Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một số kết quả về nghiệm của phương trình Cauchy-Riemann, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Tiến Đạt
VÀI KẾT QUẢ VỀ NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Tiến Đạt
VÀI KẾT QUẢ VỀ NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3. LỜI CÁM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Đông – giảng
viên trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Chính thầy đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để tôi hoàn thành bản luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán- Tin đã giảng dạy và tạo
điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu. Tôi cũng xin
chân thành cảm ơn các cán bộ thuộc các phòng ban chức năng trường Đại Học
Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ
rất nhiều trong thời gian tôi nghiên cứu luận văn. Đặc biệt chính gia đình cùng
với cô Lê Hồng Thúy Vũ đã là niềm động viên, an ủi rất lớn để tôi hoàn thành
bản luận văn này.
TP.HCM, ngày 18 tháng 9 năm 2012
Tác giả

4. MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Mục lục
Danh sách các ký hiệu
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................1
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................3
1.1. Toán tử vi phân...................................................................................................3
1.2. Tích chập và hàm suy rộng.................................................................................5
1.3. Miền chỉnh hình, miền giả lồi và tính đa điều hòa dưới.....................................7
Chương 2 : TOÁN TỬ ∂ TRÊN KHÔNG GIAN
2
( , ) ( , )p qL φΩ ..........................13
2.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert ..............................13
2.2. Toán tử ∂ trên không gian 2
( , ) ( , )p qL φΩ ..........................................................19
Chương 3 :
2
L - ĐÁNH GIÁ VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ ...........27
3.1. Các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình ∂ trên miền giả lồi ................27
3.2. Định lý về tính chính quy của nghiệm phương trình ∂ ...................................34
3.3. Giải bài toán Lêvi .............................................................................................38
3.4. Định lý xấp xỉ ...................................................................................................41
3.5. Mở rộng miền Ω của toán tử ∂ lên toàn bộ không gian ( n
Ω ⊆  ).................44
KẾT LUẬN................................................................................................................51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................53

5. DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU
jz
∂
∂
,
jz
∂
∂
: xem trang 5
d : kí hiệu dạng vi phân ngoài (trang 6).
∧ : kí hiệu tích ngoài (trang 7).
∂ và ∂ : những thành phần của d tương ứng thuộc dạng (1,0) và (0,1) (xem trang
5).
I (hoặc J hoặc K): kí hiệu các đa chỉ số, nghĩa là một dãy 1 2( , ,..., )pi i i các số nguyên
tăng ngặt nằm giữa 1 và n, n là số chiều của không đang xét. Ta viết I p= , '
I∑
được hiểu là tổng của các phần tử mà chỉ số của nó thỏa 1 2 ... pi i i< < < . (xem trang
7, 24)
I
dz (hoặc
J
d z ): kí hiệu cho 1
1
... ... q
p
j ji idz dz d z d z∧ ∧ ∧ ∧ (xem trang 7, 24)
( )k
C Ω (0 ,k k≤ ≤ ∞ ∈ ) : không gian các hàm giá trị phức có đạo hàm liên tục
cấp k trên Ω .
( )k
oC ω : trong đó ω là một tập con của Ω , là không gian các hàm thuộc ( )k
C Ω và
triệt tiêu bên ngoài một tập con compact của ω .
supp f : kí hiệu giá của f, là bao đóng nhỏ nhất của tập hợp mà bên ngoài tập đó f
triệt tiêu.
( , )p qF : trong đó F là không gian các hàm bất kì, là kí hiệu không gian các dạng
thuộc loại (p,q) với các hệ số thuộc vào F (xem trang 8, 9).
2
( , )L φΩ : không gian các hàm khả tích bình phương trên Ω theo độ đo e dφ
λ−
nghĩa là
2 2
u u e dφ
φ
λ−
= < ∞∫
( )A Ω : tập tất cả các hàm giải tích trên Ω .
∂Ω : biên của tập Ω .
KΩ : kí hiệu trang 11.

6. c
K : phần bù của tập K.
K ⊂⊂ Ω : nghĩa là K có quan hệ compact trong Ω , tức là K chứa trong một con
compact của tập Ω .
( )P Ω : tập tất cả các hàm điều hòa dưới xác định trên Ω (trang 13).
P
KΩ : xem trang 13.
2
( ,loc)L Ω : không gian các hàm xác định trên Ω mà bình phương khả tích địa
phương theo độ đo Lebesgue (xem trang 24).
( , ) ( )p qD Ω : tập các hàm (p,q)-dạng có các hệ số thuộc ( )oC∞
Ω (trang 24).
TD , TKer , TR : lần lượt là miền xác định, nhân và ảnh của toán tử tuyến tính T.
*T : toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính xác định trù mật T (xem trang 17, 18,
19).
( )s
W Ω : với s là số nguyên không âm, là không gian các hàm xác định trên
n
Ω ⊂  có đạo hàm bậc nhỏ hơn hoặc bằng s thuộc 2
L (xem trang 40).
( , )s
W locΩ là tập hợp các hàm xác định trên n
Ω ⊂  có đạo hàm bậc nhỏ hơn hoặc
bằng s thuộc 2
L trên các tập con compact của Ω (xem trang 40).

7. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các định lý tồn tại nghiệm đối với phương trình Cauchy-Rieman trên miền chỉnh
hình được đưa ra trước tiên bởi Oka (1937). Ông cũng đã chứng minh được một
định lý xấp xỉ đối với các hàm chỉnh hình trong một lân cận của một tập con
compact lồi chỉnh hình. Mối liên hệ giữa miền giả lồi và miền chỉnh hình được tìm
ra sau đó bởi Oka (1953), Bremermann (1954) và Norguet (1954). Đây là một phát
hiện quan trọng giúp hình thành các phương pháp giải bài toán Cauchy thứ nhất (bài
toán giải các phương trình Cauchy Riemann) trực tiếp trên miền giả lồi, được đánh
giá là dễ hơn so với trên miền chỉnh hình. Các phương pháp tương tự phương pháp
này được đưa ra đầu tiên bởi Garabedian và Spencer (1952) giống như sự phân tích
Hodge-de Rham-Kodaira các dạng trên các đa tạp Riemann. Các đánh giá cơ bản
đầu tiên được đưa ra bởi Morrey (1958) về các (0,1)- dạng và bởi Kohn (1963) cho
trường hợp tổng quát. Kohn (1964) đồng thời cũng chứng minh một số định lý mà
đòi hỏi tính chính quy trên biên. Kỹ thuật sử dụng các hàm trọng bổ sung vào 2
L -
chuẩn để nghiên cứu phương trình Cauchy-Riemann được đưa ra đầu tiên bởi
Hormander (1965), Andreotti và Vesentini (1965) giúp ngăn chặn những khó khăn
của yêu cầu đòi hỏi trên biên và đưa ra các kết quả sâu sắc hơn… Tôi chọn đề tài
nhằm tìm hiểu sâu hơn về giải tích phức nhiều biến và việc sử dụng một số kết quả
của nó trong việc giải bài toán Cauchy – Riemann.
2. Mục đích nghiên cứu
Nội dung chính của luận văn này là trình bày lại một số kết quả về nghiệm của
phương trình Cauchy-Riemann (còn được gọi là phương trình ∂) theo kỹ thuật 2
L -
đánh giá của Hormander, đặc biệt là các kết quả về sự tồn tại và xấp xỉ nghiệm.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán Cauchy – Riemann không thuần nhất, không gian Hilbert 2
( , ) ( , )p qL φΩ , lý
thuyết toán tử vi phân, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi.

8. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn là một tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tiếp cận
nghiên cứu bài toán Cauchy – Riemann theo phương pháp L2
– đánh giá của
Hormander.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2 Trình bày về toán tử ∂ trên không gian 2
( , ) ( , )p qL φΩ
Chương 3 Trình bày về kỹ thuật 2
L - đánh giá cùng với các định lý về sự tồn tại
nghiệm và xấp xỉ nghiệm của phương trình ∂

9. Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Toán tử vi phân
Cho u là một hàm giá trị phức thuộc lớp 1
( )C Ω trong đó Ω là tập mở trong n
 ,
cũng có thể đồng nhất n
 như 2n
 . Ta sẽ kí hiệu hệ tọa độ thực là ,1 2jx j n≤ ≤ , và
hệ tọa độ phức 2 1 2 ,1j j jz x x j n−= + ≤ ≤ . Ta có thể mô tả du như là một tổ hợp tuyến
tính của các dạng vi phân jdz và jd z như sau:
1 1
n n
jj
jj jj
u u
du dz d z
z z= =
∂ ∂
= +
∂ ∂
∑ ∑ (1.1.1)
trong đó:
2 1 2
1
2j j j
u u u
i
z x x−
 ∂ ∂ ∂
= −  ∂ ∂ ∂ 
,
2 1 2
1
2j j j
u u u
i
x xz −
 ∂ ∂ ∂
= +  ∂ ∂∂  
Với kí hiệu
1 1
,
n n
jj
jj jj
u u
u dz u d z
z z= =
∂ ∂
∂= ∂=
∂ ∂
∑ ∑
Ta có thể viết (1.1.1) như sau:
du u u= ∂ + ∂
Dạng vi phân mà là tổ hợp tuyến tính của các dạng vi phân jdz gọi là dạng (1,0), và
dạng vi phân mà là tổ hợp tuyến tính của các dạng vi phân jd z được gọi là dạng
(0,1). Vì vậy u∂ (tương ứng u∂ ) là thành phần của du thuộc loại (1,0) (tương ứng
(0,1)).
Định nghĩa 1.1.1 Một hàm 1
( )u C∈ Ω được gọi là giải tích (hoặc chỉnh hình) trong
Ω nếu du là thuộc loại (1,0), nghĩa là nếu 0u∂ = (phương trình Cauchy -
Riemann).
Tập hợp tất cả các hàm giải tích trong Ω được kí hiệu là ( )A Ω . Toán tử vi phân ∂
và ∂ là tuyến tính và ( )A Ω là một vành.

10. Bây giờ lấy ( )u A∈ Ω , nhận giá trị phức trong v
 nghĩa là 1 2( , ,..., )vu u u u= mà mỗi
thành phần ju là hàm giải tích trong Ω . Nếu 1
( )v C ω∈ với ω là một tập mở nào
đó chứa miền giá trị của u, thì với z ∈Ω hàm( )( ) ( ( ))v u z v u z= thuộc lớp 1
( )C ω
và ta có
1 1
( )
v v
jj
jj jj
v v
d v u du du
u u= =
∂ ∂
= +
∂ ∂
∑ ∑
Bởi vì jdu thuộc loại (1,0) và jdu thuộc loại (0,1) trong Ω nên suy ra :
( )
1
v
j
j j
v
v u du
u=
∂
∂ =
∂
∑ , ( )
1
v
j
jj
v
v u du
u=
∂
∂ =
∂
∑
Do đó v u giải tích nếu v giải tích. Tổng quát, việc phân tích d cũng giống như là
∂ + ∂ và khái niệm hàm giải tích thì bất biến qua các ánh xạ giải tích.
Cuối cùng ta sẽ mở rộng định nghĩa của toán tử ∂ và ∂ thành một dạng vi phân bất
kì. Một dạng vi phân f được gọi là thuộc loại (p,q) nếu nó được viết dưới dạng
,
JI
I J
I p J q
f f dz d z
= =
= ∧∑ ∑
trong đó 1( ,..., )pI i i= và 1( ,..., )qJ j j= là các đa chỉ số, nghĩa là dãy các chỉ số nằm
giữa 1 và n. Ở đây chúng ta đã dùng kí hiệu
1
1
... ... q
p
JI
j ji idz d z dz dz d z d z∧ = ∧ ∧ ∧ ∧
Mỗi dạng vi phân có thể được viết một cách duy nhất như là tổng của dạng loại
(p,q): 0 ,p q n≤ ≤ . Nếu f thuộc loại (p,q) thì dạng vi phân ngoài của nó là
,
JI
I Jdf df dz d z= ∧ ∧∑
Có thể viết dưới dạng df f f= ∂ + ∂ trong đó:
,
,
JI
I J
I J
f f dz d z∂ = ∂ ∧ ∧∑ , ,
,
JI
I J
I J
f f dz d z∂ = ∂ ∧ ∧∑
lần lượt là các dạng thuộc loại (p+1,q) và (p,q+1).
Vì ( )
22 2
0 d f f f f= = ∂ + ∂∂ + ∂∂ + ∂ và tất cả các số hạng của tổng trên là khác

11. nhau nên ta thu được:
22
0, 0, 0∂ = ∂∂ + ∂∂ = ∂ =
Do đó phương trình
u f∂ = (1.1.2)
trong đó f thuộc loại (p,q+1) không thể có nghiệm u trừ khi 0f∂ =.
Điều đó chỉ ra rằng nếu ta quan tâm đến phương trình Cauchy – Riemann (1.1.2) với
ẩn là hàm u, thì một cách tự nhiên ta sẽ phải nghiên cứu toán tử ∂ cho dạng thuộc
loại (0,1), và do đó các dạng thuộc loại (0,2),…
Nếu u là một ánh xạ chỉnh hình xác định trên miền n
Ω ⊂  vào trong v
 và nếu
,
JI
I Jf f du du= ∧∑
là một dạng xác định trong một lân cận thuộc miền giá trị của u, ta có thể xác định
một dạng f u trong Ω như sau
, ( ( ))
JI
I Jf u f u z du du= ∧∑
trong đó kdu và kdu với 1,...,k v= lần lượt là những dạng vi phân trên Ω tương
ứng thuộc loại (1,0) và (0,1) bởi ku là hàm giải tích. Do đó f u thuộc loại (p,q)
nếu f thuộc loại (p,q) và bởi ( ) ( )d f u df u=  nên ta thu được
( ) ( )f u f u∂ =∂  , ( ) ( )f u f u∂ =∂ 
Nếu F là không gian các hàm thì ta sẽ dùng kí hiệu ( , )F p q là không gian các dạng
thuộc loại (p,q) với các hệ số thuộc vào F.
1.2. Tích chập và hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.1 Ta kí hiệu: : N
χ →  là hàm được xác định như sau:
2
1
1
1
( )
0 1
x
C x
z e
x
χ −

≤
= 
 >
, neáu
, neáu
trong đó C là hằng số sao cho ( ) 1
N
x dxχ =∫

. Với mỗi 0ε > ta đặt

12. ( ) ( )N x
xεχ ε χ
ε
−
= (1.2.1)
thì hàm εχ có các tính chất:
i) ( )N
oCεχ ∞
∈  , supp (0, )Bεχ ε⊆ và ( ) 0xεχ > với mọi N
x∈ .
ii) εχ là hàm chỉ phụ thuộc vào x và ( ) 1
n
x dxεχ =∫

.
Với mỗi hàm 2
( , )N
f L loc∈  và 0 ( , )d xε< < ∂Ω đặt
( ) ( )( ) ( ) ( )
N
f x f x f y x y dyε ε εχ χ=∗ = −∫

Phép toán “∗” được gọi là tích chập. Đồng thời ta cũng nhận xét rằng tích chập có
tính chất giao hoán và
supp supp suppu v u v∗ ⊂ +
Định lý 1.2.2 Cho 2
( , )N
f L loc∈  . Khi đó ta có các kết luận sau:
1) ( )N
f Cε
∞
∈ 
2) Nếu supp N
f K= ⊂⊂  thì ( )N
of Cε
∞
∈  , { }supp | ( , )N
f K x d x Kε ε ε⊂ = ∈ ≤
3) Nếu ( )N
f C∈  thì
0
lim ( ) ( )f x f xε
ε →
= đều trên N
K ⊂⊂ 
4) Nếu 2
( )N
f L∈  thì 2
( )N
f Lε ∈  và
2
L
f fε → khi 0ε +
→
Chứng minh
1) Khẳng định được chứng minh từ đẳng thức sau :
( ) ( ) ( ) ( )
N N
x xD f y x y dy f y D x y dyα α
ε εχ χ
 
−= −  
 
∫ ∫
 
2) Do supp N
f K= ⊂⊂  nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N K
f x f y x y dy f y x y dyε ε εχ χ= − = −∫ ∫

Khi đó với mỗi x Kε∉ , nghĩa là ( , )d x K ε> hay x y ε− > với mọi y K∈ . Mà
supp (0, )Bεχ ε⊆ nên ( ) 0x yεχ − =với mọi y K∈ . Do đó ( ) 0f xε = khi x Kε∉
hay supp f Kε ε⊂ .

