100 bai toan ks cua thay tran si tung

www.VNMATH.com

TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng

100 Khảo sát hàm số
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1
Cho hàm số y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1)
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
· Tập xác định: D = R. y ¢= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 .

Câu 1.

(1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2
mx + 4
(1)
x+m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) .

Câu 2.

Cho hàm số y =

· Tập xác định: D = R {–m}.

y ¢=

m2 - 4
( x + m )2

.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û y ¢< 0 Û -2 < m < 2
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có -m ³ 1 Û m £ -1
Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 .

(1)
(2)

Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥; 0) .

Câu 3.

· m £ -3
Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(2 m + 1) x 2 + 6 m ( m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥)

Câu 4.

· y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2 m + 1)2 - 4(m 2 + m ) = 1 > 0
éx = m
y' = 0 Û ê
. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m ), (m + 1; +¥)
ëx = m +1
Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + 1 £ 2 Û m £ 1
Cho hàm số y = x 4 - 2 mx 2 - 3m + 1 (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
· Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m)

Câu 5.

+ m £ 0 , y ¢³ 0, "x Þ m £ 0 thoả mãn.
+ m > 0 , y ¢= 0 có 3 nghiệm phân biệt: - m , 0,
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi

m.

m £ 1 Û 0 < m £ 1.

Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên ( 0; +¥ ) .

Câu 6.

Trang 1

Vậy m Î ( -¥;1] .

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

· Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m ) x + (2 - m ) ³ 0 với "x Î (0; +¥)
3x 2 + 2 x + 2
Û f ( x) =
³ m với "x Î (0; +¥)
4x +1
2(6 x 2 + x - 3)
-1 ± 73
Ta có: f ¢( x ) =
= 0 Û 6x2 + x - 3 = 0 Û x =
2
12
(4 x + 1)
Lập bảng biến thiên của hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đi đến kết luận:
æ -1 + 73 ö
3 + 73
fç
³m
÷³mÛ
ç 12
÷
8
è
ø

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
· PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
é x = -1
x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 = 0
(1) Û ê
2
(2)
ë g( x ) = x + 2 x + m - 2 = 0
(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x Û PT (1) có 3 nghiệm phân biệt
ì ¢
Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û íD = 3 - m > 0
Û m<3
îg(-1) = m - 3 ¹ 0

Câu 7.

Cho hàm số y = - x 3 + (2 m + 1) x 2 - (m 2 - 3m + 2) x - 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

Câu 8.

· y ¢= -3 x 2 + 2(2 m + 1) x - (m 2 - 3m + 2) .
(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm trái
dấu Û 3(m 2 - 3m + 2) < 0 Û 1 < m < 2 .
1
Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (2m - 1) x - 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
3
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
· TXĐ: D = R ; y ¢= x 2 – 2mx + 2 m –1 .

Câu 9.

Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y ¢= 0 có 2 nghiệm phân
ìm ¹ 1
ì ¢ = m 2 - 2m + 1 > 0
ï
ïD
biệt cùng dấu Û í
Ûí
1
ï2m - 1 > 0
ïm > 2
î
î
Câu 10. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x - 1 .
Trang 2

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


· Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m .
Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2
Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*)
Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
1ö
mö
æ1
æ 2m
ö
æ
Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç
+ 2÷ x + ç 2 - ÷
3ø
3ø
è3
è 3
ø
è
mö
mö
æ 2m
ö
æ
æ 2m
ö
æ
+ 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç
+ 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷
Þ y1 = y ( x1 ) = - ç
3ø
3ø
è
è 3
ø
è
è 3
ø
mö
æ 2m
ö æ
+ 2÷ x + ç 2 - ÷
Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = - ç
3ø
è 3
ø è
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x - 1 Û xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x - 1
3
æ 2m
ö
Û -ç
+ 2 ÷ = 1 Û m = - (thỏa mãn)
2
è 3
ø
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x - 1
y + y2 x1 + x2
mö
æ 2m
ö
æ
+ 2 ÷ ( x1 + x2 ) + 2 ç 2 - ÷ = ( x1 + x2 ) - 2
Û yI = xI - 1 Û 1
=
-1 Û - ç
2
2
3ø
è 3
ø
è
2m
æ 2m
ö
Ûç
+ 3 ÷ .2 = 6 Ûm=0
3
è 3
ø
3ü
ì
Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = í0; - ý
2þ
î
Câu 11. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
éx = 0
· Ta có: y¢ = 3 x 2 - 6 mx ; y¢ = 0 Û ê
. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0.
ë x = 2m
uur
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB = (2m; -4 m3 )
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
ì
2
ï2 m - 4 m 3 = 0
ì AB ^ d
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û í
Û í 3
Û m=±
2
îI Î d
ï2 m = m
î
Câu 12. Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 - 3m - 1 .

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 .

· y ¢ = -3 x 2 + 6 mx ; y ¢= 0 Û x = 0 Ú x = 2 m .
Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 .
uuu
r
Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; -3m - 1), B(2 m; 4 m3 - 3m - 1) Þ AB(2m; 4m 3 )
Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m; 2 m3 - 3m - 1)
r
Đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 có một VTCP u = (8; -1) .
Trang 3

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

ìm + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = 0
ìI Î d
ï
A và B đối xứng với nhau qua d Û í
Û íuuu r
Û m=2
r
AB ^ d
AB.u = 0
î
ï
î
Câu 13. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx

(1).
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d: x – 2 y – 5 = 0 .

· Ta có y = x 3 - 3 x 2 + mx Þ y ' = 3 x 2 - 6 x + m
Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt Û D¢ = 9 - 3m > 0 Û m < 3
æ1
æ2
ö
1ö
1
Ta có: y = ç x - ÷ y ¢+ ç m - 2 ÷ x + m
3ø
3
è3
è3
ø
Tại các điểm cực trị thì y ¢= 0 , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình:
æ2
ö
1
y = ç m - 2÷ x + m
3
è3
ø
æ2
ö
1
Như vậy đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y = ç m - 2 ÷ x + m
3
è3
ø
2
nên D có hệ số góc k1 = m - 2 .
3
1
5
1
d: x – 2 y – 5 = 0 Û y = x - Þ d có hệ số góc k2 =
2
2
2
Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D
ö
1æ2
Þ k1k2 = -1 Û ç m - 2 ÷ = -1 Û m = 0
2è3
ø
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là
I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0
Câu 14. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x + m - 2 (1) có đồ thị là (Cm).

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
1
nhau qua đường thẳng d: y = x .
2

· y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9
Hàm số có CĐ, CT Û D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > 0 Û m Î (-¥; -1 - 3) È (-1 + 3; +¥)
æ1
m +1 ö ¢
2
Ta có y = ç x ÷ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 1
3
3 ø
è
Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB.
Þ y1 = -2(m 2 + 2m - 2) x1 + 4 m + 1 ; y2 = -2(m 2 + 2 m - 2) x2 + 4 m + 1
ì x + x = 2(m + 1)
và: í 1 2
î x1 .x2 = 3
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m 2 + 2 m - 2) x + 4 m + 1
Trang 4

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
A, B đối xứng qua (d): y =

1
ì AB ^ d
x Ûí
Û m = 1.
2
îI Î d

Câu 15. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x - m , với m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x 2 sao cho x1 - x 2 £ 2 .

· Ta có y ' = 3x 2 - 6(m + 1) x + 9.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x 2 Û PT y '= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2
Û PT x 2 - 2(m + 1) x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x 2 .
ém > -1 + 3
Û D' = (m + 1) 2 - 3 > 0 Û ê
(1)
m < -1 - 3
ê
ë
+ Theo định lý Viet ta có x1 + x 2 = 2(m + 1); x1 x 2 = 3. Khi đó:
x1 - x 2 £ 2 Û ( x1 + x 2 )2 - 4 x1 x 2 £ 4 Û 4(m + 1)2 - 12 £ 4

Û (m + 1)2 £ 4 Û -3 £ m £ 1

(2)

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là - 3 £ m < -1 - 3 và - 1 + 3 < m £ 1.
Câu 16. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2 m) x 2 + (2 - m ) x + m + 2 , với m là tham số thực.

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 - x2 >

1
.
3

· Ta có: y ' = 3 x 2 + 2(1 - 2 m) x + (2 - m)

Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1 < x2 )
é
5
(*)
Û D ' = (1 - 2 m )2 - 3(2 - m ) = 4 m 2 - m - 5 > 0 Û ê m > 4
ê
ë m < -1
ì
2(1 - 2 m)
ï x1 + x2 = 3
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 . Khi đó ta có: í
2-m
ïx x =
î 1 2
3
2
2
1
1
x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 >
3
9
3 + 29
3 - 29
Û 4(1 - 2m )2 - 4(2 - m) > 1 Û 16m 2 - 12 m - 5 > 0 Û m >
Úm<
8
8
3 + 29
Kết hợp (*), ta suy ra m >
Ú m < -1
8
1 3
1
x - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + , với m là tham số thực.
3
3
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 .

Câu 17. Cho hàm số y =

· Ta có: y ¢= x 2 - 2(m - 1) x + 3(m - 2)

Trang 5

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

Û D¢ > 0 Û m 2 - 5m + 7 > 0 (luôn đúng với "m)
ì x = 3 - 2m
ì x + x = 2(m - 1)
ï
Khi đó ta có: í 1 2
Ûí 2
ï x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2)
î x1 x2 = 3(m - 2)
î
Û 8m 2 + 16 m - 9 = 0 Û m =

-4 ± 34
.
4

Câu 18. Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 – 3 x .

