SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 15
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Razões e proporções

                                 Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf




Sumário                                                                                                                  Página
Razão............................................................................................................................... 1
      Razões inversas ........................................................................................................ 4
Algumas razões especiais ............................................................................................... 5
      As razões escritas na forma percentual .................................................................... 6
      Calculando a porcentagem ....................................................................................... 7
Proporção ........................................................................................................................ 8
Propriedade fundamental das proporções ....................................................................... 9
      Outras propriedades das proporções ...................................................................... 10
Referências bibliográficas............................................................................................. 14
1


RAZÕES E PROPORÇÕES


Razão


 Sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denomina-se razão entre a e b
                                                               a
    ou razão de a para b o quociente do primeiro pelo segundo: ou a : b .
                                                               b

          a
A razão     ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras:
          b
Razão de a para b      ou      a está para b    ou    a para bb



Quando escrevemos uma razão na forma fracionária ou na forma de divisão, o
primeiro número denomina-se antecedente e o segundo número, conseqüente.




Exemplos:



                           8 4
1) A razão entre 8 e 6 é    = ou 8 : 6 .
                           6 3


                             20 4
2) A razão entre 20 e 15 é     = ou 20 : 15 .
                             15 3
2


3) Numa partida de basquetebol Rafael fez 15 arremessos, acertando 9 deles.
Nessas condições:
a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de
Rafael?

 9 3
  = (3 para 5, ou seja, para cada 5 arremessos dados, Rafael acertou 3)
15 5


b) Qual a razão entre o número de arremessos que Rafael acertou e o número de
arremessos que ele errou?

15 – 9 = 6

9 3
 = (3 para 2, ou seja, para cada 3 arremessos acertados, Rafael errou 2)
6 2


4) Calcular a razão da área do retângulo 1 para a área do retângulo 2.




Para calcular a razão entre as áreas, devemos antes passá-las para a mesma
unidade.

Vamos calcular a área de cada retângulo: (1 m = 100 cm )

Área do retângulo 1: A1 = 60 ⋅ 40 = 2400 cm 2

Área do retângulo 2: A1 = 120 ⋅100 = 12000 cm 2

         A1   2400 1
Razão:      =     = (1 para 5, ou seja, a área do retângulo 2 é 5 vezes a
         A 2 12000 5
                     área do retângulo 1)


A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que
       exprimem as suas medidas sempre tomadas na mesma unidade.
3


                               EXERCÍCIOS A

(1) Escreva, na forma de fração irredutível, a razão entre os números:

a) 1 e 5                   c) 6 e 3                      e) 100 e 80
b) 3 e 6                   d) 15 e 10                    f) 48 e 72



(2) Determine a razão entre as medidas abaixo (não se esqueça de reduzir para a
mesma unidade, quando necessário):

a) 5 cm e 20 cm            c) 12 l e 15 l
b) 10 cm e 0,5 m           d) 800 g e 2 kg




(3) Num teste de 20 questões, Roberta acertou 16. Nessas condições:

a) Qual a razão do número de acertos de Roberta para o número total de
questões do teste?


b) Qual a razão do número de erros para o número total de questões do teste?


c) Qual a razão entre o número de acertos e o número total de erros de Roberta?



(4) Um retângulo A tem 10 cm e 15 cm de dimensões e um retângulo B tem 8 cm
e 12 cm de dimensão. Qual é a razão entre os perímetros dos dois retângulos?



                                                         2
(5) A razão entre as idades de um filho e seu pai é de     . Se o filho tem 24 anos,
                                                         5
qual é a idade do pai?
4


Razões inversas

                      4 5
Considere as razões    e .
                      5 4
                                                                 4 5
Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,    ⋅ = 1.
                                                                 5 4
                                  4 5
Nesse caso, podemos afirmar que    e são razões inversas.
                                  5 4

      Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.



Exemplo:

                 3 7
► Verifique se    e são razões inversas.
                 7 3
3 7
 ⋅ =1
7 3
            3 7
Portanto,    e são razão inversas.
            7 3


Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da
outra, e vice-versa.



OBS.:
1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.

2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar
                                                  2 5
(trocar) os seus termos. Por exemplo: o inverso de é .
                                                  5 2
5


Algumas razões especiais


                       distância percorrida
• Velocidade média =
                           tempo gasto

             comprimento no desenho
• Escala =
                comprimento real

                             massa do corpo
• Densidade de um corpo =
                             volume do corpo

                             número de habitantes
• Densidade demográfica =
                                    área




                             EXERCÍCIOS B

(1) Um automóvel percorreu 400 km em 5 horas. Qual foi a velocidade média
desse automóvel no percurso?



(2) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3 m está
representado por um comprimento de 5 cm?




