferencia de uno a otro es lo que hay que compensar, que teniendo en cuenta si nos
hemos pasado o quedado corto, lo iremos sumando o restando en cada ángulo. Muy
importante, es que a la última medida se le compensa con el error completo, a la anterior
se le quita una parte, a la anterior dos, etc.. Cada parte será el resultado de dividir el
error, entre las medidas que hemos tomado, por ejemplo si hay 5 puntos son 5 partes.
Si la poligonal es cerrada, el error lo obtendremos comparando el ángulo del primer
punto al último, con el del último al primero, por ejemplo si tiene 5 puntos,
comparamos el ángulo medido de 1 a 5 y el ángulo medido de 5 a 1,ambos tienen que
diferir en 200º, por lo tanto lo que le sobre o le falte para llegar a 200º es el error, que se
compensa igual que en el otro caso.
Lo siguiente es sacar las medidas reducidas entre cada punto, que si está hecho con
distanciometro, es multiplicar la distancia geométrica por el seno del ángulo vertical.
Lo siguiente es obtener los incrementos de las ordenadas en cada punto que se hace
como en radiación. Pero estas medidas también hay que compensarlas, y se hace,
sumando todas los incrementos de una misma ordenada (por ejemplo la x) tiene que dar
lo mismo que si se resta las coordenadas del punto de salida y llegada. O si es cerrada,
tiene que dar el mismo punto de salida que de llegada. Lo que salga de error que se
puede compensar de 3 formas distintas. La más sencilla es en partes iguales, el error se
divide en tantas partes iguales como segmentos haya. El segundo modo es repartir el
error de forma proporcional a la longitud de los tramos, y la tercera forma es dividendo
el error proporcionalmente a los valores de las coordenadas parciales. (no se hacen
acumulativos) La forma proporcional para una cantidad C en partes 3, 4 ,5
[C / (3+4+5)]· La parte que sea ejemplo, (3, 4, 5)
Por último es coger las coordenadas que nos dan, e ir sumando o restando según
corresponda los incrementos que hemos obtenido.
Intersección directa
Siempre trabajos con triángulos por lo tanto, siempre tendremos 2 puntos que podremos
conocer y un punto que queremos. En los puntos que conocemos, tomamos la lectura
horizontal del punto que estamos a los otros dos, y del punto que desconocemos si
queremos conocer la altura, necesitamos también el ángulo vertical, y la lectura de los
hilos al otro punto que conocemos.
También nos darán las coordenadas conocidas de los puntos, para que obtengamos la
distancia entre ellos, o nos darán alguna forma para hallarla.
Este método se basa en resolver un triangulo que siempre va a ser igual, por lo tanto
vamos a seguir un método.
Primero resolveremos el obtener los ángulos internos del triangulo.
Esto lo haremos en cada punto restando la lectura angular, de un punto al otro. Siempre
al más avanzado en el reloj, el más retrasado. Al de más a la derecha le restamos el otro.
(al mayor el menor, precaución si da una vuelta contar más de 400g)
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17. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
Lo siguiente será obtener el ángulo del punto que desconocemos, aplicando que la suma
de los ángulos de un triangulo suman 200g (en centesimal). Por lo tanto el ángulo que
buscamos será: 200 – la suma de los otros dos ángulos.
Una vez que tenemos todos los ángulos, vamos a por las distancias.
Primero sacar la más fácil, la distancia entre los dos puntos que conocemos que lo
haremos con por Pitágoras y las coordenadas.
Distancia AB = √∆x2 + ∆y2
Los otros lados los sacaremos por el teorema del seno
Teorema del seno = a / Sen A = b / Sen B = c / Sen C
Después de resolver el triangulo calcularemos los azimutes de los puntos.
Tendremos que hacernos un dibujito orientativo, los puntos deben estar colocados en
sus posiciones aproximadas. Según en el cuadrante que tengan, sacaremos el acimut por
la formulita de la tangente.
Una vez sacado el azimut del lado que conocemos, los otros los sacamos sumando o
restando azimutes con ángulos interiores del triangulo. Se deduce del dibujo fácilmente
Por último debemos sacar las coordenadas generales del punto desconocido a través de
conocer las coordenadas de los otros dos puntos. Por ultimo comparamos ver los dos
resultados y tomamos la media de ambos como solución correcta.
