Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY Mr Long Mobi: 0986883886 - 0905710588 Email: long.npb@ttlcorp.vn Website: ttlcorp.vn

1. CHUYEÂN ÑEÀ 4
ÑÖÔØNG TROØN
1. Ñeå tìm phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn ta caàn löu yù:
. Phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) taâm I(a, b) baùn kính R laø :
( ) + ( = R22
x a− )
2
y b−
. Phöông trình cuûa (C) ôû daïng khai trieån :
x2
+ y2
– 2ax – 2by + c = 0 ( hay x2
+ y2
+ 2ax + 2by + c = 0)
vôùi c = a2
+ b2
– R2
R2
=⇔ 2 2
a b c+ −
Do ñoù ta phaûi coù ñieàu kieän a2
+ b2
– c 0≥
. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng troøn taâm I(a, b) baùn kính R laø:
(t
x a R cost
y b R sin t
= +⎧
⎨
= +⎩
∈ R)
2. Ñeå vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi moät ñöôøng troøn ta caàn phaân bieät :
a) Tröôøng hôïp bieát tieáp ñieåm : ta duøng coâng thöùc phaân ñoâi toïa ñoä :
Tieáp tuyeán ( taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) vôùi :)Δ
- ñöôøng troøn (C) : ( ) + = R2
laø
2
x a− (
2
y b− )
)
(x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2
- ñöôøng troøn (C) : x2
+ y2
– 2ax – 2by + c = 0 laø
x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0
b) Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm, ta aùp duïng tính chaát :
Ñöôøng thaúng ( tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn taâm I baùn kính R)Δ
⇔ = R.Δd(I, )
c) ñöôøng troøn (C) : ( ) + = R2
coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø x =
a R. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = a
2
x a− (
2
y b−
± ± R, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ñöôøng troøn ( C) ñeàu coù
daïng y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø
ñieåm naèm ngoaøi ñöôøng troøn.
Ví duï
1

2. Trong maët phaúng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).
a) Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B.
b) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) taïi A, B.
c) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7)
Giaûi
a) Phöông trình ñöôøng troøn (C) coù daïng :
x2
+ y2
– 2ax – 2by + c = 0
Ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B neân :
0
4 4 0
16 8 0
c
a c
b c
=⎧
⎪
+ + =⎨
⎪ − + =⎩
⇔
0
1
2
c
a
b
=⎧
⎪
= −⎨
⎪ =⎩
Vaäy (C) : x2
+ y2
+ 2x – 4y = 0.
Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân coù taâm laø trung ñieåm cuûa AB vaø ñöôøng kính laø
AB neân pt döôøng troøn (C) laø:
2 2 21 1
1 2 4 16
4 4
+ + − = = + =(x ) ( y ) AB ( ) 5
Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân vôùi ( , ) ( )M x y C∈ ta coù
0=AM.BM . Vaäy pt ñöôøng troøn ( C ) laø 0− − + − − =A B A B(x x )(x x ) ( y y )( y y ) .
b) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi :
. Tieáp ñieåm A(–2, 0) laø : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0
⇔ x + 2y + 2 = 0
. Tieáp ñieåm B(0, 4) laø : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0
⇔ x + 2y – 8 = 0
c) Ñöôøng troøn (C) : x2
+ y2
+ 2x – 4y = 0 coù taâm I(–1, 2) vaø baùn kính R = 2
1 2 0+ − =
5 .Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø 1= ± = − ±x a R 5 . Hai tieáp tuyeán
naøy khoâng qua M(4, 7)
Vaäy phöông trình tieáp tuyeán qua M(4, 7) coù daïng:
( )Δ : y – 7 = k(x – 4)
⇔ kx – y + 7 – 4k = 0
( )Δ tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C) ⇔ Δd(I, ) = R
2

3. ⇔
2
2 7 4
1
k k
k
− − + −
+
= 5 ⇔ 5 5k− = 5 . 2
1k +
⇔ 4k2
– 10k + 4 = 0 ⇔ k = 2 hay k =
1
2
Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7) vôùi phöông trình laø :
k = 2 2x – y – 1 = 0⇒
k =
1
2
⇒
1
2
x – y + 5 = 0.
