BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số (1).4
2 4y x x= − 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của phương trình,m 2 2
| 2 |x x m− = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 3
sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin ).x x x x x x+ + = +
2. Giải hệ phương trình 2 2 2
1 7
( , ).
1 13
xy x y
x y
x y xy y
+ + =⎧
∈⎨
+ + =⎩
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
3
2
1
3 ln
.
( 1)
x
I d
x
+
=
+∫ x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có ' ,BB a= góc giữa đường thẳng 'BB và mặt phẳng bằng
tam giác
(ABC)
60 ; ABC vuông tại vàC BAC = 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm 'B lên mặt phẳng ( )ABC
trùng với trọng tâm của tam giác .ABC Tính thể tích khối tứ diện 'A ABC theo .a
Câu V (1,0 điểm)
Cho các số thực ,x y thay đổi và thoả mãn ( )3
4 2.x y xy+ ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức+
4 4 2 2 2 2
3( ) 2( ) 1A x y x y x y= + + − + + .
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn,Oxy 2 2 4
( ): ( 2)
5
C x y− + = và hai đường thẳng 1 : 0x y ,Δ − =
Xác định toạ độ tâm2 : 7 0x yΔ − = . K và tính bán kính của đường tròn ( biết đường tròn tiếp xúc
với các đường thẳng và tâm
1);C 1( )C
1 2,Δ Δ K thuộc đường tròn ( ).C
2. Trong không gian với hệ toạ độ cho tứ diện,Oxyz ABCD có các đỉnh và
Viết phương trình mặt phẳng đi qua sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng
cách từ đến (
(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1)A B C− −
(0;3;1).D ( )P ,A B C ( )P
D ).P
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm số phức thoả mãn:z (2 ) 10z i− + = và . 25.z z =
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giác,Oxy ABC cân tại A có đỉnh và các đỉnh( 1;4)A − ,B C thuộc
đường thẳng Xác định toạ độ các điểm: 4x yΔ − − = 0. B và biết diện tích tam giác,C ABC bằng 18.
2. Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng,Oxyz ( ): 2 2 5 0P x y z− + − = và hai điểm ( 3;0;1),A −
Trong các đường thẳng đi qua(1; 1;3).B − A và song song với hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ
( ),P
B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Tìm các giá trị của tham số để đường thẳngm y x m= − + cắt đồ thị hàm số
2
1x
y
x
−
= tại hai điểm phân biệt
sao cho,A B 4.AB =
---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn thi: TOÁN; Khối: B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Khảo sát…
• Tập xác định: .D =
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: hoặc3
' 8 8 ;y x x= − ' 0y = ⇔ 0x = 1.x = ±
Hàm số nghịch biến trên: và đồng biến trên: và (1( ; 1)−∞ − (0;1); ( 1;0)− ; ).+ ∞
0,25
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại đạt cực đại tại y1, 2;CTx y= ± = − 0,x = CĐ 0.=
- Giới hạn: lim lim .
x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞ 0,25
- Bảng biến thiên:
Trang 1/4
0,25
• Đồ thị:
0,25
2. (1,0 điểm) Tìm ...m
2 2
2x x m− = ⇔ 4 2
2 4 2 .x x m− = 0,25
Phương trình có đúng nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị
hàm số
6 2y m=
4 2
2 4y x x= − tại điểm phân biệt.6
0,25
Đồ thị hàm số 4 2
2 4y x x= −
và đường thẳng .2y m=
0,25
I
(2,0 điểm)
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thoả mãn khi và chỉ khi: 0 2 2m< < ⇔ 0 1m< <
x −∞ 1− 0 1 +∞
+
+∞
x
y' − 0 + 0 − 0
y
+∞
2− 2−
0
O
y
2−
2−
1− 1
16
2
y
O x
2
21− 1
16
2−
2y m=
. 0,25

Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
Phương trình đã cho tương đương: 2
(1 2sin )sin cos sin 2 3cos3 2cos4x x x x x− + + =
II
x
⇔ sin cos2 cos sin 2 3cos3 2cos4x x x x x+ + = x
0,25
⇔ sin3 3cos3 2cos4x x x+ = ⇔ cos 3 cos4 .
