Qhtt bg

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC LAÏC HOÀNG

BAØI GIAÛNG
(Taøi lieäu tham khaûo cho sinh vieân)

QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH
2010

Chöông 1: Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính Ths.Traàn Thöù Ba

Chöông 1

BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH

§1. LAÄP BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH

1.1. Baøi toaùn laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu
Baøi toaùn
Moät Xí nghieäp coù keá hoaïch söû duïng m loaïi nguyeân lieäu: N1, N2 , . . . , Nm , ñeå saûn xuaát
n loaïi saûn phaåm: S1 , S2 , . . . , Sn .
Vôùi tröõ löôïng nguyeân lieäu, ñònh möùc söû duïng khoái löôïng nguyeân lieäu moãi loaïi ñeå saûn
xuaát moät ñôn vò saûn phaåm vaø giaù baùn moät ñôn vò saûn phaåm ñöôïc cho nhö trong baûng
sau:
Teân Tröõ
nguyeân löôïng Saûn phaåm
lieäu nguyeân
lieäu S1 S2 ... Sn
N1 b1 a11 a12 ... a1n
N2 b2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ...
Nm bm am1 am2 ... amn
Giaù baùn c1 c2 ... cn

Yeâu caàu
+ Caàn saûn xuaát soá löôïng moãi loaïi saûn phaåm laø bao nhieâu ñeå doanh thu laø lôùn nhaát.
+ Quaù trình saûn xuaát khoâng bò ñoäng.
Giaû thieát raèng: vôùi giaù baùn ñaõ ñònh thì saûn phaåm cuûa Xí nghieäp ñöôïc tieâu thuï heát.
Laäp moâ hình toaùn hoïc

1


Töø döõ lieäu vaø caùc yeâu caàu thöïc teá cuûa Xí nghieäp ñaõ cho nhö treân, ta phaûi xaây döïng
moät moâ hình toaùn hay coøn goïi laø baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính.
Goïi xj laø soá löôïng saûn phaåm Sj (j = 1, 2, ..., n) caàn saûn xuaát, vôùi ñieàu kieän laø xj ≥ 0.
Khi ñoù:
+ Toång nguyeân lieäu moãi loaïi Ni caàn duøng ñeå saûn xuaát laø

ai1x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn , (i = 1, 2, . . . , m)

vaø ñeå quaù trình saûn xuaát khoâng bò ñoäng thì

ai1 x1 + ai2x2 + · · · + ain xn ≤ bi

+ Khi Xí nghieäp baùn heát saûn phaåm thì doanh thu ñaït ñöôïc laø

c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn → max

Töø ñoù ta coù moâ hình toaùn cuûa baøi toaùn laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu laø:

f (x) = c1x1 + c2 x2 + · · · + cn xn → max
a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn ≤ b2
···························
am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn ≤ bm
xj ≥ 0, (j = 1, 2, . . . , n)

Ví duï 1.1: Moät Xí nghieäp deät coù keá hoaïch saûn xuaát 3 loaïi vaûi laø A, B, C. Nguyeân lieäu
saûn xuaát laø caùc loaïi sôïi: cotton, polyester vôùi tröõ löôïng laø:
+ Cotton: 3 taán
+ Kate: 2,5 taán
+ Polyester: 4,5 taán
Möùc tieâu hao moãi loaïi sôïi ñeå saûn xuaát 1m vaûi vaø giaù baùn (ngaøn ñoàng/m) vaûi thaønh
phaåm moãi loaïi ñöôïc cho trong baûng sau:

2


Nguyeân lieäu Saûn phaåm
(g) A B C
Cotton 200 200 100
Kate 100 200 100
Polyester 100 100 200
Giaù baùn 35 48 25

Haõy laäp moät keá hoaïch saûn xuaát toái töu cho Xí nghieäp ? (chæ laäp moâ hình toaùn hoïc)

HD: Goïi x1 , x2, x3 ≥ 0 laàn löôït laø soá löôïng cuûa caùc loaïi vaûi A, B, C. Ta coù
+ Khoái löôïng nguyeân lieäu cotton caàn duøng laø: 200x1 + 200x2 + 100x3
+ Khoái löôïng nguyeân lieäu kate caàn duøng laø: 100x1 + 200x2 + 100x3
+ Khoái löôïng nguyeân lieäu polyester caàn duøng laø: 100x1 + 100x2 + 200x3
Ñeå khoâng bò ñoäng trong quaù trình saûn xuaát thì ta phaûi coù

200x1 + 200x2 + 100x3 ≤ 3.000.000
100x1 + 200x2 + 100x3 ≤ 2.500.000
100x1 + 100x2 + 200x3 ≤ 4.500.000

Khi Xí nghieäp baùn heát saûn phaåm thì doanh thu cuûa XN laø: 35x1 +48x2 +25x3 → max
Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laäp keá hoach saûn xuaát toái öu laø:

f (x) = 35x1 + 48x2 + 25x3 → max
200x1 + 200x2 + 100x3 ≤ 3.000.000
100x1 + 200x2 + 100x3 ≤ 2.500.000
100x1 + 100x2 + 200x3 ≤ 4.500.000
x1 , x2, x3 ≥ 0

Ví duï 1.2: Moät Xí nghieäp coù keá hoach saûn xuaát 3 saûn phaåm S1 , S2, S3 töø 3 nguyeân vaät
lieäu N1 , N2, N3 . Cho bieát nguyeân vaät lieäu Xí nghieäp ñang coù, ñònh möùc söû duïng caùc loaïi
nguyeân vaät lieäu ñeå saûn xuaát ra moät saûn phaåm moãi loaïi vaø tieàn lôøi (ngaøn ñoàng) ñöôïc cho
nhö baûng sau:

3


Nguyeân Tröõ löôïng Saûn phaåm
lieäu nguyeân lieäu S1 S2 S3
N1 240 2 3 2
N2 200 1 2 1
N3 400 4 1 2
Tieàn lôøi/sp 10 12 9

Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa keá hoaïch saûn xuaát toái öu cho Xí nghieäp ?
HD: Goïi x1 , x2, x3 laàn löôït laø soá saûn phaåm S1 , S2, S3 caàn phaûi saûn xuaát.
Ñieàu kieän: x1 , x2, x3 ≥ 0.
Khoái löôïng nguyeân lieäu Ni caàn duøng ñeå saûn xuaát ra soá saûn phaåm treân laø:

N1 : 2x1 + 3x2 + 2x3 (ñôn vò nguyeân lieäu)
N2 : x1 + 2x2 + x3 (ñôn vò nguyeân lieäu)
N3 : 4x1 + x2 + 2x3 (ñôn vò nguyeân lieäu)

Ñeå quaù trình saûn xuaát khoâng bò ñoäng thì toång khoái löôïng nguyeân lieäu Ni caàn duøng
ñeå saûn xuaát phaûi luoân nhoû hôn hoaëc baèng khoái löôïng nguyeân lieäu Xí nghieäp hieän coù.

2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 240
x1 + 2x2 + x3 ≤ 200
4x1 + x2 + 2x3 ≤ 400

Toång soá tieàn lôøi Xí nghieäp coù theå thu ñöôïc khi baùn heát saûn phaåm laø: 10x1 +12x2 +9x3
(ngaøn ñoàng), vaø muïc tieâu cuûa Xí nghieäp laø laøm cho doanh thu ñaït cöïc ñaïi neân:

10x1 + 12x2 + 9x3 → max

Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu treân laø (baøi toaùn
quy hoaïch tuyeán tính):

f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 → max
2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 240
x1 + 2x2 + x3 ≤ 200
4x1 + x2 + 2x3 ≤ 400
x1, x2 , x3 ≥ 0

4


Vôùi caùch laäp luaän vaø trình baøy töông töï nhö treân, haõy thöïc haønh vôùi 3 baøi taäp sau:
Ví duï 1.3: Moät xí nghieäp coù keá hoaïch saûn xuaát 3 loaïi saûn phaåm kyù hieäu laø A, B, C. Ñònh
möùc hao phí nguyeân lieäu, voán, lao ñoäng (quy ra giôø coâng) vaø lôïi nhuaän thu ñöôïc tính
cho 1 ñôn vò saûn phaåm moãi loaïi cho trong baûng sau:

Saûn phaåm Nguyeân lieäu Voán Lao ñoäng Lôïi nhuaän
(kg) (1.000 ñoàng) (giôø coâng) (1.000 ñoàng)
A 2 1 4 2
B 3 3 8 3
C 3 5 1 5
Möùc huy 150 120 100
ñoäng toái ña

Haõy laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu cho xí nghieäp (Chæ laäp moâ hình baøi toaùn, khoâng
giaûi baøi toaùn).
Ví duï 1.4: Moät coâng ty Sôn BaXP saûn xuaát hai loaïi sôn laø sôn trong nhaø vaø sôn ngoaøi
trôøi. Nguyeân lieäu chuû yeáu ñeå saûn xuaát sôn goàm:
+ Nguyeân lieäu loaïi A vôùi tröõ löôïng laø 140 taán.
+ Nguyeân lieäu loaïi B vôùi tröõ löôïng laø 180 taán.
Ñeå saûn xuaát 1 taán sôn trong nhaø caàn 3 taán nguyeân lieäu A vaø 2 taán nguyeân lieäu B.
Ñeå saûn xuaát 1 taán sôn ngoaøi trôøi caàn 4 taán nguyeân lieäu A vaø 5 taán nguyeân lieäu B.
Qua nghieân cöùu thò tröôøng, phoøng tieáp thò döï baùo nhu caàu thò tröôøng trong 1 tuaàn
nhö sau:
+ Nhu caàu sôn trong nhaø khoâng lôùn hôn sôn ngoaøi trôøi 2 taán.
+ Nhu caàu lôùn nhaát cuûa sôn trong nhaø laø 3 taán.
Giaù baùn cho ñaïi lyù laø: 45 trieäu ñoàng/taán cho sôn trong nhaø vaø 50 trieäu ñoàng/taán cho
sôn ngoaøi trôøi.
Yeâu caàu: Haõy laäp keá hoaïch saûn xuaát moãi tuaàn nhö theá naøo ñeå coâng ty ñaït doanh
thu lôùn nhaát (chæ laäp moâ hình baøi toaùn, khoâng giaûi baøi toaùn).