(3) Uma pedra preciosa tem 67,2 g de massa e ocupa um volume de 16 cm 3 .
Qual a densidade dessa pedra preciosa?
6


As razões escritas na forma percentual
Além da forma fracionária e da forma decimal, uma razão também pode ser
representada na forma percentual, com o símbolo %.
Podemos dizer que:

                a
  Toda razão      , na qual b = 100, pode ser escrita na forma de porcentagem.
                b



Assim, temos:




Para representar uma razão na forma percentual, temos dois casos a considerar:



1º Caso: O conseqüente b é um fator natural de 100.

1 1 ⋅ 50 50
 =      =    = 50%
2 2 ⋅ 50 100


2º Caso: O conseqüente b não é um fator natural de 100.

3           0,375 ⋅ 100 37,5
  = 0,375 =            =     = 37,5%
8              100       100
7


                                  EXERCÍCIOS C

(1) Escreva na forma de porcentagem cada uma das seguintes razões.

      51                          11
a)                           c)                       e) 0,03
     100                          20


     12,7                         7
b)                           d)                       f) 0,045
     100                          5



(2) As razões a seguir estão escritas na forma percentual. Escreve-as na forma de
números fracionários.

a) 55%                       c) 10%



b) 8%                        d) 120%




Calculando a porcentagem
No exemplo a seguir vamos usar a razão escrita na forma percentual, ou seja,
vamos calcular porcentagens.

Exemplo:
► Um desconto de 7000 reais sobre um preço de 20000 reais, representa
quantos por cento?

                             7000   7
Inicialmente temos a razão        =
                             20000 20

Usando equações equivalentes temos:     Na forma de número decimal, temos:
7⋅5     35                              7            35
      =    = 35%                           = 0,35 =     = 35%
20 ⋅ 5 100                              20          100
8


                               EXERCÍCIOS D

(1) Numa prova foram dadas 40 questões. Cristina acertou 34 dessas questões. O
número de acertos de Cristina representa quantos por cento do número total de
questões?



(2) (PUC-MG) Dos 13000 candidatos inscritos no último vestibular da PUC-MG,
verificou-se que 1400 deles tinham menos de 18 anos. Aproximadamente
quantos por cento dos candidatos desse vestibular tinham 18 anos ou mais?




Proporção


                            6 2
⇒ A razão entre 6 e 15 é     = ou 2 : 5 .
                           15 5
                            10 2
⇒ A razão entre 10 e 25 é     = ou 2 : 5 .
                            25 5


                                                 6 10
Nos exemplos acima, verificamos que as razões     e   são iguais:
                                                15 25
 6 2
  =
15 5           6 10
          ⇒     =   (Lê-se: 6 está para 15 assim como 10 está para 25)
10 2          15 25
  =
25 5


Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas razões é
                                                  6   10
chamada proporção. Dizemos, então, que as razões    e     formam uma
                                                 15   25
proporção.

Então:

                  Proporção é a igualdade entre duas razões.
9


   Quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma
 proporção quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois
                                     últimos.
                                              a c
                            a : b = c : d ou    =
                                              b d

                  a c
Na proporção       = , temos:
                  b d
aed       extremos

bec       meios




Propriedade fundamental das proporções


   De um modo geral, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao
                      produto dos meios e vice-versa.
                        a c
                          = ⇒ a⋅d = b⋅c
                                   {          {
                        b d       produto    produto
                                   dos extremos   dos meios




Exemplo:
► Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam, nessa ordem, uma proporção,
determine o valor de x.

 6 5
    =
24 x
6 x = 5 ⋅ 24
6 x = 120
    120
x=
     6
x = 20
Logo, o valor de x é 20.
10


                                EXERCÍCIOS E

(1) Aplicando a propriedade fundamental, verifique se os seguintes pares de
razões formam uma proporção:

     2 6                        13 4                       4 6
a)    e                    b)     e                  c)     e
     3 9                        16 6                      10 4



(2) Verifique se os números abaixo formam, na ordem em que aparecem, uma
proporção:

a) 4, 6, 20 e 30           b) 1, 6, 3 e 12           c) 3, 5, 20 e 12



(3) Calcule o valor de x nas seguintes proporções:

     x 8                        2 14                      1 5
a)    =                    b)    =                   c)    =
     3 12                       x 21                      6 x




Outras propriedades das proporções
Vamos estudar duas propriedades das proporções que são bastante utilizadas na
resolução de problemas.