2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 = -4 x2 .

· y ¢= 12 x 2 + 2mx – 3 . Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số luôn có 2 cực trị x1 , x2 .
ì
ï x1 = -4 x2
ï
m
ï
Khi đó: í x1 + x2 = 6
ï
1
ï
ï x1 x2 = - 4
î
Câu hỏi tương tự:

Þm=±

9
2

a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ; x1 + 2x2 = 3

ĐS: m = -105 .

Câu 19. Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
· Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
Û PT y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
ìa = (m + 2) ¹ 0
ïD ' = 9 - 3m(m + 2) > 0
ìD ' = -m 2 - 2 m + 3 > 0
ì -3 < m < 1
ï
m
ï
ï
ï
Û íP =
>0
Û ím < 0
Û ím < 0
Û -3 < m < -2
3(m + 2)
ï
ïm + 2 < 0
ïm < -2
î
î
ï S = -3 > 0
ï
m+2
î
Câu 20. Cho hàm số y = x 3 – 3 x 2 + 2

(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3 x - 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.
· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức g( x , y ) = 3 x - y - 2 ta có:
g( x A , y A ) = 3 x A - y A - 2 = -4 < 0; g( x B , yB ) = 3 x B - yB - 2 = 6 > 0

Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3 x - 2 .
Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB: y = -2 x + 2
Trang 6

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


4
ì
ïx = 5
y = 3x - 2
ì
ï
æ4 2ö
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: í
Þ Mç ; ÷
Ûí
è5 5ø
î y = -2 x + 2
ïy = 2
ï
5
î
Câu 21. Cho hàm số y = x 3 + (1 – 2 m) x 2 + (2 – m ) x + m + 2 (m là tham số) (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

· y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2 m) x + 2 - m = g( x )
YCBT Û phương trình y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 .
ìD¢ = 4m 2 - m - 5 > 0
5
7
ï
Û ïg(1) = -5m + 7 > 0 Û < m < .
í
4
5
ï S = 2m - 1 < 1
ï2
3
î
y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1)
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa
độ O.
· Ta có y ¢ = 3 x 2 - 6mx + 3(m 2 - 1)

Câu 22. Cho hàm số

Hàm số (1) có cực trị thì PT y ¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Û x 2 - 2mx + m 2 - 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt Û D = 1 > 0, "m
Khi đó: điểm cực đại A(m - 1; 2 - 2m ) và điểm cực tiểu B(m + 1; -2 - 2m )
é m = -3 + 2 2
Ta có OA = 2OB Û m 2 + 6m + 1 = 0 Û ê
.
ê m = -3 - 2 2
ë
Câu 23. Cho hàm số y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m 3 - m 2

(1)
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
· y ¢ = -3 x 2 + 6 mx + 3(1 - m 2 ) .

PT y ¢= 0 có D = 1 > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) .
Chia y cho y¢ ta được:
Khi đó:

æ1
mö
y = ç x - ÷ y ¢+ 2 x - m2 + m
è3
3ø

y1 = 2 x1 - m2 + m ; y2 = 2 x2 - m 2 + m

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2 x - m 2 + m .
Câu 24. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm).

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song
song với đường thẳng d: y = -4 x + 3 .
Trang 7

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

· Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m .
Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*)
1ö
mö
æ1
æ 2m
ö
æ
+ 2÷ x + ç 2 - ÷
3ø
3ø
è3
è 3
ø
è
mö
mö
æ 2m
ö
æ
æ 2m
ö
æ
+ 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç
+ 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷
Þ y1 = y ( x1 ) = - ç
3ø
3ø
è
è 3
ø
è
è 3
ø
mö
æ 2m
ö æ
+ 2÷ x + ç 2 - ÷
Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d: y = - ç
3ø
è 3
ø è
Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: y = -4 x + 3
ì æ 2m
ö
ï - ç 3 + 2 ÷ = -4
ï è
ø
Ûí
Û m = 3 (thỏa mãn)
ïæ 2 - m ö ¹ 3
ïç
3÷
ø
îè
Câu 25. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm).

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo
với đường thẳng d: x + 4 y – 5 = 0 một góc 450 .
· Ta có: y ' = 3 x 2 - 6 x - m .
Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
Û D ' = 9 + 3m > 0 Û m > -3 (*)
1ö
mö
æ1
æ 2m
ö
æ
+ 2÷ x + ç 2 - ÷
3ø
3ø
è3
è 3
ø
è
mö
mö
æ 2m
ö
æ
æ 2m
ö
æ
+ 2 ÷ x1 + ç 2 - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç
+ 2 ÷ x2 + ç 2 - ÷
Þ y1 = y ( x1 ) = - ç
3ø
3ø
è 3
ø
è
è 3
ø
è
mö
æ 2m
ö æ
+ 2÷ x + ç 2 - ÷
Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = - ç
3ø
è 3
ø è
1
æ 2m
ö
Đặt k = - ç
+ 2 ÷ . Đường thẳng d: x + 4 y – 5 = 0 có hệ số góc bằng - .
4
è 3
ø
1
1
3
39
é
é
é
1
k=
k + = 1- k
m=k+
ê
ê
5
4
4
10
4 Ûê
Ta có: tan 45o =
Ûê
Ûê
ê
1
1
1
5
êk = ê k + = -1 + k
êm = - 1
1- k
ê
ê
ê
4
ë
4
4
3
ë
2
ë
1
Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m = 2
Câu 26. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + m

(1)

·
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB = 120 0 .
Trang 8

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


é x = -2 Þ y = m + 4
· Ta có: y ¢= 3 x 2 + 6 x ; y ¢= 0 Û ê
ëx = 0 Þ y = m
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4)
uur
uur
·
1
OA = (0; m), OB = (-2; m + 4) . Để AOB = 120 0 thì cos AOB = 2
ì-4 < m < 0
m(m + 4)
1
Û
= - Û m 2 ( 4 + (m + 4)2 ) = -2m(m + 4) Û í 2
2
î3m + 24m + 44 = 0
m 2 ( 4 + (m + 4)2 )
ì-4 < m < 0
-12 + 2 3
ï
Ûí
-12 ± 2 3 Û m =
3
ïm =
3
î
Câu 27. Cho hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 3(m2 –1) x – m 3

(Cm)
2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cố định.
éx = m +1
· y ¢= 3 x 2 - 6 mx + 3(m 2 - 1) ; y ¢= 0 Û ê
ë x = m -1
ì x = -1 + t
Điểm cực đại M (m –1;2 – 3m) chạy trên đường thẳng cố định: í
î y = 2 - 3t
ìx = 1+ t
Điểm cực tiểu N (m + 1; -2 – m) chạy trên đường thẳng cố định: í
î y = -2 - 3t
1 4
3
x - mx 2 +
(1)
2
2
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.


éx = 0
· y ¢= 2 x3 - 2mx = 2 x ( x 2 - m) . y ¢ = 0 Û ê 2
ëx = m
Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT y ¢= 0 có 1 nghiệm Û m £ 0
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5

(Cm ) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
tam giác vuông cân.
éx = 0
· Ta có f ¢( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 Û ê 2
ëx = 2 - m
Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m 2 - 5m + 5 ) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m )
uur
uuu
r
Þ AB = ( 2 - m ; -m 2 + 4 m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; - m 2 + 4m - 4 )
Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A
3
Û AB.AC = 0 Û (m - 2 ) = -1 Û m = 1 (thoả (*))
Trang 9

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

Câu 30. Cho hàm số y = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5

(C m )

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
éx = 0
· Ta có f ¢( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 Û ê 2
ëx = 2 - m
Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2

(*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A ( 0; m 2 - 5m + 5 ) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m )
uur
uuu
r
Þ AB = ( 2 - m ; -m 2 + 4 m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; - m 2 + 4m - 4 )
1
Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi µ = 60 0 Û cos A =
A
2
uuu uuu
r r
AB. AC
1
Û uuu uuu = Û m = 2 - 3 3 .
r
r
AB . AC 2
Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y = x 4 - 4(m - 1) x 2 + 2 m - 1
Câu 31. Cho hàm số y = x 4 + 2 mx 2 + m 2 + m có đồ thị (Cm) .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 .
éx = 0
· Ta có y¢ = 4 x 3 + 4 mx ; y¢ = 0 Û 4 x( x 2 + m) = 0 Û ê
ê x = ± -m
ë

(m < 0)

Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m 2 + m ), B ( - m ; m ) , C ( - - m ; m )
uur
uuu
r
µ
AB = ( - m ; - m 2 ) ; AC = (- - m ; -m 2 ) . DABC cân tại A nên góc 120o chính là A .
uur uuu
r
µ
1
AB. AC
1
- -m . -m + m4
1
o
A = 120 Û cos A = - Û uur uuu = - Û
=r
4
2
2
2
m -m
AB . AC
ém = 0
(loaïi)
1
4
4
4
1
Û
= - Þ 2 m + 2 m = m - m Û 3m + m = 0 Û ê
êm = - 3
2
m4 - m
ê
3
ë
1
.
Vậy m = 3
3
m + m4

Câu 32. Cho hàm số y = x 4 - 2 mx 2 + m - 1 có đồ thị (Cm) .

đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
éx = 0
· Ta có y ¢= 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m ) = 0 Û ê 2
ëx = m
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị Û PT y ¢= 0 có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổi dấu khi
x đi qua các nghiệm đó Û m > 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là:
A(0; m - 1), B ( - m ; - m 2 + m - 1) , C ( m ; - m 2 + m - 1)
Trang 10

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


1
y - y A . xC - xB = m 2 m ; AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m
2 B
ém = 1
(m 4 + m)2 m
AB. AC.BC
3
R=
=1Û
= 1 Û m - 2m + 1 = 0 Û ê
2
êm = 5 - 1
4SV ABC
4m m
ë
2
SV ABC =

a) y = x 4 - 2mx 2 + 1

ĐS: m = 1, m =

-1 + 5
2

Câu 33. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 có đồ thị (Cm) .

đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.
éx = 0
· Ta có y ' = 4 x 3 - 4mx = 0 Û ê
2
ë g ( x) = x - m = 0
Hàm số có 3 cực trị Û y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û D g = m > 0 Û m > 0 (*)
Với điều kiện (*), phương trình y ¢= 0 có 3 nghiệm x1 = - m ; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt

cực trị tại x1 ; x2 ; x3 . Gọi A(0; 2m + m 4 ); B ( m ; m 4 - m 2 + 2m ) ; C ( - m ; m 4 - m2 + 2m ) là 3
điểm cực trị của (Cm) .
Ta có: AB 2 = AC 2 = m 4 + m; BC 2 = 4m Þ DABC cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BC Þ M (0; m 4 - m 2 + 2 m) Þ AM = m 2 = m 2
Vì D ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
5

SD ABC =

1
1
AM .BC = .m 2 . 4m = 4 Û m 2 = 4 Û m 5 = 16 Û m = 5 16
2
2

Vậy m = 5 16 .
a) y = x 4 - 2m 2 x 2 + 1 , S = 32

ĐS: m = ±2

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO
3

2

Câu 34. Cho hàm số y = x + 3x + mx + 1 (m là tham số)

(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.

· PT hoành độ giao điểm của (1) và d: x 3 + 3 x 2 + mx + 1 = 1 Û x ( x 2 + 3 x + m) = 0
9
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û m < , m ¹ 0
4
Khi đó: xB , xC là các nghiệm của PT: x 2 + 3 x + m = 0 Þ x B + xC = -3; x B .xC = m
2
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k1 = 3 x B + 6 xB + m và tại C là k2 = 3 xC + 6 xC + m

Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û k1.k2 = -1 Û 4m 2 - 9m + 1 = 0

Û m=
Trang 11

9 - 65
9 + 65
Ú m=
8
8

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

Câu 35. Cho hàm số y = x 3 – 3 x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3 .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc
với nhau.

· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 – (m + 3) x – m – 2 = 0
é x = -1 ( y = 3)
Û ( x + 1)( x 2 – x – m – 2) = 0 Û ê
2
ë g( x ) = x - x - m - 2 = 0
9
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û m > - , m ¹ 0
4
Khi đó: xN , xP là các nghiệm của PT: x 2 - x - m - 2 = 0 Þ x N + x P = 1; x N . x P = - m - 2
2
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là k1 = 3 x N - 3 và tại P là k2 = 3 x P - 3

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û k1.k2 = -1 Û 9m 2 + 18m + 1 = 0

Û m=

-3 + 2 2
-3 - 2 2
Ú m=
3
3

Câu 36. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4

(C)
2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
· PT đường thẳng (d): y = k ( x - 2)
+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 - 3 x 2 + 4 = k ( x - 2)

é x = 2 = xA
Û ( x - 2)( x 2 - x - 2 - k ) = 0 Û ê
2
ë g( x ) = x - x - 2 - k = 0
+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N Û PT g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
ìD > 0
9
Û í
(*)
Û- <k¹0
4
î f (2) ¹ 0
ì x + xN = 1
+ Theo định lí Viet ta có: í M
î xM xN = - k - 2
+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau Û y ¢( x ).y ¢( x ) = -1
M

N

2
2
Û (3 xM - 6 xM )(3 xN - 6 xN ) = -1 Û 9k 2 + 18k + 1 = 0 Û k =

-3 ± 2 2
3

(thoả (*))

Câu 37. Cho hàm số y = x 3 - 3 x (C)

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m( x + 1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
éx +1 = 0
· PT hoành độ giao điểm ( x + 1)( x 2 - x - 2 - m ) = 0 (1) Û ê 2
ëx - x - 2 - m = 0
(1) luôn có 1 nghiệm x = -1 ( y = 2 ) Þ (d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).

Trang 12

(2)

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


9
ì
ïm > (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û (2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1 Û í
4 (*)
ïm ¹ 0
î
Tiếp tuyến tại N, P vuông góc Û y '( xN ). y '( xP ) = -1 Û m =

-3 ± 2 2
(thoả (*))
3

Câu 38. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - (m 2 - 1) ( m là tham số)

(1).

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
dương.
· Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có:
ì(1) coù 2 cöïc trò
ï y .y < 0
ï CÑ CT
(*)
í
ï xCÑ > 0, xCT > 0
ï
îa.y(0) < 0
Trong đó: + y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 - 1) x - (m 2 - 1) Þ y¢ = 3 x 2 - 6 mx + 3(m 2 - 1)
+ Dy ¢ = m 2 - m 2 + 1 = 0 > 0, "m
é x = m - 1 = xCÑ
+ y ¢= 0 Û ê
ë x = m + 1 = xCT
ìm - 1 > 0
ïm + 1 > 0
ï
Suy ra: (*) Û í 2
Û 3 < m < 1+ 2
(m - 1)(m 2 - 3)(m 2 - 2m - 1) < 0
ï
ï- 2
î (m - 1) < 0
1 3
2
x - mx 2 - x + m + có đồ thị (Cm ) .
3
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn
hơn 15.
1
2
2
2
2
· YCBT Û x 3 - mx 2 - x + m + = 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa x1 + x2 + x3 > 15 .
3
3
éx = 1
Ta có: (*) Û ( x - 1)( x 2 + (1 - 3m ) x - 2 - 3m ) = 0 Û ê
2
ë g( x ) = x + (1 - 3m) x - 2 - 3m = 0


2
2
Do đó: YCBT Û g( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 1 và thỏa x1 + x2 > 14 .

Û m >1
Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y = x3 - 3mx 2 - 3x + 3m + 2
Câu 40. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + m , trong đó m là tham số thực.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
· Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
Û Phương trình x 3 - 3 x 2 - 9 x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Trang 13

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

Û Phương trình x 3 - 3 x 2 - 9 x = - m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Û Đường thẳng y = - m đi qua điểm uốn của đồ thị (C)
Û -m = -11 Û m = 11.
Câu 41. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

2) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

· Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 = 0
Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là x1; x2 ; x3 ta có: x1 + x2 + x3 = 3m

(1)

Để x1; x2 ; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 = m là nghiệm của phương trình (1)
é
êm = 1
ê
-1 + 15
Þ -2m 3 + 9m - 7 = 0 Û ê m =
ê
2
ê
-1 - 15
êm =
ë
2
-1 - 15
là giá trị cần tìm.
2

Thử lại ta có m =

Câu 42. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 - mx có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực.

2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = x + 2 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số nhân.
· Xét phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:
x 3 - 3mx 2 - mx = x + 2 Û g ( x ) = x3 - 3mx 2 - ( m + 1) x - 2 = 0
Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp

số nhân. Khi đó ta có: g ( x ) = ( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 )
ì x1 + x2 + x3 = 3m
ï
Suy ra: í x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = - m - 1
ïx x x = 2
î 1 2 3

2
3
Vì x1 x3 = x2 Þ x2 = 2 Þ x2 = 3 2 nên ta có: -m - 1 = 4 + 3 2.3m Û m = -

Đk đủ: Với m = Vậy m = -

5
3 2 +1
3

5
, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
3 2 +1
3

5
3 2 +1
3

Câu 43. Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại
ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .
· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:
x 3 + 2 mx 2 + (m + 3) x + 4 = x + 4 Û x( x 2 + 2 mx + m + 2) = 0
Trang 14

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


é x = 0 ( y = 4)
Ûê
2
ë g( x ) = x + 2 mx + m + 2 = 0 (1)
(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
2
ì /
ì m £ -1 Ú m ³ 2
(*)
Û íD = m - m - 2 > 0 Û í
îm ¹ -2
î g(0) = m + 2 ¹ 0
Khi đó: xB + xC = -2m; xB . xC = m + 2 .
Mặt khác: d (K , d ) =
SDKBC = 8 2 Û

1- 3 + 4
2

= 2 . Do đó:

1
BC.d ( K , d ) = 8 2 Û BC = 16 Û BC 2 = 256
2

Û ( x B - xC )2 + ( yB - yC )2 = 256 Û ( x B - xC )2 + (( xB + 4) - ( xC + 4))2 = 256
Û 2( xB - xC )2 = 256 Û ( xB + xC )2 - 4 x B xC = 128
Û 4 m 2 - 4(m + 2) = 128 Û m 2 - m - 34 = 0 Û m =
Vậy m =

1 ± 137
(thỏa (*)).
2

1 ± 137
.
2

Câu 44. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4 có đồ thị là (C).

2) Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A(-1; 0) với hệ số góc k (k Î ¡ ) . Tìm k để đường
thẳng dk cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
· Ta có: dk : y = kx + k Û kx - y + k = 0
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:
x 3 - 3 x 2 + 4 = kx + k Û ( x + 1) é( x - 2)2 - k ù = 0 Û x = -1 hoặc ( x - 2)2 = k
ë
û
ìk > 0
dk cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û í
îk ¹ 9

Khi đó các giao điểm là A(-1; 0), B ( 2 - k ;3k - k k ) , C ( 2 + k ;3k + k k ) .
BC = 2 k 1 + k 2 , d (O, BC ) = d (O, dk ) =

k
1+ k2

1
k
SDOBC = .
.2 k . 1 + k 2 = 1 Û k k = 1 Û k 3 = 1 Û k = 1
2 1+ k2
Câu 45. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 có đồ thị là (C).

2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
· Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng y = k ( x - 1) .

2.

PT hoành độ giao điểm của (C) và D: ( x - 1)( x 2 - 2 x - 2 - k ) = 0

D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û PT x 2 - 2 x - 2 - k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
Trang 15

www.VNMATH.com

Û k > -3
1
SDOAB = d (O, D). AB = k
2

Trần Sĩ Tùng

k +3 Þ k

é k = -1
k +3 = 2 Û ê
ë k = -1 ± 3

Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: y = - x + 1; y = ( -1 ± 3 ) ( x - 1) .
Câu 46. Cho hàm số y = x 3 + mx + 2

có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.
2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành:
2
x 3 + mx + 2 = 0 Û m = - x 2 - ( x ¹ 0)
x
2
2 -2 x 3 + 2
Xét hàm số: f ( x ) = - x 2 - Þ f '( x ) = -2 x +
=
x
x2
x2
Ta có bảng biến thiên:
-¥
+¥
f ¢( x)
+¥
f (x)

-¥
-¥
-¥
Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất Û m > -3 .
Câu 47. Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 2

có đồ thị (Cm)
2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

· 1- 3 < m < 1+ 3
Câu 48. Cho hàm số y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 có đồ thị là (C).

2) Định m để đường thẳng (d ) : y = mx - 2m - 4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

· PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 = mx - 2m - 4
éx = 2
Û ( x - 2)( x 2 - 4 x + 1 - m ) = 0 Û ê
2
ë g( x ) = x - 4 x + 1 - m = 0
(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT g( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û m > -3
Câu 49. Cho hàm số y = x 3 – 3 x 2 + 1 .

2) Tìm m để đường thẳng (D): y = (2 m - 1) x – 4 m – 1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân
biệt.

· Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): x 3 – 3 x 2 – (2 m –1) x + 4 m + 2 = 0
éx = 2
Û ( x - 2)( x 2 – x – 2 m –1) = 0 Û ê
2
ë f ( x ) = x - x - 2m - 1 = 0 (1)
é 2 ¹ x1 = x2
(D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: ê
ë x1 = 2 ¹ x2
Trang 16

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
é ìD = 0
êï b
í
ê ï¹2
Û ê î 2a
Û
êìD > 0
ê í f (2) = 0
ëî
5
1
Vậy: m = - ; m = .
8
2

é ì8m + 5 = 0
é
5
êï 1
í
êm = - 8
êï ¹ 2
Ûê
êî 2
êm = 1
ê ì8m + 5 > 0
ë
2
ê í-2 m + 1 = 0
ëî

Câu 50. Cho hàm số y = x3 - 3m 2 x + 2m có đồ thị (Cm).

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
· Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị
Þ y ¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û 3x 2 - 3m 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0
Khi đó y ' = 0 Û x = ± m .
(Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt Û yCĐ = 0 hoặc yCT = 0
Ta có:
+ y (- m) = 0 Û 2m3 + 2m = 0 Û m = 0 (loại)
+ y (m) = 0 Û -2m3 + 2m = 0 Û m = 0 Ú m = ±1
Vậy: m = ±1

( )

Câu 51. Cho hàm số y = x 4 - mx 2 + m - 1 có đồ thị là Cm

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 8 .
2) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
ìm > 1
· í
îm ¹ 2

( )

Câu 52. Cho hàm số y = x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là Cm .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0 .
2) Định m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số
cộng.
· Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0

(1)

Đặt t = x , t ³ 0 thì (1) trở thành: f (t ) = t - 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 .
2

2

Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f (t ) = 0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt
ìD ' = m 2 > 0
1
ì
ï
ïm > Û í S = 2 ( m + 1) > 0 Û í
2 (*)
ï P = 2m + 1 > 0
ïm ¹ 0
î
î
Với (*), gọi t1 < t2 là 2 nghiệm của f (t ) = 0 , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần
lượt là: x1 = - t2 ; x2 = - t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2
x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng Û x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3 Û t2 = 9t1
ém = 4
é5m = 4m + 4
Û m + 1 + m = 9 ( m + 1 - m ) Û 5 m = 4 ( m + 1) Û ê
Ûê
êm = - 4
-5m = 4m + 4
ë
9
ë
Trang 17

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

4ü
ì
Vậy m = í 4; - ý
9þ
î
Câu hỏi tương tự đối với hàm số y = - x 4 + 2(m + 2) x 2 - 2 m - 3

ĐS: m = 3, m = -

13
.
9

Câu 53. Cho hàm số y = x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.

2) Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ
hơn 2.
· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 :
é x = ±1
x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m = -1 Û x 4 – (3m + 2) x 2 + 3m + 1 = 0 Û ê 2
ë x = 3m + 1 (*)
Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2
ì 1
ì0 < 3m + 1 < 4
ï
ï- < m < 1
Û í
Ûí 3
ï3m + 1 ¹ 1
ïm ¹ 0
î
î
Câu 54. Cho hàm số y = x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3.
· Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0
(1)
Đặt t = x 2 , t ³ 0 thì (1) trở thành: f (t ) = t 2 - 2 ( m + 1) t + 2m + 1 = 0 .
(Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3
é 0 = t1 < t2 < 3
Û f ( t ) có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 sao cho: ê
ë 0 < t1 < 3 £ t2
ìD ' = m 2 > 0
2
ìD ' = m > 0
ï
ï
1
ï f ( 3) = 4 - 4m £ 0
Û í f (0) = 2m + 1 = 0 í
Û m = - Ú m ³1
2
ï S = 2 ( m + 1) < 3 ï S = 2 ( m + 1) > 0
î
ï P = 2m + 1 > 0
î
1
Vậy: m = - Ú m ³ 1 .
2
Câu 55. Cho hàm số y = x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2m (1), với m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 ..
2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi
m < 0.
· Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox:
x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + 2m = 0 (1)
Đặt t = x 2 ( t ³ 0 ) , (1) trở thành : t 2 - 2m 2t + m4 + 2m = 0
(2)
Ta có : D ' = -2m > 0 và S = 2m2 > 0 với mọi m > 0 . Nên (2) có nghiệm dương
Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai
điểm phân biệt.
Trang 18

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


2x +1
có đồ thị là (C).
x+2
2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
2x +1
· PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
= -x + m
x+2
ì x ¹ -2
Û í
2
î f ( x ) = x + (4 - m ) x + 1 - 2 m = 0 (1)


Do (1) có D = m 2 + 1 > 0 và f (-2) = (-2)2 + (4 - m).(-2) + 1 - 2 m = -3 ¹ 0, "m
nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có: y A = m - x A ; yB = m - xB nên AB 2 = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 = 2(m 2 + 12)
Suy ra AB ngắn nhất Û AB 2 nhỏ nhất Û m = 0 . Khi đó: AB = 24 .
Câu hỏi tương tự đối với hàm số:
x -1
1
x-2
a) y =
ĐS: m = 2
b) y =
ĐS: m =
x -1
2x
2
x-3
.
x +1
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I (-1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
· Phương trình đường thẳng d : y = k ( x + 1) + 1


x -3
= kx + k + 1 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 .
x +1
Û f ( x ) = kx 2 + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1
ìk ¹ 0
ï
Û íD = -4k > 0 Û k < 0
ï f (-1) = 4 ¹ 0
î
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N Û

Mặt khác: xM + xN = -2 = 2 xI Û I là trung điểm MN với "k < 0 .
Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là y = kx + k + 1 với k < 0 .
2x + 4
(C).
1- x
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M,
N sao cho MN = 3 10 .
· Phương trình đường thẳng (d ) : y = k ( x - 1) + 1.
Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt


sao cho ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = 90
2

ì 2x + 4
= k ( x - 1) + 1
ï
í -x +1
ï y = k ( x - 1) + 1
î

2

(a)

ìkx 2 - (2k - 3) x + k + 3 = 0
(I). Ta có: ( I ) Û í
y = k ( x - 1) + 1
î
Trang 19

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

(I) có hai nghiệm phân biệt Û PT kx 2 - (2k - 3) x + k + 3 = 0 (b) có hai nghiệm phân biệt.
3
Û k ¹ 0, k < .
8
2
2
Ta biến đổi (a) trở thành: (1 + k 2 ) ( x2 - x1 ) = 90 Û (1 + k 2 ) é( x2 + x1 ) - 4 x2 x1 ù = 90 (c)
ë
û
2k - 3
k +3
Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1 + x2 =
, x1 x2 =
, thế vào (c) ta có phương
k
k
8k 3 + 27k 2 + 8k - 3 = 0 Û (k + 3)(8k 2 + 3k - 1) = 0
trình:
-3 + 41
-3 - 41
; k=
.
16
16
Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
Û k = -3; k =

2x - 2
(C).
x +1
2) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2 x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho


AB = 5 .
2x - 2
= 2 x + m Û 2 x 2 + mx + m + 2 = 0 ( x ¹ -1)
x +1
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác –1

· PT hoành độ giao điểm:

(1)

Û m2 - 8m - 16 > 0
(2)
m
ì
ï x1 + x2 = - 2
ï
. Gọi A ( x1; 2 x1 + m ) , B ( x2 ; 2 x2 + m ) .
Khi đó ta có: í
m+2
ï x1 x2 =
ï
î
2
AB2 = 5 Û ( x1 - x2 )2 + 4( x1 - x2 )2 = 5 Û ( x1 + x2 )2 - 4x1 x2 = 1 Û m2 - 8m - 20 = 0
é m = 10
Ûê
ë m = -2
Vậy: m = 10; m = -2 .