5


Ví duï 1.5: Nhaân dòp teát trung thu, xí nghieäp saûn xuaát baùnh KD muoán saûn xuaát 3 loaïi
baùnh : ñaäu xanh, thaäp caåm vaø baùnh deûo nhaân ñaäu xanh. Ñeå saûn xuaát 3 loaïi baùnh naøy,
xí nghieäp caàn: ñöôøng, ñaäu, boät, tröùng, möùt, laïp xöôûng, ... Giaû söû soá ñöôøng coù theå chuaån
bò ñöôïc laø 500kg, ñaäu laø 300kg, caùc nguyeân lieäu khaùc muoán bao nhieâu cuõng coù. Löôïng
ñöôøng, ñaäu caàn thieát vaø lôïi nhuaän thu ñöôïc treân moät caùi baùnh moãi loaïi cho trong baûng
sau:

Baùnh Baùnh ñaäu Baùnh thaäp Baùnh deûo
Nguyeän lieäu xanh caåm
Ñöôøng (g) 60 40 70
Ñaäu (g) 80 0 40
Lôïi nhuaän (ñoàng) 2000 1700 1800

Caàn laäp keá hoaïch saûn xuaát moãi loaïi baùnh bao nhieâu caùi ñeå khoâng bò ñoäng veà ñöôøng,
ñaäu vaø toång lôïi nhuaän thu ñöôïc laø lôùn nhaát neáu saûn xuaát bao nhieâu cuõng baùn heát.

1.2. Baøi toaùn pha troän toái öu
Baøi toaùn: Moät nhaø maùy luyeän kim muoán söû duïng n loaïi nguyeân lieäu: N1 , N2, . . . , Nn
ñeå saûn xuaát moät loaïi hôïp kim coù m chaát: M1 , M2 , . . . , Mm . Haøm löôïng caùc chaát trong
moät ñôn vò hôïp kim thaønh phaåm, haøm löôïng chaát trong moät ñôn vò nguyeân lieäu vaø giaù
moät ñôn vò nguyeân lieäu ñöôïc cho trong baûng sau:

Chaát trong Haøm löôïng chaát Haøm löôïng chaát trong NL
thaønh phaåm trong thaønh phaåm N1 N2 ... Nn
M1 b1 a11 a12 ... a1n
M2 b2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ...
Mm bm am1 am2 ... amn
Giaù nguyeân lieäu c1 c2 ... cn

Vaán ñeà ñaët ra laø phaûi duøng moãi loaïi nguyeân lieäu bao nhieâu ñôn vò ñeå saûn xuaát 1 ñôn
vò hôïp kim thaønh phaåm sao cho giaù thaønh cuûa hôïp kim thaønh phaåm thaáp nhaát nhöng

6


vaãn ñaûm baûo chaát löôïng theo yeâu caàu. Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn pha troän
toái öu treân ?
HD: Goïi xj laø khoái löôïng nguyeân lieäu Nj (j = 1, 2, . . . , n) caàn duøng ñeå saûn xuaát 1 ñôn
vò hôïp kim thaønh phaåm ñaùp öùng caùc yeâu caàu cuûa baøi toaùn.
Ñieàu kieän: xj ≥ 0, (j = 1, 2, . . . , n)
Toång khoái löôïng chaát Mi (i = 1, 2, . . . , m) coù trong caùc loaïi nguyeân lieäu ñeå saûn xuaát
laø:
ai1x1 + ai2x2 + · · · + ain xn

Ñeå saûn phaåm laø hôïp kim thaønh phaåm baûo ñaûm chaát löôïng theo yeâu caàu, ta coù

ai1x1 + ai2x2 + · · · + ain xn = bi

Giaù thaønh (giaù voán goác) 1 ñôn vò hôïp kim thaønh phaåm laø:

c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn

Yeâu caàu laø giaù thaønh cuûa hôïp kim thaønh phaåm phaûi thaáp nhaát neân

c1 x1 + c2x2 + · · · + cn xn → min

Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn pha troän toái öu laø

f (x) = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn → min
a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2
···························
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , n

Ví duï 2.1: Moät nhaø maùy luyeän kim muoán saûn xuaát moät loaïi hôïp kim coù 20% baïc, 30%
ñoàng vaø 50% nhuoâm. Ñeå saûn xuaát ra loaïi hôïp kim ñoù nhaø maùy duøng 6 loaïi nguyeân lieäu:
baïc nguyeân chaát, ñoàng nguyeân chaát, nhuoâm nguyeân chaát, hôïp kim A, hôïp kim B, hôïp
kim C. Tyû leä caùc chaát baïc, ñoàng, nhuoâm trong 6 loaïi nguyeân lieäu treân vaø giaù nguyeân
lieäu (ngaøn ñoàng/kg) moãi loaïi ñöôïc cho trong baûng sau:

7


Chaát Loaïi nguyeân lieäu
Baïc Ñoàng Nhuoâm HK A HK B HK C
Baïc 100% 0 0 30% 50% 40%
Ñoàng 0 100% 0 40% 20% 35%
Nhuoâm 0 0 100% 30% 30% 25%
Giaù nguyeân lieäu 1500 300 100 1000 1200 1100

Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh khoái löôïng nguyeân lieäu moãi loaïi ñeå
saûn xuaát 1 kg hôïp kim thaønh phaåm sao cho giaù thaønh cuûa hôïp kim thaønh phaåm thaáp
nhaát nhöng vaãn baûo ñaûm chaát löôïng theo yeâu caàu.
HD: Goïi x1 , x2, x3, x4 , x5, x6 laàn löôït laø khoái löôïng nguyeân lieäu (kg) baïc, ñoàng, nhuoâm
nguyeân chaát, hôïp kim A, hôïp kim B, hôïp kim C caàn söû duïng ñeå saûn xuaát 1 kg hôïp kim
thaønh phaåm ñaùp öùng caùc yeâu caàu cuûa baøi toaùn.
Ñieàu kieän: x1 , x2, x3, x4, x5 , x6 ≥ 0
Toång khoái löôïng chaát baïc coù trong caùc loaïi nguyeân lieäu ñeå saûn xuaát laø:

x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6

Toång khoái löôïng chaát ñoàng coù trong caùc loaïi nguyeân lieäu ñeå saûn xuaát laø:

x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6

Toång khoái löôïng chaát nhuoâm coù trong caùc loaïi nguyeân lieäu ñeå saûn xuaát laø:

x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6

Ñeå saûn phaåm laø hôïp kim thaønh phaåm baûo ñaûm chaát löôïng theo yeâu caàu, ta coù

x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2
x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3
x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5

Giaù thaønh 1 ñôn vò hôïp kim thaønh phaåm laø:

1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6

8


Yeâu caàu laø giaù thaønh cuûa hôïp kim thaønh phaåm phaûi thaáp nhaát neân

1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 → min

Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laø

f (x) = 1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 → min
x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2
x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3
x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5
xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6

Ví duï 2.2: Moät hôïp chaát ñöôïc cheá taïo töø caùc ñôn chaát A, B, C, D. Caùc ñôn chaát naøy coù
theå laáy töø caùc quaëng I, II, III, IV. Nhöõng quaëng naøy coù theå mua theâm ôû thò tröôøng. Caùc
soá lieäu cho trong baûng sau
Soá löôïng yeâu caàu I II III IV
A ≥ 12 3 4 1,5 0
B=8 0 3 2 1
C≤6 1 2 1,5 2
D≥7 2 0 3 1,5
Giaù 1 ñôn vò 7 6 8 5
Hoûi caàn mua moãi loaïi quaëng bao nhieâu ñôn vò ñeå cho toång giaù thaønh moät ñôn vò
hôïp chaát laø reû nhaát.
HD: Goïi xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4) laø soá ñôn vò quaëng thöù j caàn phaûi mua ñeå trích ra caùc
ñôn chaát duøng cho cheá taïo hôïp chaát. Ta coù baøi toaùn quy hoaïch
Tìm x = (x1 , x2, x3, x4 ) sao cho:

f (x) = 7x1 + 6x2 + 8x3 + 5x4 → min
3x1 + 4x2 + 1.5x3 ≥ 12
3x2 + 2x3 + x4 = 8
x1 + 2x2 + 1.5x3 + 2x4 ≤ 6
2x1 + 3x3 + 1.5x4 ≥ 7
xj ≥ 0, (j = 1, 2, 3, 4)

9


1.3. Baøi toaùn xaùc ñònh khaåu phaàn aên toái öu
Baøi toaùn: Giaû söû khoái löôïng toái thieåu veà caùc chaát dinh döôõng D1 , D2 , . . . , Dm cho
moät loaïi gia suùc trong moät ngaøy; haøm löôïng caùc chaát dinh döôõng ñoù coù trong moät ñôn
vò thöùc aên F1, F2, . . . , Fn vaø giaù mua moät ñôn vò thöùc aên moãi loaïi ñöôïc cho trong baûng
sau
Loaïi chaát Khoái löôïng Loaïi thöùc aên
dinh döôõng toái thieåu F1 F2 ... Fn
D1 b1 a11 a12 ... a1n
D2 b2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ...
Dm bm am1 am2 ... amn
Giaù mua c1 c2 ... cn

Ngöôøi ta quan taâm laø phaûi mua moãi loaïi thöùc aên bao nhieâu ñôn vò ñeå chi phí mua
thöùc aên ít nhaát nhöng ñaùp öùng ñöôïc nhu caàu dinh döôõng toái thieåu moãi ngaøy ñöôïc goïi
laø baøi toaùn xaùc ñònh khaåu phaàn aên toái öu. Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc
ñònh khaåu phaàn aên toái öu ñoù.
HD: Goïi xj laø khoái löôïng thöùc aên Fj caàn mua vaø xj ≥ 0 (j = 1, 2, . . . , n)
Toång khoái löôïng chaát dinh döôõng Di coù trong caùc thöùc aên caàn mua laø

ai1x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn (i = 1, 2, . . . , m)

Ñeå ñaùp öùng ñöôïc nhu caàu dinh döôõng toái thieåu moãi ngaøy thì toång khoái löôïng chaát
dinh döôõng Di coù trong caùc thöùc aên caàn mua khoâng nhoû hôn khoái löôïng toái thieåu moãi
ngaøy veà chaát dinh döôõng ñoù neân ta coù ñieàu kieän

ai1 x1 + ai2x2 + · · · + ain xn ≥ bi

Khi ñoù, toång chí phí mua thöùc aên laø

c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn

vaø
c1 x1 + c2x2 + · · · + cn xn → min

10


Vaäy, moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh khaåu phaàn aên toái öu laø

f (x) = c1 x2 + c2 x2 + · · · + cn xn → min
a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn ≥ b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn ≥ b2
.....................................
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ≥ bm
xj ≥ 0 , j = 1, 2, . . . , n

