1. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Soạn: Lưu Hải Vĩnh – GV Toán Trường THPT NG
I/ Lý thuyết
1/Tọa độ: Hệ tọa độ Oxy hay (O, ,i j
r r
)
* Tọa độ của điểm; véc tơ: M(x;y) ( ; ) . .OM x y OM x i y j⇔ = ⇔ = +
uuuur uuuur r r
* Độ dài của một véc tơ; đoạn thẳng:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A B AAB AB x x y y x x y y= = − + − = − + −
uuur
* Hai véc tơ bằng nhau:
1 2
1 1 2 2
1 2
( ; ) ( ; )
x x
a x y b x y
y y
=
= ⇔ 
=
r r
* Các phép toán về véc tơ: Cho 1 1 2 2( ; ), ( ; )a x y b x y
r r
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
/ ( ; ) / ( ; )
/ . ( . ; . ) / . . .
.
/ cung phuong ; 0 :
.
/ . . 0
. . .
/ os( ; )
. .
a b x x y y a b x x y y
k a k x k y a b x x y y
x t x
a b b t
y t y
a b x x y y
a b x x y y
c a b
a b x x y y
+ + = + + + − = − −
+ = + = +
=
+ ≠ ⇔ ∃ ∈ 
=
+ ⊥ ⇔ + =
+
+ = =
+ +
r r r r
r r r
r r r r
¡
r r
r r
r r
r r
* Các công thức liên quan đến tọa độ điểm:
+/ M là trung điểm AB
2
0
2
A B
M
A B
M
x x
x
MA MB
y y
y
+
=
⇔ + = ⇔ 
+ =

uuur uuur r
(hay với mọi điểm O;
1
( )
2
OM OA OB= +
uuuur uuur uuur
)
+/ M chia đoạn AB theo tỉ số k ( A;B phân biệt; k 1≠ ) .MA k MB⇔ =
uuur uuur
.
1
.
1
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y
k
−
= −
⇔ 
− =
 −
( hay với mọi điểm O;
1
( . )
1
OM OA k OB
k
= −
−
uuuur uuur uuur
)
+/ M là trọng tâm tam giác ABC
3
0
3
A B C
M
A B C
M
x x x
x
MA MB MC
y y y
y
+ +
=
⇔ + + = ⇔ 
+ + =

uuur uuur uuuur r
(hay với mọi điểm O;
1
( )
3
OM OA OB OC= + +
uuuur uuur uuur uuur
)
* Một số tính chất của tam giác ABC:
+/ Tam giác ABC vuông tại C 2 2 2
. 0 (hay .....)CACB CA CB AB⇔ = ⇔ + = ⇔
uuur uuur
+/ Tam giác ABC cân tại B .......BA BC⇔ = ⇔
uuur uuur

2. +/ Tam giác ABC vuông cân tại A
. 0AB AC
AB AC
 =
⇔ 
=
uuur uuur
uuur uuur
+ Tam giác ABC đều BA BC AC⇔ = =
uuur uuur uuur
2/ Liên hệ tọa độ và bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Với hai véc tơ ( ; )u a b
r
và ( ; )v x y
r
; ta có 2 2 2 2
. ax+by
os( ; )
. .
u v
c u v
u v a b x y
= =
+ +
r r
r r
r r
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
ax+by
Do os( ; ) 1 1 ax+by .
.
(ax+by) ( ).( )
c u v a b x y
a b x y
a b x y
≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ + +
+ +
⇒ ≤ + +
r r
Dấu bằng xảy ra os(u; ) 1c v = ±
r r
;u v⇔
r r
cùng phương ax=by⇔
3/ Đường thẳng
a/ Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và nhận véc tơ 2 2
( ; ) ( 0)u a b a b+ ≠
r
làm véc tơ chỉ phương có
phương trình tham số là :
0
0
( )
x x at
t R
y y bt
= +
∈
= +
* Nếu 0a ≠ thì hệ số góc của đường thẳng là k = b/a.
b/ Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và nhận véc tơ ( ; ) ( ; 0)u a b a b ≠
r
làm véc tơ chỉ phương có
phương trình chính tắc là : 0 0x x y y
a b
− −
= .
c/ Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k ; phương trình là : y = k(x-x0) + y0
d/ Đường thẳng đi qua M0(x0;y0) và nhận véc tơ ( ; ) ( ; 0)n a b a b ≠
r
làm véc tơ pháp tuyến có
phương trình tổng quát là : a(x-x0) + b(y-y0) =0
e/ Đường thẳng đi qua A(x1;y1) và B(x2 ;y2) có phương trình là :
• Nếu x1 = x2 : Phương trình là x = x1
• Nếu y1 = y2 : Phương trình là y = y1
• Nếu
1 2
1 2
x x
y y
≠