1ª Propriedade:
Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o
primeiro (ou para o segundo), assim com a soma ou a diferença dos dois últimos
termos está para o terceiro (ou para o quarto).

     a c  a+b c+d    a+b c+d
•     = ⇒    =    ou    =
     b d   a   c      b   d
     a c  a −b c−d    a−b c−d
•     = ⇒     =    ou    =
     b d    a   c      b   d
11


2ª Propriedade:
Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma
(ou a diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu
conseqüente.

     a c  a+c a   a+c c
•     = ⇒    = ou    =
     b d  b+d b   b+d d
     a c  a−c a   a−c c
•     = ⇒    = ou    =
     b d  b−d b   b−d d


Exemplos:

                                   x 3
a) Determinar x e y na proporção    = , sabendo que x + y = 28 .
                                   y 4

                                        ou

    x 3                                      x 3
       = → aplicando a 1ª propriedade           = → aplicando a 1ª propriedade
    y 4                                      y 4
    x + y 3+ 4                               x + y 3+ 4
           =      → x + y = 28                      =      → x + y = 28
       x        3                               y        4
    28 7                                     28 7
         =                                        =
     x 3                                      y 4
    7 x = 3 ⋅ 28                             7 y = 4 ⋅ 28
    7 x = 84                                 7 y = 112
        84
    x=                                       x=
                                                 112
         7                                        7
    x = 12                                   x = 16

Como x + y = 28 :                        Como x + y = 28 :
x + y = 28                               x + y = 28
12 + y = 28                                  x + 16 = 28
    y = 28 − 12                              x = 28 − 16
    y = 16                                   x = 12
Portanto, Como x = 12 e y = 16 .
12


                                                  a b c
b) Determinar os números a, b e c na proporção     = =  sabendo que
                                                  3 5 2
a + b + c = 200 .

a b c
  = = → aplicando a 2ª propriedade
3 5 2
a+b+c a
           = → a + b + c = 200
3+5+ 2 3
200 a
    =
 10 3
10a = 3 ⋅ 200
10a = 600
    600
a=
     10
a = 60
Tomando as igualdades duas a duas:

 a b                        a c                  ou:
   =                          =                  a + b + c = 200
 3 5                        3 2
 60 b                       60 c                 60 + 100 + c = 200
    =                          =
  3 5                        3 2                 160 + c = 200
 3b = 5 ⋅ 60                3c = 2 ⋅ 60          c = 200 − 160
 3b = 300                   3c = 120             c = 40
     300                        120
 b=                         c=
      3                          3
 b = 100                    c = 40

Logo, a = 60, b = 100 e c = 40 .
13


                              EXERCÍCIOS F

(1) Aplicando as propriedades, determine os números x, y e z em cada uma das
seguintes proporções:

     x 1
a)    = , sabendo que x + y = 90
     y 2




     x 5
b)    = , sabendo que x − y = 12
     y 4




     x y
c)    = , sabendo que x − y = 15
     6 5




     x y z
d)    = = , sabendo que x + y + z = 90
     8 5 2




(2) A razão entre as massas de alumínio e de oxigênio na substância óxido de
                    7
alumínio é igual a . Calcule as massas de alumínio e de oxigênio necessárias
                    8
para formar 51 g de óxido de alumínio.
14


Referências bibliográficas

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
  matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
   FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
   Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
   descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
   Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo:
  Ática, 1998.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
  Paulo: Scipione, 2006.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

SOMATEMÁTICA. Disponível em:            <http://www.somatematica.com.br>.
  Acesso em: 5 de outubro de 2008.

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)carlos josé gomes
 
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...Josie Michelle Soares
 
Exercícios teorema pitagoras
Exercícios teorema pitagorasExercícios teorema pitagoras
Exercícios teorema pitagorasMichele Boulanger
 
Mat utfrs 17. teorema de tales exercicios
Mat utfrs 17. teorema de tales exerciciosMat utfrs 17. teorema de tales exercicios
Mat utfrs 17. teorema de tales exerciciostrigono_metria
 
Lista 01 exercícios de função do 1º grau
Lista 01 exercícios de função do 1º grauLista 01 exercícios de função do 1º grau
Lista 01 exercícios de função do 1º grauManoel Silva
 
Lista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afimLista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afimProfessoraIve
 
Lista de Exercícios – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...
Lista de Exercícios  – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...Lista de Exercícios  – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...
Lista de Exercícios – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...Everton Moraes
 
Perímetro e área do circulo
Perímetro e área do circuloPerímetro e área do circulo
Perímetro e área do circuloAbel Mondlane
 
prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)
prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)
prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)ProfCalazans
 
Lista de relações métricas no triangulo retângulo
Lista de  relações métricas no triangulo retânguloLista de  relações métricas no triangulo retângulo
Lista de relações métricas no triangulo retânguloRosana Santos Quirino
 
Exercícios do Teorema de Pitágoras
Exercícios do Teorema de PitágorasExercícios do Teorema de Pitágoras
Exercícios do Teorema de PitágorasAjudar Pessoas
 
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagem
1ª lista de exercícios   análise de gráficos e porcentagem1ª lista de exercícios   análise de gráficos e porcentagem
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagemlualvares
 
Atividade resolvida teorema de tales
Atividade resolvida teorema de talesAtividade resolvida teorema de tales
Atividade resolvida teorema de talesKaren Paz
 
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...Waldir Montenegro
 
Trigonometria Triangulo Retangulo
Trigonometria Triangulo RetanguloTrigonometria Triangulo Retangulo
Trigonometria Triangulo Retangulotioheraclito
 
Lista de exercícios PG
Lista de exercícios PGLista de exercícios PG
Lista de exercícios PGprofederson
 
D14 (9º ANO - Mat.) - volume de sólidos geométricos.docx
D14 (9º ANO - Mat.)  - volume de sólidos geométricos.docxD14 (9º ANO - Mat.)  - volume de sólidos geométricos.docx
D14 (9º ANO - Mat.) - volume de sólidos geométricos.docxJoabeClaudio2
 

Was ist angesagt? (20)

Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
 
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...
 
