Dalil-dalil geometri

1. Geometri
FITRIA MAGHFIROH

2.  Dua segitiga kongruen jika ada korespondensi (kesesuaian) satu-satu
antara titik sudutnya sedemikian sehingga:
 semua pasangan sisi yang saling berkorespondensi adalah kongruen
 Semua pasangan sudut yang saling berkorespondensi adalah kongruen
 Postulat 12 : dua segitiga kongruen jika ada korespondensi (kesesuaian)
antara titik-titik sudutnya sedemikian sehingga dua sisi dan sudut apitnya
dari segitiga yang satu kongruen dengan unsur yang berkorespondensi
dari segitiga yang lain (sisi, sudut, sisi)
 Postulat 13 : dua segitiga kongruen jika ada korespondensi antara titik-
titik sudutnya sedemikian sehingga dua sudut dan sisi apitnya dari segitiga
yang satu kongruen dengan unsur yang berkorespondensi dari segitiga
yang lain (sudut, sisi, sudut)

3. DEFINISI
 Sinar PB diantara sinar PA dan PC yang dimaksudkan ialah jika u∠𝐴𝑃𝐵 +
u∠𝐵𝑃𝐶 = u∠𝐴𝑃𝐶
 Daerah dalam (interior) suatu sudut ialah himpunan titik sedemikian
sehingga jika suatu sinar yang titik pangkalnya titik sudut itu dan melalui
salah satu titik dari himpunan itu maka sinar tersebut akan terletak
diantara kaki-kaki sudut itu
 Daerah dalam (interior) suatu segitiga ialah himpunan titik-titik
persekutuan dari daerah dalam sudut-sudut segitiga itu
 Aksiomapasch suatu garis yang memotong salah satu sisi suatu
segitiga dan melalui daerah dalam suatu segitiga, sehingga tentu
memotong sisi yang kedua dari segi tiga itu

4. Dalil 9 : jika kedua sisi segi tiga kongruen maka sudut di hadapan kedua
segi tiga itu kongruen
No Pernyataan Alasan
1. 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐶 Diketahui
2. 𝐴𝐷 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑎𝑔𝑖 ∠𝐵𝐴𝐶 Postulat: Setiap
sudut mempunyai
garis bagi
𝐴𝐷 ℎ𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑚𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝐵𝐶 Aksiomapasch
3. ∠𝐵𝐴𝐶 ≅ ∠𝐶𝐴𝐸 Def. Garis bagi
sudut
4. 𝐴𝐸 ≅ 𝐸𝐴 Sifat Refleksif
Kongruensi
5. ∠𝐴𝐵𝐸 ≅ ∠𝐴𝐶𝐸 Postulat sisi sudut
sisi
6. ∠𝐵 ≅ ∠𝐶 Definisi poligon
kongruensi
A
B C
D
PEMBUKTIAN
E

5. Dalil 10 : jika dua segi tiga kongruen maka sisi dihadapan kedua sudut
itu kongruen No Pernyataan Alasan
1. ∠B ≅ ∠C Di ketahui
2. BX garis bagi ∠ABC
CY garis bagi ∠ACB
Postulat setiap sudut
mempunyai garis
bagi
3. BX tentu memotong AC
misalnya: dititik E dan CY
tentu memotong AB, misal di D
Asiomapasch
4. ∠EBC ≅ ∠DCB Setengah dari sudut-
sudut yang
kongruen adalah
kongruen
5. BC ≅ CB Sifat refleksif
kongruensi
6. ∆DBC ≅ ∆ECB Postulat sudut sisi
sudut
7. BE ≅ DC Def. Poligon
kongruensi
A
B C
D E
X Y
PEMBUKTIAN

6. No Pernyataan Alasan
8. ∠BDC ≅ ∠CEB Seperti no. 7
9. ∠ADC suplemen ∠BDC Definisi sudut
bersuplemen
10. ∠AEB suplemen ∠CEB Seperti no. 9
11. ∠ADC ≅ AEB Dalil jika dua sudut
bersuplemen dengan
dua sudut yang
kongruen maka kedua
sudut itu kongruen
12. ∠AEB ≅ ∠ACD Seperti no. 4
13. ∆ABE ≅ ∆ACD Postulat sudut sisi
sudut
14. AB ≅ AC Definisi poligon
kongruensi