≠
: Phương trình là
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
− −
=
− −
f/ Chú ý :
• Nếu 2 2
( ; ) ( 0)u a b a b+ ≠
r
là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì k. ( ; ) 0u ka kb k= ∀ ≠
r
cũng là một
véc tơ chỉ phương của (d).
• Nếu 2 2
( ; ) ( 0)n a b a b+ ≠
r
là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì k. ( ; ) 0n ka kb k= ∀ ≠
r
cũng là một
véc tơ chỉ phương của (d).
• Nếu 2 2
( ; ) ( 0)u a b a b+ ≠
r
là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì ( ; )n b a= −
r
là một véc tơ pháp
tuyến của (d).
4/ Góc giữa hai đường thẳng
Giả sử α là góc giữa hai đường thẳng có véc tơ pháp tuyến theo thứ tự là 1 2;n n
ur uur
1 2
1 2
1 2
n .
os = cos(n ; )
n . n
n
c nα⇒ =
uur uur
uur uur
uur uur (có thể tính theo véc tơ chỉ phương)

3. 5/ Khoảng cách từ điểm M đến (d) : ax + by +c = 0
M
2 2
ax
( ;( )) Mby c
d M d
a b
+ +
=
+
6/ Đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng
Cho (d1) : a1x + b1y +c1 = 0 và (d2) : a2x + b2y +c2 = 0
Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi (d1) ; (d2) là :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
=
+ +
II/ Bài tập
Bài 1 : A-2010
Cho tam giác ABC cân tại A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm canh AB và AC có phương trình
x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ B và C biết E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua C của tam giác đã cho.
Bài 2: B-2010
Cho tam giác ABC vuông tại A; đỉnh C(-4;1); phân giác trong góc A có phương trình
x + y -5 = 0. Viết phương trình BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ
dương.
Bài 3: D-2010
• Câu VIa: Cho tam giác ABC; A(3;-7); trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0).
Xác định tọa độ C biết hoành độ C dương.
• Câu VIb: Cho A(0;2); ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
∆ . Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
Bài 4: D-2009
• Câu VIa: Cho tam giác ABC; M(2;0) là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường
cao đi qua A lần lượt có phương trình là: 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0. Viết phương trình AC.
• Câu VIb: Cho đường tròn (C): (x-1)2
+y2
=1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M
thuộc (C) sao cho · 0
30IMO = .
Bài 5 : B-2009
• Câu VIb: Cho tam giác ABC cân tại A(-1;4). Các đỉnh B;C thuộc ∆ : x-y-4=0. Xác định tọa
độ B ; C biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Bài 6: A-2009
• Câu VIa: Cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Điểm
M(1;5) thuộc AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc ∆ : x+y-5=0. Viết phương trình AB.
• Câu VIb: Cho đường tròn (C): x2
+y2
+4x+4y+6 =0 và ∆ :x+my-2m+3=0. Gọi I là tâm của
(C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho diện tích tam giác IAB max.
Bài 7: D-2008
Trong Oxy; cho (P) có phương trình 2
16y x= ; A(1;4). Hai điểm phân biệt B; C không trùng với A
di động trên (P) sao cho 0
90BAC∠ = . CMR đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 8: B-2008
Trong Oxy; cho tam giác ABC; hình chiếu vuông góc của C lên AB là H(-1;-1); đường phân giác
trong của góc A: x-y+2=0; đường cao kẻ từ B: 4x+3y-1=0; Tìm tọa độ C?
Bài 9: B-2007
Cho A(2;2); (d1): x+y-2=0; (d2): x+y-8=0. Tìm tọa độ B thuộc (d1) ; C thuộc (d2) sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A.