(thoả (2))

x -1
(1).
x+m
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y = x + 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại


hai điểm A và B sao cho AB = 2 2 .

· PT hoành độ giao điểm:

ì x ¹ -m
x -1
= x+2 Û í 2
x+m
î x + (m + 1) x + 2 m + 1 = 0

(*)

d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác -m
ì 2
ì
ìD > 0
(**)
Ûí
Û ím - 6 m - 3 > 0 Û ím < 3 - 2 3 Ú m > 3 + 2 3
î x ¹ -m
îm ¹ -1
îm ¹ -1
ì x + x = -(m + 1)
Khi đó gọi x1 , x2 là các nghiệm của (*), ta có í 1 2
î x1. x2 = 2m + 1
Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là A( x1; x1 + 2), B( x2 ; x2 + 2) .
Trang 20

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


Suy ra AB 2 = 2( x1 - x2 )2 = 2 é( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2 ù = 2(m2 - 6 m - 3)
ë
û
é m = -1
Theo giả thiết ta được 2(m 2 - 6 m - 3) = 8 Û m 2 - 6m - 7 = 0 Û ê
ëm = 7
Kết hợp với điều kiện (**) ta được m = 7 là giá trị cần tìm.
2x - 1
(C).
x -1
2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB
vuông tại O.


· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x 2 + (m - 3) x + 1 - m = 0,

x ¹ 1 (*)

(*) có D = m 2 - 2 m + 5 > 0, "m Î R và (*) không có nghiệm x = 1.
ì x + xB = 3 - m
Þ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là x A , xB . Theo định lí Viét: í A
î x A .xB = 1 - m
Khi đó: A ( x A ; x A + m ) , B ( x B ; x B + m )
uur uur
DOAB vuông tại O thì OA.OB = 0 Û x A xB + ( x A + m )( xB + m ) = 0
Û 2 x A x B + m( x A + x B ) + m 2 = 0 Û m = -2

Vậy: m = –2.
x+2
.
x-2
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
ì x - yA + m = 0
của (C) và thỏa í A
.
î x B - yB + m = 0

Câu 62. Cho hàm số: y =

ì x - yA + m = 0
ìy = xA + m
· Ta có: í A
Ûí A
Þ A, B Î (d ) : y = x + m
î x B - yB + m = 0
î yB = x B + m
Þ A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
x+2
Û f ( x ) = x 2 + (m - 3) x - (2 m + 2) = 0 ( x ¹ 2)
(*).
x+m =
x-2
(*) có D = m2 + 2m + 17 > 0, "m Þ (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Và 1. f (2) = -4 < 0 Þ x A < 2 < x B hoặc xB < 2 < x A (đpcm).

KSHS 04: TIẾP TUYẾN
Câu 63. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (1)

(m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0
1
góc a , biết cos a =
.
26
Trang 21

www.VNMATH.com

r
· Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT n1 = (k; -1)
r
Đường thẳng d có VTPT n2 = (1;1) .

Trần Sĩ Tùng

é
3
r r
n1.n2
êk = 2
1
k -1
Ta có cos a = r r Û
=
Û 12 k 2 - 26 k + 12 = 0 Û ê
2
n1 . n2
26
êk = 2
2 k +1
ë
3
YCBT thoả mãn Û ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
3
é 2
é ¢ 3
y =
ê3 x + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 2
ê
é D/ 1 ³ 0
é8m 2 - 2m - 1 ³ 0
2 Ûê
Ûê /
Ûê 2
ê
êD 2 ³ 0
ê 4m - m - 3 ³ 0
ê3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 2
ê y ¢= 2
ë
ë
ê
ë
3
3
ë
1
1
é
êm £ - 4 ; m ³ 2
1
1
Û ê
Û m £ - hoặc m ³
4
2
êm £ - 3 ; m ³ 1
ê
ë
4
Câu 64. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C).

2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .

· Giả sử A(a; a3 - 3a2 + 1), B(b; b3 - 3b2 + 1) thuộc (C), với a ¹ b .
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:
y ¢(a) = y ¢(b) Û 3a2 - 6a = 3b2 - 6 b Û a 2 - b2 - 2(a - b) = 0 Û (a - b)(a + b - 2) = 0
Û a + b - 2 = 0 Û b = 2 - a . Vì a ¹ b nên a ¹ 2 - a Û a ¹ 1
Ta có: AB = (b - a)2 + (b3 - 3b2 + 1 - a3 + 3a2 - 1)2 = (b - a)2 + (b3 - a3 - 3(b2 - a2 ))2
= (b - a)2 + é(b - a)3 + 3ab(b - a) - 3(b - a)(b + a) ù
ë
û
= (b - a)2 + (b - a)2 é(b - a)2 + 3ab - 3.2 ù
ë
û

2

2

2

= (b - a)2 + (b - a)2 é(b + a)2 - ab - 6 ù = (b - a)2 + (b - a)2 (-2 - ab)2
ë
û
AB 2 = (b - a)2 é1 + (-2 - ab)2 ù = (2 - 2a)2 é1 + (a2 - 2a - 2)2 ù
ë
û
ë
û
2ù
é
= 4(a - 1)2 ê1 + é(a - 1)2 - 3ù ú = 4(a - 1)2 é(a - 1)4 - 6(a - 1)2 + 10 ù
û û
ë
û
ë ë

= 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2
Mà AB = 4 2 nên 4(a - 1)6 - 24(a - 1)4 + 40(a - 1)2 = 32
Û (a - 1)6 - 6(a - 1)4 + 10(a - 1)2 - 8 = 0

(*)

Đặt t = (a - 1)2 , t > 0 . Khi đó (*) trở thành:
é a = 3 Þ b = -1
t 3 - 6t 2 + 10t - 8 = 0 Û (t - 4)(t 2 - 2t + 2) = 0 Û t = 4 Þ (a - 1)2 = 4 Û ê
ë a = -1 Þ b = 3
Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(-1; -3) .

Trang 22

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


y = 3 x - x 3 (C).
2) Tìm trên đường thẳng (d): y = - x các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt
với đồ thị (C).
· Các điểm cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2).


Câu 66. Cho hàm số y = - x 3 + 3 x 2 - 2

(C).
2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ
thị (C).
· Gọi M ( m;2) Î ( d ) .
PT đường thẳng D đi qua điểm M và có hệ số góc k có dạng : y = k ( x - m ) + 2
ì 3+ 2
(*).
D là tiếp tuyến của (C) Û hệ PT sau có nghiệm ï- x 2 3 x - 2 = k ( x - m) + 2 (1)
í
(2)
ï-3 x + 6 x = k
î

Thay (2) và (1) ta được: 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 4 = 0 Û ( x - 2) é2 x 2 - (3m - 1) x + 2 ù = 0
ë
û
éx = 2

Û ê

2
ë f ( x ) = 2 x - (3m - 1) x + 2 = 0 (3)

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) Û hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt
5
ì
ìD > 0
ï m < -1 hoÆc m >
Û (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 Û í
Ûí
3 .
î f (2) ¹ 0 ï m ¹ 2
î
5
ì
ïm < -1 hoÆc m >
Vậy từ các điểm M(m; 2) Î (d): y = 2 với í
3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
ïm ¹ 2
î
đến (C).
1 3
mx + (m - 1) x 2 + (4 - 3m) x + 1 có đồ thị là (Cm).
3
2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà
tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x + 2 y - 3 = 0 .

Câu 67. Cho hàm số y = f ( x ) =

· (d) có hệ số góc -

1
Þ tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì:
2

f '( x ) = 2 Û mx 2 + 2(m - 1) x + (4 - 3m) = 2 Û mx 2 + 2(m - 1) x + 2 - 3m = 0
YCBT Û (1) có đúng một nghiệm âm.
+ Nếu m = 0 thì (1) Û -2 x = -2 Û x = 1 (loại)
2 - 3m
+ Nếu m ¹ 0 thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 1 hay x=
m
ém < 0
2 - 3m
Do đó để (1) có một nghiệm âm thì
<0Ûê
êm > 2
m
ê
ë
3
Vậy m < 0 hay m >

2
.
3
Trang 23

(1)

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng
2

y = ( x + 1) . ( x - 1)

2

2) Cho điểm A(a; 0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

· Ta có y = x 4 - 2 x 2 + 1 .
Phương trình đường thẳng d đi qua A(a; 0) và có hệ số góc k : y = k ( x - a)
ì x 4 - 2 x 2 + 1 = k ( x - a)
ï
d là tiếp tuyến của (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: ( I ) í
4 x3 - 4 x = k
ï
î
ì4 x ( x 2 - 1) = k
ìk = 0
ï
Ta có: ( I ) Û í 2
hoặc í
( B)
( A)
2
ï f ( x ) = 3 x - 4 ax + 1 = 0 (1)
îx -1 = 0
î
+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 .
+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải
có 2 nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ¹ ±1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân
2
ì ¢
3
3
biệt khác ±1 Û íD = 4 a - 3 > 0 Û -1 ¹ a < hoÆc 1 ¹ a >
2
2
î f (±1) ¹ 0

Câu 69. Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 - 2 x 2 .

