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Universidad Nacional Federico Villarreal                                    MATEMATICA    Facultad de Educación  Matemátic...
INTEGRAL DEFINIDA                                       UNFV – BASE 2009                ∫ �|𝒙| 𝟑 𝒆−𝒙 + 𝒙 �𝟐|𝒙 − 𝟑| + 𝟐�� 𝒅...
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INTEGRAL DEFINIDA                                  UNFV – BASE 2009    13.        Resolver:                      π        ...
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INTEGRAL DEFINIDA                                       UNFV – BASE 2009    15.             Resolver.                     ...
INTEGRAL DEFINIDA                                                                          UNFV – BASE 2009    como:      ...
INTEGRAL DEFINIDA                                     UNFV – BASE 2009        como        I=A + B                         ...
INTEGRAL DEFINIDA                                            UNFV – BASE 2009    17.      Resolver con Beta o Gamma       ...
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INTEGRAL DEFINIDA                                  UNFV – BASE 2009                       10   1                      ...
INTEGRAL DEFINIDA
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  1. 1. Universidad Nacional Federico Villarreal MATEMATICA Facultad de Educación Matemática - Física PURACALCULO INTEGRAL Toribio Córdova C. TEMA: INTEGRAL DEFINIDA
  2. 2. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 ∫ �|𝒙| 𝟑 𝒆−𝒙 + 𝒙 �𝟐|𝒙 − 𝟑| + 𝟐�� 𝒅𝒙 𝟐 𝟒 𝟏 −𝟏 1. Resolución 1 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = |𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + � 2 4 0 1 1 ⇒ � 𝑓(𝑥) + � 𝑓(𝑥) + � 𝑓(𝑥) −1 0 2 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼1 = ∫−1 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥 0 4 1 • −1 ≤ 𝑥 ≤0 −1 ≤ 𝑥 ≤ 0 − 1 − 3 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3 ⇒ |𝑥| = −𝑥 − 4 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3 ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥 0 1 ⇒ 𝐼1 = � �(−𝑥)3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥 2 4 −1 𝐼1 = ∫−1 �−𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � 2 − 2𝑥�� 𝑑𝑥 0 4 13 −1 ≤ 𝑥 ≤0 0 ≤ −2𝑥 ≤2 13 13 13 ≤ −2 𝑥 ≤2+ 2 2 2 13 13 17 ≤ −2 𝑥 ≤ 2 2 2 𝟏𝟑 ⇒ � − 𝟐𝒙� = 𝟔 𝟐Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 2
  3. 3. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 0 0 0 ⇒ 𝐼1 = � �−𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥(6)� 𝑑𝑥 = − � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 + � 𝑥𝑑𝑥 4 4 −1 −1 −1 A 0 𝐴 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 4 −1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢 = −1 𝑥=0 ⟶ 𝑢=0 0 1 −𝑥 4 1 0 𝑢 1 𝑢 ⇒ 𝐴=� 𝑒 (−4𝑥 3 𝑑𝑥) = � 𝑒 (𝑑𝑢) = 𝑒 −1 −4 −4 −1 −4 0 -1 1 1 𝐴 = − (𝑒 0 − 𝑒 −1 ) = − (1 − 𝑒 −1 ) 4 4 1 𝑥2 1 ⇒ 𝐼1 = − �− (1 − 𝑒 −1 )� + 6 = (1 − 𝑒 −1 ) + 3(02 − (−1)2 ) 4 2 4 0 -1 1 11 𝑒 −1 𝐼1 = (1 − 𝑒 −1 ) + 3(−1) = − − 4 4 4 𝟏𝟏 𝒆−𝟏 ⇒ 𝑰𝟏 = − − 𝟒 𝟒 𝐼2 = ∫0 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥 1 4 1 • 0≤ 𝑥≤1 0≤ 𝑥 ≤1 ⇒ |𝑥| = 𝑥 − 3 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −2 ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 3
