SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 20
Downloaden Sie, um offline zu lesen
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Αφορμή της παρούσας εργασίας είναι το πρόσφατο θέμα πανελλαδικών
εξετάσεων, όπου το Γ2 ερώτημα λυνόταν με ύλη Α τάξης λυκείου
(ελαχιστοποίηση τριωνύμου)
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 3 ii σελ. 132 σχ. βιβλίου)
Λύση
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 7 ii σελ. 174 σχ. βιβλίου)
Λύση 1ος τρόπος (με τον ορισμό παραγώγου)
 Για x 0 έχουμε
x 0
oρσ.
x x παραγώγου
x x α 1 α 1
α x 1 α 1 x 1 1 lna 1
x x
lim

 
         ===>
 Παρόμοια για x 0 προκύπτει lna 1
Άρα lna 1 α e.  
Σχόλια:
1) Ο παραπάνω τρόπος ανταγωνίζεται σε ταχύτητα το θεώρημα Fermat,
ενώ λύνει όλες τις παρόμοιες ασκήσεις! Αναδεικνύει τη διδακτική αξία της
απόδειξης του θ. Fermat!
2) Ο παραπάνω τρόπος λύνει την άσκηση
αν 0 a e  με
x
a x 1  για κάθε x 0 , τότε a e
ενώ το θεώρημα Fermat όχι, διότι το μηδέν δεν είναι εσωτερικό σημείο του
0,
Λύση 2ος τρόπος (με χρήση ολικού ακροτάτου)
Για τη συνάρτηση   x
f x α x 1,x    ' βρίσκουμε ότι παρουσιάζει
ολικό ελάχιστο στο
 ln lna
lna
 , το
 1 ln lna lna
A
lna
 

(για x 1 στη σχέση της υπόθεσης βρίσκουμε a 2 lna 0   )
Άρα
 
 
f x 0 (από υπόθεση)
f x A
  
 
  
για κάθε  
a
x 0 lna 1
e
    ' A
Όμως
x
lnx ,
e
 για κάθε  x 0 2 , με την ισότητα να ισχύει μόνο για
x e
Από τις σχέσεις    1 , 2 προκύπτει ότι a e
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Σχόλια:
1) Προφανώς η λύση της άσκησης με χρήση του θεωρήματος Fermat
είναι συντομότερη. ‘Όχι όμως μονόδρομος!
2) Από τη σχέση  f x A που αποδείξαμε παραπάνω, για a e
προκύπτει άμεσα το αντίστροφο!!:
«
x
e x 1  για κάθε x  '»
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 7 i σελ. 174 σχ. βιβλίου)
Λύση (με τον ορισμό παραγώγου)
 Για x 0 έχουμε
   
x 0
x x
x x x x
x x
oρσ.
παραγώγου
α 1 β 1
α β 2 α 1 β 1 0 0
x x
α 1 β 1
0
x x
lna lnβ e
αβ 1
lim

 
         
  
   
 
 
 
====>
 Παρόμοια για x 0 βρίσκουμε αβ 1
Άρα αβ 1.
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 7 i σελ. 174 σχ. βιβλίου)
Λύση
Η f είναι προσδιοριστέα, αφού για x 0 η σχέση της υπόθεσης δίνει
 f 0 3 ή  f 0 1 
 Αν  f 0 3 , τότε για κάθε  x 2,2  έχουμε
   
 
 
 
2 2
f 0 3
2
f συνεχής
2
f x 2f x x 3 0
f x 1 4 x 0
f x 1 4 x , x 2

    
   
   
===>
Άρα η f είναι κοίλη δίχως σημεία καμπής
(με γνώσεις Α-Β Λυκείου, η f είναι μετατοπισμένο ημικύκλιο!)
 Αν  f 0 1  , τότε για κάθε  x 2,2  έχουμε
   
 
 
 
2 2
f 0 1
2
f συνεχής
2
f x 2f x x 3 0
f x 1 4 x 0
f x 1 4 x , x 2
 
    
   