4. Bài 10: B-2006
Cho đường tròn (C): x2
+y2
-2x-6y+6 =0 và M(-3 ;1). Gọi T1 ; T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến
kẻ từ M đến (C). Viết phương trình T1T2.
Bài 11: A-2006
Cho (d1) : x+y+3=0 ; (d2) : x-y-4=0 ; (d3) : x-2y=0.
Tìm tọa độ M thuộc (d3) sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2.
Bài 12: A-2005
Cho (d1) : x-y=0 ; (d2) : 2x+y-1=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d1 ; C
thuộc d2 và B ; D thuộc trục hoành.
Bài 13: D-2004
Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-1;0); B(4;0); C(0;m). Tìm tọa độ trọng tâm G theo m; m 0≠ .
Tìm m để tam giác GAB vuông tại G.
Bài 14: B-2004
Cho A(1;1); B(4;-3). Tìm C thuộc đương thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6.
Bài 15: A-2004
Cho A(0;2); B(- 3 ;-1). Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
Bài 16: B-2003
Cho tam giác ABC có AB=AC; · 0
90BAC = . Điểm M(1;-1) là trung điểm BC và G(
2
3
;0) là trọng tâm
tam giác ABC. Tìm tọa độ A;B;C.
Bài 17: B-2002
Trong Oxy; cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0); đường thẳng AB có pt: x-2y+2 = 0 và AB
=2AD. Tìm tọa độ A; B; C; D biết hoành độ A âm.
Bài 18: 2002
Trong Oxy; cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng BC có phương trình: 3 3 0x y− − = ; A
và B thuộc Ox. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác.
Bài 19: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-5;6); B(-4;-1); C(4;3).
a/ Tìm toạ độ D để ABCD là hình bình hành.
b/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 20: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(0;2); B(-2;-2); C(4;-2). H là chân đường cao hạ từ B; M
và N lần lượt là trung điểm AB và BC. Lập phương trình đường tròn qua H; M; N.
Bài 21: Trong Oxy; cho đường tròn (C): 2 2
( 2) ( 3) 2x y− + − = ; đường thẳng (d): x-y-2=0.
Tìm M thuộc (C) để khoảng cách từ M đến (d):
a/ max? b/ min?
Bài 22: Trong Oxy; cho tam giác ABC; C(-2;3). Đường cao kẻ từ A có phương trình: 3x-2y-25=0;
đường phân giác trong góc B có phương trình: x-y=0. Lập phương trình AC?
Bài 23: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0; M(2;3) thộc BC;
N(1;1) thuộc AB. Viết phương trình các cạnh còn lại.
Bài 24: Trong Oxy; cho parabol (P): 2
4y x= . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A
trùng đỉnh O; hai điểm B; C thuộc (P); trực tâm trùng với tiêu điểm của (P).
Bài 25: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(5;2); đường trung trực của BC có phương trình x+y-6=0;
đường trung tuyến CM có phương trình 2x-y+3=0. Tìm tọa độ A; B; C.
Bài 26: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A thuộc (d): x-4y-2=0; BC song song với (d); đường cao
BH có phương trình: x+y+3=0; M(1;1) là trung điểm của AC. Tìm tọa độ A; B; C.