2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối
với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

· Ta có: f '( x ) = 4 x 3 - 4 x
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f '(a) = 4 a3 - 4 a, kB = f '(b) = 4b3 - 4 b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
y = f ¢(a)( x - a) + f (a) Û y = f ¢(a) x + f (a) - af ¢(a)
y = f ¢(b)( x - b) + f (b) Û y = f ¢(b) x + f (b) - bf ¢(b)
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
k A = kB Û 4 a 3 - 4 a = 4b 3 - 4 b Û (a - b)(a2 + ab + b2 - 1) = 0

(1)

(2)
Vì A và B phân biệt nên a ¹ b , do đó (1) Û a2 + ab + b 2 - 1 = 0
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:
ì a2 + ab + b2 - 1 = 0
ì
ï
ï a2 + ab + b2 - 1 = 0
Ûí
( a ¹ b) Û í
4
2
4
2
ï f (a) - af ¢(a) = f (b) - bf ¢(b)
ï -3a + 2 a = -3b + 2 b
î
î

Giải hệ này ta được nghiệm là (a; b) = (-1;1) hoặc (a; b) = (1; -1) , hai nghiệm này tương
ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (-1; -1) và (1; -1)
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:
ìa2 + ab + b 2 - 1 = 0
í
îa ¹ ±1; a ¹ b
2x
(C).
x+2
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.


Trang 24

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


· Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ¹ -2 thuộc (C) có phương trình:
4
2a
( x - a) +
Û 4 x - (a + 2)2 y + 2 a2 = 0
y=
2
a+2
(a + 2)

Tâm đối xứng của (C) là I ( -2; 2 ) . Ta có:
d (I , d ) =

8 a+2
16 + (a + 2)

4

£

8 a+2
2.4.(a + 2)

2

=

8 a+2
2 2 a+2

=2 2

éa = 0
d ( I , d ) lớn nhất khi (a + 2)2 = 4 Û ê
.
ë a = -4
Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y = x và y = x + 8 .
x+2
(1).
2x + 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
-1
· Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm Þ y ¢( x0 ) =
<0
(2 x0 + 3)2


DOAB cân tại O nên tiếp tuyến D song song với đường thẳng y = - x (vì tiếp tuyến có hệ số
é x 0 = -1 Þ y0 = 1
= -1 Þ ê
(2 x0 + 3)2
ê x 0 = -2 Þ y0 = 0
ë
+ Với x0 = -1; y0 = 1 Þ D: y - 1 = -( x + 1) Û y = - x (loại)

góc âm). Nghĩa là: y ¢( x0 ) =

-1

+ Với x0 = -2; y0 = 0 Þ D: y - 0 = -( x + 2) Û y = - x - 2 (nhận)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = - x - 2 .
2x - 1
.
x -1
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần
lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.
· Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 ) Î (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA = 4OB .


OB 1
1
1
= Þ Hệ số góc của d bằng
hoặc - .
OA 4
4
4
é
3
ê x0 = -1 ( y0 = 2 )
1
1
1
Hệ số góc của d là y ¢( x0 ) = <0Þ=- Û ê
4
( x0 - 1)2
( x0 - 1)2
ê x = 3 (y = 5)
0
ë 0
2
é
é
1
3
1
5
ê y = - 4 ( x + 1) + 2
êy = - 4 x + 4
Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: ê
.
Ûê
1
5
1
13
ê y = - ( x - 3) +
êy = - x +
ë
4
2
ë
4
4

Do DOAB vuông tại O nên tan A =

2x - 3
có đồ thị (C).
x-2


Trang 25

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại
A, B sao cho AB ngắn nhất.
æ
1
1 ö
· Lấy điểm M ç m; 2 +
÷ Î ( C ) . Ta có: y¢ (m ) = m-2 ø
(m - 2)2
è
1
1
( x - m) + 2 +
Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: y = 2
m-2
(m - 2)
æ
2 ö
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: A ç 2;2 +
÷
m-2ø
è
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: B(2m – 2; 2)
é
ù
1
ém = 3
Ta có: AB 2 = 4 ê(m - 2)2 +
ú ³ 8 . Dấu “=” xảy ra Û ê
2
ëm = 1
(m - 2) ú
ê
ë
û
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) hoặc M(1;1)
2x - 3
.
x-2
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C)
tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
æ
2x - 3 ö
-1
· Giả sử M ç x0 ; 0
÷ , x0 ¹ 2 , y '( x0 ) =
ç
÷
2
x0 - 2 ø
è
( x0 - 2 )


Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) tại M: y =

-1

( x0 - 2 )

2

( x - x0 ) +

2 x0 - 3
x0 - 2

æ 2x - 2 ö
Toạ độ giao điểm A, B của (D) với hai tiệm cận là: A ç 2; 0
ç x - 2 ÷ ; B ( 2 x0 - 2; 2 )
÷
è
0
ø
x + xB 2 + 2 x0 - 2
y +y
2x - 3
Ta thấy A
=
= x0 = x M , A B = 0
= yM suy ra M là trung điểm
2
2
2
x0 - 2
của AB.
Mặt khác I(2; 2) và DIAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
2ù
é
é
ù
1
2
ê( x - 2)2 + æ 2 x0 - 3 - 2 ö ú = p ê( x - 2)2 +
ú ³ 2p
S = p IM = p
ç
÷
0
ç x -2
÷ ú
ê 0
ê
( x 0 - 2)2 ú
è 0
ø û
ë
û
ë
éx = 1
Ûê 0
( x0 - 2)2
ë x0 = 3
Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3)
Dấu “=” xảy ra khi ( x0 - 2)2 =

1

2x + 1
có đồ thị (C).
x -1
2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.


Trang 26

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


æ

· Giao điểm của 2 tiệm cận là I (1; 2) . Gọi M ç x0 ;2 +
ç

è

+ PTTT tại M có dạng: y =

-3
( x 0 - 1)

2

( x - x0 ) + 2 +

3 ö
÷ Î (C).
x0 - 1 ÷
ø

3
x0 - 1

+ Toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận: A æ 1; 2 +
ç
ç
è

+ Ta có: SDIAB =

6 ö , B (2 x - 1;2)
÷
0
x0 - 1 ÷
ø

1
1
6
IA.IB = ×
× 2 x0 - 1 = 2.3 = 6 (đvdt)
2
2 x0 - 1

+ DIAB vuông có diện tích không đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB
é x0 = 1 + 3
6
= 2 x0 - 1 Þ ê
Û
x0 - 1
ê x0 = 1 - 3
ë
Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 (1 + 3;2 + 3 ) , M2 (1 - 3;2 - 3 )

Khi đó chu vi DAIB = 4 3 + 2 6 .
Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = a + b + a2 + b2 nhỏ
nhất khi và chỉ khi a = b.
Thật vậy: P = a + b + a2 + b2 ³ 2 ab + 2 ab = (2 + 2) ab = (2 + 2) S .
Dấu "=" xảy ra Û a = b.
x +2
(C).
x -1
2) Cho điểm A(0; a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm
tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
· Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc k: y = kx + a

Câu 76. Cho hàm số: y =

ìx +2
ï x - 1 = kx + a
ï
d là tiếp tuyến của (C) Û Hệ PT í
có nghiệm
-3
ïk =
ï
( x - 1)2
î

Û PT: (1 - a) x 2 + 2(a + 2) x - (a + 2) = 0 (1) có nghiệm x ¹ 1 .
Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
ìa ¹ 1
ìa ¹ 1
Û í
(*)
Ûí
îa > -2
îD¢ = 3a + 6 > 0
2(a + 2)
a+2
3
3
Khi đó ta có: x1 + x2 =
; x1 x2 =
và y1 = 1 +
; y2 = 1 +
a -1
a -1
x1 - 1
x2 - 1
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1. y2 < 0
x1 .x2 + 2( x1 + x2 ) + 4
æ
2
3 öæ
3 ö
Û ç1 +
< 0 Û 3a + 2 > 0 Û a > ÷ . ç1 +
÷<0 Û
x1. x2 - ( x1 + x2 ) + 1
3
è x1 - 1 ø è x2 - 1 ø
ì
2
ïa > Kết hợp với điều kiện (*) ta được: í
3.
ïa ¹ 1
î
Trang 27

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

x +3
.
x -1
2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C)
tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.
4
· Mo ( xo ; yo ) Î (C) Þ y0 = 1 +
.
x0 - 1


Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0 : y - y0 = -

4
( x0 - 1)2

( x - x0 )

Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A(2 x0 - 1;1), B(1;2 y0 - 1) .

