O documento apresenta exercícios sobre operações com matrizes, incluindo produto, inversa, determinantes, matrizes simétricas e anti-simétricas. As respostas são fornecidas no final, resolvendo cada exercício proposto.
PROJETO DE EXTENSÃO I - TERAPIAS INTEGRATIVAS E COMPLEMENTARES.pdf
Mat exercicios resolvidos 004
1. 18/11/2003. 26/10/2005 00:22:49h
24/4/2006, 18:46:21
Produto de Matrizes _____________________________________________________ 1
Exercício: _________________________________________________________________ 1
Matriz Involutiva _______________________________________________________ 1
Exercício__________________________________________________________________ 1
Matriz Simétrica _______________________________________________________ 2
Exercício__________________________________________________________________ 2
Matriz anti-simétrica: ___________________________________________________ 2
Exercício__________________________________________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 2 _____________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus_____________________ 3
Definição _________________________________________________________________ 3
Exercício: _________________________________________________________________ 3
Respostas: ____________________________________________________________ 4
Produto de Matrizes
Exercício:
1 1 2
1. Seja a matriz A = 1 3 1 , determine
4 1 1
a matriz polinomial, 2. A + 3. A + 5.I .
2
a)
−1 1 2 5 3
b) A matriz inversa A-1 usando a fórmula A =− A + A + .I .
17 17 17
Matriz Involutiva
Uma matriz A quadrada é involutiva quando A = I
2
Exercício
a 0
2. Uma matriz diagonal A, de ordem 2, é involutiva. Determine-a. Sugestão: faça A =
.
0 b
2. Arquivo: aula2matriz.doc Page 2/4
Matriz Simétrica
— é uma matriz quadrada A = aij [ ]nxn
, diz-se simétrica quando aij = a ji para todo i, 1 ≤ i ≤ n , para todo
j, 1 ≤ j ≤ n .
Obs: Se A é simétrica então A = A t
.
Exercício
3 2b
Determine o número b ∈ R, para que a matriz A =
, seja simétrica.
b
3. 2
b
aii = 0
[ ]
4. Seja a matriz A = aij
4x4
, para a qual aij = a ji . Determine A e At. A é
aij = i + j, se1 ≤ i < j ≤ 4
simétrica?
sen 2α (sen α + cosα )2 1
b
5. Se
= , determine os números a, b e c.
cos 4α
sen3 α + cos3 α 2
a
c
Matriz anti-simétrica:
— é uma matriz quadrada A = aij [ ]
nxn
, diz-se anti-simétrica quando aij = −a ji para todo i, 1 ≤ i ≤ n ,
para todo j, 1 ≤ j ≤ n .
Obs: Se A é anti-simétrica então A = − A t ; os elementos da diagonal principal são todos nulos.
Exercício
0 a b
6. A matriz A = − a 0 c é anti-simétrica.
− b − c 0
a 2 −3
7. Determine os números reais a, b, c, x, y e z para que a matriz A = x − 1 b 2 y − 4 seja anti-
z c
4
simétrica.
Determinante de uma matriz de ordem 2
A toda matriz quadrada está associado um número real chamado determinante.
Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes:
4 − 2
a) A =
o determinante dessa matriz é: detA= 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 =40
6 7
5 3
b) B = o determinante dessa matriz é: detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2
4 2
c) Calcule o polinômio característico det(A – x.I)=0, onde x∈R;
3. Arquivo: aula2matriz.doc Page 3/4
Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus
8. Calcular os determinantes das matrizes pela regra de Sarrus:
2 3 −1 2 −1 1 2 3 0
a) 4 1 2 b) 1 0 0 c) 0 1 2
−3 2 1 0 1 0 1 3 2
π
log 2 8 tg sec(− π ) π
4 sen − 12 1
1 2
9. Calcule os determinantes a) 4 2
sen8π 30 b) log1 0 −1
− 12 3π
ln e 1 cos 2 −1 30
2
Matriz Inversa
Definição
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa de A, se e
somente se: A.B = B. A = I n .
Propriedade:
A inversa de uma matriz A existe se o det A ≠ 0 .
Exercício:
1 2
10. Seja a matriz A =
, pede-se:
3 0
a) verificar se existe a inversa A-1 da matriz A, det A ≠ 0 .
b) A inversa da A-1 usando a definição.
Resolução:
1 2 a b 1 0
A. A −1 = I →
3 0 . c d = 0 1
1 1
11. Seja a matriz A =
. Determine A-1, se existir.
0 0
2 − 1
12. Encontrar a matriz inversa B-1 da matriz B =
3 0
a) usando a definição.
b) usando o “artifício”.
c) usando escalonamento
2 -1
d) a partir da equação B =2.B-3.I, determine a matriz inversa B , (obs: 2=2+0 e
3=det B).
4. Arquivo: aula2matriz.doc Page 4/4
Resolução:
B2=2.B-3.I à
1 0 1
13. Encontre a matriz inversa C-1 da matriz C = 0 − 1 2 , usando o escalonamento.
2 0 1
Respostas:
28 15 16 8) a) -47 b) 1 c)-2
1) 19 36 15 9) a) -8 b) 1/2
30 19 28
0 1
1 0 1 0 − 1 0 3
0 1 , 0 −1 ,
2) 0 1 ,
10)
1 1
−
2 6
−1 0 11) Não existe, pois a matriz é singular.
0 − 1 0 − 1 / 3
−1
12) B =
3) 0 ou 2 1 2 / 3
0 3 4 5 1 0 1 1 0 0
3 0 5 6 13) 0 − 1 2 0 1 0 à
A=
7
4) , A é uma matriz
4 5 0 2 0 1 0 0 1
5 0 − 1 0 1
6 7
simétrica. −1
B = 4 − 1 − 2
5) a =
1
, b=
3
e c=
3 6 2 0 − 1
2 2 8
6) Quaisquer que sejam a, b e c pertenceste a
R.
7) a=b=c=0; x=-1 e y=0; z=3