Η Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
Λύση με ύλη Α΄ Λυκείου
Έχουμε ότι
      
 
   
 
 
        
 
   
 
 
 
   
 
2
2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
β β 1
α α 1 β β 1 1 α α 1 1
β β 1
α α 1 1
β β 1
1
α α 1 1
β 1 β
β β 1
β β 1
   
     
     
     
2 2
2 2
2
2 2 2
α α 1 β 1 β
α β β 1 α 1
α β β 1 α 1
    
    
    
    
2 2
2 2
22 2
αβ 1 β 1 α 1
β 1 α 1 1 αβ
β 1 α 1 1 αβ
 
   
   
  
 
2 2
2 2
2
α β 2αβ
α β 2αβ 0
α β 0
α β  0
Άρα οι αριθμοί α,β είναι αντίθετοι
Λύση με ύλη Γ΄ Λυκείου
Αρχικά θα αποδείξουμε ότι
  2
x x 1 0, για κάθε  x 1R
Πράγματι, για κάθε x Rισχύει:
        2 2 2
x 1 x x x x 1 x 0
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R με τύπο
    2
f x x x 1
Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R (άρα και 1-1) , αφού
Λύνει ο Παύλος Τρύφων

2. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
   
   
       
 
12
2
2 2
x x x 1
f x x x 1 1 0,
x 1 x 1
για κάθε x R
Άρα
      
 
   
 
 
        
 
   
 
 
 
   
 
2
2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
β β 1
α α 1 β β 1 1 α α 1 1
β β 1
α α 1 1
β β 1
1
α α 1 1
β 1 β
β β 1
β β 1
   

     
  
  
2 2
f 1 1
α α 1 β 1 β
f α f β
α β
  α β 0
Άρα οι αριθμοί α,β είναι αντίθετοι
Β)
Για να ορίζεται η λογαριθμική συνάρτηση πρέπει να ισχύει
          
  
 
  
                  
      
   
2
2 2
w x 5x 4
x 1 x 2 x 3 x 4 1 0 x 1 x 4 x 2 x 3 1 0
x 5x 4 x 5x 6 1 0
w w 2 1 0
 
   
  
  
2
2
w 2w 1 0
w 1 0
w 1
    
   
2
2
x 5x 4 1
x 5x 5 0
Το τριώνυμο  2
x 5x 5 έχει διακρίνουσα
      2 2
Δ β 4αγ 5 4 1 5 5
και ρίζες
   
 1,2
β Δ 5 5
x
2α 2
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το
   
  
  
f
5 5
Α
2
R

3. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
             
 
2 2 2 2
2
1
α 1 α β 1 β 1 β 1 β α 1 α
α 1 α
Mε   2
φ(x) x 1 xκαι για  β α εφαρμόζοντας το Rolle στο διάστημα με άκρα β, α έχω
ότι η φ έχει ρίζα σ’ αυτό.
Όμως
    
 2 2
φ(x)x
φ (x) 1 0
x 1 x 1
,
διότι για χ 0είναι φ(x) 0, ενώ για x 0 είναι
       2 2 2
φ(x) 0 x 1 x x 1 x που ισχύει.
Άρα η φ δεν έχει ρίζα, δηλαδή είναι  β α .
Β)
Πρέπει
                   2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 1 0 x 5x 4 x 5x 6 1 0
   
 
       
   
   
 
 
2
2 2
2
2
2
x 5x 4 2 x 5x 4 1 0
x 5x 5 0
x 5x 5 0
5 5
x
2
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το
   
  
  
f
5 5
Α
2
R
Λύνει ο Κώστας Δεββές

4. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Β)
Είναι
      2
x 1 x 4 x 5x 4 και       2
x 2 x 3 x 5x 6
Πρέπει :
         x 1 x 4 x 2 x 3 1 0
Θέτουμε   2
y x 5x 4
Οπότε
      
 
         
  
  
2
x 1 x 4 x 2 x 3 1 0 y y 2 1 0
y 1 0
y 1
    
 
 
2
x 5x 4 1
5 5
x
2
Άρα
   
   
  
f
5 5
D
2
R
Λύνει ο Δημήτρης Χατζάκης

5. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
Παρατηρώ ότι:
       
x
2 2 2 2
x 1 x x 1 x x x
1
Άρα   2
x 1 x 0 για κάθε x R
Θεωρούμε την     2
f x x x 1,x R
Έχουμε ότι:
   
    
 
2
2 2
x x x 1
f x 1 0
x 1 x 1
για κάθε x R
Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R άρα 1 1
Επομένως:
  
   
        
 
     