Ví duï (ÑH KHOÁI B-2003)
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho tam giaùc ABC coù AB=AC, 0
90BAC = .
Bieát M(1,–1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G(
2
3
; 0) laø troïng taâm tam giaùc ABC. Tìm toïa ñoä caùc
ñænh A , B, C.
G laø troïng taâm ΔABC ⇔ =AG 2GM
⇔
⎧
− = − =⎪
⎨
⎪− = − − = −⎩
A
A
2 2 2
3
=x 2(1 )
3 3
y 2( 1 0) 2
⇔
⎧
⎨
=⎩
A
A
x 0
2
⇔ A (0, 2)
y
PT: BC qua M (1, −1) ⊥ = (1, −3): x – 3y – 4 = 0AM
PT ñ.troøn (C) taâm M, baùn kính R = AM= + =1 9 10
(x – 1)2
+ (y + 1)2
= 10
Toïa ñoä B, C thoûa :
− − =⎧
⎨
− + + =⎩
2 2
x 3y 4 0
(x 1) (y 1) 10
⇔ ⇔
= +⎧
⎨
+ + + = ⇔ + =⎩
2 2 2
x 3y 4
(3y 3) (y 1) 10 (y 1) 1
=⎧
⎨
=⎩
x 4
y 0
∨
= −⎧
⎨
= −⎩
x 2
y 2
Vaäy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0)
Ví duï (ÑH KHOÁI D-2003) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñecac vuoâng goùc Oxy cho ñöôøng
troøn (C): (x – 1)2
+ (y – 2)2
= 4 vaø ñöôøng thaúng d: x – y – 1 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng troøn
(C’) ñoái xöùng vôùi ñöôøng troøn (C) qua ñöôøng thaúng d. Tìm toïa ñoä caùc giao ñieåm (C) vaø (C’)
Giaûi
(C1) coù taâm I (1, 2), R = 2.
Goïi I’ laø ñoái xöùng I qua (d)
Goïi (Δ) laø ñöôøng thaúng qua I vaø (Δ) ⊥ (d)
(Δ) : x + y – 3 = 0. (Δ) ∩ (d) = H(2, 1)
H laø trung ñieåm cuûa II’
Giaû söû I’ (x, y) thì ⇒
+⎧
=⎪⎪
⎨
+⎪ =
⎪⎩
x 1
2
2
y 2
1
2
⇒
=⎧
⎨
=⎩
x 3
y 0
⇒ I’ (3, 0); R’ = R = 2. (C’) : (x – 3)2
+ y2
= 4
3

4. Giaûi heä
⎧
⇔
− + − =⎪
⎨
− + =⎪⎩
2 2
2 2
(x 1) (y 2) 4
(x 3) y 4
⎧ − + =
⎨
− − =⎩
2 2
(x 3) y 4
x y 1 0
⇔ ⇔ ∨
= +⎧
⎨
− =⎩
2
x y 1
2y 4y 0
=⎧
⎨
=⎩
x 1
y 0
=⎧
⎨
=⎩
x 3
y 2
Vaäy giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’) laø A (1, 0) vaø B (3, 2).
Ví duï (ÑH KHOÁI A-2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng
d1 : x – y = 0 vaø d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñænh A
thuoäc d1, ñænh C thuoäc d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc hoaønh.
Giaûi
A ∈ d1 ⇔ A (m; m). C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n)
Vì B, D ∈ Ox vaø ABCD laø hình vuoâng neân :
A vaø C ñoái xöùng nhau qua Ox ⇔
m n
m 2n 1
=⎧
⎨
= −⎩
⇔
m 1
n 1
=⎧
⎨
=⎩
Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Goïi (C) laø ñöôøng troøn ñöôøng kính AC
⇒ Phöông trình (C) : (x–1)2
+y2
=1. B vaø D laø giao ñieåm (C) vaø Ox neân toïa ñoä cuûa B, D
laø nghieäm cuûa heä :
2 2(x 1) y 1
y 0
⎧⎪ − + =
⎨
=⎪⎩
⇔ . Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0)
= ∨ =⎧
⎨
=⎩
x 0 x 2
y 0
Vaäy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0)
hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0).