7. Definisi
 Garis tinggi segi tiga
Ruas garis yang titik ujungnya titik segi tiga itu dan ujung
yang lain pada garis sisi yang berhadapan titik sudut itu dan
ruas garis itu tegak lurus dengan garis sisi segi tiga itu ( 𝐴𝐷
garis tinggi )
 Garis berat segi tiga
Ruas garis yang ditentukan oleh titik sudut segi tiga itu dan
titik tengah dari sisi yang dihadapkan titik sudut itu. (𝐴𝐷 sebab
BD = DC)
 Garis bagi segi tiga
Ruas garis yang membagi sudut segi tiga dengan salah
satu ujungnya pada sisi yang dihadapan titik sudut itu. ( 𝐴𝐷
garis bagi, sebab u∠CAD )
A
B C
D A
B CD
∥ ∥
A
B CD

8. Dalil 11: jika dua segi tiga kongruen dengan segi tiga yang sama maka
kedua segi tiga yang pertama kongruen
No Pernyataan Alasan
1 ∆𝐷𝐸𝐹 ≅ ∆𝑋𝑌𝑍 Diketahui
2 ∠𝐷 ≅ ∠𝑋, 𝐷𝐹 ≅ 𝑋𝑍, ∠𝐹 ≅ ∠𝑍 Def. Poligon
kongruensi
3 ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝑋𝑌𝑍 Diketahui
4 ∠𝐴 ≅ ∠𝑋, 𝐴𝐶 ≅ 𝑋𝑍, ∠𝐶 ≅ ∠𝑍 Seperti no. 2
5 ∠𝐷 ≅ ∠𝐴, 𝐷𝐹 ≅ 𝐴𝐶 Sifat transitif
konruensi
6 ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 Postulat sudut
sisi sudut
A
B C
D
E F
X
Y Z
PEMBUKTIAN

9. Postulat
 Postulat 17
Jika kita punya garis dan sebuah titik P pada garis itu maka kita dapat
mencari titik lain Q pada garis itu, sedemikian sehingga segmen garis PQ
kongruen dengan sembarang segmen garis yang diketahui
 Postulat 18
pada suatu titik tertentu dari satu garis ada sudut yang titik sudutnya titik
itu dan salah satu kakinya sinar pada garis itu yang kongruen dengan sudut
yang diketahui
PR Q

10. Dalil 12: dua segi tiga adalah kongruen jika ada korespondensi
(kesesuaian) antara titik-titik sudutnya dan ketiga sisi-sisi segi tiga yang satu
kongruen dengan ketiga sisi yang berkorespondensi dari segi tiga yang lain (sisi
sisi sisi) No Pernyataan Alasan
1. pada garis BC ada sudut yang kongruen
dengan ∠DEF, sudut ini adalah ∠SBC
Postulat 18
2. pada BC tentu ada R, sedemikian sehingga BR ≅ DE Postulat 17
3. ada garis RC yang melalui R dan C Postulat: melalui sebuah titi
hanya dapat dibuat sebuah
garis
4. ada garis RA yang melalui R dan A Seperti no. 3
5. 𝐵𝐶 ≅ 𝐸𝐹 Diketahui
6. ∆𝐷𝐸𝐹 ≅ ∆𝑅𝐵𝐶 Postulat sisi sudut sisi
7. 𝑅𝐶 ≅ 𝐷𝐹 Def. Poligon kongruensi
8. 𝐴𝐶 ≅ 𝐷𝐹 Diketahui
9. 𝑅𝐶 ≅ 𝐴𝐶 Sifat transitif kongruensi
10. ∠𝐶𝐴𝑅 ≅ ∠𝐶𝑅𝐴 Dalil segitiga sama kaki (9)
A
B C
R
S
D
E
F
PEMBUKTIAN

11. No Pernyataan Alasan
11. 𝐴𝐵 ≅ 𝐷𝐸 Diketahui
12. 𝑅𝐵 ≅ 𝐷𝐸 Ulangan dari no. 2
13. 𝐴𝐸 ≅ 𝑅𝐵 Seperti no. 9
14. ∠𝐵𝐴𝑅 ≅ ∠𝐵𝑅𝐴 Seperti no. 10
15. ∠𝐵𝐴𝐶 ≅ ∠𝐵𝑅𝐶 Postulat penjumlahan
16. ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝑅𝐵𝐶 Postulat sisi sudut sisi
17. ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 Dalil: jika kedua segi tiga
kongruen dengan segi tiga yang
sama maka dua segi tiga itu
kongruenE
S
D
F
D
C
A
B