13. 3) Với N
x K∈ ⊂⊂  và
1
0 ( , )
2
d Kε< < ∂Ω , ta có
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N
f x f x f x y y f x y dy f x y f x y dyε ε ε εε χ χ ε χ− = − − = − −∫ ∫
 
Mà ( )N
f C∈  có f liên tục đều trên từng tập compact N
K ⊂  . Khi đó:
0, 0: , (0,1) ( ) ( )o oy B f x f x yε δ ε δ ε ε∀ > ∃ > ∀ < ∀ ∈ ⇒ − − < với mọi x K∈
Suy ra: ( ) ( ) ( )
N
o of x f x y dyε εε χ ε− < =∫

với mọi x K∈ .
Do đó:
0
lim ( ) ( )f x f xε
ε →
= đều trên K.
4) Từ bất đẳng thức Minkowski’s cho tích chập ta có
22 o LL
f C fε ≤
trong đó: ( )
N
oC x dxεχ= ∫

. Suy ra 2
( )n
f Lε ∈  .
Áp dụng 3) ta có f fε → đều nếu ( )N
of C∞
∈  . Mà ( )N
oC∞
 là tập trù mật trong
2
( )N
L  nên từ đó suy ra f fε → trong 2
( )N
L  với mọi 2
( )N
f L∈  . ■
1.3. Miền chỉnh hình, miền giả lồi và tính đa điều hòa dưới
Chứng minh chi tiết của các kết quả được bỏ qua trong mục này có thể được tham
khảo trong [7].
Định nghĩa 1.3.1 Một hàm ( )f A∈ Ω được gọi là không thể mở rộng qua ∂Ω tại
0z ∈∂Ω khi với mọi lân cận 0zB của 0z không tồn tại hàm ( )0zf A B∈ mà hạn chế
của nó trên một thành phần liên thông mở nào đó của 0
.zB Ω bằng f . Khi đó ta
còn nói f không có mở rộng f tại 0.z
Một miền n
Ω ⊂  được gọi là miền chỉnh hình nếu với mọi điểm biên 0z ∈∂Ω mà
tại đó tồn tại ( )0zf A∈ Ω không thể mở rộng qua ∂Ω tại 0z .
Định nghĩa 1.3.2. Nếu K là tập con compact của Ω thì ta định nghĩa Ω - bao
chỉnh hình ( hay ( )A Ω -bao) của K là  ( ){ }: sup f ( )
K
K z f z f AΩ= ∈Ω ≤ ∀ ∈ Ω .

14. Định nghĩa 1.3.3 Ta gọi hàm khoảng cách xác định trên n
 là hàm liên tục không
âm
: [0, )n
δ → ∞ sao cho
i) ( ) 0zδ = khi và chỉ khi 0z =
ii) ( ) ( )z zδ λ λ δ= với mọi n
z ∈
Định lý 1.3.4 Cho Ω là miền chỉnh hình. Nếu ( )f A∈ Ω và
( ) ( ),f z z z KδΩ≤ ∈ ,
với K là tập con compact của Ω , thì
( ) ( ),f z z z Kδ ΩΩ≤ ∈
Đặc biệt, khi f là hàm hằng ta có : , ,
inf ( ) inf ( )n n
z K w z K w
z w z wδ δ
Ω∈ ∈ Ω ∈ ∈ Ω
−= −
 
Định nghĩa 1.3.5 Một hàm γ xác định trên một tập mở n
Ω ⊂  nhận giá trị trong
[ ,+ )− ∞ ∞ được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu
i) γ là nửa liên tục trên
ii) Với bất kì , n
z w∈ , hàm ( )z wτ γ τ→ + là hàm điều hòa dưới trong
{ }: z wτ τ∈ + ∈Ω
Mệnh đề 1.3.6 Một hàm 2
( )u C∈ Ω là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu biểu
diễn dạng Lêvi của nó không âm, nghĩa là:
2
, 1
( )
0
n
j k
j k j k
u z
w w
z z=
∂
≥
∂ ∂
∑ với mọi z ∈Ω và n
w∈
Một hàm đa điều hòa dưới 2
( )u C∈ Ω được gọi là ngặt nếu
2
, 1
( )
0
n
j k
j k j k
u z
w w
z z=
∂
>
∂ ∂
∑ với
mọi z ∈Ω và 0 n
w≠ ∈ .
Cho Ω là tập mở trong n
 , δ là hàm khoảng cách, ta định nghĩa hàm δ -khoảng
cách
đến biên của Ω như sau :
( ) inf ( )n
w
z z wδ δΩ
∈ Ω
= −

. Ta có δΩ là hàm liên tục theo z.
Định nghĩa 1.3.7 Miền Ω là được gọi là miền giả lồi nếu log ( )zδΩ− là hàm đa

15. điều hòa dưới trên Ω .
Nhận xét: Bằng cách đặt
2
( ) logz zψ δΩ=− + thì ψ sẽ là hàm vét kiệt đa điều hòa
dưới trên Ω nghĩa là với mỗi c∈ thì tập {z : (z)<c}cK ψ= ∈Ω ⊂⊂ Ω. Rõ ràng
nếu 1 2c c< thì 1 2c cK K⊆ . Như vậy miền Ω có thể được vét kiệt thành dãy các tập
jK ( *
j ∈ ) thỏa mãn: 1 2 ...K K⊂⊂ ⊂⊂ ⊂⊂ Ω và jj
K = Ω .
Gọi ( )P Ω là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới xác định trên Ω .
Định nghĩa 1.3.8 Nếu K là tập con compact của Ω thì ta định nghĩa ( )P Ω -bao
của K là
 ( ) {z : u(z) supu u P( )}P
K
K Ω= ∈Ω ≤ ∀ ∈ Ω
Định lý 1.3.9 Cho Ω là tập mở giả lồi trong n
 , K là tập con compact của Ω và
ω là một lân cận mở của  ( )PK Ω . Khi đó tồn tại một hàm ( )u C∞
∈ Ω sao cho
a) u là hàm đa điều hòa dưới ngặt
b) u < 0 trong K nhưng u > 0 trong ( )n
ωΩ ∩ 
c) { }| ( )x u x c∈Ω < ⊂⊂ Ωvới mọi c∈
Hàm u trong định lý được gọi là hàm vét kiệt đa điều hòa dưới ngặt.
Bổ đề 1.3.10 Cho n
Ω ⊂  là miền giả lồi và µ là hàm giá trị thực, bị chặn địa
phương trên Ω . Khi đó sẽ tồn tại hàm ψ là đa điều hòa dưới thuộc lớp C∞
xác
định trên Ω sao cho ψ µ≥ .
Chứng minh chi tiết xem trong [6].
Định lý 1.3.11 Giả sử n
Ω ⊆  là miền giả lồi, có thể vét kiệt được. Khi đó sẽ tồn
tại một dãy các tập con compact jK ( *
j ∈ ) thỏa mãn: 1 2 ...K K⊂⊂ ⊂⊂ ⊂⊂ Ω và
jj
K = Ω . Đồng thời cũng tồn tại dãy ( ) ( )j oj
Cη ∞
∈ Ω thỏa mãn 1jη = trên jK ,
1supp j jKη +⊆ , 0 1jη≤ ≤ với 1,2,...j = và một hàm ( )Cψ ∞
∈ Ω sao cho
2
1
n
j
kk
e
z
ψη
=
∂
≤
∂
∑ với mọi 1,2,...j =

16. Chứng minh
Sử dụng tính vét kiệt được của Ω ta sẽ xây dựng các tập compact jK ( *
j ∈ ) cùng
dãy ( ) ( )j oj
Cη ∞
∈ Ω thỏa tính chất như được mô tả trong định lý như sau.
Đặt
1
: ( ) ,jK z z z j
j
δΩ
 
= ∈Ω > ≤ 
 
với 1,2,...j = . Ta lấy hàm εχ như trong định
nghĩa 1.2.1 và gọi jv là hàm đặc trưng của tập jK . Đặt j j rvη χ= ∗ mà
1
2
r
j
= . Khi
đó giá của jη nằm trong 2 jK và 1jη = trong lân cận của /2jK .
Bằng cách đánh số lại khi cần thiết ta có được các tập jK ( *
j ∈ ) như mô tả.
Với các hàm jη được xây dựng như trên ta có : 1
1
...j j j
n
n
dz dz
z z z
η η η∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
có giá
nằm trong /2j jK K . Từ đó suy ra :
(0, )
1
1(0,1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 4
( ) ( ) 2
( )
j j r r
j jB r
k k kk
r
B
k
z z v z v z d
z z zz
c
d jc
r z z
η η χ χ
ζ ζ λ ζ
χ
ξ λ ξ
δΩ
∂ ∂ ∂ ∂
= =∗ = −
∂ ∂ ∂∂
∂
≤ =<
∂
∫
∫
(1.3.1)

17. Trong đó 1 (0,1)
( ) ( )r
B
k
c d
z
χ
ξ λ ξ
∂
=
∂∫ là hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều của không
gian và chuẩn đang xét, do cách đặt tập jK và giá của jη∂ nằm trong /2j jK K nên
2
( )z
j
δΩ < . Khi đó từ (1.3.1) ta có :
2
2
1 ( )
n
l
kk
c
zz
η
δ= Ω
∂
≤
∂
∑
Đặt 2
( ) log
( )
c
z
z
µ
δΩ
= , áp dụng bổ đề 1.3.10 sẽ tồn tại hàm ( )Cψ ∞
∈ Ω sao cho:
ψ µ≥ trên Ω . ■
Định lý 1.3.12 Giả sử n
Ω ⊆  là miền giả lồi. Khi đó tồn tại một hàm :φ Ω → 
thỏa mãn Cφ ∞
∈ và
22
2
, 1 1
2( )
n n
kj j
kj k jj
w w e w
z z
ψφ
ψ
= =
∂
≥ ∂ +
∂ ∂
∑ ∑ với mọi n
w∈
(hàm ψ được chọn như trong định lý 1.3.11).
Chứng minh
Do Ω là miền giả lồi nên áp dụng định lý 1.3.9 ta có thể chọn được hàm vét kiệt đa
điều hòa dưới ngặt, xác định dương ( )Cα ∞
∈ Ω sao cho:
{ }: , ( )cK z z z cα= ∈Ω < ⊂⊂ Ω với mỗi c∈
Giả sử
22
, 1 1
( )
n n
kj j
kj k jj
w w m z w
z z
α
= =
∂
≥
∂ ∂
∑ ∑
với m là hàm số dương liên tục trên Ω . Nếu có một hàm :β +
→  là hàm lồi,
tăng thuộc lớp C∞
và φ β α=  ta có:
22
'
, 1 1
( ) ( )
n n
kj j
kj k jj
w w m z w
z z
φ
β α
= =
∂
≥
∂ ∂
∑ ∑
Do đó hàm φ thỏa mãn định lý nếu

18. 2
'
( ) ( ) 2( )m z eψ
β α ψ≥ ∂ +
Hay
2
'
2( )
( ) sup
( )tK
e
t
m z
ψ
ψ
β
 ∂ +
 ≥
  
 
Nhận thấy rằng vế phải của bất đẳng thức trên là một hàm xác định hữu hạn với
mint α≥ , đồng thời tăng theo t. Do đó sẽ tồn tại hàm β lồi, tăng thuộc lớp C∞
thỏa mãn
2
'
2( )
( ) sup
( )tK
e
t
m z
ψ
ψ
β
 ∂ +
 ≥
  
 
. ■

19. Chương 2
TOÁN TỬ ∂ TRÊN KHÔNG GIAN 2
( , ) ( , )p qL φΩ
Trong chương 2 này ta sẽ xây dựng toán tử ∂ trên không gian 2
( , ) ( , )p qL φΩ như là
toán tử tuyến tính không bị chặn, đóng và xác định trù mật. Đồng thời ta cũng sẽ mô
tả một cách rõ ràng toán tử liên hợp của toán tử ∂, điều này hết sức cần thiết khi sử
dụng bổ đề 2.1.9 để giải bài toán phương trình ∂ ở chương 3.
Trước hết ở mục 2.1 ta chuẩn bị một số kiến thức về toán tử tuyến tính không bị
chặn trên không gian Hilbert
2.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn trên không gian Hilbert
Cho H1, H2 là hai không gian Hilbert có tích vô hướng và chuẩn tương ứng là
( ).,. , .i i
với 1,2i∈ . Cho D là không gian con trù mật trong 1H và T: D→ H2, là
một toán tử tuyến tính mà ta giả sử là không bị chặn. Để thuận tiện ta viết TD thay
vì D là miền xác định của T. Trường hợp này ta nói rằng T xác định trù mật trên H1.
Có thể kiểm tra được 1 2H H× là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác
định bởi 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( , ),( ' , ' ) ( , ' ) ( , ' )h h h h h h h h= + .
Định nghĩa 2.1.1 Toán tử tuyến tính T đóng nếu đồ thị của nó
{ } 1 2( , ) :T TG x Tx x D H H= ∈ ⊆ ×
là tập hợp đóng.
Nhận xét rằng nếu T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H1 vào
không gian Hilbert H2 thì toán tử liên hợp T* của nó luôn tồn tại và được xác định
trên toàn bộ H2 bởi công thức 2 1(y,Tx) =(T*y,x) . Trong trường hợp ta đang xét
2: TT D H→ là toán tử tuyến tính không bị chặn, với TD là không gian con trù mật
trong 1H , việc xác định toán tử liên hợp T* có chút ít phức tạp hơn.
Gọi DT* là miền xác định của toán tử liên hợp T* cần xác định. Ta đưa ra định
nghĩa sau
Định nghĩa 2.1.2 Cho 2Hψ ∈ . Ta nói rằng *TDψ ∈ nếu tồn tại hằng số