  4. 4. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 0 1 ⇒ 𝐼2 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥 2 4 −1 0 13 𝐼1 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � − 2𝑥�� 𝑑𝑥 2 4 −1 0≤ 𝑥 ≤1 −2 ≤ −2𝑥 ≤0 13 13 13 −2≤ −2 𝑥 ≤ 2 2 2 9 13 13 ≤ −2 𝑥 ≤ 2 2 2 𝟏𝟑 ⇒� − 𝟐𝒙� = 𝟒 𝟐 1 1 1 ⇒ 𝐼2 = � �𝑥 𝑒 3 −𝑥 4 + 𝑥(4)� 𝑑𝑥 = � 𝑥 𝑒 3 −𝑥 4 𝑑𝑥 + 4 � 𝑥𝑑𝑥 0 0 0 B 1 𝐵 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 4 0 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=0 ⟶ 𝑢=0 𝑥=1 ⟶ 𝑢=1 −1 1 −𝑥 4 1 0 𝑢 1 𝑢 ⇒ 𝐵=� − 𝑒 (−4𝑥 𝑑𝑥) = � 𝑒 (𝑑𝑢) = 3 𝑒 4 4 −1 4 0 0 -1 1 0 1 𝐵= (𝑒 − 𝑒 −1 ) = (1 − 𝑒 −1 ) 4 4 1 𝑥2 1 ⇒ 𝐼2 = (1 − 𝑒 −1 ) + 4 = (1 − 𝑒 −1 ) + 2(12 − 02 ) 4 2 4 1 0Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 4
  5. 5. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 1 −1 9 𝑒 −1 𝐼2 = − 𝑒 +2 = − 4 4 4 4 9 𝑒 −1 ⇒ 𝑰𝟐 = − 4 4 𝐼3 = ∫1 �|𝑥|3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2|𝑥 − 3| + 2�� 𝑑𝑥 2 4 1 • 1≤ 𝑥≤2 1≤ 𝑥 ≤2 ⇒ |𝑥| = 𝑥 1−3 ≤ 𝑥−3≤2−3 −2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −1 ⇒ |𝑥 − 3| = 3 − 𝑥 2 1 ⇒ 𝐼3 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 �2(3 − 𝑥) + �� 𝑑𝑥 2 4 1 2 13 𝐼3 = � �𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 𝑥 � − 2𝑥�� 𝑑𝑥 2 4 1 1≤ 𝑥 ≤2 −4 ≤ −2𝑥 ≤ −2 13 13 13 −4≤ −2 𝑥 ≤ −2 2 2 2 5 13 9 ≤ −2 𝑥 ≤ 2 2 4 𝟏𝟑 ⇒� − 𝟐𝒙� = 𝟐 𝟐 2 2 2 ⇒ 𝐼3 = � �𝑥 𝑒 3 −𝑥 4 + 𝑥(2)� 𝑑𝑥 = � 𝑥 𝑒 3 −𝑥 4 𝑑𝑥 + 2 � 𝑥𝑑𝑥 1 1 1 CToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 5
  6. 6. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 2 𝑐 = � 𝑥 3 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 4 1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = −𝑥 4 ⟶ 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢 = −1 𝑥=2 ⟶ 𝑢 = −16 2 1 −𝑥 4 1 −16 𝑢 ⇒ 𝐶=� − 𝑒 (−4𝑥 3 𝑑𝑥) = − � 𝑒 (𝑑𝑢) 1 4 4 −1 1 −1 𝑢 1 𝑢 1 −1 𝐶 = � 𝑒 (𝑑𝑢) = 𝑒 = (𝑒 − 𝑒 −16 ) 4 −16 4 4 -1 -16 1 𝑥2 1 −1 ⇒ 𝐼3 = (𝑒 −1 − 𝑒 −16 ) + 2 = (𝑒 − 𝑒 −16 ) + 2(22 − 12 ) 4 2 4 2 1 −1 1 𝐼3 = (𝑒 − 𝑒 −16 ) + 3 4 𝑒 −1 𝑒 −16 ⇒ 𝑰𝟑 = − +3 4 4 11 𝑒 −1 9 𝑒 −1 𝑒 −1 𝑒 −16 ⇒ 𝐼 = �− − �+� − �+� − + 3� 4 4 4 4 4 4 ∴ 𝑰 = − (𝒆−𝟏 + 𝒆−𝟏𝟔 ) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒 RptaToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 6
  7. 7. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝑰 = ∫ �𝒔𝒆𝒏 � 𝝅𝒙� − 𝒔𝒆𝒏�𝒙 𝟐 � � 𝒅𝒙 √𝟐 √𝟐 𝝅 −𝟏 𝟐 𝟐 2. Resolución −1 ≤ 𝑥 ≤ √2 0 ≤ 𝑥2 ≤ 2 ⇒ ⟦ 𝑥2 ⟧ = 0 √2 √2 𝜋 ⇒ 𝐼=� �𝑠𝑒𝑛 � 𝜋𝑥� − 𝑠𝑒𝑛0. � 𝑑𝑥 −1 2 2 √2 √2 ⇒ 𝐼=� 𝑠𝑒𝑛 � 𝜋𝑥� 𝑑𝑥 −1 2 √2 √2 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝜋𝑥 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝜋𝑑𝑥 2 2 𝑆𝑖 𝑥 = √2 ⟶ 𝑢= 𝜋 √2 𝑥 = −1 ⟶ 𝑢= 𝜋 2 2 √2 √2 √2 2 𝜋 ⇒ 𝐼= � 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 � 𝜋𝑑𝑥� == � 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 √2𝜋 −1 2 2 √2𝜋 −√2𝜋 2 2 ⇒ 𝐼=− 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝜋 √2𝜋 √2π − 2 2 √2𝜋 2 √2𝜋 ⇒ 𝐼=− (𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 )=− (−1 − 𝑐𝑜𝑠 ) √2𝜋 2 √2𝜋 2 ∴ 𝑰= (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 ) √𝟐 √𝟐𝝅 𝝅 𝟐 RptaToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 7
  8. 8. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝟑� 𝑰= ∫ � 𝒚𝟐 � 𝒅𝒚 𝟐 𝟒−𝒚 𝟐 𝟐 √𝟐 3. Resolución 4 − 𝑦2 3� 2 2 𝐼=� � 2 � 𝑑𝑦 √2 𝑦 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑐𝑎: 𝑝 � 𝑥 (𝑎 + 𝑏𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑚 𝑛 3 𝑚 = −2 , 𝑎 = 4 , 𝑏 = −1 , 𝑛 = 2 , 𝑝 = 2 𝑚+1 −2 + 1 3 + 𝑝= + =1 ∈ℤ 𝑛 2 2 𝑡2 𝑦2 = 4 − 𝑦2 𝑡 2 = 4𝑦 −2 − 1 → 2𝑡𝑑𝑡 = −8𝑦 −3 𝑑𝑦 𝑡𝑑𝑡 = −4𝑦 −3 𝑑𝑦 𝑡𝑑𝑡 ⇒ 𝐼 = � 𝑦 −2 (𝑡 2 𝑦 2 ) 2� � 3� −4𝑦 −3 1 𝑦 −2 𝑡 3 𝑦 3 1 1 ⇒ 𝐼=− � . 𝑡 == − � 𝑦 4 𝑡 4 𝑑𝑡 = − �(𝑦 2 )2 𝑡 4 𝑑𝑡 4 𝑦 −3 4 4 1 4 2 1 16 𝑡4 ⇒ 𝐼 = − �� 2 � 𝑡 𝑑𝑡 == − � 2 4 𝑡 𝑑𝑡 = −4 � 2 4 𝑑𝑡 4 𝑡 +1 4 (𝑡 + 1)2 (𝑡 + 1)2 𝑆𝑒𝑎 ∶ 1 + 𝑡𝑔2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑡 = 𝑡𝑔𝜃 ⟶ 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑡𝑔4 𝜃 𝑡𝑔4 𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 � 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 = −4 � 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 8