Ví duï 3.1: Ñeå nuoâi moät loaïi gia suùc ngöôøi ta söû duïng 3 loaïi thöùc aên laø caùm, baép,
boät caù. Tyû leä (%) caùc chaát dinh döôõng ñaïm, ñöôøng, beùo coù trong caùc loaïi thöùc aên caùm,
baép, boät caù vaø giaù 1 kg thöùc aên moãi loaïi ñöôïc cho nhö baûng sau

Chaát Loaïi thöùc aên
dinh döôõng Caùm Baép Boät caù
Ñaïm 10 10 20
Ñöôøng 20 15 10
Beùo 5 10 20
Giaù mua (ñoàng) 2000 1000 2000

Yeâu caàu trong khaåu phaàn thöùc aên cuûa loaïi gia suùc naøy laø: ñaïm phaûi coù ít nhaát laø 70
g vaø nhieàu nhaát laø 90 g, ñöôøng phaûi coù ít nhaát laø 80 g, chaát beùo phaûi coù ít nhaát 20 g vaø
nhieàu nhaát laø 60 g. Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh khoái löôïng thöùc
aên moãi loaïi caàn mua sao cho toång chi phí thaáp nhaát vaø baûo ñaûm chaát löôïng theo yeâu
caàu ?
HD: Goïi x1, x2 , x3 ≥ 0 laàn löôït laø khoái löôïng caùm, baép vaø boät caù caàn mua ñeå laøm
thöùc aên cho gia suùc.

11


Phaân tích vaø laäp luaän töông töï baøi toaùn treân, ta coù moâ hình toaùn hoïc

f (x) = 2x1 + x2 + 2x2 → min
0, 1x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ≥ 70
0, 1x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ≤ 90
0, 2x1 + 0, 15x2 + 0, 1x3 ≥ 80
0, 05x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ≥ 20
0, 05x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ≤ 60
xj ≥ 0 , j = 1, 2, 3

Ví duï 3.2: Coâng ty saûn xuaát thöùc aên giaù suùc coù keá hoaïch saûn xuaát caùc bao thöùc aên
gia suùc coù tyû leä (%) chaát dinh döôõng cho moãi bao theo tieâu chuaån sau

Chaát dinh döôõng Tyû leä toái thieåu Tyû leä toái ña
Ñaïm 22,9 khoâng haïn cheá
Ñöôøng 42 75
Beùo 9 15
Xô) 7,8 khoâng haïn cheá

Cho bieát tyû leä (%) caùc chaát dinh döôõng treân trong caùc loaïi nguyeân lieäu vaø giaù nguyeân
lieäu nhö sau

Chaát Nguyeân lieäu
dinh döôõng Caùm Gaïo Baép Boät caù
Ñaïm 15 8 10 62
Ñöôøng 60 50 60 6
Beùo 15 4 6 20
Xô 2 15 9 3
Giaù (ñoàng/kg) 3 2 1,2 5

Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh thaønh phaàn nguyeân lieäu ñeå saûn
xuaát moät bao thöùc aên gia suùc ñaït chaát löôïng vaø coù giaù reû nhaát. Bieát raèng moãi bao thöùc
aên coù troïng löôïng 100 kg.

12


HD: Goïi x1 , x2, x3, x4 ≥ 0 laø khoái löôïng (kg) caùm, gaïo, baép, boät caù coù trong 1 bao
thöùc aên. Khi ñoù moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laø

f (x) = 3x1 + 2x2 + 1, 2x3 + 5x4 → min
x1 + x2 + x3 + x4 = 100
0, 15x1 + 0, 08x2 + 0, 1x3 + 0, 62x4 ≥ 22, 9
0, 6x1 + 0, 5x2 + 0, 6x3 + 0, 06x4 ≥ 42
0, 6x1 + 0, 5x2 + 0, 6x3 + 0, 06x4 ≤ 75
0, 15x1 + 0, 04x2 + 0, 06x3 + 0, 2x4 ≥ 9
0, 15x1 + 0, 04x2 + 0, 06x3 + 0, 2x4 ≤ 15
0, 02x1 + 0, 15x2 + 0, 09x3 + 0, 03x4 ≥ 7, 8
x1, x2, x3 , x4 ≥ 0

1.4. Moät soá baøi toaùn khaùc
Ví duï 4.1: Coâng ty Tieâu Ñieàu döï ñònh troàng hai loaïi caây caø pheâ vaø tieâu treân 3 khu
ñaát A, B, C coù dieän tích töông öùng laø 50, 60, 40 ha. Do ñaëc ñieåm cuûa caùc khu ñaát khaùc
nhau neân chi phí saûn xuaát (trieäu ñoàng/ha) vaø naêng suaát (taï/ha) khaùc nhau vaø cho ôû baûng
sau:

Khu ñaát Caø pheâ Tieâu
2 1,8
A 9 6
2,2 1,6
B 10 5
2,5 1,5
C 12 4

Soá lieäu ôû goùc beân traùi, phía treân cuûa moãi oâ laø chi phí saûn xuaát; ôû goùc beân phaûi phía
döôùi cuûa moãi oâ laø naêng suaát.
Yeâu caàu saûn löôïng cuûa caø pheâ toái thieåu laø 500 taï vaø tieâu toái thieåu laø 420 taï.
Haõy laäp moâ hình baøi toaùn xaùc ñònh phöông aùn phaân phoái ñaát troàng sao cho ñaûm baûo
yeâu caàu veà saûn löôïng vôùi chi phí thaáp nhaát ?

13


HD: Goïi x1, x2, x3 laàn löôït laø dieän tích (ha) khu ñaát A,B,C duøng ñeå troàng caø pheâ vaø
x4, x5 , x6 laàn löôït laø dieän tích (ha) khu ñaát A,B,C duøng ñeå troàng tieâu. Khi ñoù moâ hình
toaùn hoïc cuûa baøi toaùn laø

f (x) = 2x1 + 2, 2x2 + 2, 5x3 + 1, 8x4 + 1, 6x5 + 1, 5x6 → min
x1 + x4 ≤ 50
x2 + x5 ≤ 60
x3 + x6 ≤ 40
9x1 + 10x2 + 12x3 ≥ 500
6x4 + 5x5 + 4x6 ≥ 420
xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6

Ví duï 4.2: Moät ngöôøi coù soá tieàn 80 trieäu ñoàng döï ñònh ñaàu tö vaøo caùc loaïi hình kinh
teá sau:
+ Göûi tieát kieäm khoâng kyø haïn vôùi laõi suaát 7,5%/naêm.
+ Göûi tieát kieäm coù kyø haïn vôùi laõi suaát 9,5%/naêm.
+ Mua tín phieáu vôùi laõi suaát 10%/naêm
+ Cho doanh nghieäp tö nhaân vay vôùi laõi suaát 13%/naêm.
Vì moãi loaïi hình ñaàu tö ñeàu coù öu khuyeát, ruûi ro cuûa noù neân ngöôøi ñoù quyeát ñònh
ñaàu tö theo caùc chæ daãn sau ñaây cuûa nhaø tö vaán:
(1) Khoâng cho doanh nghieäp vay quaù 20% soá tieàn.
(2) Soá tieàn mua tín phieáu khoâng ñöôïc vöôït quaù toång soá tieàn ñaàu tö vaøo 3 loaïi hình
kia.
(3) Ñaàu tö ít nhaát 30% toång soá tieàn vaøo göûi tieát kieäm coù kyø haïn vaø mua tín phieáu.
(4) Tyû leä tieàn göûi tieát kieäm khoâng kyø haïn vaø coù kyø haïn khoâng vöôït quaù 1/3.
Haõy laäp moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn xaùc ñònh soá tieàn ñaàu tö vaø moãi loaïi hình
kinh teá ñeå toång soá tieàn lôøi ñaït ñöôïc cao nhaát vaø tuaân theo caùc chæ daãn cuûa nhaø ñaàu tö.
Bieát raèng ngöôøi ñoù quyeát ñònh ñaàu tö heát soá tieàn ñang coù.
HD: Goïi x1 , x2, x3 , x4 ≥ 0 laàn löôït laø soá tieàn (trieäu ñoàng) ñaàu tö vaøo göûi tieát kieäm
khoâng kyø haïn, göûi tieát kieäm coù kyø haïn, mua tín phieáu, cho doanh nghieäp tö nhaân vay.

14


Moâ hình toaùn hoïc laø baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau

f (x) = 0, 075x1 + 0, 095x2 + 0, 1x3 + 0, 13x4 → max
x1 + x2 + x3 + x4 = 80.000.000
x4 ≤ 16.000.000
x1 + x2 − x3 + x4 ≥ 0
x2 + x3 ≥ 24.000.000
3x1 − x2 ≤ 0
x1, x2 , x3, x4 ≥ 0

15


§2. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN CUÛA
BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH

2.1. Daïng toång quaùt cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính
Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính laø baøi toaùn coù daïng nhö sau:
f (x) = c1 x1 + c2x2 + . . . + cn xn → max (min) (1)
 
≥
 
 
ai1 x1 + ai2x2 + . . . + ain xn  ≤  bi (2)
 
=
 
≥0
 
 
xj  ≤ 0  (3)
 
tuyø yù

vôùi: i = 1, 2, . . . , m vaø j = 1, 2, . . . , n

Trong ñoù:
+ (1) ñöôïc goïi laø haøm muïc tieâu cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính. Neáu f (x) →
max thì goïi laø baøi toaùn cöïc ñaïi, f (x) → min thì goïi laø baøi toaùn cöïc tieåu.
+ (2) goïi laø heä raøng buoäc chính cuûa baøi toaùn.
+ (3) goïi laø heä raøng buoäc daáu cuûa baøi toaùn hay ñieàu kieän veà daáu cuûa caùc aån soá.
+ (2) vaø (3) goïi chung laø heä raøng buoäc cuûa baøi toaùn.
Ví duï: Cho caùc baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau:
1.1).
f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 → max
2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 240
x1 + 2x2 + x3 ≤ 200
4x1 + x2 + 2x3 ≤ 400
x1, x2 , x3 ≥ 0