Exercícios teorema pitagoras
Exercícios teorema pitagorasExercícios teorema pitagoras
Exercícios teorema pitagoras
 
Mat utfrs 17. teorema de tales exercicios
Mat utfrs 17. teorema de tales exerciciosMat utfrs 17. teorema de tales exercicios
Mat utfrs 17. teorema de tales exercicios
 
Lista 01 exercícios de função do 1º grau
Lista 01 exercícios de função do 1º grauLista 01 exercícios de função do 1º grau
Lista 01 exercícios de função do 1º grau
 
Áreas de Figuras Planas
Áreas de Figuras PlanasÁreas de Figuras Planas
Áreas de Figuras Planas
 
Lista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afimLista de exercícios de função afim
Lista de exercícios de função afim
 
Lista de Exercícios – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...
Lista de Exercícios  – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...Lista de Exercícios  – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...
Lista de Exercícios – Relações Métricas no Triângulo Retângulo e na Circunfe...
 
Perímetro e área do circulo
Perímetro e área do circuloPerímetro e área do circulo
Perímetro e área do circulo
 
prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)
prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)
prof.Calazans(Geom.plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)
 
Lista de relações métricas no triangulo retângulo
Lista de  relações métricas no triangulo retânguloLista de  relações métricas no triangulo retângulo
Lista de relações métricas no triangulo retângulo
 
Razão e proporção - AP 05
Razão e proporção - AP 05Razão e proporção - AP 05
Razão e proporção - AP 05
 
Exercícios do Teorema de Pitágoras
Exercícios do Teorema de PitágorasExercícios do Teorema de Pitágoras
Exercícios do Teorema de Pitágoras
 
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagem
1ª lista de exercícios   análise de gráficos e porcentagem1ª lista de exercícios   análise de gráficos e porcentagem
1ª lista de exercícios análise de gráficos e porcentagem
 
Atividade resolvida teorema de tales
Atividade resolvida teorema de talesAtividade resolvida teorema de tales
Atividade resolvida teorema de tales
 
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...
Atividades de matemática 2° ano trigonometria no triângulo retângulo prof wal...
 
Trigonometria Triangulo Retangulo
Trigonometria Triangulo RetanguloTrigonometria Triangulo Retangulo
Trigonometria Triangulo Retangulo
 
Lista de exercícios PG
Lista de exercícios PGLista de exercícios PG
Lista de exercícios PG
 
D14 (9º ANO - Mat.) - volume de sólidos geométricos.docx
D14 (9º ANO - Mat.)  - volume de sólidos geométricos.docxD14 (9º ANO - Mat.)  - volume de sólidos geométricos.docx
D14 (9º ANO - Mat.) - volume de sólidos geométricos.docx
 

Ähnlich wie Mat razoes e proporcoes

Razão e proporção
Razão e proporçãoRazão e proporção
Razão e proporçãowalissongbs
 
Apostila matematica financeira
Apostila matematica financeiraApostila matematica financeira
Apostila matematica financeiraUyara Teixeira
 
Mat segmentos proporcionais
Mat segmentos proporcionaisMat segmentos proporcionais
Mat segmentos proporcionaistrigono_metria
 
RAZÃO e PROPORÇÂO.ppt
RAZÃO e  PROPORÇÂO.pptRAZÃO e  PROPORÇÂO.ppt
RAZÃO e PROPORÇÂO.pptJooHonorato3
 
Mat utfrs 06. razao e proporcao
Mat utfrs 06. razao e proporcaoMat utfrs 06. razao e proporcao
Mat utfrs 06. razao e proporcaotrigono_metria
 
C.A AULA 3 Razão, proporção e Regra de três simples .pptx
C.A AULA 3 Razão, proporção e Regra de três simples .pptxC.A AULA 3 Razão, proporção e Regra de três simples .pptx
C.A AULA 3 Razão, proporção e Regra de três simples .pptxARLANFERREIRANUNES
 
matemática medio-matematica FORMATADO.doc
matemática medio-matematica FORMATADO.docmatemática medio-matematica FORMATADO.doc
matemática medio-matematica FORMATADO.docPromusicPar
 