20. ( ) 0C C ψ= > sao cho
2 1
(T , ) Cφ ψ φ≤ với mọi TDφ ∈ (2.1.1)
Định nghĩa trên có nghĩa do mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.3 Nếu *Ty D∈ thì có duy nhất một phần tử 1z H∈ sao cho
1 2(x,z) =(Tx,y) với mọi Tx D∈ .
Chứng minh
Với 2y H∈ , thì ánh xạ 2( ) ( , )y x y Txϕ = xác định phiếm hàm tuyến tính xác định
trên DT và nhận giá trị trong  . Do điều kiện (2.1.1) * 2TD H⊂ là tập chứa các
phần tử y sao cho yϕ bị chặn trên DT. Ta có *TD ≠ ∅ vì *0 TD∈ và DT* là không
gian con đóng của H2. Do đó yϕ có thể mở rộng lên thành một toán tử tuyến tính bị
chặn xác định trên toàn bộ H1. Áp dụng định lý biểu diễn Riesz, có duy nhất phần
tử 1z H∈ sao cho 1( ) ( , )y x z xϕ = . Khi đó 2 1( , ) ( , ) , Ty Tx z x x D= ∀ ∈ . ■
Đặt *T y z= với mỗi 2y H∈ thỏa điều kiện (2.1.1) thì T* là toán tử liên hợp của
T. Tính hợp lý của T* được suy ra từ tính trù mật của DT. Thật vậy, giả sử
*T y z= , *T y v= thì 2 1 1( , ) ( , ) ( , )y Tx z x v x= = với mọi Tx D∈ . Khi đó
1( , ) 0z v x− =với mọi Tx D∈
Vì DT trù mật trong H1 nên tồn tại ( ) :n T nu D u z v⊂ → − , do đó 1( , ) 0nz v u− =với
mọi n và nhờ vào tính liên tục của tích vô hướng nên
2
1 1 1
lim ( , ) ( , ) 0 0n
n
z v u z v z v z v z v
→+∞
− = − − = ⇒ − = ⇒ =
Tóm lại ta có định nghĩa T* như sau: Giả sử T là toán tử tuyến tính không bị chặn,
xác định trù mật trên H1. Toán tử liên hợp của T là * 2 1*: TT D H H⊂ → là toán tử
với miền xác định
( ){ }* 2 2 1
: 0 sao cho (T , ) C , DT TD H Cψ ψ φ ψ φ φ= ∈ ∃ > ≤ ∀ ∈
Như vậy DT* là một không gian con của H2 và T* là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy,
lấy *, Ty z D∈ bất kì và ,α β∀ ∈ , Tx D∀ ∈ . Ta có:

21. 1 2 2 2
2 2 1 1
1 1 1
( *( ), ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( * , ) ( * , )
( * , ) ( * , ) ( * * , )
T y z x y z Tx y Tx z Tx
y Tx z Tx T y x T z x
T y x T z x T y T z x
α β α β α β
α β α β
α β α β
+ = + = +
= + = +
= + = +
Đẳng thức trên xảy ra với mọi Tx D∈ nên theo định nghĩa của toán tử T* và miền
DT* ta có:
*( ) * *T y z T y T zα β α β+ = + ■
Mệnh đề 2.1.4 Nếu H là không gian Hilbert, M H⊆ thì
{ }: , 0,H
M h H h m m M⊥
= ∈ = ∀ ∈
là không gian con đóng.
Chứng minh Lấy ,x y M ⊥
∈ và ,α β ∈ . Khi đó với mọi u M∈
, , , 0H H H
x y u x u y uα β α β+ = + =
Do đó M ⊥
là không gian vec-tơ con của H.
Lấy x thuộc bao đóng của M ⊥
. Khi đó tồn tại dãy { } ,n nx M x x⊥
⊂ → . Cho nên với
mọi u M∈ , , lim , 0nH Hn
x u x u
→∞
= = . Suy ra x M ⊥
∈ . ■
Xét ánh xạ 2 1 1 2:J H H H H× → × xác định bởi 2 1 1 2( , ) ( , )J h h h h= − . Ta có J và
1
J −
biến một tập đóng thành một tập đóng.
Mệnh đề 2.1.5 Nếu 1 2:T H H→ là toán tử tuyến tính thì
( ) ( )*T TG J G
⊥
=
Chứng minh
Giả sử ( ) ( ) ( )** , , ,T TT y y J G x Tx G− ∈ ∈ . Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )1 2
* , , , * , ,T y y x Tx T y x y Tx− =− +
Nếu *Ty D∈ thì
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2
* , , , , 0T y x y Tx y Tx y Tx− + =− + =.
Do đó ( ) ( )*T TJ G G
⊥
⊂ .
Chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy( ) ( ), Ta b G
⊥
∈ . Khi đó với mọi Tx D∈ ta

22. có
( ) ( ) ( ) ( )1 2
0 , , , , ,a b x Tx a x b Tx= = + (2.1.2)
Do đó ( ) ( )2 1 1 1
, ,b Tx a x a x= ≤ . Suy ra *Tb D∈ . Như vậy (2.1.2) được viết là
( )1
0 * ,a T b x= + với mọi Tx D∈ . Do TD trù mật trong 1H nên ta có * 0a T b+ =
hay *T b a= − do đó ( ) ( )*, Ta b J G∈ . ■
Từ mệnh đề 2.1.4 và 2.1.5 ta có
Hệ quả 2.1.6 Toán tử T* là đóng.
Lưu ý: T* là đóng cho dù không nhất thiết đòi hỏi toán tử T là đóng.
Đặt { }1 : 0T TKer x D H Tx= ∈ ⊂ = , { }2 :T TR y H y Tx x D=∈ = ∈vôùi . Ta gọi KerT
và RT lần lượt là nhân và ảnh của T.
Mệnh đề 2.1.7 *T TKer R⊥
= .
Chứng minh Từ định nghĩa của T* ta có 2 1( , ) ( * , ) 0y Tx T y x= = với mọi
*Ty Ker∈ và Tx D∈ . Điều này có nghĩa là *Ty Ker∈ nếu và chỉ nếu Ty R⊥
∈ . ■
Nếu 1 2:T H H→ là toán tử tuyến tính, đồng thời TD trù mật trong 1H thì nó có
toán tử liên hợp là T* và T* là toán tử tuyến tính đóng. Nếu thêm vào điều kiện
*TD trù mật trong 2H thì toán tử T* có liên hợp T** là toán tử tuyến tính đóng. Hơn
nữa với **Tz D∈ và **T z w= thì với mọi *Ty D∈ ta có:
1 2 2( , * ) ( , ) ( ** , )z T y w y T z y= =
Nhưng với bất kì *Ty D∈ , ta có 1 2( , * ) ( z, )z T y T y= với mọi Tz D∈ . Điều này suy
ra rằng **T TD D⊂ và ** zT z T= với mọi Tz D∈ .
Định lý 2.1.8 Nếu T là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật thì *TD trù mật
trong 2H và **T T= .
Chứng minh
Ta có ( , ) Tu v G⊥
∈ khi và chỉ khi
1 2( , ),( , x) 0 ( , ) ( , ) 0u v x T u x v Tx=⇔ + =

23. với mọi Tx D∈ . Từ đó suy ra rằng *Tv D∈ và *T v u− =. Như vậy :
*( , ) T Tu v G v D⊥
∈ ⇔ ∈ và *T v u− = (2.1.3)
Bây giờ giả sử *TD không trù mật trong 2H . Khi đó với *Ty D⊥
∈ thì đẳng thức trên
suy ra rằng (0, ) Ty G⊥⊥
∈ . Do T đóng nên TG đóng khi đó
T TG G⊥⊥
=
Suy ra (0, ) Ty G∈ . Nhưng do ánh xạ T tuyến tính nên với 20 Ty R H≠ ∈ ⊂ sẽ tồn tại
phần tử 10 x H≠ ∈ sao cho xT y= . Như vậy (0, ) Ty G∉ , điều này dẫn đến mâu
thuẫn. Vậy *TD trù mật trong 2H . Từ nhận xét trên **T TD D⊂ . Mặt khác nếu
**Tx D∈ và *Ty D∈ thì
1 2( , * ) ( ** , )x T y T x y=
Do (2.1.3) nên ( , ** ) T Tx T x G G⊥⊥
∈ =, vì vậy Tx D∈ và suy ra **T T= . ■
Nếu T đóng ứng dụng mệnh đề 2.1.7, định lý 2.1.8 ta thu được ** *Ker KerT T TR⊥
= = .
Trong trường hợp này ta có:
* *Ker , KerT T T TR R⊥ ⊥
= =
Từ đó suy ra:
1 * 2 *Ker , KerT T T TH R H R= ⊕ = ⊕ (2.1.4)
Trong mục kế tiếp, toán tử T sẽ là toán tử vi phân ∂ liên kết với phương trình
Cauchy-Riemann. Đồng thời H1, H2 là không gian các (p,q)-dạng với các hệ số
trong L2
. Để giải phương trình u f∂ = với điều kiện 0f∂ = trong không gian
Hilbert thì phải chỉ ra rằng miền RT là đóng. Trong trường hợp để chứng minh miền
RT là đóng, ta sẽ sử dụng một bổ đề sau đây:
Bổ đề 2.1.9 Cho 1 2:T H H→ là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật. Gọi F
là không gian con đóng của H2 và TR F⊆ . Khi đó TR F= khi và chỉ khi tồn tại
một hằng số 0C > sao cho
2 1
*y C T y≤ với mọi *Ty F D∈ ∩ (2.1.5)

24. Chứng minh
)⇐ Giả sử (2.1.5) đúng. Ta chỉ cần chứng minh TF R⊂ , tức là chứng minh với
mỗi z F∈ sẽ tồn tại phần tử 1Tx D H∈ ⊂ sao cho Tx z= . Do định lý 2.1.8 ta có
**T T= , phương trình Tx z= tương đương với đẳng thức
1 2( , * ) ( , )x T y z y= , *Ty D∈
Trước hết ta chứng minh
2 2 1
( , ) *y z C y T y≤ , *Ty D∈ (2.1.6)
Thật vậy, nếu y F⊥
∈ thì 2( , ) 0z y = và * 0T y = vì TR F⊆ . Do đó chỉ cần chứng
minh (2.1.6) với *Ty F D∈ ∩ , mà điều này được suy ra từ (2.1.5) và
2 2 2
( , )y z y z≤ .
Ta xét ánh xạ 2: * ( , )T y z yϕ  , ϕ là phiếm hàm tuyến tính thỏa điều kiện (2.1.6)
nên áp dụng định lý Hahn-Banach ϕ được thác triển lên 2H . Khi đó có duy nhất x
sao cho
2 1( , ) ( * ) ( , * )z y T y x T yϕ= = với mọi *Ty D∈ . Suy ra phương trình Tx z= có
nghiệm thuộc **T TD D= .
)⇒ Giả sử TR F= , ta cần chứng minh tập hợp { }* 1
: * 1TB f D F T f= ∈ ∩ ≤ bị
chặn
Thật vậy với mọi f B∈ ta có *Tf D F∈ ∩ và 1
* 1T f ≤ . Khi đó với mọi g cố
định thuộc F , theo giả thiết TR F= tồn tại một phần tử Tu D∈ sao cho Tu g= .
Khi đó
2 2 1 1 1 1
( , ) ( , ) ( * , ) *f g f Tu T f u T f u u= = ≤ ≤ với mọi f B∈ (2.1.7)
Bất phương trình (2.1.7) nghiệm đúng với mọi g F⊥
∈ vì vế trái bằng 0. Họ phiếm
hàm tuyến tính { }2: ( , )f f B
Tu f gψ ∈
 thỏa điều kiện (2.1.7) nên áp dụng nguyên
lý bị chặn đều ta có M > 0 sao cho
2f Mψ ≤ , f B∀ ∈ . Điều này dẫn đến (2.1.5) ■
Bổ đề 2.1.10 Cho T là ánh xạ tuyến tính, đóng, trù mật từ không gian Hilbert 1H

25. vào không gian Hilbert 2H , F là không gian con đóng của 2H , TF R⊆ . Giả sử
(2.1.5) đúng. Khi đó với mỗi 1v H∈ mà trực giao với KerT có thể tìm được
*Tf D∈ sao cho *T f v= và
2 1
f C v≤ (2.1.8)
Chứng minh
Do (2.1.4) 1v H∈ mà trực giao với KerT thì *Tv R∈ . Do TF R⊆ và (2.1.4) ta có
phần bù trực giao của F là *KerT . Khi đó:
* **: T TT F D R∩ →
có miền giá trị giống miền giá trị của * **: T TT D R→ . Do bất đẳng thức (2.1.5) nên
toán tử T* có miền giá trị là đóng, do đó ta có thể tìm *Tf D∈ sao cho *T f v= và
bất đẳng thức (2.1.8) xảy ra. ■
2.2. Toán tử ∂ trên không gian 2
( , ) ( , )p qL φΩ
Với Ω là tập mở trong n
 , p, q là 2 số tự nhiên bất kì thỏa 0 ,p q n≤ ≤ , φ là một
hàm liên tục trên Ω , ta ký hiệu 2
( , )L φΩ là không gian các hàm f trên Ω mà bình
phương khả tích với độ đo e dφ
λ−
, tức là thỏa
2
f e dφ
λ−
< ∞∫ , ở đây dλ là độ đo
Lebesgue. Đây là không gian con của không gian 2
( ,loc)L Ω , với 2
( ,loc)L Ω là
không gian các hàm xác định trên Ω mà bình phương khả tích địa phương theo độ
đo Lebesgue. Như vậy mỗi hàm trong 2
( ,loc)L Ω sẽ thuộc vào 2
( , )L φΩ với một φ
nào đó. Kí hiệu 2
( , ) ( , )p qL φΩ là không gian các (p,q)-dạng với hệ số trong 2
( , )L φΩ ,
tức là nếu 2
( , ) ( , )p qf L φ∈ Ω thì
' '
,
JI
I J
I p J q
f f dz d z
= =
= ∧∑ ∑
với 2
, ( , )I Jf L φ∈ Ω , '
∑ là kí hiệu cho tổng các đa chỉ số tăng ngặt I, J (đa chỉ số
1 2( , ,..., )pI i i i= được gọi là tăng nếu 11 ... pi i n≤ < < ≤ ).