16


1.2).
f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 → max
2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 240
x1 + 2x2 + x3 ≤ 200
4x1 + x2 + 2x3 ≤ 400
x1, x2 , x3 ≥ 0
1.3).

f (x) = 1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 → min
x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2
x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3
x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5
xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6

2.2. Phöông aùn - Phöông aùn cô baûn
Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính (P) vôùi n aån nhö treân.
Phöông aùn: Moät boä n soá thöïc x∗ = (x∗, x∗ , . . . , x∗ ) thoaû maõn heä raøng buoäc cuûa baøi
1 2 n

toaùn (P) thì ñöôïc goïi laø moät phöông aùn hay lôøi giaûi chaáp nhaän ñöôïc cuûa baøi toaùn (P).
Moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính coù theå coù nhieàu lôøi giaûi chaáp nhaän ñöôïc (phöông
aùn), thöïc teá ngöôøi ta thöôøng quan taâm ñeán nhöõng phöông aùn toát nhaát (toái öu) trong
taäp caùc phöông aùn cuûa noù.
Phöông aùn cô baûn: Coøn goïi laø phöông aùn cöïc bieân - laø phöông aùn thoaû maõn chaët
ít nhaát n raøng buoäc cuûa baøi toaùn (P).
Moät phöông aùn cô baûn thoaû maõn chaët ñuùng n raøng buoäc cuûa baøi toaùn thì goïi laø
phöông aùn cô baûn khoâng suy bieán.
Ví duï 2.1: Xeùt baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính (P) sau:

f (x) = 3x1 + x2 − x3 → max
x1 − x3 = 2
x2 + x3 = 3
x1, x2 , x3 ≥ 0

17


Caên cöù vaøo hai raøng buoäc chính vaø ñieàu kieän veà daáu cuûa caùc aån, ta suy ra taäp caùc
phöông aùn cuûa baøi toaùn (P) laø:

X = {xα = (2 + α, 3 − α, α)|0 ≤ α ≤ 3}

+ Vôùi α = 0, ta coù phöông aùn x0 = (2, 3, 0)
+ Vôùi α = 1, ta coù phöông aùn x1 = (3, 2, 1)
Haõy kieåm tra xem hai phöông aùn treân coù phaûi laø phöông aùn cô baûn cuûa baøi toaùn ñaõ
cho khoâng ?
2.3. Phöông aùn toái öu
Phöông aùn x0 ñöôïc goïi laø phöông aùn toái öu (PATU) cuûa baøi toaùn quy hoaïch (P) neáu
f (x0 ) laø giaù trò lôùn nhaát (nhoû nhaát) treân taäp phöông aùn X cuûa baøi toaùn. Khi ñoù ta noùi
x0 laø PATU cuûa baøi toaùn vaø f (x0 ) laø giaù trò toái öu.
Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính laø ñi tìm PATU vaø giaù trò toái öu (GTTU) cuûa baøi
toaùn.
Trong quaù trình giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính (QHTT) ta gaëp caùc tröôøng hôïp
sau:
+ Baøi toaùn QHTT chæ coù moät PATU hoaëc coù voâ soá PATU.
+ Baøi toaùn QHTT khoâng coù phöông aùn hoaëc coù phöông aùn nhöng haøm muïc tieâu
khoâng bò chaën treân (neáu baøi toaùn cöïc ñaïi) hay khoâng bò chaën döôùi (neáu baøi toaùn cöïc
tieåu) treân taäp phöông aùn. Khi ñoù baøi toaùn goïi laø khoâng giaûi ñöôïc (khoâng coù PATU).
2.4. Moät soá tính chaát cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính
i). Moät baøi toaùn QHTT coù phöông aùn thì noù coù phöông aùn cô baûn (höõu haïn).
ii). Baøi toaùn cöïc ñaïi (cöïc tieåu) coù phöông aùn vaø haøm muïc tieâu bò chaën treân (chaën
döôùi) thì baøi toaùn coù PATU.
iii). Baøi toaùn QHTT coù PATU thì coù phöông aùn cô baûn toái öu.
iv. Neáu baøi toaùn QHTT coù hôn 1 PATU thì baøi toaùn ñoù coù voâ soá PATU.
Caùc tính chaát treân ta seõ giaûi thích baèng phöông phaùp hình hoïc.

18


§3. PHÖÔNG PHAÙP HÌNH HOÏC

Baèng phöông phaùp hình hoïc giuùp ta deã hình dung vaø hieåu ñöôïc baøi toaùn hôn. Trong
baøi naøy, söû duïng phöông phaùp hình hoïc muïc ñích laø giaûi thích vaø laøm roõ hôn moät soá
tính chaát ôû treân. Duøng phöông phaùp hình hoïc ta coù theå tìm ñöôïc phöông aùn toái öu cuûa
baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính 2 aån. Caùc baøi toaùn coù soá aån nhieàu hôn chæ laø söï môû roäng
cuûa giaûi thích ñoù nhöng khaù phöùc taïp.
3.1. Phöông phaùp hình hoïc
Ta coù theå giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính 2 aån baèng phöông phaùp hình hoïc nhö
sau:
Böôùc 1: Bieåu dieãn taäp phöông aùn X treân maët phaúng Oxy
Treân cuøng moät maët phaúng toaï ñoä Oxy, veõ vaø bieåu dieãn nghieäm cuûa taát caû caùc baát
phöông trình (hay phöông trình) cuûa heä raøng buoäc roài xaùc ñònh phaàn giao cuûa caùc
nghieäm ñoù - Taäp phöông aùn X cuûa baøi toaùn.
Böôùc 2: Bieåu dieãn veùctô phaùp tuyeán vaø haøm muïc tieâu
Veõ veùctô phaùp tuyeán (− ) cuûa ñöôøng thaúng haøm muïc tieâu, sau ñoù veõ moät ñöôøng
→n
thaúng (d) vuoâng goùc vôùi veùctô ñoù thì (d) chính laø ñöôøng thaúng cuûa haøm muïc tieâu.
Böôùc 3: Giaûi baøi toaùn
Baøi toaùn cöïc ñaïi coù haøm muïc tieâu daïng: z = ax + by → max
Cho (d) di chuyeån theo höôùng cuûa veùctô − : →
n
i). Ñieåm cuoái cuøng maø (d) ñi ra khoûi mieàn X thì ñieåm ñoù laø PATU cuûa baøi toaùn.
Tröôøng hôïp (d) ra khoûi mieàn X theo moät ñoaïn thaúng thì baøi toaùn coù voâ soá PATU (moãi
ñieåm thuoäc ñoaïn thaúng laø moät PATU) vaø khi ñoù hai ñieåm ñaàu cuûa ñoaïn thaúng ñoù laø hai
PACB toái öu. Do ñoù baøi toaùn QHTT coù hôn moät PATU thì coù voâ soá PATU (tính chaát 4).
ii). Tröôøng hôïp (d) luoân luoân giao vôùi mieàn X khi di chuyeån thì baøi toaùn khoâng coù
PATU.
Khi mieàn X laø moät ña giaùc loài thì caùc ñænh cuûa ña giaùc chính laø caùc phöông aùn cô
baûn cuûa baøi toaùn, do ñoù phöông aùn cô baûn coøn ñöôïc goïi laø phöông aùn cöïc bieân.

19


Tröôøng hôïp giaûi baøi toaùn cöïc tieåu coù haøm muïc tieâu: z = ax + by → min
Thao taùc töông töï baøi toaùn cöïc ñaïi chæ khaùc laø cho (d) di chuyeån ngöôïc höôùng cuûa
→
−.
n
Ví duï 1.1: Tìm PATU vaø GTTU cuûa baøi toaùn sau:

z = 2x + y → max
2x + y ≥ 2
−x + 2y ≤ 6
5x − y ≤ 15
x, y ≥ 0

HD: Veõ vaø bieåu dieãn mieàn nghieäm cuûa 5 raøng buoäc cuûa baøi toaùn treân cuøng maët phaúng
toaï ñoä Oxy, ta xaùc ñònh ñöôïc taäp phöông aùn X cuûa baøi toaùn laø nguõ giaùc loài ABCDE vôùi
A(0,2); B(0,3); C(4,5); D(3,0); E(1,0). Veõ veùctô phaùp tuyeán − = (2, 1) vaø ñöôøng thaúng
→
n
2x + y = z (haøm muïc tieâu) treân mieàn ABCDE.

20


Tìm PATU vaø GTTU cuûa baøi toaùn: Cho (d) di chuyeån theo höôùng vectô phaùp tuyeán
→
− thì ñieåm cuoái cuøng maø (d) ñi ra khoûi mieàn ABCDE laø C(4, 5). Vaäy PATU cuûa baøi
n
toaùn laø x0 = (4, 5) vaø GTTU laø z(x0) = 2 × 4 + 5 = 13.

Ví duï 1.2: Tìm PATU vaø GTTU cuûa baøi toaùn sau:

z = 2x + y → min
2x + y ≥ 2
−x + 2y ≤ 6
5x − y ≤ 15
x, y ≥ 0

HD: Ñaây laø baøi toaùn cöïc tieåu, do ñoù ñeå tìm PATU cuûa baøi toaùn thì ta di chuyeån
(d) ngöôïc höôùng vectô phaùp tuyeán − . Khi naøy ñöôøng thaúng(d) ra khoûi mieàn ABCDE
→
n
khoâng phaûi laø moät ñieåm maø laø theo moät ñoaïn thaúng AE, neân ta keát luaän baøi toaùn coù
voâ soá PATU vaø moãi ñieåm M0 (x0 , y0) treân ñoaïn thaúng AE laø moät PATU cuûa baøi toaùn vaø
hai ñieåm A(0, 2); E(1, 0) laø 2 phöông aùn cô baûn toái öu. Giaù tri toái öu cuûa baøi toaùn laø:
zmin = 2.
3.2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính
Treân maët phaúng toaï ñoä Oxy, moãi phöông trình daïng ax + by = c ñöôïc bieåu dieãn
baèng moät ñöôøng thaúng vaø moãi ñieåm treân ñöôøng thaúng ñoù laø moät nghieäm cuûa phöông.
Caùc baát phöông trình daïng ax + by ≤ c hay ax + by ≥ c thì nghieäm cuûa noù ñöôïc
bieåu dieãn baèng moät nöõa maët phaúng coù bôø laø ñöôøng thaúng ax + by = c.
Ñoái vôùi moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính ñôn giaûn 2 aån coù nhieàu raøng buoäc, thì
taäp phöông aùn cuûa baøi toaùn laø moät mieàn phaúng thöôøng laø moät ña giaùc loài, moãi ñieåm
M(x, y) treân mieàn phaúng ñoù laø moät phöông aùn cuûa baøi toaùn. Tuy nhieân, ñoâi khi ta cuõng
coù theå gaëp caùc baøi toaùn maø taäp phöông aùn laø taäp roãng hoaëc chæ coù moät ñieåm duy nhaát.

