1. Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT
www.luyenthicaonguyen.com
ĐC: 128/39 Ywang - BMT
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44
GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng
1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
x
y
z
1
ĐS : x = y = z =
3
Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
x2 +
y = x + 4 − x2
ĐS : Maxy = y (2) = 2 2 ; Miny = y (−2) = −2
[ −2;2]
[ −2;2]
Bài 3 (ĐH D2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2].
x +1
y=
x2 + 1
ĐS : Maxy = y (1) = 2 ; Miny = y (−1) = 0
[ −1;2]
[ −1;2]
3
Bài 4 (ĐH B2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1; e  .


2
ln x
y=
x
4 Miny = y (1) = 0
2
ĐS : Maxy = y (e ) = 2 ; 1;e3 
e
1;e3 




Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
+ + = 4 . Chứng minh rằng
x y z
1
1
1
+
+
≤1
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
3
ĐS : x = y = z =
4
Bài 6 (ĐH B2005) Chứng minh rằng với mọi x ∈ R , ta có .
x
x
x
 12   15   20 
x
x
x
 ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 3 + 4 + 5 . Khi nào đẳng thức xảy ra?
 5  4  3 
ĐS : x = 0
Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
.Khi nào đẳng thức xảy ra?
ĐS : x = y = z = 1
Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy .
1 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3 + 3 .
x
y
1
ĐS : MaxA = 16 ⇔ x = y =
2
Bài 9 (ĐH B2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + | y − 2 |
1
ĐS : MinA = 2 + 3 ⇔ x = 0; y =
3
Bài 10 (ĐH A2007) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Tìm giá
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 YwangBMT
Trang 1

2. Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT
www.luyenthicaonguyen.com
ĐC: 128/39 Ywang - BMT
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44
trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x2 ( y + z)
y 2 ( z + x)
z 2 ( x + y)
+
+
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y
ĐS : MinP = 2 ⇔ x = y = z = 1
Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
x 1
y 1
z 1
P = x( + ) + y( + ) + z ( + )
2 yz
2 zx
2 xy
9
ĐS : MinP = ⇔ x = y = z = 1
2
Bài 12 (ĐH D2007) Cho a ≥ b > 0 . Chứng minh rằng :
b
a
 a 1   b 1
2 + a ÷ ≤ 2 + b ÷
2  
2 

Bài 13 (ĐH B2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất
2( x 2 + 6 xy )
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
.
1 + 2 xy + 2 y 2
3
1
3
2


 x = 10 ; y = 10
 x = 13 ; y = − 13
ĐS : MaxP = 3 ⇔ 
; MinP = −6 ⇔ 
3
1
3
2


 x = − 10 ; y = − 10
 x = − 13 ; y = 13


Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
( x − y )(1 − xy )
của biểu thức : P =
.
(1 + x ) 2 (1 + y ) 2
1
1
ĐS : MaxP = ⇔ x = 1; y = 0; MinP = − ⇔ x = 0; y = 1
4
4
Bài 15 (ĐH A2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz,
ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3
ĐS : x = y = z
Bài 16 (ĐH B2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y) 3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
ĐS : MinA =
9
1
⇔x= y=
16
2
Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.


2+ 3
2− 3
x =
x =
25
1
191


4
4
⇔ x = y = ; MinP =
⇔
ĐS : MaxS =
hoặc 
2
2
16
y = 2 − 3
y = 2+ 3



4

4
Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M = 3(a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a 2 + b 2 + c 2
ĐS : MinM = 2 ⇔ ( a, b, c) là một trong các bộ số : (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)
Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3x + 10
1
ĐS : Miny = 2 ⇔ x =
3
Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 YwangBMT
Trang 2

3. Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT
www.luyenthicaonguyen.com
ĐC: 128/39 Ywang - BMT
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44
biểu thức P =
x
y
z
+
+
2x + 3y y + z z + x
34
⇔ x = 4; y = 1; z = 2
33
Bài 22 (ĐH B2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
 a 3 b3   a 2 b 2 
2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4  3 + 3 ÷− 9  2 + 2 ÷.
a 
b a  b
a = 2
a = 1
23
ĐS : MinP = − ⇔ 
hoặc 
4
b = 1
b = 2
ĐS : MinP =
Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0; 2] .
y=
2 x 2 + 3x + 3
x +1
17
ĐS : Miny = y (0) = 3 ; Maxy = y (2) =
[ 0;2]
3
[ 0;2]
Bài 24 (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 .
ĐS : MinP = 3 ⇔ x = y = z = 0
Bài 25 (ĐH B2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 5 + y 5 + z 5 .
5 6
6
6
⇔ x=
;y=z=−
36
3
6
Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
17 − 5 5
1+ 5
ĐS : MinA =
⇔x= y=
4
4
Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c 2 . Tìm giá trị
ĐS : MaxP =
nhỏ nhất của biểu thức P =
32a 3
32b3
a 2 + b2
+
−
(b + 3c)3 (a + 3c)3
c
ĐS : MinP = 1 − 2 ⇔ x = y = 1
Bài 28 (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
4
9
P=
−
a 2 + b 2 + c2 + 4 (a + b) (a + 2c)(b + 2c)
5
ĐS : MaxP = ⇔ a = b = c = 2
8
Bài 29 (ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 . Tìm giá trị lớn nhất
x+y
x − 2y
−
của biểu thức: P =
2
2
6(x + y)
x − xy + 3y
5 7
1
+
⇔ x= ;y=2
3 30
2
Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0; 2] .
ĐS : MaxP =
2 x 2 − 3x + 3
x +1
ĐS : Minf(x) = f (1) = 1 ; Maxf(x) = f (0) = 3
[ 0;2]
[ 0;2]
f ( x) =
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 YwangBMT
Trang 3