26. Nếu ' '
,
JI
I J
I p J q
f f dz d z
= =
= ∧∑ ∑ , ' '
,
JI
I J
I p J q
g g dz d z
= =
= ∧∑ ∑ là hai (p,q)-dạng trong
2
( , ) ( , )p qL φΩ , ta đặt:
, ,
,
( , ) I J I J
I J
f g f g e dφ
λ−
= ∑∫
2'2
,
,
I J
I p J q
f f
= =
= ∑
và
22
f f e dφ
ϕ
λ−
= ∫
trong đó (.,.) , . để kí hiệu cho tích vô hướng và chuẩn trong 2
( , ) ( , )p qL φΩ . Khi đó
2
( , ) ( , )p qL φΩ cùng với chuẩn được nêu ra ở trên là một không gian Hilbert. Ta định
nghĩa 2
( , ) ( , )p qL locΩ tương tự như trên.
Gọi ( , ) ( )p qD Ω là tập các hàm (p,q)-dạng có các hệ số thuộc ( )oC∞
Ω . Ta có
( , ) ( )p qD Ω là tập trù mật trong 2
( , ) ( , )p qL φΩ với mọi φ .
Nếu 2
( , ) ( , )p qf L φ∈ Ω là một (p,q) - dạng với ,I Jf là các hệ số trơn ( , ( )I Jf C∞
∈ Ω ) thì
toán tử vi phân ∂ xác định như sau:
,' '
1
,' '
1
,' ' '
1 ,
= ( 1)
= ( 1)
n
JI J I
k
I p J q k k
n
JI J p I
k
I p J q k k
LI J p L I
kJ
I p L q k J q k
f
f d z dz d z
z
f
dz d z d z
z
f
dz d z
z
ε
= = =
= = =
==+ =
∂
∂= ∧ ∧
∂
∂
− ∧ ∧
∂
∂
− ∧
∂
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
(2.2.1)
Trong đó L
kJε là dấu của phép hoán vị
L
kJ
 
 
 
. Khi đó ∂ là toán tử tuyến tính không
bị chặn, xác định trù mật trong 2
( , ) ( , )p qL φΩ .
Lấy ý tưởng trong cách biểu diễn các hệ số ở đẳng thức (2.2.1), để toán tử là đóng ta
sẽ xét một mở rộng của ∂ như sau:

27. Xét 1 2,φ φ là hai hàm liên tục trên Ω , toán tử 2 2
( , ) 1 ( , 1) 2: ( , ) ( , )p q p qT L Lφ φ+Ω → Ω được
xác định theo nghĩa yếu ( yếu theo nghĩa đạo hàm suy rộng) trên Ω như sau
Với
' 2
, ( , ) 1
,
( , )
JI
I J p q
I p J q
f f dz d z L φ
= =
= ∧ ∈ Ω∑
' 2
, ( , 1) 2
, 1
( , )
LI
I L p q
I p L q
g g dz d z L φ+
= = +
= ∧ ∈ Ω∑
Ta nói ( )T f g= nếu với ,I J cố định và ( )oCϕ ∞
∈ Ω ta có
'
, ,
,
( 1)p L
I J kJ I L
k J q k
f d g d
z
ϕ
ε λ ϕ λ
=Ω Ω
∂
− − =
∂
∑∫ ∫ (2.2.2)
Ta đặt ( )T f f= ∂ . Như vậy T = ∂ có các tính chất như là toán tử tuyến tính không
bị chặn, xác định trù mật và đóng. Ta chứng minh các tính chất này như sau:
* Rõ ràng ∂ là toán tử tuyến tính.
* Nếu ( )n n
f D∂
⊂ : nf f→ và nf g∂ → thì từ định nghĩa đạo hàm theo nghĩa yếu
ta có:
( ) ,' 1
,
, ,
( 1) ( 1) ' I Jp L p L
I J jJ jJn
j jj J j J q n
f
f d d
z z
ϕ
ε λ ε ϕ λ+
=Ω Ω
∂ ∂
− =−  
∂ 
∑ ∑∫ ∫
Do tính liên tục của tích phân, vế trái của biểu thức trên hội tụ về
'
,
,
( 1)p L
I J jJ
jj J
f d
z
ϕ
ε λ
Ω
∂
− ∑∫ , còn vế phải hội tụ về ,1
,
( 1) ' I Jp L
jJ
jj J q
f
d
z
ε ϕ λ+
=Ω
∂
−
∂
∑∫ , do giới
hạn là duy nhất nên
,' 1
,
, ,
( 1) ( 1) ' I Jp L p L
I J jJ jJ
j jj J j J q
f
f d d
z z
ϕ
ε λ ε ϕ λ+
=Ω Ω
∂∂
− =−
∂
∑ ∑∫ ∫
Từ đó suy ra f D∂
∈ và f g∂ =. Do đó ∂ là toán tử đóng. Mặt khác (2.2.2) cũng
đúng cho các hàm thuộc ( , ) ( )p qC∞
Ω nên ∂ cũng xác định trù mật. Tương tự ta cũng
có định nghĩa toán tử yếu ∂ trên các dạng.
Áp dụng bổ đề 2.1.9 với 1 2,H H lần lượt là 2 2
( , ) 1 ( , 1) 2( , ), ( , )p q p qL Lφ φ+Ω Ω , toán tử T

28. giữa các không gian này là toán tử ∂ vừa được trình bày ở trên và F là không gian
tất cả các 2
( , 1) 2( , )p qf L φ+∈ Ω với 0f∂ = (theo nghĩa lý thuyết hàm suy rộng). Gọi 3ϕ
là một hàm liên tục khác và S là toán tử từ 2
( , 1) 2( , )p qL φ+ Ω vào 2
( , 2) 3( , )p qL φ+ Ω được
xác định bởi ∂. Khi đó KerSF = , để chứng minh điều kiện (2.1.5) ta chỉ cần chứng
minh
2 2 22
2 1 3
( * )f C T f Sf≤ + (2.2.3)
vì số hạng cuối sẽ mất đi khi KerSf F∈ = .
Ta trình bày sau đây một số kết quả về ∂ và liên hợp của nó.
Định lý 2.2.1 Với 2
( , 1) ( )p qf D L +∂
∈ ∩ Ω , '
,
,
JI
I J
I p J q
f f dz d z
= =
= ∧∑ . Ta có
2
2
, , ,' '
, 1 1 , , 1
n n
I J I kK I mK
I p J q k I p K q m kk m k
f f f
f
z z z= =+ = = = =
  ∂ ∂ ∂
∂= −   
∂ ∂ ∂  
∑ ∑ ∑ ∑ (2.2.4)
Chứng minh
Với 2
( , 1) ( )p qf D L +∂
∈ ∩ Ω , do định nghĩa của toán tử vi phân ∂ ta có
,' ' '
1 ,
= ( 1)
LI J p L I
kJ
I p L q J q k k
f
f dz d z
z
ε
= =+ =
∂
∂ − ∧
∂
∑ ∑ ∑
Do đó
2
, ,' ' '
, , , 1 , , , ,
n
I M I J kJ
mM
I J M k m I J M k m I J M k mm k
A B
f f
f
z z
ε
= = ≠
 ∂ ∂
∂= = + 
∂ ∂ 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
 
ở đây kJ
mMε là dấu của phép hoán vị, kJ
mMε triệt tiêu trừ khi k J∉ , m M∉ và
{k} J={m} M∪ ∪ . Như vậy có 2 trường hợp xảy ra như sau :
* Nếu k m J M= ⇒ = và k J∉ thì
2
,'
,
I J
I J k J k
f
A
z∉
∂
=
∂
∑ ∑

29. * Nếu k m≠ thì 0kJ
mMε ≠ khi k M∈ và m J∈ . Do đó nếu xóa bỏ chỉ số m khỏi J
và k khỏi M thì mỗi bộ đa chỉ số còn lại trong J và M sẽ là tập các đa chỉ số cấp q
giống nhau, mà ta đặt là K. Vì
kJ kJ kmK mkK J M
mM kmK mkK mM mK kK
        
= = −        
        
với chú ý rằng , ,
J
I kK kK I Jf fε= thì ta thu được
, , , ,' '
, , ,
I J I M I kK I mKJ M
mK kK
I J L m k I K m kk m m k
f f f f
B
z z z z
ε ε
≠ ≠
     ∂ ∂ ∂ ∂
=− =−     
∂ ∂ ∂ ∂     
∑ ∑ ∑ ∑
Từ đó ta có (2.2.4). ■
Vì toán tử ∂ là toán tử tuyến tính, xác định trù mật nên nó có toán tử liên hợp, phần
tiếp theo sau đây ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về toán tử liên hợp này.
Từ định nghĩa toán tử liên hợp và hệ quả 2.1.6, liên hợp của ∂ kí hiệu là *∂ là toán
tử tuyến tính, xác định trù mật và đóng:
2 2
( , 1) 2 ( , ) 1*: ( , ) ( , )p q p qL Lφ φ+∂ Ω → Ω
được xác định như sau:
1 2
( * , ) ( , )f g f gφ φ∂ =∂ trong đó ( , ) ( )p qg D∈ Ω .
Nếu *
f D∂
∈ có '
,
,
JI
I J
I p J q
f f dz d z
= =
= ∧∑ thì với , ( , )
,
( )
KI
I K p q
I K
g g dz d z D= ∧ ∈ Ω∑ ,
ta có:
2
1 2
2
,'
,
, , 1
,'
,
, 1
( * , ) ( , ) (-1)
(-1)
n
I Kp J
I J kK
kI J K k
n
I Kp
I kK
I K k k
g
f g f g f e d
z
g
f e d
z
φ
φ φ
φ
ε λ
λ
−
Ω
=
−
Ω
=
∂ 
∂ = ∂ =  
∂ 
∂
=
∂
∑ ∑∫
∑ ∑∫
Khi đó áp dụng định nghĩa đạo hàm theo nghĩa yếu ta thu được

30. ( )
( )
( )
2
1
2
1 1
2
1 1
,1 '
,
, 1
,1 '
,
, 1
,1 '
,
, 1
1 '
( * , ) (-1)
(-1)
(-1)
(-1)
n
I kKp
I K
I K k k
n
I kKp
I K
I K k k
n
I kKp
I K
I K k k
p
e f
f g g d
z
e f
e g e d
z
e f
e g e d
z
φ
φ
φ
φ φ
φ
φ φ
λ
λ
λ
−
−
Ω
=
−
−−
Ω
=
−
−−
=Ω
−
∂
∂ =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
=
∑ ∑∫
∑ ∑∫
∑ ∑∫
( )2
1
1
,
, 1
,
n
I kK
I K k k
e f
e g
z
φ
φ
φ
−
=
 ∂
 
 ∂
 
∑ ∑
Do đó toán tử *∂ tác động lên *
f D∂
∈ được biểu diễn một cách rõ ràng như sau:
Định lý 2.2.2 Nếu *
f D∂
∈ thì
2
1 ,1 '
1
( )
* ( 1)
n
KI kKp I
I p k k
K q
e f
f e dz d z
z
φ
φ
−
−
= =
=
 ∂
∂ =− ∧ 
∂ 
∑ ∑ (2.2.5)
Mệnh đề 2.2.3 Nếu *
f D∂
∈ thì
2 1
*e f f Afφ φ
ϑ−
∂ = + (2.2.6)
trong đó ϑ là toán tử vi phân bậc 1 với hệ số hằng, toán tử A là toán tử vi phân
bậc 0.
Chứng minh
Từ (2.2.5) ta có:
2 1 ,1 ' 1 ' 2
,
, 1 , 1
* ( 1) ( 1)
n n
K KI kKp I p I
I kK
I K k I K kk k
f
e f dz d z f dz d z
z z
φ φ φ− − −
= =
∂ ∂
∂ = − ∧ − − ∧
∂ ∂
∑ ∑ ∑ ∑
f Afϑ= + ■
Lấy ψ , φ như trong định lý 1.3.10 và định lý 1.3.11, ta đặt:
( )k
k k k
g
g e ge g
z z z
φ φ φ
δ −∂ ∂ ∂
= = −
∂ ∂ ∂
, 2 1, 2φ φ ψ φ φ ψ=− =−
ta có kết quả
Định lý 2.2.4 Với ( , 1)p qf D +∈ thì:

31. 1 ' 1 '
, ,
, 1 , 1
* ( 1) ( 1)
n n
K Kp I p I
k I kK I kK
I K k I K k k
e f f dz d z f dz d z
z
ψ ψ
δ− −
= =
∂
∂ = − ∧ + − ∧
∂
∑ ∑ ∑ ∑ (2.2.7) Chứng m
Từ (2.2.5) ta có:
2 1 ,1 ' 1 ' 2
,
, 1 , 1
,1 ' 1 '
,
, 1 , 1
1 '
,
* ( 1) ( 1)
= ( 1) ( 1)
( 1)
n n
K KI kKp I p I
I kK
I K k I K kk k
n n
K KI kKp I p I
I kK
I K k I K kk k
p
I k
k
f
e f dz d z f dz d z
z z
f
dz d z f dz d z
z z
f
z
φ φ φ
φ
φ
− − −
= =
− −
= =
−
∂ ∂
∂ = − ∧ − − ∧
∂ ∂
∂ ∂
− ∧ − − ∧
∂ ∂
∂
+ −
∂
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
1 ' 2
,
, 1 , 1
( 1)
n n
K KI p I
K I kK
I K k I K k k
dz d z f dz d z
z
φ−
= =
∂
∧ − − ∧
∂
∑ ∑ ∑ ∑
,1 '
,
, 1
1 ' 2
,
, 1
( 1)
( 1)
n
KI kKp I
I kK
I K k k k
n
Kp I
I kK
I K k k k
f
f dz d z
z z
f dz d z
z z
φ
φ φ
−
=
−
=
∂ ∂
=− − ∧ 
∂ ∂ 
 ∂ ∂
+ − − ∧ 
∂ ∂ 
∑ ∑
∑ ∑
Do đó:
1 ' 1 '
, ,
, 1 , 1
* ( 1) ( 1)
n n
K Kp I p I
k I kK I kK
I K k I K k k
e f f dz d z f dz d z
z
ψ ψ
δ− −
= =
∂
∂ = − ∧ + − ∧
∂
∑ ∑ ∑ ∑ ■
Với toán tử kδ được định nghĩa như trên thì toán tử kδ và toán tử jz−∂ ∂ có mối
quan hệ như sau:
Mệnh đề 2.2.5
2
k k
j j k jz z z z
φ
δ δ
∂ ∂ ∂
− =
∂ ∂ ∂ ∂
(2.2.8)
Chứng minh
Với 2
( )u C∈ Ω thì:
2
=
k k
k kj j j j
kk j j
u u u
u
z zz z z z
u u
zz z z
φ
δ δ
φ
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = −   
   ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂   
∂ ∂ ∂
−
∂∂ ∂ ∂
Mặt khác:

32. 2 2
k
k k kj j k j j k j
u u u
u u u
z z zz z z z z z z
φ φ φ
δ
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = − − 
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
Suy ra:
2
k k
j j k j
u u
z z z z
φ
δ δ
 ∂ ∂ ∂
− = 
 ∂ ∂ ∂ ∂ 
■
Cũng chú ý rằng có thể xem toán tử kδ như là một hình thức liên hợp của jz−∂ ∂
trong không gian 2
( , )L ϕΩ . Tức là:
Định lý 2.2.6 Với mọi , ( )ou v C∞
∈ Ω ta có:
k
k
v
u e d uve d
z
φ φ
λ δ λ− −
Ω Ω
∂
= −
∂∫ ∫ (2.2.9)
Chứng minh
Với mọi , ( )ou v C∞
∈ Ω ta có:
Vậy định lý được chứng minh xong. ■
( )
( )
=
k kk
k
k
v v ue
u e d u e d vd
z zz
ue
e ve d uve d
z
φ
φ φ
φ
φ φ φ
λ λ λ
λ δ λ
−
− −
Ω Ω Ω
−
− −
Ω Ω
∂ ∂ ∂
= = −
∂ ∂∂
∂
− =−
∂
∫ ∫ ∫
∫ ∫