5. Bài 27: Trong Oxy; Lập phương trình qua A(1;1) cách đều B(-2;3) và C(0;4).
Bài 28: Trong Oxy; cho tam giác ABC; B(1;0); hai đường cao có phương trình lần lượt là: x-
2y+1=0; 3x+y-1=0. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 29: Trong Oxy; cho tam giác ABC cân tại A; G(
4 1
;
3 3
) là trọng tâm; đường thẳng chứa cạnh BC
có phương trình là: x-2y-4=0; đường BG có pt: 7x-4y-8=0. Tìm tọa độ A; B; C.
Bài 30: Lập phương trình đường thẳng qua I(-2;0); cắt (d1): 2x-y+5=0 và cắt (d2): x+y-3=0 lần lượt
tại A và B sao cho: 2IA IB=
uur uur
Bài 31: Cho đường thẳng (d1): x+y+5=0 và (d2): x+2y-7=0. A(2;3); Tìm B thuộc (d1); C thuộc (d2)
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).
Bài 32: Llập phương trình đường thẳng qua M(
5
;2
2
); cắt (d1): x-2y=0 và cắt (d2): 2x-y=0 lần lượt
tại A và B sao cho: M là trung điểm AB.
Bài 33: Trong Oxy; cho đường thẳng (d): 2x-y-5=0 và A(1;2); B(4;1). Tìm M thuộc (d) sao cho
MA MB− max.
Bài 34: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0; M(2;3) thuộc BC;
N(1;1) thuộc AB. Lập phương trình AD.
Bài 35: Trong Oxy; lập phương trình (d1); (d2) lần lượt đi qua A(4;0); B(0;5) và nhận (d): 2x-2y-
1=0 là phân giác.
Bài 36: Cho tam giác ABC cân tại A; đường thẳng AB: 2x-y+5=0; đường thẳng AC:3x+6y-1=0;
M(2;-1) thuộc BC. Lập phương trình cạnh BC.
Bài 37: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-1;2); B(2;0); C(-3;1).
a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b/ Tìm M thuộc BC sao cho
1
3
AMB ABCS S∆ ∆= .
Bài 38: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0); B(2;0); giao điểm hai đường
chéo I thuộc đường thẳng y =x. Tìm tọa độ C; D?
Bài 39: Cho (d1): x-2y=0; (d2): 2x-y=0; M(
5
;2
2
). Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt (d1);
(d2) tại A và B sao cho:
a/ M là trung điểm AB b/ MB=2MA.
Bài 40: Cho hình thoi có một đường chéo: x+2y-7=0; một cạnh: x+3y-3=0; một đỉnh (0;1). Lập
phương trình các cạnh.
Bài 41: Cho tam giác ABC; A(-6;3); B(-4;3); C(9;2).
a/ Lập phương trình đường phân giác trong góc A.
b/ Tìm M trên AB; điểm N trên AC sao cho MN//BC và AM=CN.
Bài 42: Cho tam giác ABC; A(-6;3); B(-4;3); C(9;2). Tìm P thuộc đường phân giác trong góc A sao
cho ABPC là hình thang.
Bài 43: Cho tam giác ABC; A(-2;3); trực tâm H trùng với trung điểm của đường cao AK. Đường
cao BM có hệ số góc bằng 2. Tìm tọa độ B; C.
Bài 44: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1); AB: 4x+y+15=0; AC: 2x+5y+3=0. Tìm trên
đường cao AH của tam giác điểm M sao cho tam giác BMC vuông tại M.
Bài 45: Cho A(1;0); B(3;-1); (d):x-2y-1=0. Tìm C thuộc (d) sao cho 6ABCS∆ = .

6. Bài 46: Cho tam giác ABC; cạnh AB: y=2x; cạnh AC: y=
1 1
4 4
x− + ; trọng tâm G(
8 7
;
3 3
). Tính diện
tích tam giác ABC.
Bài 47: Tìm toạ độ điểm M trên (d): x-2y-2=0 sao cho 2 2
2MA MB+ nhỏ nhất; A(0;1); B(3;4).
Bài 48: Cho A(2;-1); B(1;-2); trọng tâm G thuộc (d):x+y-2=0. Tìm C biết diện tích tam giác ABC
bằng 3/2.
Bài 49: Tìm M nằm phía trên Ox sao cho góc MAB=300
; góc AMB = 900
; A(-2;0); B(2;0).
Bài 50: Cho tam giác ABC vuông tại A; A(-1;4); B(1;-4); M(
1
2;
2
) thuộc BC. Tìm tọa độ C?

7. Bài 46: Cho tam giác ABC; cạnh AB: y=2x; cạnh AC: y=
1 1
4 4
x− + ; trọng tâm G(
8 7
;
3 3
). Tính diện
tích tam giác ABC.
Bài 47: Tìm toạ độ điểm M trên (d): x-2y-2=0 sao cho 2 2
2MA MB+ nhỏ nhất; A(0;1); B(3;4).
Bài 48: Cho A(2;-1); B(1;-2); trọng tâm G thuộc (d):x+y-2=0. Tìm C biết diện tích tam giác ABC
bằng 3/2.
Bài 49: Tìm M nằm phía trên Ox sao cho góc MAB=300
; góc AMB = 900
; A(-2;0); B(2;0).
Bài 50: Cho tam giác ABC vuông tại A; A(-1;4); B(1;-4); M(
1
2;
2
) thuộc BC. Tìm tọa độ C?