  9. 9. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝑡𝑔2 𝜃(𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1) ⟹ 𝐼 = −4 � 𝑑𝜃 − 4 � 𝑡𝑔2 𝜃(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔2 𝜃 − 𝑡𝑔2 𝜃. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)𝑑𝜃 = −4 � �𝑡𝑔2 𝜃 − . 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃� 𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)𝑑𝜃 = −4 �� 𝑡𝑔2 𝜃𝑑𝜃 − � 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑑𝜃� 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 �(𝑡𝑔𝜃 − 𝜃) − � − �� = −4 �𝑡𝑔𝜃 − 𝜃 − + � 2 4 2 4 3𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡𝑔𝜃 − + � 2 4 � 𝑡2 + 1 t 1 3 2 𝑡 1 ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + . . � 2 4 √𝑡 2 + 1 √𝑡 2 + 1 3 𝑡 ⟹ 𝐼 = −4 �𝑡 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + � 2 2(𝑡 2 + 1) 𝑃𝑒𝑟𝑜: 𝑡2 𝑦2 = 4 − 𝑦2 4 𝑡2 = −1 𝑦2 4 − 𝑦2 𝑡2 = 𝑦2 �𝟒 − 𝒚 𝟐 ⟹ 𝒕= 𝒚 �4−𝑦 2 �4 − 𝑦2 3 �4 − 𝑦2 1 ⟹ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + � 𝑦 𝑦 2 𝑦 2 4 𝑦2Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 9
  10. 10. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 �4 − 𝑦 2 3 �4 − 𝑦 2 𝑦�4 − 𝑦 2 ⇒ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + � 𝑦 2 𝑦 8 0 3 0 √2 3 √2 √2. √2 ⇒ 𝐼 = −4 � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 � � + 2(0)� − � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + � 𝑦 2 𝑦 √2 2 √2 8 3 𝜋 1 5 3𝜋 ⇒ 𝐼 = −4 �0 − (1 − . + )� = 4 � − � 2 4 4 4 8 ∴ 𝑰= 𝟓− 𝟑𝝅 𝟐 Rpta 𝑰 = ∫𝟎 𝟑 𝒅𝒙 �|𝒙−𝟏| 4. 𝟑 Resolución 3 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 𝐼=� =� +� +� �|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1| �|𝑥 − 1| 3 3 3 3 0 0 1 2 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼1 = ∫ 1 𝑑𝑥 0 �|𝑥−1| 3 • 0≤ 𝑥≤1 −1 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 0 ⟹ |𝑥 − 1| = 1 − 𝑥 1 𝑑𝑥 ⟹ 𝐼1= � √1 − 𝑥 3 0 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 1 − 𝑥 ⟶ 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢=0 𝑥=0 ⟶ 𝑢=1Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 10
  11. 11. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 0 −𝑑𝑢 1 −𝑑𝑢 1 3 2 ⟹ 𝐼1= � =� = � 𝑢 3 𝑑𝑢 = 𝑢3 −1 √𝑢 √𝑢 2 1 3 3 1 0 0 3 0 ⟹ 𝐼1= (1 − 0) 2 3 ⇒ 𝑰𝟏 = 2 𝐼2 = ∫1 2 𝑑𝑥 �|𝑥−1| • 3 1≤ 𝑥≤2 0≤ 𝑥−1≤1 ⟹ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1 2 𝑑𝑥 ⟹ 𝐼2= � √𝑥 − 1 3 1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 − 1 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=1 ⟶ 𝑢=0 𝑥=2 ⟶ 𝑢=1 1 𝑑𝑢 1 3 2 ⟹ 𝐼2= � = � 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢3 −1 √𝑢 2 3 1 3 0 0 3 0 ⟹ 𝐼2= (1 − 0) 2 3 ⇒ 𝑰𝟐 = 2Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 11
  12. 12. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝐼3 = ∫2 3 𝑑𝑥 �|𝑥−1| • 3 2≤ 𝑥≤3 1≤ 𝑥−1≤2 ⟹ |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1 2 𝑑𝑥 ⟹ 𝐼3= � √𝑥 − 1 3 1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 − 1 ⟶ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑥=3 ⟶ 𝑢=2 𝑥=2 ⟶ 𝑢=1 2 𝑑𝑢 2 3 2 ⟹ 𝐼3= � = � 𝑢 3 𝑑𝑢 = 𝑢3 −1 √𝑢 3 2 2 1 1 1 3 2 ⟹ 𝐼3= (23 − 1) 2 3 3 ⇒ 𝑰𝟑 = ( √4 − 1) 2 𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆: 3 3 3√4 3 3 𝐼= + + − 2 2 2 2 ∴ 𝑰 = �𝟏 + √ 𝟒� 𝟑 𝟑 𝟐 RptaToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 12