       
2 2 2
2
2 2
22
1
α α 1 β β 1 1 α α 1
β β 1
α α 1 β 1 β
α α 1 β 1 β
   

  
  
1 1
f α f β
α β
Λύνει ο Αντώνης Συκιώτης

6. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Β)
Η συνάρτηση ορίζεται όταν
     (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1 0 (1)
Για τον πολλαπλασιασμό ισχύει :
        (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 4)(x 2)(x 3) (Προσεταιριστική ιδιότητα)
Από              2 2
(1) (x 1)(x 4)(x 2)(x 3) 1 0 (x 5x 4)(x 5x 6) 1 0
Θέτουμε   2
Α x 5x 4 και έχουμε
           2 2
Α Α 2 1 0 Α 2Α 1 0 (Α 1) 0
Άρα
 Α 1 0 διότι  2
(Α 1) 0
και έχουμε
  2
x 5x 5 0,   α 1 ,β 5 ,γ 5       2 2
Δ β 4αγ 5 4 1 5 5
   
 1,2
β Δ 5 5
x
2α 2
Επομένως
     
   
  
f
5 5 5 5
D R ,
2 2
Λύνει ο Τόλης Τσακίρης

7. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
Έστω     2
f x x x 1
Εύκολα δείχνουμε ότι f
D R και ότι     f x f x 1 για κάθε x R
   
  

2
2
x x 1
f x 0
x 1
για κάθε x R άρα 1 1
Έστω    
 
 
   

 
       
1
f α
f α 1 1
α,β : f α f β 1 f β f α β αR
Λύνει ο Ανδρέας Πάτσης

8. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
Αφού α και β αντίστροφοι, θα ισχύει:
  
 
 
 
        
 
 
   
   
 
   
 
2 2 2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
1
α α 1 β β 1 1 β β 1
α α 1
α α 1
β β 1
(α α 1) α α 1
α α 1
β β 1
α α 1
      
     
2 2
2 2
β β 1 α α 1
α β α 1 β 1
Υψώνω και τα δύο μέλη στο τετράγωνο και μετά από πράξεις καταλήγω στο
            2 2 2
α 1 β 1 1 αβ .... (α β) 0 α β 0
Δηλαδή α και β αντίθετοι.
Β)
Πρέπει:
               
      2 2
x 1 (x 2)(x 3)(x 4) 1 0 x 1 (x 4)(x 2)(x 3) 1 0
(x 5x 4)(x 5x 6) 1 0
Θέτω  2
x 5x ψ και έχουμε:
        
  
2
2
(ψ 4)(ψ 6) 1 0 ψ 10ψ 24 1 0
(ψ 5) 0
Που ισχύει για κάθε  ψ 5
Οπότε:       2 2
x 5x 5 x 5x 5 0 που ισχύει όταν
 

5 5
x
2
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το
   
   
  
5 5
Α
2
Λύνει ο Γιώργος Ασημακόπουλος

9. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α)
Οι αριθμοί    2 2
α α 1 και β β 1 είναι αντίστροφοι άρα
  
  
 
  
 
   
  
     
    
       
 
   
 
 
   
     
         
               
    
    
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
α α 1 β β 1 1
α α 1 α α 1 β β 1 β β 1
1
α α 1 β β 1
1 1
1
α α 1 β β 1
α α 1 β β 1 1
α α 1 β β 1 α α 1 β β 1
αβ α β 1 β α 1 α 1 β 1 αβ α β 1 β α 1 α 1 β 1
2α β 1 2β α 1
α β 1 β α 1
Επομένως οι α,β είναι ετερόσημοι .
Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε:
   

 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
α β +1 = β α +1
α β +β = α β +β
α = β α = -β
Αφού α,β ετερόσημοι. Δηλαδή α,β αντίθετοι.
Λύνει ο Τρύφωνας Ζωϊτσάκος

10. ___________________________________________________________________________
5η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Β)
Για να ορίζεται η συνάρτηση      f(x) ln((x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1)
πρέπει να ισχύει
            
        
   
2 2
2 2
(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 1 0 (x 1)(x 4)(x 2)(x 3) 1 0
(x 4x x 4)(x 3x 2x 6) 1 0
(x 5x 4)(x 5   
         
       
2 2
2 2
x 6) 1 0
(x 5x 4) (x 5x 4) 2 1 0
(x 5x 4) 2(x 5x 4) 1 0
     
   
 
     
2
2
2 2
2
0(x 5x 4) 1
(x 5x 5) 0
5 5
x 5x 5 0 x
2
Άρα
   
   
  
f
5 5
D
2