33. Chương 3
2
L - ĐÁNH GIÁ VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂
Trong chương này chúng ta sử dụng kỹ thuật 2
L - đánh giá thể hiện trong chương
2 để nghiên cứu các phương trình Cauchy- Riemann (phương trình ∂) dẫn đến các
định lý tồn tại và xấp xỉ đối với các nghiệm của phương trình Cauchy- Riemann
trong các miền giả lồi. Ngoài ra ta cũng nhận được nghiệm của bài toán Lê-vi.
3.1. Các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình ∂ trên miền giả lồi
Ta xét dãy ánh xạ sau:
( ) ( ), , 12 2 2
( , ) 1 ( , 1) 2 ( , 2) 3( , ) ( , ) ( , )p q p q
p q p q p qL L Lφ φ φ+∂ ∂
+ +Ω → Ω → Ω
trong đó 1φ , 2φ , 3φ là các trọng sẽ được chọn như sau: lấy ψ , φ như trong định lý
1.2.4, định lý 1.3.10, đặt 1 2φ φ ψ= − , 2φ φ ψ= − , 3φ φ= .
Để đơn giản kí hiệu ta đặt:
( , )p qT = ∂ , ( , 1)p qS += ∂ ,
2
1 ( , ) 1( , )p qH L φ= Ω , 2
2 ( , 1) 2( , )p qH L φ+= Ω , 2
3 ( , 2) 3( , )p qH L φ+= Ω
2SF Ker H= ⊆ .
Đồng thời tích vô hướng và chuẩn, ta kí hiệu tương ứng như sau:
(.,.) (.,.) (.,.)i ii Hφ= = ; . . .
i ii Hφ
= = với 1,3i =
Nhận xét rằng phát biểu Tf D∈ nghĩa là 2
( , ) 1( , )p qf L φ∈ Ω , đồng thới f∂ tồn tại
(theo nghĩa yếu) và 2
( , 1) 2( , )p qf L φ+∂ ∈ Ω . Cũng nghĩa tương tự như vậy cho phát biểu
Sg D∈
Bổ đề 3.1.1 Với ( )oCη ∞
∈ Ω , Sf D∈ thì Sf Dη ∈ .
Chứng minh
Vì 2f H∈ nên 2f Hη ∈ . Do Sf D∈ nên f∂ tồn tại theo nghĩa yếu. Giả sử :
,' '
1 1
n
JI J I
j
I p J q j j
f
f d z dz d z
z= =+ =
∂
∂= ∧ ∧
∂
∑ ∑ ∑

34. Với ( )oCϕ ∞
∈ Ω bất kì, trước tiên ta có:
( ) ( ), , , ,
, ,
, ,
I J I J I J I J
J j j j
I J I J
I J I J
j j j j
f d f d f d f d
z z z z
f f
d f d f d
z z z z
ϕ ϕ η
η λ η λ ηϕ λ ϕ λ
η η
ηϕ λ ϕ λ η ϕ λ
   ∂ ∂ ∂ ∂
= = −   
   ∂ ∂ ∂ ∂   
   ∂ ∂∂ ∂
=− − =− +   
   ∂ ∂ ∂ ∂   
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Do đó: ( ) ,
,
I J
IJ I J
j j j
f
f f
z z z
ηη η
∂ ∂∂ = +
∂ ∂ ∂
theo nghĩa yếu. Trong trường hợp
tổng quát, bằng cách nhóm các số hạng ta chứng minh được bổ đề . ■
Bổ đề 3.1.2 Với ( )oCη ∞
∈ Ω , Sf D∈ thì ( )S f Sf fη η η− =∂ ∧ .
Chứng minh
Trong chứng minh bổ đề 3.1.1, ta có:
( )S f f fη η η= ∂ + ∂ ∧
mà f Sfη η∂ = . Vì vậy ta có chứng minh bổ đề. ■
Bổ đề 3.1.3 Với ( )oCη ∞
∈ Ω , *Tf D∈ thì *Tf Dη ∈ .
Chứng minh
Vì *Tf D∈ nên với mọi Tu D∈ , ta có :
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 2 2 2
1 2
1 2
, , , ,
* , ,
* , ,
f Tu f Tu f T u f Tu T u
T f u f Tu T u
T f u f Tu T u
η η η η η
η η η
η η η
= = + −
= + −
= + −
Áp dụng bổ đề 3.1.2, ta có ( )Tu T u uη η η− = −∂ ∧ . Do đó:
( ) ( ) ( )2 1 2
, * , ,f Tu T f u f uη η η= + −∂ ∧
Vì không có đạo hàm của u xuất hiện trong số hạng cuối cùng, dẫn đến
( )2
,f Tuη liên tục theo 1
u : ( ( ) { }2 1 2 1
, *
L
f Tu C T f f uη η η
∞
≤ + ∂ ), do đó có
một phần tử 2
( , ) 1( , )p qv L φ∈ Ω sao cho ( ) ( )1 2
, ,v u f Tuη= . Điều này có nghĩa

35. *Tf Dη ∈ . ■
Bổ đề 3.1.4 Với hàm lη ( )*l ∈ được chọn như trong định lý 1.3.11 thì khi
l → +∞
i. ( ) 0l lS f Sfη η− → trong 3H với Sf D∈
ii. ( )* * 0l lT f T fη η− → trong 1H với *Tf D∈
Chứng minh
i. Áp dụng bổ đề 3.1.2 ta có :
( )l l lS f Sf fη η η− =∂ ∧ và
2
l eψ
η∂ ≤
nên
( )
2 22 2
l l l lS f Sf f C fη η η η− =∂ ∧ ≤ ∂ với ( )0C >
Suy ra
( ) ( ) 3 3
22 2 2
3l l l l lS f Sf S f Sf e d C f e dφ φ
η η η η λ η λ− −
Ω Ω
− = − ≤ ∂∫ ∫
Bởi vì 2φ φ ψ= − , 3φ φ= và 1lη = trên 1lK − (xem chứng minh định lý 1.3.11) do
đó:
( ) 2
1
2 2
3
0
l l
l
l l
K K
S f Sf C f e dφ
η η λ
−
− →+∞
− ≤ →∫
Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có điều phải chứng minh. ■
ii. Trong chứng minh của bổ đề 3.1.3 ta có :
( )( ) ( ) ( )11 2
* , * , ,l l lT f u T f u f uη η η= + −∂ ∧
Suy ra: ( )( ) ( )1 2
* * , ,l l lT f T f u f uη η η− = −∂ ∧
Do đó: ( )( ) ( ) 2
1 2
* * , ,l l l lT f T f u f u f u e dφ
η η η η λ−
− = −∂ ∧ ≤ ∂∫
Hay ( )( )
2 1
2 2
1
* * ,l lT f T f u f e u e d
φ φ
η η λ
− −
− ≤ ∫
Vậy ( ) 1 2
2 2
* *l lT f T f e f eφ φ
η η − −
− ≤ .
Tương tự lý luận trong chứng minh i., áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta thu được:

36. 1
*( ) * 0l lT f T fη η− → khi l → +∞ và *Tf D∈ ■
Bổ đề 3.1.5 Nếu *T Sf D D∈ ∩ thì l f fη → theo chuẩn đồ thị
2 2 2 2
1 2 3
*G
f T f f Sf= + +
Chứng minh
Ta có:
( )
22 2 2
2 31
* *l l l lG
f f T f T f f f S f Sfη η η η−= − + − + − (3.1.1)
mà
2 2 2
1 1 1
2 2 2
3 3 3
*( ) * *( ) * * *
( ) ( )
l l l l
l l l l
T f T f T f T f T f T f
S f Sf S f Sf Sf Sf
η η η η
η η η η
− ≤ − + −
− ≤ − + −
Từ định lý 1.3.11, ta có nhận xét rằng hàm 1lη = trên mỗi tập con compact của Ω
khi l đủ lớn. Cùng với nhận xét này, áp dụng bổ đề 3.1.3, 3.1.4 và từ (3.1.1) ta thu
được:
2
0l G
f fη − → khi l → +∞
Do đó l f fη → . ■
Bổ đề 3.1.6
i. Nếu Sf D∈ và supp f ⊂⊂ Ω thì sẽ tồn tại dạng ( , 1)p qf Dδ +∈ , 0 1δ< < sao cho
f fδ → trong H2 và Sf Sfδ → trong H3 khi 0δ +
→ .
ii. Nếu *Tf D∈ và supp f ⊂⊂ Ω thì * *T f T fδ → trong H1 khi 0δ +
→ .
Chứng minh
i. Xét ( )N
oCδχ ∞
∈  , supp (0, )Bδχ δ⊆ , ( ) 0xδχ > với mọi N
x∈ , ( ) 1
n
x dxδχ =∫

.
Nếu Sf D∈ , ,'
JI
I Jf f dz d z= ∧∑ và supp f ⊂⊂ Ω đặt
'( )
JI
IJf f dz d zδ δχ= ∗ ∧∑ , trong đó (supp , )d fδ << ∂Ω . Khi đó supp fδ ⊂⊂ Ω
và áp dụng định lý 1.2.2 ta thu được f fδ → trong 2
L và do đó f fδ → trong 2H .
Cũng chú ý rằng:

37. ,'
JI
I J j
j j
Sf f d z dz d z Sf
z
δ δχ
 ∂
= ∗ ∧ ∧ → 
 ∂ 
∑ ∑
trong 3H như mô tả. ■
ii. Từ (2.2.6) của mệnh đề 2.2.3 ta có:
2 1
( )e T f f Af A fφ φ
ϑ ϑ−
∗ = + = +
Do đó: ( )( ) ( ) ( )( )A f A f A f Afδ δ δ δϑ ϑ χ χ χ+ = + ∗ + ∗ − ∗ hội tụ tới ( )A fϑ +
trong không gian tôpô 2
( , ) ( )p qL Ω . Vì vậy 1 2 1 2
( ) ( )e A f e A fφ φ φ φ
δϑ ϑ− −
+ → + trong H1.
Vậy * *T f T fδ → trong H1. ■
Định lý 3.1.7 Không gian ( , 1)p qD + trù mật trong *T SD D∩ theo chuẩn đồ thị
2 2 2 2
1 2 3
*G
f T f f Sf= + +
Chứng minh
Với *T Sf D D∈ ∩ và 0ε > . Áp dụng bổ đề 3.1.5, tồn tại *l ∈ sao cho:
2
l G
f f
ε
η − <
Lại áp dụng bổ đề 3.1.6 và định lý 1.2.2 tồn tại số 0δ > sao cho:
( )
2
l l G
f fδ
ε
η η− <
Do đó:
( ) ( )l l l lGG G
f f f f f fδ δ
η η η η ε− ≤ − + − <
Vậy ( , )p qD trù mật trong *T SD D∩ . ■
Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình Cauchy – Riemann.
Như đã nói ở chương 2 ta muốn chứng minh Tu f= có nghiệm thì ta cần chứng
minh TR F= , điều này tương đương với việc chứng minh đánh giá:
2 2 22
2 1 3
( * )f C T f Sf≤ + với mọi *T Sf D D∈ ∩
Mặt khác do không gian ( , 1)p qD + trù mật trong *T SD D∩ nên ta chỉ việc chứng
minh:

38. 2 2 22
2 1 3
( * )f C T f Sf≤ + với mọi ( , 1) ( )p qf D +∈ Ω
Định lý 3.1.8 Cho n
Ω ⊂  là miền giả lồi (không nhất thiết phải có biên trơn hoặc
bị chặn). Với ψ , φ như trong định lý 1.3.11, định lý 1.3.12, đặt 1 2φ φ ψ= − ,
2φ φ ψ= − , 3φ φ= , thì
2 2 2
2 1 3
*f T f Sf≤ + với mọi ( , 1) ( )p qf D +∈ Ω .
Chứng minh
Lấy ( , 1) ( )p qf D +∈ Ω . Từ (2.2.7) của định lý 2.2.4 ta thu được:
1 ' 1 '
, ,
, 1 , 1
* ( 1) ( 1)
n n
K Kp I p I
k I kK I kK
I K k I K k k
A B
T f e f dz d z e f dz d z
z
ψ ψ ψ
δ− − − −
= =
∂
= − ∧ + − ∧
∂
∑ ∑ ∑ ∑
 
Với z x y= + ta có
2 2 2
2 2z x y≥ − . Suy ra:
2 2 2
1 1 1
2 2T f A B∗ ≥ −
Hoặc:
2 2 2'
, ,1
, , 1
2 2
n
j I jK k I kK
I K j k
T f f f e d f e dφ φ
δ δ λ ψ λ− −
=Ω Ω
∗ ≥ − ∂∑ ∑∫ ∫
Kết hợp (2.2.9) trong định lý 2.2.6 ta thu được:
2 2 2'
, ,1
, , 1
2 * 2
n
j I jK I kK
I K j k k
T f f f e d f e d
z
φ φ
δ λ ψ λ− −
=Ω Ω
 ∂
≥ − − ∂ 
∂ 
∑ ∑∫ ∫ (3.1.2)
Mặt khác từ (2.2.4) của định lý 2.2.1 và từ (2.2.9) cho ta:
2
2 ,, ,' '
3
, 1 , , 1
2
,' '
, ,
, 1 , ,
n n
I jKI J I kK
I J j I K j kj k j
n n
I J
j I jK I kK
I J j I K j kj k
ff f
Sf e d e d
z z z
f
e d f f e d
z z
φ φ
φ φ
λ λ
λ δ λ
− −
= =Ω Ω
− −
=Ω Ω
 ∂ ∂ ∂
= −    ∂ ∂ ∂  
 ∂ ∂
= +  
∂ ∂ 
∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫
∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫
Kết hợp với (3.1.2) cho ta:
2 2 '
, ,1 3
, , 1
2
2 2,'
,
2 *
2
n
j j I jK I kK
I K j k k k
I J
I J j
T f Sf f f e d
z z
f
e d f e d
z
φ
φ φ
δ δ λ
λ ψ λ
−
=Ω
− −
Ω Ω
  ∂ ∂
+ ≥ −  
∂ ∂   
∂
+ − ∂
∂
∑ ∑∫
∑∫ ∫
Do (2.2.8) trong định lý 2.2.5 nên vế phải của bất đẳng thức trên bằng với

39. 2
2 2 '
, ,1 3
, , 1
2
2 2,'
,
2 *
2
n
I jK I kK
kI K j k j
I J
jI J
T f Sf f f e d
z z
f
e d f e d
z
φ
φ φ
φ
λ
λ ψ λ
−
=Ω
− −
Ω Ω
∂
+ ≥
∂ ∂
∂
+ − ∂
∂
∑ ∑∫
∑∫ ∫
(3.1.3)
Cũng do bổ đề 1.3.10 ta thu được:
( ) 22 2 2 2 2'
,1 3
, 1
2 * 2 2
n
I jK
I K j
T f Sf e f e d f e dψ φ φ
ψ λ ψ λ− −
=Ω Ω
+ ≥ ∂ + − ∂∑ ∑∫ ∫ (3.1.4)
Khai triển vế phải và rút gọn ta thu được kết quả của định lý như sau:
2
22 2 2'
,1 3 2
, 1
2 * 2 2
n
I jK
I K j
T f Sf f e d fφ
λ−
=Ω
+ ≥ =∑ ∑∫ với mọi ( , 1) ( )p qf D +∈ Ω ■
Hệ quả 3.1.9 Với 1 2 3, ,φ φ φ như trong định lý 3.1.7. Nếu 2
( , 1) 2( , )p qf L φ+∈ Ω thỏa mãn
0f∂ = (theo nghĩa yếu) thì phương trình u f∂ = có nghiệm trong 2
( , ) 1( , )p qL φΩ .
Chứng minh
Với *T Sf D D∈ ∩ , do ( , 1) ( )p qD + Ω trù mật trong *T SD D∩ nên tồn tại dãy
( ) ( , 1) ( )n p qn
f D +⊂ Ω sao cho nf f→ trong *T SD D∩ . Khi đó áp dụng định lý 3.1.8
ta có đánh giá:
2 2 2
2 1 3
( * )n n nf T f Sf≤ +
Lấy giới hạn hai vế ta thu được:
2 2 2
2 1 3
( * )f T f Sf≤ + với mọi *T Sf D D∈ ∩
Khi đó nếu 0Sf = thì
2 2
2 1
*f T f≤ . Áp dụng bổ đề 2.1.9 với 2F KerS H= ⊆ ta
thu được TR F= . Suy ra phương trình Tu f= có nghiệm trong 2
( , ) 1( , )p qL φΩ . ■
Định lý 3.1.10 Với Ω là miền giả lồi trong n
 . Khi đó phương trình u f∂ = có
một nghiệm 2
( , ) ( ,loc)p qu L∈ Ω (theo nghĩa yếu) với mỗi 2
( , 1) ( ,loc)p qf L +∈ Ω sao cho
0f∂ =.
Chứng minh
Với 2
( , 1) ( ,loc)p qf L +∈ Ω thì sẽ tồn tại một hàm  :φ Ω →  sao cho các hệ số của f