  13. 13. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 a𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝑰𝒎𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒂 𝒙 𝒂 5. ∞ � � − � 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆. 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒂 𝒙 + 𝒂 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 "a" y calcular EL VALOR DE LA INTEGRAL. Resolución ∞ 𝑥 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝐼=� � − � 𝑑𝑥 = lim � � 2 − � 𝑑𝑥 1 𝑥 2 − 3𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑏→+∞ 1 𝑥 − 3𝑎 𝑥 + 𝑎 1 2𝑎 𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 � 𝐿𝑛|𝑥 2 − 3𝑎| − 𝐿𝑛|𝑥 + 𝑎|� 𝑏→+∞ 2 2 b 1 1 𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 (𝐿𝑛|𝑥 2 − 3𝑎| − 𝐿𝑛|𝑥 + 𝑎|2𝑎 ) 𝑏→+∞ 2 b 1 |𝑥 2 − 3𝑎| 1 |𝑏 2 − 3𝑎| |1 − 3𝑎| 1 𝐼= 𝑙𝑖𝑚 𝐿𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 − 𝐿𝑛 � 2 𝑏→+∞ |𝑥 + 𝑎|2𝑎 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 + 𝑎|2𝑎 b 1 |𝑏 2 − 3𝑎||1 + 𝑎|2𝑎 �𝑏 2 −3𝑎� 1 1 𝐼= 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 |1−3𝑎| � = 𝑙𝑖𝑚 �𝐿𝑛 � |𝑏+𝑎|2𝑎 2 𝑏→+∞ 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 − 3𝑎| |1+𝑎|2𝑎 1 |𝑏 2 − 3𝑎| |1 + 𝑎|2𝑎 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 � 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 𝑎|2𝑎 |1 − 3𝑎| 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑏 → +∞ 𝑆𝑖 𝑎 = 1 1 |𝑏 2 − 3| (2)2 1 |𝑏 2 − 3| 4 ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 . � = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 . � 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 1|2 |1 − 3| 2 𝑏→+∞ |𝑏 + 1|2 2 �𝑏 2 −3� ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 𝑏2 |𝑏+1|2 � 𝑏→+∞ 𝑏2Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 13
  14. 14. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 �1 − � |1 − 0| 3 ⇒ 𝐼 = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 𝑏2 � = 𝐿𝑛 � 𝑙𝑖𝑚 � = 𝐿𝑛(1) 𝑏→+∞ |1 + 0|2 �1 + 𝑏� 𝑏→+∞ 1 2 ∴ 𝑰= 𝟎 Rpta 𝑰 = ∫𝟎 ∞ 𝒙𝒅𝒙 𝒙 𝟔 +𝟏 6. Resolución ∞ 𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑥𝑑𝑥 𝐼=� = lim � 6 0 𝑥6 + 1 𝑏→+∞ 0 𝑥 + 1 𝑥𝑑𝑥 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠: � 𝑥6 +1 𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 ⇒� =� 2 3 𝑥6 +1 (𝑥 ) + 1 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 𝑥 2 ⟶ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 1 2𝑥𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 ⇒� = � 2 3 = � 3 = � … (⊿) 𝑥6 + 1 2 (𝑥 ) + 1 2 𝑢 + 1 2 (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 1 𝐴 𝐵𝑢 + 𝐶 ⇒ = + 2 (𝑢 + 1)(𝑢 2 − 𝑢 + 1) 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1 𝐴(𝑢2 − 𝑢 + 1) + (𝑢 + 1)(𝐵𝑢 + 𝐶) ⇒= (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) ⇒ 1 = 𝐴(𝑢2 − 𝑢 + 1) + (𝑢 + 1)(𝐵𝑢 + 𝐶) 1 = (𝐴 + 𝐵) 𝑢2 + (𝐵 + 𝐶 − 𝐴)𝑢 + (𝐴 + 𝐶)Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 14
  15. 15. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝐴+ 𝐵=0 1 1 2 𝐵+ 𝐶− 𝐴=0 ⇒ 𝐴= , 𝐵=− , 𝐶= 3 3 3 𝐴+ 𝐶 =1 𝑑𝑢 𝑑𝑢 − 𝑢+3 1 1 2 ⇒� =� 3 +� 2 3 (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1 1 𝑑𝑢 1 𝑢−2 ⇒ � − � 2 𝑑𝑢 … … (∗) 3 𝑢+1 3 𝑢 − 𝑢+1 𝑢−2 1 2𝑢 − 4 R ⇒ 𝑅=� 𝑑𝑢 = � 2 𝑑𝑢 𝑢2 − 𝑢 + 1 2 𝑢 − 𝑢+1 1 2𝑢 − 1 𝑑𝑢 ⇒ 𝑅= �� 2 𝑑𝑢 − 3 � 2 � 2 𝑢 − 𝑢+1 𝑢 − 𝑢+1 1 𝑑𝑢 ⇒ 𝑅= �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 3 � � 2 �𝑢 − 2� + 4 1 2 3 1 1 𝑢−2 1 ⇒ 𝑅 = �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 √3 √3 2 2 1 2𝑢 − 1 ⇒ 𝑅= �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 2√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 √3  𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 (∗) 𝑑𝑢 1 1 1 2𝑢 − 1 ⇒� = 𝐿𝑛|𝑢 + 1| − . �𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| − 2√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 3 3 2 √3 1 1 √3 2𝑢 − 1 = 𝐿𝑛|𝑢 + 1| − 𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � 3 6 3 √3Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 15