   
===>
Άρα η f είναι κυρτή δίχως σημεία καμπής
(με γνώσεις Α-Β Λυκείου, η f είναι μετατοπισμένο ημικύκλιο!)
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Σχόλιο:
Η άσκηση μπορεί να αντιμετωπισθεί με γνώσεις των συνεπειών του
θεωρήματος Bolzano! Δεν χρειάζεται το δεδομένο της διπλής
παραγωγισιμότητας!
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 5 σελ. 161 σχ. βιβλίου)
Λύση (με μονοτονία και τον ορισμό τοπικού ακροτάτου)
Έστω α ' θέση τοπικού ακροτάτου (π.χ. μεγίστου) της f , τότε υπάρχει
δ 0 με
   f x f α για κάθε  x a δ,α δ  
Άρα για κάθε  x a δ,α δ   έχουμε
   
   
 
       
   
 
3 3
3 3
3 3
3 3
2f x 2f α
2f x 6f x 2f α 6f α
6f x 6f α
2x 6x 1 2a 6a 1
x 3x a 3a
g x g a
x a,για κάθε x a δ,α δ , άτοπο!
  
   
  
     
   
 
    
>
(όπου   3
g x x 3x  1 στο ' )
Άρα η f δεν έχει ακρότατα.
Συμπέρασμα:
Η άσκηση μπορεί να αντιμετωπισθεί με τον ορισμό του τοπικού
ακροτάτου και της μονοτονίας. Δεν απαιτείται το δεδομένο της
παραγωγισιμότητας ούτε η χρήση του θεωρήματος Fermat!
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 6 σελ. 139 σχ. βιβλίου)
Λύση (με τον ορισμό μονοτονίας! – ύλη Α Λυκείου)
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο '
    f x f y για κάθε x,y  ' με x y
    f x f y για κάθε  'x,y με x y
 3 2 3 2
ax 3x x 1 ay 3y y 1       για κάθε x,y  ' με x y
    2 2
ax ay 3 x ay 3y 1 0      για κάθε x,y  ' με x y
 Δ 0 α  
 2 2
3α y 6ay 4a 9 0    για κάθε y  '
1Δ 0 
a 3 
Επαλήθευση:
 Για a 3 είναι   3 2
f x 3x 3x x 1   
Για x y αρκεί να αποδείξουμε ότι    f x f y
     
3 2 3 2
2 2
3x 3x x 1 3y 3y y 1
3x 3 y 1 x 3y 3y 1 0 1
       
      
Διακρίνουσα  
2
2Δ 3 3y 1 0   
 Αν
1
y
3
  τότε η  1 γίνεται
 
2
3x 1
0
3

 , αφού
1
x y
3
  
 Αν
1
y
3
  τότε η  1 ισχύει, αφού 2Δ 0
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Για a 3 και x y αρκεί να αποδείξουμε ότι    f x f y
 3 2 3 2
ax 3x x 1 ay 3y y 1      
    2 2
ax ay 3 x ay 3y 1 0     
 Δ 0 α  
 2 2
3α y 6ay 4a 9 0    για κάθε y  '
1Δ 0 
a 3,που ισχύει. 
Με τον ίδιο τρόπο μπορεί κανείς να αντιμετωπίσει την παρακάτω άσκηση,
αποδεικνύοντας ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο '
(άσκηση 3 σελ. 160 σχ. βιβλίου)
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 5 σελ. 150 σχ. βιβλίου)
Λύση (δίχως χρήση θεωρήματος Fermat)
Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό
μέγιστο στο 1. Τότε υπάρχει δ 0 τέτοιο, ώστε
   f x f 1 για κάθε  x 1 δ,1 δ   
3 2
ax βx 3x 1 a β 2      για κάθε  x 1 δ,1 δ   
    2
x 1 ax a β x a β 3 0       για κάθε  x 1 δ,1 δ  
 για  x 1,1 δ  παίρνουμε
 
  
 
x 1
2
2
ax a β x a β 3 0
ax a β x a β 3 0
3a 2β 3 0 1
lim

      
      
  
 για  x 1 δ,1  παίρνουμε
 
  
 
x 1
2
2
ax a β x a β 3 0
ax a β x a β 3 0
3a 2β 3 0 2
lim

      
      