Exercicios 7 ano
Exercicios 7 anoExercicios 7 ano
Exercicios 7 anonilsonmb
 
Porques na-matematica-basica-4 (1)
Porques na-matematica-basica-4 (1)Porques na-matematica-basica-4 (1)
Porques na-matematica-basica-4 (1)claudinei rangelc
 
Mat razao e proporcao
Mat razao e proporcaoMat razao e proporcao
Mat razao e proporcaocomentada
 
razão e proporção
razão e proporçãorazão e proporção
razão e proporçãoCamila Passos
 
Divisão com frações e problemas
Divisão com frações e problemasDivisão com frações e problemas
Divisão com frações e problemastcrisouza
 
Divisao de frações e problemas
Divisao de frações e problemasDivisao de frações e problemas
Divisao de frações e problemastcrisouza
 

Ähnlich wie Mat razoes e proporcoes (20)

Razão e proporção
Razão e proporçãoRazão e proporção
Razão e proporção
 
Apostila matematica financeira
Apostila matematica financeiraApostila matematica financeira
Apostila matematica financeira
 
Mat segmentos proporcionais
Mat segmentos proporcionaisMat segmentos proporcionais
Mat segmentos proporcionais
 
RAZÃO e PROPORÇÂO.ppt
RAZÃO e  PROPORÇÂO.pptRAZÃO e  PROPORÇÂO.ppt
RAZÃO e PROPORÇÂO.ppt
 
Razao e-proporcao
Razao e-proporcaoRazao e-proporcao
Razao e-proporcao
 
7
77
7
 
Mat utfrs 06. razao e proporcao
Mat utfrs 06. razao e proporcaoMat utfrs 06. razao e proporcao
Mat utfrs 06. razao e proporcao
 
Razão
RazãoRazão
Razão
 
Razão conceito
Razão conceitoRazão conceito
Razão conceito
 
C.A AULA 3 Razão, proporção e Regra de três simples .pptx
C.A AULA 3 Razão, proporção e Regra de três simples .pptxC.A AULA 3 Razão, proporção e Regra de três simples .pptx
C.A AULA 3 Razão, proporção e Regra de três simples .pptx
 
matemática medio-matematica FORMATADO.doc
matemática medio-matematica FORMATADO.docmatemática medio-matematica FORMATADO.doc
matemática medio-matematica FORMATADO.doc
 
Razão e proporção
Razão e proporçãoRazão e proporção
Razão e proporção
 
Exercicios 7 ano
Exercicios 7 anoExercicios 7 ano
Exercicios 7 ano
 
Porques na-matematica-basica-4 (1)
Porques na-matematica-basica-4 (1)Porques na-matematica-basica-4 (1)
Porques na-matematica-basica-4 (1)
 
Mat razao e proporcao
Mat razao e proporcaoMat razao e proporcao
Mat razao e proporcao
 
razão e proporção
razão e proporçãorazão e proporção
razão e proporção
 
Matemática
MatemáticaMatemática
Matemática
 
6
66
6
 
Divisão com frações e problemas
Divisão com frações e problemasDivisão com frações e problemas
Divisão com frações e problemas
 
Divisao de frações e problemas
Divisao de frações e problemasDivisao de frações e problemas
Divisao de frações e problemas
 

Mehr von trigono_metria

Mat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaoMat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaotrigono_metria
 
Mat divisores de um numero
Mat divisores de um numeroMat divisores de um numero
Mat divisores de um numerotrigono_metria
 
Mat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grauMat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grautrigono_metria
 
Mat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricasMat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricastrigono_metria
 
Mat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte iiMat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte iitrigono_metria
 
Mat equacao do segundo grau parte i
Mat equacao do segundo grau   parte iMat equacao do segundo grau   parte i
Mat equacao do segundo grau parte itrigono_metria
 
Mat razoes e proporcoes 002
Mat razoes e proporcoes  002Mat razoes e proporcoes  002
Mat razoes e proporcoes 002trigono_metria
 
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exerciciosMat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exerciciostrigono_metria
 
Mat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericosMat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericostrigono_metria
 
Mat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimalMat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimaltrigono_metria
 
Mat equacoes do 1 grau 004
Mat equacoes do 1 grau  004Mat equacoes do 1 grau  004
Mat equacoes do 1 grau 004trigono_metria
 
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidosMat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
 
Mat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaoMat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaotrigono_metria
 
Mat equacoes do 1 grau 001
Mat equacoes do 1 grau  001Mat equacoes do 1 grau  001
Mat equacoes do 1 grau 001trigono_metria
 
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002trigono_metria
 

Mehr von trigono_metria (20)

Mat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaoMat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacao
 
Mat divisores de um numero
Mat divisores de um numeroMat divisores de um numero
Mat divisores de um numero
 
Mat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grauMat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grau
 
Mat areas e volumes
Mat areas e volumesMat areas e volumes
Mat areas e volumes
 
Mat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricasMat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricas
 
Mat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte iiMat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte ii
 