12. Dalil 13: dua segi tiga siku-siku kongruen jika ada korespondensi
antanra titik-titik sudutnya, sisi miring, dan salah satu sisi siku-sikunya kongruen
dengan yang berkorespondensi dari segi tiga yang lain
No Pernyataan Alasan
1. Titik A pada 𝐴𝐶 terdapat ∠ yang kongruen
dengan ∠FDE , ∠ ini adalah ∠𝐶𝐴𝑅
Postulat 18
2. Pada 𝐴𝑅ada titik P sedemikian sehingga 𝐴𝑃 ≅
𝐷𝐸
Postulat 17
3. Ada garis PC yang melalui P dan C Postulat 4
4. Ada garis PB yang melalui P dan B Postulat 4
5. 𝐴𝐶 ≅ 𝐷𝐹 Diketahui
6. ∆𝐴𝑃𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 Postulat sisi sudut sisi
7. ∠𝐴𝑃𝐶 ≅ ∠𝐷𝐸𝐹 Definisi poligon
kongruensi
8. ∠𝐵, ∠𝐸 siku-siku Diketahui
9. ∠𝐵 ≅ ∠𝐸 Dalil 1
A
B
C
D
P
R
E
F

13. No Pernyataan Alasan
11. ∠𝐴𝑃𝐶 ≅ ∠𝐵 Sifat transitif persamaan
12. 𝐴𝐵 ≅ 𝐷𝐸 Diketahui
13. 𝐴𝑃 ≅ 𝐷𝐸 Definisi poligon kongruensi
14. 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝑃 Sifat transitf dari 12 dan 13
15. ∠𝐴𝐵𝑃
≅ ∠𝐴𝑃𝐵
Dalil 9
16. ∠𝐶𝐵𝑃 ≅ ∠𝐶𝑃𝐵 Dalil 6
17. 𝐶𝐵 ≅ 𝐶𝑃 Dalil 10
18. ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴𝑃𝐶 Postulat sisi sudut sisi
19. ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 Def. Poligon kongruensi
C
R
PB
A
E
F
D

14. Definisi
 Lingkaran adalah himpunan titik pada bidang sedemikian sehingga
segmen-segmen garis yang di tarik dari masing-masing titik pada
himpunan itu ke suatu titik tertentu adalah kongruen
 Jari-jari lingkaran adalah segmen garis yang ditarik dari sembarang titik
pada lingkaran ke pusat lingkaran tersebut

15. Dalil 14: semua jari-jari lingkaran adalah kongruen
No. Pernyataan Alasan
1. O dan M berpotongan di A dan B Diketahui
2. ada garis MA yang melalui M dan A Postulat: melalui sebuah titik
hanya dapat dibuat sebuah
garis
3. Ada garis MB yang melalui M dan B Seperti no. 2
4. 𝑀𝐴 ≅ 𝑀𝐵 Dalil 14
5. 𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐵 Seperti 4
6. 𝑂𝑀 ≅ 𝑂𝑀 Sifat reflektif kongruensi
7. ∆𝐴𝑂𝑀 ≅ ∆𝐵𝑂𝑀 Dalil sisi sisi sisi
8. ∠𝐴𝑂𝑀 ≅ ∠𝐵𝑂𝑀 Def. Poligon kongruensi
9. 𝑂𝑀 garis bagi ∠𝐴𝑂𝐵 Kebalikan definisi garis bagi
sudut
A
B
Mo

16. Contoh soal
Pernyataan Alasan
O Diketahui
𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐵 Semua jari-jari lingkaran
kongruen
𝑂𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 Diketahui
∠OCA, ∠OCB siku-siku Def. Garis tegak lurus
𝑂𝐶 ≅ 𝑂𝐶 Sifat refleksif kongruensi
∆𝑂𝐶𝐴 ≅ ∆𝑂𝐶𝐵 Dalil kongruensi segitiga siku-
siku
∠AOC ≅ ∠BOC Def. Poligon kongruensi
𝑂𝐶 garis bagi ∠AOB Kebalikan def. Garis bagi sudut
B
C
O
A

17. Dalil 15: jika dua garis saling berpotongan dan sudut yang bersisihan
kongruen maka kedua garis itu berpotongan tegak lurus
No pernyataan Alasan
1. 𝐶𝐷 garis lurus Diketahui
2. ∠CBD sudut lurus Def. Sudut lurus
3. ∠1 suplemen ∠2 Def. Sudut bersuplemen
4. u∠1 + u∠2 = 180º Seperti no. 3
5. ∠1 ≅ ∠2 Diketahui
6. u∠1 + u∠1= 180º Postulat subtitusi
7. 2u∠1 = 180º Postulat penjumlahan
8 u∠1 =90º Postulat pembagian
9. ∠1 siku-siku Def. Sudut siku-siku
10. 𝐴𝐷 ⊥ 𝐶𝐷 Def. Garis tegak lurus
B
A
C D