  
Από τις σχέσεις    1 , 2 προκύπτει ότι  3a 2β 3 0 3  
Παρόμοια, αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1 βρίσκουμε
 3a 2β 3 0 4  
Από τις σχέσεις    3 , 4 προκύπτει ότι α 1,β 0. 
Οπότε   3
f x x 3x 1   και το είδος των ακροτάτων προσδιορίζεται με
παραγώγους ή με τον παρακάτω τρόπο!
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 5 σελ. 150 σχ. βιβλίου)
Λύση (δίχως παραγώγους)
Έστω α σημείο τοπικού ακροτάτου, π.χ. τοπικού μεγίστου
(το είδος του ακροτάτου θα προσδιοριστεί στο τέλος).
Τότε υπάρχει    δ 0 : f x f α  για κάθε  x a δ,a δ  
3 3
x 3x 1 a 3a 1      για κάθε  x a δ,a δ  
   3 3
x a 3 x a 0     για κάθε  x a δ,a δ  
    2 2
x a x ax a 3 0 1      για κάθε  x a δ,a δ  
 
 x a
1
2 2 2 2 2
Για x a x ax a 3 0 x ax a 3 0 a 1lim

            >
 
 x a
1
2 2 2 2 2
Για x a x ax a 3 0 x ax a 3 0 a 1lim

            >
Άρα 2
a 1 α 1    (θέσεις πιθανών ακροτάτων)
Εύρεση ακροτάτων:
 κοντά στο 1 έχουμε
       
23
f x f 1 x 3x 2 0 x 1 x 2 0,ισχύει!        
Άρα η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο
 κοντά στο 1 έχουμε
       
23
f x f 1 x 3x 2 0 x 1 x 2 0,ισχύει!         
Άρα η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό μέγιστο
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
(άσκηση 6 σελ. 132 σχ. βιβλίου)
Η f είναι προσδιοριστέα!
Θεωρούμε τη συνάρτηση g : 1,1    ' με τύπο
   g x f x x 
Η g είναι συνεχής στο 1,1   και παραγωγίσιμη στο  1,1 με
   g x f x 1 0   
Άρα η g είναι φθίνουσα στο 1,1  
Οπότε για 1 x 1   προκύπτει ότι
               
0 0
g 1 g x g 1 f 1 1 f x x f 1 1 0 f x x 0 f x x               
Δηλαδή
 f x x για κάθε x 1,1   
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Ας κάνουμε παρόμοιες σκέψεις
για εναλλακτικό υπολογισμό ορίων!!
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
Ο παραπάνω διαισθητικός τρόπος
εύρεσης ορίων απευθύνεται σε
συναδέλφους και εξάγει εύκολα γενικεύσεις
(για κατασκευή και έλεγχο ασκήσεων),
όπως οι παρακάτω:
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο
Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Λατινικά, προσδιορισμός τόπου, χρόνου
Λατινικά, προσδιορισμός τόπου, χρόνουΛατινικά, προσδιορισμός τόπου, χρόνου
Λατινικά, προσδιορισμός τόπου, χρόνουgina zaza
 
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΕρωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΜάκης Χατζόπουλος
 
20 επαναληπτικά-θέματα-2016-2017
20 επαναληπτικά-θέματα-2016-201720 επαναληπτικά-θέματα-2016-2017
20 επαναληπτικά-θέματα-2016-2017Christos Loizos
 
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικώνΧριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικώνBillonious
 
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ ΛυκείουΧρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρης
σχολικο βοήθημα άλγεβρας  α λυκείου   κουστέρηςσχολικο βοήθημα άλγεβρας  α λυκείου   κουστέρης
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρηςChristos Loizos
 
Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης
Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος ΚουστέρηςΣχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης
Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος ΚουστέρηςΜάκης Χατζόπουλος
 
2o diagwnisma synarthseis_oria_synexeia
2o diagwnisma synarthseis_oria_synexeia2o diagwnisma synarthseis_oria_synexeia
2o diagwnisma synarthseis_oria_synexeiaChristos Loizos
 