  16. 16. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 1 √3 2𝑢 − 1 = 𝐿𝑛|𝑢 + 1|2 − 𝐿𝑛|𝑢2 − 𝑢 + 1| + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � 6 6 3 √3 𝑑𝑢 1 |𝑢 + 1|2 √3 2𝑢 − 1 ⇒� = 𝐿𝑛 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � (𝑢 + 1)(𝑢2 − 𝑢 + 1) 6 |𝑢 − 𝑢 + 1| 3 √3  𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 (⊿) 𝑥𝑑𝑥 1 1 |𝑢 + 1|2 √3 2𝑢 − 1 ⇒� 6 = � 𝐿𝑛 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 𝑥 + 1 2 6 |𝑢 − 𝑢 + 1| 3 √3 𝑪𝒐𝒎𝒐 … . . 𝒖 = 𝒙 𝟐 𝑥𝑑𝑥 1 1 |𝑥 2 + 1|2 √3 2𝑥 2 − 1 ⇒ 𝐼=� = � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 𝑥 6 + 1 2 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3 1 1 |𝑥 2 + 1|2 √3 2𝑥 2 − 1 ⇒ 𝐼 = lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 𝑏→∞ 2 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3 b 0 1 1 |𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1| √3 2𝑥 2 − 1 ⇒ 𝐼= lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 𝑏→∞ 6 |𝑥 − 𝑥 2 + 1| 3 √3 b 0 1 1 |𝑏 4 + 2𝑏 2 + 1| √3 2𝑏 2 − 1 1 √3 −1 ⇒ 𝐼= lim � 𝐿𝑛 4 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� − � 𝐿𝑛(1) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 𝑏→∞ 6 |𝑏 − 𝑏 2 + 1| 3 √3 6 3 √3 1 1 �1 + + √3� 2𝑏 2 − 1 √3 5𝜋 2 1 ⇒ 𝐼 = lim � 𝐿𝑛 𝑏2 + 𝑏4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� − �0 + . � 2 𝑏→∞ 6 �1 − 2 + 𝑏4 � 1 3 √3 3 6 𝑏2Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 16
  17. 17. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 1 √3 5√3𝜋 ⇒ 𝐼 = � 𝐿𝑛(1) + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) − � 2 6 3 18 1 √3 𝜋 5√3𝜋 1 −2√3𝜋 ⇒ 𝐼= � . − �= � � 2 3 2 18 2 18 ∴ 𝑰= −√𝟑𝝅 𝟏𝟖 Rpta 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝟏 7. 𝒚= �𝒙� 𝒙 𝟐 − 𝟏 − 𝑳𝒏(𝒙 + � 𝒙 𝟐 − 𝟏)� 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙 = 𝒂 + 𝟏 𝟐 Resolución 𝑏 𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒: 𝐿 = � ‖𝑓´(𝑡)‖𝑑𝑡 𝑎 𝑆𝑒𝑎 𝑥 = 𝑡 1 ⇒ 𝑦 = �𝑡� 𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛(𝑡 + � 𝑡 2 − 1)� 2 1 ⇒ 𝑓(𝑡) = �𝑡, �𝑡� 𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛 �𝑡 + � 𝑡 2 − 1��� 2 • 𝑓1 (𝑡) = 𝑡 → 𝑓1´ (𝑡) = 1 𝑓2 (𝑡) = 2 �𝑡√𝑡 2 − 1 − 𝐿𝑛�𝑡 + √𝑡 2 − 1�� 1 • 1 2𝑡 1+ 2 2𝑡 𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + 𝑡. − 2√𝑡 −1 � 2 2√𝑡 2−1 𝑡 + √𝑡 2 − 1Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 17
  18. 18. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 𝑡2 √𝑡 2 −1+𝑡 𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + − � √𝑡 2 −1 2 √𝑡 2 − 1 𝑡 + √𝑡 2 − 1 1 𝑡2 √𝑡 2 − 1 + 𝑡 𝑓2´ (𝑡) = �� 𝑡 2 − 1 + − � 2 √𝑡 2 − 1 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 1 (𝑡 2 − 1)�𝑡 + √𝑡 2 − 1� + 𝑡 2 �𝑡 + √𝑡 2 − 1� − �𝑡 + √𝑡 2 − 1� 𝑓2´ (𝑡) = � � 2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 1 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − 𝑡 − √𝑡 2 − 1 + 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − √𝑡 2 − 1 − 𝑡 𝑓2 (𝑡) = � ´ � 2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 1 2𝑡 3 + 2𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − 2√𝑡 2 − 1 − 2𝑡 𝑓2´ (𝑡) = � � 2 √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 𝑡 3 + 𝑡 2 √𝑡 2 − 1 − √𝑡 2 − 1 − 𝑡 (𝑡 2 − 1)�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 𝑓2´ (𝑡) = = √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� √𝑡 2 − 1�𝑡 + √𝑡 2 − 1� 𝑡2 − 1 𝑓2´ (𝑡) = ⇒ 𝑓2´ (𝑡) = � 𝑡 2 − 1 √𝑡 2 −1 ⇒ 𝑓´(𝑡) = (1, � 𝑡 2 − 1) 𝑎+1 𝑎+1 ⇒ 𝐿=� ��1, � 𝑡 2 − 1�� 𝑑𝑡 = � �(1)2 + �� 𝑡 2 − 1� 𝑑𝑡 2 𝑎 𝑎 𝑎+1 𝑎+1 𝑎+1 𝑡2 ⇒ 𝐿=� �1 + 𝑡 2 − 1 𝑑𝑡 = � � 𝑡 2 𝑑𝑡 = � 𝑡 𝑑𝑡 = 2 a+1 𝑎 𝑎 𝑎 1 1 a ⇒ 𝐿 = [(𝑎 + 1)2 − (𝑎)2 ] = [𝑎2 + 2𝑎 + 1 − 𝑎2 ] 2 2 ∴ 𝑳 = (𝟏 + 𝟐𝒂) 𝟏 𝟐 RptaToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 18