6
x x
π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
⇔ 4 3 2
6
x x k
π
π= − + hoặc 4 3 2
6
x x k
π
π= − + + . 0,25
Vậy: 2
6
x k
π
π= − + hoặc
2
( )
42 7
x k k
π π
= + ∈ . 0,25
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…
Hệ đã cho tương đương:
2
2
1
7
1
13
x
x
y y
x
x
y y
⎧
+ + =⎪
⎪
⎨
⎪ + + =
⎪⎩
(do không thoả mãn hệ đã cho)0y = 0,25
⇔ 2
1
7
1
13
x
x
y y
x
x
y y
⎧⎛ ⎞
+ + =⎪⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪
⎨
⎛ ⎞⎪
+ − =⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎩
⇔
2
1 1
20 0
1
7
x x
y y
x
x
y y
⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎪ + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎨
⎛ ⎞⎪
= − +⎜ ⎟⎪
⎝ ⎠⎩
0,25
⇔
1
5
12
x
y
x y
⎧
+ = −⎪
⎨
⎪ =⎩
(I) hoặc
1
4
3
x
y
x y
⎧
+ =⎪
⎨
⎪ =⎩
(II). 0,25
(2,0 điểm)
(I) vô nghiệm; (II) có nghiệm:
1
( ; ) 1;
3
x y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
và ( ; ) (3;1).x y =
Vậy:
1
( ; hoặc ( ;) 1;
3
x y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
) (3;1).x y =
0,25
Tính tích phân…
3 ln ,u x= + 2
;
( 1)
dx
dv
x
=
+
1
,du dx
x
=
1
.
1
v
x
= −
+
0,25
I
3 3
1 1
3 ln
1 ( 1)
x dx
x x x
+
= − +
+ +∫ 0,25
3 3
1 1
3 ln3 3 1
4 2
dx
dx
1x x
+
= − + + −
+∫ ∫ 0,25
III
(1,0 điểm)
3 3
1 1
3 ln3 1 27
ln ln 1 3 ln .
4 4
x x
− ⎛ ⎞
= + − + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠16
0,25
Tính thể tích khối chóp…
Gọi D là trung điểm và là trọng tâm tam giácAC G ABC
ta có ' ( )B G ABC⊥ ⇒ 'B BG = 60
⇒
3
' ' .sin '
2
a
B G B B B BG= = và
2
a
BG = ⇒
3
.
4
a
BD =
Tam giác có:ABC
3
,
2 2
AB AB
BC AC= = ⇒ .
4
AB
CD =
0,50
IV
(1,0 điểm)
2 2 2
B A
BC CD BD+ = ⇒
2 2 2
6
3 9
4 16 1
AB AB a
+ = ⇒
3 13
,
13
a
AB =
3 13
;
26
a
AC =
2
9 3
.
104
ABC
a
SΔ = 0,25
'
B
C
'
G
C'
A
D

Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
Thể tích khối tứ diện ' :A ABC ' '
1
' .
3
A ABC B ABC ABCV V B G SΔ= =
3
9
.
208
a
= 0,25
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức…
Kết hợp với3
( ) 4x y xy+ + ≥ 2 2
( ) 4x y x+ ≥ y suy ra: ⇒3 2
( ) ( ) 2x y x y+ + + ≥ 1.x y+ ≥ 0,25
A 4 4 2 2 2 2
3( ) 2( ) 1x y x y x y= + + − + + = ( )
22 2 4 4 2 23 3
( ) 2( )
2 2
x y x y x y+ + + − + +1
0,25
≥ ( ) ( )
2 22 2 2 2 2 23 3
2( ) 1
2 4
x y x y x y+ + + − + + ⇒ ( ) ( )
22 2 2 29
2 1
4
A x y x y≥ + − + + .
Đặt , ta có2
t x y= + 2
2
2 2 ( ) 1
2 2
x y
x y
+
+ ≥ ≥ ⇒
1
;
2
t ≥ do đó 29
2 1
4
A t t≥ − + .
Xét 29
( ) 2 1;
4
f t t t= − +
9
'( ) 2 0
2
f t t= − > với mọi
1
2
t ≥ ⇒
1
;
2
1 9
min ( ) .
2 16
f t f
⎡ ⎞
+∞⎟⎢
⎣ ⎠
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
V
(1,0 điểm)
9
;
16
A ≥ đẳng thức xảy ra khi
1
.
2
x y= = Vậy, giá trị nhỏ nhất của bằngA
9
.
16
0,25
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm ...K
Gọi ⇔( ; );K a b ( )K C∈ 2 2 4
( 2)
5
a b− + = (1); tiếp xúc1( )C 1,Δ 2Δ ⇔
VI.a
7
2 5 2
a b a b− −
= (2). 0,25
(1) và (2), cho ta:
2 2
5( 2) 5 4
5 7
a b
a b a b
⎧ − + =⎪
⎨
− = −⎪⎩
(I) hoặc (II).⇔
2 2
5( 2) 5 4
5( ) 7
a b
a b a b
⎧ − + =
⎨
− = −⎩
2 2
5( 2) 5 4
5( ) 7
a b
a b b a
⎧ − + =
⎨
− = −⎩
0,25
(2,0 điểm)
(I) vô nghiệm; (II)⇔
2
25 20 16 0
2
a a
b a
⎧ − + =
⎨
= −⎩
⇔ 2
2 8 4
( ; ) ; .