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)Μάκης Χατζόπουλος
 
Παρουσιάσεις από την εκδήλωση Λάρισας 17-3-2018
Παρουσιάσεις από την εκδήλωση Λάρισας 17-3-2018Παρουσιάσεις από την εκδήλωση Λάρισας 17-3-2018
Παρουσιάσεις από την εκδήλωση Λάρισας 17-3-2018Μάκης Χατζόπουλος
 
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)Vassilis Markos
 
15 θέματα από το βιβλίο 100 Θέματα Μαθηματικών του Λουκά Κανάκη - Εκδόσεις: Μ...
15 θέματα από το βιβλίο 100 Θέματα Μαθηματικών του Λουκά Κανάκη - Εκδόσεις: Μ...15 θέματα από το βιβλίο 100 Θέματα Μαθηματικών του Λουκά Κανάκη - Εκδόσεις: Μ...
15 θέματα από το βιβλίο 100 Θέματα Μαθηματικών του Λουκά Κανάκη - Εκδόσεις: Μ...Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 

Was ist angesagt? (20)

Λατινικά, προσδιορισμός τόπου, χρόνου
Λατινικά, προσδιορισμός τόπου, χρόνουΛατινικά, προσδιορισμός τόπου, χρόνου
Λατινικά, προσδιορισμός τόπου, χρόνου
 
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύληςΕρωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
Ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου εντός ύλης
 
20 επαναληπτικά-θέματα-2016-2017
20 επαναληπτικά-θέματα-2016-201720 επαναληπτικά-θέματα-2016-2017
20 επαναληπτικά-θέματα-2016-2017
 
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικώνΧριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
Χριστουγεννιάτικο επαναληπτικό διαγώνισμα μαθηματικών
 
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ ΛυκείουΧρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
 
λύση ασκ. 25
λύση ασκ. 25λύση ασκ. 25
λύση ασκ. 25
 
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρης
σχολικο βοήθημα άλγεβρας  α λυκείου   κουστέρηςσχολικο βοήθημα άλγεβρας  α λυκείου   κουστέρης
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρης
 
Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης
Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος ΚουστέρηςΣχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης
Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης
 
2o diagwnisma synarthseis_oria_synexeia
2o diagwnisma synarthseis_oria_synexeia2o diagwnisma synarthseis_oria_synexeia
2o diagwnisma synarthseis_oria_synexeia
 
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
 
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
Επαναληπτικά θέματα εξετάσεων Μαθηματικά Γ Λυκείου 6/9/2018 (έκδοση 3η)
 
Πεδίο ορισμού της παραγώγου
Πεδίο ορισμού της παραγώγουΠεδίο ορισμού της παραγώγου
Πεδίο ορισμού της παραγώγου
 
Παρουσιάσεις από την εκδήλωση Λάρισας 17-3-2018
Παρουσιάσεις από την εκδήλωση Λάρισας 17-3-2018Παρουσιάσεις από την εκδήλωση Λάρισας 17-3-2018
Παρουσιάσεις από την εκδήλωση Λάρισας 17-3-2018
 
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
Όρια - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' λυκείου)
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 10ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 10
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 27
 
15 θέματα από το βιβλίο 100 Θέματα Μαθηματικών του Λουκά Κανάκη - Εκδόσεις: Μ...
15 θέματα από το βιβλίο 100 Θέματα Μαθηματικών του Λουκά Κανάκη - Εκδόσεις: Μ...15 θέματα από το βιβλίο 100 Θέματα Μαθηματικών του Λουκά Κανάκη - Εκδόσεις: Μ...
15 θέματα από το βιβλίο 100 Θέματα Μαθηματικών του Λουκά Κανάκη - Εκδόσεις: Μ...
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
 
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ ΛυκείουΔιαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου
Διαγώνισμα προσομοίωσης Γ Λυκείου
 

Ähnlich wie Livadia 2018

Λύσεις μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού 2016
Λύσεις μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού 2016Λύσεις μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού 2016
Λύσεις μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού 2016Μάκης Χατζόπουλος
 
Protein diag plus_lyseis
Protein diag plus_lyseisProtein diag plus_lyseis
Protein diag plus_lyseisChristos Loizos
 