* Para obtener la cota del punto desconocido, tendremos que obtener también como
datos las lecturas de los ángulos verticales, de los puntos conocidos al desconocido, y la
altura de la de estación en los dos puntos conocidos. Y en gabiente las operaciones
serán. Por cada punto conocido. (ejemplo por punto A)
Cotad = CotaA + desnivelAd
desnivelad = segmento AD · cotangente Vad + iad [cot (x) = 1 / tag (x)]
Nivelación
Nivelación geométrica
Está es la más simple, el trabajo de campo es:
En el punto medio de entre los dos puntos que se quiera conocer el desnivel poner el
nivel, y en los puntos, colocar una mira. Desde el aparato se mira, al punto que queda
detrás (según el sentido de la marcha) y después al de adelante. Se anota la lectura de
los tres hilos, y tomamos la media. Para conocer el desnivel, solo tenemos que restar al
valor del punto de atrás el valor de la lectura del punto de adelante, y el resultado es el
desnivel entre los dos puntos. Si por cualquier motivo no se puede hacer de una vez la
nivelación, se pueden hacer varias encadenadas tomando puntos medios y sumando los
desniveles parciales. A esto se le conoce como nivelación compuesta.
Nivelación trigonométrica
Esta nivelación es un poco más compleja de calcular. Y es de la siguiente forma:
En el campo estacionamos nuestro aparato (taquímetro o estación total) y visamos a la
mira, y nos apuntamos la lectura de los hilos, el ángulo vertical, y la altura de la estación
(desde el suelo, hasta el eje de muñones). Y en el gabinete lo único que hay que hacer es
aplicar la siguiente fórmula: ∆z = t + i – m
Siendo t = distancia reducida · CotangV = dr · tangα
i = altura de la estación
m = lectura hilo medio
Para compensar errores, depende de los datos que tengamos y como sea el itinerario.
Si el itinerario es cerrado, el error será lo que varíe de 0 la suma de todos los desniveles.
Si es encuadrado, el error será lo que varíe la suma de desniveles, respecto a la
diferencia de cotas de salida y llegada.
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18. IC+ www.icplus.es
La compensación en ambos casos se hace igual, se coge el valor a compensar en total, y
se divide entre la cantidad de desniveles a compensar. El valor para compensar tiene
que tener 3 decimales, por lo tanto si después de dividirlo tiene más, habrá que ir
redondeando por exceso y defecto, para que al final al volver a sumar compensen el
error por completo. Como nos habrán salido datos compensados por exceso y por
defecto, los de mayor valor servirán para compensar los desniveles mayores, y los de
menor valor para compensar los desniveles menores.
La radiación, la poligonal y la intersección directa se hacen igual, salvo que al final hay
que añadirles estos cálculos.
Itinerario taquimétrico
Realmente es una poligonal, en la cual, en cada punto de estación se realiza una
radiación para realizar un levantamiento topográfico (conociendo la altura de todos los
puntos). También se puede hacer sin radiación y es una poligonal normal.
Con la radiación simultanea se hace de la siguiente forma.
Estacionamos en un punto, y realizamos la radiación, teniendo en cuenta que el último
punto que visemos será la siguiente estación de la poligonal. Y así todas las veces que
necesitemos.
Para realizar los cálculos de gabinete de este procedimiento, primero resolveremos la
poligonal, y después las distintas radiaciones
Replanteo por polares
Este sistema se basa en a partir de un punto y una referencia, replantear los puntos
mediante un ángulo y una distancia.
Se escoge el punto desde el que se quiere replantear, desde la referencia contaremos los
ángulos. Cuando tengamos esas dirección colocaremos la distancia, y así tendremos
definido el otro punto. Ejemplo:
A partir de la base DE, replantear el punto M
Base DE: [D(750, 810); E(1020, 600)] M: (882’77, 540’83)
DM = √(∆x2 + ∆y2 = 300’13 metros
α = θDM - θDE = 28’745 gon
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19. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
Trazado de curvas circulares de un centro
Queda definida por el ángulo Ω y el radio R
el ángulo α = 200 - Ω
Trazado de la curva conocido el ángulo y el radio
1. Calcular la longitud TV
TV = R · tag (α/2)
2. Se colocan sobre el terreno los puntos T1 y T2
3. Trazar la curva
De forma continua (pinchas en el centro y con una cuerda que sea igual al radio)
Por puntos aislados, que es calculándolos, que hay dos formas, por polares y por
abscisas y ordenadas sobre la tangente.
Forma 1. Por polares
Tenemos la tangente y el punto de tangencia.
Establecemos puntos intermedios de la curva (aproximadamente que tengan un arco de
6 gones (ángulo interior de la curva) Debemos sacar exacto el valor del ángulo.
Y se aplican las siguientes fórmulas
(ángulo) γn = n β/2 (distancia) dn = 2R · Sen γn
Ejemplo:
Ángulo de alineaciones (Ω): 173’072 Radio: 70 metros
Establecemos los puntos intermedios de la curva:
α = 200 - Ω => 200 - 173’072 = 26’928
α / 6 = 26’928 / 6 = 4’488 *si el punto central nos dicen que tiene estar al mismo intervalo se
divide en partes pares.
En este caso redondeamos a tomar 5 puntos en la curva.