  19. 19. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝟒 8. 𝒙= 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟑 . 𝟑 Resolución 𝑏 𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒: 𝐿 = � ‖𝑓´(𝑡)‖𝑑𝑡 𝑎 4 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎: 𝑥= 3 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎: 𝑦2 = 𝑥3 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐: 4 3 8 𝑦 = 𝑥 2 3 → 𝑦 =� � 2 → 𝑦=± 3 3√3  Sea y=t ⇒ 𝑡2 = 𝑥3 → 𝑥 = � 𝑡2 3 ⇒ 𝑓(𝑡) = ( � 𝑡 2 , 𝑡) 3 2 ⇒ 𝑓´(𝑡) = ( , 1) 3√ 𝑡 3 2 2 2 8 8 ⇒ 𝐿=� �( , 1)� 𝑑𝑡 = � �� � + (1)2 𝑑𝑡 3√3 3√3 3√ 𝑡 3√ 𝑡 3 3 − − 8 8 3√3 3√3 4 4 + 9√𝑡 2 8 8 � 3 3 ⇒ 𝐿 = � � 3 + 1𝑑𝑡 = � 𝑑𝑡 3√3 3√3 − 8 3 3 9√𝑡 2 − 8 3 3 9 √𝑡 2 √ √Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 19
  20. 20. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 1 8 ⇒ 𝐿=� �4 + 9 3 𝑡 2 𝑑𝑡 � 3√3 − 8 3√ 𝑡 3√3 2 −1� 𝑑𝑡 6𝑑𝑡 𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 4 + 9 � 𝑡2 → 𝑢 = 4 + 9𝑡 → 𝑑𝑢 = 9. 𝑡 3 → 𝑑𝑢 = 3 2� 3 3 3 √𝑡 1 3√3 6𝑑𝑡 1 8 ⇒ 𝐿 = � �4 + 9 � 𝑡 2 � 3 � = � √ 𝑢𝑑𝑢 6 −8 18 3 3√3 √𝑡 1 1 𝑢2 1 3 ⇒ 𝐿= � 𝑢2 𝑑𝑢 = . 3 = � 𝑢3 1 18 18 27 2 8 1 ⇒ 𝐿= ��4 + 9 3 𝑡 2 � � 3 3√3 27 − 8 3√3 ⎡ ⎤ 3 3 1 8 2 8 2 ⇒ 𝐿= ⎢��4 + 9 �� � � − ��4 + 9 ��− � � ⎥ 3 3 27 ⎢ 3√3 3√3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 3 3 1 3 64 3 64 1 ⇒ 𝐿= ⎢��4 + 9 � � − ��4 + 9 � � ⎥= (0) 27 ⎢ 27 27 ⎥ 27 ⎣ ⎦ ∴ 𝐋= 𝟎 Rpta 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝟖𝒂 𝟑 9. 𝒚= 𝟐 𝒚 𝒆𝒍 𝑬𝑱𝑬 𝑿 𝒙 + 𝟒𝒂 𝟐 Resolución 8𝑎3 𝑦= , 𝑦=0 𝑥 2 + 4𝑎2Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 20
  21. 21. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 2a 𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝑬𝑱𝑬 𝒀 +∞ +∞ 8𝑎3 +∞ 𝑑𝑥 ⇒ 𝐴 = 2� 𝑦𝑑𝑥 = 2 � 𝑑𝑥 = 16𝑎3 � 0 0 𝑥 2 + 4𝑎 2 0 𝑥 2 + 4𝑎 2 𝑏 𝑑𝑥 𝑏 𝑑𝑥 ⇒ 𝐴 = 16𝑎3 lim � = 16𝑎3 lim � 2 𝑏→+∞ 0 𝑥 2 + 4𝑎 2 𝑏→+∞ 0 𝑥 + (2𝑎)2 1 𝑥 ⇒ 𝐴 = 16𝑎 lim 3 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � 𝑏→+∞ 2𝑎 2𝑎 b 0 16𝑎3 𝑏 0 ⇒ 𝐴= lim �𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � � − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � �� 2 𝑏→+∞ 2𝑎 2𝑎 ⇒ 𝐴 = 8𝑎2 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(+∞) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)] 𝝅 ⇒ 𝐴 = 8𝑎2 � � 𝟐 ∴ 𝑨 = 4𝑎2 𝝅 RptaToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 21
  22. 22. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 10. Resuelve Ln(2 + 2 x) 1 ∫0 1 + x² dx Resolución 1 Ln( 2) + Ln(1 + x ) 1 Ln ( 2) 1 Ln (1 + x ) ∫0 1 + x² dx = ∫ 0 1 + x²    dx + ∫    0 1 + x  ²  dx ∗ ∗∗ 1 Ln(2) 1 dx  1 1  *∫ dx = Ln(2) ∫ = Ln(2)  Arctg  0 1 + x² 0 1 + x²   x 0  π  Ln(2)[ Arctg1 − Arctg 0] = Ln(2)  4 π Ln(2) 4 1 Ln(1 + x) * *∫ dx 0 1 + x² Por Partes: Ln( x + 1) = u dx = dv dx 1+ x2 = du x +1 Arctgx = v ∫ udv = uv − ∫ vdu 1 Arctgx Ln( x + 1) Arctgx 0 − ∫ 1 dx 0 x +1 [Ln(1 + 1) − Ln(0 + 1)][Arctg1 − Arctg 0] − ∫0 Arctgx dx 1 x +1 ∫𝟎 𝒅𝒙 = Ln(2) + [Ln(2) − Ln(1)] − ∫0 𝟏 𝑳𝒏(𝟐+𝟐𝒙) 𝟏+𝒙 𝟐 π π 1 Arctgx dx Rpta 4 4 x +1Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 22