Þ

x A + xB
y + yB
= x0 ; A
= y0 Þ M0 là trung điểm AB.
2
2

x +2
(C)
x -1
2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam
giác có diện tích không đổi.
æ a+2ö
· Giả sử M ç a;
÷ Î (C).
è a -1 ø

Câu 78. Cho hàm số : y =

2
¢(a).( x - a) + a + 2 Û y = -3 x + a + 4 a - 2
PTTT (d) của (C) tại M: y = y
a -1
(a - 1)2
(a - 1) 2

æ a+5ö
Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A ç 1;
÷ , B(2a - 1;1) .
è a -1 ø
®
®
æ
6
6 ö
; IB = (2 a - 2; 0) Þ IB = 2 a - 1
IA = ç 0;
Þ IA =
÷
a -1
è a -1 ø
1
Diện tích DIAB : S DIAB = IA.IB = 6 (đvdt) Þ ĐPCM.
2
2x - 4
ĐS: S = 12.
Câu hỏi tương tự đối với hàm số y =
x +1

x+2
.
x +1
2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, D là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là
khoảng cách từ I đến D . Tìm giá trị lớn nhất của d.


æ
x +2 ö
. Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử M ç x 0 ; 0
÷ Î (C )
x0 + 1 ø
( x + 1)2
è
Phương trình tiếp tuyến D với đồ thi hàm số tại M là:
x +2
2
-1
Û x + ( x0 + 1) y - x0 - ( x0 + 1)( x0 + 2 ) = 0
y=
( x - x0 ) + 0
2
x0 + 1
x +1

· y¢ =

-1

(

0

)

Trang 28

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


Khoảng cách từ I đến D là d =

2 x0 + 1
1 + ( x 0 + 1)

4

2

=

1

( x0 + 1)

2

+ ( x 0 + 1)

2

£ 2

2 khi x0 = 0 hoặc x0 = -2 .

Vậy GTLN của d bằng

2x -1
.
x -1
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng


2.
· Tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) Î (C ) có phương trình:
y = f '( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) Û x + ( x 0 - 1)2 y - 2 x0 2 + 2 x0 - 1 = 0 (*)
Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng

2 Û

Các tiếp tuyến cần tìm : x + y - 1 = 0 và x + y - 5 = 0

2 - 2 x0

éx = 0
= 2Û ê 0
ë x0 = 2
1 + ( x0 - 1)4

x +1
(C).
x -1
2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
· Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d)


ì x +1
ì( y - 1) x 2 - 2( y + 1) x + y + 1 = 0 (1)
ï x - 1 = kx + yo
o
o
ï
ï o
Ûí
(*)
(d) là tiếp tuyến của (C) Û í -2
-2
=k
ï
=k
ï x ¹ 1;
( x - 1)2
î
ï ( x - 1)2
î
YCBT Û hệ (*) có 1nghiệm Û (1) có 1 nghiệm khác 1
ì yo = 1
é
1
ìy ¹ 1
ï
ï
x = ; yo = 1 Þ k = -8
Ûí
Ú í o
Ûê
1
2
2
ê
ïD ' = ( yo + 1) - ( yo - 1)( yo + 1) = 0
ïx = 2
î
x = 0; yo = -1 Þ k = -2
î
ë
Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).
2x +1
.
x +1
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm
A(2; 4), B(-4; -2).
· Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 ¹ -1 ).


PTTT (d) là y =

1
( x0 + 1)

2

( x - x0 ) +

2 x0 + 1
2
Û x - ( x0 + 1)2 y + 2 x0 + 2 x0 + 1 = 0
x0 + 1

2
2
Ta có: d ( A, d ) = d ( B, d ) Û 2 - 4( x0 + 1)2 + 2 x0 + 2 x 0 + 1 = -4 + 2( x0 + 1)2 + 2 x 0 + 2 x 0 + 1

Û x0 = 1 Ú x 0 = 0 Ú x0 = -2
Trang 29

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y =

1
5
x + ; y = x + 1; y = x + 5
4
4

2x -1
.
1- x
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp
tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của
PQ và tính diện tích tam giác IPQ.
æ 2a - 1 ö
1
2a - 1
( x - a) +
· I (1; -2), A ç a;
÷ . PT tiếp tuyến d tại A: y =
2
(1 - a )
1- a
è 1- a ø
æ 2a ö
Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến d: P ç1;
÷
è 1- a ø
Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến d: Q(2 a – 1; -2)


Ta có: xP + xQ = 2 a = 2 x A . Vậy A là trung điểm của PQ.
IP =
SIPQ =

2a
2
+2 =
; IQ = 2(a - 1)
1- a
1- a

1
IP.IQ = 2 (đvdt)
2

2x - 3
(C).
x-2
2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và
·
4
tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ABI bằng
, với I là giao 2 tiệm cận.
17


æ
2x - 3 ö
· I(2; 2). Gọi M ç x0 ; 0
÷ Î (C ) , x0 ¹ 2
x0 - 2 ø
è
Phương trình tiếp tuyến D tại M:

y=-

1
( x 0 - 2)2

( x - x0 ) +

2 x0 - 3
x0 - 2

æ 2x - 2 ö
Giao điểm của D với các tiệm cận: A ç 2; 0
÷ , B(2 x0 - 2; 2) .
è x0 - 2 ø
· 1 IA
·
éx = 0
4
Do cos ABI =
nên tan ABI = =
Û IB2 = 16.IA2 Û ( x0 - 2)4 = 16 Û ê 0
4 IB
17
ë x0 = 4
æ 3ö
1
3
Kết luận: Tại M ç 0; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = - x +
è 2ø
4
2
æ 5ö
1
7
Tại M ç 4; ÷ phương trình tiếp tuyến: y = - x +
è 3ø
4
2

Trang 30

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng

KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 85. Cho hàm số y = - x 3 + 3 x 2 + 1 .

2) Tìm m để phương trình x 3 - 3 x 2 = m3 - 3m 2 có ba nghiệm phân biệt.

· PT x 3 - 3 x 2 = m3 - 3m 2 Û - x 3 + 3 x 2 + 1 = - m3 + 3m2 + 1 . Đặt k = - m 3 + 3m 2 + 1
Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y = k
Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt Û 1 < k < 5 Û m Î (-1;3) {0; 2}
Câu 86. Cho hàm số y = x 4 - 5 x 2 + 4 có đồ thị (C).

2) Tìm m để phương trình | x 4 - 5 x 2 + 4 |= log 2 m có 6 nghiệm.

· Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm Û log12 m =

9
9
Û m = 12 4 = 144 4 12 .
4

Câu 87. Cho hàm số y = f ( x ) = 8 x 4 - 9 x 2 + 1 .

2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
8cos 4 x - 9 cos2 x + m = 0 với x Î [0; p ]

· Xét phương trình: 8cos 4 x - 9 cos2 x + m = 0 với x Î [0; p ]
4

(1)

2

(2)
Đặt t = cos x , phương trình (1) trở thành: 8t - 9t + m = 0
Vì x Î [0; p ] nên t Î [-1;1] , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của
phương trình (1) và (2) bằng nhau.
Ta có: (2) Û 8t 4 - 9t 2 + 1 = 1 - m

(3)

Gọi (C1): y = 8t 4 - 9t 2 + 1 với t Î [-1;1] và (d): y = 1 - m . Phương trình (3) là phương trình
hoành độ giao điểm của (C1) và (d).
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền -1 £ x £ 1 .
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
81
81
81
m<0
m=0
0 < m <1
1£ m <
m=
m>
32
32
32
vô nghiệm
1 nghiệm
2 nghiệm
4 nghiệm
2 nghiệm
vô nghiệm
3x - 4
(C).
x -2


é 2p ù
2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn ê 0; ú :
ë 3 û
sin 6 x + cos6 x = m ( sin 4 x + cos4 x )

· Xét phương trình: sin 6 x + cos6 x = m ( sin 4 x + cos4 x )
(*)
æ 1
ö
3
Û 1 - sin 2 2 x = m ç 1 - sin 2 2 x ÷ Û 4 - 3sin 2 2 x = 2 m(2 - sin2 2 x )
4
è 2
ø
é 2p ù
Đặt t = sin 2 2 x . Với x Î ê 0; ú thì t Î [ 0;1] . Khi đó (1) trở thành:
ë 3 û
Trang 31

(1)

www.VNMATH.com
2m =

Trần Sĩ Tùng

3t - 4
với t Î é 0;1ù
ë û
t-2

ésin 2 x = - t
Nhận xét : với mỗi t Î é 0;1ù ta có : ê
Û sin 2 x = t
ë û
ësin 2 x = t
é 3 ö
é 2p ù
é3 ö
Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn ê 0; ú thì t Î ê ;1 ÷ Þ t Î ê ;1÷
÷
ë4 ø
ë 3 û
ê 2 ø
ë
æ3ö
7
1
7
Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1) < 2m £ y ç ÷ Û 1 < 2m £ Û < m £ .
è4ø
5
2
10
x +1
.
x -1
x +1
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
= m.
x -1


x +1
x +1
= m bằng số giao điểm của đồ thị (C¢): y =
và y = m.
x -1
x -1
Dựa vào đồ thị ta suy ra được:
m < -1; m > 1
m = -1
-1 < m £ 1
2 nghiệm
1 nghiệm
vô nghiệm
· Số nghiệm của

Câu 90. Cho hàm số: y = x 4 - 2 x 2 + 1 .

