指数分布とポアソン分布のいけない関係

ポアソン分布と指数分布
のいけない関係
@teramonagi
第20回R勉強会＠東京（#TokyoR）
2012/01/28

Agenda
• 自己紹介
• ポアソン分布ってなに？
• 指数分布ってなに？
• ２つの分布のいけない関係

ポアソン分布と指数分布のいけない関係＠第20回R勉強会＠東京（#TokyoR）
2

こういう者です
◆職業：クオンツ（計量的に金融する）
◆使う道具
データ・数理解析/プログラム
C++/C#/R/Python/Excel/VBA…..
◆最近の興味：
関数型言語・統計（科）学・確率論

4

ポアソン分布ってなに？


単位時間当りの生起確率
• 単位時間：1時間・1秒間・(1m)等
• 生起確率：事象が起こる確率
6

• 単位時間当り平均λ回起こる事象が
単位時間中にx回起こる確率は・・・

 x
px   e 

x! x  0,1,2,...
7

ポアソン分布の例
～1年間での1日あたりの交通事故死亡者数～
x 度数
0 119
1 152
2 68
頻度

3 20
4 4
5 1
6 1
6以上 0
計 365

死亡者数
8

ポアソン分布の特徴

• 平均：λ、分散： λ
• ただ1つλというパラメーターだけで
特徴づけられる

9

ポアソン分布を計算してみる
• １時間に平均５人が訪れるWebサイ
トがある。１時間に３人訪問者があ
る確率を求める
• λ＝５、ｘ＝３を公式に代入
> (5^3) / (3 * 2) * exp(-5)
[1] 0.1403739（約１４％！）
10

稀な現象としてのポアソン分布
• 高校で習った二項分布を思い出す
• 表が出る確率がpのコインをＮ回投
げてｘ回表が出る確率は？

px  N Cx p 1  p  x N x

11

稀な現象としてのポアソン分布
px  N Cx p 1  p  x N x

ただし以下のようにp, λの積を固定
N  , p  0   Np

 x
px   e 

x!
12

ちなみにRだと

(d,r,p,q)pois関数

13

指数分布ってなに？

事象の生起間隔の確率
• 生起間隔：ある事象が起こって次に
また発生するまでの間隔
15

指数分布ってなに？
• 単位時間当り平均λ回起こる事象を
考える。その事象の発生間隔がｔ単
位時間である確率（密度）は・・・

pt   e  t

t  0, 実数
16

指数分布の例
～30歳のおっさんの平均余命の分布～
確率（密度）

余命（年）
17

指数分布を計算してみる
• １時間に平均５人が訪れるWebサイト
がある。次の訪問者が来るまでの間隔
が12分である確率を求めよ
• λ＝５、t＝12/60を公式に代入
> 5 * exp(-5 * 12 / 60)
[1] 1.839397
（確率“密度“なんで１越えます）
18

指数分布の特徴
• 平均：1/λ、分散： 1/λ^2
• ただ1つλというパラメーターだけで特
徴づけられる
• 次に事象が発生するまでの時間は今
まで待った時間とは関係ない（無記憶
性）
19

ちなみにRだと

(d,r,p,q)exp関数

20

２つの分布のいけない関係

ポアソン分布
単位時間当りの生起確率

指数分布
事象の生起間隔の確率
22

ポアソン分布
単位時間当たり平均λ回

指数分布
平均1/λ単位時間に一回
23

ある“事象”に対して
ポアソン分布
単位時間当たり平均λ回
回数に注目：ポアソン分布
指数分布
時間に注目：指数分布
1/λ単位時間に一回
24

同じ物（事象）
を異なる視点
から見てるわ
けだね！

Rで確かめてみる
• Rを使って指数分布を生成
• １単位時間に何回事象が発生する
かをカウント
• その頻度がポアソン分布に従うかを
チェック！

26

アルゴリズムの流れー１
指数分布に従う乱数生成
2 8
9
3 6
1  5 7 4
27

アルゴリズムの流れー２
作った乱数の合計が
単位時間に何個入るかカウント

１（単位時間）

 1 ＋  2 ＋  3 ≧１
28

アルゴリズムの流れー２
この場合３番目の指数分布
の値を足しちゃうと合計が１
を越えるので、２とカウント
 1 ＋  2 ＋  3 ≧１
29

アルゴリズムの流れー２’


1 ≧１
30

アルゴリズムの流れー２’
この場合１番目の指数分布

の値が１を越えるので、０と
カウント
1 ≧１
31

アルゴリズムの流れー３

１と２を繰り返して出てきた
カウント値の統計量を計算

32

結果のチェック（分布比較）
頻度（確率）

訪問者数
33

結果のチェック（分布比較）
頻度（確率）

指数分布からポアソン分布
を作成することができた！

訪問者数
34

まとめ
• ポアソン/指数分布について説明
• ある“事象”に対して
–“回数“に注目：ポアソン分布
–“時間”に注目：指数分布
• Rでシミュレーションしてみた

35

Rのコード
#1単位時間内に到着する訪問者数を数えるシミュレーション
VisitorCounter <- function(lambda)
{
counter <- 0
time.arrival <- rexp(1, rate = lambda)
while(time.arrival < 1) {
counter <- counter + 1
#次の訪問者の到着時間を計算
time.arrival <- time.arrival + rexp(1, rate = lambda)
}
counter
}
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Rのコード
#１単位時間あたりの訪問者数の平均値
lambda <- 5
#シミュレーション回数
N <- 10^4
#シミュレーション実施
x <- sapply(1:N, function(i){VisitorCounter(lambda)})
#表示
barplot(rbind(table(x) / N, dpois(0:max(x), lambda)),
col = c("violetred1", "slateblue4"),
legend.text = c("Simulation", "Theoritical"),
args.legend = list(x = "topright"),
beside = TRUE
)
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