Ví duï (ÑH KHOÁI B-2005)Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñieåm A(2; 0), B(6; 4).
Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm
cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5.
Giaûi
Goïi I (x; y) laø taâm cuûa (C). Ta coù : (C) tieáp xuùc Ox taïi A ⇒ IA i⊥ = (1; 0) ⇔ x – 2 = 0
⇔ x = 2
IB = 5 ⇔ (x – 6)2
+ (y – 4)2
= 25
⇔ (2 – 6)2
+ (y – 4)2
= 25 ⇔ (y – 4)2
= 9
⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1
Tröôøng hôïp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7
Suy ra pt (C) : (x – 2)2
+ (y – 7)2
= 49
Tröôøng hôïp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1
⇒ pt (C) : (x – 2)2
+ (y – 1)2
= 1.
Ví duï
(ÑEÀ DÖÏ BÒ KHOÁI A -2002)
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho hai ñöôøng troøn:
(C1) : x2
+ y2
– 10x = 0; (C2) : x2
+ y2
+ 4x – 2y – 20 = 0
4

5. 1) Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) vaø coù taâm naèm treân
ñöôøng thaúng x + 6y – 6 = 0.
2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa caùc ñöôøng troøn (C1) vaø (C2).
Giaûi
1) Phöông trình chuøm ñöôøng troøn qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) laø :
m(x2
+ y2
– 10x) + n(x2
+ y2
+ 4x – 2y – 20) = 0 vôùi m2
+ n2
> 0
⇔ (m + n)x2
+ (m + n)y2
+ (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0
⇔ x2
+ y2
+
4n 10m 2n 20n
x y
m n m n m n
−⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
+ + +⎝ ⎠
0=
Coù taâm I
5m 2n n
;
m n m n
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
Vì taâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒
5m 2n 6n 6m 6n
0
m n
− + − −
=
+
⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2
Vaäy phöông trình ñöôøng troøn laø :x2
+ y2
– 24x + 2y + 20 = 0.
2) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa (C1), (C2).
(C1) coù taâm I1(5; 0), baùn kính R1 = 5 ⇒ I1I2 < R1 + R2
(C2) coù taâm I2(−2; 1), baùn kính R2 = 5
Vì (C1), (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm neân coù 2 tieáp tuyeán chung.
Vì x = xo khoâng theå laø tieáp tuyeán chung neân pt tt chung Δ coù daïng :
y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0
Δ tieáp xuùc vôùi (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1 ⇔
2
5a b
5
a 1
⏐ + ⏐
=
+
⇔⏐5a + b⏐ = 2
5 a 1+ (1)
Δ tieáp xuùc vôùi (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔
2
2a 1 b
a 1
⏐− − + ⏐
+
= 5
⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ = 2
5 a (2)1+
(1) vaø (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐
⇔ ⇔
5a b 2a 1 b
5a b 2a 1 b
+ = − − +⎡
⎢ + = + + −⎣
1
a
7
3a 1
b
2
⎡
= −⎢
⎢
− +⎢ =
⎢⎣
Theá a =
1
7
− vaøo (1) ta coù : b1 =
5 25 2
7
+
; b2 =
5 25 2
7
−
Vaäy ta coù 2 tieáp tuyeán laø : x + 7y – 5 + 25 2 = 0
x + 7y – 5 − 25 2 = 0.
Caùch khaùc: Vì R = R2 vaø 2 ñöôøng troøn caét nhau neân 2 tieáp tuyeán chung laø 2 ñöôøng
thaúng song song vôùi Vaäy phöông trình 2 tieáp tuyeán coù daïng :
1
1 2I I ( 7;1)= −
x + 7y+m = 0 (Δ)
d(I1, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ = +2
5 7 1 ⇔ m = – 5 ± 25 2 Vaäy
phöông trình 2 tieáp tuyeán laø x + 7y – 5 ± 25 2 = 0.