18. Contoh soal
No Pernyataan Alasan
1 𝑂𝐶 garis bagi ∠AOB Diketahui
2 ∠𝐴𝑂𝐶 ≅ ∠𝐵𝑂𝐶 Def. Garis bagi sudut
3 O pusat lingkaran Diketahui
4 𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐵 Dalil: semua jari-jari lingkaran
kongruen
5 𝑂𝐶 ≅ 𝑂𝐶 Sifat refleksif kongruensi
6 ∆𝐴𝑂𝐶 ≅ ∆𝐵𝑂𝐶 Postulat sisi sudut sisi
7 ∠𝑂𝐶𝐴 ≅ ∠𝑂𝐶𝐵 Def. Poligon kongruensi
8 𝑂𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 Dalil: jika dua garis berpotongan dan
sudut bersisian kongruen maka garis
tersebut berpotongan tegak lurus
B
C
O
A

19.  Definisi: jarak antara dua bangun geometri adalah ukuran jarak yang
terpendek antara dua bagian itu
 Postulat 21: jarak terpendek antara dua titik adalah ruas garis yang
menghubungkan antara dua titik tersebut

20. Dalil 16: jika dua titik berjarak sama dari ujung-ujung suatu garis, maka
garis yang menghubungkan dua titik tersebut merupakan bisektor tegak lurus dari
ruas garis itu
No Pernyataan Alasan
1. 𝑄𝐴 ≅ 𝑄𝐵 Diketahui
2. 𝑃𝐴 ≅ 𝑃𝐵 Diketahui
3. 𝑃𝑄 ≅ 𝑃𝑄 Sifat refleksif kongruensi
4. ∆QPA ≅ ∆QPB Dalil sisi sisi sisi
5. ∠PQB ≅ ∠PQA Def. Poligon kongruensi
6. 𝑄𝑅 ≅ 𝑅𝑄 Seperti no. 3
7. ∆QRB ≅ ∆QRA Postulat sisi sudut sisi
8. 𝐴𝑅 ≅ 𝐵𝑅 Seperti no. 5
9. R titik tengah 𝐴𝐵 Def. Titik tengah
10. 𝑃𝑄 garis bagi 𝐴𝐵 Def. Garis bagi
11. ∠QRA ≅ ∠QRB Seperti no. 5
12. 𝑃𝑄 ⊥ 𝐴𝐵 Dalil 15
A
B
P
R
Q

21. Dalil 17: jika suatu titik terletak pada bisektor tegak lurus suatu ruas garis, maka
titik tersebut berjarak sama dari ujung-ujung suatu ruas garis
Dalil 18: jika suatu titik berjarak sama terhadap titik ujung suatu garis, maka titik
tersebut terletak pada bisektor tegak lurus ruas garis tersebut
No Pernyataan Alasan
1. M titik tengah 𝐴𝐵 Postulat (2): setiap ruas garis
mempunyai titik tengah
2. 𝐴𝑀 ≅ 𝐵𝑀 Def. Titik tengah
3. 𝑃𝐴 ≅ 𝑃𝐵 Diketahui
4. ∠ 𝑃𝐴𝑀 ≅ ∠ 𝑃𝐵𝑀 Dalil 9 segi tiga sama kaki
5. ∆APM ≅ ∆AMB Postulat sisi sudut sisi
6. ∠ 𝐴𝑀𝑃 ≅ ∠ 𝐵𝑀𝑃 Def. Poligon kongruensi
7. 𝑃𝑀 bisektor ⊥ 𝐴𝐵 Dalil 18
8. P pada 𝑃𝑀 Postulat: melalui dua titik hanya
dapat dibuat satu garis
M BA

22. CONTOH SOAL
Pernyataan Alasan
𝐶𝐴 ≅ 𝐶𝐵 Diketahui
D titik tengah 𝐴𝐵 Diketahui
𝐷𝐴 ≅ 𝐷𝐵 Def. Titik tengah
𝐷𝐴 garis bagi ⊥ 𝐷𝐵 Dalil: jika dua titik berjarak sama dari ujung-ujung
suatu ruas garis yang menghubungkan dua titik
tersebut merupakan bisektor tegak lurus
𝑂𝐴 melalui O dan A, 𝑂𝐵
melalui O dan B
Postulat: melalui dua titik dapat dibuat satu garis
𝑂𝐴 ≅ 𝑂𝐵 Dalil: semua jari-jari lingkaran kongruen
𝐶𝐷 melalui O Dalil: jika sebuah titik berjarak sama dari ujung-
ujung suatu ruas garis maka titik tersebut terletak
pada bisektor tegak lurus
A B
D
C
O

23. Thanks ^^