Mat equacao do segundo grau parte i
Mat equacao do segundo grau   parte iMat equacao do segundo grau   parte i
Mat equacao do segundo grau parte i
 
Mat razoes e proporcoes 002
Mat razoes e proporcoes  002Mat razoes e proporcoes  002
Mat razoes e proporcoes 002
 
Mat sc conicas
Mat sc conicasMat sc conicas
Mat sc conicas
 
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exerciciosMat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
 
Mat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericosMat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericos
 
Mat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimalMat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimal
 
Mat numeros racionais
Mat numeros racionaisMat numeros racionais
Mat numeros racionais
 
Mat divisibilidade
Mat divisibilidadeMat divisibilidade
Mat divisibilidade
 
Mat equacoes do 1 grau 004
Mat equacoes do 1 grau  004Mat equacoes do 1 grau  004
Mat equacoes do 1 grau 004
 
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidosMat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
 
Mat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaoMat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacao
 
Mat derivadas
Mat derivadasMat derivadas
Mat derivadas
 
Mat equacoes do 1 grau 001
Mat equacoes do 1 grau  001Mat equacoes do 1 grau  001
Mat equacoes do 1 grau 001
 
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
 

Kürzlich hochgeladen

FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de históriaFORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de históriaBenigno Andrade Vieira
 
Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024gilmaraoliveira0612
 
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderautismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderLucliaResende1
 
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus SousaO-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus SousaTeresaCosta92
 
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdfRitoneltonSouzaSanto
 
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdfEBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdfIBEE5
 
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegraTermo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegrafernando846621
 
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxRessonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxPatriciaFarias81
 
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiCruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiMary Alvarenga
 
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxAula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxMarceloDosSantosSoar3
 
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsxDepende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsxLuzia Gabriele
 
Caça palavras - BULLYING
Caça palavras  -  BULLYING  Caça palavras  -  BULLYING
Caça palavras - BULLYING Mary Alvarenga
 
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123JaineCarolaineLima
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfItaloAtsoc
 
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...Colaborar Educacional
 
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofiaaula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino FilosofiaLucliaResende1
 

Kürzlich hochgeladen (20)

FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de históriaFORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
FORMAÇÃO POVO BRASILEIRO atividade de história
 
Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024
 
(42-ESTUDO - LUCAS) DISCIPULO DE JESUS
(42-ESTUDO - LUCAS)  DISCIPULO  DE JESUS(42-ESTUDO - LUCAS)  DISCIPULO  DE JESUS
(42-ESTUDO - LUCAS) DISCIPULO DE JESUS
 
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
 
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderautismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
 
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus SousaO-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
 
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
1. CIENCIAS-HUMANAS-GLOBALIZAÇÃO, TEMPO E ESPAÇO-V1.pdf
 
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdfEBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
 
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegraTermo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
Termo de audiência de Mauro Cid na ìntegra
 
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdfAbordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
Abordagem 3. Análise interpretativa (Severino, 2013)_PdfToPowerPoint.pdf
 
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxRessonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
 
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegyptiCruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
Cruzadinha da dengue - Mosquito Aedes aegypti
 
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptxAula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
Aula 6 - O Imperialismo e seu discurso civilizatório.pptx
 
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsxDepende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Depende De Nós! José Ernesto Ferraresso.ppsx
 
Caça palavras - BULLYING
Caça palavras  -  BULLYING  Caça palavras  -  BULLYING
Caça palavras - BULLYING
 
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
 
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
SEMIOSES DO OLHAR - SLIDE PARA ESTUDO 123
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
 
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
PROJETO DE EXTENSÃO - SEGURANÇA, INOVAÇÃO E SUSTENTABILIDADE PARA O BEM COMUM...
 
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofiaaula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
 