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4 - 2 x 2 + 1 + log2 m = 0

· x 4 - 2 x 2 + 1 + log2 m = 0 Û x 4 - 2 x 2 + 1 = - log2 m

(m > 0)

(*)

+ Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị y = x 4 - 2 x 2 + 1 và y = - log 2 m
+ Từ đồ thị suy ra:
1
1
1
m =1
m >1
0<m<
m=
< m <1
2
2
2
2 nghiệm
3 nghiệm
4 nghiệm
2 nghiệm
vô nghiệm

KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
2x + 1
(C).
x +1
2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
2x + 1
1
· Gọi M ( x0 ; y0 ) Î (C), ( x0 ¹ -1 ) thì y0 = 0
=2x0 + 1
x0 + 1
Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì:


Trang 32

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng


MA = x0 + 1 , MB = y0 - 2 =

1
x0 + 1

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA + MB ³ 2 MA.MB = 2 x0 + 1 .

1
=2
x0 + 1

éx = 0
1
Ûê 0
.
x0 + 1
ë x0 = -2
Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).
2x -1
a) y =
ĐS: x0 = -1 ± 3
x +1
Þ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0 + 1 =

3x - 4
(C).
x -2
2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.
· Gọi M ( x; y) Î (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.


3x - 4
x
x
éx = 1
-2 Û x-2 =
Û
= ± ( x - 2) Û ê
x -2
x -2
x -2
ëx = 4
Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)

Ta có: x - 2 = y - 3 Û x - 2 =

2x - 4
.
x +1
2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).
uuur
· MN = (2; -1) Þ Phương trình MN: x + 2 y + 3 = 0 .
Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y = 2 x + m .
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
2x - 4
= 2 x + m Û 2 x 2 + mx + m + 4 = 0 ( x ¹ -1)
(1)
x +1


y=

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û D = m2 – 8m – 32 > 0
(2)
Khi đó A( x1; 2 x1 + m), B( x2 ;2 x2 + m ) với x1 , x2 là các nghiệm của (1)
æx +x
ö æ m mö
Trung điểm của AB là I ç 1 2 ; x1 + x2 + m ÷ º I ç - ; ÷ (theo định lý Vi-et)
è 2
ø è 4 2ø
A, B đối xứng nhau qua MN Û I Î MN Û m = -4
éx = 0
Suy ra (1) Û 2 x 2 - 4 x = 0 Û ê
Þ A(0; –4), B(2; 0).
ëx = 2
Câu 94. Cho hàm số y = - x3 + 3 x + 2 (C).

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: 2 x – y + 2 = 0 .

· Gọi M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d
æ x + x y + y2 ö
I là trung điểm của AB nên I ç 1 2 ; 1
÷ , ta có I Î d
2 ø
è 2
Trang 33

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

3
3
y1 + y2 ( - x1 + 3 x1 + 2 ) + ( - x2 + 3x2 + 2 )
x +x
Có:
=
= 2. 1 2 + 2
2
2
2
é x1 + x2 = 0
3
Þ - ( x1 + x2 ) + 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3 ( x1 + x2 ) = 2 ( x1 + x2 ) Þ ê 2
2
ë x1 - x1 x2 + x2 = 1

Lại có: MN ^ d Þ ( x2 - x1 ) .1 + ( y2 - y1 ) .2 = 0

2
2
Þ 7 ( x2 - x1 ) - 2 ( x2 - x1 ) ( x12 + x1 x2 + x2 ) = 0 Þ x12 + x1 x2 + x2 =

7
2

7
7
; x2 = m
2
2
9
ì 2
2
2
ì x12 - x1 x2 + x2 = 1
ï x1 + x2 = 4
ï
ï
Þ vô nghiệm
- Xét í 2
7Ûí
2
ï x1 + x1 x2 + x2 =
ïx x = 5
2
î
ï 1 2 4
î
æ 7
1 7ö æ 7
1 7ö
Vậy 2 điểm cần tìm là: ç
ç 2 ; 2 - 2 2 ÷;ç - 2 ; 2 + 2 2 ÷
÷ ç
÷
è
ø è
ø
- Xét x1 + x2 = 0 Þ x1 = ±

2x -1
(C).
x +1
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và
giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.
· Giao điểm 2 tiệm cận là I (-1; 2) .


y M - yI
æ
3 ö
-3
Gọi M ç x0 ; 2 =
÷ Î (C ) Þ kIM =
x0 + 1 ø
x M - x I ( x + 1)2
è
0
3
+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: kM = y ¢( x 0 ) =
2
( x0 + 1)
éx = 0
+ YCBT Û kM .kIM = - 9 Û ê 0
. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)
x 0 = -2
ë
x3
11
+ x2 + 3x - .
3
3
2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
ì
ï x = - x1 ¹ 0
· Hai điểm M ( x1; y1 ), N ( x2 ; y2 ) Î (C ) đối xứng nhau qua Oy Û í 2
ï y1 = y2
î
ì x2 = - x1 ¹ 0
ì x =3
ì x = -3
ï
ï
ï
3
Û í x3
Ûí 1
hoặc í 1
x2
11
11
2
3
1
ï x2 = -3
ï x2 = 3
ï- + x1 + 3 x1 - = - + x2 + 3 x 2 î
î
î 3
3
3
3
æ 16 ö
æ 16 ö
Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M ç 3; ÷ , N ç -3; ÷ .
è 3 ø
è
3ø

Câu 96. Cho hàm số y = -

Trang 34

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng



2x
x -1

.

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại
đỉnh A với A(2; 0).
æ
æ
2
2 ö
2 ö
· Ta có (C ) : y = 2 +
. Gọi B ç b; 2 +
÷ , C ç c; 2 +
÷ với b < 1 < c .
x -1
b -1 ø
c -1 ø
è
è
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox.
·
· ·
· · · ·
Ta có: AB = AC; BAC = 90 0 Þ CAK + BAH = 90 0 = CAK + ACK Þ BAH = ACK
· ·
AH = CK
và: BHA = CKA = 90 0 Þ D ABH = DCAK Þ

{

C

HB = AK

ì
2
ï2 - b = 2 + c - 1
ï
b = -1
.
Hay: í
Û
2
c=3
ï2+
= c-2
b -1
ï
î
Vậy B(-1;1), C (3;3)

B

{

A

H

K

2x - 1
.
x +1
2) Tìm tọa độ điểm M Î (C) sao cho khoảng cách từ điểm I (-1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại
M là lớn nhất.


y=

æ
3 ö
÷ Î (C ) . PTTT D của (C) tại M là:
· Giả sử M ç x0 ; 2 ç
x0 + 1 ÷
è
ø
3
3
y-2+
=
( x - x0 ) Û 3( x - x0 ) - ( x0 + 1)2 ( y - 2) - 3( x0 + 1) = 0
x0 + 1 ( x0 + 1) 2
Khoảng cách từ I (-1;2) tới tiếp tuyến D là:
3(-1 - x0 ) - 3( x0 + 1)
6 x0 + 1
6
.
d=
=
=
4
4
9
9 + ( x0 + 1)
2
x0 + 1)
9+(
+ ( x0 + 1)
( x0 + 1)2
9
Theo BĐT Cô–si:
+ ( x0 + 1)2 ³ 2 9 = 6 Þ d £ 6 .
2
( x0 + 1)
9
2
Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi
= ( x0 + 1) 2 Û ( x0 + 1) = 3 Û x0 = -1 ± 3 .
2
( x0 + 1)

(

)

(

Vậy có hai điểm cần tìm là: M - 1 + 3 ;2 - 3 hoặc M - 1 - 3 ;2 + 3

)

Câu 99. Cho hàm số y = - x3 + 3 x + 2 (C).

2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).

· Gọi A ( x0 ; y0 ) , B là điểm đối xứng với A qua điểm M(-1;3) Þ B ( -2 - x0 ; 6 - y0 )
ì y = - x3 + 3 x + 2
ï
0
0
A, B Î (C ) Û í 0
6 - y0 = -(-2 - x0 )3 + 3(-2 - x0 ) + 2
ï
î
3

3
2
Û 6 = - x0 + 3 x 0 + 2 - ( -2 - x0 ) + 3 ( -2 - x0 ) + 2 Û 6 x0 + 12 x 0 + 6 = 0

Trang 35

www.VNMATH.com

Trần Sĩ Tùng

Û x0 = -1 Þ y0 = 0

Vậy 2 điểm cần tìm là: ( -1; 0 ) và ( -1;6 )
x+2
.
2x -1
2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).
· PT đường trung trực đọan AB: y = x .
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT:
é
1- 5
êx =
x+2
2
= x Û x2 - x - 1 = 0 Û ê
2x -1
1+ 5
ê
êx = 2
ë


y =

æ 1- 5 1- 5 ö æ 1+ 5 1+ 5 ö
Hai điểm cần tìm là: ç
,
,
÷;ç
÷
ç 2
2 ÷ ç 2
2 ÷
è
ø è
ø

Trang 36

100 bai toan ks cua thay tran si tung

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Similar to 100 bai toan ks cua thay tran si tung

Similar to 100 bai toan ks cua thay tran si tung (20)

More from trongphuckhtn

More from trongphuckhtn (18)

100 bai toan ks cua thay tran si tung