1. MODULO 1 - AULA 6
Aula 6 – Pontos Not´veis de um Triˆngulo
a a
Defini¸˜o: Lugar Geom´trico ´ um conjunto de pontos que gozam de uma
ca e e
mesma propriedade.
Uma linha ou figura ´ um lugar geom´trico se:
e e
a) todos os seus pontos tˆm a propriedade;
e
b) s´ os seus pontos tˆm a propriedade.
o e
Exemplos:
Circunferˆncia
e
1) Na figura, ´ a linha que representa uma circunferˆncia de centro O e raio
e e
R.
Note que um ponto P dessa linha dista R do ponto O. A propriedade carac-
ter´
ıstica de cada ponto dessa linha em rela¸˜o ao ponto O ´ distar R do ponto
ca e
O. N˜o existe nenhum ponto n˜o pertencente a circunferˆncia que diste R
a a ` e
do ponto O porque, se Q for interior a circunferˆncia, ent˜o OQ < R e, se S
` e a
for exterior a circunferˆncia, ent˜o OS > R.
` e a
Assim podemos afirmar que s´ os pontos dessa circunferˆncia distam R de
o e
O. Da´ o lugar geom´trico dos pontos que distam R do ponto O ´ a circun-
ı, e e
ferˆncia de centro O e raio R.
e
Mediatriz como lugar geom´trico
e
2) J´ estudamos que mediatriz de um segmento ´ a reta perpendicular ao
a e
segmento que passa pelo seu ponto m´dio.
e
Teorema 1: A mediatriz de um segmento ´ o lugar geom´trico dos pontos
e e
de um plano que equidistam dos extremos desse segmento.
Prova:
1 parte: Vamos mostrar que todo ponto da mediatriz equidista dos extremos
do segmento.
115 CEDERJ

2. Considere m a reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo seu
ponto m´dio M, e Q um ponto qualquer dessa mediatriz m. Vamos provar
e
que QA = QB
Sejam os triˆngulos AMQ e BMQ, temos:
a

 MA = MB (constru¸˜o)
 ca
ˆ = BMQ (ˆngulo reto)
AMQ ˆ a =⇒ ∆AMQ ≡ ∆BMQ ⇒

 LAL
MQ = MQ (lado comum)
Da´ QA = QB.
ı,
Logo, Q ´ equidistante dos extremos A e B.
e
2 parte: S´ os pontos da mediatriz equidistam dos extremos desse segmento.
o
Seja E um ponto qualquer do plano, tal que EA = EB, e provemos que E
pertence ` mediatriz de AB.
a
De fato, ligando E com o ponto m´dio M de AB e seja os triˆngulos AME e
e a
BME. Temos:

 EA = EB (Hip´tese)
 o
AM = BM (Constru¸˜o)
ca =⇒ ∆AME ≡ ∆BME

 LLL
EM = EM (lado comum)
CEDERJ 116

3. MODULO 1 - AULA 6
ˆ ˆ ˆ
Logo, os angulos AME e BME s˜o retos, pois s˜o congruentes e adjacentes
a a
←→
−
suplementares. Assim, a reta EM ´ perpendicular ao segmento AB, passando
e
pelo ponto m´dio M do segmento AB e da´ pela unicidade de perpendicular,
e ı,
←→
−
EM = m.
Logo, E pertence ` mediatriz m de AB.
a
Bissetriz como lugar geom´trico
e
J´ estudamos que bissetriz de um ˆngulo ´ a semi-reta interior ao angulo que
a a e ˆ
determina com os seus lados, dois angulos adjacentes e congruentes.
ˆ
Teorema 2: A bissetriz de um ˆngulo ´ o lugar geom´trico dos pontos de
a e e
um plano que equidistam dos lados desse angulo.
ˆ
Prova:
1 parte: Todo ponto da bissetriz equidista dos lados desse angulo.
ˆ
←→ ˆ
Seja P um ponto qualquer da bissetriz OC de um ˆngulo AOB, P M e P N
a
s˜o as distˆncias de P aos lados OA e OB, respectivamente.
a a
Vamos provar que:
PM = PN
Seja os triˆngulos MOP e NOP, temos:
a

 OP ≡ OP (lado comum)

ˆ ˆ
MOP ≡ NOP (defini¸˜o de bissetriz)
ca =⇒ ∆MOP ≡ ∆NOP

 ˆ LAAo
ˆ
OMP ≡ ONP ( ˆngulo reto)
a
⇒ P M = P N.
e ˆ ˆ
Logo, P ´ equidistante dos lados do angulo AOB.
2 parte: S´ os pontos da bissetriz equidistam dos lados desse angulo.
o ˆ
Seja Q um ponto qualquer do plano tal que:
QM = QN (distˆncias de Q aos lados OA e OB de um ˆngulo AOB), e
a a ˆ
ˆ
provemos que o ponto Q pertence ` bissetriz de AOB.
a
117 CEDERJ