8 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 2017
8 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 20178 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 2017
8 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 2017Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπήςΔιαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπήςΜάκης Χατζόπουλος
 
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛΛύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛΜάκης Χατζόπουλος
 
Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017
Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017 Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017
Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017 Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΔιαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης γ 2b -1
θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης  γ 2b -1θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης  γ 2b -1
θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης γ 2b -1Μάκης Χατζόπουλος
 
35 χρήσιμες-προτάσεις-Χατζόπουλος-νέο
35 χρήσιμες-προτάσεις-Χατζόπουλος-νέο35 χρήσιμες-προτάσεις-Χατζόπουλος-νέο
35 χρήσιμες-προτάσεις-Χατζόπουλος-νέοΜάκης Χατζόπουλος
 
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2Christos Loizos
 

Ähnlich wie Livadia 2018 (20)

14η ανάρτηση
14η ανάρτηση14η ανάρτηση
14η ανάρτηση
 
Λύσεις μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού 2016
Λύσεις μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού 2016Λύσεις μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού 2016
Λύσεις μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού 2016
 
Protein diag plus_lyseis
Protein diag plus_lyseisProtein diag plus_lyseis
Protein diag plus_lyseis
 
8 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 2017
8 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 20178 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 2017
8 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 2017
 
Mk ed1 ed8_lys
Mk ed1 ed8_lysMk ed1 ed8_lys
Mk ed1 ed8_lys
 
Mk ed1 ed7_lys
Mk ed1 ed7_lysMk ed1 ed7_lys
Mk ed1 ed7_lys
 
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπήςΔιαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
Διαγώνισμα στο Διαφορικό Λογισμό μέχρι σημεία καμπής
 
λύση 20ης ασκησης
λύση 20ης ασκησηςλύση 20ης ασκησης
λύση 20ης ασκησης
 
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛΛύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
Λύσεις Επαναληπτικών Εξετάσεων 2019 Μαθηματικά ΓΕΛ
 
15η ανάρτηση
15η ανάρτηση15η ανάρτηση
15η ανάρτηση
 
Mk ed2 ekf_plus_lyseis
Mk ed2 ekf_plus_lyseisMk ed2 ekf_plus_lyseis
Mk ed2 ekf_plus_lyseis
 
1 1 enosi-diasthmatwn
1 1 enosi-diasthmatwn1 1 enosi-diasthmatwn
1 1 enosi-diasthmatwn
 
Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017
Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017 Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017
Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017
 
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσειςΔιαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
Διαγώνισμα Rolle ΘΜΤ και συνέπειες + λύσεις
 
θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης γ 2b -1
θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης  γ 2b -1θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης  γ 2b -1
θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης γ 2b -1
 
29η αναρτηση
29η αναρτηση29η αναρτηση
29η αναρτηση
 
35 χρήσιμες-προτάσεις-Χατζόπουλος-νέο
35 χρήσιμες-προτάσεις-Χατζόπουλος-νέο35 χρήσιμες-προτάσεις-Χατζόπουλος-νέο
35 χρήσιμες-προτάσεις-Χατζόπουλος-νέο
 
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
 
Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016
Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016 Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016
Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016
 
2η ανάρτηση
2η ανάρτηση2η ανάρτηση
2η ανάρτηση
 

Mehr von Παύλος Τρύφων (20)