21


Ví duï 2.1: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán sau baèng phöông phaùp hình hoïc

z = 3x + 5y → max
2x + y ≤ 8
x≤3
y≤4
x, y ≥ 0

HD: Veõ vaø bieåu dieãn mieàn nghieäm cuûa 5 raøng buoäc cuûa baøi toaùn treân cuøng maët
phaúng toaï ñoä Oxy, ta xaùc ñònh ñöôïc taäp phöông aùn X cuûa baøi toaùn laø nguõ giaùc loài
OABCD vôùi O(0, 0); A(0, 4); B(2, 4); C(3, 2); D(3, 0). Veõ veùctô phaùp tuyeán − = (3, 5)
→
n
vaø ñöôøng thaúng 3x + 5y = z (haøm muïc tieâu) treân mieàn OABCD.

Tìm PATU vaø GTTU cuûa baøi toaùn ?

22


Ví duï 2.1: Giaûi caùc baøi toaùn quy hoaïch tuyeán sau baèng phöông phaùp hình hoïc

a). z = x + 2y → max(min)
6x + y ≥ 18
x + 4y ≥ 12
2x + y ≥ 10
x, y ≥ 0
b). z = −x + y → min(max)
−x − 2y ≤ 6
x − 2y ≤ 4
−x + y ≤ 1
x, y ≤ 0

23


§4. DAÏNG CHÍNH TAÉC, DAÏNG CHUAÅN
CUÛA BAØI TOAÙN QUY HOAÏCH TUYEÁN TÍNH

4.1. Daïng chính taéc
Moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính ñöôïc goïi laø coù daïng chính taéc neáu baøi toaùn coù
daïng nhö sau:
f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn → max(min)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2
······························
am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n

Moät löu yù ôû ñaây laø: caùc raøng buoäc chính laø caùc phöông trình vaø caùc aån ñeàu khoâng
aâm.
Khi ñoù, ma traän heä soá cuûa heä raøng buoäc chính, kí hieäu laø A
 
a a12 · · · a1n
 11 
 
 a21 a22 · · · a2v 
A=  ..


 ··· ··· . ··· 
 
am1 am2 · · · amn

goïi laø ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn. Trong ma traän A: coät j, laø coät heä soá cuûa aån
xj trong heä raøng buoäc chính
       
a a a a
 11   12   1j   1n 
       
 a21   a22   a2j   a2n 
A1 =  . 
 .  A1 =  .
 .

 ··· Aj =  .
 .

 ··· An =  .
 .


 .   .   .   . 
       
am1 am2 amj amn

goïi laø coät ñieàu kieän hay veùctô ñieàu kieän.

24


Ví duï 1.1: Xeùt baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau

f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 + x4 + 2x5 + x6 → max
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 15
x1 + 3x2 + 5x3 + x5 = 12
4x1 + 8x2 + x3 + x6 = 10
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6

Baøi toaùn coù 3 raøng buoäc chính ñeàu laø phöông trình vaø 6 aån ñeàu khoâng aâm neân baøi
toaùn coù daïng chính taéc. Ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn laø
 
2 3 3 1 0 0
 
 
A= 1 3 5 0 1 0 
 
4 8 1 0 0 1

vaø 6 veùctô ñieàu kieän cuûa 6 aån x1 , x2, x3, x4, x5 , x6 laàn löôït laø
           
2 3 3 1 0 0
           
           
A1 =  1  , A2 =  3  , A3 =  5  , A4 =  0  , A5 =  1  , A6 =  0 
           
4 8 1 0 0 1

Ñònh lyù: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chính taéc sau

a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2
······························
am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n

Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông aùn x0 = (x0, x0 , . . . , x0 ) laø moät phöông aùn cô baûn
1 2 n

cuûa baøi toaùn laø heä veùctô ñieàu kieän Aj |x0 > 0 ñoäc laäp tuyeán tính.
j

Ví duï 1.2: Trong ví duï 1.1 treân thì x0 = (0, 0, 0, 15, 12, 10) laø moät phöông aùn cuûa
baøi toaùn.

25


Ta coù {A4 = (1, 0, 0), A5 = (0, 1, 0), A6 = (0, 0, 1)} laø heä veùctô ñoäc laäp tuyeán tính
neân x0 laø moät phöông aùn cô baûn cuûa baøi toaùn.
Chuù yù, trong baøi toaùn ôû ví duï 1.1 treân caùc aån x4, x5, x6 chæ xuaát hieän trong moät
phöông trình (raøng buoäc) cuûa baøi toaùn vaø heä soá cuûa chuùng ñeàu baèng 1. Vì vaäy, ñeå xaùc
ñònh moät phöông aùn cô baûn cuûa baøi toaùn ta chæ vieäc cho caùc aån x1, x2, x3 baèng 0.
Bieán ñoåi ñöa baøi toaùn veà daïng chính taéc
Vôùi moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán chöa coù daïng chính taéc ta coù theå bieán ñoåi ñeå ñöa
veà daïng chính taéc töông ñöông vôùi noù baèng caùc caùch sau
i). Raøng buoäc chính coù daïng:
∗ ai1x1 + · · · + ain xn ≤ bi thì (+ xn+1 ) vaøo veá traùi, luùc ñoù:

ai1x1 + · · · + ain xn + xn+1 = bi

∗ ai1x1 + · · · + ain xn ≥ bi thì (− xn+1 ) vaøo veá traùi, luùc ñoù:

ai1x1 + · · · + ain xn − xn+1 = bi

Löu yù: Khi theâm caùc aån phuï vaøo veá traùi caùc raøng buoäc chính thì haøm muïc tieâu
khoâng thay ñoåi (töùc laø heä soá cuûa caùc aån phuï ôû haøm muïc tieâu baèng 0).
ii). Neáu coù xj < 0 thì ñaët xj = −xj , luùc ñoù xj > 0
Neáu xj daáu tuyø yù thì ñaët xj = xj − xj (xj , xj ≥ 0)
Ví duï 1.3: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính

z = x1 + 3x2 + 2x3 → max
x1 + x2 − 2x3 ≤ 3
3x1 − 2x2 + x3 = 4
2x1 + 4x2 + x3 ≥ 6
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0

Haõy bieán ñoåi ñöa baøi toaùn veà daïng chính taéc ?
HD: Heä raøng buoäc chính coù 2 baát phöông trình, aån x2 ≤ 0 vaø aån x3 coù daáu tuy yù
neân ta thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi sau ñeå ñöa baøi toaùn veà daïng chính taéc

26


+ Theâm vaøo baøi toaùn 2 aån phuï laø x4, x5 ≥ 0
+ Ñaët x2 = −x2 vaø x3 = x3 − x3 vôùi x3, x3 ≥ 0
Khi ñoù ta ñöôïc baøi toaùn coù daïng chính taéc töông ñöông vôùi baøi toaùn goác nhö sau

z = x1 − 3x2 + 2x3 − 2x3 → max
x1 − x2 − 2x3 + 2x3 + x4 = 3
3x1 + 2x2 + x3 − x3 = 4
2x1 − 4x2 + x3 − x3 + x5 = 6
x1 , x2, x3, x3 , x4, x5 ≥ 0

Ví duï 1.4: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính

f (x) = x1 + 2x2 − x3 + 3x4 → min
x1 − x2 + x3 + 2x4 = 8
x1 + x2 + 2x3 − x4 ≤ 25
−x1 + x2 − x3 + x4 ≥ 17
x1, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0

Haõy bieán ñoåi ñöa baøi toaùn veà daïng chính taéc töông ñöông ?

4.2. Daïng chuaån
Baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chuaån laø baøi toaùn coù daïng sau

x1 + a1m+1xm+1 + . . . + a1n xn = b1
x2 + a2m+1xm+1 + . . . + a2n xn = b2
····································
xm + amm+1 xm+1 + . . . + amn xn = bm
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n
bi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m

Trong ñoù: x1 , x2, . . . , xm goïi laø caùc aån cô baûn, xi (i = 1, 2, . . . , m) laø aån cô baûn thöù
i vaø xm+1 , . . . , xn laø aån töï do.

27


Khi ñoù ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chuaån laø
 
1 0 ··· 0 a1m+1 · · · a1n
 
 
 0 1 ··· 0 a2m+1 · · · a2n 
A= 


 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 
 
0 0 ··· 1 amm+1 · · · amn

Haõy chæ ra caùc ñieåm khaùc nhau cô baûn cuûa baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng
chuaån vaø daïng chính taéc ?
Baøi toaùn QHTT daïng chuaån laø baøi toaùn daïng chính taéc coù soá haïng töï do ñeàu khoâng
aâm vaø ma traän ñieàu kieän coù chöùa moät ma traän ñôn vò caáp m (neáu baøi toaùn QHTT coù m
raøng buoäc chính).
Trong baøi toaùn QHTT daïng chuaån neáu cho caùc aån töï do ñeàu nhaän giaù trò 0 thì caùc
aån cô baûn xi = bi (i = 1, 2, . . . , m). Khi ñoù ta ñöôïc moät phöông aùn cô baûn cuûa baøi toaùn
vaø goïi laø phöông aùn cô baûn xuaát phaùt cuûa baøi toaùn.
Ví duï 2.1: Xeùt baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau

f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 − x5 + 2x6 → max
3x1 + x2 + 2x3 + x5 = 22
−x1 + 3x5 + x6 = 7
2x1 + 4x3 + x4 + 7x5 = 30
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6

HD: Baøi toaùn treân ñaõ coù daïng chính taéc, vôùi caùc soá haïng töï do ñeàu döông vaø ma
traän ñieàu kieän laø  
3 1 2 0 1 0
 
 
A =  −1 0 0 0 3 1 
 
2 0 4 1 7 0

Trong ma traän A, caùc coät veùctô ñieàu kieän A2, A6 , A4 öùng vôùi caùc aån x2, x6, x4 taïo
thaønh moät ma traän ñôn vò caáp 3. Do ñoù baøi toaùn ñaõ cho coù daïng chuaån.
Töông öùng ta coù aån x2 laø aån cô baûn thöù 1, aån x6 laø aån cô baûn thöù 2 vaø x4 laø aàn cô
baûn thöù 3. Caùc aån x1 , x3, x5 laø caùc aån töï do.