5

6. GHI CHUÙ :
Baøi ñöôøng troøn trong chöông trình lôùp 12 bao goàm caùc vaán ñeà chính laø : Tìm phöông
trình ñöôøng troøn; caùc baøi toaùn lieân quan ñeán vò trí töông ñoái giöõañöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn,
giöõa hai ñöôøng troøn; phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn; truïc ñaúng phöông cuûa hai
ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm. Ngoaøi ra coøn coù moät soá caâu hoûi lieân quan ñeán phöông trình x2
+
y2
+ 2Ax + 2By +C = 0 (1). Chaúng haïn tìm ñieàu kieän ñeå (1) laø phöông trình ñöôøng troøn. Töø
phöông trình (1) tìm taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn, tìm tham soá ñeå baùn kính thoaû moät ñieàu
kieän naøo ñoù . . .
Sau ñaây, chuùng toâi chæ ñeà caäp ñeán caùch tìm phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc
vaø vaøi öùng duïng truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm. Ñaây laø vaán ñeá caùc em
thöôøng “ sôï” khi gaëp phaûi.
A/ Caùch tìm phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC :
Tröôùc heát caàn löu yù :
• Taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng phaân giaùc trong .
• Muoán tìm phöông trình ñöôøng troøn ta tìm taâm I (a ; b) vaø baùn kính R. Khi ñoù phöông trình
ñöôøng troøn coù daïng (x – a)2
+ (y – b)2
= R2
.
• Cho k laø soá thöïc khaùc 1, ta coù :
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
=
−
−
=
⇔=
k1
kyy
y
k1
kxx
x
MBkMA
BA
M
BA
M
(I)
1/ Neáu ñeà baøi cho bieát toïa ñoä A, B, C thì :
• Goïi D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A cuûa
tam giaùc ABC.
Ta coù : DC
AC
AB
DB −=
Söû duïng coâng thöùc (I) vôùi k =
AC
AB
− ta xaùc ñònh ñöôïc toïa ñoä ñieåm D.
A
B CD
I
• Goïi I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC thì I chính laø chaân ñöôøng phaân giaùc
trong keû töø B cuûa tam giaùc ABD.
Ta coù : ID
BD
BA
IA −=
Söû duïng coâng thöùc (I) vôùi k =
BD
BA
− laø xaùc ñònh ñöôïc toïa ñoä taâm I.
Coøn baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc chính laø khoaûng caùch töø taâm I ñeán moät
trong 3 caïnh cuûa tam giaùc ABC.
Chuù yù : Neáu moät trong ba ñænh cuûa tam giaùc truøng vôùi goác toïa ñoä vaø hai ñænh coøn laïi
naèm treân hai truïc toïa ñoä thì caùch giaûi ñöôïc thu goïn hôn vì bieát tröôùc ñöôïc 1 ñöôøng phaân giaùc
trong keû töø goác toïa ñoä. Ñöôøng phaân giaùc coøn laïi ñöôïc tìm thoâng qua tìm chaân ñöôøng phaân giaùc
trong nhö ñaõ trình baøy ôû treân.
6

7. 2/ Neáu ñeà baøi cho bieát phöông trình 3 caïnh cuûa tam giaùc ABC thì töø phöông trình 3 caïnh
ñoù, ta tìm ñöôïc toïa ñoä caùc ñieåm A, B, C baèng caùch giaûi heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm vaø
söû duïng caùch giaûi nhö phaàn 1.
Ngoaøi ra coøn coù theå giaûi baèng kieán thöùc mieàn taïo bôûi 1 ñöôøng thaúng vaø khoaûng caùch
ñaïi soá töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng.
B/ Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm :
1/ Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm :
(C1) : x2
+ y2
+ 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1)
(C2) : x2
+ y2
+ 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2)
Truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø taäp hôïp caùc ñieåm coù cuøng phöông tích ñoái vôùi
(C1) vaø (C2) vaø coù phöông trình laø :
2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 0
2/ ÖÙng duïng :
Trong chöông trình Hình hoïc lôùp 10 ta ñaõ bieát caùch döïng truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø
(C2).
• Neáu (C1) vaø (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm A vaø B thì truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø
ñöôøng thaúng AB.
• Neáu (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau (Tieáp xuùc trong hoaëc tieáp xuùc ngoaøi) thì truïc ñaúng
phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) taïi tieáp ñieåm.