Mat razoes e proporcoes

  • 1. Razões e proporções Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Sumário Página Razão............................................................................................................................... 1 Razões inversas ........................................................................................................ 4 Algumas razões especiais ............................................................................................... 5 As razões escritas na forma percentual .................................................................... 6 Calculando a porcentagem ....................................................................................... 7 Proporção ........................................................................................................................ 8 Propriedade fundamental das proporções ....................................................................... 9 Outras propriedades das proporções ...................................................................... 10 Referências bibliográficas............................................................................................. 14
  • 2. 1 RAZÕES E PROPORÇÕES Razão Sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denomina-se razão entre a e b a ou razão de a para b o quociente do primeiro pelo segundo: ou a : b . b a A razão ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras: b Razão de a para b ou a está para b ou a para bb Quando escrevemos uma razão na forma fracionária ou na forma de divisão, o primeiro número denomina-se antecedente e o segundo número, conseqüente. Exemplos: 8 4 1) A razão entre 8 e 6 é = ou 8 : 6 . 6 3 20 4 2) A razão entre 20 e 15 é = ou 20 : 15 . 15 3
  • 3. 2 3) Numa partida de basquetebol Rafael fez 15 arremessos, acertando 9 deles. Nessas condições: a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de Rafael? 9 3 = (3 para 5, ou seja, para cada 5 arremessos dados, Rafael acertou 3) 15 5 b) Qual a razão entre o número de arremessos que Rafael acertou e o número de arremessos que ele errou? 15 – 9 = 6 9 3 = (3 para 2, ou seja, para cada 3 arremessos acertados, Rafael errou 2) 6 2 4) Calcular a razão da área do retângulo 1 para a área do retângulo 2. Para calcular a razão entre as áreas, devemos antes passá-las para a mesma unidade. Vamos calcular a área de cada retângulo: (1 m = 100 cm ) Área do retângulo 1: A1 = 60 ⋅ 40 = 2400 cm 2 Área do retângulo 2: A1 = 120 ⋅100 = 12000 cm 2 A1 2400 1 Razão: = = (1 para 5, ou seja, a área do retângulo 2 é 5 vezes a A 2 12000 5 área do retângulo 1) A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas sempre tomadas na mesma unidade.
  • 4. 3 EXERCÍCIOS A (1) Escreva, na forma de fração irredutível, a razão entre os números: a) 1 e 5 c) 6 e 3 e) 100 e 80 b) 3 e 6 d) 15 e 10 f) 48 e 72 (2) Determine a razão entre as medidas abaixo (não se esqueça de reduzir para a mesma unidade, quando necessário): a) 5 cm e 20 cm c) 12 l e 15 l b) 10 cm e 0,5 m d) 800 g e 2 kg (3) Num teste de 20 questões, Roberta acertou 16. Nessas condições: a) Qual a razão do número de acertos de Roberta para o número total de questões do teste? b) Qual a razão do número de erros para o número total de questões do teste? c) Qual a razão entre o número de acertos e o número total de erros de Roberta? (4) Um retângulo A tem 10 cm e 15 cm de dimensões e um retângulo B tem 8 cm e 12 cm de dimensão. Qual é a razão entre os perímetros dos dois retângulos? 2 (5) A razão entre as idades de um filho e seu pai é de . Se o filho tem 24 anos, 5 qual é a idade do pai?
  • 5. 4 Razões inversas 4 5 Considere as razões e . 5 4 4 5 Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, ⋅ = 1. 5 4 4 5 Nesse caso, podemos afirmar que e são razões inversas. 5 4 Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1. Exemplo: 3 7 ► Verifique se e são razões inversas. 7 3 3 7 ⋅ =1 7 3 3 7 Portanto, e são razão inversas. 7 3 Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa. OBS.: 1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar 2 5 (trocar) os seus termos. Por exemplo: o inverso de é . 5 2
  • 6. 5 Algumas razões especiais distância percorrida • Velocidade média = tempo gasto comprimento no desenho • Escala = comprimento real massa do corpo • Densidade de um corpo = volume do corpo número de habitantes • Densidade demográfica = área EXERCÍCIOS B (1) Um automóvel percorreu 400 km em 5 horas. Qual foi a velocidade média desse automóvel no percurso? (2) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3 m está representado por um comprimento de 5 cm? (3) Uma pedra preciosa tem 67,2 g de massa e ocupa um volume de 16 cm 3 . Qual a densidade dessa pedra preciosa?