α / 5 = β => 5’3856
Ahora calculamos los 5 puntos por polares a partir de la tangente
*Los ángulos los contaremos a partir de la línea de la tangente
(ángulo) γn = n β/2 (distancia) dn = 2R · Sen γn
γ1 = 1 β/2 = 2’6928 d1 = 2R · Sen γ1 = 5’92
γ2 = 2 β/2 = 5’3856 d2 = 2R · Sen γ2 = 11’83
γ3 = 3 β/2 = 8’0784 d3 = 2R · Sen γ3 = 17’71
γ4 = 4 β/2 = 10’7712 d4 = 2R · Sen γ4 = 23’57
γ5 = 5 β/2 = 13’4640 d5 = 2R · Sen γ5 = 29’39
Forma 2. Por abscisas y ordenadas sobre tangente
El sistema de referencia lo haremos poniendo la tangente como el eje de abscisas, y el
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20. IC+ www.icplus.es
punto de tangencia como origen de abscisas
Necesitamos las coordenadas del punto P
Fórmulas Xn = R · Sen(nβ) Yn = R – Rcos(nβ)
Ejemplo
Ángulo de alineaciones (Ω): 173’072 Radio: 70 metros
Establecemos los puntos intermedios de la curva:
α = 200 - Ω => 200 - 173’072 = 26’928
α / 6 = 26’928 / 6 = 4’488
En este caso redondeamos a tomar 5 puntos en la curva.
α / 5 = β => 5’3856
Ahora sacamos las distintas coordenadas usando las fórmulas
Xn = R · Sen(nβ) Yn = R – Rcos(nβ)
X1 = R · Sen(1β) = 5’91 Y1 = R – Rcos(1β) = 0’25
X2 = R · Sen(2β) = 11’79 Y2 = R – Rcos(2β) = 0’99
X3 = R · Sen(3β) = 17’57 Y3 = R – Rcos(3β) = 2’24
X4 = R · Sen(4β) = 23’24 Y4 = R – Rcos(4β) = 3’97
X5 = R · Sen(5β) = 28’73 Y5 = R – Rcos(5β) = 6’17
Cálculo de coordenadas generales de los punto de la curva para su posterior replanteo
por el procedimiento general (apoyándose en dos puntos)
Datos de partida:
Radio R
Coordenadas generales (x,y) del vértice y de un punto en cada alineación
Datos finales: Coordenadas generales de los puntos de la curva
R: 500m
Vértice D: ( 1000, 1000)
A: ( 100, 100) C: ( 2000, 70)
Procedimiento de cálculo
1. Dibujo del croquis
2. Cálculo del ángulo Ω que forma la alineación
Ω = θBA - θBC = 102’308g
A
θB = 200 + arctag ∆x /∆y = 250’00g
θBC = 200 - arctag ∆x /∆y = 147’692g
3. Cálculo de las coordenadas del punto T a partir de B
3.1. BT = R · Tag α/2 = 482’19m; α = 200 - Ω = 97’692g
3.2. θBT = θBA
Coordenadas
Xt1 = XB + SenθBA · BT = 659’040
Yt1 = YB + CosθBA · BT = 659’040
4. Cálculo de las coordenadas de los puntos de la curva
4.1. Cálculo de número par de puntos del arco.
97’692 / 6 = 16’282 ≈ 16 partes
4.2. Cálculo del valor del ángulo central β
97’692 / 16 = 6’106g
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21. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
4.3. Cálculo para cada punto de los valores γ y distancia
γ = β/2 D1 = 2R Sen γ1
Curva arco.
x2 + y2 = R2
despejamos la y; y = √R2 – x2 Ponemos las abscisas (x) a intervalos constantes teniendo
en cuenta que la x máxima es media cuerda. Solo hacemos medio lado por ser simétrico.
Esto nos dará los valores de Y respecto el sistema de referencia que está en centrado en
el centro, por ello nosotros después haremos una traslación del sistema, y lo
colocaremos donde el eje de abscisas (eje x) coincida con la cuerda de la curva.
Obtención de perfiles
Lo que tenemos que hacer es simplemente rellenar un estadillo.
Punto Distancias Visuales Plano Cotas Rasante Cotas Rojas
parcial Al Atrás intermedio Adelante de terreno rasante (pendient) desmonte terraplén
origen comp.
1
2
3
4
5
6
7
Las columnas de distancias parciales y visuales atrás intermedio y adelante se rellenan
en la toma de datos.
Las casillas de visuales es como en la nivelación, colocando la estación fuera de la línea
del perfil, se miran a los puntos del perfil sin cambiar de estación, el primer punto se
coloca en la subcolumna “atrás” y el resto en la columna intermedio. Cuando vallamos a
llegar al último punto que se ve desde la estación y hagamos un cambio de estación, la
lectura de ese último punto se coloca en la subcolumna “adelante” y cuando tenemos la
nueva estación se mira al mismo punto y se añade la lectura a la columna atrás.