82 problems
82 problems82 problems
82 problems
 
Livadeia 2019
Livadeia 2019Livadeia 2019
Livadeia 2019
 
Summa
SummaSumma
Summa
 
30h anartisi
30h anartisi30h anartisi
30h anartisi
 
29h anartisi
29h anartisi29h anartisi
29h anartisi
 
28h anartisi
28h anartisi28h anartisi
28h anartisi
 
27h anartisi
27h anartisi27h anartisi
27h anartisi
 
25h anartisi
25h anartisi25h anartisi
25h anartisi
 
24h anartisi
24h anartisi24h anartisi
24h anartisi
 
20η ανάρτηση
20η ανάρτηση20η ανάρτηση
20η ανάρτηση
 
19η ανάρτηση
19η ανάρτηση19η ανάρτηση
19η ανάρτηση
 
18η ανάρτηση
18η ανάρτηση18η ανάρτηση
18η ανάρτηση
 
17η ανάρτηση
17η ανάρτηση17η ανάρτηση
17η ανάρτηση
 
16η ανάρτηση
16η ανάρτηση16η ανάρτηση
16η ανάρτηση
 
13η ανάρτηση
13η ανάρτηση13η ανάρτηση
13η ανάρτηση
 
12η ανάρτηση
12η ανάρτηση12η ανάρτηση
12η ανάρτηση
 
11η ανάρτηση
11η ανάρτηση11η ανάρτηση
11η ανάρτηση
 
10η ανάρτηση
10η ανάρτηση10η ανάρτηση
10η ανάρτηση
 
9η ανάρτηση
9η ανάρτηση9η ανάρτηση
9η ανάρτηση
 
8η ανάρτηση
8η ανάρτηση8η ανάρτηση
8η ανάρτηση
 

Kürzlich hochgeladen

theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxssuser78b997
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptxMARIAPSARROU4
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxActforclimate
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΔήμητρα Τζίνου
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36dimperist
 
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣChrisa Kokorikou
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΣάσα Καραγιαννίδου - Πέννα
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxSimos Skouloudis
 
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxPantelis Bouboulis
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx7gymnasiokavalas
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxlabriniderbederi
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxssuser6a63b0
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 

Kürzlich hochgeladen (16)

theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
 
Συνέντευξη
Συνέντευξη                                            Συνέντευξη
Συνέντευξη
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
 