  23. 23. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 11. Resuelve: 5 ∫− 5 x² - 5 dx Resolución ∫ [[x2]] + ∫  x  + ∫   [[2 − ]]dx [[x − 2]]dx − 2 2 5  −  2 2 2 dx 5      I1  5 2 I2 I3 I1 = ∫ [[x − 2]]dx = ∫ 2dx + ∫ 1dx + ∫ 0 − 2 5 2 − 4 − 5 − 3 − 4 − 2 − 3 = ∫ [[2 − x ]] = ∫ 0dx + ∫ 1dx + ∫ 1dx + ∫ 2 − 1 0 1 2 2 I2 dx 0dx 5 − 2 − 1 0 1 = ∫ [[x − 2]] = ∫ 2dx + ∫ 1dx + ∫ 2dx 5 3 4 3 2 I3 dx 2 2 3 4 I = I1 + I 2 + I 3 I = 3,48 ∴ 𝑰 = 𝟑, 𝟒𝟖 Rpta 12. Resuelve: π (2 x − π ) dx ∫ 0 Senx + 4 Resolución π x −π 2 2∫ dx 0 Senx + 4Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 23
  24. 24. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 Cambio de Variable u = x −π 4 x = 0 ⇒ u −π 2 x =π ⇒u =π 2 π π u x 2∫ π2 du = 2 ∫ 2 π dx − 2 Cosu + 4 − Cosx + 4 2 x es variable nula Sea: x F( x ) = cos x + 4 Viendo simetrías x → −x x es anti simétrica con respecto al eje y F(− x ) = − = − F( x ) cos x + 4 π x 0 x ∫0 2 Cosx + 4 dx = − ∫ π − cos x + 4 2 dx π x 0 x ∫0 2 Cosx + 4 dx + ∫ π − cos x + 4 2 dx = 0 π x 2 ∫π2 dx = 0 2 Cosx + 4 π (2 x − π ) dx = 0 ∫0 Senx + 4 ∴ ∫𝟎 𝒅𝒙 = 𝟎 𝝅 𝟐𝒙−𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝒙+𝟒 RptaToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 24
  25. 25. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 13. Resolver: π Sen²x Cosx ∫ 0 2 25 - 16Sen²x dx Resolución senx = u cos xdx = du π π u 2 du u 2 du ∫ 0 2 25 - 16u 2 =∫ 2 0 (5)2 - (4u )2 Sustitución Trigonométrica: 4u  4u  = senθ → arcsen  = θ 5  5  5 u = senθ 4 5 du = cos θdθ 4 25 5 π sen 2θ . cos θdθ ∫02 16 (5)2 − (5senθ )2 4 π 64 2 sen 2θ cos θdθ 125 ∫0 5 2 1 − sen 2θ ( )     COS ϑ 2 π 64 2 sen θ cos θdθ 2 125 ∫0 5 cos θ π 64 2 ∫0 sen θ dθ 2 625Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 25
  26. 26. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 π π   64 θ 2 sen2θ 2  − 625  2 4 0   0 π  π     4u  2   4u  2  2 25 − 16u 2    arcsen   5  5   64   5  −   625  2 4     0    0   π  π    2 25 − 16 sen x  4 senx  2  2   4 senx  2    arcsen   5  5     64   5  −  625  2 4     0    0       2 25 − 16 sen π     π   4 sen π    4 sen   arcsen 2    2  2        5   2 25 − 16 sen0  4 sen0     5  arcsen 4 sen0    5             5    64   −  5      −  5      625  2 2 − 4 4                          2 25 − 16(1)  4(1)   2 25 − 16(0)  4(0)     arcsen 4(1)  arcsen 4(0)         64        5     5      5 −  5   −  5  5   −  625  2 2    4 4              2(3)  4(1)   2(5)  4(0)            64  53 0    5  5   5  5    64  53   24    − − −  =  − 625  2 2      625  2   20     4 4          64 (25.3) = 2.59 625 ∴ ∫𝟎 𝐝𝐱 = 𝟐, 𝟓𝟗 𝛑/𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝐱.𝐜𝐨𝐬𝐱 � 𝟐𝟓−𝟏𝟔𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝐱 RptaToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 26
  27. 27. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 14. Resolver. ∞ dx ∫ (1 + x ) 0 3 Ln (1 + x ) Resolución 1 + x = et dx = e t dt −1 ∞ e t dt ∞ ∫ ∫ −2t = e t 2 dt 0 e 3t t 0 ⇒ 2t = u 2dt = du dt = du 2 −1 −1 ∞  u  −u du 2 2 ∞ ∫0   e 2 u = 2 ∫ 0 u e −u du 2 1 2 ∞ −1 2 ∫0 u 2 e −u du Por Gamma 2 1 2 π γ  ⇒ π = 2 2 2 2 ∴ ∫𝟎 =� ∞ 𝐝𝐱 𝛑 (𝟏+𝐱) 𝟑 �𝐋𝐧(𝟏+𝐱) 𝟐 RptaToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 27