28


Baøi toaùn coù phöông aùn cô baûn xuaát phaùt laø: x0 = (0, 22, 0, 30, 0, 7)
Ví duï 2.2: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau

f = x2 − 2x3 + 2x5 → min
x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = 7
− 2x2 + x3 + x4 = 3
− 4x2 + 2x3 + 8x5 + x6 = 10
xi ≥ 0, i = 1, 6.

Baøi toaùn ñaõ coù daïng chuaån chöa ? neáu coù, thì aån naøo laø aån cô baûn, aån naøo laø aån töï
do vaø vieát phöông aùn cô baûn xuaát phaùt ra ?
Bieán ñoåi baøi toaùn veà daïng chuaån
Moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chính taéc nhöng khoâng coù daïng chuaån thì
ta laäp baøi toaùn môû roäng ñeå ñöôïc baøi toaùn coù daïng chuaån.
i). Phöông trình coù soá haïng töï do aâm: Nhaân caû hai veá vôùi −1.
ii). Phöông trình khoâng coù aån cô baûn: Coäng vaøo veá traùi cuûa phöông trình moät aån
giaû khoâng aâm.
Löu yù: Khi theâm aån giaû vaøo veá traùi cuûa phöông trình (raøng buoäc chính) thì ôû haøm
muïc tieâu noù coù heä soá laø +M (neáu baøi toaùn cöïc tieåu) vaø −M (neáu baøi toaùn cöïc ñaïi).
Trong ñoù M laø moät soá döông lôùn tuyø yù (raát lôùn).
Ví duï 2.3: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau

f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 + x5 → max
x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20
−2x1 + 4x3 + x5 ≤ −9
3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 5

Haõy bieán ñoåi baøi toaùn ñöa veà daïng chuaån ?

29


HD: Baøi toaùn daïng chính taéc töông ñöông vôùi baøi toaùn ñeà cho

f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 + x5 → max
x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20
2x1 − 4x3 − x5 − x6 = 9
3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6

Baøi toaùn chöa coù daïng chuaån vì phöông trình (raøng buoäc) thöù 2 chöa coù aån cô baûn,
ta caàn theâm vaøo raøng buoäc 2 moät aån giaû x7 ≥ 0 ñeå coù daïng chuaån

f (x) = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 + x5 − Mx7 → max
x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20
2x1 − 4x3 − x5 − x6 + x7 = 9
3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 7

4.3. Moái lieân heä giöõa baøi toaùn môû roäng vaø baøi toaùn goác
i). Neáu baøi toaùn môû roäng khoâng coù PATU thì baøi toaùn goác khoâng coù PATU.
ii). Neáu baøi toaùn môû roäng coù PATU vaø caùc aån giaû ñeàu baèng 0 thì baøi toaùn goác coù
PATU. Khi ñoù PATU cuûa baøi toaùn goác laø PATU cuûa baøi toaùn môû roäng nhöng boû ñi phaàn
aån phuï vaø aån giaû (neáu coù).
iii). Neáu baøi toaùn môû roäng coù PATU vaø coù ít nhaát moät aån giaû nhaän giaù trò döông thì
baøi toaùn goác khoâng coù PATU.

30


§5. PHÖÔNG PHAÙP ÑÔN HÌNH

Phöông phaùp ñôn hình hay goïi ñuùng hôn laø "phöông phaùp caûi tieán daàn caùc phöông
aùn" ñöôïc G.Dantzig ñöa ra naêm 1947, laø phöông phaùp giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán
tính ñöôïc coi laø hieäu quaû nhaát. YÙ töôûng cuûa phöông phaùp ñôn hình laø xuaát phaùt töø moät
phöông aùn cô baûn x0, ta tìm caùch ñaùnh giaù x0 coù phaûi laø PATU cuûa baøi toaùn khoâng. Neáu
x0 chöa phaûi laø PATU thì ta seõ xaây döïng moät phöông aùn môùi toát hôn döïa treân phöông
aùn x0 . Quaù trình cöù tieáp tuïc caûi tieán caùc phöông aùn cho ñeán khi tìm ñöôïc PATU cuûa
baøi toaùn hoaëc phaùt hieän ra baøi toaùn khoâng coù PATU.
5.1. Thuaät toaùn ñôn hình
A. Giaûi baøi toaùn cöïc ñaïi: Tröôùc heát ta trình baøy caùch giaûi ñeå tìm PATU cho baøi toaùn
cöïc ñaïi baèng phöông phaùp ñôn hình.
Phöông phaùp ñôn hình chæ aùp duïng giaûi cho caùc baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng
chuaån. Do ñoù baøi toaùn ñeà cho chöa coù daïng chuaån thì baét buoäc phaûi bieán ñoåi ñöa veà
daïng chuaån roài môùi aùp duïng phöông phaùp ñôn hình giaûi.
Giaû söû ta giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính daïng chuaån nhö trong muïc 4.2 treân

f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn → max
x1 + a1m+1xm+1 + . . . + a1n xn = b1
x2 + a2m+1xm+1 + . . . + a2n xn = b2
····································
xm + amm+1 xm+1 + . . . + amn xn = bm
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n
bi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m

Caùc thoâng tin veà baøi toaùn daïng chuaån xem laïi muïc 4.2.
Baây giôø ta trình baøy caùc böôùc cuûa phöông phaùp ñôn hình ñeå giaûi baøi toaùn chuaån treân.
Böôùc 1
i). Laäp baûng ñôn hình xuaát phaùt

31


x1 x2 ... xn−1 xn λ
c1 c2 ... cn−1 cn
coät heä soá b1 a11 a12 ... a1n−1 a1n
cuûa caùc aån coät aån b2 a21 a22 ... a2n−1 a2n
cô baûn trong cô baûn . . . ... ... ... ... ...
haøm muïc tieâu bm am1 am2 ... amn−1 amn
f0 ∆1 ∆2 ... ∆n−1 ∆n

Trong ñoù: f0 laø giaù trò cuûa haøm muïc tieâu taïi phöông aùn ñoù vaø ∆j laø heä soá öôùc löôïng
cuûa aån xj (j = 1, 2 . . . , n)

f0 = ( coät 1)T · ( coät 3)
∆j = ( coät 1)T · Aj − cj

+ Coät 1: laø coät heä soá cô baûn (heä soá cuûa aån cô baûn töông öùng treân haøm muïc tieâu).
+ Coät 2: laø coät aån cô baûn (ghi theo thöù töï töø treân xuoáng, baét ñaàu töø aån cô baûn thöù
1).
+ Coät 3: laø coät phöông aùn.
+ Coät 4: Trong coät 4 coù 3 yù chính sau:
- Hai doøng treân cuøng laø caùc aån cuûa baøi toaùn daïng chuaån vaø heä soá cuûa noù töông
öùng trong haøm muïc tieâu.
- Tieáp theo döôùi laø ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn chuaån.
- Doøng cuoái cuøng laø caùc heä soá öôùc löôïng cuûa caùc aån.
+ Coät 5: laø coät heä soá λ.
ii). Ñaùnh giaù phöông aùn
+ Neáu ∆j ≥ 0 , ∀j = 1, 2, . . . , n thì PATU, baøi toaùn coù PATU.
+ Neáu coù ∆k < 0 vaø aik ≤ 0 , ∀i = 1, 2, . . . , m thì baøi toaùn khoâng coù PATU.
Böôùc 2
i). Tìm aån vaøo
Choïn ∆k < 0 nhoû nhaát, luùc ñoù
+ xk laø bieán ñöa vaøo laøm aån cô baûn.
+ Coät Ak cuûa ma traän A goïi la coät chuû yeáu.

32


ii). Tìm aån ra
bi
+ bi /aik (chæ chia cho caùc aik > 0) vaø ghi vaøo coät 4 (töùc laø λi = ).
aik
+ Choïn λ0 = min {λi }i=1,2,...,m . Luùc ñoù doøng chöùa soá λ0 vöøa choïn laø doøng chuû
yeáu vaø aån cô baûn naèm treân doøng chuû yeáu laø aån ñöa ra.
Heä soá naèm giao treân doøng chuû yeáu vaø coät chuû yeáu goïi laø heä soá chuû yeáu.
iii). Laäp baûng ñôn hình môùi
+ Coät 2: Thay aån ra baèng aån vaøo, caùc aån coøn laïi giöõa nguyeân (doøng chöùa aån ñöa
vaøo laø doøng chuaån).
+ Coät 1: Thay heä soá phuø hôïp vôùi aån môùi ñöa vaøo (heä soá laáy treân haøm muïc tieâu).
+ Doøng chuaån:= Doøng chuû yeáu chia cho heä soá chuû yeáu.
+ Doøng thöù i baát kyø coøn laïi ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: Laáy heä soá cuûa doøng thöù i
naèm treân coät chuû yeáu, vieát ra giaáy nhaùp vaø ñoåi daáu noù, sau ñoù laàn löôït nhaân vôùi caùc
thaønh phaàn treân doøng chuaån roài coäng vôùi caùc thaønh phaàn treân doøng thöù i (theo ñuùng
thöù töï) cuûa baûng ñôn hình lieàn tröôùc ñoù.
+ Tính caùc heä soá öôùc löôïng ∆j (j = 1, 2 . . . , n) vaø giaù trò cuûa haøm muïc tieâu f
gioáng nhö böôùc 1 treân.
Baây giôø ta thöïc haønh phöông phaùp ñôn hình giaûi moät baøi toaùn quy hoaïch tuyeán cuï
theå.
Ví duï 1.1: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau baèng phöông phaùp ñôn hình

f (x) = 8x1 + 3x2 + 38x3 + 4x4 → max
5x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 600
x1 + 4x2 + 2x3 + 6x4 ≤ 800
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4

HD: Theâm hai aån phuï x5, x6 ≥ 0 vaøo hai raøng buoäc chính ñöa bai toaùn veà daïng chuaån.