Para rellenar las casillas de distancia, la parcial es la que hay entre los dos puntos, y la
de origen es desde el punto al primer punto. La distancia al origen de un punto tiene que
ser igual a las parciales sumadas hasta ese punto.
Ahora rellenamos simultáneamente las columnas de “plano de comparación” y las de
“Cotas de terreno”
Para ello, utilizamos la cota dato, que será la primera casilla de la columna cotas de
terreno. A esa cota le sumamos la lectura de la casilla de “visuales atrás”. Y ese número
lo ponemos en la primera fila de la columna “Plano de comparación”. Para rellenar el
resto de filas de la columna “cotas de terreno”, solo hay que restarle las lecturas
intermedias de cada punto al valor de la casilla del plano de comparación. Cuando
llegamos a un cambio de estación lo único que hay que hacer es otra vez lo mismo. A la
cota de terreno dato, le sumamos la visual atrás de ese punto donde está el cambio, y ese
dato lo pasamos a la columna de plano de comparación, y seguimos rellenando la
columna de cotas de terreno como estábamos haciendo hasta ahora, pero ahora con el
21

22. IC+ www.icplus.es
nuevo valor.
Para rellenar la casilla de cotas de rasantes, lo que tenemos que hacer es, coger el valor
de la pendiente y calcular las cotas que tendrá cada punto partiendo de la cota dato, y
aplicándole la pendiente que nos dicen. Si es una pendiente positiva irá subiendo y si es
negativa irá bajando. Para obtener la cota con más exactitud es mejor utilizar las
distancias hasta el origen.
Y para rellenar las columnas de cota roja se hace lo siguiente, se hace la diferencia entre
la cota del terreno y la cota de la rasante, si da negativo hay que poner la diferencia en la
casilla terraplén (hay que terraplenar esa altura) y si da positiva la resta se coloca ese
valor en la casilla de desmonte (es la altura que hay que retirar de tierra)
Al final tendremos algo así
Punto Distancias Visuales Plano Cotas Rasante Cotas Rojas
parcial Al Atrás intermedio Adelante de terreno rasante (pendient) desmonte terraplén
origen comp.
1 0’00 0 3’285 751’785 748’50 746’00 2’500
2 45’60 45’60 1’486 750’299 747’368 2’131
3 37’50 83’10 2’743 749’042 748’493 +3% 0’549
4 7’60 90’70 2’195 0’875 753’105 750’910 748’721 2’189
5 21’35 112’05 1’976 751’129 749’361 1’768
6 18’46 130’51 3’248 749’857 749’915 0’058
7 12’30 142’81 1’123 751’982 750’284 1’698
Con estos datos, la distancia y las cotas rojas, se puede realizar un dibujo del perfil
terminando. Y si superponemos las cotas del terreno podemos ver las zonas de
desmonte y terraplén.
3. Definiciones y conceptos adicionales
Geodesia: Es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra.
Geoide: Es una superficie física real, aproximada a un elipsoide de revolución, y sobre
la cual la gravedad en todos sus puntos es normal a ella.
Coordenadas geográficas: Son la longitud y latitud de un punto en la esfera terrestre.
Longitud: Es la coordenada de un punto medida entre el meridiano del punto y el
meridiano cero. (se mide en horizontal, sobre los paralelos)
Latitud: Es la coordenada de un punto medida entre el paralelo ecuador y el paralelo
del punto. (se mide en vertical, sobre los meridianos)
Cartografía: Ciencia que estudia y hace mapas geográficos
Mapa: Es la representación gráfica mediante sistema de referencia de las coordenadas
geodésicas de los puntos
Plano: Representación gráfica de la tierra obtenida mediante procesos topográficos
En los sistemas de referencia con líneas altimétricas, según las figuras y las formas de
las líneas podemos definir varios conceptos. (No válidas para cartas náuticas)
Cumbre: viene representada por un triangulito, y líneas cerradas concéntricas, con valor
descendiente hacia fuera
Hoya: Conjunto de líneas cerradas concéntricas con valor ascendente hacia fuera
Divisoria: línea de separación de dos vertientes (saliente, similar a una limatesa de
cubierta )
Vaguada: Línea que une dos vertientes (entrante, similar a una limahoya de cubierta)
Puerto: Es donde coinciden dos divisorias y dos vaguadas
Anamorfosis: Es la deformación que existe el terreno y lo dibujado.
Planímetro: Es un instrumento que nos marca la superficie de una figura a partir de
repasar el perímetro de esta.
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23. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
Anexo
Funciones trigonométricas
Sen α = a /c
Cos α = b / c
Tag α = a / b
Teorema del seno = a = b = c_
Sen A Sen B Sen C
Distancia entre dos puntos conocida sus coordenadas
√∆X2 + ∆Y2
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