  28. 28. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 15. Resolver. ( x − 1) 1 ∫0 x Lnx dx Resolución ( x − 1) ( x − 1) 1 ( x − 1) 1 1 ∫0 x Lnx dx = ∫ 2 0 x Lnx dx + ∫1 x Lnx dx     2 A B ( x − 1) 1 A=∫ 2 dx ; para darle forma del corolario, hacemos: 0 x Lnx x=-t dx=-dt x t 0 0 1/2 -1/2 0 − (t + 1) 0 − ( x + 1) → A = ∫−1 dt = ∫−1 dx 2 − t Ln(− t ) 2 − x Ln(− x ) Sea: − (t + 1)dt −1 f (x) = y g (x) = son continuos para x ∈ [− 1 2 ;0) − t ln (− t ) −x sobre [− 1 2 ;0 ) , f (x ) 〉0 y g (x ) 〉0 y además: lim f (x ) = ∞ y lim g (x ) = ∞ x →o x →o luego: f (x) − ( x + 1) lim = lim =0 x →o g (x) x →o ln(− x )Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 28
  29. 29. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 como: 1 0 0 2 ∫−1 2 g ( x ) dx = − 2(− x) 2 −1 = 2 converge 2 0 0 − ( x + 1)dx ⇒ A = ∫−1 f ( x ) dx = ∫−1 converge 2 2 − x ln(− x) 1 ( x − 1) → B = ∫1 dx 2 x Lnx Sea: (x − 1) −1 P( x ) = y G( x ) = x(ln x ) 1 x ln x 3 f y g son continuos en [− 1 2 ;0 ) , f (x ) 〉0 y g ( x ) 〉 0 ∀x ∈ [1 2;1) y además lim f (x ) = ∞ y lim g ( x ) = ∞ x →1− − x →1 luego: f (x) − x ( x − 1) lim− = lim− 2 x →1 g (x) x →1 3 (ln x) como es de la forma %, aplicamos Hospital f (x) 3 2 1 1  3 1 1 1 dx lim = lim − (ln x)  x − x 2  = 0 y como 2 2  3 ∫1 g ( x )dx = − ∫1 x(ln x ) − 1 x →1 g (x) x →1−   2 2 3 Hacemos: u=lnx du=1/x dx 0 ( ( )) 2 1 0 du 3u 3 3 2 → ∫1 g ( x ) dx = − ∫ 1 =− = ln 1 3 converge ln   1 2 2 2 2 2 3 u ln(1 / 2 ) 1 1 ( x − 1) → B = ∫1 f ( x ) dx = ∫1 dx converge 2 2 x LnxToribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 29
  30. 30. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 como I=A + B ∴ I = converge Rpta 16. Mediante Gamma. π ∫ [LnCsc(2t )] Cos (2t )dx 4 n −1 0 Resolución π ∫0 [LnCsc(2t )] d (sen2t ) 1 4 n −1 2 sen 2t = u t →0 π t → 4 u→0 u →1 1 1 2 [ ( )] ∫0 Ln u −1 n −1 d (u ) u = e− y u → 0 u →1 du = −e − y dy y → ∞ y → 0 1 o 2 [ ∫∞ − − Ln e y ( )] n −1 e − y dy 1 ∞ n−1 − y 2 ∫0 y e dy Γ(n ) 1 ∴ ∫𝟎 [ 𝑳𝒏𝑪𝒔𝒄( 𝟐𝒕)] 𝒏−𝟏 𝑪𝒐𝒔( 𝟐𝒕) 𝒅𝒙 = 𝚪(𝒏) Rpta 2 𝝅 𝟒 𝟏 𝟐Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 30
  31. 31. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 17. Resolver con Beta o Gamma 5 dx ∗∫ 2 (x + 2)(5 − x ) Resolución Dando la forma de la función Beta −1 −1 ∫ (x − 2) (5 − x ) 5 2 2 dx 2 Hacemos: x−2=u x→2 x→5 x=u+2 u →5 u →3 dx = du −1 −1 ∫2 (u ) 2 (3 − u ) 2 du 3 Hacemos otro cambio u→0 u→3 u = 3t t →o y →1 du = 3dt −1 −1 −1 (t ) 2 (3 − 3t ) 2 3dt 1 ∫0 3 2 −1 −1 ∫ (t ) (1 − t ) dt = ∫ (t ) (1 − t ) 1 1 4 4 −1 −1 2 2 2 2 dt 0 0 I =B 1 ;1 2 2 ( ) Γ(m )Γ(n ) B(m; n ) = Propiedad: Γ(m + n )Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 31
  32. 32. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009 I =B 1 ;1 =( ) 2 ( )( ) Γ 1 Γ 1 2 2 2 Γ(1) ( 2) = π Γ1 Sabemos: Γ(1) = 1 I =π ∴ ∫𝟐 = 𝝅 𝟓 𝒅𝒙 �(𝒙+𝟐)(𝟓−𝒙) Rpta 18. Resolver 1 x3 ∗∫ dx 0  x3  1 -  5 x     Resolución −1 x3 x3 dx = ∫ x 1 − x 5  1 1 1 14 ∫0  x 3 dx = ∫ 2   3 dx  0    1 - x 5  14 0    1 - 5 x      Haciendo la sustitución: 14 5 x 5 =t → x=t 14 14 9 5 x →1 x → o x dx = dt t →1 y → o 5 5 −914 dx = t dt 14 5 −914 ∫ t (1 − t ) 1 15 −1 14 2 t dt 0 14  10 1  5 ∫0 t (1 − t ) 2 dt = B 7 ; 2  14 5 1 37 −1 14  Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 32
  33. 33. INTEGRAL DEFINIDA UNFV – BASE 2009  10   1  Γ Γ  5  10 1  B ;  =     7 2 5 14  7 2   27  14 Γ   14  3 3 1 3 Γ Γ  Γ  7 7 2 5 5 6 7 = π 13  13  14 14 13  13  Γ  Γ  14  14   14  5 Γ(3 7 ) π 91 Γ(13 14 ) ∴ ∫𝟎 𝒅𝒙 = √ 𝛑 𝟏 𝒙𝟑 𝟓 𝚪(𝟑⁄ 𝟕) (𝟏− 𝒙𝟑 𝟗𝟏 𝚪(𝟏𝟑⁄ 𝟏𝟒) 𝟓 ) Rpta √𝒙 19. Hallar la longitud de la curva: 1 1 θ= r +  2 r entre r=2 y r=4 Resolución Parametrizando: 1 1 r →t → θ = 1 +  2 t dr → dt dθ 1 1  dr = 1 − 2  =1 dt 2 t  dt t ∈ [2;4] Sabemos:Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física 33

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