f (x) = 8x1 + 3x2 + 38x3 + 4x4 → max
5x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 + x5 = 600
x1 + 4x2 + 2x3 + 6x4 + x6 = 800
xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., 6

33


Ta giaûi baøi toaùn môû roäng (daïng chuaån) baèng phöông phaùp ñôn hình.
Ma traän ñieàu kieän laø  
5 2 3 6 1 0
A= 
1 4 2 6 0 1

⇒ aån x5 , x6 laø hai aån cô baûn cuûa baøi toaùn.
Baûng ñôn hình ñôn xuaát phaùt

x1 x2 x3 x4 x5 x6 λ
8 3 38 4 0 0
0 x5 600 5 2 3 6 1 0
0 x6 800 1 4 2 6 0 1
0 -8 -3 -38 -4 0 0

Caên cöù vaøo baûng ñôn hình xuaát phaùt, ta thaáy caùc heä soá öôùc löôïng coøn aâm neân phöông
aùn xuaát chöa toái öu. Ta seõ laäp baûng ñôn hình 2 nhaèm xaây döïng moät phöông aùn môùi toát
hôn.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 λ
8 3 38 4 0 0
0 x5 600 5 2 (3) 6 1 0 (200)
0 x6 800 1 4 2 6 0 1 400
0 -8 -3 (-38) -4 0 0 x3 vaøo, x5 ra
38 x3 200 5/3 2/3 1 2 1/3 0
0 x6 400 -7/3 8/3 0 2 -2/3 1
7600 166/3 67/3 0 72 38/3 0

Do caùc heä soá öôùc löôïng ∆j ≥ 0 (j = 1, 2, . . . , 6) neân baøi toaùn daïng chuaån coù PATU
laø: x0 = (0, 0, 200, 0, 0, 400) vaø giaù trò toái öu (GTTU) laø: f (x0 ) = 7600.
Töø ñoù, suy ra PATU cuûa baøi toaùn goác laø: x∗ = (0, 0, 200, 0) vaø f (x∗ ) = 7600

34


Ví duï 1.2: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau baèng phöông phaùp ñôn hình

f (x) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 → max
x1 + 3x2 + x4 ≤ 1
−5x2 − 2x4 ≤ 3
x2 + 4x3 + x4 ≤ 3
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4

HD: Baøi toaùn ñeà cho chöa coù daïng chuaån, ta theâm vaøo 3 raøng buoäc chính 3 aån phuï
laàn löôït laø x5, x6 , x7 ≥ 0 ñeå coù daïng chuaån

f (x) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 → max
x1 + 3x2 + x4 + x5 = 1
−5x2 − 2x4 + x6 = 3
x2 + 4x3 + x4 + x7 = 3
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 7

Ma traän ñieàu kieän cuûa baøi toaùn chuaån
 
1 3 0 1 1 0 0
 
 
A =  0 −5 0 −2 0 1 0 
 
0 1 4 1 0 0 1

Caên cöù vaøo ma traän ñieàu kieän, ta coù theå choïn aån cô baûn laø x5, x6, x7 hoaëc x1, x6 , x7
vì hai coät vectô ñieàu kieän A1, A5 trong ma traän A laø gioáng nhau. Vaán ñeà ñaët ra laø ta
neân choïn phöông aùn xuaát phaùt naøo ñeå coù theå tìm ñöôïc PATU cuûa baøi toaùn nhanh nhaát.
Thöôøng thì trong baûng ñôn hình xuaát phaùt, neáu caùc bieán phuï ñöôïc choïn laøm aån cô
baûn thì qua caùc böôùc caûi tieán phöông aùn, caùc aån phuï ñoù seõ ñi ra laøm aån töï do vaø moät
aån chính cuûa baøi toaùn goác seõ vaøo thay theá. Chính vì vaäy, trong baøi toaùn naøy ta choïn
caùc aån x1, x6 , x7 laø aån cô baûn.
Ta coù baûng ñôn hình keát quaû sau:

35


x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 λ
2 4 1 1 0 0 0
2 x1 1 1 3 0 1 1 0 0
0 x6 3 0 -5 0 -2 0 1 0
3
0 x7 3 0 1 (4) 1 0 0 1
4
2 0 2 (-1) 1 2 0 0 x3 vaøo, x7 ra
2 x1 1 1 3 0 1 1 0 0
0 x6 3 0
-5 0 1 10 0
1 1 1
1 x3 3/4 0 1 0 0
4 4 4
11 9 5 1
0 0 2 0
4 4 4 4
Trong baûng ñôn hình thöù 2, caùc heä soá öôùc
löôïng ∆j ≥ 0 (j = 1, 2, . . . , 7) neân baøi
11
toaùn daïng chuaån coù PATU laø: x0 = (1, 0, 3/4, 0, 0, 3, 0) vaø GTTU laø f (x0 ) = .
4
11
Suy ra PATU cuûa baøi toaùn goác laø: x = (1, 0, 3/4, 0, ) vaø f (x ) =
∗ ∗
4

Caùc baïn haõy giaûi baøi toaùn daïng chuaån treân vôùi phöông aùn xuaát phaùt laø x =
(0, 0, 0, 0, 1, 3, 3), töùc aån cô baûn xuaát phaùt laø x5 , x6, x7.

Ví duï 1.3: Moät xí nghieäp coù keá hoaïch saûn xuaát 3 loaïi saûn phaåm kyù hieäu laø A, B, C.
Ñònh möùc hao phí nguyeân lieäu, voán, lao ñoäng (quy ra giôø coâng) vaø lôïi nhuaän thu ñöôïc
tính cho 1 ñôn vò saûn phaåm moãi loaïi cho trong baûng sau:
Saûn phaåm Nguyeân lieäu Voán Lao ñoäng Lôïi nhuaän
(kg) (1.000 ñoàng) (giôø coâng) (1.000 ñoàng)
A 2 1 4 2
B 3 3 8 3
C 3 5 1 5
Möùc huy 150 120 100
ñoäng toái ña
Haõy laäp keá hoaïch saûn xuaát toái öu cho xí nghieäp.
HD: Goïi x1, x2 , x3 ≥ 0 laàn löôït laø soá saûn phaåm A, B, C seõ saûn xuaát. Khi ñoù nguyeân

36


lieäu, voán vaø lao ñoäng (giôø coâng) caàn söû duïng ñeå saûn xuaát soá saûn phaåm ñoù laø:

Nguyeân lieäu: 2x1 + 3x2 + 3x3
Voán: x1 + 3x2 + 5x3
Lao ñoäng: 4x1 + 8x2 + x3

vaø ñeå quaù trình saûn xuaát cuûa Xí nghieäp khoâng bò ñoäng ta coù ñieàu kieän sau:

2x1 + 3x2 + 3x3 ≤ 150
x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 120
4x1 + 8x2 + x3 ≤ 100

Giaû söû raèng saûn phaåm saûn xuaát ra ñöôïc phaân phoái heát, luùc ñoù lôïi nhuaän thu ñöôïc
cuûa Xí nghieäp laø: 2x1 + 3x2 + 5x3 → max
Cuoái cuøng ta coù moâ hình toaùn hoïc cuûa baøi toaùn ñaõ cho laø baøi toaùn quy hoaïch tuyeán
tính (P) sau:
f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 → max
2x1 + 3x2 + 3x3 ≤ 150
x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 120
4x1 + 8x2 + x3 ≤ 100
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3

Baây giôø ta giaûi baøi toaùn (P) ñeå xaùc ñònh moät phöông aùn saûn xuaát toái öu cho Xí nghieäp.
Theâm vaøo 3 raøng buoäc chính cuûa baøi toaùn (P) 3 aån phuï x4 , x5, x6 ≥ 0 thì ta ñöôïc
baøi toaùn daïng chuaån.

f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 → max
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 150
x1 + 3x2 + 5x3 + x5 = 120
4x1 + 8x2 + x3 + x6 = 100
xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 6

Giaûi baøi toaùn baèng phöông phaùp ñôn hình.

37


Ma traän ñieàu kieän  
2 3 3 1 0 0
 
 
A= 1 3 5 0 1 0 
 
4 8 1 0 0 1

⇒ x4, x5, x6 laø caùc aån cô baûn.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 λ
2 3 5 0 0 0
0 x4 150 2 3 3 1 0 0 50
0 x5 120 1 3 (5) 0 1 0 (24)
0 x6 100 4 8 1 0 0 1 100
0 -2 -3 (-5) 0 0 0 x3 vaøo, x5 ra
0 x4 78 7/5 6/5 0 1 -3/5 0
5 x3 24 1/5 3/5 1 0 1/5 0
0 x6 76 19/5 37/5 0 0 -1/5 1
120 -1 0 0 0 1 0

Baûng ñôn hình thöù 2 coù heä soá öôùc löôïng ∆1 = −1 neân phöông aùn chöa toái öu.
Haõy tieáp tuïc laäp baûng ñôn hình thöù 3 ñeå tìm PATU cuûa baøi toaùn ?

ÑS: PATU laø: x0 = (20, 0, 20) vaø GTTU laø f (x0 ) = 140.
Vaäy keá hoaïch saûn xuaát toát nhaát maø Xí nghieäp coù theå thöïc hieän laø: Saûn xuaát 20 ñôn
vò saûn phaåm A, 20 ñôn vò saûn phaåm C, khoâng saûn xuaát saûn phaåm B. Khi ñoù toång lôïi
nhuaän cao nhaát maø Xí nghieäp coù theå thu ñöôïc laø 140.000 ñoàng.