• Neáu (C1) vaø (C2) khoâng caét nhau thì veõ theâm ñöôøng troøn (C3) sao cho caét ñöôïc (C1),
(C2) vaø coù taâm khoâng naèm treân ñöôøng noái taâm cuûa (C1), (C2). Goïi M laø giao ñieåm cuûa hai truïc
ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C3), (C2) vaø (C3). Khi ñoù truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø ñöôøng
thaúng qua M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng noái taâm cuûa (C1) vaø (C2).
Baøi toaùn : Cho ñöôøng troøn (C) vaø M laø ñieåm naèm ngoaøi (C). Töø M keû MA vaø MB laø hai tieáp
tuyeán cuûa (C) (A vaø B laø hai tieáp ñieåm). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AB.
Caùch giaûi : Goïi I laø taâm vaø R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C).
Goïi (C’) laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính :
R’ = MA = 22
RIM −
Suy ra (C) vaø (C’) caét nhau taïi A vaø B.
Do ñoù ñöôøng thaúng AB chính laø truïc ñaúng phöông cuûa (C)
vaø (C’).
(C) (C’)A
B
MI
Qua keát quaû treân ta ghi nhôù ngay 2 keát quaû :
• Ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) chính laø truïc ñaúng
phöông cuûa (C1) vaø (C2) [Nghóa laø khoâng caàn tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2)].
• Tieáp tuyeán chung cuûa 2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau taïi tieáp ñieåm chính laø
truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2).
Sau ñaây, löu yù theâm 2 baøi toaùn thöôøng gaëp :
Baøi 1 : Cho (C1) vaø (C2) ôû ngoaøi nhau. Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm M töø ñoù veõ ñöôïc ñeán (C1) vaø
(C2) nhöõng ñoaïn tieáp tuyeán baèng nhau.
Caùch giaûi : Goïi MA vaø MB (nhö hình veõ) laø 2 tieáp tuyeán töø M ñeán (C1) vaø (C2)
Ta coù : MA = MB ⇔ MA2
= MB2
⇔ 1 2/( ) /( )M C M CP P=
Do ñoù quyõ tích M laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2).
•
7
M
• BA •
(C1)
(C2)

8. Baøi 2 : Tìm tieáp ñieåm M cuûa hai ñöôøng troøn tieáp xuùc nhau (C1) vaø (C2)
Goïi I1 vaø I2 laø taâm cuûa (C1) vaø (C2). Tieáp ñieåm M chính
laø giao ñieåm cuûa truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) vôùi
ñöôøng noái taâm I1I2.
(C2)
(C1)
MI1 I2
d
Ví duï (ÑEÀ DÖÏ BÒ KHOÁI B -2005)
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho 2 ñöôøng troøn :
(C1 ): x2
+ y2
vaø (C2 ): x2
+ y2
. Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông d cuûa
2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2). Chöùng minh raèng neáu K thuoäc d thì khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa
(C1) nhoû hôn khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa ( C2 ).
9= 2 2 23x y− − − = 0
Giaûi:
Ñöôøng troøn ( )1C coù taâm ( )O 0 baùn kính R 3,0 1 =
Ñöôøng troøn ( )2C coù taâm ( )I 1 , baùn kính,1 2R 5=
Phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa 2 ñöôøng troøn ( )1C , ( )2C laø
( ) ( )2 2 2 2
x y 9 x y 2x 2y 23+ − − + − − − = 0
x y 7 0⇔ + + = (d)
Goïi ( ) ( )k k k kK x ,y d y x 7∈ ⇔ = − −
( ) ( ) ( )= − + − = + = + − − = + +
2 2 22 2 2 2 2
k k k k k k k kOK x 0 y 0 x y x x 7 2x 14x 49
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2
k k k k k kIK x 1 y 1 x 1 x 8 2x 14x 6= − + − = − + − − = + + 5
Ta xeùt ( ) ( )2 2 2 2
k k k kIK OK 2x 14x 65 2x 14x 49 16 0− = + + − + + = >
K OK IK OK(ñpcm)> ⇔ >Vaäy I 2 2
* * *
8