40. thuộc vào 2
( , 1) ( , )p qL φ+ Ω . Chọn hàm :φ Ω →  thỏa mãn định lý 1.3.12 và φ đủ lớn
để φ ψ φ− ≥ . Khi đó các hệ số của f cũng thuộc vào 2
( , 1) 2( , )p qL φ+ Ω mà 2φ φ ψ= − .
Do đó từ hệ quả 3.1.8 sẽ tồn tại một (p,q)-dạng u có hệ số thuộc vào 2
( , ) 1( , )p qL φΩ
mà 1 2φ φ ψ= − thỏa mãn u f∂ = . Nhưng điều này cũng có nghĩa là các hệ số của u
cũng thuộc 2
( , ) ( ,loc)p qL Ω . ■
3.2. Định lý về tính chính quy của nghiệm phương trình ∂
Bây giờ ta sẽ kiểm tra về tính chính quy (tính đều) của nghiệm u của phương trình
u f∂ = mà ta thu được ở mục 3.1.
Với f là hàm trơn cho trước không phải mọi nghiệm của phương trình u f∂ = đều là
hàm trơn. Tuy nhiên, vì nghiệm của phương trình Tu f= trong bổ đề 2.1.9 có thể
được chọn trực giao với TKer (nghĩa là thuộc *TR ) nên có thêm một phương trình vi
phân theo u, phương trình này đóng vai trò chủ chốt trong việc chứng minh tính
trơn của u.
Cụ thể nếu 1KerT H⊆ là nhân của T thì KerT đóng trong 1H . Đặt 1: KerTP H → là
phép chiếu trực giao không gian Hilbert. Nếu 2f H∈ mà thỏa mãn 0Sf = thì giả
sử u là một nghiệm nào đó thỏa Tu f= . Khi đó ( ) ( )T u Pu Tu T Pu f− = − = hay
u u Pu= − cũng là nghiệm, đồng thời  KerTu ⊥ (do tính chất của phép chiếu trực
giao). Như vậy nghiệm của phương trình Tu f= có thể được chọn trong không
gian trực giao với không gian KerT là *TR . Nếu  *u là một nghiệm khác mà cũng
trực giao với KerT thì  * KerTu u− ∈ và  * KerTu u− ⊥ . Vì vậy   *u u= . Nghiệm duy
nhất trong không gian KerT
⊥
được gọi nghiệm chính tắc. Điều kiện  KerTu ⊥ cung
cấp cho ta thêm một phương trình vi phân cần thiết trong việc chứng minh tính trơn
của nghiệm u.
Định nghĩa 3.2.1 Đặt ( )s
W Ω , với s là số nguyên không âm, là không gian các
hàm xác định trên n
Ω ⊂  có đạo hàm bậc nhỏ hơn hoặc bằng s thuộc 2
L .

41. Lưu ý là tất cả các đạo hàm đều theo nghĩa yếu. Ta ký hiệu ( , )s
W locΩ là tập hợp
các hàm xác định trên n
Ω ⊂  thỏa điều kiện tương tự trên các tập con compact của
Ω . Đặt ( , ) ( )s
p qW Ω , ( , ) ( ,loc)s
p qW Ω tương ứng là không gian các (p,q)-dạng với hệ số
tương ứng thuộc vào ( )s
W Ω , ( , )s
W locΩ .
Giống như (2.2.6) ta đặt: ,'
, 1
n
KI kK I
I K k k
f
f dz d z
z
ϑ
=
∂
= ∧
∂
∑ ∑
Bổ đề 3.2.2 Nếu 2
( )n
w L∈  có giá compact và 2
j
w
L
z
∂
∈
∂
với mọi 1,...,j n= thì
1
w W∈ .
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh 2
/ jw z L∂ ∂ ∈ . Nếu ow C∞
∈ thì tích phân từng phần hai lần
cho ta:
2 22
j j j jj j j j
w w w w w w w
d d wd d d
z z z z z z z z
λ λ λ λ λ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
==− = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Suy ra 2
/ jw z L∂ ∂ ∈ . Khi đó ta có điều phải chứng minh. ■
Bổ đề 3.2.3 Nếu 2
( , 1) ( )p qf L +∈ Ω có giá compact và 2
( , 2) ( )p qf L +∂ ∈ Ω , đồng thời
2
( , ) ( )p qf Lϑ ∈ Ω thì 1
( , 1) ( )p qf W +∈ Ω .
Chứng minh
Nếu ( , 1)p qf D +∈ và 0φ ψ= = , từ (3.1.3) trong chứng minh định lý 3.1.8 cho ta
đánh giá :
22 2'
, 1 3
, 1
| / | 2
n
I J j
I J j
f z d f fλ ϑ
=
∂ ∂ ≤ + ∂∑ ∑∫
Do đó áp dụng bổ đề 3.2.2 ta có 1
( , 1) ( )p qf W +∈ Ω .
Nếu f chỉ thỏa mãn giả thuyết của bổ đề thì ta có một chính quy hóa f fε εχ= ∗ của
f như trong định nghĩa 1.2.1. Khi đó:
( )f f fε ε
ϑ ϑ ϑ= → trong 2
( , ) ( )p qL Ω

42. ( )f f fε
ε
∂ = ∂ → ∂ trong 2
( , 2) ( )p qL + Ω
Lưu ý rằng vì ,
1
' '
JI
I J
I p J q
f f dz d z
= = +
= ∧∑ ∑ nên sự hội tụ ở đây là sự hội tụ của tất cả
các hệ số của f tức là với mọi I, J, j khi 0ε → . Do đó 2
, /I J jf z L∂ ∂ ∈ . Kết hợp với
bổ đề 3.2.2 ta có điều phải chứng minh. ■
Tiếp theo sau đây, ta sẽ đưa ra kết quả mở rộng định lý 3.1.10.
Định lý 3.2.4 Với Ω là một tập mở giả lồi trong n
 và { }s∈ ∪ +∞ . Khi đó
phương trình u f∂ = có một nghiệm 1
( , ) ( ,loc)s
p qu W +
∈ Ω (theo nghĩa yếu) với mỗi
( , 1) ( ,loc)s
p qf W +∈ Ω sao cho 0f∂ =. Mỗi nghiệm của phương trình u f∂ = cũng có
tính chất này khi 0q = .
Chứng minh
a) Trước hết ta xét 0q = . Do định lý 3.1.10 phương trình u f∂ = có nghiệm
' 2
( ,0) ( ,loc)I
I pu u dz L= ∈ Ω∑ . Phương trình u f∂ = được hiểu là:
, ( ,loc)sI
I j
j
u
f W
z
∂
= ∈ Ω
∂
với mọi I, j
Giả sử rằng ( ,loc)t
u W∈ Ω với t là một số hữu hạn nhất định, 0 t s≤ ≤ . Lấy
( )oCχ ∞
∈ Ω ta có:
( ) tI I
I
j j j
u u
u W
z z z
χ χ
χ
∂ ∂ ∂
= + ∈
∂ ∂ ∂
Nếu v là đạo hàm bậc t của Iuχ thì điều đó suy ra rằng 2
/ jv z L∂ ∂ ∈ với mỗi j. Do
đó v thuộc 1
W do định lý 3.2.2, nghĩa là tất cả các đạo hàm bậc 1t + của Iuχ đều
thuộc 2
L . Vì vậy 1
( ,loc)t
Iu W +
∈ Ω . Lập lại lý luận tương tự ta thu được
1
( ,loc)s
Iu W +
∈ Ω .
b) Bây giờ nếu 0q > , nghiệm của phương trình Tu f= có thể được chọn trong bao
đóng của miền giá trị của T* là *TR . Khi đó nếu u là một nghiệm của Tu f= thì tồn

43. tại một hàm 2
( , 1) ( ,loc)p qv L +∈ Ω sao cho: *u T v= . Nếu đặt:
2 2
, 1 ( , 1) ( , ) 1: ( , ) ( , )p q p q o p qU L Lφ φ∂
− −= ∂ Ω → Ω
với oφ là một hàm trọng nào đó thì * * * 0U u U T v= = . Viết 1
*o
e U Aφ φ
ϑ−
= + như
trong (2.2.6) của mệnh đề 2.2.3 ta thu được:
Tu f= và u Auϑ = −
ở đây ϑ là toán tử vi phân bậc 1 có hệ số hằng còn A là toán tử vi phân bậc không
với các hệ số thuộc lớp C∞
tác động lên u . Giả sử ta đã chứng được rằng
( , ) ( ,loc)t
p qu W∈ Ω với một t hữu hạn nhất định thỏa mãn 0 t s≤ ≤ . Nếu ( )oCϕ ∞
∈ Ω
thì:
( )u uϑ ϕ ϕϑ= + (các số hạng chỉ liên quan đến vi phân của ϕ )
Auϕ=− + (các số hạng chỉ liên quan đến vi phân của
ϕ ) ( , 1)
t
p qW −∈
Và ( ) ( , 1)
t
p qu u u f u Wϕ ϕ ϕ ϕ ϕ +∂ = ∧ ∂ + ∧ ∂ = + ∂ ∈ .
Nếu µ , υ là các đa chỉ số thỏa tµ υ+ ≤ thì quy nạp ta được:
( ) 2
( , 1) ( )p qu L
z z
µ υ
ϕ +
 ∂ ∂    
∂ ∈ Ω    
∂ ∂     
và
( ) 2
( , 1) ( )p qu L
z z
µ υ
ϑ ϕ −
 ∂ ∂    
∈ Ω    
∂ ∂     
Do bổ đề 3.2.3 suy ra
( ) 1
( , 1) ( )p qu W
z z
µ υ
ϕ +
∂ ∂   
∈ Ω   
∂ ∂   
Do đó ( )
1
,
( ,loc)t
p q
u Wϕ +
∈ Ω , tức là ( )
1
,
( ,loc)t
p q
u W +
∈ Ω . Quy nạp theo t ta thu được:
1
( , ) ( ,loc)s
p qu W +
∈ Ω . ■
Hệ quả 3.2.5 Nếu Ω là miền giả lồi thì phương trình u f∂ = có một nghiệm

44. ( , ) ( )p qu C∞
∈ Ω cho mỗi ( , 1) ( )p qf C∞
+∈ Ω mà thỏa mãn 0f∂ =.
Chứng minh
Áp dụng định lý nhúng Sobolev ta có: ( ) ( )2
( , ) ( , )
s n s
p q p qW C+
Ω ⊂ Ω và định lý 3.2.4 ta có
điều phải chứng minh. ■
3.3. Giải bài toán Lêvi
Trong mục này ta sẽ chỉ ra mối quan hệ giữa miền chỉnh hình, miền giả lồi và định
lí tồn tại nghiệm cho phương trình Cauchy – Riemann. Ta sẽ chứng minh một miền
chỉnh hình thì là miền giả lồi, đồng thời do hệ quả 3.2.5 trên một miền giả lồi bất kì
thì phương trình u f∂ = luôn có nghiệm ( , ) ( )p qu C∞
∈ Ω với mỗi ( , 1) ( )p qf C∞
+∈ Ω thỏa
0f∂ =. Bài toán chứng minh một miền giả lồi là miền chỉnh hình thường được gọi
là bài toán Lêvi. Định lý sau đây sẽ chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng.
Định lý 3.3.1 Với Ω là miền trong n
 , ( 1n ≥ ). Các điều kiện sau đây là tương
đương :
1) Ω là miền giả lồi
2) Ω là miền chỉnh hình
3) Phương trình u f∂ = có một nghiệm ( , ) ( )p qu C∞
∈ Ω với mỗi ( , 1) ( )p qf C∞
+∈ Ω thỏa
0f∂ =.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh theo sơ đồ sau : 2 1 3 2⇒ ⇒ ⇒
2) 1)⇒
Sử dụng định nghĩa 1.3.7 ta chứng minh Ω là miền giả lồi.
Với 0 , n
z w∈Ω ∈ . Chọn r đủ nhỏ để
{ }0 ; ,D z w rτ τ τ= + ∈ ≤ ⊂ Ω
và giả sử ( )f τ là một đa thức giải tích, sao cho
0log ( ) Re ( )z w fδ τ τΩ− + ≤ , rτ =
Nếu chọn một đa thức giải tích F trong n
 sao cho 0( ) ( )F z w fτ τ+ = ta có

45. ( )
( ),F
e z z Dτ
δ−
Ω≤ ∈∂
Vì ( )A Ω - bao của D∂ chứa D do nguyên lý mô-đun cực đại, từ định lý 1.3.4 ta có
( )
( ),F
e z z Dτ
δ−
Ω≤ ∈
nghĩa là 0log ( ) Re ( )z w fδ τ τΩ− + ≤ , rτ ≤ .
Kết luận giống như vậy đúng với 0w = . Do đó log ( )z wδ τΩ− + là hàm điều hòa
dưới trên { }: z w Dτ τ∈ + ∈ với z cố định và w n
∈ . Mặt khác, log ( )z wδ τΩ− +
là hàm nửa liên tục trên do δΩ là hàm liên tục.Vậy log ( )z wδ τΩ− + là hàm đa điểu
hòa dưới. Suy ra Ω là miền giả lồi.
1) 3)⇒ Áp dụng hệ quả 3.2.5
3) 2)⇒
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo số chiều n. Nếu 1n = thì điều
này rõ ràng đúng bởi vì một tập mở bất kì trong  đều là một miền chỉnh hình. Giả
sử mệnh đề đúng với 1n − . Với oz ∈∂Ω, ta cần xây dựng một hàm chỉnh hình trên
Ω mà không thể nào mở rộng chỉnh hình qua bất kì lân cận nào chứa oz . Ta chỉ cần
chứng minh điều này trên một tập con mở trù mật của ∂Ω . Ta xây dựng tập con mở
trù mật của ∂Ω như sau : Với mỗi điểm biên z ∈∂Ω và quả cầu ( , )B z r đủ nhỏ,
chọn ( , )q B z r∈ ∩Ω đủ gần biên của Ω , lấy qB là quả cầu tâm q lớn nhất có thể
sao cho qB ⊂ Ω, khi đó chọn o qz B∈ ∩ ∂Ω , suy ra ( , )oz B z r∈ ∩ ∂Ω. Vì vậy tập
những điểm biên oz được xây dựng theo kiểu hình học này là trù mật trong ∂Ω .
Đồng thời, tại mỗi điểm biên oz ta có thể tìm được một siêu phẳng phức H qua tâm
của quả cầu qB và qua oz thỏa mãn ( )oz H∈∂ ∩Ω (Hình minh họa bên dưới).