4. De fato, sejam os triˆngulos retˆngulos MOQ e NOQ. Temos:
a a
QM = QN (hip´tese)
o
OQ = OQ (lado comum) =⇒ ∆MOQ ≡ ∆NOQ
Caso Especial
ı, ˆ ˆ
Da´ MOQ ≡ NOQ e s˜o adjacentes, e OQ ´ bissetriz.
a e
ˆ
Logo, Q pertence ` bissetriz de AOB.
a
Vamos, agora, estudar os pontos not´veis de um triˆngulo.
a a
1. Baricentro
Defini¸˜o: Baricentro de um triˆngulo ´ o ponto de encontro das medianas
ca a e
desse triˆngulo.
a
No triˆngulo ABC da figura, AMa , BMb e CMc s˜o as medianas relativas aos
a a
lados BC, AC e AB, respectivamente. O ponto G (encontro das medianas)
´ o baricentro do triˆngulo ABC.
e a
2. Incentro
Defini¸˜o: Incentro de um triˆngulo ´ o ponto de encontro das bissetrizes
ca a e
internas desse triˆngulo.
a
CEDERJ 118

5. MODULO 1 - AULA 6
No triˆngulo ABC da figura, AR, BS e CT s˜o as bissetrizes internas relativas
a a
aos lados BC, AC e AB, respectivamente.
O ponto I ´ o incentro do triˆngulo ABC, este ponto ´ o centro do c´
e a e ırculo
inscrito ao triˆngulo ABC.
a
3. Ortocentro
Defini¸˜o: Ortocentro de um triˆngulo ´ o ponto de encontro das retas su-
ca a e
portes das alturas desse triˆngulo.
a
← ←
→ → ← →
No triˆngulo ABC da figura, AH, BH, e CH s˜o as retas suportes das
a a
alturas AD, BE, CF , respectivamente, relativas aos lados BC, AC e AB,
respectivamente.
O ponto H ´ o ortocentro do triˆngulo ABC.
e a
Observa¸˜es:
co
1) Em um triˆngulo obtusˆngulo, o ortocentro ´ um ponto exterior a esse
a a e
triˆngulo.
a
119 CEDERJ

6. Na figura, o triˆngulo ABC ´ obtusˆngulo e o ortocentro H ´ exterior ao
a e a e
triˆngulo.
a
2) Em um triˆngulo retˆngulo, o ortocentro ´ o v´rtice do ˆngulo reto.
a a e e a
Na figura, o triˆngulo ABC ´ retˆngulo em A e o ortocentro H coincide com
a e a
A.
4. Circuncentro
Defini¸˜o: Circuncentro de um triˆngulo ´ o ponto de encontro das mediatrizes
ca a e
dos lados desse triˆngulo.
a
No triˆngulo ABC da figura ma , mb e mc s˜o as mediatrizes dos lados BC,
a a
AC e AB, respectivamente.
O ponto O ´ o circuncentro do triˆngulo ABC, este ponto ´ o centro do
e a e
c´
ırculo circunscrito ao triˆngulo ABC.
a
Exerc´
ıcios Resolvidos
1. Mostre que as trˆs medianas de um triˆngulo concorrem em um
e a
mesmo ponto, o qual divide cada mediana em duas partes, tais que a
que cont´m o v´rtice ´ o dobro da outra.
e e e
Solu¸˜o: Seja o triˆngulo ABC e tracemos as medianas BMb e CMc ,
ca a
que se cortam em G, conforme figura.
CEDERJ 120

7. MODULO 1 - AULA 6
Tracemos a semi-reta AG que encontra BC e Ma .
Vamos provar que:
1) AMa ´ a terceira mediana, isto ´, Ma ´ o ponto m´dio de BC.
e e e e
2
2) AG = 2 · GMa ou AG = · AMa .
←→ 3
De fato, seja E em AG, tal que GE = AG e tracemos BE e CE.
No ∆ ABE, GMc BE, pois G e Mc s˜o pontos m´dios dos lados AE
a e
e AB, respectivamente (base m´dia).
e
De modo an´logo, GMb CE no ∆ ACE.
a
Da´ BECG ´ um paralelogramo (Defini¸˜o) e suas diagonais BC e GE
ı, e ca
se encontram em seus pontos m´dios.
e
Logo,
1) Ma ´ o ponto m´dio de BC e AMa ´ a terceira mediana.
e e e
2
2) AG = GE = 2 · GMa ou AG = GE = · AMa
3
De modo similar, se prova que BG = 2 · GMb e CG = 2 · GMc .
2. Na figura, o ponto R ´ ponto m´dio de AB, e o segmento RS ´ pa-
e e e
ralelo ao lado BC. Sendo AC = 28, calcule a medida do segmento ST.
Solu¸˜o: Sendo R o ponto m´dio de AB e RS BC, ent˜o S ´ o ponto
ca e a e
m´dio de AC.
e
Da´ BS e CR s˜o medianas e T ´ o baricentro do ∆ ABC.
ı, a e
Da´
ı,
2 1 AC 1
BT = · BS =⇒ T S = · BS, mas BS = = · 28 = 14
3 Ex. 1 3 2 2
121 CEDERJ