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
 
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 

Livadia 2018

  • 1. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
  • 2. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου Αφορμή της παρούσας εργασίας είναι το πρόσφατο θέμα πανελλαδικών εξετάσεων, όπου το Γ2 ερώτημα λυνόταν με ύλη Α τάξης λυκείου (ελαχιστοποίηση τριωνύμου)
  • 3. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
  • 4. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 3 ii σελ. 132 σχ. βιβλίου) Λύση
  • 5. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 7 ii σελ. 174 σχ. βιβλίου) Λύση 1ος τρόπος (με τον ορισμό παραγώγου)  Για x 0 έχουμε x 0 oρσ. x x παραγώγου x x α 1 α 1 α x 1 α 1 x 1 1 lna 1 x x lim             ===>  Παρόμοια για x 0 προκύπτει lna 1 Άρα lna 1 α e.   Σχόλια: 1) Ο παραπάνω τρόπος ανταγωνίζεται σε ταχύτητα το θεώρημα Fermat, ενώ λύνει όλες τις παρόμοιες ασκήσεις! Αναδεικνύει τη διδακτική αξία της απόδειξης του θ. Fermat! 2) Ο παραπάνω τρόπος λύνει την άσκηση αν 0 a e  με x a x 1  για κάθε x 0 , τότε a e ενώ το θεώρημα Fermat όχι, διότι το μηδέν δεν είναι εσωτερικό σημείο του 0, Λύση 2ος τρόπος (με χρήση ολικού ακροτάτου) Για τη συνάρτηση   x f x α x 1,x    ' βρίσκουμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο  ln lna lna  , το  1 ln lna lna A lna    (για x 1 στη σχέση της υπόθεσης βρίσκουμε a 2 lna 0   ) Άρα     f x 0 (από υπόθεση) f x A         για κάθε   a x 0 lna 1 e     ' A Όμως x lnx , e  για κάθε  x 0 2 , με την ισότητα να ισχύει μόνο για x e Από τις σχέσεις    1 , 2 προκύπτει ότι a e
  • 6. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου Σχόλια: 1) Προφανώς η λύση της άσκησης με χρήση του θεωρήματος Fermat είναι συντομότερη. ‘Όχι όμως μονόδρομος! 2) Από τη σχέση  f x A που αποδείξαμε παραπάνω, για a e προκύπτει άμεσα το αντίστροφο!!: « x e x 1  για κάθε x  '»
  • 7. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 7 i σελ. 174 σχ. βιβλίου) Λύση (με τον ορισμό παραγώγου)  Για x 0 έχουμε     x 0 x x x x x x x x oρσ. παραγώγου α 1 β 1 α β 2 α 1 β 1 0 0 x x α 1 β 1 0 x x lna lnβ e αβ 1 lim                           ====>  Παρόμοια για x 0 βρίσκουμε αβ 1 Άρα αβ 1.
  • 8. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 7 i σελ. 174 σχ. βιβλίου) Λύση Η f είναι προσδιοριστέα, αφού για x 0 η σχέση της υπόθεσης δίνει  f 0 3 ή  f 0 1   Αν  f 0 3 , τότε για κάθε  x 2,2  έχουμε           2 2 f 0 3 2 f συνεχής 2 f x 2f x x 3 0 f x 1 4 x 0 f x 1 4 x , x 2               ===> Άρα η f είναι κοίλη δίχως σημεία καμπής (με γνώσεις Α-Β Λυκείου, η f είναι μετατοπισμένο ημικύκλιο!)  Αν  f 0 1  , τότε για κάθε  x 2,2  έχουμε           2 2 f 0 1 2 f συνεχής 2 f x 2f x x 3 0 f x 1 4 x 0 f x 1 4 x , x 2                ===> Άρα η f είναι κυρτή δίχως σημεία καμπής (με γνώσεις Α-Β Λυκείου, η f είναι μετατοπισμένο ημικύκλιο!)
  • 9. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου Σχόλιο: Η άσκηση μπορεί να αντιμετωπισθεί με γνώσεις των συνεπειών του θεωρήματος Bolzano! Δεν χρειάζεται το δεδομένο της διπλής παραγωγισιμότητας!
  • 10. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 5 σελ. 161 σχ. βιβλίου) Λύση (με μονοτονία και τον ορισμό τοπικού ακροτάτου) Έστω α ' θέση τοπικού ακροτάτου (π.χ. μεγίστου) της f , τότε υπάρχει δ 0 με    f x f α για κάθε  x a δ,α δ   Άρα για κάθε  x a δ,α δ   έχουμε                         3 3 3 3 3 3 3 3 2f x 2f α 2f x 6f x 2f α 6f α 6f x 6f α 2x 6x 1 2a 6a 1 x 3x a 3a g x g a x a,για κάθε x a δ,α δ , άτοπο!                            > (όπου   3 g x x 3x  1 στο ' ) Άρα η f δεν έχει ακρότατα. Συμπέρασμα: Η άσκηση μπορεί να αντιμετωπισθεί με τον ορισμό του τοπικού ακροτάτου και της μονοτονίας. Δεν απαιτείται το δεδομένο της παραγωγισιμότητας ούτε η χρήση του θεωρήματος Fermat!