46. Bằng một phép biến đổi tọa độ, ta giả sử rằng 0oz = và { }: 0o nH z z= ∈Ω = ≠ ∅
(có thể xem oH như là một tập mở trong 1n−
 ). Khi đó oH là miền giả lồi. Ta sẽ
chỉ ra rằng trên oH , với mỗi ( , ) ( )p q of C H∞
∈ (0 1q n≤ ≤ − ) mà 0f∂ = có thể tìm
thấy một hàm ( , ) ( )p qF C∞
∈ Ω sao cho 0F∂ = và F f= trên oH .
Ta xây dựng hàm F như sau: Giả sử 1
: n
p −
Ω →  là phép chiếu thỏa
1 2 1 1 2 1( ) ( , ,..., , ) ( , ,..., ) 'n n np z p z z z z z z z z− −= = = . Đặt
{ }: ( )o oz p z HΩ= ∈Ω ∉ ⊂ Ω
Khi đó oH và oΩ là hai tập con rời nhau và là tập đóng tương đối trong Ω . Áp
dụng bổ đề Urysohn sẽ tồn tại một hàm ( )Cθ ∞
∈ Ω sao cho 1θ = trong một lân cận
của oH và 0θ = trong một lân cận của oΩ . Đặt f là tích của θ với hàm hợp
f p , do đó 
( , ) ( )p qf C∞
∈ Ω và f f= trên oH . Lại đặt :
( ) ( ) ( )nF z f z z v z= −
trong đó ( , ) ( )p qv C∞
∈ Ω được chọn sao cho 0F∂ =. Điều đó cũng có nghĩa là:
( )
n
f p
v
z
θ∂ ∧
∂ =

(3.3.2)
Vì vế phải của (3.3.2) thuộc ( , 1) ( )p qC∞
+ Ω và là ∂-đóng nên sử dụng giả thuyết 3) sẽ
tồn tại hàm ( , ) ( )p qv C∞
∈ Ω thỏa mãn phương trình (3.3.2). Vì vậy bất kì f là dạng ∂-
đóng trên oH luôn có thể mở rộng lên thành F cũng là dạng ∂-đóng trên Ω . Điều
này đặc biệt đúng trong trường hợp 0q = .
Bây giờ nếu thay Ω bởi oH ta có thể chứng minh giả thuyết 3) là đúng trên oH .
Thật vậy, với ( , 1) ( )p q of C H∞
+∈ mà 0f∂ =, áp dụng điều đã chứng minh ở trên, sẽ
tồn tại một dạng ( , 1) ( )p qF C∞
+∈ Ω thỏa 0F∂ = và F f= trên oH . Áp dụng giả
thuyết 3), phương trình U F∂ = có nghiệm ( , ) ( )p qU C∞
∈ Ω . Đặt u U p=  ta có

47. u f∂ = .
Do giả thuyết quy nạp, oH là miền chỉnh hình. Do đó tồn tại một hàm
1 1( ') ( ,..., )nf z f z z −= chỉnh hình trên oH nhưng không thể thác triển chỉnh hình lên
lận cận của 0. Lý luận tương tự như trên, tồn tại hàm F sao cho F f= trên oH ,
( )F z chỉnh hình trên Ω nhưng không thể mở rộng qua điểm 0oz = . Điều đó chỉ ra
rằng Ω là miền chỉnh hình. Vì vậy ta có 3) 2)⇒ . ■
3.4. Định lý xấp xỉ
Định lý xấp xỉ cơ bản của hàm biến phức một biến gây được khá nhiều ấn tượng
trong sự tinh tế và hữu dụng của nó. Chẳng hạn như, định lý Runge cho phép xấp xỉ
một hàm chỉnh hình trong một lân cận của một tập compact bởi một hàm phân hình
mà cực điểm nằm trong phần bù của tập compact đã cho. Còn định lý Mergelyan
cho phép xấp xỉ một hàm liên tục trên một tập compact và chỉnh hình ở phần trong
của tập compact đó bởi những đa thức miễn là phần bù của tập compact đó phải là
thành phần liên thông. Tuy nhiên sự xấp xỉ trong hai định lý này sẽ không đạt được
nếu ta làm việc với không gian hàm biến phức nhiều biến (xem ví dụ trong [10] –
trang 224). Sử dụng kĩ thuật Hormander, tức là dùng kĩ thuật 2
L - đánh giá đã chứng
minh trong mục 3.2 ta trình bày ở đây một số kết quả về xấp xỉ.
Định lý 3.4.1 Cho n
Ω ⊆  là miền giả lồi, p là hàm vét kiệt, đa điều hòa dưới, ngặt
xác định trên Ω . Với mỗi c∈ đặt {z :p(z) c}cK= ∈Ω ≤ ⊂⊂ Ω . Nếu f là hàm
chỉnh hình trên lân cận của cK và nếu 0ε > thì sẽ tồn tại hàm F chỉnh hình trên Ω
sao cho:
2
( )cL K
f F ε− ≤ .
Chứng minh
Áp dụng định lý Hanh – Banach ta chỉ cần chứng minh rằng nếu 2
( )cv L K∈ và nếu
0
cK
uvdλ =∫ (3.4.1)
với mọi ( )u A∈ Ω thì (3.4.1) cũng đúng với mọi u mà chỉ chỉnh hình trong lân cận

48. của cK .
Trước tiên ta cố định hàm v như trên, giả sử 0c = . Đặt 0v = trên oKΩ . Dùng kí
hiệu như trong chương 2, ta đặt KerS TF R= = cho nên bất đẳng thức
2 1H H
f C v≤ thỏa mãn với mọi *Tf D F∈ ∩ . Không mất tính tổng quát, giả sử
1v = . Do định lý 3.2.4 ta có KerT là không gian con của ( )A Ω đồng thời các phần
tử của KerT là các hàm thuộc lớp C∞
. Khi đó từ (3.4.1) ta có hàm
( )1 2
1Ker ( , )Tve Lφ
φ
⊥
∈ ⊆ Ω . Áp dụng Bổ đề 2.1.10 sẽ tồn tại hàm *Tf D∈ thỏa
1
*T f veφ
= và 1
2 1
f C veφ
≤ . Ta viết jjj
f f d z= ∑ thì từ (2.2.5) cho ta:
2 2
1 1
( ) ( )j j
j jj j
e f e f
ve e v
z z
φ φ
φ φ
− −
∂ ∂
=− ⇔ =−
∂ ∂
∑ ∑
Đặt j
jz
δ
∂
= −
∂
∑ thì δ liên hợp của toán tử 2 2
(0,1): ( ) ( )L L∂ Ω → Ω ) (chứng minh
tương tự như chứng minh định lý (2.2.6)). Ký hiệu 2
fe gφ−
= có 2
( )v fe gφ
δ δ−
= = .
Cách xây dựng vừa thực hiện cũng đúng với hàm 1 2φ φ ψ= − , 2φ φ ψ= − , trong đó
ψ được chọn như trong định lý 1.3.11, còn pφ β=  là hàm vét kiệt, đa điều hòa
dưới ngặt như trong định lý 1.3.12. Ta có thể giả sử β là hàm tăng ngặt đến ∞ và
(0) 0β = . Đặt :η →  là hàm thuộc lớp C∞
, đồng nhất 1 khi 0x ≤ , đồng thời
lồi ngặt và tăng ngặt đến ∞ khi 0x > . Đặt ( ) ( ). ( )n
n x x xβ η β= thì khi đó
( ) ( )n mx xβ β= với mọi 0x ≤ , , 1m n ≥ . Đồng thời 1( ) ( )n nx xβ β+ ≥ với mọi 0x > ,
1n ≥ . Cuối cùng với mọi 0x > ta có ( )n xβ ∞ khi n → ∞. Do đó với mỗi
*n∈ , ta có thể xây dựng được các hàm 1
n
φ , 2
n
φ từ hàm nβ giống cách xây dựng
các hàm 1φ , 2φ trong định lý 1.3.12. Vì vậy với mỗi *n∈ , ta nhận được ng có
dạng (0,1) sao cho ( )nv gδ= và
2 1
2 1
n n
n nng e C veφ φ
φ φ
≤

49. Chú ý rằng, vế phải của bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào n do 0v = trên tập
oKΩ , đồng thời 1
n
φ không phụ thuộc n khi 0x ≤ . Do đó:
( )nv gδ= và 2
2
n
nng e Cφ
φ
≤ với mọi *n∈
với C là hằng số nhất định không phụ thuộc n.
Vì 1
2 2
n
φ φ≥ nên 2 2 1
2 2( , ) ( , )n
L Lφ φΩ ⊆ Ω cho tất cả *n∈ , nên ta có dãy
2 1
(0,1) 2(g ) L ( , )n φ⊆ Ω là dãy bị chặn. Khi đó dãy 2 1
(0,1) 2{g } L ( , )n φ⊆ Ω có dãy con ( )jng
hội tụ yếu đến phần tử og , suy ra:
2
2
n
nog e Cφ
φ
≤ với mọi 1,2,...n =
Nhưng 2
n
φ ∞ ngoài oK , do đó 0og = hầu khắp nơi ngoài oK (nếu không thì bất
đẳng thức trên không đúng). Bây giờ lấy ( )oCµ ∞
∈ Ω . Từ jn og g→ suy ra
jn og gδ δ→ theo nghĩa yếu, nghĩa là:
( )1
.j
n
n o o
k
k
vd g d g d g d
z
µ
µ λ µδ λ µδ λ λ
 ∂
= → =  
∂ 
∑∫ ∫ ∫ ∫ (3.4.2)
Bởi vì ,og v có giá trong oK nên biểu thức trên vẫn còn đúng cho bất kì µ thuộc
lớp C∞
trên một lân cận của oK . Đặc biệt nó đúng cho bất kì µ nào chỉnh hình trên
lân cận của oK . Vì vậy nếu µ chỉnh hình trên oK thì vế phải của (3.4.2) bằng 0. ■
Hệ quả 3.4.2 Cho n
Ω ⊆  là miền giả lồi, và K là tập con compact của Ω . Giả sử
 ( )PK KΩ = . Khi đó bất kì hàm chỉnh hình nào xác định trên lân cận của K đều có
thể xấp xỉ đều trên K bởi một hàm chỉnh hình trên Ω .
Trong chứng minh hệ quả này ta có sử dụng kết quả sau
Bổ đề 3.4.3 Với mỗi tập compact K ⊂ Ω (Ω tập mở trong n
 ) và mỗi lân cận mở
ω của K tồn tại hằng số Cα sao cho:
1
( )
sup L
K
u C uα
α ω
∂ ≤ với ( )u A∈ Ω
Chứng minh chi tiết của bổ đề có thể xem trong [7].

50. Chứng minh hệ quả 3.4.2
Lấy u là hàm chỉnh hình bất kì trong lân cận ω của K. Do Ω là miền giả lồi nên
theo định lý 1.3.9 tồn tại p là hàm vét kiệt, đa điều hòa dưới ngặt, thuộc lớp C∞
xác
định trên Ω sao cho p thỏa mãn giả thuyết của định lý 3.4.1 và K được chứa trong
phần trong của oK mà bản thân oK cũng được chứa trong phần trong của ω (xem
định lý 1.3.9 ). Áp dụng định lý 3.4.1 sẽ có một dãy ( )ju A∈ Ω sao cho 0ju u− →
trong 2
( )oL K . Áp dụng bổ đề 3.4.3 điều này suy ra 0ju u− → đều trên K. Do đó hệ
quả được chứng minh. ■
3.5. Mở rộng miền Ω của toán tử ∂ lên toàn bộ không gian ( n
Ω ⊆  )
Phương pháp L2
– đánh giá được trình bày trong chương này cũng mang lại cho ta
định lý tồn tại toán tử ∂ khi thay miền Ω bởi không gian n

Lấy ( )n
Cϕ ∈ 2
 và lấy T, S lần lượt là hai toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật
giữa hai không gian ( , ) ( , )n
p qL φ2
 , ( , ) ( , )n
p qL φ+
2
1  và ( , ) ( , )n
p qL φ+
2
2  được xác định
bởi toán tử ∂. Điều kiện
2
1
n
j
kk
e
z
ψη
=
∂
≤
∂
∑ với mọi *
j ∈
trong định lí 1.3.12 được thỏa mãn khi ψ = 0 và hàm ( ) ( )v
zz
v
η η= bằng 1 trong
lân cận của 0 nếu oCη ∞
∈ . Do đó định lý 3.1.7 có thể áp dụng được, nghĩa là
( , ) ( )n
p qD +1  là tập trù mật trong * ST
D D∩ . Bởi vì ψ = 0 nên áp dụng (3.1.4) trong
chứng minh của định lý 3.1.8 ta thu được
2 2 2
1 3
*c f e d T f Sfφ
λ−
≤ +∫ với * ST
f D D∈ ∩ (3.5.1)
trong đó c là hàm liên tục có giá trị dương sao cho
,
n n
kj j
kj j k j
c w w w
z z
φ
= =
∂
≤
∂ ∂
∑ ∑
2
2
1 1
với mọi z , n
w∈ (3.5.2)
Định lý 3.5.1 Với φ là hàm đa điều hòa dưới ngặt thuộc lớp ( )n
C2
 sao cho

51. (3.5.2) đúng với một hàm liên tục, dương c nào đó. Với mỗi ( , ) ( , )n
p qg L φ+∈ 2
1  mà
g∂ =0 thỏa mãn điều kiện
eg d
c
φ
λ
−
< ∞∫
2
(3.5.3)
thì có thể tìm được một dạng ( , ) ( , )n
p qu L φ∈ 2
 sao cho u g∂ = và
eu e d g d
c
φφ
λ λ
−−
≤∫ ∫
2 2
(3.5.4)
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh với mọi *
T
f D∈ thì bất đẳng thức sau luôn đúng
( ) ( ), * eg f T f g d
c
φ
φ φ
λ
−
≤ ∫
1
2 2
(3.5.5)
Nếu *
T
f D∈ mà trực giao với KerS thì hai vế của (3.5.5) triệt tiêu do KerSg ∈ và
miền TR chứa trong KerS nên *T f bằng 0 với f như vậy. Do đó ta chỉ cần chứng
minh trong trường hợp *T Sf D D∈ ∩ và điều này được suy ra trực tiếp từ (3.5.1),
(3.5.3).
Khi (3.5.5) đúng thì áp dụng định lý Hahn – Banach cho dạng phản tuyến tính
* ( , )T f g f φ→ với *Tf D∈
có thể được mở rộng lên toàn bộ không gian ( , ) ( , )n
p qL φ2
 thành dạng phản tuyến
tính liên tục mà bị chặn bởi chuẩn. Do đó lại áp dụng định lý biểu diễn Riesz tồn tại
phần tử u trong ( , ) ( , )n
p qL φ2
 sao cho
( , * ) ( , )u T f g fφ φ= với *
T
f D∈ (3.5.6)
Từ đó suy ra Tu = g, đồng thời từ sự kết hợp của (3.5.5) và (3.5.6) ta có (3.5.4). ■
Hệ quả sau đây của định lý 3.5.1 thường hữu ích hơn nhiều bởi vì không đòi hỏi
hàm đa điều hòa dưới ngặt.
Định lý 3.5.2 Với φ là hàm đa điều hòa dưới xác định trên n
 . Với mỗi hàm
( , ) ( , )n
p qg L φ+∈ 2
1  mà g∂ =0 thì sẽ có một nghiệm ( , ) ( , )locn
p qu L∈ 2
 của phương
trình u g∂ = sao cho