8. 1 14 14
Logo, T S = · 14 = ⇒ TS = .
3 3 3
3. Mostre que as trˆs bissetrizes internas de um triˆngulo concorrem
e a
em um mesmo ponto, que ´ equidistante dos lados.
e
ca ˆ ˆ ˆ
Solu¸˜o: Seja o ∆ ABC e AM e BR as bissetrizes dos angulos A e B
na figura.
−→ −
− →
As semi-retas AM e BR formam com o lado AB, ˆngulos cuja soma
a
ˆ
A B ˆ
+ ´ menor que 180◦ e, ter˜o que encontrar-se.
e a
2 2
Seja I o ponto de interse¸˜o. I pertencendo ` bissetriz AM, temos que
ca a
IE = IF (Teorema 2).
I pertencendo ` bissetriz BR, temos que IE = ID.
a
Logo, IF = ID, ent˜o I pertence a bissetriz CS.
a
Logo, as trˆs bissetrizes internas do ∆ ABC concorrem em um mesmo
e
ponto, que ´ equidistante dos lados.
e
Note que o incentro de um triˆngulo ´ o centro da circunferˆncia ins-
a e e
crita neste triˆngulo.
a
4. Em um triˆngulo retˆngulo ABC, tra¸am-se as bissetrizes BM e
a a c
ˆ e C, onde M ´ o incentro. Calcule a medida
CM dos ˆngulos agudos B
a ˆ e
ˆ
do ˆngulo BMC.
a
CEDERJ 122

9. MODULO 1 - AULA 6
Solu¸˜o: Seja um triˆngulo retˆngulo ABC, tracemos as bissetrizes
ca a a
a ˆ ˆ
BM e CM dos ˆngulos agudos B e C, onde M ´ o incentro.
e
Temos que:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
A + B + C = 180◦ no ∆ABC ⇒ B + C = 180◦ − 90◦ = 90◦ .
No ∆ BMC temos:
ˆ
B ˆ
C ˆ
B Cˆ
ˆ ˆ
+ BMC + = 180◦ ⇒ BMC = 180◦ − −
2 2 2 2
ˆ ˆ
B+C
ˆ
⇒ BMC = 180◦ −
2
ˆ 90◦
⇒ BMC = 180◦ − = 180◦ − 45◦ = 135◦ .
2
ˆ e
Logo, a medida do angulo BMC ´ 135◦ .
ˆ
5. Mostre que as trˆs mediatrizes de um triˆngulo concorrem em um
e a
mesmo ponto equidistante dos v´rtices desse triˆngulo.
e a
Solu¸˜o: Seja o triˆngulo ABC, e MN e PQ as mediatrizes relativas
ca a
aos lados AB e AC.
O pertence ` mediatriz MN do lado AB ⇒ OA = OB (1)
a
O pertence ` mediatriz PQ do lado BC ⇒ OB = OC (2)
a
123 CEDERJ

10. De (1) e (2) OA = OB = OC ⇒ OA = OC
Logo, O pertence ` mediatriz RS, do lado AC.
a
6. Exprimir os angulos formados pelas mediatrizes em fun¸˜o dos angulos
ˆ ca ˆ
ˆ ˆ ˆ
A, B, C do triˆngulo ABC.
a
Solu¸˜o: Consideremos a figura, onde OM e OP s˜o mediatrizes dos
ca a
lados AB e BC.
Ent˜o, no quadril´tero AMOP temos:
a a
ˆ ˆ ˆ ˆ
A + MOP = 180◦ ⇒ MOP = 180◦ − A
Chamando α, β, γ os ˆngulos formados pelas mediatrizes, temos que
a
ˆ
α = 180◦ − A
De forma similar
ˆ ˆ
β = 180◦ − B e γ = 180◦ − C
7. Mostre que as retas suportes das trˆs alturas de um triˆngulo con-
e a
correm em um mesmo ponto.
Solu¸˜o: Seja o triˆngulo ABC, e tracemos para cada v´rtice a paralela
ca a e
ao lado oposto. Estas cortam-se, porque s˜o paralelas as retas secantes
a `
e formam o triˆngulo MPQ.
a
CEDERJ 124