38


Trong phöông phaùp ñôn hình, ta coù chuù yù sau:
Trong baûng ñôn hình cuoái cuøng cuûa lôøi giaûi, neáu coù moät heä soá öôùc löôïng ∆k = 0
cuûa aån töï do xk thì baøi toaùn coù voâ soá phöông aùn toái öu. Trong tröôøng hôïp ñoù, neáu
PATU cuûa baøi toaùn laø x0 thì caùc PATU cuûa baøi toaùn coù daïng

xλ = x0 − λz λ ; 0 ≤ λ ≤ λ0

trong ñoù, λ0 = min {λi } vaø

 z k = (z k , z k , ..., z k )


 1 2 n

z k = −1
 k

 k
 z =a
j ik

Ví duï 1.4: Giaûi baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính sau

f (x) = 2x1 − 5x2 + 4x3 − x4 − 6x5 → max
x1 + 6x2 − 2x4 − 9x5 = 32
2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 30
3x2 + x5 + x6 = 36
x1, x2 , x3, x4, x5 , x6 ≥ 0

Baøi toaùn ñaõ coù daïng chuaån va ma traän ñieàu kieän laø
 
1 6 0 −2 −9 0
 
 
A= 0 2 1 1 3 0 
 
0 3 0 0 1 1

Giaûi baøi toaùn baèng phöông phaùp ñôn hình, ta coù baûng sau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 λ
2 -5 4 -1 6 0
2 x1 32 1 6 0 -2 -9 0
4 x3 30 0 2 1 1 3 0 10
0 x6 36 0 3 0 0 1 1 36
184 0 25 0 1 (0) 0

39


Do caùc heä soá öôùc löôïng ñeàu khoâng aâm neân phöông aùn xuaát laø PATU.
PATU laø: x0 = (32, 0, 30, 0, 0, 36) vaø GTTU laø fmax = 184
Do ∆5 = 0 neân baøi toaùn coù voâ soá PATU. Ta coù

z 5 = (−9, 0, 3, 0, −1, 1)

vaø xaùc ñònh moät PATU khaùc cuûa baøi toaùn nhö sau:

xλ = x0 − λz 5 = (32, 0, 30, 0, 0, 36) − λ(−9, 0, 3, 0, −1, 1)
⇔ xλ = (32 + 9λ, 0, 30 − 3λ, 0, λ, 36 − λ), (0 ≤ λ ≤ 10)

Haõy xaùc ñònh 5 phöông aùn toái öu khaùc cuûa baøi toaùn treân öùng vôùi 5 giaù trò cuûa λ ? so
saùnh giaù trò muïc tieâu 5 PATU ñoù ?
Ví duï 1.5: Cho baøi toaùn quy hoaïch tuyeán tính (P) sau

z = 50 + 8x1 − x2 − 3x3 − x4 − x5 − 6x6 → max
x1 − x3 + x5 − x6 = 15
−2x1 + x4 − 2x6 = 9
−3x1 + x2 + 2x3 + 4x6 = 2
xj ≥ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6

Chöùng toû raèng baøi toaùn (P) khoâng coù PATU ?

Ví duï 1.6: Moät Xí nghieäp coù keá hoaïch saûn xuaát 3 loaïi saûn phaåm S1 , S2 , S3 töø 3
nguyeân lieäu N1 , N2, N3 . Cho bieát nguyeân vaät lieäu Xí nghieäp ñang coù, ñònh möùc söû duïng
caùc loaïi nguyeân vaät lieäu ñeå saûn xuaát ra moät saûn phaåm moãi loaïi vaø tieàn laõi (ngaøn ñoàng)
ñöôïc cho trong baûng sau:

Nguyeân Khoái löôïng Ñònh möùc söû duïng NVL
lieäu NVL hieän coù S1 S2 S3
N1 240 2 3 2
N2 200 1 2 1
N3 400 4 1 2
Tieàn laõi 1 saûn phaåm 10 12 9

40


Haõy laäp moät keá hoaïch saûn xuaát toái öu cho Xí nghieäp ?

ÑS: PATU laø x0 = (80, 0, 40) vaø GTTU laø fmax = 1160 (töùc 1.160.000 ñoàng)


z = 2x1 + 3x2 + 3x3 → max
x1 + x2 + x3 ≤ 12
x1 + x2 + 2x3 ≤ 15
x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 20
x1 , x2, x3 ≥ 0

ÑS: PATU laø x0 = (4, 8, 0) vaø GTTU laø z = 32

B. Giaûi baøi toaùn cöïc tieåu: Ñoái vôùi baøi toaùn cöïc tieåu ta cuõng duøng phöông phaùp ñôn
hình ñeå giaûi töông töï nhö giaûi baøi toaùn cöïc ñaïi nhöng coù 3 keát luaän lieân quan ñeán heä
soá öôùc löôïng coù keát quaû ngöôïc vôùi baøi toaùn cöïc ñaïi nhö sau:
i). Ñieàu kieän toái öu cuûa baøi toaùn: ∆j ≤ 0 , ∀j
ii). Ñieàu kieän baøi toaùn khoâng coù PATU: ∃∆k > 0 & aik ≤ 0; ∀i
iii). AÅn ñöôïc choïn ñöa vaøo laø aån öùng vôùi ∆k > 0 lôùn nhaát.


f (x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + x5 + 3x6 → min
2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 152
4x1 + 2x2 + 3x3 + x5 = 60
3x1 + x3 + x6 = 36
xj ≥ 0; j = 1, 2, . . . , 6

41


HD: Baøi toaùn ñaõ coù daïng chuaån vaø ma traän ñieàu kieän laø
 
2 4 3 1 0 0
 
 
A= 4 2 3 0 1 0 
 
3 0 1 0 0 1

⇒ x4, x5, x6 laø caùc aån cô baûn.
Ta giaûi baøi toaùn baèng phöông phaùp ñôn hình

x1 x2 x3 x4 x5 x6
5 4 5 2 1 3 λ
2 x4 152 2 4 3 1 0 0 76
1 x5 60 4 2 3 0 1 0 15
3 x6 36 (3) 0 1 0 0 1 (12)
472 (12) 6 7 0 0 0 x1 vaøo, x6 ra
2 x4 128 0 4 7/3 1 0 -2/3 32
1 x5 12 0 (2) 5/3 0 1 -4/3 (6)
5 x1 12 1 0 1/3 0 0 1/3
328 0 (6) 3 0 0 -4 x2 vaøo, x5 ra
2 x4 104 0 0 -1 1 -2 2
4 x2 6 0 1 5/6 0 1/2 -2/3
5 x1 12 1 0 1/3 0 0 1/3
292 0 0 -2 0 -3 0

Trong baûng ñôn hình thöù 3 caùc heä soá öôùc löôïng ∆j ≤ 0, (j = 1, 2, . . . , 6) neân baøi
toaùn coù PATU vaø GTTU laø:

x0 = (12, 6, 0, 104, 0, 0) f (x0) = 292

Phöông aùn toái öu ñoù cuûa baøi toaùn coù duy nhaát khoâng ? neáu khoâng, haõy xaùc ñònh
moät vaøi PATU khaùc ?
λ 2λ
HD: xλ = 12 − , 6 + , 0, 104 − 2λ, 0, λ
3 3

42



f (x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 → min
2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 45
4x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 38
3x1 + x3 ≤ 21
xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4

ÑS: PATU laø x0 = (7, 5, 0, 11), f(x0 ) = 77

f (x) = −2x1 + x2 + x4 → min
x1 + x2 − x3 ≤ 15
x1 + x2 + x3 + x4 = 27
2x1 − x2 − x3 ≤ 18
xj ≥ 0; j = 1, 2, 3, 4

ÑS: PATU laø x0 = (15, 0, 12, 0), f(x0 ) = −30

5.2. Phöông phaùp ñôn hình môû roäng
Phöông phaùp ñôn hình môû roäng laø phöông phaùp giaûi caùc baøi toaùn quy hoaïch tuyeán
tính phaûi laäp baøi toaùn môû roäng (coù aån giaû). Phöông phaùp naøy coù 2 böôùc cô baûn sau:
Böôùc 1: Giaûi baøi toaùn môû roäng
Baøi toaùn môû roäng laø baøi toaùn daïng chuaån neân ta giaûi baèng phöông phaùp ñôn hình.
Caùc böôùc thöïc hieän cuûa phöông phaùp ñôn hình ñeå giaûi baøi toaùn môû roäng cuõng gioáng
nhö khi thöïc hieän giaûi baøi toaùn daïng chuaån thöôøng (khoâng coù aån giaû) nhöng coù moät soá
löu yù sau:
+ Heä soá öôùc löôïng cuûa caùc aån giaû coù daïng: ∆j = aM + b (M laø moät soá döông raát
lôùn), vì theá doøng ghi trò soá caùc heä soá öôùc löôïng seõ chia thaønh doøng keùp, treân ñoù doøng
döôùi ghi heä soá cuûa M vaø doøng treân ghi soá haïng töï do coøn laïi.
+ Söï so saùnh caùc heä soá öôùc löôïng phuï thuoäc vaøo doøng döôùi. Khi doøng döôùi khoâng
theå keát luaän ñöôïc thì môùi phuï thuoäc vaøo doøng treân.

43


+ Khi laäp baûng ñôn hình ñeå giaûi baøi toaùn môû roäng ta khoâng caàn ñöa aån giaû vaøo baûng
(doøng treân cuøng cuûa baûng). Moät khi aån giaû ñöôïc ñöa ra khoûi heä aån cô baûn thì khoâng
ñöôïc ñöa trôû laïi.
Böôùc 2: Tìm lôøi giaû cuûa baøi toaùn goác
Khi ñaõ tìm ñöôïc lôøi giaûi cuûa baøi toaùn môû roäng thì coù theå suy ra lôøi giaûi cuûa baøi toaùn
goác (xem muïc 4.3 cuûa §4)


f (x) = −3x1 − 3x2 + 8x3 + 6x4 → min
3
3x1 + x2 + x3 + 3x4 = 57
2
−2x1 + x2 − 2x3 + 2x4 = 18
3x1 − 3x2 + 5x3 − 4x4 ≥ −49
xj ≥ 0 , j = 1, 2, 3, 4

HD: Theâm vaøo raøng buoäc chính thöù ba moät aån x5 vaø ñoåi daáu 2 veá ñeå ñöa baøi toaùn
veà daïng chính taéc, nhöng baøi toaùn chöa coù daïng chuaån (chöa coù phöông aùn xuaát phaùt).
Do ñoù ta theâm 2 aån giaû x6 , x7 vaøo raøng buoäc thöù 1 vaø thöù 2 ñeå baøi toaùn coù daïng chuaån.

f (x) = −3x1 − 3x2 + 8x3 + 6x4 → min
3x1 + 3 x2 + x3 + 3x4 + x6 = 57
2

−2x1 + x2 − 2x3 + 2x4 + x7 = 18
−3x1 + 3x2 − 5x3 + 4x4 + x5 = 49
xj ≥ 0 , j = 1, 2, . . . , 7

Ta giaûi baøi toaùn môû roäng baèng phöông phaùp ñôn hình

44

Qhtt bg

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (16)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (8)

Ähnlich wie Qhtt bg

Ähnlich wie Qhtt bg (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

Qhtt bg