52. ( )u e z d g e dφ φ
λ λ− − −
+ ≤∫ ∫
2 2 22
2 1 (3.5.7)
Chứng minh
Trước tiên ta giả sử Cφ ∈ 2
. Ta sẽ áp dụng định lý 3.5.1 với φ được thay bởi hàm
log( )zφ= +
2
1 . Ta có
,
log( ) ( ) ( ( , ) ) ( )( )-
n
kj
kj k j
w w z z w z w z z w
z z
− −
=
∂
+ = + + ≥ +
∂ ∂
∑
2
2 2 2 2 2 2 22 2
1
1 1 1 1 (3.5.8)
Do đó ta sẽ lấy hàm ( )c z −
= +
2 2
2 1 . Nếu φ không thuộc lớp C2
thì ta có thể chính
quy hóa φ như trong định nghĩa 1.2.1 và thu được hàm đa điều hòa dưới Cεφ ∞
∈
mà giảm dần về φ khi ε → 0 . Với mỗi ε > 0 ta có thể tìm thấy một hàm uε sao
cho u gε∂ = và
( )u e z d g e d g e dε εφ φ φ
ε λ λ λ− −− −
+ ≤ ≤∫ ∫ ∫
2 2 2 22
2 1
Bởi vì εφ giảm theo sự giảm của ε , điều đó chỉ ra rằng uε bị chặn theo chuẩn L2
trên bất kì tập compact nào. Do đó ta có thể chọn dãy jε → 0 sao cho j
uε hội tụ yếu
trên mỗi tập compact đến hàm ( , ) ( , )locn
p qu L∈ 2
 . Với mỗi ε > 0 và R < ∞ ta thu
được
( )
z R
u e z d g e dεφ φ
λ λ− − −
<
+ ≤∫ ∫
2 2 22
2 1
Từ đó ta có (3.5.7) và u g∂ = . ■
Định lý tiếp theo sau đây ta sẽ kết hợp kết quả trong định lý 3.5.2 cùng với lí luận
được dùng trong chứng minh của định lý 3.3.1 để mô tả sự mở rộng của một hàm
giải tích xác định trên một không gian con tuyến tính có đối số chiều k của không
gian n
 .
Định lý 3.5.3 Với φ là hàm đa điều hòa dưới xác định trên n
 sao cho có một số C
>0 nào đó thỏa mãn
( ') ( )z z Cφ φ− < nếu 'z z− < 1 (3.5.9)
Cho W là không gian con tuyến tính của n
 có đối chiều là k. Với mỗi hàm giải tích

53. u xác định trên W sao cho
W
u e dφ
σ−
< ∞∫
2
(3.5.10)
trong đó dσ là kí hiệu độ đo lebesgue trong W, tồn tại một hàm giải tích U xác
định trên n
 sao cho U = u trên W và
( ) k k k kC
W
U e z d e u e dφ φ
λ π σ− − −
+ ≤∫ ∫
2 2 23
1 6 (3.5.11)
Chứng minh
Bởi vì hàm log( )z+
2
1 là hàm đa điều hòa dưới do (3.5.8) nên ta chỉ cần chứng
minh định lý trong trường hợp W là siêu phẳng và lặp lại kết quả này k lần ta sẽ có
điều phải chứng minh.
Ta sẽ giả sử W là siêu phẳng có phương trình nz = 0. Khi đó u là hàm giải tích theo
biến ' ( , ,..., )nz z z z −= 1 2 1 và ta xem u như là một hàm giải tích trong n
 mà độc lập
với biến nz . Do (3.5.9) nên áp dụng tích phân theo biến nz ta thu được
n
C
z W
u e d e u e dφ φ
λ π σ− −
<
≤∫ ∫
2 2
1
(3.5.12)
Lấy ψ là một hàm liên tục trong  xác định như sau : ψ = 1 trong đĩa tâm 0 với
bán kính 1
2
, triệt tiêu bên ngoài đĩa đơn vị và là hàm tuyến tính khi z≤ ≤1 1
2
.
Khi đó zψ∂ ∂ ≤ 1 . Ta viết
( ) ( ) ( ') ( )n nU z z u z z v zψ= −
Ta thu được ( ) ( ')U z u z= khi nz = 0, vì vậy ta chỉ việc chọn hàm v thích hợp thỏa
U∂ =0 nghĩa là
( ') ( ) ( ') nn n n
n
v z u z z z u z d z f
z
ψ
ψ− − ∂
∂= ∂ = =
∂
1 1
(3.5.13)
Rõ ràng f∂ =0. Từ (3.5.12) và do nzψ∂ ∂ =0 khi nz < 1 2 ta thu được
C
W
f e d e u e dφ φ
λ π σ− −
≤∫ ∫
2 2
4
Áp dụng định lý 3.5.2, tồn tại hàm v thỏa

54. ( )v e z d f e dφ φ
λ σ− − −
+ ≤∫ ∫
2 2 22
2 1
Suy ra : ( ) C
W
v e z d e u e dφ φ
λ π σ− − −
+ ≤∫ ∫
2 2 22
2 1 2 .
Ta lại có : ( ) ( ) ( ') ( ) ( ( ) )( ( ') ( ) )n n n nU z z u z z v z z z u z v zψ ψ= − ≤ + +
2 22 2 22
Với cách họn hàm ψ là hàm tuyến tính liên tục trong  như trên nên ( )z zψ ≤
trong đó ψ = 1. Suy ra khi nz < 1 ta có
( ) ( )( ( ') ( ) )U z z u z v z≤ + +
2 2 2 2
1
Trong trường hợp nz ≥ 1 thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nU z z v z U z z v z z v z=− ⇒ = ≤ +
22 2 2 2
1 . Như vậy
( ) ( ) ( ) ( ') ( ) ( )
nz
BA
U z e z d z u z e d z v z e dφ φ φ
λ λ λ− − − − − −
<
+ ≤ + + +∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2 23 2 2
1
1 1 1

Vì ( )z −
+ <
2 2
1 4 nên từ (3.5.12) ta có
C
W
A e u e dφ
π σ−
≤ ∫
2
4
Mặt khác :
C
W
B e u e dφ
π σ−
≤ ∫
2
2
Do đó
( ) ( ) C
W
U z e z d e u e dφ φ
λ π σ− − −
+ ≤∫ ∫
2 2 23
1 6
Định lý được chứng minh. ■
Kết thúc mục này ta sẽ sử dụng phương pháp đã được sử dụng trong mục 3.4 để
chứng minh sự tồn tại của hàm nguyên với cấp tăng cho trước.
Định lý 3.5.4 Với φ là hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp ( )n
C2
 . Khi đó tập hợp
các hàm nguyên u thỏa mãn
( ) N
u e z dφ
λ− −
+ < ∞∫
2 2
1 , (3.5.14)
với N là một số nguyên nào đó, chứa những hàm không đồng nhất không. Thực ra,
những hàm này trù mật trong không gian A chứa tất cả các hàm nguyên với topo

55. hội tụ đều trên các tập compact.
Chứng minh
Bổ đề 3.4.3 chỉ ra rằng một tôpô tương đương trong A được cho bởi sự hội tụ L2
trên tất cả các tập compact. Khi đó với mỗi dạng tuyến tính liên tục L trên A, theo
định lý Hanh – Banach, ta có thể tìm được một hàm v L∈ 2
thỏa mãn
( )L u uvdλ= ∫ với u A∈
Ta cần chỉ ra rằng L = 0 trên A nếu ( )L u = 0 cho tất cả u A∈ mà thỏa mãn (3.5.14)
với N nào đó. Khi đó định lý này là một hệ quả của Định lý Hahn – Banach.
Kí hiệu R là số thỏa mãn v = 0 khi z R> . Đặt
( ) ( ) log( ) (log( ))N z z z N zφ φ χ= + + + +
2 2
1 1
trong đó χ là hàm lồi tăng thuộc lớp C2
triệt tiêu hoàn toàn trên ( ;log( ))R−∞ + 2
1
và tuyến tính gần +∞. Từ (3.5.8) suy ra rằng
, ,
( )
n n
N
kj j
kj k j k j
w z w w
z z
φ−
= =
∂
+ ≤
∂ ∂
∑ ∑
2
2 2 2
1 1
1 (3.5.15)
Ta sẽ dùng lại kí hiệu toán tử T, S như trước đồng thời cho p q= = 0 và φ được
thay thế bởi Nφ . Những phần tử thuộc không gian KerT là những hàm giải tích thỏa
mãn điều kiện (3.5.14), vì vậy N
veφ
trực giao với KerT và do đó nằm trong bao
đóng của miền *TR . Bây giờ nếu V nằm trong miền *
T
R , ta có thể chọn
( , ) ( , )n
Nf L φ∈ 2
0 1  sao cho *T f V= và f trực giao với *KerT
và do đó thuộc bao
đóng của TR , dẫn đến f thuộc KerS . Từ (3.5.1) ta có thể lấy ( )c z −
= +
2 2
1 như
trong (3.5.15). Từ đó
( )N N
f e z d V e dφ φ
λ λ− −−
+ ≤∫ ∫
2 2 22
1 (3.5.16)
Từ định lý 2.2.2, phương trình *T f V= có thể viết lại như sau
( )N
N
n
j
j j
f e
Ve
z
φ
φ
−
−
=
∂
= −
∂
∑1
(3.5.17)

56. Nếu ta chọn một dãy các hàm V hội tụ về N
veφ
trong ( , )NL φ2
 thì phương trình
(3.5.17) với vế phải –v có một nghiệm thỏa mãn ước lượng
( )N N
f e z d v e dφ φ
λ λ− −
+ ≤∫ ∫
2 2 22
1
Vế phải của ước lượng này độc lập với N bởi định nghĩa của hàm Nφ . Viết
NN
g fe φ−
= ta thu được một dãy các nghiệm của phương trình
n
j
j j
g
v
z=
∂
= −
∂
∑1
(3.5.18)
thỏa mãn ước lượng
( )NN
g e z d Cφ
λ−
+ ≤∫
2 2 2
1
Với C là một hằng số không phụ thuộc vào N. Bởi vì Nφ tăng theo N và tiến ra vô
cùng khi z R> , ta có thể chọn giới hạn yếu g của N
g mà vẫn thỏa mãn (3.5.18)
sao cho ( )g z = 0 khi z R> . Phương trình (3.5.18) vẫn còn đúng theo nghĩa đạo
hàm suy rộng bởi g và v có giá compact. Như vậy
j
j
u
uvd g d
z
λ λ
∂
=
∂
∑∫ ∫ với ( )n
u C∞
∈ 
Do đó ( )L u uvdλ= =∫ 0 nếu u A∈ . ■

57. KẾT LUẬN
Bài toán về phương trình ∂ trình bày trong luận văn này – còn được gọi là
phương trình Cauchy – Riemann không thuần nhất – được quan tâm nghiên cứu bởi
nhiều nhà toán học trên thế giới, vì vậy phương pháp tiếp cận bài toán cũng phong
phú hơn. Luận văn chủ yếu tập trung vào tìm hiểu những kết quả đã biết, liên quan
đến việc giải phương trình Cauchy – Riemann không thuần nhất theo phương pháp
của Hormander, tức là phương pháp L2
- đánh giá trong không gian Hilbert có trọng.
Ở chương 1 của luận văn trình bày một số định nghĩa liên quan đến toán tử vi
phân, biểu diễn dạng vi phân của một hàm trong không gian ( , ) ( )p qL Ω2
, cùng các kết
quả trong lý thuyết hàm suy rộng. Đồng thời các vấn đề về miền chỉnh hình, miền
giả lồi cũng được trình bày, làm tiền đề cho các kết quả sau này.
Chương 2 giới thiệu toán tử tuyến tính, không bị chặn trong không gian Hilbert,
nhằm chuẩn bị lý luận cho việc xây dựng toán tử ∂ trong phương trình Cauchy –
Riemann. Chương này cũng mô tả toán tử liên hợp của toán tử ∂ trong không gian
Hilbert có trọng, mà các hàm trọng được chọn trong chương 1, cùng một số định lý
đánh giá, điều này hết sức cần thiết khi giải bài toán Cauchy – Riemann theo
phương pháp L2
- đánh giá trong không gian Hilbert có trọng.
Trong chương 3, bằng cách sử dụng kỹ thuật 2
L - đánh giá được trình bày trong
chương 2 để nghiên cứu các phương trình Cauchy- Riemann (phương trình ∂) dẫn
đến các định lý tồn tại và xấp xỉ đối với các nghiệm của phương trình Cauchy-
Riemann trong các miền giả lồi. Qua đó cũng nhận được nghiệm của bài toán Lê-vi.
Ngoài ra chương này cũng trình bày một số kết quả khi mở rộng miền Ω lên thành
toàn bộ không gian phức n
 .
Vì bài toán Cauchy – Riemann còn được nghiên cứu theo phương pháp đánh giá
trên biên, mà kĩ thuật 2
L - đánh giá được sử dụng trong bối cảnh của bài toán ∂-
Neumann trong không gian có trọng. Với ước lượng của Morrey-Kohn-Hormander
sẽ cho ta định lý tồn tại nghiệm của toán tử ∂- Neumann trên một miền giả lồi bị
chặn bất kì. Phương pháp đánh giá này tự nhiên hơn phương pháp của Hormander

58. do dựa vào lý thuyết về hệ phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là lý thuyết elliptic
về các toán tử Laplace. Mặc dù phương pháp này khó và kỹ thuật hơn phương pháp
của Hormander nhưng chúng đạt được nhiều thông tin hơn. Tác giả luận văn hy
vọng sẽ có dịp được tiếp cận nghiên cứu phương pháp này, nhằm nâng tầm trình độ
hiểu biết của mình hơn nữa về các phương pháp giải bài toán Cauchy – Riemann.

59. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Khuê (2010), Phép tính vi phân – Dạng vi phân trong
không gian Banach, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm.
[2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục.
Tiếng Anh
[3] Adams, R. A. (1975), Sobolev spaces, Academic Press, New York.
[4] A.K.Pichler-Tennenberg (1998), Operators and Forms in Hilbert Space,
University of Bristol.
[5] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson (1997), Real
Analysis, Prentice Hall (Pearson).
[6] Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck (2011), Several Complex Variables, Korteweg-
de Vries Institute for Mathematics, Faculty of Science, University of
Amsterdam.
[7] L. Hörmander (1973), An Introduction to Complex Analysis in Several
Variables, North- Holland Publishing Company.
[8] L. Hörmander (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I,
Springer-Verlag.
[9] Mei – Chi Shaw , So – Chin Chen (2001), Partial Differential Equations in
Several Complex Variables, American Mathematicial Society, International
press.
[10] Steven G.Krantz (1992), Function Theory of Several Complex Variables,
Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software Pacific Grove,
California.
[11] Webster R (1994), Convexity, Oxford University Press Inc., New York.