11. MODULO 1 - AULA 6
Os quadril´teros AMBC, ABCQ e CABP s˜o paralelogramos, j´ que
a a a
os lados opostos s˜o paralelos.
a
Ent˜o:
a
AM = BC = AQ
BM = AC = BP (Propriedade de paralelogramo)
CP = AB = CQ
Ent˜o, A, B e C s˜o os pontos m´dios dos lados do triˆngulo MPQ.
a a e a
Assim, as trˆs alturas do triˆngulo dado ABC, confundem-se com as
e a
trˆs mediatrizes do triˆngulo MPQ e concorrem em um mesmo ponto,
e a
H.
ˆ ˆ
8. Na figura, calcule o valor de x, se ABC = 55◦ e ACB = 45◦ .
ˆ ˆ
Solu¸˜o: Seja a figura dada, temos que ABC = 55◦ e ACB = 45◦ .
ca
Ent˜o,
a
ˆ ˆ ˆ
BAC = 180◦ − ABC − ACB = 180◦ − 55◦ − 45◦ = 80◦
No quadril´tero AFHE, temos:
a
ˆ
m(FME) = 180◦ − 80◦ = 100◦ .
125 CEDERJ

12. ˆ ˆ ˆ
Como os angulos BHC e FHE s˜o opostos pelo v´rtice ent˜o:
a e a
ˆ ˆ
x = m(BMC) = m(FHE) = 100◦
Observa¸˜es:
co
1) Em um triˆngulo is´sceles os quatro pontos not´veis est˜o sobre a
a o a a
mesma reta, j´ que a mediatriz, mediana, altura e bissetriz relativas a
a `
base coincidem.
2) No caso do triˆngulo equil´tero, esses quatro pontos se reduzem a
a a
um s´.
o
Exerc´
ıcios Propostos
1. Na figura, o ponto D ´ m´dio do lado AB, e DE ´ paralelo ao lado BC.
e e e
Sendo AC = 60 cm, calcule a medida de GE.
2. Considere um triˆngulo ABC tal que as medianas BD e CE, que se
a
cortam em G, sejam congruentes. Mostre que:
a) BG = CG
b) ∆CGD = ∆BGE
c) o triˆngulo ABC ´ is´sceles.
a e o
CEDERJ 126

13. MODULO 1 - AULA 6
3. Na figura, a circunferˆncia de centro O est´ inscrita no triˆngulo ABC.
e a a
Sendo DOE paralelo ao lado BC, AB = 16, AC = 20, calcule o per´ ımetro
do triˆngulo ADE.
a
4. Em um triˆngulo ABC as trˆs mediatrizes fazem entre si trˆs ˆngulos
a e e a
iguais a 120 . Mostre que este triˆngulo ´ equil´tero.
◦
a e a
a ˆ ˆ a ˆ
5. Em um triˆngulo ABC, o angulo A mede 60◦ e o ˆngulo B mede 80◦ .
Calcule as medidas dos seis ˆngulos formados pelas alturas com v´rtice
a e
no ortocentro H desse triˆngulo.
a
a a ˆ a ˆ
6. Considere um triˆngulo ABC, o ˆngulo A mede 40◦ e o ˆngulo B mede
60◦ . Une-se o ponto m´dio M do lado BC aos p´s D e E das alturas BD
e e
e CE. Determine as medidas dos angulos internos do triˆngulo MDE.
ˆ a
ˆ ˆ ˆ
7. As bissetrizes internas dos angulos B e C de um triˆngulo ABC formam
a
um ˆngulo de 116◦ . Determinar a medida do menor angulo formado
a ˆ
pelas alturas relativas aos lados AB e AC desse triˆngulo.
a
8. Mostre que em um triˆngulo acutˆngulo o ortocentro ´ incentro do seu
a a e
triˆngulo ortico.
a ´
Nota: Triˆngulo ortico ´ o triˆngulo cujos v´rtices s˜o os p´s das alturas
a ´ e a e a e
de um triˆngulo.
a
9. Considerando os quatro pontos not´veis de um triˆngulo,
a a
a) Quais os que podem ser externos ao triˆngulo?
a
b) Qual o que pode ser ponto m´dio de um lado?
e
c) Qual o que pode ser v´rtice de um triˆngulo?
e a
127 CEDERJ

14. 10. A hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo mede 20 cm e um dos angulos
a a ˆ
20◦ .
a) Qual a medida da mediana relativa a hipotenusa?
`
b) Qual a medida do angulo formado por essa mediana e pela bissetriz
ˆ
do angulo reto?
ˆ
Gabarito
1. 10.
2. Demonstra¸˜o.
ca
3. 36.
4. Demonstra¸˜o.
ca
5. 80◦ , 60◦ , 40◦ , 80◦, 60◦ , 40◦ .
6. 100◦ , 40◦ , 40◦.
7. 52◦
8. Demonstra¸˜o.
ca
9. a) ortocentro e circuncentro; b) circuncentro; c) ortocentro.
10. a) 10 cm; b) 25◦ .
CEDERJ 128