  • 7. 6 As razões escritas na forma percentual Além da forma fracionária e da forma decimal, uma razão também pode ser representada na forma percentual, com o símbolo %. Podemos dizer que: a Toda razão , na qual b = 100, pode ser escrita na forma de porcentagem. b Assim, temos: Para representar uma razão na forma percentual, temos dois casos a considerar: 1º Caso: O conseqüente b é um fator natural de 100. 1 1 ⋅ 50 50 = = = 50% 2 2 ⋅ 50 100 2º Caso: O conseqüente b não é um fator natural de 100. 3 0,375 ⋅ 100 37,5 = 0,375 = = = 37,5% 8 100 100
  • 8. 7 EXERCÍCIOS C (1) Escreva na forma de porcentagem cada uma das seguintes razões. 51 11 a) c) e) 0,03 100 20 12,7 7 b) d) f) 0,045 100 5 (2) As razões a seguir estão escritas na forma percentual. Escreve-as na forma de números fracionários. a) 55% c) 10% b) 8% d) 120% Calculando a porcentagem No exemplo a seguir vamos usar a razão escrita na forma percentual, ou seja, vamos calcular porcentagens. Exemplo: ► Um desconto de 7000 reais sobre um preço de 20000 reais, representa quantos por cento? 7000 7 Inicialmente temos a razão = 20000 20 Usando equações equivalentes temos: Na forma de número decimal, temos: 7⋅5 35 7 35 = = 35% = 0,35 = = 35% 20 ⋅ 5 100 20 100
  • 9. 8 EXERCÍCIOS D (1) Numa prova foram dadas 40 questões. Cristina acertou 34 dessas questões. O número de acertos de Cristina representa quantos por cento do número total de questões? (2) (PUC-MG) Dos 13000 candidatos inscritos no último vestibular da PUC-MG, verificou-se que 1400 deles tinham menos de 18 anos. Aproximadamente quantos por cento dos candidatos desse vestibular tinham 18 anos ou mais? Proporção 6 2 ⇒ A razão entre 6 e 15 é = ou 2 : 5 . 15 5 10 2 ⇒ A razão entre 10 e 25 é = ou 2 : 5 . 25 5 6 10 Nos exemplos acima, verificamos que as razões e são iguais: 15 25 6 2 = 15 5 6 10 ⇒ = (Lê-se: 6 está para 15 assim como 10 está para 25) 10 2 15 25 = 25 5 Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas razões é 6 10 chamada proporção. Dizemos, então, que as razões e formam uma 15 25 proporção. Então: Proporção é a igualdade entre duas razões.
  • 10. 9 Quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos. a c a : b = c : d ou = b d a c Na proporção = , temos: b d aed extremos bec meios Propriedade fundamental das proporções De um modo geral, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa. a c = ⇒ a⋅d = b⋅c { { b d produto produto dos extremos dos meios Exemplo: ► Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam, nessa ordem, uma proporção, determine o valor de x. 6 5 = 24 x 6 x = 5 ⋅ 24 6 x = 120 120 x= 6 x = 20 Logo, o valor de x é 20.
  • 11. 10 EXERCÍCIOS E (1) Aplicando a propriedade fundamental, verifique se os seguintes pares de razões formam uma proporção: 2 6 13 4 4 6 a) e b) e c) e 3 9 16 6 10 4 (2) Verifique se os números abaixo formam, na ordem em que aparecem, uma proporção: a) 4, 6, 20 e 30 b) 1, 6, 3 e 12 c) 3, 5, 20 e 12 (3) Calcule o valor de x nas seguintes proporções: x 8 2 14 1 5 a) = b) = c) = 3 12 x 21 6 x Outras propriedades das proporções Vamos estudar duas propriedades das proporções que são bastante utilizadas na resolução de problemas. 1ª Propriedade: Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim com a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto). a c a+b c+d a+b c+d • = ⇒ = ou = b d a c b d a c a −b c−d a−b c−d • = ⇒ = ou = b d a c b d
  • 12. 11 2ª Propriedade: Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente. a c a+c a a+c c • = ⇒ = ou = b d b+d b b+d d a c a−c a a−c c • = ⇒ = ou = b d b−d b b−d d Exemplos: x 3 a) Determinar x e y na proporção = , sabendo que x + y = 28 . y 4 ou x 3 x 3 = → aplicando a 1ª propriedade = → aplicando a 1ª propriedade y 4 y 4 x + y 3+ 4 x + y 3+ 4 = → x + y = 28 = → x + y = 28 x 3 y 4 28 7 28 7 = = x 3 y 4 7 x = 3 ⋅ 28 7 y = 4 ⋅ 28 7 x = 84 7 y = 112 84 x= x= 112 7 7 x = 12 x = 16 Como x + y = 28 : Como x + y = 28 : x + y = 28 x + y = 28 12 + y = 28 x + 16 = 28 y = 28 − 12 x = 28 − 16 y = 16 x = 12 Portanto, Como x = 12 e y = 16 .
  • 13. 12 a b c b) Determinar os números a, b e c na proporção = = sabendo que 3 5 2 a + b + c = 200 . a b c = = → aplicando a 2ª propriedade 3 5 2 a+b+c a = → a + b + c = 200 3+5+ 2 3 200 a = 10 3 10a = 3 ⋅ 200 10a = 600 600 a= 10 a = 60 Tomando as igualdades duas a duas: a b a c ou: = = a + b + c = 200 3 5 3 2 60 b 60 c 60 + 100 + c = 200 = = 3 5 3 2 160 + c = 200 3b = 5 ⋅ 60 3c = 2 ⋅ 60 c = 200 − 160 3b = 300 3c = 120 c = 40 300 120 b= c= 3 3 b = 100 c = 40 Logo, a = 60, b = 100 e c = 40 .
  • 14. 13 EXERCÍCIOS F (1) Aplicando as propriedades, determine os números x, y e z em cada uma das seguintes proporções: x 1 a) = , sabendo que x + y = 90 y 2 x 5 b) = , sabendo que x − y = 12 y 4 x y c) = , sabendo que x − y = 15 6 5 x y z d) = = , sabendo que x + y + z = 90 8 5 2 (2) A razão entre as massas de alumínio e de oxigênio na substância óxido de 7 alumínio é igual a . Calcule as massas de alumínio e de oxigênio necessárias 8 para formar 51 g de óxido de alumínio.
  • 15. 14 Referências bibliográficas ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. SOMATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 5 de outubro de 2008.