  • 11. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 6 σελ. 139 σχ. βιβλίου) Λύση (με τον ορισμό μονοτονίας! – ύλη Α Λυκείου) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο '     f x f y για κάθε x,y  ' με x y     f x f y για κάθε  'x,y με x y  3 2 3 2 ax 3x x 1 ay 3y y 1       για κάθε x,y  ' με x y     2 2 ax ay 3 x ay 3y 1 0      για κάθε x,y  ' με x y  Δ 0 α    2 2 3α y 6ay 4a 9 0    για κάθε y  ' 1Δ 0  a 3  Επαλήθευση:  Για a 3 είναι   3 2 f x 3x 3x x 1    Για x y αρκεί να αποδείξουμε ότι    f x f y       3 2 3 2 2 2 3x 3x x 1 3y 3y y 1 3x 3 y 1 x 3y 3y 1 0 1                Διακρίνουσα   2 2Δ 3 3y 1 0     Αν 1 y 3   τότε η  1 γίνεται   2 3x 1 0 3   , αφού 1 x y 3     Αν 1 y 3   τότε η  1 ισχύει, αφού 2Δ 0
  • 12. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου Για a 3 και x y αρκεί να αποδείξουμε ότι    f x f y  3 2 3 2 ax 3x x 1 ay 3y y 1           2 2 ax ay 3 x ay 3y 1 0       Δ 0 α    2 2 3α y 6ay 4a 9 0    για κάθε y  ' 1Δ 0  a 3,που ισχύει.  Με τον ίδιο τρόπο μπορεί κανείς να αντιμετωπίσει την παρακάτω άσκηση, αποδεικνύοντας ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ' (άσκηση 3 σελ. 160 σχ. βιβλίου)
  • 13. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 5 σελ. 150 σχ. βιβλίου) Λύση (δίχως χρήση θεωρήματος Fermat) Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1. Τότε υπάρχει δ 0 τέτοιο, ώστε    f x f 1 για κάθε  x 1 δ,1 δ    3 2 ax βx 3x 1 a β 2      για κάθε  x 1 δ,1 δ        2 x 1 ax a β x a β 3 0       για κάθε  x 1 δ,1 δ    για  x 1,1 δ  παίρνουμε        x 1 2 2 ax a β x a β 3 0 ax a β x a β 3 0 3a 2β 3 0 1 lim                    για  x 1 δ,1  παίρνουμε        x 1 2 2 ax a β x a β 3 0 ax a β x a β 3 0 3a 2β 3 0 2 lim                   Από τις σχέσεις    1 , 2 προκύπτει ότι  3a 2β 3 0 3   Παρόμοια, αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1 βρίσκουμε  3a 2β 3 0 4   Από τις σχέσεις    3 , 4 προκύπτει ότι α 1,β 0.  Οπότε   3 f x x 3x 1   και το είδος των ακροτάτων προσδιορίζεται με παραγώγους ή με τον παρακάτω τρόπο!
  • 14. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 5 σελ. 150 σχ. βιβλίου) Λύση (δίχως παραγώγους) Έστω α σημείο τοπικού ακροτάτου, π.χ. τοπικού μεγίστου (το είδος του ακροτάτου θα προσδιοριστεί στο τέλος). Τότε υπάρχει    δ 0 : f x f α  για κάθε  x a δ,a δ   3 3 x 3x 1 a 3a 1      για κάθε  x a δ,a δ      3 3 x a 3 x a 0     για κάθε  x a δ,a δ       2 2 x a x ax a 3 0 1      για κάθε  x a δ,a δ      x a 1 2 2 2 2 2 Για x a x ax a 3 0 x ax a 3 0 a 1lim              >    x a 1 2 2 2 2 2 Για x a x ax a 3 0 x ax a 3 0 a 1lim              > Άρα 2 a 1 α 1    (θέσεις πιθανών ακροτάτων) Εύρεση ακροτάτων:  κοντά στο 1 έχουμε         23 f x f 1 x 3x 2 0 x 1 x 2 0,ισχύει!         Άρα η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο  κοντά στο 1 έχουμε         23 f x f 1 x 3x 2 0 x 1 x 2 0,ισχύει!          Άρα η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό μέγιστο
  • 15. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου (άσκηση 6 σελ. 132 σχ. βιβλίου) Η f είναι προσδιοριστέα! Θεωρούμε τη συνάρτηση g : 1,1    ' με τύπο    g x f x x  Η g είναι συνεχής στο 1,1   και παραγωγίσιμη στο  1,1 με    g x f x 1 0    Άρα η g είναι φθίνουσα στο 1,1   Οπότε για 1 x 1   προκύπτει ότι                 0 0 g 1 g x g 1 f 1 1 f x x f 1 1 0 f x x 0 f x x                Δηλαδή  f x x για κάθε x 1,1   
  • 16. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου Ας κάνουμε παρόμοιες σκέψεις για εναλλακτικό υπολογισμό ορίων!!
  • 17. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
  • 18. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου Ο παραπάνω διαισθητικός τρόπος εύρεσης ορίων απευθύνεται σε συναδέλφους και εξάγει εύκολα γενικεύσεις (για κατασκευή και έλεγχο ασκήσεων), όπως οι παρακάτω:
  • 19. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου
  • 20. ΕΜΕ Παράρτημα Νομού Βοιωτίας Παύλος Τρύφων-καθηγητής στο 1ο Εσπερινό ΕΠΑ.Λ. Περιστερίου