5 525 40 16 0
a b
a b
b b
=⎧ ⎛ ⎞
⇔ =⎨ ⎜ ⎟
− + = ⎝ ⎠⎩
0,25
Bán kính 1( ):C
2 2
.
52
a b
R
−
= = Vậy:
8 4
;
5 5
K
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
và
2 2
.
5
R = 0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( )...P
Mặt phẳng ( )P thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: ( )P qua ,A B và song song với .CD 0,25
Vectơ pháp tuyến của ( ):P , .n AB CD⎡ ⎤= ⎣ ⎦
( 3; 1;2),AB = − − ( 2;4;0)CD = − ⇒ ( 8; 4; 14).n = − − − Phương trình ( )P : 4 2 7 15 0.x y z+ + − = 0,25
Trường hợp 2: ( )P qua ,A B và cắt Suy ra.CD ( )P cắt CD tại trung điểm của
vectơ pháp tuyến của
I .CD
(1;1;1) (0; 1;0);I AI⇒ = − ( ):P , (2;0;3).n A= B AI⎡ ⎤ =⎣ ⎦
0,25
Phương trình ( ): 2 3 5 0.P x z+ − =
Vậy ( ) hoặc: 4 2 7 15 0P x y z+ + − = ( ): 2 3 5 0.P x z+ − =
0,25
Tìm số phức ...z
Gọi ;z x yi= + (2 ) ( 2) ( 1) ;z i x y i
VII.a
2 2
(2 ) 10 ( 2) ( 1) 10z i x y− + = ⇔ − + − =− + = − + − (1). 0,25
2 2
. 25 25z z x y= ⇔ + = (2). 0,25
(1,0 điểm)
Giải hệ (1) và (2) ta được: hoặc ( ; Vậy: hoặc( ; ) (3;4)x y = ) (5;0).x y = 3 4z i= + 5.z = 0,50

Trang 4/4
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ các điểm , ...B C
Gọi là hình chiếu của trên suy ra là trung điểmH A ,Δ H .BC
9
( , ) ;
2
AH d A BC= =
2
4 2.ABCS
BC
AH
Δ
= =
VI.b
2
2 97
.
4 2
BC
AB AC AH= = + =
0,25
Toạ độ B và C là nghiệm của hệ:
( ) ( )
2 2 97
1 4
2
4 0.
x y
x y
⎧
+ + − =⎪
⎨
⎪ − − =⎩
0,25
Giải hệ ta được:
11 3
( ; ) ;
2 2
x y
⎛
= ⎜
⎝ ⎠
⎞
⎟ hoặc
3 5
( ; ) ; .
2 2
x y
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
Vậy
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
⎛ ⎞ ⎛
−⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
hoặc
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
⎛ ⎞ ⎛
−⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
.
⎞
⎟
⎠
0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
Gọi là đường thẳng cần tìm; nằm trong mặt phẳng
qua và song song với
Δ Δ
( )Q A ( ).P
Phương trình ( ): 2 2 1 0.Q x y z− + + =
0,25
,K là hình chiếu củaH B trên Ta có,Δ ( ).Q BK BH≥ nên là đường thẳng cần tìm.AH 0,25
Toạ độ thoả mãn:( ; ; )H x y z=
1 1 3
1 2 2
2 2 1 0
x y z
x y z
− + −⎧
= =⎪
−⎨
⎪ − + + =⎩
⇒
1 11 7
; ; .
9 9 9
H
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
(2,0 điểm)
26 11 2
; ; .
9 9 9
AH
⎛
= −⎜
⎝ ⎠
HB C
A
Δ
B
⎞
⎟ Vậy, phương trình
3 1
: .
26 11 2
x y z+ −
Δ = =
−
0,25
Tìm các giá trị của tham số ...m
Toạ độ ,A B thoả mãn:
2
1x
x m
x
y x m
⎧ −
= − +⎪
⎨
⎪ = − +⎩
⇔
2
2 1 0, ( 0)
.
x mx x
y x m
⎧ − − = ≠
⎨
= − +⎩
(1)
0,25
Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2,x x khác 0 với mọi .m
Gọi ta có: .1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2( )AB x x y y x x= − + − = −
0,25
Áp dụng định lí Viet đối với (1), ta được:
2
2 2
1 2 1 22 ( ) 4 4.
2
m
AB x x x x⎡ ⎤= + − = +⎣ ⎦ 0,25
VII.b
(1,0 điểm)
2
4 4 16 2
2
m
AB m= ⇔ + = ⇔ = ± 6. 0,25
-------------Hết-------------
Q
K
A H